Содержание к диссертации
Введение
2. Обзор литературы
2.1. Основные конструкции металлических и металлоэластичных колёс, применяемых в современной технике 7
2.2. Обзор методов расчёта и проектирования металлических и металлоэластичных колёс 19
2.2.1. Методы расчёта жёстких металлических колёс 22
2.2.2. Методы расчёта металлоэластичных колёс 24
3. Исходные соотношения для расчёта упругих геометрически нелинейных стержневых конструкций 27
3.1. Соотношения, используемые в пространственной задаче 27
3.2. Соотношения при плоском изгибе 35
3.3. Особенности уравнений, описывающих многосвязные статически неопределимые системы 38
3.4. Модели для описания контактного взаимодействия 43
4. Методика расчёта упругих многосвязных геометрически нелинейных статически неопределимых стержневых конструкций с позиций многопараметрического анализа 46
4.1. Исследование процессов нелинейного деформирования методами продолжения решения по параметру 47
4.2. Алгоритм численного анализа 55
4.3. Программная реализация алгоритма численного анализа. Описание прикладной программы 57
5. Проверка эффективности разработанного программного обеспечения и достоверности получаемых с его помощью данных 64
5.1. Сопоставление результатов расчёта с решениями, полученными другими авторами
5.2. Сопоставление с результатами расчётов современных программных конечноэлементных комплексов 69
5.3. Экспериментальное исследование жесткостных характеристик металлоупругих колёс, сопоставление полученных данных с результатами численного анализа 73
6. Расчёт гибких металлоупругих колёс существующих и перспективных конструкций 80
6.1. Радиальная жесткостная характеристика 82
6.1.1. Форма радиальной жесткостной характеристики и её зависимость от типа контакта 83
6.1.2. Влияние различных конструктивных параметров на радиальную жёсткость колеса 85
6.2. Взаимодействие колеса с грунтом 90
6.2.1. Жёсткая опорная поверхность 91
6.2.2. Винклеровское основание 95
6.2.3. Качение по жёсткой опорной поверхности 95
6.2.4. Выводы
6.3. Исследование сдвиговой жёсткости металлоупругого колеса 101
6.4. Расчёт перспективных конструкций металлоупругих колёс
7. Основные выводы 108
8. Список литературы 1
- Обзор методов расчёта и проектирования металлических и металлоэластичных колёс
- Соотношения при плоском изгибе
- Алгоритм численного анализа
- Экспериментальное исследование жесткостных характеристик металлоупругих колёс, сопоставление полученных данных с результатами численного анализа
Обзор методов расчёта и проектирования металлических и металлоэластичных колёс
Металлоэластичные колёса являются гибкими тонкостенными нелинейно-деформируемыми конструкциями. Впервые исследования процессов деформирования гибких деталей были проведены Л. Эйлером [90]. В своей работе, опубликованной в 1744 году, он изложил аналитическое решение задачи о плоском изгибе и потере устойчивости тонкого несжимаемого стержня.
Методы практических расчётов, относящиеся к случаю идеального продольного изгиба были разработаны в первой половине нашего столетия. Теоретическая и инженерная проработка вопросов, связанных с исследованием гибких тонкостенных элементов конкретных конструкций дана в трудах К.Бицено, А.С.Вольмира, Т.Кармана, А.Н.Крылова, К.Маргерра, С.П.Тимошенко, А.Фёппля [34, 35, 64, 91, 103, 104, 114]. Однако попытки исследований задач для произвольной нагрузки наталкивались на ряд трудностей как принципиального, так и вычислительного характера. Отсутствие метода решения широкого круга задач расчёта гибких стержневых элементов представляло определённые трудности для инженерной практики, поскольку ни в одном из расчётных руководств и справочников не излагались методы расчёта гибких деталей при больших упругих перемещениях.
Эффективные численные и графоаналитические приёмы расчёта гибких стержневых систем при плоском изгибе впервые были предложены в работах Е.П.Попова. В 1947 году в монографии [83] дано обобщение проблемы исследования плоского изгиба гибких нерастяжимых стержней, принадлежащих к так называемому «основному» классу, а также изложены практические методы решения разнообразных инженерных задач о деформировании стержней в области больших перемещений. В работах [82, 83, 84] Попов рассматривает только стержни основного класса. Также в этих работах недостаточное внимание уделено анализу влияния основных геометрических параметров гибких криволинейных стержней на их упругие характеристики.
Проблемы расчёта гибких тонкостенных конструкций и методы их решения отражены в трудах Л.И.Балабуха, В.Л.Бидермана, В.З.Власова, А.Л.Гольденвейзера, Л.Доннела, В.Койтера, А.И.Лурье, Х.М.Муштари, В.В.Новожилова, С.Д.Пономарёва, Э.Рейснера, В.И.Феодосьева и других учёных [32, 41, 50, 66, 67, 70, 71, 81, 98, 146, 147, 148]. Различные теоретические аспекты и практические приёмы расчётов упругих элементов исследованы в работах Э.Л.Аксельрада, Н.А.Алфутова, Л.Е.Андреевой, Н.В.Валишвили, А.А.Илюхина, М.С.Корнишина, В.А.Крысько, В.В.Петрова, Л.А.Шаповалова и других [25, 26, 38, 39, 62, 65, 80, 99].
Новые возможности для решения задач нелинейного деформирования были предоставлены исследователям в связи с внедрением в расчётную практику современных персональных ЭВМ. Появилась возможность отказаться от различных упрощений и точно решить практические задачи. Различные численные модели и алгоритмы исследования гибких стержневых конструкций представлены в работах С.С.Гаврюшина, Э.И.Григолюка, Я.М.Григоренко, В.И.Гуляева, Е.А.Лопаницина, В.И.Мяченкова, О.С.Нарайкина, В.А.Светлицкого, В.И.Усюкина, В.И.Шалашилина и других [42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 59, 72, 87, 88, 97, 100, 101, 105, 106, 108, ПО, 111,112, 113,115, 117, 149].
Для расчёта и проектирования металлических и металлоэластичных (металлоупругих) колёс до настоящего времени применялись, как правило, аналитические модели. В ряде из них [63, 79] металлоэластичное колесо рассматривается, как жёсткий цилиндр. Очевидно, что интерес при этом представляет лишь описание взаимодействия цилиндра с грунтом. Для описания свойств грунта используются известные решения теории пластичности. Модели металлоупругого (металлоэластичного) колеса сложнее: в этом случае колесо и грунт взаимно влияют друг на друга и задача резко усложняется. Как в случае жёсткого металлического, так и в случае металлоэластичного колеса расчётные модели используют ряд допущений и предположений, с их помощью удаётся получить лишь приблизительные значения сил и моментов, действующих на движитель, и качественную оценку деформативности движителя под воздействием этих сил и моментов. Реальные уточнённые значения прочностных, жесткостных и тяговых характеристик колёс с конкретными параметрами определяются, как правило, по результатам эксперимента. Таким образом, эксперимент является не заключительной, а промежуточной стадией проектирования. Представление об эпюре давления металлоупругого колеса на опорную поверхность в ряде работ основывается на предположении о её сходстве с эпюрой давления пневматических колёс.
Для расчётной оценки параметров взаимодействия движителей с грунтом используются специфические методы оценки физико-механических свойств последнего [28, 60, 63, 79, 85]. Основной принцип этих методов состоит в том, что оценка проводится в условиях, воспроизводящих процесс взаимодействия движителя машины с грунтом: рассматривается полупространство грунта в естественном залегании, нагружаемое через некоторую площадку (штамп). Определяются следующие основные зависимости: нормальной нагрузки на штамп от его погружения в грунт; горизонтальной сдвигающей нагрузки от нормального давления на штамп; горизонтальной сдвигающей нагрузки от горизонтального смещения штампа. На основании полученных данных определяются коэффициенты соотношений, описывающих прочностные и жесткостные свойства грунта и его поведение в условиях упругого и пластического деформирования движителем транспортного средства. Каждому типу грунта соответствуют свои формулы. Для описания свойств грунта используются различные зависимости: параболические, гиперболические, линейные (при определённых условиях). Наиболее популярны экспоненциальные зависимости.
По своей сущности зависимости эти являются эмпирическими и их близость к реальным процессам достигается лишь в определенных интервалах изменения нагрузок и геометрических размеров. Следует отметить, что на коэффициенты оказывают влияние не только свойства непосредственно грунта, но и условия нагружения, которые в каждом конкретном случае соответствуют некоторому определённому диапазону внешних нагрузок, геометрии опорных элементов, скорости приложения нагрузки и ряду других факторов, связанных с конструктивными и эксплуатационными параметрами машин определённого типа и класса.
Несмотря на эти ограничения, подобный подход к оценке физико-механических свойств грунта для решения рассматриваемого класса задач нашёл широкое применение в теории движения машин. При рассмотрении процесса взаимодействия колеса с грунтом делаются следующие допущения [60, 63, 79]: 1) поверхность грунтового основания ровная и горизонтальная; 2) грунт - однородный материал, состоящий из элементарных частиц; 3) усилия в грунте передаются от поверхности вглубь непрерывно; 4) упругие деформации при колееобразовании не учитываются; 5) грунт деформируется по схеме местного уплотнения, то есть представляет собой совокупность независимых элементов, имеющих инвариантные локальные характеристики сжатия и сдвига; 6) процесс качения (если таковой рассматривается) - установившийся; влияние реологических и динамических факторов пренебрежимо мало.
Соотношения при плоском изгибе
Существует ограниченное число работ, посвященных непосредственно расчёту металлоэластичных колёс. С учетом результатов экспериментальных исследований в [61, 63, 69, 85] была разработана следующая идеализированная модель металлоэластичного колеса (рис. 2.12.): а) Упругий каркас представляет собой радиально-упругую цилиндрическую постель, локальная деформируемость которой подчиняется зависимости: Яг=Сг-бг (2.1) где qr—радиальное давление; 8Г —радиальная деформация; Сг —удельная радиальная жесткость. б) Беговая дорожка представляет собой абсолютно гибкую, плоскую, нерастяжимую ленту, свободную от грунтозацепов и имеющую коэффициент трения по грунту, превышающий коэффициент внутреннего трения его слоев. Схема взаимодействия металлоупругого колеса с грунтом. в) Предполагается, что радиальные сечения каркаса при контакте с грунтом не испытывают тангенциальных смещений. В рамках принятых моделей радиально-упругого цилиндрического колеса и абсолютно неупругого грунта поверхность контакта должна состоять из двух зон: криволинейной AiA0, представляющей собой область уплотнения грунта, и плоской зоны разгрузки А0А2. Причём точка А0, лежащая на границе между двумя этими зонами, должна находиться на вертикальной оси, проходящей через ось колеса О .
Воздействие колеса в зоне AiA0 сводится к уплотнению и сдвигу грунта по цилиндрической поверхности, давление на грунт в плоской зоне А0А2 определяется текущим значением радиальной деформации 8Г «элементарных пружин» каркаса. Уплотнённый грунт воспринимает это давление, как твёрдое основание.
Результатом использования расчётной модели при известных значениях параметров грунта (Сг, n, tgcpr, с, XTS), колеса (Cr, r0, Ьк) и вертикальной нагрузки Pz является построение тяговых характеристик fw = f(kT); fM = f{kT) и s = f(kT). Здесь: fw - удельные потери энергии; кт =RX/RZ - удельная свободная тяга; fM =Mf/(Rz -rQ) - коэффициент сопротивления качению; s = (r0 -rK)/r0 — коэффициент буксования; Mf - момент сопротивления качению, обусловленный необратимыми деформациями грунта; гК - радиус качения колеса (расстояние О А0); Rx Rz- проекции на соответствующие оси главного вектора сил, с которыми грунт воздействует на колесо; с, срг, Яет - эмпирически определяемые параметры грунта: сцепление угол внутреннего трения и постоянная сдвига; Ьк - ширина беговой дорожки (обода) колеса.
В соответствии с принятой математической моделью последовательность расчёта должна быть следующая: 1. Задаются расчётные значения параметров грунта и колеса, а также вертикальной нагрузки и коэффициента буксования. 2. Для заданных параметров численными методами на ЭВМ относительно неизвестных параметров равновесного контакта аь и z0 решается система интегральных уравнений, в которую входят уравнения статического равновесия сил упругости каркаса и реакций грунта. Предполагается, что в зоне AiA0 геометрия контакта в плоскости Oxz изменяется по экспоненциальной зависимости. 3. Для каждой группы найденных параметров равновесного контакта (аь z0), соответствующих заданному коэффициенту буксования определяются реакция грунта Rx, коэффициент свободной тяги кт, момент сопротивления качению MfH критерии/ / и/и,-. Расчет повторяется для ряда значений s. 4. По результатам расчета строятся искомые тяговые характеристики металлоупругого колеса с заданными жёсткостью и геометрическими размерами на конкретном грунтовом основании при фиксированной вертикальной нагрузке. Расчёт может быть проведен для ряда нагрузок. Варьирование параметров грунта и колеса дает возможность, с одной стороны, оценить влияние конструктивных параметров колеса на его тяговые качества и потери энергии при качении в заданных грунтовых условиях и, с другой стороны, позволяет прогнозировать тяговые характеристики образцов металлоупругих колес в вероятном спектре грунтовых условий.
Описанные методики предварительного расчёта хорошо отработаны и применимы к различным режимам эксплуатации, однако их расчётные модели не учитывают конструктивных особенностей упругих элементов колёс, само же металлоэластичное колесо рассматривается как линейно упругая конструкция, что при значительных деформациях такого движителя может привести к существенным погрешностям расчёта. В связи с этим результаты, полученные при использовании таких методик могут описать поведение металлоэластичного колеса только качественно. В настоящее время существует необходимость создания численной методики, позволяющей не только произвести предварительный расчёт с достаточной точностью, но и приступить к решению задач рационального проектирования металлоупругих колёс с заданными характеристиками [68].
Алгоритм численного анализа
Вектор состояния в текущей точке сегмента (и, в частности, вектор состояния в конечной точке сегмента) вычисляется, путём интегрирования зависимости (3.14) по дуговой координате s при использовании вектора 0 в качестве начального условия.
Описанная выше модель упругого стержня применяется в процессе расчёта случаев нелинейного деформирования многосвязных конструкций. Описание численного алгоритма изложено на упрощённой модели многосвязной стержневой конструкции (рис. 3.7.), состоящей из 4- элементов. Рис. 3.7. Упрощённая модель плоской многосвязной стержневой конструкции.
Условие совместности перемещений стержневой конструкции, а также равновесие всех её элементов обеспечивается выполнением условий внешнего закрепления и условий стыковки сегментов в узлах расчётной модели. Для модели, представленной на рис. 3.8. эти условия выражаются следующими уравнениями:
Верхний индекс в этих уравнениях означает номер сегмента. Х\, Х3, Yj, Y3, Y5, 92 и #з известны заранее. Для одной и той же конструкции уравнения справедливы вне зависимости от величины нагрузки (Р и М) и размера прогибов. Введём в рассмотрение вектор невязок системы, компоненты которого принимают в случае приближённого решения равными отличным от нуля значениям правых частей уравнений (3.16)-ь(3.20):
Понятие «операторное уравнение» подразумевает, что известна последовательность действий, в результате которой, задав значение аргумента (в данном случае вектора X) можно определить значение функции (вектора 7).
Задача поиска равновесного состояния конструкции при заданном значении нагрузки является нелинейной многоточечной краевой задачей, граничными условиями которой служат (3.16)-=-(3.20). Процесс решения такой задачи строится, как задача отыскания решения операторного уравнения (3.22): F(X,Q) = 0 (3.23) Для решения уравнения (3.23) целесообразно использовать подход, получивший название метода дискретного продолжения решения по параметру [39, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 50, 53, 54, 109, 141, 142, 143, 144]. Описание метода приведено в главе 4 диссертации. Приведенные в настоящей главе уравнения служат исходными соотношениями для описания нелинейного деформирования гибких колёс.
Процесс нагружения металлоупругого колеса при численном счёте удобно реализовать кинематически, путём смещения (поворота) ступицы. Для описания контактного взаимодействия упругой многосвязной стержневой конструкции с некоторой, произвольной формы опорной поверхностью используются несколько моделей:
Непосредственный контакт обода колеса с упругой опорной поверхностью (назовём эту ситуацию «континуальным» контактом) моделируется следующим образом: предварительно задаётся условная зависимость между удалённостью h точек сегментов обода от уровня опорной поверхности и интенсивностью распределённой нагрузки qv, действующей в этих точках: qv=c-h (рис. 3.9.). Условие моделирования горизонтальном направлении. Уровень винклеровского основания.
Моделирование взаимодействия металлоупругого колеса с винклеровским основанием (к - коэффициент постели. Коэффициент с также является функцией аргумента h и в случае винклеровского основания равен: Здесь к - коэффициент постели винклеровского основания. При анализе зависимость (3.24) заменялась приближёнными зависимостями (кубическим сплайном), обеспечивающим требуемую для численного счёта гладкость (рис. 3.9.). Ограничения на смещение точек обода в горизонтальном направлении отсутствовали, фиксировался только нижний центральный узел (рис. 3.9.). Абсолютно жёсткая поверхность рассматривается, как винклеровское основание высокой жёсткости. 2) При взаимодействии колеса с жёсткой опорной поверхностью возможен другой тип контакта (назовём его «дискретным»), реализующийся в случае присутствия на ободе жёстких грунтозацепов (рис. 1.1.). При этом пятно контакта, как таковое отсутствует, воздействие колеса на опорную поверхность осуществляется посредством конечного числа грунтозацепов, контактирующих в текущий момент с опорной поверхностью (рис. 3.10.). 1=1 - сила сопротивления смещению ступицы; п - количество грунтозацепов, контактирующих с основанием; Грунтозацепы Схематичное изображение дискретного контакта металлоупругого колеса с основанием.
На металлоупругие колёса модели «ММ» грунтозацепы навариваются в местах соединения обода и спиц (см. рис. 1.1.). Участкам крепления грунтозацепов на ободе соответствуют узлы расчётной модели (рис.3.3., рис. 4.5.). Исходя из этого, контактная задача реализуется наложением запрета на перемещения узлов обода, достигших уровня жёсткой опорной поверхности (рис. 3.11.).
Экспериментальное исследование жесткостных характеристик металлоупругих колёс, сопоставление полученных данных с результатами численного анализа
Величина SX, выбирается, как часть приращения компоненты X} на предыдущем шаге. Оценка точности решения проводится по вычисленной норме вектора невязки \\г . Для заданной малой величины критерий оценки сходимости на k-той итерации n-го шага имеет вид:
Величина шага по параметру в процессе счёта выбирается автоматически. На стадии «корректор» назначаются минимальное (Nmin), среднее (Nmed) и максимальное ( Nmax ) число итераций (4, 8 и 12 соответственно). При выполнении условия (4.15) за число итераций меньшее либо равное Nmin размер дальнейших шагов по параметру увеличивается вдвое по сравнению с шагом, только что сделанным; при выполнении условия (4.15) за число итераций меньшее, либо равное Nmed размер последующих шагов по параметру остаётся прежним; при выполнении условия (4.15) за число итераций меньшее либо равное Nmax размер дальнейших шагов по параметру уменьшается вдвое по сравнению с шагом, только что сделанным; невыполнение условия (4.15) после Nmax итераций влечёт за собой прекращение итерационного процесса и повторение операций «предиктор-корректор» с шагом по параметру, уменьшенным вдвое. 4.2. Алгоритм численного анализа.
Металлоэластичное колесо рассматривается, как плоская статически неопределимая многосвязная упругая конструкция, состоящая из набора гибких стержней. Для осуществления расчёта в рассмотрение вводится математическая модель колеса, определяются характеристики сегментов модели, производится описание топологии системы. Каждая спица колеса рассматривается, как отдельный сегмент и, кроме того, из последовательности сегментов состоит гибкий обод. Сегменты стыкуются в узлах модели (рис. 4.5.). Нагружение задаётся кинематически - смещением Ах, AY и (или) поворотом АХу ступицы как жёсткого целого.
При проведении расчётов предварительно задаются, геометрия и свойства опорной поверхности, тип контакта колеса с поверхностью (пар. 3.4), последовательность отработки четырёх стадий нагружения: а) взаимный разворот половинок ступицы, так называемое «подкручивание» колеса ( пар. 6.4.); б) вертикальное смещение ступицы AY; в) горизонтальное смещение ступицы Ах; г) поворот ступицы, как жёсткого целого АХу
Выбор параметра продолжения 1 Предсказание решения. } Фиксация значенийпараметров (всех кроме выбранного). 1 Итерационное уточнение. і /Промежуточные/ / результаты / - Все параметры Т тработка \_ L__ выбранного параметра j -— отработаны / Результат / / расчёта. / і j Q КОІ шц ) Рис. 4.6. Блок-схема алгоритма расчёта. Для однопараметрических нелинейных задач расчёт проводится методом продолжения решения по параметру. Сама модель предполагает применение многопараметрического подхода. Многопараметрическая задача решается, как последовательность нелинейных однопараметрических задач (рис. 4.6.) [42, 44, 45, 48, 92, 93, 94, 95]. В работе выделено четыре внешних параметра: вертикальное и горизонтальное кинематическое смещение ступицы, поворот ступицы и угол подкрутки (пар. 6.4.). На каждом шаге по параметру нелинейная многоточечная краевая задача сводится к задаче Коши и векторному нелинейному операторному уравнению (3.23). Уравнение решается пристрелкой по схеме «предиктор-корректор» (пар. 4.1.).
Прикладная программа, реализующая вышеуказанный алгоритм расчёта создана в среде программирования Турбо Паскаль 7.0. Программа предоставляет возможность пользователю моделировать основные режимы работы металлоупругого колеса: осадку на грунт под действием вертикальной силы (веса аппарата), перемещение колеса без вращения под действием горизонтальной силы (волочение испорченного колеса за аппаратом), вращение в грунте под действием крутящего момента (буксование), качение колеса при наличии ведущего момента (ведущий режим), качение под действием горизонтальной силы (ведомый режим, возможно приложение также момента сопротивления качению), а также разнообразные комбинации вышеперечисленных режимов. Расчёт производится в предположении линейно-упругого поведения материала колеса. Экспериментальные исследования подтверждают корректность такого предположения в большом диапазоне рабочих нагрузок: реальное металлоупругое колесо модели «ММ» обладает значительным запасом гибкости и представляет интерес для разработчика только в качестве упругой конструкции. Помимо этого, в процессе расчёта и при просмотре его результатов наглядно отображается картина распределения эквивалентных напряжений, что даёт возможность контролировать напряжённо-деформированное состояние сегментов и предупредить нежелательное появление пластических деформаций.
Пользователь может задать произвольный профиль опорной поверхности (профиль грунта): прямой, волнообразный, гладкий, с изломами. Грунт может быть абсолютно жёстким, линейно упругим (винклеровское основание). Возможны также комбинации вышеперечисленных свойств, например актуальной является задача качения колеса по песчаному грунту с абсолютно жёсткими включениями (валунами).
При моделировании контактного взаимодействия в процессе качения рассматривается упрощённая модель: предполагается отсутствие участков проскальзывания в зоне контакта.
Программа имеет оверлейную структуру, состоит из препроцессора, процессора (решателя), постпроцессора, блока обмена данными с внешними носителями информации. При общении пользователя с программой широко применяются системы различных меню, используются манипулятор «мышь» и (или) специальные клавиши (комбинации клавиш). Интерфейс программы позволяет:
