Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 3
2 Минимальные вогнутые поверхности 25
2.1 Простейшая функция Беллмана 25
2.1.1 Примеры 28
2.2 Однородное уравнение Монжа–Ампера 34
2.2.1 Фолиация 34
2.2.2 Лунка 45
2.3 Мартингальное преобразование Бурхольдера 54
2.3.1 История вопроса 54
2.3.2 Основные результаты 56
2.3.3 Определения и постановка задачи 57
2.4 Построение функции Беллмана 62
2.4.1 Сведение к двумерному случаю 62
2.4.2 Построение кандидата на роль функции M 65
2.4.3 Вогнутость в другом направлении 71
2.5 Точные константы по фолиации 77
2.5.1 Основная теорема 77
2.5.2 Случай yp s0. 79
2.5.3 Случай yp > s0. 80
2.6 Оптимайзеры по фолиации 84
2.6.1 Вспомогательные утверждения 84
2.6.2 Сличай s0 yp. 87
2.6.3 Случай s0 > yp. 90
2.6.4 Заключение 95
2.7 Построение функции Беллмана для равномерной выпук лости 95
2.7.1 Сведение к двумерному случаю 95
2.7.2 Построение 96
2.7.3 Случай p > 2. 96
2.7.4 Случай p < 2. 98
2.7.5 Точные константы 100
3 J-замкнутость конечных наборов пространств типа Харди 100
3.1 Введение 100
3.2 Связь J-замкнутости и K-замкнутости 102
3.3 Частичные ретракции 104
3.4 Двойственность 107
4 Исправление до функции с редким спектром и равномерно сходящимся рядом Фурье 110
4.1 Введение 110
4.2 Формулировка 112
4.2.1 Спектр 113
4.2.2 Базисы суммирования 113
4.2.3 Пространство U и основная теорема 114
4.3 Обсуждение 115
4.3.1 Достаточные наборы 115
4.3.2 Построение базиса суммирования 117
4.3.3 Небольшое усложнение 122
4.3.4 Условие согласования 123
4.3.5 Примеры 126
4.4 Доказательство теоремы 5.1 127
4.4.1 Разбиение функции на 2 слагаемых 127
4.4.2 Разбиение тригонометрических полиномов 128
4.4.3 Покрывающие окрестности 129
4.4.4 Завершение доказательства теоремы о разложении 130
Публикации автора по теме диссертации 132
Список литературы 132
- Мартингальное преобразование Бурхольдера
- Сведение к двумерному случаю
- Пространство U и основная теорема
- Завершение доказательства теоремы о разложении
Введение к работе
Объект исследования и научные положения, выносимые на защиту. Основные объекты исследования — функция Беллмана в теории сингулярных интегральных операторов, мартингальное преобразование Бурхольдера и его возмущения, равномерная выпуклость нормированных пространств, вогнутые функции на плоскости, удовлетворяющие однородному уравнению Монжа-Ампера, исправление до функции с редким спектром и равномерно сходящимся рядом Фурье, J-замкнутость конечных наборов пространств типа Харди.
Первый результат, выносимый на защиту, — точные оценки квадратичного возмущения мартингального преобразования Бурхольдера.
Второй результат, который выносится на защиту, — исследование равномерной выпуклости нормированных пространств методом функции Беллмана: найдены точные константы.
Третий результат, подлежащий защите, — частичная характеризация вогнутых функции от двух переменных с данными граничными значениями, удовлетворяющих однородному уравнению Монжа-Ампера.
Четвертый результат — новый вариант теоремы об исправлении до функции с редким спектром и равномерно сходящимся рядом Фурье.
Пятый результат — исследуется J-замкнутость для подпространств типа Харди в семействе ВМО-регулярных квазибанаховых решеток измеримых функции на окружности.
Цели и задачи диссертации. В этой работе автор ставит перед собой цель продемонстрировать применения метода функции Беллмана к некоторым задачам гармонического анализа, доказать новый вариант теоремы об исправлении и рассмотреть одну аппроксимационную задачу, важную в теории интерполяции.
Методы исследования. Основные результаты диссертации получены методам функции Беллмана и более традиционными методами гармонического анализа.
Достоверность научных положений. Все результаты, которые выносятся на защиту, являются математически достоверными фактами. Они были опубликованы в рецензируемых журналах и в препринтах, а их доказательства неоднократно проверялись специалистами в той области, к которой эти результаты относятся.
Научная новизна. Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми.
Актуальность, практическая ценность и область применения результатов. Новые сведения и закономерности, описанные в этой диссертации, могут быть использованы для получения новых результатов в этой области или в близких к ней, таких как теория функциональных пространств, теоремы вложения и т.д.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на общегородском семинаре по линейному и комплексному анализу в Санкт-Петербурге, на конференции 20th Summer St. Petersburg Meeting in Mathematical Analysis и на конференции Harmonic and Complex Analysis and its Applications в Испании 2012-ом году, а также многократно на семинаре по функции Беллмана в лаборатории им. П. Л. Чебышева.
Публикации. Результаты, выносимые на защиту, опубликованы в работах [PI3, PIOSVZ1, PIKI] и в препринтах [PIOSVZ, PI1,PI2,PISZ]. Первые 3 статьи напечатаны в журналах из списка ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и 3-x параграфов, разбитых в общей сложности на 48 пунктов и занимает 138 страниц. Библиография содержит 65 наименований.
Мартингальное преобразование Бурхольдера
В этом параграфе символ В означает борелевскую с-алгебру на интервале /. Пусть {Fn} =0 — мартингал на вероятностном пространстве (I,B,dx/\I\) с фильтрацией / = Т С Т\ С С Т. Рассмотрим про-извольную последовательность функций {єп} =1 такую, что єп является J- n-i-измеримой и \єп\ 1. Положим
Последовательность {Gn} =0 называется мартингальным преобразованием мартингала {Fn}, где Go = const на интервале I. Конечно, {Gn} Lo является мартингалом относительно фильтрации { п} =о.
В работе [12] Д.Бурхольдер доказал, что если Go -Ро, то для любого числа р, 1 р оо, имеет место неравенство где р — 1 = max{р — 1, —гу}, причем константа р — 1 в неравенстве (37) точна. Бурхольдер также показал, что достаточно проверить неравенство (37) для любой последовательности чисел {єп} такой, что еп = ±1, \/п 1. Было также отмечено, что оценка (37) не зависит от выбора фильтрации {J- n}, например, можно ограничиться только диа-дической фильтрацией. Мы отсылаем читателя к работам [12], [32] за дополнительной информацией об оценке (37)
В [9] более общая оценка была получена методом функции Беллма-на и использованием однородного уравнения Монжа-Ампера, а именно, оценка (37) достигается тогда и только тогда, когда
В дальнейшем последовательность {єп} предполагается предсказуемой и такой, что \єп\ = 1.
В [8] изучалось возмущение мартингального преобразования. А именно, при тех же предположениях (38) было доказано, что при 2 р оо, г Є Ш. справедлива оценка где константа ((р — 1)2 + г2)1 2 точна. Было также объявлено, что аналогичное точное неравенство имеет место при 1 р 2, т 0.5. Случай 1 р 2, т 0.5 был оставлен открытым. По поводу мотивировки изучения возмущенного мартингального преобразования мы отсылаем читателя к работе [8]. Стоит отметить, что метод Бурхольдера [12] и техника функции Беллмана [9], [8] имеют общие черты, а именно, они сводят данное неравенство к нахождению минимальной диагонально вогнутой функции с данными граничными значениями. Однако способы построения такой функции разные: в отличии от метода Бурхольдера [12], метод, предъявленный в [9], [8], основывается на однородном уравнении Монжа-Ампера. 2.3.2 Основные результаты
Прежде всего, отметим, что доказательство неравенства (39), представленное в [8], неверно в случае 1 р 2, 0 \т\ 0.5 (построенная функция не обладает необходимой вогнутостью).
В данной работе мы предъявим точную оценку возмущения мар-тингального преобразования в оставленном случае, когда 1 р 2 и число г Є Ш. любое, более того, мы не будем накладывать условие Явное выражение для функции C(f3 ) на интервале (—1 + 2/p,So) сложно выписать. Читатель может найти значение функции C(f3f) в пункте (ii) теоремы 2.4. Замечание 2.10. Условие и —j 0 всегда выполняется, например, если \т\ 0.822. Таким образом, мы еще раз получаем результат Бур-хольдера в предельном случае, когда т = 0. Стоит отметить, что, хотя доказательство неравенства (39), предъявленное в [8], неверно, анонсированный результат в случае 1 р 2, \т\ 0.5, остается верным в силу теоремы 2.3.
Отметим, что именно построение функции (42) принадлежит к числу главных результатов настоящей работы. Все вышеупомянутые оценки являются его следствиями. Стоит также обратить внимание на отличия стиля написания данной работы от стиля статей [9], [8]. Здесь мы не выписываем технические вычисления с утомительным разбором случаев, а вместо этого предлагаем удобный язык (см. 2.2), оперирующий минимальными вогнутыми поверхностями с данными граничными значениями и позволяющий обойти вычисления. Более того, по мнению автора, геометрические факты из 2.2 делают всю схему построения функцию Беллмана очень прозрачной.
Как и в [8] мы будем рассматривать только диадические мартингалы. Однако, читатель может заметить, что результаты сохраняются в общем случае, более того, функция Беллмана не меняется. Рассмотрим вероятностное пространство
Таким образом, Аіп состоит из объединений диадических интервалов
Такая последовательность называется диадической фильтрацией. Для данной Мт-значной функции F Є L1 ), положим где J — интервал вещественной прямой. Отметим равенство Fn = KFn+i\Mn, которое равносильно тождеству Мы говорим, что последовательность {Fn} =0 — диадический мартингал, построенный по функции F. Теперь рассмотрим один особый тип мартингального преобразования. Определение 2.6. Пусть F и G — вещественные интегрируемые функции. Если диадический мартингал {Gn}, построенный по G, удовлетворяет условию Gn__i — Gn\ = \Fn+i — Fn\ для всех п 0, то G называется мартингальным преобразованием функции F. Напомним, что мы интересуемся оценкой (G2 + T2F2)1/2LP CFLP. (41) Замечание 2.11. Мы не рассматриваем оценку (41) для пар (Fn,Gn), потому что оценки для таких пар легко следуют из оценки для предельной пары (F, G), если мы положим F = Fn and G = Gn. Введем следующую функцию Беллмана: (42) где фъх2) = (хъх2, \Xl\p), В{фъх2)) = (х22 + т2х2)р/2,х=(х1}х2,х3). Замечание 2.12. В дальнейшем жирные строчные буквы обозначают точки в К3. Таким образом, оценка (41) может быть переписана в следующем виде: Отметим, что функция Беллмана Н не зависит от выбора интервала I. Это простое и общее место читатель может проверить самостоятельно либо посмотреть доказательство в [8] или в [9]. В дальнейшем мы предположим, что / = [0,1]. Следующее утверждение описывает свойства функции Беллмана Н(х) и объясняет, почему мы ишем минимальную диагонально вогнутую функцию H(xi,x2,x3) в области П = {(хі,х2,х3) Є Е3 : \х\р х3} с граничными значениями
Определение 2.7. Пара (F, G) называется допустимой для точки х є К3, если G является мартингальным преобразованием функции F и E(F,G, Fp)=x.
Утверждение 2.2. Областью определения функции Беллмана Н(х) является П = {(хі,х2,х3) Є К3 : жір х3}. Граничные значения функции Н выглядят так: Н(хъх2, \хг\р) = [х\ + т2х\)р/2.
Доказательство. Проверим, что Dom_ff С П. Если х Є Dom_ff, то существует допустимая пара (F, G) для точки х, т.е. х = E(F, G, \F\P). По неравенству Йенсена мы имеем EFP EFP, и поэтому х Є Q.
Теперь проверим, что П С Dom_ff. Для любой точки х Є П нам нужно найти допустимую пару (F,G). Если х Є дП, то рассмотрим постоянные функции F = X\,G = х2, так что (F,G,\F\P) = х. Если точка х принадлежит внутренности множества П, мы проведем хорду, например, в плоскости Х\ + х2 = А, где А — некая постоянная, так, чтобы эта хорда пересекала границу множества П в двух точках а, Ь, причем ax/xb = 1. Здесь символом ах обозначена хорда, соединяющая точки а и х. Мы рассмотрим постоянную пару Fa, Ga, допустимую для точки а, и постоянную пару Fb, Сь, допустимую для точки Ь, и “склеим” единую пару (F, G) из пар (Fa, Ga), (F , Съ) следующим образом:
Сведение к двумерному случаю
В этом параграфе мы построим функцию Беллмана (7) в случае в = 1/2. Напомним, что (Ах) = А-В(х) для А 0 и функция В определена в выпуклом конусе. Это означает, что достаточно построить минимальную вогнутую функцию в сечении хз = 1. Положим В (ж 1, 2) = В(Х\,Х2,1). Тогда область определения функции В принимает следующий вид:
Отметим, что область Л определения функции В симметрична относи-тельно линии Х\ = Х2. Отметим также, что граничные значения функции В симметричны относительно той же линии, т.е. В(жі,Ж2) = В(х2,Хі) при (хъх2) Є дА. Положим Л+ = {хг х2} П Л и Л" = {хг х2}ПЛ (см. рис. 14). Тогда Л = Л+ U Л . Рассмотрим два случая.
В данном случае мы построим функцию В в области Л+ и продолжим ее в Л по симметрии В(жі,Ж2) = В(х2,Хі).
До конца параграфа положим y(s) = (s, g(s), f(s)) = (s, 1 — sl p\p, (—1/2 sl p)p) при s Є (2_p,oo). Отметим, что кручение кривой 7 меняет знак в точке s = 1 с + на —. Далее мы покажем, что существует функция a(s) Є С1(1,оо)Г\С[1,оо) такая, что а(1) = 1, a (s) 0, Hindoo a(s) = 2"р, а пара (a(s),s) решает уравнение (26). Рассмотрим непрерывную функцию Ф(а,Ь) (см. (29)), где а Є [2_р, 1] и b Є [1,оо). Прямые вычисления показывают, что Ф(2_Р,Ь) 0 для всех b 1. Можно легко показать, что для а Є (2_р, 1] существует большое число В 1 такое, что для всех b В мы имеем Ф(а, 6) 0. Это означает, что для всех є, 1 — 2_р є 0, и всех В 1 существуют числа а Є (2_р, 2_р + є) и 6 Є [5, оо) такие, что Ф(а,Ь) = 0. Поэтому из леммы 2.9 вытекает, что существует функция a(s) еС\1,ос)ПС[1 , оо) такая ,что а(1) = 1, a (s) 0, Ф(а(з),з) = 0 и Иш оо a(s) = 2_р. Лемма 2.10 влечет существование вогнутой функции В с фолиацией Gcup((l, оо), д). Таким образом, мы построили функцию В в области Л+. Продолж;им В симметрично на область Л (см. рис. 15).
Для того, чтобы проверить вогнутость функции В в области Л, достаточно проверить, что функция В является С1-гладкой на линии х\ = Х2. Для этого достаточно проверить, что величина t\ (2_р) функции В в области Л+ совпадает с величиной Щ (2_р) продолженной функции В в области Л , т.е., другими словами, градиенты на луче Х\ = Х2 одинаковые. Равенство (36) влечет
Аналогично, мы видим, что t (2_р) = . Конечно, построенная функция В является минимальной вогнутой функцией в области Л с граничными значениями (101).
Замечание 2.18. Читатель может заметить, что функция В(х\,х2,1), определенная в (9), определяет касательную плоскость к графику В в точке (2-Р, 2-Р).
Пусть фолиация Qcup((2_p, оо), д) состоит из сегментов с концами (s, g(s)) и (g(s),s) при s 2-Р (см. рис. 16).
Конечно, Осир((2_р, оо), д) — это фолиация. Пусть функция В такова, что B(s, g(s)) = f(s), B( jf(s), s) = f(s) и В линейна на каждом сегменте где є Ocup((2_p, оо),д).
Если мы повернем систему координат (х\,х2) на 45 градусов против часовой стрелки, то границу множества Л можно представить как график функции g(s), где д Є С1. Образы концов сегмента (х\ координаты), Є Gcup((2_p, оо),д), будут удовлетворять уравнению (26). Действительно, уравнение (26) означает, что если 7(s) — С1-гладкая кривая в К3, то векторы 7 (а), т ( ) и 7(а) т( ) лежат в одной и той же плоскости. Поэтому они будут лежать в одной и той же плоскости и после поворота. Стало быть, уравнение (условие того, что векторы лежат в одной плоскости) вместе с леммой 2.10 влечет, что функция В удовлетворяет однородному уравнению Монжа-Ампера и равенству (19) за исключением сегмента (1,д(1)), где нет С2-гладкости.
Однако из равенства (36) следует, что В принадлежит классу С1 (Л). Стало быть, нам достаточно проверить условие вогнутости функции В в области Л \ П+, где П+ = Л(Осир((2_р, Продифференцируем граничные значения B(s, g(s)) f(s), B(g(s),s) = f(s), тогда мы получим значение для (s):
Прямые вычисления показывают, что t 2(s) 0, если s 1. Следовательно, функция В вогнута. Таким образом, мы построили минимальную вогнутую функцию В в области Л с данными граничными значениями:
Пространство U и основная теорема
Пусть заданы шаблон М и М-достаточный набор R = (R\,... , Rk) подмножеств группы Г. Пусть еще В - базис суммирования в Г. Обозначим через u(G, В, Rj) множество тех функций / из u(G, В), для которых /(7) = 0 при 7 4- R j . Наконец, пусть U = U(G,B,R) - это множество всех сумм вида h = fi + . .. + fk, где Є u(G, В, Rj),j = l,...,k. Снабдим пространство U нормой
Если сама группа бесконечна – но только в этом случае задача об исправлении и содержательна. где нижняя грань берется по всем представлениям функции h в виде, указанном выше. Стоит отметить, что если множества Rj попарно не пересекаются (а так и будет во всех интересных примерах), то такое представление единственно. Теперь мы можем сформулировать основную теорему.
Теорема 4.1. Предположим, что система R и базис суммирования Б согласованы. Тогда для всякого є 0 и всякой функции f Є L(G) существует функция g Є U такая, что те{/ ф д} є и \\д\\и Ce_D/loo. Константы С и D не зависят от f.
Начнем с примеров, показывающих, как могут быть устроены достаточные наборы множеств. В статье [44] использовался только один шаблон, а именно, {—1,1} С Z (т.е. параметр / равен 1). Как уже отмечалось, ему соответствует то, что было названо достаточными парами. Типичный пример достаточной пары (Д1; Д2) в случае, когда G - это тор Тга, выглядит так. Пусть Т4 - попарно непересекающиеся шары в Шп с радиусами, стремящимися к бесконечности; положим R\ = (J (V& П Zra),
Достаточные наборы с шаблоном { — 1,2} С Z устроены несколько иначе. Для торов Тга, например, очевидно, существуют { — 1, 2{-достаточные наборы (R\, R2), для которых R\ П (—R2) = 0. Это интересно и для группы окружности Т.
Важный пример / шаблона с / 1 доставляет набор Mi = {ei,... Q, — (ei + ... + е\) { из / +1 элемента группы Ъ1. Здесь через е., обозначен j-й координатный орт, т.е. вектор, у которого на j-м месте стоит 1, а на остальных -нули. Очевидно, что набор (R\,... , R1+1) подмножеств группы Г является Mi -достаточным тогда и только тогда, когда для каждого конечного множества К С Г существуют такие характеры Для тора Т2 в качестве G, примеры М2-достаточных множеств получаются следующим образом. Рассмотрим конфигурацию из трех непересекающихся кругов одного радиуса г с центрами на трех лучах, исходящих из начала координат под углом 120 друг к другу; считаем, что центры удалены на равные расстояния от начала. См. рис. 17.
Теперь рассмотрим последовательность таких конфигураций; пусть rs - радиусы кругов s-й конфигурации. Предположим, что rs — оо и что все круги в совокупности попарно не пересекаются. В остальном взаимное расположение конфигураций произвольно (каждая может быть повернута вокруг начала на какой-то угол относительно конфигураци-ии на рис. 17). Разные конфигурации не обязаны быть гомотетичны (отношение радиуса rs к расстоянию от центра круга до начала координат может быть разным для разных конфигураций). Искомый набор (R\, i?2, Rs) возникает так: Ri - это объединение кругов, помеченных индексом г (г = 1,2,3) в разных конфигурациях, пересеченное с решеткой Z2. Заметим, что среди этих наборов есть такие, в которых —Ri не пересекается ни с одним из множ еств І?!, R2, Ri.
Читатель легко представит себе, как выглядят похожие множества для шаблонов Mi с другими / в случае торов любой размерности. Нетрудно также представить себе и возможности, доставляемые более причудливыми шаблонами (например, {еі,5в2, Юез, —е\ — 5в2 — Юез} в случае / = 3 и т.п.).
Во всех этих примерах множества Ri, составляющие достаточный набор, - относительно небольшие подмножества группы Г. Вообще говоря, не для всякой группы найдется достаточный набор из “малых” множеств, отвечающий произвольному наперед заданному шаблону. Так, если G = Y\ 2 диадическая группа (соответственно, Г = 2 У, то, 3 =1 3=1 например, для 1-шаблона М = {—2,2} нет никаких М-допустимых наборов, кроме набора (Г, Г). Все, однако, и в этом случае будет в порядке для шаблона { — 1,1}.
При построении базисов суммирования мы начнем примерно как в [44], а потом введем важное усовершенствование. Нам необходимо соблюсти баланс между двумя противоположными требованиями: с одной стороны, желательно включить в базис как можно больше множеств, а с другой - надо обеспечить условие согласованности, говорящее и о том, что слишком обширным базис быть не может. Описанная ниже конструкция - довольно громоздкая на первый взгляд. Однако мы увидим, что она удачно совмещает оба требования.
Пусть А - произвольное множество. Система А его подмножеств называется блоком, если она линейно упорядочена по включению, замкнута относительно образования любых пересечений и удовлетворяет условиям 0 Є А и U{A : А Є А} = А. Ясно, что если А - блок, то каждое конечное подмножество Е С А содержится в некотором множестве из А, и что среди таких множеств есть наименьшее, которое мы будем обозначать через DA(E).
Рассмотрим конечный набор А\,... , AN из N блоков в дискретной группе Г. Он называется каркасом, если все пересечения А = А\Г\.. .Г)AN, где Aj Є Aj при 1 j N, конечны. Каждое такое множество А называла ется ячейкой. Нетрудно понять, что если А - ячейка, то А = Р D {A).
Множество от А = (J Дд. (А) называется тенью ячейки А. Базисом суммирования В, порожденным каркасом А\,... , AN, называется совокупность всех конечных подмножеств Е группы Г таких, что для любой ячейки А либо А С Е, либо Е С от А.
Из линейной упорядоченности каждого блока по включению следует, что все ячейки заведомо принадлежат базису суммирования. В [44] только ячейками дело и ограничивалось. Наше определение включает в базис значительно более широкий класс множеств. Остановимся на этом подробнее.
Пусть для начала каркас составлен только из одного блока А. Тогда все множества А Є А конечны. Перенумеруем их в порядке возрастания: 0 = АОСА1СА2С..., U Ак = Г.
Завершение доказательства теоремы о разложении
Как показано в [44] (см. лемму 2 и рассуждения после нее в той статье), достаточно доказать следующее утверждение. В нем мы сохраняем обозначения теоремы 4.1.
Утверждение 4.2. Теорема о разложении. Найдется число г, 0 г 1, со следующими свойствами. Каковы бы ни были функция / Є L(G), H/Цоо 1, и число г/ 0, существуют функции g ЄІІ иfiE U(ц) такие,
Как и в [44], сначала мы будем разбивать тригонометрические полиномы в сумму двух слагаемых со свойствами, даже несколько более сильными в сравнении с теоремой о разложении. Напомним, что шаблон М -это подмножество {т,(1 ,... , тттл"} группы Z,1, удовлетворяющее условиям теоремы А. Согласно этой теореме, на торе Т1 существует тригонометрический полином вида через ml обозначены компоненты точки m Є ТІ) такой, что для некоторого г, 0 г 1, имеем
Напомним, что V(G) обозначает множество тригонометрических полиномов (т.е. линейных комбинаций характеров) на группе G. Мы снабдим это множество нормой пространства /:(Г): если р = Е cil, то
Лемма 4.3. Пусть г - число из формулы (105). Существует такая постоянная с 0, что для любого с, любого М-достаточного набора (Ri,..., Rk) подмножеств группы Г и любого р Є V(G) найдутся тригонометрические полиномы q\,..., qu на G со следующими свойствами: при каждом j, 1 j к, спектр тригонометрического полинома qjp лежит в Rj и, кроме того, \\\%\\\ и (1-Е Яз)р\\ь-(0) с-Р\\р\\Ьг{а). Здесь с и /5 не зависят от р, и М-достаточного набора (R\,..., Rk).
Доказательство. Положим а = maxi s fc as, где числа as - коэффициенты полинома (104). Пусть t Є V(G). Обозначим через К носитель преобразования Фурье функции t. По определению М-достаточного набора множеств, существует набор 7 = (7ъ--- 7г) Гг, для которого
Далее, для этого набора характеров 7 можно найти такие комплексные числа (\,... , (і, \(j\ = 1, что где число є определено формулой (105). Действительно, если проинтегрировать левую часть этого неравенства по (і,... , Q по нормированной мере Лебега на торе Тга, то в силу той же формулы (105) мы получим правую часть.
Используя это наблюдение, возьмем функцию р из формулировки леммы и построим по индукции последовательности тригонометрических полиномов на группе G так, чтобы
Делается это следующим образом. Положим q- = 0 при всех j. Если для некоторого п полиномы Qi ,... , qj? уже построены, рассмотрим полином к / \ 1 — 2 Ps )р и найдем для него характеры 71, , 7z и числа (д,... , Q, как было описано выше. После этого положим Соотношения (106)–(108) проверяются легко. Из (107) видно, что \\\q bn для некоторого b 1 (число b зависит только от а и к). Вместе с (108) это доказывает лемму. За доказательствами утверждений этого пункта мы отсылаем читателя к [44] или к более ранней статье [49]. Компактная окрестность V единиц в группе G называется покрывающей, если V-1 = V и существует такое конечное семейство {xi} точек группы G, что G = \Ji(Xi + V) и (Xi + V) П (XJ + V) имеет меру ноль при г ф 2.
С каждой покрывающей окрестностью V свяжем функции (ХІ - точки, упоминавшиеся выше). Ясно, что ]«; Е 1 и скги(с) =( г\\п{г) = 1. Кроме того, а.і(ХІ) = 1. Далее, ЦСКІЦЬГ- m(V-V)llr. Если размерность группы G конечна, то у точки 1 Є G имеется база из покрывающих окрестностей, которые можно выбрать так, что ra(V-V) 2dimGm(V) для каждой окрестности из базы.
Пусть / - функция из формулировки этой теоремы. Пусть о - маленькое положительное число. Найдется такая непрерывная функция ір на G, что IMIc(G) 1 и / — f\\br(G) о . Далее, в базе покрывающих окрестностей единицы, о которой говорилось выше, найдется такая окрестность Пусть 8 - еще одно малое положительное число. Найдем такие тригонометрические полиномы pi на G, что \\p j — Х/гі(г) . Тогда / — 2f(xi)pi\\br (2 тг + ( iVa) ")1/ " 3V, если # достаточно мало.
Дальнейшая стратегия состоит в том, чтобы применить лемму 4.3 к каждому из полиномов pi. Сделать это, однако, надо аккуратно, как описывается в следующей лемме. Число г/ в ней взято из формулировки теоремы о разложении. Отметим, что в той теореме при небольших г/ годится разложение / = 0+/ (д = 0, h = /), поэтому без потери общности можно считать г/ достаточно большим. Это полезно ввиду ограничения снизу на константу в лемме 4.3.
