Асимтотические ряды для многочленов ортогональных относительно комплексного аналитического веса и приложения к полиномиальным всплескам Хабибуллин Роберт Флюсович

Содержание к диссертации

Введение 4

1 Асимптотические ряды для полиномов ортогональных отно
сительно комплексного переменного веса 9

1.1 Введение 9

1. Постановка задачи 9

2. Основные определения и обозначения. . 9

3. Формулировка основного результата 11

4. Краткий обзор метода 12

1.2 Метод матричной задачи Римана-Гильберта для получения
сильной асимптотики ортогональных многочленов. .,,... 14

5. Матр ичная задача Римана-Гильберта для ортогональных полиномов. 14

6. Равновесная мера и функция Сеге 15

7. Первое преобразование Y —» Т: нормировка матричной задачи 17

8. Второе преобразование Т — S: факторизация матрицы скачка и "раскрытие линзы" 18

9. Анализ краевой задачи для S 20

1.2.6 Постановка вспомогательной краевой задачи в
окрестности концевых точек носителя Д 22

1.2.7 Решение краевой задачи в окрестности концевой точки

с помощью функций Айри , , 22

1.2.S Заключительное преобразование S—+Д 33

1.2.9 Рекуррентные соотношения для г* 40

3. Асимптотика ортогональных полиномов относительно веса h_n . 41

4. Приложение 43

1. Решение предельной задачи (1-40) 43

2. Матричная задача Римана-Гильберта и интегральное уравнение 44

3. Вычисление г*і 45

1.5 Примеры 57

2 Локализация сингулярностей с помощью полиномиальных
фреймов 62

4. Введение. Полиномиальные фреймы (рамки) 62

5. Асимптотика фрейм коэффициентов для функции с разрывными производными 63

6. Случай Лагера 64

7. Случай Эрмита 71

3. Локализация сингулярностей 73

4. Численные эксперименты , . 75

Базис Шаудера минимальной степени с обобщенной Чебы-

шевской ортогональностью 76

1. Постановка задачи и осповные понятия 76

2. Основные идеи построения ортогопальпых базисов минимальной степени 77

3. Определение базиса 79

4. Оценка констант Лебега 82

Введение к работе

Теория ортогональных многочленов - глубоко исследованная и имеющая широкие приложения область анализа Одной из ключевых проблем данной теории является задача об асимптотическим поведении при возрастании номера п последовательности ортогональных многочленов {P^I^Lg Для исследования асимптотических свойств ортогональных полиномов применяются различные методы и приемы (см классическую монографию Gere [23]) Например, свойства, так называемых, классических ортогональных многочленов подробно исследуются методом Лиувилля - Сгпеклова, который называется также методом интегро-дифференциальных уравнений В случае, когда для ортогональных многочленов имеют место интегральные представления, применяется метод перевала Метод Дарбу основан на производящих функциях Наиболее универсальным является метод Сезе, который применяется в самых общих случаях Базовыми результатами по асимптотическим свойствам классических ортогональных миогочлепов являются работы Лапласа, Гейне, Дарбу, Стилтьеса, Сеге, Фейера, Перрона, Планшереля, Ротаха

Современная теория асимптотики многочленов ортогональных относительно комплексного переменного веса была развита Гончаром и Рахмановым (см , например, [1]) В настоящее время эта теория переживает бурный расцвет, являясь не только мощнейшим инструментом в анализе и математической физике, но н находя применения от теории чисел до случайных матричных ансамблей и асимптотической комбинаторике (см , например, доклад Дейфта на Международном конгрессе математиков в Берлине [12])

Комплексные методы исследования сильных асимптотик ортогональных многочленов основаны на краевых задачах для аналитических функций (задачах Римана-Гильберта) Этот подход появился впервые в работах Дж Наттолла в связи с изучением сильных асимптотик многочленов Эрмита-Паде (см обзорную статью [3], а такх^е [4]) В работе С П Суегина [5] подход Наттолла был развит для многочленов, определяемых соотношениями ортогональности на объединении конечного числа S-симметричных дуг в С [ P_n(z)z"h{z)dz = 0, P_n(_z) = zⁿ+ ,v = Q, , n -1 (1) с весовой функцией вида

К = —— на F, h Я (її), F Ш П, h ф 0 в Si, (2) где Wp есть корень из многочлена с нулями в концевых точках {Cj} дуг, составляющих F

Как было замечено Итсом, Фокасом и Катаевым в [6], скалярное краевое соотношение, использованное Наятоллом и Сустиным, может быть переформулировано в виде краевой задачи Римана-Гильберта для матрично-Значных функций Дейфтоы и соавторами в работах [7]-[11] был предложен метод решения таких матричных краевых задач Этот метод или, как: мы будем называть его в дальнейшем, метод перевала Дейфта/Джоу для решения краевых задач Римана-Гильберта для: ортогональных полипомов позволяет находить сильную асимптотику для широкого класса ортогональных многочленов, более того, делает возможным получать асимптотические ряды по степеням і во всей комплексной плоскости при п —> со Ранее, в перечисленных работах, были получены сильные асимптотики для полиномов ортогональных на М относительно переменных весов _er^nVi^x)^ где V является действительной, аналитической и имеющая достаточный рост в бесконечности, а также для полиномов ортогональных на Ш относительно не переменных весов е^-9^, где Q - многочлен четной степени И С ЖЖОЖИ-телт>ттим старшим коэффициентом или Q{a:} = к\%\@ с к, 0 > 0 Результаты полученные этими авторами, существенно улучшали прежние асимптотические формулы и были использованы для решения вопроса об универсальности в теории случайных матриц

Аптекареньш в [2], в связи с задачами о скорости аппроксимации аналитических функций рациональными, были рассмотрены полиномы ортогональные на комплексных кривых относительно переменного веса вида h_n(x) = e~²ⁿQ^k_n(x) с аналитической функцией Q и с \{h_n — Л_ж |[# = о(1) и для этих полиномов был получен главный член сильной асимптотики (то есть коэффициент при независимом от п члене асимптотического ряда) Глава 1 диссертации посвящена изучению асимптотических свойств полипомов {Pn}tt=ff {P_k{z) = z^k+ }₀ fp„(^h„(# = 0, ^ = 0, ,n-l, (3) ортогональных на комплексной кривой F относительно переменного веса h_n(z) _=е-*>(ч<.<»)+і<М">), где (pj, j = 0,1 - голоморфные в некоторой области fl Э F функции Основным результатом этой главы является Теорема 1, в которой получен асимптотический ряд по степеням і для полиномов, определяемых в (3) Как было замечено в [2], для процедуры применения метода перевала Дейфта/Джоу, который будет использоваться для доказательства этой теоремы, ключевым моментом является выбор дуги интегрирования Положение дуги интегрирования в свою очередь вытекает из нахождения S-симметричного носителя экстремальной моры А, обеспечивающей равновесие логарифмического потенциала V_v{z) во внешнем поле / = 5R(<5o) (определения логарифмического потенциала, равновесной меры и S-свойства вводятся в пункте 112 главы 1) Поэтому, условия, используемые в Теореме 1, будут выражены в терминах теории потенциала Наряду, с классическим для теории комплексного потенциала, условием S— симметрии (F, Qq) S, будут наложены условия связности на дугу Д- носителя равновесной меры Л, положительности Л во внутренних точках Д, а также концевыми условиями на

А для Л \{г) = ((z-a)(z-b))^1/2h(z), при h Є Н(О_а U О_ь), zO_aUO_b

В этих условиях, доказывается (см Теорему 1), что начиная с некоторого номера N многочлены Р_п имеют равномерное по z из компактов в С \ Д асимптотическое разложение по степеням і вида ^_Г\Ш₊ГЧ^ ₊ ±^1 ПРИ ^оо (4) (определения С_л, ір_П7 р вводятся б пункте 112 главы 1) Функции Щ ана-лнтичны в С \ Д и могут быть явно вычислены по рекуррентным краевым соотношениям В приложении к главе 1 (пункт 14 3) вычисляется Пі В качестве примеров, в заключении к первой главе, иллюстрируется как Теорема 1 может быть использована для получения асимптотических рядов для полиномов Бесселя degB_n(x) < п, В_п{х) ф О, ортогональных на замкнутой аналитической дуге 7, содержащую внутри точку 0, т е — / B_a(x)x^keidx = 0, к = 0, ,п-1, (5)

Ляг J₇ а также полиномов Лагера, определяемых нами точной формулой чс>-(:*;)^ <«)

Во многих приложениях, ортогональные полиномы являются естественным средством для построения различных ортогональных систем В последние два десятилетия бурно развивается новый аппарат обработки сигналов -вейвлеты (всплески) Отправной точкой лавинообразного развития вейвлетной теории принято считать работы Добеши [15], [16] С развитием новых методов в теории всплесков, например, применением кратно масштабного анализа, а также с развитием теории ортогональных многочленов, стало возможным построение и детальное изучение новых конструкций, полезных в практических областях Во многих приложениях, таких как, сжатие изображений и сигналов, анализе временных рядов, антенных технологиях и тд необходимо локализовывать сингулярности функций различных порядков Оказывается, полиномиальные вейвлеты рассмотренные Фишером и Пре-стином [21], а также более общие конструкции - полиномиальные фреймы (рамки), по некоторым соображениям подходят для этих целей больше, чем стандартные вейвлеты Для полиномов {pfc} ортогональных относительно веса w и для треугольной матрицы G = {gki}k=a (1=1,2, , аналог ядра Кристоффеля-Дарбу будет иметь вид

Интерес будет представлять следующий объект (фрейм элементы) k — l, ,т 0,1, , *_w,fcm(a:) = Afc,_mif2N(G⁽ Ч^мОИ^й,)) ^², (7) где {хк _т } - нули полинома р_т, a Afc „, - символы Кристоффеля При определенных условиях на. матрицу G, с помощью квадратурной формулы Гаусса, можно показать, что для функций из L^ верно представление

2 {» m п к тт где a_k(f) = / fpkudt, к = 0,1, , и

Я*.т(^с>Л = j f{t)Ki(G,t,x_km)u(t)dt (8)

В частности, Машкар и Престин в своей работе [22] доказали, что полиномиальные фреймы построенные по полиномам Якоби способны локализовы-вать сингулярности любых порядков для функций заданных на конечном интервале Во второй главе диссертации будут рассмотрены функции определенные на бесконечных интервалы (0,со), (—сю,со) и полиномиальные фреймы построенные по полиномам Лагера и Эрмита на них соответственно Беря за основу общую конструкцию для полиномиальных рамок (7) , исследуются локадизационвые свойства рамок, построенных по полиномам Лагера и Эрмита и показывается как они могут быть использованы для обнаружения и локализации синтулярностей всех порядков Для этого получены асимптотические представления для рамочных коэффициентов (8) в окрестности синтулярностей (Теорема 3 и Теорема 4 соответственно)

Теория вейвлетов и ортогональных многочленов тесно связаны еще с одним объектом представлшошим интерес на протяжении многих лет, а именно с базисом Шаудера, то есть системой функций {^а}І₀ для которой выполнено V/eC[-l,l] 3 4} ||/-Х>_ьЫ|»-*0 при п^м

Хорошо известно, что ряд Фурье непрерывной функции, в общем случае, не сходиться б sup норме (норме пространства С[—1,1]) При исследовании полиномиальных базисов, важным условием сходимости ряда оказывается условие на роет степени полиномов например, Фабер в [38] доказал, что любая система из тригонометрических полиномов {tp \і Є JN} вместе с условием deg tp < {j,/2 не может быть базисом Шаудера Естественным образом возникает вопрос о минимальной степени полиномов образующих базис Шаудера Этог вопрос был полностью решен Приваловым в его двух работах [28], [29] С одной стороны, он показал, что для любого базиса {і_д /t Є Щ в Счъ существует є > 0 такое, что для достаточно больших ц выполнено deg tp > (1 + є)/і/2 С другом стороны, он установил, что для любого є > О существует базис Шаудера удовлетворяющий degt^ < (1 + є) ft/2 Базис из полиномов с таким условием на степени называется оптимальным В работе [30] Ульянов поставил вопрос о минимальном росте степени полиномов с дополнительным условием ортогональности с весом w Лоренц и Саакян в [31] дали окончательный ответ для тригонометрического случая и, как оказалось, дополнительное условие на базис - быть ортогональным, не влияет на рост степени

Скопила М в работах [32], [33] решила проблему в случае когда w = 1 Б работах [26], [27], [34] авторами предложена конструкция, которая дает базис в пространстве ,[— 1,1] с произвольной функцией и, а при ш равному одному на классических Чебышевских весов образует базис Шаудера В главе 3 данной работы, исследуется конструкция полиномиального базиса {р_д}, построенного по полиномам ортогональным относительно обобщенного Чебышевского весд, т е весовой функции вида ш(х) = -^М=, х Є [-1,1], _Шо Є #(-5), ь*(±1) ф 0, (9) где 5 - некоторая область содержащая [—1,1] Из Леммы 15 следует, что основным условием для того, чтобы ортонормированкая система образовывала базисом Шаудера является равномерная ограниченность по п констант Лебега п L_n= sup 11 ^2 3V (^x)Pr ( ) 11

Вместо явных формул для полиномов Чебьшгева используемых в [26], [27], [34] для оценки констант Лебега для полиномов ортогональных относительно веса (Э) приходиться использовать их равномерные асимптотические представления (см [35]) В Леммах 18 и 19 главы і доказана равномерная ограниченность ло п констант Лебега , а тем самым (см Теорема 7) предъявлен базис Шаудера оптимальной степени с дополнительным условием обобщенной Чебышевской ортогональности

Благодарность. В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору Аитекареву А И за постановку задан, постоянное внимание и помощь в работе Работа над диссертацией (глава 2 и 3) велась в рамках проекта Российско-Франкс-Германских университетских обменов в г Любек (Германия) Автор выражает глубокую благодарность научному со-руководителю профессору Престипу 10 за обсуждение постановок задач, постоянное внимание и помощь в работе

Поддержка. Исследования по теме диссертации частично были поддержаны Проектом Россииско-Франко-Герыанских университетских обменов, программой поддержки ведущих научных школ РФ (грант № ГІШ-1551 2003 1), Отделением математических наук РАН (программа № 1) и фондами ИНТАС (грант }!" 03-516637) и РФФИ (грант № 05-01-00522)

Похожие диссертации на Асимтотические ряды для многочленов ортогональных относительно комплексного аналитического веса и приложения к полиномиальным всплескам

Сверхсходящиеся и универсальные ряды по многочленам ФабераДодунова, Людмила Кузьминична

Исследование сходимости рядов Фурье по многочленам, ортогональным на дискретных системах точекВердиева, Асият Вердиевна

Аппроксимации Эрмита-Паде для циклических графов и распределение нулей многочленов, ортогональных с переменным комплексным весомЛысов Владимир Генрихович

Предклассические ортогональные многочлены и ортогональные на полуоси по симметричному весу дробно-рациональные функцииХаиров Рахман Айдабекович

Теория минимальных сплайн-всплесков и ее приложенияМакаров, Антон Александрович