Содержание к диссертации
Введение
I. Инерционные накопители энергии из композитных материалов 7
1.1. Конструктивные особенности композитных маховиков, методы их расчета и проектирования 7
1.2. Оболочки из композитных материалов как накопители энергии. Постановка задачи 18
Основные соотношения теории оптимального армирования вращающихся композитных оболочек 22
2.1. Уравнения безмоментной теории вращающихся композитных оболочек 22
2.2. Условия оптимальности структуры композита 35
Равнонапряженные композитные оболочки вращения 42
3.1. Оболочки, образованные из однонаправленной ленты . 42
3.2. Оболочки, образованные из ортотропной ленты 77
ІУ. Вращащиеся композитные оболочки с заданной траекторией армирования 85
4.1. Оболочки, образованные из однонаправленной ленты намоткой по геодезическим линиям 85
4.2. Оболочки, образованные из ортотропной ленты, уложенной по меридианам 104
V. Энергоемкость вращающихся композитных оболочек и некоторые способы ее увеличения
5.1. Характеристики энергоемкости вращающихся композитных оболочек
5.2. Композитные оболочки вращения с распределенной по экватору массой 127
5.3. Композитные оболочки, заполненные балластом . 157
Заключение 176
Литература
- Оболочки из композитных материалов как накопители энергии. Постановка задачи
- Условия оптимальности структуры композита
- Оболочки, образованные из ортотропной ленты
- Оболочки, образованные из ортотропной ленты, уложенной по меридианам
Введение к работе
В основных направлениях экономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года в качестве одной из задач развития науки и ускорения научно-технического прогресса ставится разработка и внедрение высокоэффективных методов повышения свойств конструкционных материалов и увеличение их производства. Одним из путей реализации поставленных задач является дальнейшее интенсивное создание новых композитных материалов и изделий из них.
Композитные материалы представляют собой комбинации из некоторых отличных друг от друга по свойствам компонентов, работающих как единое целое. Рациональное сочетание изотропного связующего с армирующими элементами в виде тонких волокон, нитей или ткани привело к созданию высокоэффективных композитов. Все возрастающий объем применения таких материалов в авиационной, судостроительной, химической и машиностроительной промышленности обусловливается их высокой удельной прочностью и жесткостью, радиотехническими, электроизоляционными и другими свойствами. Наибольшей жесткостью и прочностью обладают волокнистые и слоистые материалы, состоящие из жестких армирующих элементов (борные, углеродные, стеклянные, органические волокна и ткани) и полимерной матрицы (эпоксидные, полиэфирные, фенолформальдегидные и другие связующие). Армирующие элементы образуют силовую несущую основу и придают конструкции нужные механические свойства. Связующее обеспечивает совместную работу армирующих элементов и равномерно распределяет по ним силовую нагрузку. Тип арматуры и матрицы зависит от комплекса требований, предъявляемых к свойствам композиции.
Одна из перспективных форм применения композитных материалов в несущих конструкциях связана с созданием инерционных накопителей
- 5 -энергии - маховиков. Высокая удельная прочность и жесткость армированных материалов позволяют ожидать существенного повышения энергетических характеристик по отношению к маховикам, изготовленным из традиционных конструкционных материалов. В настоящее время выявилась техническая осуществимость эффективного использования композитов в различных целях, в частности, в таких конструкциях, как быстро вращающиеся части энергетических установок, элементы двигателей, накопителей энергии, компрессоров, генераторов и др.
Традиционной формой маховиков из однородных материалов является диск или кольцо, соединенное с валом. Применительно к композитным материалам, имеющим целый ряд особенностей, эти формы не обладают технологическими достоинствами, свойственными металлическим конструкциям, и далеко не всегда позволяют полностью использовать высокие механические характеристики композитов. Одной из наиболее распространенных и отработанных к настоящему времени конструктивных форм композитных элементов является оболочка вращения. Наличие совершенных методов производства таких элементов, которые изготавливаются обычно намоткой или выкладкой с последующим прессованием, определяет высокоэффективное применение в них композитных материалов. Равнопрочные оболочки вращения являются в настоящее время самыми совершенными в весовом отношении элементам, в которых применяются эти материалы, и имеют все предпосылки для использования в качестве инерционных накопителей энергии.
Одной из основных проблем, от успешного решения которой зависит эффективность маховиков и других вращающихся элементов в форме композитных оболочек, является определение оптимальной по энергоемкости или по другим критериям формы оболочки и структуры материала.
Настоящая работа посвящена оптимальному армированию безмо-ментных композитных оболочек вращения, находящихся в поле
центробежных сил. Она содержит анализ рациональных конструктивных форм и траекторий армирования таких оболочек, а также оценку их энергоемкости, как элементов инерционных накопителей энергии.
Научным консультантом по работе являлся доцент, кандидат технических наук Г.Г.Портнов.
Оболочки из композитных материалов как накопители энергии. Постановка задачи
Как следует из изложенного выше, высокая прочность композитов, армированных волокнами, при растяжении в направлении армирования в сочетании с малой плотностью обусловливает перспективность применения этих материалов для изготовления инерционных накопителей энергии - маховиков. Наиболее полно достоинства композитов проявляются в так называемых ободковых маховиках, представляющих собой относительно тонкие кольца, изготовленные окружной намоткой I 29] . Однако, такие маховики, обладая высокой удельной массовой энергоемкостью, имеют ряд недостатков. К ним относится низкая объемная энергоемкость и сложность соединения тонкого обода с валом. Поискам путей преодоления этих трудностей посвящен целый ряд работ проходивших в США трех симпозиумов по технологии изготовления маховиков в 1975, 1977 и 1980 годах. Основные усилия направлены на увеличение толщины обода в сочетании с мерами, предотвращающими преждевременное расслоение его от радиальных напряжений. Однако, все предлагаемые меры связаны с неполным использованием прочности армирующих волокон. Представляет интерес оценка возможностей принципиально другого подхода - проектирование маховиков в виде композитных оболочек вращения со схемами армирования, обеспечивающими либо отсутствие напряжений, поперечных армированию, либо несущественное влияние растрескивания связующего на несущую способность маховика.
В настоящей работе рассматривается задача оптимального проектирования маховика в виде безмоментной оболочки вращения, образованной намоткой или выкладкой ортотропных армированных лент. Ранее в такой постановке были исследованы равновесные формы вращающихся нитей и дисков.
Равнонапряженный диск,армированный волокнами,рассмотрен в работе Кайзера _ 5 J . В рамках нитяной модели композита (т.е. без учета несущей способности связующего) им получены траектории армирования, обеспечивающие равнонапряженность волокон и исследованы сплошные диски и диски с отверстием. Исследованы возможные траектории, обеспечивающие равнонапряженность волокон при различных диапазонах изменения частоты вращения.
Результаты Кайзера по равнонапряженным дискам были обобщены в работе I 24 J на случай ортотропной ленты.
Диски, армированные волокнами по прямолинейным траекториям, предложены и исследованы в работе 32, I
Равновесные формы резино-кордных оболочек при специальном законе армирования, определяемом технологией изготовления шин, рассмотрены в работах
В последнее время был выполнен ряд исследований I 30 J р I 31 J , посвященных оптимальным конструктивным формам и " технологически реализуемым траекториям армирования вращающихся композитных оболочек.
Основной работой, наиболее близко примыкающей к рассматриваемой задаче и предшествовавшей настоящей диссертации, является статьгяТШэрча и Бёргграфа [33 1 В которой исследовались оптимальные траектории армирования и равновесные формы оболочек вращения, образованных из волокон. При этом авторы исходили из уравнений равновесия изолированной вращающейся нити. В результате напряжения в волокнах оказываются переменными по длине.
В настоящей работе армированные оболочки вращения описываются уравнениями безмоментной теории, приведенными в главе 2. Эти уравнения учитывают взаимодействие между симметрично армированными слоями, что позволяет получить результаты, качественно отличающиеся от решения Шэрча и Бёргграфа и построить равнонапряженные системы волокон. В общем случае используется ортотропная модель материала, согласно которой лента, образующая оболочку, наделяется жесткостями при растяжении вдоль и поперек волокон и сдвиге. Для проектирования широко используется также распространенная нитяная модель композита, предполагающая, что нагрузка воспринимается только волокнами.
В следующей главе на основе аппарата теории оптимального управления показано, что максимальной кинетической энергией при постоянстве объема материала обладают равнонапряженные оболочки, армированные по траекториям максимальных главных напряжений. Такие оболочки на основе нитяной и более полной ортотропной модели материала рассматриваются далее в третьей главе. В связи с тем, что траектории армирования равнонапряженных оболочек трудно реализовать методом намотки, наиболее распространенным в настоящее время для изготовления оболочек вращения, в четвертой главе исследуются рациональные конструктивные формы оболочек с траекториями армирования, задаваемыми из технологических соображений. Заключительная пятая глава диссертации содержит анализ энергетических характеристик рассматриваемых оболочек, а также исследование возможности увеличения их абсолютной энергоемкости путем введения балласта,распределенного по экватору или заполняющего внутренний объем оболочки.
Основные результаты работы докладывались на научно-технических конференциях в Московском авиационном технологическом институте им. К.Э. Циолковского ( май, декабрь 1980 г.) и семинаре научного совета АН СССР по механике конструкций из композиционных материалов ( февраль 1982 г.). По материалам диссертации опубликовано 4 научных статьи Г 5 1 [б I 7 I 9 1 .
Условия оптимальности структуры композита
Одной из основных задач, возникающих при проектировании конструкций из композитов, является определение оптимальных структурных параметров, соответствующих полю действующих нагрузок и заданным ограничениям. Для вращающихся оболочек структурными параметрами являются угол армирования т и толщина оболочки тЬ . Толщина оболочки связана с углом армирования условием непрерывности армирования (2.1.33).
В качестве критерия оптимальности принимается условие максимума энергоемкости, т.е. кинетической энергии вращающейся оболочки (2.1.32) при условии постоянства массы или для случая, когда слои образованы из одного материала, объема
Поле действующих нагрузок является известным и для заданной оболочки [т.е. для заданной формы меридиана 2( )1 определяется равенствами (2.1.30) и (2.1.31).
Для постановки задачи оптимального проектирования вращающихся оболочек воспользуемся приемом, описанным в работе [22 , согласно которому отыскивается не множество возможных комбинаций структурных параметров, а оптимальное распределение напряжений в слоях. Искомые структурные параметры, соответствующие найденному напряженному состоянию, определяются далее из уравнений (2.1.16). Таким образом, задача оптимального проектирования в пространстве структурных и силовых параметров разделяется на две - задачу о максимизации энергоемкости вращающейся оболочки при заданном объеме материала в пространстве напряжений и исследование существования решения системы (2.1.16) при ограничениях, накладываемых на параметры структуры материала и оболочки.
Для решения первой задачи воспользуемся методом множителей Лагранжа, основанным на сведении задачи с ограничениями к задаче классического вариационного исчисления.
Помимо ограничения записанного в виде функционала (2.2.1), получим ограничения, накладываемые на варьируемые параметры-напряжения в слоях 6 % б " L .Из равенств (2.1.25) для слоев с углами армирования + () имеем Следовательно, согласно закона Гука Из равенств (2.1.16) при этом следует, что
Несущая способность каждого слоя, а также всей оболочки характеризуется условиями прочности, которые с учетом (2.2.2) запишем в следующем общем виде
Здесь компоненты тензора предельных напряжений. Соответствующим выбором Г можно получать различные частные критерии прочности. В частности, для широко распространенного критерия Ми-зеса-Хилла имеем: где Тул - пределы прочности элементарного слоя при нагружении вдоль и поперек волокон, а также при сдвиге в плоскости слоя. Будучи записан для всего пространства напряжений, критерий (2.2.4) предполагает, что пределы прочности материала при растяжении и сжатии одинаковы. Если пределы прочности при растяжении и сжатии различны, то критерий (2.2.4) имеет различный вид для различных октантов пространства напряжений - в него подставляются соответственно пределы прочности при растяжении или при сжатии. Чтобы ввести под знак функционала с помощью множителя Лагранжа А ограничения (2.2.4), необходимо привести его к нормальному виду с помощью дополнительной переменной V . Принимая 9=2 1 (вид функции Чг определяется (2.2.4)), запишем условие прочности в виде
Поставим теперь задачу о максимуме энергоемкости С при сохранении массы оболочки или объема материала V и выполнении условия прочности (2.2.4). Ввиду того,что в равенства (2.1.32) и (2.2.1) входит неизвестная толщина оболочки выразим ее через действующие усилия. С этой целью сложим первые два равенства (2.2.3) и найдем С целью сведения поставленной задачи к задаче на безусловный экстремум воспользуемся равенствами (2.1.32), (2.2.1), (2.2.5), (2.2.6) и образуем расширенную функцию Лагранжа
Оболочки, образованные из ортотропной ленты
В предыдущем разделе для анализа оболочек вращения, находящихся в поле центробежных сил, была использована нитяная модель композиционного материала. Эта модель обусловлена, как уже отмечалось, тем, что в силу малой прочности однонаправленной ленты при растяжении поперек армирования на начальных этапах нагружения в ней появляются трещины в связующем, параллельные волокнам, и в дальнейшем нагрузка воспринимается только волокнами. Следует отметить, что обсуждаемый эффект, называемый нарушением монолитности композита, по существу связан с различными предельными деформациями материала при растяжении вдоль и поперек волокон. Как следует из результатов, полученных в п. 2.2, оптимальная структура является равнонапряженной, а траектории армирования совпадают с направлениями главных напряжений. Из условия совместной деформации армированных слоев следует, что напряжения вдоль и поперек волокон G и 6 связаны соотношением
Для проведения качественного анализа пренебрежем эффектом Пуассона, положив У іг Воспользуемся наиболее простой первой теорией прочности. Тогда для того, чтобы нарушение монолитности материала происходило одновременно с разрушением волокон (т.е. чтобы выполнялось условие равнопрочности волокон и связующего), необходимо, чтобы одновременно 6 4 - 6",, и 6 2 6 Таким образом, дельные деформации однонаправленного композита при растяжении вдоль и поперек волокон В таблице 3.1 приведены ориентировочные значения с отношения и удельная прочность для современных композитов.
Из таблицы следует, что высокомодульные композиты 3, 4, 5 обладают существенно более близкими значениями сГ/ и z , чем высокопрочные материалы I и 2, и поперечная жесткость этих материалов, не учитываемая нитяной моделью композита, составляет (4 г 9) от продольной. Следует впрочем отметить, что для маховиков наиболее эффективными являются органо- и стеклопластики, обладающие высокой удельной прочностью.
Помимо однонаправленных композитов для изготовления рассматриваемых конструкций могут быть использованы и материалы, армированные тканями, которые обладают соизмеримыми модулями ЬІ9 Ь и не описываются нитяной моделью.
Рассмотрим проектирование вращающихся композитных оболочек, образованных из материала, обладающего жесткостью в двух ортогональных направлениях. Предельные напряжения в материале с оптимальной структурой согласно квадратичному критерию прочности (2.2.4) определяются равенствами (2.2.19)
Это соотношение определяет осевую силу, передающуюся на оболочку от вала. Подставляя (3.2.15) в (3.2.14) запишем окончательное уравнение для образующей равнонапряженной вращающейся оболочки отсюда следует уравнение (3.1.17), соответствующее нитяной модели композита.
Таким образом, траектория армирования и форма меридиана оболочки, образованной из ортотропной ленты определяются уравнениями (3.2.II) и (3.2.17). Эти уравнения определяют равнонапря-женную оболочку не только при предельной, но и при любой частоте вращения СО . Действительно, полагая 6 = Ь LO/OJ , Q = О CoVo)2" » можно заключить, что определяющие оболочку параметры [ и С, не изменяются.
Уравнения (3.2.II), (3.2.17) не удается проинтегрировать аналитически и провести анализ подобный проделанному в п. 3.1 применительно к нитяной системе. Рассмотрим прежде всего случай (f = 3/о . в п. 3.1. при Щ, = /g оболочка вырождалась в равнонапряженный диск со свободным наружным контуром, которого касались волокна (рис. 3.1.3). Таким образом обеспечивалось равенство нулю радиального усилия на контуре при отличных от нуля напряжениях в волокнах. В диске, образованном из ортотропной ленты, направление I, которое имеет общую касательную со свободным контуром, должно выполняться условие 6"2. , т.е. согласно равенству (3.2.2) ft = О . При ft ф 0 и Cf, = % равнонапряженный диск со свободным наружным контуром не может существовать, -что и следует из уравнения (3.2.17).
Рассмотрим теперь общий случай 4 1 /2 Анализ уравнения (3.2.II) показывает, что производная dltyj оІЧ. имеет разрыв при т.е. при и при уменьшении Ъ от 1 угол Ч уменьшается. Таким обра зом, для непрерывности производной необходимо, что бы угол на экваторе т л был меньше угла имеем На рис. 3.2.1 приведены результаты чис-ленного решения уравнения (3.2.II) при /1 0,05 и % =75". Для сравнения там же показано решение (3.1.14), соответствующее lb —0 и —75 . Из графика следует, что при учете реальной жесткости ленты в трансверсальном направлении, т.е. при проектировании по условию сохранения монолитности материала, резко увеличивается радиус вала (до0,6/приа=а05"). llVm/l=OjO и Vf -70 этот радиус возрастает до ОуИ, а при Ґі 0 15" и V/ -S5 - до 0 77 . Такие оболочки, по-видимому, не най-дут применения, и проектирование целесообразно осуществлять без учета трансверсальной жесткости ленты, допуская разрушение связующего .
Оболочки, образованные из ортотропной ленты, уложенной по меридианам
Помимо удельных характеристик большое значение имеет абсолютная энергоемкость маховика. При ограниченных габаритах и свойствах материала она может быть повышена за счет соответствующего перераспределения массы. Наиболее рациональным в этом отношении является масса, распределенная по кольцу с максимально возможным радиусом. В связи с этим представляется целесообразным рассмотреть задачу о вращающейся композитной оболочке с массой, распределенной по экватору. Будем считать, что дополнительное кольцо изготовлено из материала с высокой плотностью и податливостью и не воспринимает нагрузки. Его соединение с валом осуществляется посредством несущей композитной оболочки вращения, рассмотренной в предшествующих разделах (рис. 5.2.1).
Уравнения равновесия оболочки в рамках нитяной модели определяются по-прежнему соотношениями (3.1.9), (3.1.10). Рассмотрим равнонапряженные оболочки, для которых справедливы преобразования, проведенные в п. 3.1, и равенства (3.1.14), (3.1.15), т.е. армирования и толщина на экваторе. Таким образом, при введении экваториальной массы траектория армирования равнонапряженной оболочки (5.2.1) не изменяется. В п.3.1 постоянная определялась из условия вертикальности касательной при .В данном случае оно должно быть заменено условием равновесия элемента экваториальной массы (рис. 5.2.1)
Из (5.2.19) следует, что введение дополнительной массы снижает допустимую скорость вращения.
С помощью равенства (5.2.14) и соотношений (3.1.39) можно установить, что траекториями армирования диска будут окружности, определяемые уравнением Окружности проходят через центр диска и при уменьшении Чг .J их радиус увеличивается. Для диска без дополнительной массы они показаны на рис. 3.1.3.
При уравнение (5.2.15) определяет образующие замкнутых равнонапряженных оболочек с экваториальной-массой. Для они показаны нарис. 5.2.3. Уравнение (5.2.15) может быть преобразовано с помощью соотношения (5.2.8). Учитывая, что в рассматриваемом случае
При ддд диска (5.2.22) совпадает с (5.2.17). Зависимости (Йг) при различных значениях параметра и показаны на рис. 5.2.2 (кривые 2, 3, 4). При малых В (до 0,2) кривые (Пг) практически совпадают с кривой I (рис. 5.2.2), соответствующей диску.
Равенство (5.2.15) с учетом (5.2.22) принимает вид Согласно (5.2.23) образующая рассматриваемой оболочки зависит от двух параметров т т, и /71 , причем им, Значение соответствует диску. Для оболочки
Причем ЧЄМ бОЛЬШе Ч\f ОТЛИЧаеТСЯ ОТ тем больше размер оболочки по оси и тем меньше согласно (5.2.21) 0 . Зависимость !&(і=0) по Ч ІГЇЬ яри различных значениях/71 представлена на рис. 5.2.4.
