Введение к работе
Актуальность темы. За последние двадцать лет, благодаря применена бастродействуквдх ЭВМ, стала развиваться теория сояйтоиов - раздел математика об интегрировании нелинейных дк<$фвр8нцяалышх уравнений в частных производных. Такие урзвдензяг обладают бесконечным набором плотностей законов сохранения и гамидьтоновой структурой. Для них была развита теняпоа конечновонного интегрирования, позволившая построить юс периодические и гсаазипвриодическйв решения, зависящие я 05 набора параметров.
В 80-х годах были разработали методы усреднения таких, реаонай отих уравнений. В этой случав набор параметров рассматривался как иедленноиеняющився функции на фоне быстрого периодического (ила квазшшриодического; решения, по периоду которого и производилось усреднении. Получающиеся уравнения на цедлеяноценпющився функции а приводили я системам уравнений гидродинамического тина, которые "наследовала* бескояоч» іти набор плотностей законов сохранения и гаиияьтонову структуру. Кроиа того, аногие задачи из гидродинамики, хшическоЗ кинетика , теория упругости, «агиатяой гпдродкнаїдага, биологии, теорпа плагин приводят к изучению спетой гидродинамического типа,
В отявчиа ох техники усреднения пптегрнруекмх уравнеинй аогоды усреднения уравнений в частных производных известии о SO-x годов. Тогда и удалось не только усредним уравнение їортевега да-Фрйза, но и привести систему усредненных уравнений к диагональнону виду (или записать систему в инвариантах ?пмапа). Полученная састеиа долгое время оставалась единстве гш пряаероц из систем гидродинамического типа (с числом у гравнонаЛ больше двух), которая происходила па интегрируемой іадачя. Кроме того, было неясно, какиш свойствам обладают юдобныа састеш, какае свойства онп "сохранягот" от исходных ятегрнруэиых оиотеи.
Вообце, квазилинейные системы уравнений в частных прояв-одта первого порядка изучались еще с прошлого века. Однако
*- Г.-
достаточного запаса (для решения задачи Кош) аналитических решений найти не удавалось. Йкенно," появление усредяешша систеи уравнений привело к оозданк» и развитию йодных аналитических ыетодов, козорне опираются на классическую дифференциальную геометрию. Оказалось, что такие системы уравнений всегда привозиш в диагональнуе форму, что они имеют бесконечный набор илот ноете & законов сохранения, локальную гаїдагьгонову структуру. Решение задачи Кошк для усредненной систеыы уравнений Кортвега до Фриза дает возможность, например, описать ударную волну в саном уравнении Кортвега дэ Фриза.
Кроме того, хорошо известно, что вычислительные методы при изучении нелинейных задач при больших временах но "работают". Во многих же прикладных задачах суцесхвуех потребность исследовать поведеииа решения, как раз на большее "вреиенах". Именно здось и удается аначатически исследовать динаиину сисхеи уравне ний гидродинамического типа.
К ыоаенту написания диссертации, был создан, в основной, ивтеыатичеокий аппарат изучения таких систеи, однако, прииеров интегрирования таких систеа практически не было. Поэтому нахождение необходимое методов решения систем уравнений гидродинамического типа и их интегрирование весьиа актуально.
Цель диссертации
-
Изучение слабонелинейных систеи. Построение для них полного набора плотностей законов сохранения, коммутирующих потоков. Решение задач.и Кошк.
-
Изучение более обцего класса систем гидродинамического типа - " & - систем8. К этому классу относятся слабонелине'й-ные системы, системы хроматографии и электрофореза, ыелкой воды, газовой динашши, квазиклассические пределы Нелинейного уравнения Иредянгера, уравнения Еуссинеска, "Сцепленного КдФ". С ниии связаііЕ усредненные уравнения однозонных решений SU-V , КдФ и ЮТ. Нахождение для этих систем плотностей законов сохранения, коммутирующих потоков, репение задачи Коии.
-
Исследование систяа- хроматографии и электрофореза. . дли них найдено общее решение, что позволяет решать задачу
Коши.
Ч. Усреднение обобщенного Нелинейного уравнения Шредкн-гера,. построение для полученной снегами уравнений гаиилмоно за Форцалиааа. Приведение усредизнных уравнений многофазного решения ОТа, Построение коммутирующих потоков для полученной сисїєіш уравнений. Изучение ия связя с абелеияш дилере ренциалаш и обсундение полноты полученных результатов. Построение общего решения усредненных уравнений.
Научная новизна. Для всего класса слабонелинайных систем явно построены пдотпоми законов сохранения и воымутирувдив потоки. Найден более широкий класс систеы, чем слабонели-неЯнае, они обладают тем же наборои плотностей законов сохранения. Предъявлено общее решение.
Изучена п &. - систеиы". Для этого класса задач произведена классификация систем уравнений, яыэвдж локальную гшшльтонову структуру с разншш <- и для либого числа . уравнений М . Показано, что слабонелинейинз спегеш определенного типа принадлежат к классу " . -систви" яра . *1. Для зтах систем построен годный набор плотностей законов' сохранения, полный набор коїшутнруйідих потоков, найдено об-щев реяеннз. Исследована задача Коти
Показано, что шогие физические задачи: газовой дина-шши, грелкой воды, квазиклассические пределы уравнения Бус-синеска, Нелинейного уравнения Иредингера, "Сцепленного Кдф" относятся к'этоиу классу задач.
Иаучвнц системы хроматографии и электрофореза. После приведения к инвариантам Гайана, оказалось, что эти систеиа совпадают и прннадлезат к классу " - - систем" при d = -I. Для них найден бесконечный набор плотностей законов сохранения, коммутирующих потоков, построено общее решение. Исследована задача Коши.
Изучено усреднение методоы Уизеиа обобщенного Нелинейного уравнения Шредингера. Для системы усредненных уравнений построен локальный гамильтонов <$ориализц. Методой усреднения Фореста-Флаши-Маклафлина получены усредненные уравнения
иногозонвого решения Нелинейного уравнения Шредингвра. Показало, 410 усредненные ураБнелия одно зонного решения Нелинейного уравнения Шредингера ішеюх гри локальные ганильтонотш струкїурн.
Сравнивай результата усреднения обобщенного Нелинейного уравнения Шредингера. вєїодои Уизеаа и методой Фореста-Флашш -йаишфляна, отизчено преимущество лагракзе-ва фориалазма дли исходного уравнения перед гаиидьхововам форышшзмои.
Построено чещрвхпаршетричеокое семейство кошутируо-вдх поїокоз к усредненным уравнениям однозонного уравнения Нелинейного ураецения Шредингера о поыодью абалегых дифференциалов, задалнш: на рииааовой поверхности рода один.
Апробация работа. Нахериалы диссертации докладывались иа семинарах ЙТФ АН СССР, ЙФЗ АН СССР, ЙОАИ СССР, ИФІГ АН СССР, и ИГФ'АН УССР на цевдуяародяой конференции по нелгщейлш процессам 1987 г., в г.Кркале на П рабочем совещании по солито-нан 1986 г., в Санкт-Петербурге в Северо-Западном политехнической института.
Структура диссертации. Диссертация состоит аз введения, четы рех глав.и заключения. В ней содержится список дктературн, включающий наименований.
