Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Общие принципы составления динамических уравнений движения для консервативных и неконсервативных систем 9
1.1. Вариационный подход 9
1.2. Обобщение уравнения Эйлера - Лагранжа 13
1.3. Уравнения Гамильтона 17
1.4. Уравнения теории упругости 19
1.5. Применение феноменологического подхода для
составления уравнений движения 22
Глава 2. Постановка задачи и вычисление силы сопротивления среды, действующей на произвольно движущйся в ней очень гибкий стержень 28
2.1. Физические аспекты криволинейного движения 28
2.2. Постановка задачи и цели работы 31
2.3. Вычисление силы сопротивления, отнесенной к единице длины цилиндрического тела при малых числах Рейнольдса 32
2.4. Сила сопротивления вязкой среды, действующая на произвольно изгибающийся при движении стержень 37
Глава 3. Динамические уравнения движения гибкого стержня в вязкой среде с учетом внутренних деформационных изменений 46
3.1. Вывод основных нелинейных уравнений динамики с учетом деформационных изменений структуры стержня 46
3.2. Анализ уравнений 64
3.3. Движение растяжимого стержня (вывод уравнений динамики) 85
3.4. Решение уравнений 90
3.5. Движение в вязкой среде массивного стержня 94
Глава 4. Численное решение нелинейного уравнения движения 99
Заключение 124
Литература 125
- Обобщение уравнения Эйлера - Лагранжа
- Вычисление силы сопротивления, отнесенной к единице длины цилиндрического тела при малых числах Рейнольдса
- Движение растяжимого стержня (вывод уравнений динамики)
- Численное решение нелинейного уравнения движения
Введение к работе
Актуальность темы.
В большинстве задач теоретической физики, как правило, охватывается спектр линейных проблем, для которых разработана масса аналитических методов, позволяющих адекватно описывать самые разнообразные явления. В последнее время на передний план исследований стали выходить чисто нелинейные задачи из различных областей теоретической физики, в том числе и из механики. Именно к последнему типу проблем относится и наша задача, связанная с развитием теории и исследования общих свойств и закономерностей динамики очень неравновесных систем, связанная с построением не гамильтоновой динамики произвольным образом изгибающегося тонкого нерастяжимого стержня типа троса в поле внешних сил. Решаемая в диссертации задача является существенно нелинейной, что и определяет ее актуальность.
Цель работы. При описании динамических изгибов очень гибкого нерастяжимого стержня в реальной диссипативной среде используется метод наименьшего действия, связанный с построением функции Лагранжа. При этом возникает ряд проблем, которые ставят перед нами несколько важных целей:
1. Исследование сильных механических изгибов тонкого стержня с помощью функции Лагранжа и диссипативной функции при учете, как собственной силы тяжести, так и силы сопротивления со стороны вязкого континуума;
2. Вывод и анализ нелинейного уравнения движения и уравнения трансверсальности, описывающих форму стержня с учетом перечисленных сил и уравнение траектории движения его свободного конца.
Научная новизна. В диссертации развита теория и проведено исследование общих закономерностей нелинейной динамики очень неравновесной системы. Благодаря принципу наименьшего действия поставлена и решена чисто теоретическая проблема, связанная с описанием формы изгибающегося под действием внешних сил тонкого стержня. Формально ее решение сводится к выводу общего нелинейного дифференциального уравнения в частных производных, описывающего в общем случае сложную траекторию движения каждого элемента стержня. Показано, что соответствующее нелинейное движение определяет в начальный момент времени его сильный механический изгиб. Эта форма стержня является начальным условием нелинейной задачи и определяется некоторым внешним воздействием, что, в результате, приводит к увеличению его механической энергии [1, 2]. Вся последующая эволюция, связанная с выяснением формы стержня в каждый фиксированный момент времени и в каждой точке плоского двухмерного пространства приводит к естественному затуханию колебаний и установлению равновесного положения, которое представляет собой вертикально висящий стержень с максимальной энтропией и минимальной энергией [3,4]. В подобной постановке задача не решалась и этим она отличается от известных классических работ [5 – 7], что и определяет ее новизну.
Достоверность полученных результатов
Проведенные вычисления указывают на правильный вид уравнений, поскольку в предельных случаях они переходят в классические результаты.
Достоверность полученных результатов обеспечивается также использованием апробированных математических и физических методов, а также возможностью экспериментальной проверки полученных решений.
Практическая ценность работы может быть сформулирована в следующих двух пунктах:
- Разработан метод решения нелинейных задач движения протяженных нежестких объектов в вязких средах, например, в условиях переноса вертолетом различных грузов на гибком стальном тросе, форма которого в зависимости от внешних условий становится совершенно произвольной. Решение этой задачи имеет важное практическое значение также и в условиях космических экспериментов, сопровождающихся выходом космонавтов в открытый космос на страховочном гибком канате.
- Полученные уравнение движения и условие трансверсальности могут быть использованы для решения различных теоретических и прикладных задач, а также для постановки соответствующих экспериментов.
Апробация работы. Основное содержание диссертации было доложено на: международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, вычислительная математика», посвященная памяти А.Ф. Леонтьева (Уфа,2007).XIII Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Москва, 2007). VI Всероссийской конференции молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии» (Новосибирск, 2007). Четвертой Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2007). Второй международной конференции «Деформация и разрушение материалов и нано материалов» (Москва, 2007). Международной конференции «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященной 110 – летию со дня рождения И.Н. Векуа (Новосибирск, 2007). Конференции молодых ученых, посвященной 175-летию со дня рождения Д.В. Менделеева (Самара, 2009); четвертой Международной конференции «Деформация и разрушение материалов и нано материалов» (Москва, 2013).
Публикации. Результаты диссертации отражены в 12 научных публикациях, в число которых входят три публикации из перечня ВАК.
Структура и объем работы. Объем диссертации составляет 137 страниц. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка. Список литературы насчитывает 215 наименований.
Обобщение уравнения Эйлера - Лагранжа
Наиболее распространенным типом уравнений, которые описывают динамику механических систем, но только консервативных, являются уравнения Гамильтониана [24, 89 – 115]. С их помощью можно исследовать поведение любой, в том числе и нелинейной, системы, для которой легко найти соответствующий Гамильтониан . Как известно [24], уравнения Гамильтона выглядят так где - обобщенная координата, а - импульс исследуемой механической системы. Как видно из уравнений (1.19), если первое из них продифференцировать по , а второе – по и сложить, то получим справа ноль, а слева сумму Важность уравнения (1.20) заключается в том, что вид левой части представляет собой дивергенцию от обобщенной скорости с компонентами и равенство (1.21) формально представляет собой уравнение движения несжимаемой жидкости, для которой плотность постоянна. Такое свойство присуще только консервативным системам, для которых фазовый объем сохраняется. Если же речь идет о диссипативных структурах, для которых справа в уравнении (1.21) стоит не нуль, а величина, меньшая нуля, уравнения Гамильтона «не работают»! В качестве примера этого утверждения можно привести две классические системы уравнений. Одна система – это уравнения Реслера [120].
Как видно из приведенных примеров, система Лоренца является чисто диссипативной (не консервативной!), поскольку для нее всегда . Система же Реслера только в случае будет описывать чисто диссипативную структуру. Из приведенных примеров хорошо прослеживается узость уравнений Гамильтона, поскольку подавляющее большинство задач из биофизики, геофизики, технической физики, теоретической физики, математической физики и т. д. представляют собой нелинейные диссипативные задачи [122 – 125], решение которых можно находить только с помощью сложных численных методов расчета. Однако, эта сложность решения с лихвой компенсируется чрезвычайно богатыми результатами и красивыми графическими иллюстрациями, приведенными в упомянутых источниках.
Для вывода основных уравнений теории упругости обычно используется метод вычисления свободной энергии [28] и затем, из условия экстремума соответствующего функционала и следуют эти уравнения. Действительно, если через обозначить вектор смещения внутренних точек среды, то в силу неоднородности материала появляются отличные от нуля частные производные , где индексы . Величина (1.24) называется тензором деформации и, как видно из (1.24) он симметричен по индексам , то есть . Поскольку тензор деформации пропорционален первой производной по координатам, инвариантное выражение для плотности свободной энергии должно содержать только квадраты тензора .
Применяя здесь далее интегрирование по частям благодаря использованию формулы Гаусса – Остроградского, получаем, что Ввиду произвольности отсюда сразу же находим искомое уравнение . Или . (1.29) Если в уравнении (1.29) воспользоваться явным видом тензора деформации (1.24), то найдем отсюда . Группируя здесь подобные, имеем окончательно . (1.30) В векторной форме уравнение (1.30) можно записать как . (1.31) Как правило [28], уравнение (1.31) записывают несколько иначе с учетом связи коэффициентом Ламе с модулем Юнга и коэффициентом Пуассона. В самом деле, так как где модуль Юнга, а коэффициент Пуассона, то из (1.31) имеем . Таким образом, вместо (1.31) будет . (1.32) При условии, что смещение внутренних точек среды может быть переменным во времени, уравнение (1.32) легко модифицировать и на этот случай. В самом деле, если ввести продольную скорость звука , то получаем . (1.33а)
Взяв от обеих частей этого уравнения операцию , получим в силу тождества . (1.33б) Откуда видно, что действительно представляет собой продольную скорость звука. Если теперь от обеих частей уравнения (1.33а) взять операцию , то получим (1.33в) И, таким образом, скорость представляет собой скорость поперечных звуковых волн. Уравнения (1.32) и (1.33) будут использоваться далее по мере надобности в разделе 3.1 третьей Главы . 1.5. Применение феноменологического подхода для составления уравнений движения В этом разделе мы остановимся на весьма важной в современных исследованиях методике вывода уравнений эволюции диссипативной системы, позволяющие нам наметить решение и той важной в методическом смысле задачи, формулировке которой посвящен раздел 2.2 настоящей диссертации. Речь идет о методике получения нелинейных уравнений движения. По большому счету сам по себе подобный подход еще до конца не изучен, а потому довольно часто на Семинарах, Конференциях, Симпозиумах вызывает вполне закономерные споры. Мы изложим сейчас свою точку зрения на этот подход и попробуем сформулировать общие положения, базируясь на которых можно будет решать весьма большой спектр проблем из самых разных областей (биология, механика, теория упругости, химия, генетика, геофизика, астрофизика и т. д.). Существуют, как мы выше убедились, разнообразные методы вывода дифференциальных уравнений. Самый, казалось бы, точный метод получения большинства дифференциальных уравнений состоит в отыскании плотности функции Лагранжа (раздел 1.3), а затем, используя метод наименьшего действия, получить непосредственно нужные уравнения. Мы утверждаем, что общий подход получения различного типа уравнений, напрямую связан с синергетическим принципом, суть которого заключается в том, что при сильном выводе системы из положения равновесия у нее очень сильно возрастает энергия и резко падает энтропия. Последнее может приводить, в частности, к появлению странных аттракторов. Сами же уравнения, описывающие эволюцию некоторой функции , могут быть получены чисто феноменологически.
Таким образом, из рассмотренного примера можно заключить, что феноменологическое уравнение (1.34) является интуитивно правильным, и с его помощью можно решать большое количество задач. Как еще одно дополнительное подтверждение этих слов, можно сослаться на работы [137 – 141], в которых были изучены разнообразные геофизические и чисто физические задачи из различных областей знаний. При этом оказалось возможным корректно описать и сильно неравновесные явления, например, такие, как кристаллизация переохлажденной жидкости. Но вернемся к уравнениям (1.34). Если под подразумевать теперь классическое действие, то с помощью результатов раздела 1.3 и общего уравнения (1.34) найдем следующее диссипативное уравнение (учитывающее трение) .
Если ввести обобщенную скорость , то для дивергенции скорости получим отсюда Таким образом, система уравнений (1.41), а вместе с ней и уравнение (1.40), являются диссипативными, а не консервативными. Утверждение доказано. Из только что сказанного вывод простой – тот подход, который мы рассматриваем в настоящем разделе, является значительно более общим, чем рассмотренные выше (разделы 1.1 – 1.3), но в то же время он не является достаточно строгим, поскольку общее уравнение (1.34) введено чисто феноменологически. Описанный подход позволяет выводить правильные дифференциальные уравнения и в таких сложных физических задачах, когда параметры являются функциями времени.
Вычисление силы сопротивления, отнесенной к единице длины цилиндрического тела при малых числах Рейнольдса
Интерес к выяснению зависимости силы сопротивления твердых тел различной симметричной (относительно или точки, или оси) формы восходит еще ко временам Навье и Стокса. Именно тогда Стокс впервые нашел силу сопротивления, действующую на шарик, обтекаемый вязкой жидкостью с динамической вязкостью и движущийся с постоянной скоростью . Оказалось, что сила сопротивления может быть вычислена как , где радиус шарика. Как видно из этого выражения, в случае ламинарного обтекания ( ), сила сопротивления должна быть пропорциональна скорости потока , а потому, что вполне естественно, уравнение движения принимает линейный вид: , где масса шарика. В более поздних работах Лэмба и Осеена была получена формула, описывающая сопротивление единицы длины цилиндрического тела. . (2.8) Число Рейнольдса, стоящее под знаком логарифма в знаменателе этой формулы, позволяет сделать следующий вывод. Для больших чисел Рейнольдса, когда (и даже при более жестком условии ) движение потока становится турбулентным, а цилиндр начинает двигаться нелинейно, и, если следовать формуле Лэмба – Осеена (2.8), будет иметь место уравнение , (2.9) где линейная плотность цилиндра, его масса, а длина. Глядя на формулу (2.8) возникает вполне закономерный вопрос, а что же будет в случае малых чисел Рейнольдса ( ), когда турбулентных вихрей еще нет, течение чисто ламинарное и формула (2.8) «не работает»? Чтобы ответить на поставленный вопрос, следует вновь вернуться к уравнениям гидродинамики и проделать несложные математические выкладки, но уже в обратном предельном случае, когда . Как бы это удивительно не прозвучало, но решение этой задачи в литературных источниках нам нигде не встретилось. Для ее решения мы запишем полную систему гидродинамических уравнений, состоящих из уравнения Навье – Стокса , (2.10) где давление, плотность жидкости, кинематическая вязкость, и уравнения непрерывности . (2.11)
Будем считать жидкость несжимаемой и положим, что плотность . В результате из уравнения (2.11) получаем . Поскольку в нашей задаче речь идет о двухмерном обтекании цилиндрического тела, то уравнение удобно записать, как , (2.12) где координата направлена вдоль оси симметрии и решение не будет зависеть от координаты , в отличии от случая, когда тела осесимметричны. Как было показано Лэмбом, уравнение (2.10) в стационарном случае, если скорость потока на бесконечности равна , можно записать в виде . (2.13) Направление движения потока выберем вдоль оси . Тогда скорость , где единичный вектор, направленный вдоль оси . Чтобы уравнение (2.12) удовлетворялось автоматически, выберем компоненты скорости в виде (2.14) где введена неизвестная пока функция , которую нам следует определить. Для компонент из уравнения (2.13) имеем , (2.15а) . (2.15б) Если продифференцировать уравнение (2.15а) по , а уравнение (2.15б) по , а затем вычесть одно из другого, то с учетом (2.14) сразу же получается уравнение на искомую функцию : , (2.16) где двухмерный оператор Лапласа. Если уравнение (2.16) обезразмерить, его левая часть окажется пропорциональной числу Рейнольдса , где радиус цилиндра. При относительно больших числах Рейнольдса, когда , будет иметь место случай, рассмотренный Лэмбом и Осееном. При этом следует решить линейное уравнение (2.16). Случай, который рассматривается нами, предполагает ламинарное обтекание цилиндра, что имеет место лишь в случае малых чисел Рейнольдса. В этом случае мы имеем право пренебречь левой частью в уравнении (2.16), и записать приближенное уравнение . (2.17) В полярной системе координат, в которой полярная ось направлена вдоль оси , а полярный угол отсчитывается от нее, связь декартовых координат с полярными будет и уравнение (2.17) дает . (2.18) Наша задача сильно упрощается именно благодаря радиальной симметрии тела. Действительно, в этом случае можно считать, что функция зависит только от радиальной координаты . поэтому после несложного дифференцирования из (2.18) получаем . Для функции это уравнение представляет собой уравнение Эйлера, решение которого есть , где константы интегрирования. Поэтому . Поскольку на бесконечности, то есть при , скорость должна быть конечной и равной , решение следует записать как , (2.19) положив константы равными нулю, а . Знак «минус» в (2.19) выбран из соображений удобства. В полярных координатах и с единичными ортами и из соотношений (2.14) следует, что , (2.20) . (2.21) Константу можно определить из граничного условия на поверхности цилиндра радиуса . . В результате и мы имеем искомое распределение скоростей в ламинарном потоке вблизи цилиндрической поверхности при : (2.22) Для вычисления силы сопротивления удобно воспользоваться общим выражением , (2.23) где по повторяющимся индексам подразумевается суммирование, а динамическая вязкость ( ). Искомая сила сопротивления должна определяться компонентой, а элемент поверхности интегрирования – компонентой. Поэтому и тогда . (2.24) Сила сопротивления, приходящаяся на единицу длины цилиндра с учетом решений (2.22) будет в результате такой . (2.25) Итак, в случае малых скоростей, если поток ламинарный сила сопротивления цилиндра должна определяться формулой (2.25), а для формулами Лэмба и Осеена. В общем случае это должно выглядеть так . (2.26)
К большому сожалению, тот подход, который был только что изложен, не подходит для нашей цели, поскольку решаемая задача является изначально нелинейной. В случае произвольных смещений (не малых) необходимо применить метод, позволяющий адекватно учесть факт больших локальных смещений исследуемого материального объекта. Более того, мы должны принять во внимание силу тяжести и вязкость среды, на «игре» которых и происходит нелинейное стремление стержня к равновесному состоянию, которое, как мы знаем, представляет собой чисто вертикальное положение. При изучении малых колебаний струны, закрепленной с двух сторон всегда рассматривается лишь идеальный случай, когда возможно пренебрежение вязкостью среды (см. монографии [23, 26, 142 – 145]). Это приводит к чисто осциллирующему характеру движения стержня, всевозможные частные случаи которого прекрасно освещены и проанализированы не только в упомянутой литературе, но и во множестве других изданий по данной тематике и в оригинальных статьях. Чисто феноменологическое введение сопротивления в уравнение малых колебаний стержня в виде, пропорциональном скорости смещения ее точек, не является достоверным по той простой причине, что соответствующая сила трения становится сильно неоднородной вдоль линии стержня и ее правильный аналитический вид может быть получен только из принципа наименьшего действия.
Движение растяжимого стержня (вывод уравнений динамики)
Для растяжимого стержня (например, если он резиновый) синергетический метод получения соответствующего уравнения динамики сильно усложняется необходимостью принимать во внимание его внутреннюю деформацию, связанную со свойствами материала. Мы говорили довольно сложен, поскольку при его описании следует учесть внутренние смещения, подчиняющиеся уравнениям теории упругости, в рамках которых величину надо отождествить с вектором смещения внутренних точек стержня . как было показано выше (см. разделы 3.1, 3.2), решение нелинейного уравнения движения даже для нерастяжимого материала полному теоретическому анализу не поддается (необходимо пользоваться методами численного интегрирования). поэтому задача настоящего раздела, тем более будет чрезвычайно сложна в плане аналитического исследования. С этой точки зрения нам кажется, что для лучшего понимания и более наглядного анализа задачи о произвольной деформации растяжимой стержня ее постановку следует несколько упростить. Действительно, рассмотрим случай колебания физического маятника с грузом точечной массы , который подвешен на растяжимом стержне. Подобная задача с точки зрения методики описания такого сложно – составляющего движения представляется нам весьма важной, тем более, что в отличие от разделов 3.1, 3.2 она может быть решена аналитически до конца. Вывод уравнения движения в данном случае легко осуществить, не прибегая к методу наименьшего действия, а воспользовавшись более наглядным подходом [212]. В самом деле, вспомним закон сохранения энергии. Поскольку полная энергия маятника сохраняется, то сумма кинетической и потенциальной энергий есть величина постоянная. Поэтому, если полная энергия, то , (3.77) где кинетическая энергия , (3.78) и согласно рис. 14 мгновенная длина маятника, масса груза, угол отклонения.
Заметим, что если тело не растяжимо, то модуль Юнга стремится к бесконечности, а соответственно стремится к нулю и в итоге из (3.95) получим . Это значит, что единственное физическое решение этого уравнения есть , как и должно быть. Таким образом, решение уравнения (3.95) запишется в виде , (3.97) где и - постоянные интегрирования. Далее. Из уравнения (3.94) тогда получается уравнение на угловую переменную , на которую оказывает сильное влияние «сжимаемость» нити. Действительно . Или, сократив на произведение ,
Вывод из полученного решения (3.106) совершенно прозрачен: для случая растяжимой струны, на которой подвешен некоторый точечный груз с массой , резонанс отсутствует. В самом деле, если частота вынужденных колебаний совпадает с частотой , особенности в знаменателе у первого слагаемого нет.
Для получения уравнения движения массивного стержня, движущегося в вязкой среде, мы воспользуемся уже знакомым нам рисунком 3 с целью более наглядной демонстрации подхода. Пусть линейная плотность стержня есть , тогда кинетическая энергия колебательного движения будет Здесь мы учли, что единственная отличная от нуля компонента тензора инерции есть , где ось направлена перпендикулярно плоскости рисунка 3, а угловая частота . Кроме того, мы предположили, что распределение плотности по стержню равномерное, что позволило сразу же вычислить интеграл. Расстояние отсчитываем от точки крепления стержня.
Таким образом, кинетическая энергия . (3.107) Что касается потенциальной энергии, то ее вычисление совершенно элементарно. Действительно, для нее , (3.108) где постоянная далее будет опущена, как несущественная. Теперь главное. Переходим к вычислению силы сопротивления, действующей на стержень со стороны вязкой среды. Пусть частота колебаний стержня . Поскольку стержень совершает колебательные движения, то в пристеночном слое (который, собственно, и определяет силу трения), распределение скоростей вдоль мгновенной оси , направленной перпендикулярно оси стержня, определяется как (см. [29]) , (3.109) где кинематическая вязкость среды, а скорость на поверхности стержня, то есть, при . Заметим здесь, что решение (3.93) в [29] было найдено для колеблющихся плоскостей. Мы, тем не менее, имеем право применить формулу (3.109) и в нашем случае, когда речь идет о массивном стержне, но при условии, что частота колебания стержня относительно велика. Ввиду этого, каждый элемент поверхности стержня может трактоваться как плоскость с координатами . Действительно, даже при относительно малых частотах характерные расстояния будут порядка миллиметра, а это и значит, что при , каждый элемент поверхности стержня может считаться плоским. Что мы и предполагаем.
Численное решение нелинейного уравнения движения
С помощью программы Maple 12 нам удалось найти решение нелинейного уравнения динамики тонкого стержня в вязкой среде, полученного в третьей Главе диссертации. Начальное условие было выбрано в виде , а граничные условия – в виде , . Уравнение (3.21) при упрощающем предположении . предварительно было обезразмерено, и для упрощения численного счета мы представили его как , где безразмерные постоянные есть , . Безразмерное время . Первые 10 приведенных ниже рисунков иллюстрируют динамику стержня в случаях, когда (нижняя линия) и (верхняя линия). Случай отвечает условию отсутствия диссипации (вязкость равна нулю). Во всех нижеследующих рисунках по оси ординат откладывается смещение , а ось абсцисс представляет собой направление силы тяжести. Как видно из графиков, представленных рисунками 15 – 24, видно сильное влияние слагаемого, связанного с учетом диссипативных свойств континуума.
Для систем, у которых сохраняется полный момент – обязательным условием является изотропность пространства (см. работы [206, 207]). Однако, во всех случаях вывод соответствующих уравнений динамики связан с нахождением экстремума некоторого (уже знакомого) функционала . Проблема, таким образом, заключается в нахождении пространственно – временной зависимости , где физическое свойство исследуемой системы, которое требуется описать математически (заметим, что может быть и векторной величиной, хотя в этом случае теоретический анализ сильно усложняется). При этом очень важным условием корректности получаемых подобным методом уравнений, служит условие того, какой тип экстремума характерен для данного функционала. Например, если речь идет о гамильтониане, то уравнение на экстремали, после его соответствующего решения и подстановки полученных решений в исходный гамильтониан, должны дать минимум функции Гамильтона ( ), Это условие служит правилом отбора только для тех решений, которые удовлетворяют данному требованию. Остальные должны быть отброшены. Но если речь идет, скажем, об энтропии, то экстремали уравнения, описывающего экстремум энтропии , должны привести к условию максимума в состоянии равновесия . Тем не менее, в любом физическом, биологическом, химическом и др. случаях предварительная проверка корректности уравнений, должна основываться на вычислении функции Вейерштрасса , изменение которой и указывает на характер экстремума. Если , то это будет минимум функционала, а, если это будет максимум функционала системы. об этом, почему – то, очень часто забывается. нам не попалась на глаза ни одна монография или оригинальная статья, где бы внятно говорилось о соответствующих вычислениях с проведением всех строгих математических выкладок. В любом случае, выводимые подобным методом нелинейные дифференциальные уравнения (или системы уравнений) представляют собой синергетический метод в исследовании поставленной проблемы и неважно, есть ли у системы медленно меняющийся параметр или нет его; решение уравнений должно обеспечить правильный (в изложенном выше смысле) экстремум функционала, а, значит, и верно описать поведение всей системы в целом даже вдали от точек равновесия, в которые, кстати, она может и не попасть вовсе. Все это в целом – синергетический подход, описывающий динамическую самоорганизацию какой – либо конкретной физической (или иной) системы. 1. Найдено феноменологическое выражение для силы сопротивления, действующей на единицу длины тонкого гибкого стержня, закрепленного на одном конце; 2. Получено нелинейное уравнение движения и условие трансверсальности свободного конца стержня с учетом вязкой силы и силы тяжести; 3. Проанализировано решение уравнения движения в некоторых частных случаях, и в предельном переходе доказано его соответствие линейному уравнению малых колебаний тяжелой нити; 4. Установлено вполне удовлетворительное согласие аналитического и численного решений полученного уравнения.
