Введение к работе
Актуальность темы. Основные принципы построения современных физических теорий включают в себя симметрии, законы сохранения (интегралы движения) й связи меяду ними. Математическим аппаратом для их изучения, а также для построєшїя точных решений нелинейных полевых уравнений является современный групповой анализ. Имеются в виду не только очевидные "кинематические" симметрии, которые учитываются при построении гамильтониана или лагранжиана физической системы, но и "скрытые" (динамические) симметрии, которые обнаруживаются лишь при систематическом анализе динаїяіческих уравнений. Самой известной дннам-.лоской симметрией является открытая В.А.Шоком четырехмерная вращательная симметрия атома водорода в киантовоЛ механике, которую моето вычислить регулярным образен, применяя теорій обобщенных симметрии. Эта теория основана на группах преобразований Ли-Беклувда, являющихся математическим аппаратом алгоритмического вычисления скрытых симметрии и открытых Н.Х.Йбрагимовш и Р.Л.Андерсоном. Аналогичный математический аппарат разработан для алгоритмического вычисления законов сохранения без обращения к теореме Нётер, предполагающей лаграыеву или га-мильтонову структуру уравнений движения.
В данной работе методы современного группового анализа получили дальнейшее развитие и применены для исследования пространственно одномерных систем гидродинамического типа (СГТ). Класс га-мильтоношх СГТ был впервые выделен В.А.Дубровиным и С.П.Новлко-
вым. 2 о квазилинейные системы уравнений в частных производных первого порядка, обладающие гамильтоновой структурой. СГТ описывают разнообразные явления: динамику газа и идеальной жидкости, включая теорию волн №> мелкой воде; модели нелинейной упругости и фазовых переходов; уравнения хроматографии и электрофореза, описывающие проховдение многокомпонентной смеси через сорбирующую среду и динамику многокомпонентной заряженной среды; магнитную гидродинамику. Физически интересные нелинейные волновые уравнения второго порядка являются условиями интегрируемости СГТ: уравнения Эйлера и Пуассона нелинейной акустики, уравнение Борна-Инфельда нелинейной электродинамики с плоской, цилиндрической и сферической симметриями, системы уравнений релятивистской струны. Вследствие такого представления информация о симметриях, законах сохранения, гамнльтсновых структурах и точных решениях СГТ переносится на указанные уравнения. Новейшие приложения СГТ связаны с теорией усреднения нелинейных уравнений теории солитонов. Усредненные уравнения твляютея СГТ и описываю? динамику медленных модулями параметров конечнозонных решений, названных "солитонными решетками" и имеющих вид простых и кратных бегущих волн. Изучение таких усредненных СГТ, в сущности, дает теорию возмущений, когда разложение по мало-:у параметру производится в окрестности физически вашого решения ("конденсата") в противоположность разложению в окрестности тривиального решения ("вакуума").
Привлекательной особенностью СГТ является возможность их геометрического описі лия, подобно уравнениям Га^ильтона-Якоби и эйконала механики и оптики. Групповой анализ этих систем обнаруживает связанные с ними дифференциально-геометрические структуры:связность, метрику, кривизну. Гамильтонова структура, если она имеется, окап'.'Т.астся лишь одним ич ас. зктов отой более общей геометри-
ческой теории. Таким образом, здесь ясно видна связь групп преобразований с геометрией, которую имели в виду еье С.Ли и Ф.Клейн в своей эрлангеиской программа.
Для многокомпонентных СГТ, нз зависящих явно от аргументов ~Ь , X , важные результаты были получены С.П.Царевым. ВэянеПшй из них это "обобщенное преобразование годографа", позволяющее линеаризовать СГТ, обладавшие свойством "по.уга^лльтоновости".
Актуальная проблема интегрирования СГТ на является решенной. Для многокомпонентных СГТ, не зависящих явно от X , ~Ь , преобразование Царева сводит ее it проблеме интегрирования многомерных ли-неГ.шх систем' с переменными коэффициентами.
В данной работе развит ноша подход к отой проблема на основе систематического изучения высших симметрии и операторов рекурсии. Получены также кз известные ранее лииеаризукцие преобразования для СГТ, явно зависящих от т или от X .
Суть развитого здесь подхода состоит в следуете;?. Выделяется класс СГТ, имевших бесконечное множество гидродинамических спммет--пи.і"п интегралов с функциональным произволом, определяемым системой линейных уравнений в частных производных. Зормулы для соответствующих инвариантных решений определяют линсаризущее преобразование, сводящее отыскание решений нелинейной СГТ к проблеме интегрирования линейной системы. Строятся операторы рекурсии, отобрагашіе симметрии снова в симметрии. Они порогядаш1 рекурсии гидродинамических симметрии и интегралов и, как следствие, репені 1 соответствующей линейной системы. Это дает ракурсионше формула, позволяюиие размнокать решения нелинейной СГТ. Действие операторов рекурсии на гидродинамические симметрии, явно зависящие от X , "Г , пороздяпт бесконечные серии высших симметрии, для которых имеются явные формулы для инвариантных решений. Погученше бесконечные серии точных решений СГТ аналогичны известным автомодельным резаниям в мєхянмгр
- б -
газа и жидкости и описывают физически интересные режимы. Цель рэбо-: состояла в решении следующих задач:
-
Для двухкоашонентных систем гидродинамического типа, которые могут явно зависеть от ~Ь или от X , найти все гидродинамические симметрии с явной зависимостью от if и І , исследовать их алгебру Ли и построй ть инвариантные решения и линеаризующие преобразования.
-
Найти высшие симметрии и построить операторы рекурсии симметрии для этих систем.
-
Найти все гидродинамические интегралы и построить высшие законы сохранения с плотностями, явно зависящими от X , t , для этих систем.
-
Конкретизировать эти результаты и получить явные формулы, даюпше бесконечные серии точных решений для двух важных классов двух-компоиентных систем: обобщенных уравнений газовой динамики и се~ парабельных гамильтоновых систем, имеющих многочисленные физические приложения. Получить для них представление Лакса и исследовать их гамильтоновы структуры.
-
Пост; )ить теорию операторов рекурсии первого и высших порядков для многокомпонентных полугамильтоновых СГТ, показать их теоретике- групповое происхождение и развить на "той основе простой
. метод их вычисления.
-
Построить высшие симметрии и высшие интегралы для многокомпонентных полугамильтоновых систем.
-
Изучить связи между симме :ри.<ми и интегралами для этих систем ли основе обобщенной теоремы Нётар-Ибрагинова без предположения об их лагрантевей или гамильтоновой структуре, а также связи высших интегралов с гамильтоновыни структурами,
-
Достроить серчи точных инвариантных решений.
-
Найти..гидродинамические симметрии и линеаризующие преобразова-
-,7-
нкя для многокомпонентных СГТ, явно зависящих от ~t или от X . Развить для них обобщение дифференциально-геометрической теорія полугамильтсновых и гамильтоношх систем. ІО.Показать перспективы новых приложений группового анализа: груп-'пового подхода к теории дифференциальных связей, к построению представления Лакса метода обратной задощи рассеяния, к получению законов композиции решений нелпней'- г;с уравнений.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введе-
