Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы и методы расчета перфорированных элементов 9
1.1. Теоретические предпосылки исследований напряжений вокруг отверстий 9
1.2. Концепция эффективной жесткости 13
1.3. Теоретические и экспериментальные исследования напряженного состояния перфорированных пластин в середине XX века 16
1.4. Исследования перфорированных оболочек 28
1.5. Работы Григолюка и Фильштинского и зарубежные исследования 36
1.6. Дальнейшее развитие методов исследования. Трехмерная постановка 37
1.7. Современные исследования 40
1.8. Выводы к главе 1 41
Глава 2. Развитие методов расчета, использующих эффективные упругие характеристики 42
2.1. Задачи растяжения-сжатия перфорированных пластин 42
2.2. Задачи изгиба перфорированных пластин и обобщение метода 64
2.3. Выводы к главе 2 68
Глава 3. Задача определения эффективных упругих характеристик в трехмерной постановке 69
3.1. Задачи растяжения-сжатия перфорированных пластин в трехмерной постановке... 69
3.2. Задачи изгиба перфорированных пластин в трехмерной постановке 92
3.3. Сопоставление результатов решения трехмерных задач 96
3.4. Выводы к главе 3 99
Глава 4. Вариационный подход к расчету перфорированных элементов 100
4.1. Вариационно-асимптотический метод и обобщенные функции 100
4.2. Решение задачи Хауленда вариационно-асимптотическим методом 105
4.3. Методы построения аналитических решений для областей конечных размеров 127
4.4. Редукция размерности решаемой задачи 158
4.5. Выводы к главе 4 181
Глава 5. Расчеты перфорированных элементов энергетического оборудования 182
5.1. Расчет коллектора теплоносителя первого контура реакторной установки ВВЭР-1000 182
5.2. Расчет камер парогенератора реакторной установки БН-600 192
5.3. Анализ напряженно-деформированного состояния в трубных досках теплообменных аппаратов при запрессовке теплообменных труб 201
5.4. Выводы к главе 5 229
Заключение 230
Список литературы 236
Приложение
- Теоретические и экспериментальные исследования напряженного состояния перфорированных пластин в середине XX века
- Дальнейшее развитие методов исследования. Трехмерная постановка
- Задачи изгиба перфорированных пластин в трехмерной постановке
- Методы построения аналитических решений для областей конечных размеров
Введение к работе
Актуальность темы. Важной частью энергетического оборудования являются перфорированные элементы, такие как коллекторы теплоносителей, трубные доски теплообменных аппаратов, дырчатые листы сепараторов и т.п. Расчет таких конструкций напрямую (с учетом всех отверстий перфорации в расчетной модели) крайне сложен и не всегда оправдан с точки зрения как вычислительных (машинных), так и трудовых затрат (построение расчетной модели, подготовка исходных данных, анализ и обработка полученных результатов). В то же время, в связи с задачами, стоящими перед современной техникой, крайне важно иметь наиболее полное представление о поведении этих элементов в условиях сложного термомеханического нагружения в целях повышения их надежности и конкурентоспособности, а также снижения материалоемкости и затрат на производство энергетического оборудования.
Острота проблемы обусловлена рядом причин. В октябре 1986 г. на втором блоке Южно-Украинской АЭС был произведен поиск места течи, вызвавшей повышение радиоактивности воды второго контура в парогенераторе № 1. В результате на коллекторе теплоносителя первого контура было обнаружено повреждение в виде трещин в перемычках между отверстиями перфорированной части коллектора. В дальнейшем в период с 1987 по 1991 гт. трещины в коллекторах были обнаружены еще на 24 парогенераторах, работающих в составе реакторных установок (РУ) ВВЭР-1000. Повреждения наблюдались в местах, связанных с геометрической неоднородностью перфорации коллектора (всего 11000 отверстий), по обе стороны вертикальной оси, проходящей через вершину так называемого неперфорированного клина.
Правительственные комиссии, комиссия АН СССР, Межведомственные и ведомственные технические советы пришли к выводу, что повреждение коллекторов парогенераторов ПГВ-1000 вызвано совокупным воздействием напряжений и коррозионной среды на металл коллектора, который проявил склонность к коррозионному растрескиванию под напряжением в диапазоне рабочих температур выходного («холодного») коллектора теплоносителя первого контура парогенератора ПГВ-1000 [243,292]. Но в первую очередь при изучении причин повреждения коллекторов внимание уделялось исследованию напряженно-деформированного состояния (НДС), возникающего в коллекторах при технологических операциях сверления отверстий перфорации и вальцовки теплообменных труб, а также при различных эксплуатационных режимах нагружения. Было проведено тензометрирование реальных коллекторов, моделирование технологического и эксплуатационного нагружений на оптических моделях (ОКБ «Гидропресс», Подольский машиностроительный завод им. Орджоникидзе) и целый ряд расчетных исследований (в ОКБ «Гидропресс», РНЦ КИ, НПО ЦКТИ, ЦНИИ КМ «Прометей», и др.) [167,173,273]. Все исследования НДС свидетельствуют о том, что распределение напряжений в коллекторе имеет чрезвычайно сложный характер, корректно описать которое расчетными моделями удается далеко не всегда.
На АЭС с реакторами под давлением воды (PWR) в США, Европе, Японии применяются в основном парогенераторы вертикального типа с плоской трубной доской. Спустя 4-7 лет после ввода в эксплуатацию таких парогенераторов стали проявляться повреждения, в том числе трубных досок и дистанционирующих решеток. Масштаб повреждений был таков, что в США были созданы национальные программы по поиску причин повреждений и мероприятий по повышению эксплуатационной надежности парогенераторов. На отечественных парогенераторах вертикального типа (в основном реакторных установок на быстрых нейтронах типа БН) повреждения трубных досок отмечались значительно реже.
Расчету НДС коллектора теплоносителя первого контура посвящено много работ, отметим исследования А. А. Тутнова, Ал-дра С. Киселева, Ал-я С. Киселева, В. В. Даничева, (см. например [109, 289]), в которых строились полномасштабные расчетные модели на основе метода конечных элементов и его усовершенствования - метода суперэлементов. Исследования проводились с целью детального изучения напряженного состояния коллектора, прежде всего его перфорированной зоны, в которой наблюдались трещины. Несмотря на огромный объем и высокую квалификацию проделанной работы, информацию о напряженном состоянии в перфорированной зоне, которую дают полномасштабные модели, вряд ли можно считать исчерпывающей. Каждое отверстие перфорации является концентратором напряжений, причем масштаб изменения напряженного состояния вблизи отверстия очень мал. Основное же условие сходимости конечно-элементного решения - размер элемента должен соответствовать масштабу изменения напряженно-деформированного состояния. Для уточнения решения требуется измельчение конечно-элементной сетки, что намного увеличивает объем модели [263]. На современном уровне развития вычислительной техники возможности обычного персонального компьютера пока не позволяют обсчитывать полномасштабные модели, а тем более проверять их на сходимость.
Анализ напряженно-деформированного состояния перфорированной зоны такого коллектора, проведенный на оптических моделях [167], показывает, что конечно-элементная модель, содержащая все 11000 отверстий перфорации и удовлетворительно описывающая НДС возле отдельного отверстия, должна содержать порядка 102 узлов расчетной сетки на каждую перемычку между отверстиями. Соответственно конечно-элементная модель всей перфорирован-ной зоны должна содержать порядка 10 узлов расчетной сетки, и это не считая узлов расчетной сетки для остальных частей коллектора. Такие конечно-элементные модели получаются очень громоздкими и чувствительными к ошибкам машинного округления по нескольким причинам:
- накопление погрешности при определении коэффициентов элементарных матриц жесткости;
- накопление погрешности при определении коэффициентов глобальной матрицы жесткости вследствие значительной разницы размеров конечных элементов для перфорированной и неперфорированной областей расчетной модели и, соответственно, численных значений коэффициентов элементарных матриц жесткости;
- ухудшение обусловленности глобальной матрицы жесткости вследствие неизбежного появления значительного количества элементов с «плохой» или близкой к «плохой» формой;
- накопление погрешности при определении вектора нагрузок;
- накопление погрешности при решении большой системы уравнений;
- и ряд других второстепенных факторов, таких как влияние точности аппроксимации, концентраторов, стыковки различных типов элементов и т.д.
Численные методы, использующие неравномерные сетки, страдают еще одним существенным недостатком - осцилляцией получающегося численного решения, для устранения которой приходится применять аналитическую обработку решения; обычно вопрос о корректности такой обработки не рассматривается. При расчете же больших моделей осцилляции неизбежны. Да и сами такие модели зачастую забирают практически все машинные ресурсы, не оставляя места под другие задачи. Весьма типичной является ситуация когда у расчетчика просто нет свободной дисковой памяти для хранения всех результатов счета даже в архивированном виде. Остается так же открытым вопрос об оценке точности получаемого решения.
В этой связи полуаналитические методы, основанные на замене перфорированной зоны гипотетическим сплошным материалом с эффективными упругими свойствами (характеристиками), не утратили свою актуальность. Традиционный подход, когда эффективные упругие характеристики получают из рассмотрения задачи о напряженном состоянии периодически деформированного упругого слоя хорошо освещен в работах Э. И. Григолюка и Л. А. Филь-штинского [70]. Наряду с оригинальными аналитическими методами существует огромное количество конечно-элементных исследований. Основной недостаток численных методов -необходимость каждый раз переделывать расчетную схему под конкретную задачу. При применении аналитических методов сталкиваются либо с проблемой суммирования бесконечных рядов, либо с проблемой вычисления сингулярных интегралов. Однако при всех недостатках такой подход позволяет намного уменьшить объем расчетной модели, особенно, если применить основанный на рекуррентных формулах быстрый алгоритм расчета [30].
Существует и другой подход, предложенный Ю. М. Коляно, основанный на теории обобщенных функций [119]. Метод позволяет физико-механические характеристики и их комбинации кусочно-однородных тел, геометрию оболочек, пластин, стержней, коэффициент теплоотдачи с поверхности тела описать как единое целое с помощью единичных характеристических функций и получать единые решения для всей области в целом. В результате подстановки представленных таким образом величин в уравнения термоупругости получаются дифференциальные уравнения и граничные условия, содержащие коэффициентами ступенчатые функции, дельта-функцию Дирака и ее производные, что требует разработки теории и методов решения таких задач [219]. Но многих возникающих при этом проблем можно избежать, если соединить идею Ю. М. Коляно и вариационно-асимптотический метод. Такое сочетание во многих практически важных случаях позволяет упростить расчетную модель и/или уменьшить ее размерность; дает возможность применить аналитические решения, если не ко всей расчетной области, то хотя бы к ее части, сократить время счета и объем хранимой информации.
Важным аспектом исследования НДС густоперфорированных элементов являются экономические показатели. Приведенные в Нормах [174] формулы для расчета толщины трубных досок не пригодны для многих реальных конструкций, так как их геометрические параметры находятся вне области их применимости. В результате расчета по этим формулам толщина трубных досок получается гораздо больше, чем реально необходимая для обеспечения их прочности, что ведет к перерасходу материалов и увеличению трудозатрат (по сверлению, вальцовке и т.д.). Расчет полуаналитическим методом позволяет быстро и эффективно решить эту проблему [110]. Однако сами методики расчета полуаналитическими методами, прежде всего способы определения эффективных упругих характеристик перфорированных элементов, нуждаются в серьезной доработке и обосновании.
Цель работы. Разработка общей постановки и методов решения задач расчета напряженно-деформированного состояния перфорированных элементов, позволяющих получать решения в рамках различных моделей. Построение аналитических решений и сравнение полученных результатов при использовании различных моделей с численными и экспериментальными данными. Применение методик и разработка практических рекомендаций для расчетов конкретных элементов энергетического оборудования с перфорацией.
Научная новизна работы заключается в разработке универсальной постановки задач моделирования напряженно-деформированного состояния перфорированных элементов без ограничения на размер модели; в разработке новых методик и алгоритмов их решения; в получении и сравнительном анализе новых и известных решений задач определения напряженного состояния и приведения для перфорированных пластин и оболочек.
Общая методика исследований. Исследование напряженно-деформированного состояния перфорированных элементов энергетического оборудования на этапах его изготовления, испытания и эксплуатации проведено с использованием фундаментальных законов термодинамики и механики деформируемого твердого тела. Условием, обеспечивающим современный уровень моделирования, является широкий анализ работ в исследуемой области и логическая связь с теоретическими и экспериментальными результатами предыдущих исследований.
Методы исследования. В работе используются методы теории возмущений, спектральной теории операторов, различные методы функционального анализа, теории функций комплексного переменного, теории обобщенных функций, численные методы.
Достоверность научных положений, выводов, рекомендаций и разработанных методик обусловлена строгой математической постановкой задачи в рамках принятых в механике деформируемого твердого тела системы допущений, корректностью применяемых методов решения, тщательной практической проверкой принятых гипотез и совпадением результатов, полученных различными методами.
Практическая значимость работы. Результаты работы могут быть использованы для расчетов на прочность перфорированных элементов энергетического оборудования, обоснования выбора их основных размеров, технологии изготовления, и, как результат, снижения материалоемкости и трудозатрат при их изготовлении. Разработаны методики и реализованы на ЭВМ алгоритмы и программы моделирования исследуемых задач. Раскрытые механизмы и закономерности развития напряженно-деформированного состояния перфорированных элементов позволяют совершенствовать инженерные методики проектирования этих узлов.
Полученные аналитические решения можно использовать также как тестовые задачи для проверки достоверности численных решений.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на на 2-й Российской конференции «Методы и программное обеспечение расчетов на прочность», 30 сентября - 5 октября 2002 г., Геленджик, Краснодарский край; на 3-м межотраслевом семинаре «Прочность и надежность нефтегазового оборудования», 18-20 ноября 2003 г., ФГУП НИКИЭТ, Москва; на 3-й научно-технической конференции «Обеспечение безопасности АЭС с ВВЭР» 26-30 мая 2003 г., ФГУП ОКБ «Гидропресс», Подольск; на 6-м Международном семинаре по горизонтальным парогенераторам, 22-24 марта 2004 г., ФГУП ОКБ «Гидропресс»; Подольск; на 4-й Международной научно-технической конференции «Обеспечение безопасности АЭС с ВВЭР», 23-25 мая 2005 г., Подольск, ФГУП ОКБ «Гидропресс»; на 9-й Международной конференции «Проблемы материаловедения при проектировании, изготовлении и эксплуатации оборудования АЭС», Пушкин - Санкт-Петербург, 6-8 июня 2006 г.; на 29-м семинаре «Методы и программное обеспечение расчетов на прочность», 15 сентября 2006 г., ФГУП НИКИЭТ, Москва; на 7-м Международном семинаре по горизонтальным парогенераторам, 3-5 октября 2006 г., ФГУП ОКБ «Гидропресс», Подольск.
Публикации. Непосредственно по теме диссертации опубликовано 10 работ.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и содержит 314 страниц печатного текста, 84 рисунка и графика, 4 таблицы. Список литературы состоит из 382 наименований.
В приложении представлены тексты расчетных программ.
Теоретические и экспериментальные исследования напряженного состояния перфорированных пластин в середине XX века
В 1953 году Д. И. Шерман предложил интересный метод решения плоской периодической задачи теории упругости, основанный на вычислении граничных интегралов Мусхе-лишвили [271]. Окончательно этот метод был сформулирован и развит в работах [270,272]. Суть метода состоит в следующем. Рассмотрим неограниченную пластину, перфорированную системой окружностей Ln радиуса Ь, центры которых an (n = 0, ±1, ±2, ±3, ...) расположены на оси х с периодом а. Отверстия вносят в основное напряженное состояние возмущения, характеризующиеся компонентами стх, о"у и Тху. Напряжения через комплексные потенциалы (p(z) и y(z), z = х + іу - комплексная переменная (i = V T X выражаются через известные формулы Колосова (1.8) и (1.9). cp(z) и v/(z) - регулярные функции, определяемые по краевым условиям: где f(t) - известная функция, принимающая одинаковые значения во всех конгруэнтных точках t Из условия периодичности следует периодичность функций p(z) и z(p (z)+vy(z), на основании этого Д. И. Шерман вводит новую периодическую функцию потом представляет краевое условие (1.3) в виде которое достаточно удовлетворить только на одном из контуров L„. Далее автор записывает для функции (p(z) представление Аппеля и показьшает, что коэффициенты а п)не зависят от верхнего индекса и отличны от нуля лишь для нечетных значений индекса к. Кроме того, вследствие симметрии задачи относительно оси абсцисс все величины оск вещественны (верхний индекс в силу вышесказанного опускаем). Поэтому для (p(z) получается где коэффициенты сік подлежат определению из краевого условия (1.14). Далее функция x(z) выражается через (p(z) и f(z) и исключается из рассмотрения при помощи граничных интегралов типа Коши. В результате Шерман сводит задачу к граничному интегральному уравнению Мусхелишвили [ 170]: где точка z лежит внутри контура Lo. В работе [272] дано обоснование формулы (1.19) для бесконечно связной области. Из (1.19) в результате подстановки (1.18) получается бесконечная система алгебраических уравнений относительно коэффициентов ой; эту систему легко получить, если функции (p(t), (t - t)cp (t) и f (t) разложить в комплексный ряд Фурье на Ln и вычислить затем необходимые интегралы. Автор доказывает квазирегулярность этой системы при любых относительных размерах области и в предположении, что свободные члены имеют порядок (Ь/а)к.
Определив функцию ф(г), можно получить выражение для функции %(т): где точка z лежит вне контура Lo. Д. И. Шерман специально рассматривает случай сближенных границ, когда относительный размер области (b/а) близок к 1/2, что имеет важное значение для любого метода решения многосвязной задачи, основанного на разложении решения в ряд. Сходимость рядов в подобного класса задачах сильно зависит от того, насколько сближены границы области, иными словами от отношения b/а (относительного размера области). При малых значениях b/а, то есть, при достаточно удаленных друг от друга соседних отверстиях, ряды обычно сходятся быстро, при сближенных границах сходимость рядов резко ухудшается, а в некоторых случаях ряды начинают расходиться. Например, ряды в решении Хауленда сходятся только до значения b/а = 0,27. Ряды в решениях Шульца и Натанзона сходятся при любых относительных размерах области, однако при близких границах сходятся медленно. Отметим, что во всех решениях коэффициенты рядов определяются из бесконечных систем алгебраических уравнений. Шерман же предлагает процесс последовательного выделения главных частей в решении, который весьма полезен для вычисления напряжений при близких границах. Далее Д. И. Шерман рассмотрел периодическую задачу для системы отверстий некруговой формы. Интегральное уравнение для этой задачи получил Г. Н. Савин [225], однако предложенные методы решения были малоэффективными. Главная проблема заключается в том, что не удается сравнительно просто построить функцию, конформно отображающую заданную периодическую систему некруговых отверстий на периодическую же решетку из одинаковых кругов.
Однако метод Шермана может быть обобщен и на решетки, образованные некруговыми отверстиями. Автор показал это на примере решетки из квадратных отверстий. Вместо «точных» (геометрически правильных) квадратов берется решетка из слегка искривленных квадратных отверстий. Дело в том, что искривление квадрата зависит от того, насколько функция (), отображающая внешность квадрата на внешность круга, отличается от интеграла Шварца-Кристоффеля, строго осуществляющего это отображение. Пусть функция а (п) осуществляет конформное отображение внешности квадрата L„ в комплексной плоскости z на внешность единичного круга уп плоскости ,„
Дальнейшее развитие методов исследования. Трехмерная постановка
В то время как большинство зарубежных исследователей перешло на численные методы, А. С. Космодамианский, взяв за основу символический метод Лурье [158,159], продолжил исследования перфорированных пластин аналитическими методами, поставив вопрос о нахождении истинного, трехмерного напряженного состояния перфорированных пластин. В 1970 г. А. С. Космодамианский, В. Н. Ложкин, Ю. В. Мысовский, В. А. Шалдырван [129] распространили на многосвязные пластины асимптотический метод Воровича [54, 55], опирающийся на однородные решения Лурье. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах А. С. Космодамианского, В. А. Шалдырвана, Г. Г. Шалдырвана [130,132,133,134], в том числе и для задач термоупругости [129]. В монографии А. С. Космодамианского и В. А. Шалдырвана [131] приведены основные результаты исследований авторов и их учеников в теории упругих пластин в трехмерной постановке, построении решений и развитии алгоритмов реализации полученных решений. Авторы разработали эффективный способ решения задач для толстых многосвязных пластин, использовав однородные решения Лурье и основную идею метода Бубнова-Галеркина. Следует отметить, что авторам в известной степени, в рамках предложенного ими метода, удалось обобщить теорию функций комплексного переменного на пространственные задачи теории упругости. Наиболее же полно и последовательно теория функций комплексного переменного применительно к пространственным задачам теории упругости изложена в монографии А. Я. Александрова и Ю. И. Соловьева [5].
С математической точки зрения вопрос о вычислении эффективных характеристик перфорированных пластин и оболочек суть частный случай более общей проблемы осреднения процессов в периодических средах. Развитие математического моделирования процессов, протекающих в неоднородных средах с периодической структурой, связано с теорией осреднения дифференциальных уравнений с быстроосциллирующими коэффициентами. Здесь, прежде всего, следует указать на работы Н. С. Бахвалова [16,17,19]. В частности, в работе [19] получены осреднения для уравнений параболического и гиперболического типов, а также осреднение стационарной и нестационарной систем уравнений теории упругости. В [16] строятся осредненные системы и асимптотическое разложение решений нестационарных систем уравнений второго порядка. Результаты работ [16,19] обобщаются на нелинейные уравнения второго [17,15] и высших порядков [17] и операторные уравнения [18]. На физическом уровне строгости метод осреднения задач сплошных сред в вариационной постановке дал В. Л. Берди-чевский [24, 26]. Дальнейшее развитие теории осреднения процессов в периодических структурах связано с результатами работ [282-284,338, 339], в которых рассматривались вариационные неравенства, уравнения с коэффициентами, осциллирующими по временной переменной быстрее, чем по пространственной и т. п.
Ряд работ посвящен исследованию сходимости решений уравнений с быстроосциллирующими коэффициентами к решению некоторого осредненного уравнения без требования периодичности коэффициентов. Почти периодический случай рассмотрен в [114], достаточные и необходимые условия сходимости решений при слабой сходимости коэффициентов уравнений в [232,255,176], осреднение уравнений со случайными коэффициентами в [15,115,116, 160,256,275,281, 359], вопросы сходимости дифференциальных операторов эллиптического и параболического типов в [93,94] соответственно, а также нелинейных операторов в [222].
Задачи, связанные с осреднением и теорией пограничного слоя в неоднородных средах, были рассмотрены в работах Г. П. Панасенко. В [179,181,183] исследуются граничные эффекты при контакте двух различных периодических структур. В [180, 182, 184-187] изучаются вопросы осреднения для механических структур, в том числе и композиционных сред, с сильно изменяющимися свойствами компонентов. Сформулированный в работе [187] принцип расщепления осредненного оператора позволяет получать явные формулы для осреднения характеристик каркасных конструкций. Другие подходы к осреднению решетчатых конструкций изложены в [7,221]. На базе теории осреднения получили развитие методы расчета неоднородных оболочек (ребристых, складчатых, гофрированных, перфорированных и др.); см. [8,9,10,92].
Вопросы осреднения, построения математических моделей для неоднородных сред, рассмотрены в монографии Н. С. Бахвалова и Г. П. Панасенко [20]. В книге приведены математические модели задач теории упругости, теплопередачи, переноса энергии излучением и распространения волн в неоднородных материалах, диффузии и фильтрации в пористой среде; получены континуальные модели решетчатых конструкций. Итогом проводимых построений, в частности, являются математически обоснованные алгоритмы определения средних и локальных характеристик сред на основании информации об их структуре. Среди работ, посвященных непосредственно осреднению системы уравнений теории упругости и теории вязкоупругости можно отметить [25,27,334,335].
Важным направлением в исследованиях напряженного состояния кусочно-неоднородных тел является изучение термических напряжений. Теория термоупругости в настоящее время получила широкое развитие в связи с необходимостью решения многих проблем современной техники, в первую очередь, энергетического оборудования. В работах Я. С. Подстригача и Ю. М. Коляно [216,217] изложены основы теории и методы решения задач термоупругости для тел с различными упругими включениями. Большое внимание уделено изучению температурных полей и напряжений в телах с различными включениями, для которых область, занятую включением, удается исключить из рассмотрения таким образом, что его влияние характеризуется усложненными граничными условиями. Близкие по классу задачи теории многослойных конструкций рассмотрены в работах В. В. Болотина и Ю. Н. Новичкова [34], С. А. Ам-барцумяна [6], Л. П. Хорошуна [257] и других. Многие исследования в области термоупругости составных и многослойных тел (например, [258, 91, 32,120, 218] выполнены методом сопряжения. Однако решение многих практически важных задач таким методом часто затруднительно и довольно громоздко. Поэтому Ю. М. Коляно предложил метод расчета кусочно-однородных тел [119], основанный на применении обобщенных функций [52,59]. Метод позволяет физико-механические характеристики и их комбинации кусочно-однородных тел, геометрию оболочек, пластин, стержней, коэффициент теплоотдачи с поверхности тела описать как единое целое с помощью единичных характеристических функций и получать единые решения для всей области в целом. В результате подстановки представленных таким образом характеристик в уравнения термоупругости получаются дифференциальные уравнения и граничные условия, содержащие коэффициентами ступенчатые функции, дельта-функцию Дирака и ее производную, что требует разработки теории и методов решения таких задач. Этим вопросам посвящена монография Я. С. Подстригача, В. А. Ломакина и Ю. М. Коляно [219].
Задачи изгиба перфорированных пластин в трехмерной постановке
При определении напряженного состояния и приведенных упругих характеристик толстых перфорированных пластин в условиях изгиба целесообразно использовать вышеописанные подходы и приемы. Нетрудно заметить, что для рассмотренных выше задач растяжения-сжатия разыскивались четные по координате «z», то есть, симметричные относительно срединной плоскости решения. В задаче изгиба следует использовать нечетные по координате «z» решения, то есть, антисимметричные относительно срединной плоскости. В этом контексте рассмотрим сначала осесимметричное решение: С - постоянная, определяемая из граничного условия на контуре отверстия. При подстановке его в систему (3.1)-(3.3) убеждаемся, что граничные условия на верхней и нижней поверхностях az = 0, стп = 0, cr9z = 0 при z = ±h удовлетворяются тождественно, а распределение радиальных напряжений ar носит антисимметричный характер. Антисимметричное решение второго порядка постоянные, дает следующее: - нормальные напряжения az тождественно равны нулю; - выражения для касательных напряжений аге и 0 подобны друг другу: Положив в этом решении С2 =-кС1г мы добиваемся тожественного равенства нулю касательных напряжений стга и 0 и удовлетворения всех условий на гранях пластины.
Точно так же, как и в обобщенной задаче Кирша, нам требуется второе неосесим-метричное решение. Так же отказываясь от точного удовлетворения граничным условиям на внутренней поверхности отверстия, введем в решение нелинейные по «z» члены: Сз - некоторая постоянная. Нормальные напряжения az, определяемые этим решением, тождественно равны нулю, распределение же касательных напряжений ап и aez имеет параболический характер: Комбинируя (3.106) и (3.103), нетрудно подобрать постоянные С\, Сг и Сз таким образом, чтобы напряжения о и o"ez при z = ±h были равны нулю. В частности, можно положить Сг = 0, а С, = -8С3 — h2. Таким образом можно удовлетворить граничным 2ц + Я. условиям на внутренней поверхности отверстия в среднем. Несбалансированная система напряжений, остающаяся на внутренней поверхности отверстия после вычитания средних напряжений, снова устраняется дополнительными трехмерными решениями. Рассмотрим первую систему: На гранях пластины z = ±h эти напряжения обращаются в нуль, поэтому система (3.109) удовлетворяет всем граничным условиям (3.5). Вторую систему решений можно получить через бигармоническую функцию v/(r,9,z): Уравнение (3.119) носит фундаментальный характер в теории упругости, как и уравнение (3.32). Корни этого уравнения определяет нечетные функции, удовлетворяющие однородным граничным условиям, в то время как корни (3.32) определяют четные решения. Для расчета этих корней можно применить эффективный метод Ньютона, который дает следующую итерационную схему (вместо у далее будем писать просто у):
Методы построения аналитических решений для областей конечных размеров
В предыдущем разделе была рассмотрена задача о растяжении бесконечной полосы с отверстием. Как известно, построение аналитических решений теории упругости для областей конечных размеров наталкивается на ряд проблем, главная из которых - удовлетворение всем граничным условиям. В качестве примера возьмем полосу с отверстием конечной длины L (рисунок 4.12). Как и прежде, обозначим ширину полосы 2h, радиус отверстия г0. Положим, что снизу полоса закреплена, а сверху на нее действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью р. Эта нагрузка может быть растягивающей (положительной) или сжимающей (отрицательной). На рисунке показано положительное направление нагрузки. Для построения решения введем весовую функцию w(x,y,z), равную 1 вне отверстия и нулю - внутри. Средним значением функции a (x,y,z) будет, естественно, отношение площадей перфорированной и сплошной полос: ри отверстия, и —— вне его (так как задача плоская, то эти функции не зависят от z). Оче-Lh видно, что начальным приближением для решения будет однородное напряженное состояние полосы с постоянными по сечению напряжениями р. При переходе к первому приближению снова рассматривается сплошная полоса, но с начальными напряжениями, равными в этом случае а(у0) = р Aw(x,y,z). Таким образом, задача со сложными границами сводится к построению решения в обычном прямоугольнике. Вернемся, однако, к проблеме построения аналитических решений для областей конечных размеров. Прямоугольник в этом смысле не является исключением. Если бы в качестве граничных условий фигурировали только перемещения, то найти аналитические решения, удовлетворяющие им, не составило бы особого труда, однако весьма сложно подобрать аналитические функции, удовлетворяющие граничным условиям по напряжениям даже в прямоугольнике.
Эту проблему можно разрешить, перейдя к построению решения в два этапа. На первом этапе возьмем систему функций, удовлетворяющую граничным условиям в перемещениях: Рассмотрим постоянную вдоль всей полосы часть начальных напряжений ady(x). Среднее по сечению от этих напряжений в силу (4.138) равно нулю, следовательно, упругих перемещений полосы в целом они не вызывают, но на верхней границе полосы граничные условия требуют, чтобы эти напряжения были сняты. Такая самоуравновешенная система напряжений обычно снимается решениями типа краевого эффекта [240]; запишем их через функцию напряжений Эри: Приравнивая нулю определитель этой системы, получаем хорошо известное характеристическое уравнение sin 2у + 2у = 0. Каждому комплексному корню этого уравнения yj соответствует комплексная собственная функция, паре комплексно-сопряженных корней - две комплексно-сопряженные функции (с точностью до постоянного множителя): Теперь задачу поиска коэффициентов можно решить, например, как в [28], разложив функции (4.148) и (4.150) в тригонометрические ряды. Нормальные напряжения ау - по системе 1, cos(n7ix/h), п = 1,2,3, ... ; касательные напряжения Стху - по системе sin(n7tx/h), n = 1,2,3,.... Отметим, что для функций (4.146) выполняется условие
