Введение к работе
Актуальность темы. Идея построения полей произвольного сшна s~oj,ул~ из поля спина s = *М на нова и на эвристическом уровне высказывалась многими авторами. Весь вопрос состоит в том, как конструктивно реализовать эту идею. Первый, кто попытался это сделать,был Луи де Бройль. В 30-х годах он предложил метод слияния, согласно которому волновая функция , & строится как произведение "сливаемых" функций % и - . К сожалению, никаких количественных результатов метод де Броііля на дал.
Более реалистической выглядит программа Гейвенберга, выдвинутая пи в конце 50-х годов. В отличие от Луи де Бройля, Гейзен-берг в основу своей теории положил нелинейное уравнение Дирака, причем не классическое, а квантовое, В результате самодействия спинорного квантового поля, по идее Гейэенйарга, должны порождаться различные частицы (поля). В рамках этой теоршг, взяв из опыта значение массы нуклона, удалось вычислить массы многих элементарных частиц в довольно хорошем согласии с экспериментом. И тем не менее, теория Гейзенберга далека чот завершения, и в настоящее вреш особого энтузиазма не вызывает.
Новый подход к решению задачи построения полей произвольного спина по нолю со спином *М начал разрабатываться в Институте математики АН УССР В.И.йущичем со своими учениками. Этот подход основан на хорошо известной возможности построения из егш-норного поля биспиноркнх плотностей, представляющих собой скалярное поле,, векторное поле Ар & /р. тензорное поле Fmi ' кФ (&/»'fi&W я т.д. Оказалось, что зная решения нелинейного сшшорного уравнения, ыоншо строить поля произвольного спина. Более точно это означает следующее. Если полонять в основу такого подхода нелинейное сшшорноэ уравнение оо специфическим нели-нейиым членом, то построив в явном виде классы точных решений такого уравнения, легко строить по этим решениям поля со спинами s^ 4 /, %, ... , которые удовлетворяют нелинейным уравнениям Далаыбэра, Максвелла, Янга-Ыиллса и т.д.
Цель наст отлей работа - создать элективные методы решения нелинейных сгошорных уравнений. Больная часть диссертации посвячена описанию анзацев и редукций нелинейных «шорных уравнений
к системам обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и построению ИХ ТОШШХ РЄЮ8НИЙ. ДЛЯ ЭТОГО СуЩЗСТВеННО ССПОЛЬЗуеГСЯ СІШ-
метриыный аналий нелинейных уравнений.
Научная новизна работы. В диссертации:
разработан эффеютшшй метод получения точных решений систем нелинейных сплноршвс дифференциальных уравнений в частных производных (ДУШІ), обладающих нетривиальной симметрией;
построен явный вид водного набора PC1,3) _ неэквивалентных анзацев для сішнорного и векторного полей, редуцирукщпх соответствующие системы ДУШ к системам с меньшим числом независимых переменных;
получены формулы размножения решений для скалярного, слпнорно-го, векторного и тензорного нолей (и в общем случае для. ПОЛЯ произвольного спина) с помощью конформных преобразований;
построены широкие семейства точных решений нелинейных уравнений Дирака, квантовой электродинамики, Янга-Миллса и др.;
установлена связь иедлу решениями уравнений Янга-Миллса и Ди-рака-Гюршл: мероиы и инстантош оказываются результатом сагло-дєйстбия спиноркого поля Дирака-Гкрш;
установлена связь мекду решениям безыассового уравнения Дирака и уравнений Максвелла, что оказалось тесно связанным с ду-атшюй-цуанкаре-яявариангностью и наличием локальных суперал-гебр симметрия уравнения Дирака; '
найдены конечные преобразования и формула размножения решений для уравнений с произвольным спинені инвариантных относительно группы Шредантера;
описаны линейные в нелинейные системы ДУЧП. инвариантные относительно грушщ Шредантера;.
-. установлен критерий сводимости двумерных уравнений Фзккера-Планка к уравнению теплопроводности и найден явный вид замен переменных, осуществляющих такое сведение для ряда конкретных широко используемых уравнений Фоккера-Планка;
ошсан полный набор '(' l, -5J -наэквивалентных анзацев коразмерности I для поля Иавье-Сгокса, которые редуцируют уравнения Навье-Стокса к системам ОДУ. Построены точные решения уравнении Навьз-Стокса;
предложена формула и способ вычисления нелокальных преобразований, генерируемых нэлиегспЕж операторами;
установлена инвариантность уравнений Дирака, Клзііна-Гордоіга-Фока, Максвелла относительно преобразовании Галилея;
построенц решения уравнения Шредингера, инвариантные относительно алгебры Лорэнца;
предлолген способ нелокальной линеаризации нелинейных уравнении .
Практическая ценность результатов работа состоит прежде всего в том, что развитые в диссертации методы и полученнне результаты являются новыми и представляют собой вахыую часть современной теоретической v математической физики - нвжшзііноіі математической физики. Эти методы и результаты могут найти применение при исследовании широкого круга вопросов математической физики классическое и квантовой теории поля. Развиваемое в работе направленно тесно приникает к тем исследованиям в области теоретической и матеыатачоско!; физики, которые интенсивно проводятся как у нас в стране (І.Г.І ЛИ СССР им. В.Л.Стеклова, ИШ АН СССР ии. У.В.Кедцшаа, ОШИ (Дубна). Ш.ВЭ.КТФ АН СССР ш. Л.Д.Ландау, Институт гаїзітаї АН БССР, ИТФ All УССР, Институт гидродинамики и Вычислительный центдр СО АН СССР (Новосибирск) и др.), так и в радо научных центров за рубэяа (Шинесотсиїіі университет (США), Институт математической физики им. А. Зошерфельда (Клаус-таль, ФРГ), Монреальский университет (Канада) и др.).
Апробация, работа и публикации. Результата, изложенные в диссертации опублікованії в 41 работа и монографии, список " которых приведен в конца автореферата. Эти результаты докладывались на Международных семинарах "Теоретико-групповые метода в физика" (Звенигород IS83, Юрмала 1985, Москва 1990); Всесоюзном коллоквиуме по групповым истодам в Ленинграде (1985);"на Международных конференциях по теории Ли и дифференциальным уравнениям в Клаус-тале (ФРГ, 19В8), Монреале (Канада, 1989), Мшшеаролисо (СИЛ, І9В8); на Нендународних конференциях по неланеШым явлениям и турбулентности в Киеве (1966, 1988); на семинарах факультета информатика! Лейпцягского университета (1990); на семинарах отдела прикладных исследований ИГ*! АН УССР (І978-І99І),
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, общим объемом 193 стр. Список литературы гхлючаог 207 наименовании.
