Содержание к диссертации
Введение
1. Краткий обзор литературы и современное состояние проблемы по строения оболочечных конечных элементов с полным набором степеней свободы в узле 11
2. Способы построения матриц жесткости вращения 23
2.1. Вращение и деформации в конечном элементе 23
2.2. Построение матриц жесткости вращения при помощи системы блоков с упругими связями 26
2.3. Построение матриц жесткости вращения методом штрафа 30
2.4. Построение матриц жесткости вращения методом множителей Лагранжа 31
2.5. Выводы по главе 2 32
3. Матрицы жесткости вращения треугольных элементов 33
3.1. Матрицы жесткости вращения, построенные с использованием метода штрафа 33
3.1.1. Метод штрафа: трехузловой элемент 33
3.1.2. Метод штрафа: шестиузловой элемент 35
3.2. Матрицы жесткости вращения, построенные с использованием метода множителей Лагранжа 37
3.2.1. Метод множителей Лагранжа: трехузловой элемент 37
3.2.2. Метод множителей Лагранжа: шестиузловой элемент 38
3.3.Схема занесения коэффициентов матрицы жесткости вращения в матрицу жесткости элемента 39
3.4. Выводы по главе 3 41
4. Аналитические оценки величин коэффициентов матрицы жесткости и масс вращения 42
4.1. Верхняя оценка неопределенного коэффициента а 42
4.2. Оценка коэффициентов матрицы масс, соответствующих вращательным степеням свободы 47
5. Результаты тестовых расчетов 50
5.1. Задачи статики 50
5.1.1. Исследование напряженно-деформированного состояния заделанной сферической оболочки 50
5.1.2. Исследование напряженно-деформированного состояния составной цилиндрической трехслойной панели 58
5.2. Определение собственных частот и форм колебаний 61
5.2.1 .Тестирование матриц жесткости вращения с позиций статики и динамики 61
5.2.2. Определение коэффициента матрицы масс элемента, соответствующего вращательной степени свободы 62
5.2.3. Исследование собственных частот и форм колебаний плоских объектов. 64
5.2.4. Определение собственных частот и форм колебаний свободно опертой цилиндрической оболочки 70
5.2.5. Исследование собственных частот и форм колебаний незакрепленных трехслойных цилиндрических панелей 74
5.3. Результаты теста собственных значений 82
5.4. Выводы по главе 5 84
6. Компьютерный анализ прецизионной опорной конструкции детектора переходного излучения ATLAS . 85
6.1. Описание опорной конструкции ДЛИ ATLAS: конструкция, технические требования и схемы нагружения 88
6.2. Выбор схемы армирования опорных колец 92
6.2.1. Формализация структуры материала опорного кольца 92
6.2.2. Определение рациональных параметров армирования элементов опорного кольца 98
6.3. Выбор схем армирования цилиндров 102
6.3.1. Концепции проектирования цилиндров 102
6.3.2. Анализ предложенных схем армирования цилиндров на основании результатов конечно-элементных расчетов опорной конструкции ДЛИ 105
6.4. Результаты поверочных расчетов 112
6.4.1. Расчет перемещений узлов опорной конструкции при ста тическом нагружении 113
6.4.2. Результаты анализа напряженно-деформированного со стояния опорных колец при статическом нагружении 115
6.4.3. Определение собственных частот и форм колебаний изолированного опорного кольца.. 117
6.5. Выводы по главе 6 121
Основные результаты и выводы 122
Список литературы 123
Приложения 131
- Построение матриц жесткости вращения при помощи системы блоков с упругими связями
- Матрицы жесткости вращения, построенные с использованием метода множителей Лагранжа
- Исследование напряженно-деформированного состояния заделанной сферической оболочки
- Исследование собственных частот и форм колебаний незакрепленных трехслойных цилиндрических панелей
Введение к работе
Анализ оболочек составляет широкий класс задач механики тонкостенных конструкций. Ввиду ограниченных возможностей получения аналитического решения, основным средством расчета становятся численные методы, среди которых самый мощный, безусловно, метод конечных элементов (МКЭ).
Деформированное состояние (ДС) произвольной оболочки определяется пятью величинами: тремя перемещениями и двумя углами поворота сечения; отсутствует угол поворота вокруг нормали к поверхности КЭ, который в дальнейшем будет называться вращением, а соответствующий момент - вращающим. Большинство оболочечных конечных элементов (КЭ) также не содержат в узлах эту степень свободы. Однако в современных конструкциях оболочки часто стыкуются с элементами подкреплений, воспринимающих все виды нагрузки: три силы и три изгибающих момента.
Рассмотрим два частных примера. На рис. 1.1 изображена конструкция коробчатого вида. Введем декартову систему координат и свяжем с ней перемещения и, v, w, а также углы поворота 9х, 9у, 6z нормальных сечений. Для определения ДС произвольной точки участка 11 22 потребуются значения перемещений, а также углы поворота 0х, §г угол Gy не войдет в уравнения, определяющие деформации. Рассматривая участок 22 33 заметим, что здесь в деформационные соотношения наряду с величинами и, v, w, 0z войдет и 6у. Обозначенную здесь трудность, а именно участие в определении ДС конструкции всех шести степеней свободы, можно преодолеть, введя для участков 1Г22 и 22 33 различные системы координат и произведя стыковку узловых перемещений на их границе.
Следующий, возможно гипотетический, пример исключает и такой путь. Предположим, что поверхность оболочки; подкреплена элементами, соединенными со стержнем, нормальным к поверхности оболочки (рис. 1.2). Стержень может воспринимать все виды статической нагрузки. В случае приложенного крутящего момента наличие в узле крепления вращательной степени свободы
Рис. 1.1. Конструкция коробчатого типа
Рис. 1.2. Оболочка, нагруженная через систему подкреплений вращающим моментом
Приведенные примеры показывают, что для многих расчетных случаев при использовании плоских КЭ необходимо располагать полным набором степеней свободы в узле элемента. Таким образом, задача определения коэффициентов матрицы жесткости и масс КЭ, соответствующих повороту вокруг нормали к плоскости элемента является актуальной.
В оболочечных конструкциях часто сочетаются сложная геометрия поверхности и анизотропия используемых материалов. В качестве примера можно рассматривать крыловидные конструкции, корпуса современных автомобилей, разветвленные оболочки и др. Для конструкций ракетно-космической техники характерно применение композиционных материалов (КМ), а также традиционное использование продольно-поперечного силового набора.
Таким образом, можно сформулировать основные требования, предъявляемые к КЭ, используемым для расчета оболочек произвольной геометрии и структуры:
- полный набор степеней свободы в узле;
- учет анизотропии материала;
- возможность аппроксимации поверхности произвольной геометрии.
Кроме того, применение трехслойных конструкций требует использования конечных элементов, учитывающих деформации поперечного сдвига.
Перечисленным требованиям удовлетворяют плоские треугольные КЭ. Важным преимуществом является универсальность способов аппроксимации произвольных оболочечных поверхностей при их использовании, а современный уровень развития вычислительной техники и наличие мощных численных методов позволяет получать точные аппроксимации произвольных поверхностей плоскими элементами, не будучи стесненными размерностью задачи. Все это во многом определяет предпочтение, отдаваемое данным элементам в таких программных комплексах глобального анализа конструкций как ANSYS, MARC, NASTRAN и др. Настоящая диссертация посвящена проблеме построения плоских треугольных КЭ с полным набором степеней свободы в узле и разработке методики расчета подкрепленных оболочечных конструкций из КМ. В диссертации предложены способы построения матриц жесткости и масс, соответствующих вращательным степеням свободы - далее, матрицы жесткости вращения и матрицы масс вращения (МЖВР и ММВР соответственно).
Инструментом исследований, проведенных в работе, является разработанный программный комплекс, реализующий МКЭ. Расчетные программы позволяют решать задачи статики и динамики одно-, двух- и трехмерных объектов, в том числе подкрепленных оболочек из КМ. Комплекс неоднократно применялся для расчета реальных конструкций; он внедрен на Обнинском научно-производственном предприятии «Технология».
Диссертация состоит из шести глав и приложений. В первой главе приводится краткий обзор литературы, а также анализ современного состояния проблемы построения плоских КЭ с полным набором степеней свободы в узле.
Во второй главе проведен анализ требований, которым должно удовлетворять представление вращения в пределах КЭ так, чтобы не вносить изменений в основное ДС. Сформулированы три способа построения матриц жесткости вращения плоских КЭ: представление конечного элемента в виде системы блоков с упругими связями; использование метода штрафа; метод множителей Лагранжа.
В третьей главе приведены примеры построения матриц жесткости вращения для трех - и шестиузловых треугольных конечных элементов в соответствии с предложенной в главе 2 методикой.
Четвертая глава посвящена аналитическим энергетическим оценкам величины коэффициентов матрицы жесткости и масс вращения.
В пятой главе представлены результаты решения тестовых примеров МКЭ с использованием построенных в главе 3 матриц жесткости вращения. Приведены результаты решения задач статики и динамики оболочечных конст 10
рукций. На основании численных экспериментов сделан вывод о необходимости динамического подхода к тестированию матриц жесткости вращения.
В шестой главе представлено применение разработанной методики для комплексного анализа прецизионной опорной конструкции детектора переходного излучения (ДЛИ) ATLAS из КМ. На основании значений перемещений в конструкции, определенных при различных видах воздействия: статическом, температурной, а также при нагружении, вызванном изменением влагосодер-жания материала, выбраны рациональные схемы армирования. Представляются результаты некоторых поверочных расчетов: напряженно-деформированного состояния (НДС), а также низших собственных частот и форм колебаний конструкции.
Приложения содержат сведения, необходимые для реализации: техники расчета произвольных оболочек с использованием плоских КЭ. В Приложениях 1-3 приведены алгоритмы построения собственно матриц жесткости (МЖЭ) и матриц масс (ММЭ) элементов: Приложение 1 - трехузловой элемент с 18-ю степенями свободы (КЭ18); Приложение 2 - шестиузловой оболочечный конечный элемент смешанного типа с 30-ю степенями свободы (КЭЗО); Приложение 3 - пространственный балочный двухузловой КЭ с 12-ю степенями свободы (КЭ12). В Приложении 2 рассматривается развитие КЭЗО: построен плоский шестиузловой КЭ с 36-ю степенями свободы (КЭ36). Приложение 4 посвящено вопросу техники преобразования глобальной матрицы жесткости и глобального вектора приведенных узловых сил при переходе к новой системе перемещений в отдельном узле..
Построение матриц жесткости вращения при помощи системы блоков с упругими связями
В шестой главе представлено применение разработанной методики для комплексного анализа прецизионной опорной конструкции детектора переходного излучения (ДЛИ) ATLAS из КМ. На основании значений перемещений в конструкции, определенных при различных видах воздействия: статическом, температурной, а также при нагружении, вызванном изменением влагосодер-жания материала, выбраны рациональные схемы армирования. Представляются результаты некоторых поверочных расчетов: напряженно-деформированного состояния (НДС), а также низших собственных частот и форм колебаний конструкции. Приложения содержат сведения, необходимые для реализации: техники расчета произвольных оболочек с использованием плоских КЭ. В Приложениях 1-3 приведены алгоритмы построения собственно матриц жесткости (МЖЭ) и матриц масс (ММЭ) элементов: Приложение 1 - трехузловой элемент с 18-ю степенями свободы (КЭ18); Приложение 2 - шестиузловой оболочечный конечный элемент смешанного типа с 30-ю степенями свободы (КЭЗО); Приложение 3 - пространственный балочный двухузловой КЭ с 12-ю степенями свободы (КЭ12). В Приложении 2 рассматривается развитие КЭЗО: построен плоский шестиузловой КЭ с 36-ю степенями свободы (КЭ36). Приложение 4 посвящено вопросу техники преобразования глобальной матрицы жесткости и глобального вектора приведенных узловых сил при переходе к новой системе перемещений в отдельном узле.. В процессе развития МКЭ, начиная с 60-х годов XX в., разработано большое число конечных элементов, применяемых для расчета оболочек. Исследования в этой области связаны с работами таких ученых как Б. Айронс, К. Бате, Р. Галлагер, О. Зенкевич, Р. Клафф, Р.Б, Рикардс, В.И. Мяченков, И.В. Григорьев, а также других авторов.
Появление композиционных материалов и их использование для производства тонкостенных конструкций привело к необходимости анализа многослойных оболочек. Применяемые многослойные конструкции могут иметь различное число слоев; также часто сочетаются слои с резко различающимися механическими характеристиками. В связи с последним обстоятельством, при расчетах необходимо руководствоваться теми кинематическими гипотезами (Кирхгофа-Лява, Тимошенко-Миндлина и др.), которые наиболее точно описывают процесс деформирования в каждом конкретном случае. В работе Б.Г. Попова [31] проведен анализ и приведены энергетические оценки различных моделей деформирования. Рассматриваются три составляющие плотности энергии деформирования: в плоскости пластины, деформации поперечных сдвигов и поперечного растяжения-сжатия. Исходя из характерных величин модуля упругости растяжения-сжатия, модуля. поперечного сдвига и модуля поперечного растяжения-сжатия, а также толщин слоев, получены оценки вклада указанных выше составляющих плотности энергии в общий процесс деформирования. Для исследования многослойных оболочек вращения с успехом применяются квазиодномерные КЭ, представленные в работах В.И. Мяченкова [25,34], Б.Г. Попова [31], Р.Б. Рикардса [35] и других авторов. В отмеченных работах В.И. Мяченкова рассмотрены квазиодномерные КЭ, построенные с использованием кинематических гипотез Кирхгофа-Лява и гипотезы «ломаной нормали». В работе Б.Г. Попова предложены элементы, построенные на основании гипотез Тимошенко-Миндлина, а также позволяющие учитывать изменение метрических характеристик поверхности. Здесь же подробно рассмотрены условия сопряжения многослойных оболочек вращения с кольцевыми подкрепляющими элементами. Большую группу оболочечных КЭ составляют двумерные элементы, относящиеся к цилиндрическим оболочкам. Наиболее известными являются элементы Р. Галлагера [66] и его модификация Ж. Кантина и Р. Клафа [23].
Это прямоугольные четырехузловые КЭ цилиндрической оболочки с вектором степеней свободы в узле вида q=[u,v,w,wj!bW.r,wjcT]T,- О1) где ы, v - касательные перемещения; w - нормальный прогиб; и% {X, Y,XY) производные нормального прогиба. В качестве узловых степеней свободы элемента Ф. Богнера, Р. Фокса и Л. ІПмита [12], имеющего 48 степеней свободы, приняты перемещения и,v,w, а также их первые и смешанные производные. Применительно к пологим оболочкам отметим элемент, разработанный И. Коннором и С. Бреббиа [61]. Данный элемент имеет прямоугольную форму и степени свободы в узле, определяемые вектором q=[«,w9x,eY]T. (1.2) Здесь 9х, Эу - углы поворота нормальных сечений. Задача построения плоских конечных элементов, предназначенных для расчета оболочек, не является новой. Вклад в ее решение в разные годы внесли такие исследователи как К. Бате, П. Берган, О. Зенкевич, Л. Морли, Д. Олман, Л. Ху и другие авторы. Проблема расчета многослойных подкрепленных оболочек с использованием плоских КЭ требует, на наш взгляд, освещения следующих ее аспектов. Во-первых, представляет интерес исследование корректности представления произвольной оболочечной поверхности при помощи таких элементов. Во-вторых, заслуживает внимания вопрос построения собственно конечного эле
Матрицы жесткости вращения, построенные с использованием метода множителей Лагранжа
Анализ оболочек составляет широкий класс задач механики тонкостенных конструкций. Ввиду ограниченных возможностей получения аналитического решения, основным средством расчета становятся численные методы, среди которых самый мощный, безусловно, метод конечных элементов (МКЭ). Деформированное состояние (ДС) произвольной оболочки определяется пятью величинами: тремя перемещениями и двумя углами поворота сечения; отсутствует угол поворота вокруг нормали к поверхности КЭ, который в дальнейшем будет называться вращением, а соответствующий момент - вращающим. Большинство оболочечных конечных элементов (КЭ) также не содержат в узлах эту степень свободы. Однако в современных конструкциях оболочки часто стыкуются с элементами подкреплений, воспринимающих все виды нагрузки: три силы и три изгибающих момента. Рассмотрим два частных примера. На рис. 1.1 изображена конструкция коробчатого вида. Введем декартову систему координат и свяжем с ней перемещения и, v, w, а также углы поворота 9х, 9у, 6z нормальных сечений. Для определения ДС произвольной точки участка 11 22 потребуются значения перемещений, а также углы поворота 0х, г угол Gy не войдет в уравнения, определяющие деформации. Рассматривая участок 22 33 заметим, что здесь в деформационные соотношения наряду с величинами и, v, w, 0z войдет и 6у. Обозначенную здесь трудность, а именно участие в определении ДС конструкции всех шести степеней свободы, можно преодолеть, введя для участков 1Г22 и 22 33 различные системы координат и произведя стыковку узловых перемещений на их границе. Следующий, возможно гипотетический, пример исключает и такой путь. Предположим, что поверхность оболочки; подкреплена элементами, соединенными со стержнем, нормальным к поверхности оболочки (рис. 1.2). Стержень может воспринимать все виды статической нагрузки.
В случае приложенного крутящего момента наличие в узле крепления вращательной степени свободы вляется обязательным условием. Приведенные примеры показывают, что для многих расчетных случаев при использовании плоских КЭ необходимо располагать полным набором степеней свободы в узле элемента. Таким образом, задача определения коэффициентов матрицы жесткости и масс КЭ, соответствующих повороту вокруг нормали к плоскости элемента является актуальной. В оболочечных конструкциях часто сочетаются сложная геометрия поверхности и анизотропия используемых материалов. В качестве примера можно рассматривать крыловидные конструкции, корпуса современных автомобилей, разветвленные оболочки и др. Для конструкций ракетно-космической техники характерно применение композиционных материалов (КМ), а также традиционное использование продольно-поперечного силового набора. Таким образом, можно сформулировать основные требования, предъявляемые к КЭ, используемым для расчета оболочек произвольной геометрии и структуры: - полный набор степеней свободы в узле; - учет анизотропии материала; - возможность аппроксимации поверхности произвольной геометрии. Кроме того, применение трехслойных конструкций требует использования конечных элементов, учитывающих деформации поперечного сдвига. Перечисленным требованиям удовлетворяют плоские треугольные КЭ. Важным преимуществом является универсальность способов аппроксимации произвольных оболочечных поверхностей при их использовании, а современный уровень развития вычислительной техники и наличие мощных численных методов позволяет получать точные аппроксимации произвольных поверхностей плоскими элементами, не будучи стесненными размерностью задачи. Все это во многом определяет предпочтение, отдаваемое данным элементам в таких программных комплексах глобального анализа конструкций как ANSYS, MARC, NASTRAN и др.
Настоящая диссертация посвящена проблеме построения плоских треугольных КЭ с полным набором степеней свободы в узле и разработке методики расчета подкрепленных оболочечных конструкций из КМ. В диссертации предложены способы построения матриц жесткости и масс, соответствующих вращательным степеням свободы - далее, матрицы жесткости вращения и матрицы масс вращения (МЖВР и ММВР соответственно). Инструментом исследований, проведенных в работе, является разработанный программный комплекс, реализующий МКЭ. Расчетные программы позволяют решать задачи статики и динамики одно-, двух- и трехмерных объектов, в том числе подкрепленных оболочек из КМ. Комплекс неоднократно применялся для расчета реальных конструкций; он внедрен на Обнинском научно-производственном предприятии «Технология». Диссертация состоит из шести глав и приложений. В первой главе приводится краткий обзор литературы, а также анализ современного состояния проблемы построения плоских КЭ с полным набором степеней свободы в узле. Во второй главе проведен анализ требований, которым должно удовлетворять представление вращения в пределах КЭ так, чтобы не вносить изменений в основное ДС. Сформулированы три способа построения матриц жесткости вращения плоских КЭ: представление конечного элемента в виде системы блоков с упругими связями; использование метода штрафа; метод множителей Лагранжа. В третьей главе приведены примеры построения матриц жесткости вращения для трех - и шестиузловых треугольных конечных элементов в соответствии с предложенной в главе 2 методикой. Четвертая глава посвящена аналитическим энергетическим оценкам величины коэффициентов матрицы жесткости и масс вращения. В пятой главе представлены результаты решения тестовых примеров МКЭ с использованием построенных в главе 3 матриц жесткости вращения. Приведены результаты решения задач статики и динамики оболочечных конст
Исследование напряженно-деформированного состояния заделанной сферической оболочки
В главе 5 приводится решение ряда тестовых примеров. Рассмотрены задачи статики и задачи о собственных колебаний пластин и оболочек, имеющих анизотропную структуру: Некоторые из рассмотренных примеров имеют практическое приложение. Для задачи о собственных колебаниях незакрепленных трехслойных панелей проведено сравнение с результатами эксперимента. На основании результатов решения задачи о собственных колебаниях произвольно ориентированной в пространстве заделанной балки проведен сравнительный анализ эффективности использования конечных элементов с матрицами жесткости вращения, приведенными в гл. 2, 3. Сделан вывод о предпочтительном использовании метода штрафа. В дальнейшем условимся обозначать трехузловой плоский конечный элемент как КЭ18, а шестиузловой элемент - КЭ36 (см. Приложения 1, 2). Перед рассмотрением каждого примера указывается, какой из элементов используется и для какой фиктивной составляющей МЖ получено решение. Матрицы жесткости вращения в зависимости от способа построения условимся обозначать римскими цифрами I, II, Ш для упругой модели, метода штрафа и метода множителей Лагранжа соответственно. Так, например, КЭ18-Ш означает плоский трехузловой конечный элемент с матрицей жесткости вращения, построенной методом множителей Лагранжа.. Проведем расчет оболочки двойной кривизны. Усеченная сферическая оболочка (рис. 5.1) нагружена по верхней параллели распределенным меридиональным моментом и жестко заделана по нижней параллели. Получим аналитическое решение задачи при помощи приближенного метода учета краевого эффекта (метод Штаермана-Геккелера) [14], применение которого является корректным, когда 0к ЗО0 (см. рис. 5.1). Разрешающие уравнения данного метода для сферической оболочки имеют вид: %- (5.1) Здесь R - радиус оболочки; h - толщина оболочки; Е - модуль упругости материала оболочки; v - коэффициент Пуассона; D - жесткость оболочки на изгиб; V- величина, равная произведению перезывающей силы в сечении оболочки на ее радиус; 0 - угол поворота сечения оболочки; 9 - угловая координата (см. рис. 5.1). Дважды продифференцировав уравнение (5.2) по величине 0, и подставив его в выражение (5.1), получим: где безразмерный коэффициент а имеет вид: Введем новую независимую переменную (о, отсчитываемую от края оболочки (0 = 9-. (5.5) Так как в обоих этих случаях то при переходе к новой переменной дифференциальное уравнение (5.3) не изменяет своего вида. Тогда выражение V - е (CL sin ага+С2 cos око) + е0 (С3 sin асо + С4 cos ага) (5.6) является его решением. Ввиду того, что функция Ус увеличением угла га должна затухать, второе слагаемое в выражении (5.6) отсутствует. Исходя из этого, постоянные С$ и С А (см. формулу (5.6)) равны нулю. Кроме того, перерезывающая сила на верхней параллели отсутствует перерезывающая сила, поэтому r(0) = e"a0(C1sina-0+C2cosa.0) = 0= C2=0. (5.7)
Таким образом, решение (5.6) для данной задачи принимает вид: В сечении оболочки действуют указывается, какой из элементов используется и для какой фиктивной составляющей МЖ получено решение. Матрицы жесткости вращения в зависимости от способа построения условимся обозначать римскими цифрами I, II, Ш для упругой модели, метода штрафа и метода множителей Лагранжа соответственно. Так, например, КЭ18-Ш означает плоский трехузловой конечный элемент с матрицей жесткости вращения, построенной методом множителей Лагранжа.. Проведем расчет оболочки двойной кривизны. Усеченная сферическая оболочка (рис. 5.1) нагружена по верхней параллели распределенным меридиональным моментом и жестко заделана по нижней параллели. Получим аналитическое решение задачи при помощи приближенного метода учета краевого эффекта (метод Штаермана-Геккелера) [14], применение которого является корректным, когда 0к ЗО0 (см. рис. 5.1). Разрешающие уравнения данного метода для сферической оболочки имеют вид: %- (5.1) Здесь R - радиус оболочки; h - толщина оболочки; Е - модуль упругости материала оболочки; v - коэффициент Пуассона; D - жесткость оболочки на изгиб; V- величина, равная произведению перезывающей силы в сечении оболочки на ее радиус; 0 - угол поворота сечения оболочки; 9 - угловая координата (см. рис. 5.1). Дважды продифференцировав уравнение (5.2) по величине 0, и подставив его в выражение (5.1), следующие внутренние силы: меридиональный момент Мт, окружная растягивающая сила Ти меридиональная растягивающая сила Тт и перерезывающая сила Q. Все остальные внутренние силовые факторы ввиду симметрии задачи отсутствуют. Эти силы связаны со значением функции Vwm ее производными соотношениями: Определим производные функции V по переменной е до третьего порядка включительно. Имеем: Исходя из условий равновесия, меридиональный момент на верхней параллели оболочки, т. е. при со=0, равен заданному в условии задачи:
Исследование собственных частот и форм колебаний незакрепленных трехслойных цилиндрических панелей
Для КЭ36-П был проведен расчет и сравнение с результатами экспериментального определения собственных частот и форм колебаний незакрепленных цилиндрических трехслойных панелей (рис. 5.16). Панели имеют размеры в плане 840 мм (по дуге окружности) х 870 мм по образующей. Радиус наружной поверхности образцов равен 2175 мм. Объект исследования имеет трехслойную структуру: слои 1, 3 - обшивки из углепластика; слой 2 - сотовый заполнитель. Края панелей заполнены сфе-ропластиком на глубину 40 мм. Экспериментальное определение частот было проведено резонансным методом. Техника эксперимента (рис. 5.17) состояла в следующем. Панель 1 вывешивалась за четыре угловые точки на эластичных резиновых лентах 2. Колебания возбуждались при помощи вибрационного стенда 3. Амплитуда вынужденных колебаний регистрировалась при помощи аппаратуры 4. После нахождения собственной частоты соответствующая ей форма определялась методом насыпного песка. Всего были определены первые пять собственных частот и форм колебаний незакрепленных панелей. Положение точки приложения возбуждающей нагрузки и местоположение регистрирующего датчика в зависимости от вида формы колебаний показаны на рис. 5.18; Сравнение результатов проводилось для двух образцов (далее панель УГ-1 и панель КТО), отличающихся видом сотового заполнителя, его толщиной, а также толщиной обшивок (табл. 1). Жесткостные и массовые характеристики сотового заполнителя обоих панелей приведены в табл. 8 измерения (Д) поперечных колебаний в зависимости от вида формы Материал - 500 кг/м3. Задача на собственные значения решалась методом Штурма с использованием в табл. 9. Из табл. 9 следует, что получено хорошее соответствие численных и экспериментальных результатов. Расхождение между решением МКЭ и экспериментально определенными значениями не превышает 7,7% для панели УГ-1 и 21,0% для панели КТО.
Само отличие частично объясняется наличием в реальных образцах микротрещин, которые существенно понижают значения собственных частот. Изображение форм колебаний, определенных экспериментально и численно представлены на рис. 5.19 - 5.20 для панели УГ-1 и на рис. 5.21 - 5.22. В процессе экспериментальных исследований был выявлен интересный эффект смены порядка чередования четвертой и пятой форм колебаний для панели КТО по сравнению с образцом УГ-1 (см. рис. 5.19 и рис. 5.21). Конечно-элементный расчет также отслеживает этот эффект (см. рис. 5.20 и рис. 5.22). Для точности и скорости сходимости решения по МКЭ весьма существенно, чтобы в элементе при его смещениях как твердого тела не накапливались ложные деформации. Для проверки этого условия применяется тест собственных значений [39], который состоит в том, что число нулевых собственных чисел МЖЭ должно быть равно числу смещений элемента как твердого тела. Результаты определения собственных чисел методом Якоби [51] для КЭ18.и КЭ36, взятых в форме равностороннего треугольника (длина стороны 0,01 м), представлены в табл. 10 - 11. Жесткостные характеристики материала и толщина КЭ приняты такими же, как в случае квадратной пластины (см. 5.2.3). 84 весьма значительным их преимуществом по сравнению с другими рассматриваемыми КЭ. 1. Приведены результаты решения задач статики с использованием плоских треугольных элементов с различными матрицами жесткости вращения. Результаты решения сопоставлены с аналитическим и решением МКЭ, использовавшим элементы другого типа. 2. Выявлена необходимость динамического подхода к тестированию плоских элементов с матрицами жесткости вращения. 3. На основании результатов решения задачи о собственных колебаниях произвольно ориентированных в пространстве плоских объектов проведено сравнение эффективности использования при расчетах конечных элементов с матрицами жесткости вращения, построенными методом упругой аналогии, методом штрафа и методом множителей Лагранжа. Сделан вывод о предпочтительном: использовании матриц жесткости вращения, построенных методом штрафа. 4. Исследование предложенных,КЭ при помощи теста собственных значений: также выявило преимущество элементов с МЖВР, построенных методом штрафа, а именно наличие у матриц жесткости этих элементов шести нулевых собственных чисел. 5; На примере определения собственных частот и форм колебаний свободно опертой цилиндрической оболочки показано, что для расчета тонких оболочек предпочтительнее использовать трехузловые конечные элементы КЭ18, а для расчета конструкций, в которых заметную роль играет поперечный сдвиг -шестиузловые КЭ36. 6. В процессе численного решения задачи о собственных колебаниях незакрепленных трехслойных панелей получен, ранее выявленный экспериментально, эффект смены порядка чередования четвертой и пятой форм колебаний для двух различных образцов.
Предложенная в предыдущих главах методика, а также разработанные конечные элементы были использованы при комплексном анализе прецизионной опорной конструкции детектора переходного излучения (ДЛИ) ATLAS, проект «LHC», Центр европейских ядерных исследований (CERN). В главе 6 произведен анализ и формализация структуры материала конструкций, изготавливаемых секторной выкладкой однонаправленного композита; на основе конечно-элементного анализа изолированного опорного кольца произведен выбор рациональных параметров армирования. С использованием двух концепций проектирования цилиндров, а также по результатам конечно-элементного анализа опорной конструкции при температурном и влажностном нагружешш осуществлен выбор схем армирования. ДЛИ ATLAS (рис. 6.1) является частью ускорителя LHC (Большой Ад-ронный Коллайдер). Данный ускоритель (мощность ускоряемых протонов до 7 ТэВ, мощность ускоряемых ядер до 1150 ТэВ, длина вакуумного кольца.- 27 км) после введения в эксплуатацию (2007 г) станет самым крупным из современных объектов ядерной физики. ДЛИ ATLAS - основной универсальный детектор LHC, позволяющий обнаруживать любые элементарные частицы, предназначен для регистрации излучения; электромагнитных волн, возникающего при пересечении равномерно и прямолинейно движущейся заряженной частицей: границы раздела двух сред с разными показателями преломления. При: движении заряженной частицы в однородной среде ее поле перемещается вместе с ней; характер поля определяется скоростью частицы и свойствами среды. Когда частица переходит в другую среду, ее поле меняется, что сопровождается излучением электромагнитных волн по обе стороны от границы раздела. При малых энергиях Е частицы энергия, теряемая ею при переходном излучении назад, растет пропорционально величине Et при высоких Е рост замедляется
