Содержание к диссертации
Введение
1. Введение. 3
2. Обобщённое Боголюбовское эволюционное уравнение для двухвременных средних . 9
3. Приближение усреднённого импульса решётки и кинетические уравнения в теории полярона . 18
4. Кинетика геликоидального движения. 27
5. Стремление к равновесию в электрон-фононной системе 33
6. Функции Грина в теории полярона 43
Заключение. 58
Литература. 59
- Обобщённое Боголюбовское эволюционное уравнение для двухвременных средних
- Приближение усреднённого импульса решётки и кинетические уравнения в теории полярона
- Стремление к равновесию в электрон-фононной системе
- Функции Грина в теории полярона
Введение к работе
Основной задачей статистической механики является исследование систем многих взаимодействующих частиц, прежде всего последовательное микроскопическое описание фазовых переходов, эволюции и кинетики динамических систем. При последовательном исследовании макроскопических свойств многочастичных систем на основе микроскопического описания, исходным пунктом должны являться управляющие динамические уравнения или уравнение Лиувилля. Однако, зачастую для описания конкретных характеристик и свойств многочастичных систем не требуется знание полной функции распределения и исследования уравнения Лиувилля, а достаточко работать в рамках сокращённого описания, на основе кинетических уравнений для S -частичных функций распределения. При этом необходимо проводить математические исследования условий, при которых переход к сокращённому описанию является корректным.
Такой подход впервые был развит в фундаментальной работе Н.Н.Боголюбова Ell, где была показана эквивалентность уравнения Лиувилля и цепочки уравнений для 5 -частичных функций распределения, были найдены и исследованы условия (принцип ослабления корреляций), при которых первое уравнение цепочки Боголюбова переходит в кинетическое уравнение Больцмана 2J для одночастичной функции распределения. Первоначальный вывод кинетического уравнения, данный самим Больцманом, носил полуинтуитивный характер и зиждился на гипотезе о вероятном числе столкновений. При ЭТО&! предполагалось, что все эффекты, связанные с корреляциями частиц, пренебрежимо малы. Естественно, что вопрос о рамках применимости кинетического уравнения Больцмана в таком подходе оставался открытым.
В работе показано, что для не очень малых интервалов времени, значительно больших времени столкновения, происходит синхронинизация функций распределения, заключающаяся в том, что все частичные функции распределения выше первой, начинают зави-сеть от времени только через одночастичную функцию распределения, взятую в тот же момент времени. Т.е. показана возможность сокращённого описания неравновесных процессов. Кроме того в рамках данного подхода, основанного на основных законах механики и принципе ослабления корреляций предложена схема нахождения поправок к уравнению Больцмана ГЗ, 4] и соответственно критерии его применимости.
По прошествии достаточно большого времени (времени релаксации) каждая изолированная макроскопическая система переходит в состояние статистического равновесия. Т.е.объект исследования равновесной статистической механики - равновесное состояние -является частным предельным состоянием макроскопической системы. Из общих соображений ясно, что описание и исследование предельного равновесного состояния должно быть значительно проще, чем описание и исследование тех процессов, в результате которых достигается это состояние. Однако, уже получение строгих и адекватных результатов в равновесной теории оказалось довольно сложной задачей, потребовавшей в каждом конкретном случае развитие мощных математических методов Ъ- 12]. При этом сложнейшим оказался уже вопрос о существовании функции свободной энергии в термодинамическом пределе (/ о° ,у- оо , h//V- CoHJ t ), непосредственно связанный с устойчивостью материи JJ5, б, 12-17}. Сложность этих задач связана как со сложностью гамильтонианов реальных систем, так и с самой проблемой вычисления термодинамических потенциалов и термодинамических средних по заданному гамильтониану. Эти обстоятельства вынуждают идти на упрощение ситуации.
Выделяя самые существенные особенности реальной системы и пренебрегая многочисленными деталями, по полному гамильтониану системы строится упрощённый гамильтониан, который описывает модель данной системы. Например, модельный гамильтониан теории сверхпроводимости (модель БКШ - Боголюбова EI8-20J) получается редукцией из более общего гамильтониана Фрёлиха, гамильтониан Дикке
- из полного гамильтониана, описывающего взаимодействие вещества с излучением.
Интерес к модельным системам . /обусловливается тем, что их изучение вносит существенный вклад в наше понимание весьма сложных задач статистической механики и, в частности, для обоснования приближённых методов. Например, точное решение двумерной модели йзинга [24 - 29] сыграло большую роль при построении теории фазовых переходов и критических явлений, а точное решение модели БКШ - Боголюбова теории сверхпроводимости дало значительный толчок дальнейшему развитию этой теории [21, 22].
Одной из интересных моделей квантовой теории поля, физики твёрдого тела и статистической физики является модель полярона [30 - 33J - электрона, движущегося в ионном кристалле с сопутствующей ему поляризацией. Повышенный интерес к этой модели обусловлен тем, что здесь оказались применимы методы квантовой теории поля Jj34, 35/. При этом круг возникающих задач для этой модели, например нахождение эффективной массы квазичастицы, определение подвижности полярона С"36] и т.д. не поддаются решению в рамках строгого подхода. Следует отметить, что рассмотрение данной модели в рамках неравновесной статистической физики 37 -представляет как большую сложность, так и большой интерес.
Большой интерес представляет строгий подход в неравновесной статистической механике, где получение точных результатов является ещё более сложной задачей. В связи с этим важно получение точных кинетических уравнений для различного рода взаимодействующих систем. Математические исследования в физике неравновесных процессов ij инициированы как чрезвычайной сложностью возникающих в теории задач, так и естественным стремлением распространить идеи и методы строгого подхода, нашедшего успешное применение в равновесной статистической механике ] 5 -12], в кинетическую теорию. В настоящее время большое стимулирующее значение исследований в этом направлении имеет метод изучения эволюции динамических систем, взаимодействующих с бозонным полем, предложенный Н.Н.Боголюбовым в работе [40J и развитый в работах [41, 42J, являющийся принципиальным обобщением метода кинетического уравнения Больцмана в теории электронов, движущихся в кристалле и взаимодействующих с колебаниями решётки и внешним электрическим полем. Этот метод, развитый в основополагающих работах Н.Н.Боголюбова и Н.Н.Боголюбова (мл.) 40-42], нашёл успешное применение в квантовой статистике и физике конденсированных сред - теории полярона, электрон-фононных систем1, взаимодействующих с электромагнитным полем, и ряде других задач [43-45JI
В работе [40jf дан вывод точного эволюционного уравнения для электрон-фононных систем, находящихся под действием внешнего , электрического поля. С помощью специально доказанной леммы операторы фононного поля исключены из уравнения и получено обобщённое точное эволюционное уравнение, содержащее только переменные электронной подсистемы. Аналогичное уравнение получено в работе plj с использованием квантовополевой техники / -произведений. Обобщение этих результатов на более широкий класс систем дано в работе ]_42_/. 2 работах[40-42]дано применение полученного точного уравнения к конкретным системам. Показано, что для модели полярона при выборе надлежащей аппроксимации можно получить урав - 7 -нение Больцмана, исследованное в работе 46] при низких температурах, и соотношение Фейнмана-Торнбера, связывающее среднюю скорость движения электрона в кристалле с внешним электрическим полем [47] . !
Выход за рамки стандартного кинетического уравнения неизбежен и при описании эволюции носителей в конденсированных средах, например, при рассмотрении кинетики электрона с учётом эффектов локализации и автолокализации, а также под действием высокочастотных полей [48].
Действительно, для целого ряда веществ в широком диапазоне экспериментальных условий изучение кинетики электронов не может быть сведено к исследованию в рамках кинетического уравнения. В связи с этим в настоящее время ведутся интенсивные исследования по созданию более мощного подхода к кинетической теории, основанного, например, на эффективных методах квантовой теории поля 4 • Одной из наиболее актуальных задач в данной области является проблема полярона - квазичастицы, образуемой электроном, движущимся в кристалле, с сопутствующей ему поляризацией решётки [48, 50]. Гамильтониан Фрёлиха, нашедший успешное применение в ряде задач физики конденсированных сред и теории элементарных частиц, послужил исходной моделью для исследований электрон-фононных систем на основе кинетической теории [40 - 42].
Другим важным примером динамических систем, взаимодействующих с бозонным полем, является многочастичная система двухуров-невых объектов под действием электромагнитного излучения. Такие системы можно описывать на основе гамильтониана Дикке 23], имеющего операторную структуру сходную с модельным гамильтонианом поляронного типа [33J. Особый интерес указанная проблема приобретает в связи с разработкой теории сверхизлучательного лазера рентгеновского и гамма-диапазонов. Действительно, при генерации коротковолнового когерентного электромагнитного излучения основную роль должны играть процессы коллективного спонтанного излучения в безрезонаторных системах скоррелированных двухуровневых излучателей. При этом для выбора активной среды и рабочего режима особенно важно адекватное описание динамических процессов, приводящих к корреляции в системе излучателей и сверхизлучению.
Данная работа и посвящена развитию метода точного эволюционного уравнения и его применению для кинетического описания систем поляронного типа [43, 55 - 57]}.
Отметим также, что изложенный подход к исследованию систем в рамках метода функций Грина получил дальнейшее развитие при изучении систем сверхизлучательного типа ГбО - 63j.
Обобщённое Боголюбовское эволюционное уравнение для двухвременных средних
Основной задачей статистической механики является исследование систем многих взаимодействующих частиц, прежде всего последовательное микроскопическое описание фазовых переходов, эволюции и кинетики динамических систем. При последовательном исследовании макроскопических свойств многочастичных систем на основе микроскопического описания, исходным пунктом должны являться управляющие динамические уравнения или уравнение Лиувилля. Однако, зачастую для описания конкретных характеристик и свойств многочастичных систем не требуется знание полной функции распределения и исследования уравнения Лиувилля, а достаточко работать в рамках сокращённого описания, на основе кинетических уравнений для S -частичных функций распределения. При этом необходимо проводить математические исследования условий, при которых переход к сокращённому описанию является корректным.
Такой подход впервые был развит в фундаментальной работе Н.Н.Боголюбова Ell, где была показана эквивалентность уравнения Лиувилля и цепочки уравнений для 5 -частичных функций распределения, были найдены и исследованы условия (принцип ослабления корреляций), при которых первое уравнение цепочки Боголюбова переходит в кинетическое уравнение Больцмана 2J для одночастичной функции распределения. Первоначальный вывод кинетического уравнения, данный самим Больцманом, носил полуинтуитивный характер и зиждился на гипотезе о вероятном числе столкновений. При ЭТО&! предполагалось, что все эффекты, связанные с корреляциями частиц, пренебрежимо малы. Естественно, что вопрос о рамках применимости кинетического уравнения Больцмана в таком подходе оставался открытым.
В работе II3 показано, что для не очень малых интервалов времени, значительно больших времени столкновения, происходит синхронинизация функций распределения, заключающаяся в том, что все частичные функции распределения выше первой, начинают зави-сеть от времени только через одночастичную функцию распределения, взятую в тот же момент времени. Т.е. показана возможность сокращённого описания неравновесных процессов. Кроме того в рамках данного подхода, основанного на основных законах механики и принципе ослабления корреляций предложена схема нахождения поправок к уравнению Больцмана ГЗ, 4] и соответственно критерии его применимости.
По прошествии достаточно большого времени (времени релаксации) каждая изолированная макроскопическая система переходит в состояние статистического равновесия. Т.е.объект исследования равновесной статистической механики - равновесное состояние -является частным предельным состоянием макроскопической системы. Из общих соображений ясно, что описание и исследование предельного равновесного состояния должно быть значительно проще, чем описание и исследование тех процессов, в результате которых достигается это состояние. Однако, уже получение строгих и адекватных результатов в равновесной теории оказалось довольно сложной задачей, потребовавшей в каждом конкретном случае развитие мощных математических методов Ъ- 12]. При этом сложнейшим оказался уже вопрос о существовании функции свободной энергии в термодинамическом пределе (/ о ,у- оо , h//V- CoHJ t ), непосредственно связанный с устойчивостью материи JJ5, б, 12-17}. Сложность этих задач связана как со сложностью гамильтонианов реальных систем, так и с самой проблемой вычисления термодинамических потенциалов и термодинамических средних по заданному гамильтониану. Эти обстоятельства вынуждают идти на упрощение ситуации.-Выделяя самые существенные особенности реальной системы и пренебрегая многочисленными деталями, по полному гамильтониану системы строится упрощённый гамильтониан, который описывает модель данной системы. Например, модельный гамильтониан теории сверхпроводимости (модель БКШ - Боголюбова EI8-20J) получается редукцией из более общего гамильтониана Фрёлиха, гамильтониан Дикке - из полного гамильтониана, описывающего взаимодействие вещества с излучением.
Приближение усреднённого импульса решётки и кинетические уравнения в теории полярона
Уравнение (6.14) для функции бії(#,т) содержит неизвестную функцию &&(;) . Однако для функции Rftfatf можно получить уравнение, аналогичное (6.14) в том же приближении, в котором было получено уравнение для функции &}%({;,?) . Отнимая Уравнение (6.7) из уравнеия (6.6) и выбирая вышеуказанное приближение, имеем:
Система нелинейных уравнений (6.14) и (6.15) замкнута относительно функций 6 и f . После нахождения функции G можно найти и функции Грина. Однако, если из вышеуказанной системы найти функции & и R , то представляющие физический интерес средние можно найти из соотношений (6.13) и без явных выражений для функций Грина.
Вернёмся к точному уравнению (6.6). Из него непосредственно следует уравнение для функций Грина швингеровского типа
Действительно, если операцию усреднения брать с учётом хронологического произведения и учесть, что под знаком Т-произведения операторы можно переставлять как С -числа, то последняя сумма в правой части (6.6) будет равна нулю, а четырёхфермионные средние в правой части (6.6) можно написать в одинаковом виде. Затем, если - О и t0 взять равным ЯГ , то из (6.6) следует уравнение для функций Грина швингеровского типа, полученное в [ 58"].
Получив уравнение для функции Q (т; -z) , мы можем следовательно получить точные уравнения для опережающих и запаздывающих функций Грина. Однако т.к. эти уравнения очень громоздки, то мы в явном виде будем выписывать только уравнение для запаздывающих функций Грина. Уравнение для опережающих функций Грина выписывается аналогичным образом. Дифференцируя первое из соотношений (6.9) и учитывая (6.10), получим:
Уравнение (6.16) для запаздывающих функций Грина содержат дополнительный член по сравнению с зфавнением для швингеровских функций Грина - это последняя сумма в правой части. Если мы положим t0- С , то этот член занулится и в уравнении для запаздывающих функций Грина, в то время как в уравнении для швингеровских функций Грига он равен нулю независимо от выбора "0.
Итак, мы получили точное уравнение (6.16) для запаздываю-щей функции Грина. Его решение - очень сложная задача, совпадающая по сложности с точным решением уравнений Гейзенберга или цепочки Боголюбова. Поэтому, для получения дальнейших результат тов нам необходимо ограничиваться надлежащими аппроксимациями. Это приближение соответствует Хартри-Фоковской теории. Так же, как и в предыдущем случае, мы можем получить уравнение для функции G(n\co) , которая в верхней части комплексной плоскости совпадает с фурье-преобразованием запаздывающей функции Грина. Это ураЕ«ение аналогично уравнению (6.22):
Стремление к равновесию в электрон-фононной системе
Т.е. показана возможность сокращённого описания неравновесных процессов. Кроме того в рамках данного подхода, основанного на основных законах механики и принципе ослабления корреляций предложена схема нахождения поправок к уравнению Больцмана ГЗ, 4] и соответственно критерии его применимости.
По прошествии достаточно большого времени (времени релаксации) каждая изолированная макроскопическая система переходит в состояние статистического равновесия. Т.е.объект исследования равновесной статистической механики - равновесное состояние -является частным предельным состоянием макроскопической системы. Из общих соображений ясно, что описание и исследование предельного равновесного состояния должно быть значительно проще, чем описание и исследование тех процессов, в результате которых достигается это состояние. Однако, уже получение строгих и адекватных результатов в равновесной теории оказалось довольно сложной задачей, потребовавшей в каждом конкретном случае развитие мощных математических методов Ъ- 12]. При этом сложнейшим оказался уже вопрос о существовании функции свободной энергии в термодинамическом пределе (/ о ,у- оо , h//V- CoHJ t ), непосредственно связанный с устойчивостью материи JJ5, б, 12-17}. Сложность этих задач связана как со сложностью гамильтонианов реальных систем, так и с самой проблемой вычисления термодинамических потенциалов и термодинамических средних по заданному гамильтониану. Эти обстоятельства вынуждают идти на упрощение ситуации.
Выделяя самые существенные особенности реальной системы и пренебрегая многочисленными деталями, по полному гамильтониану системы строится упрощённый гамильтониан, который описывает модель данной системы. Например, модельный гамильтониан теории сверхпроводимости (модель БКШ - Боголюбова EI8-20J) получается редукцией из более общего гамильтониана Фрёлиха, гамильтониан Дикке - из полного гамильтониана, описывающего взаимодействие вещества с излучением.
Интерес к модельным системам . /обусловливается тем, что их изучение вносит существенный вклад в наше понимание весьма сложных задач статистической механики и, в частности, для обоснования приближённых методов. Например, точное решение двумерной модели йзинга [24 - 29] сыграло большую роль при построении теории фазовых переходов и критических явлений, а точное решение модели БКШ - Боголюбова теории сверхпроводимости дало значительный толчок дальнейшему развитию этой теории [21, 22].
Одной из интересных моделей квантовой теории поля, физики твёрдого тела и статистической физики является модель полярона [30 - 33J - электрона, движущегося в ионном кристалле с сопутствующей ему поляризацией. Повышенный интерес к этой модели обусловлен тем, что здесь оказались применимы методы квантовой теории поля Jj34, 35/. При этом круг возникающих задач для этой модели, например нахождение эффективной массы квазичастицы, определение подвижности полярона С"36] и т.д. не поддаются решению в рамках строгого подхода. Следует отметить, что рассмотрение данной модели в рамках неравновесной статистической физики 37 -представляет как большую сложность, так и большой интерес.
Большой интерес представляет строгий подход в неравновесной статистической механике, где получение точных результатов является ещё более сложной задачей. В связи с этим важно получение точных кинетических уравнений для различного рода взаимодействующих систем. Математические исследования в физике неравновесных процессов ij инициированы как чрезвычайной сложностью возникающих в теории задач, так и естественным стремлением распространить идеи и методы строгого подхода, нашедшего успешное применение в равновесной статистической механике ] 5 -12], в кинетическую теорию. В настоящее время большое стимулирующее значение исследований в этом направлении имеет метод изучения эволюции динамических систем, взаимодействующих с бозонным полем, предложенный Н.Н.Боголюбовым в работе [40J и развитый в работах [41, 42J, являющийся принципиальным обобщением метода кинетического уравнения Больцмана в теории электронов, движущихся в кристалле и взаимодействующих с колебаниями решётки и внешним электрическим полем. Этот метод, развитый в основополагающих работах Н.Н.Боголюбова и Н.Н.Боголюбова (мл.) 40-42], нашёл успешное применение в квантовой статистике и физике конденсированных сред - теории полярона, электрон-фононных систем1, взаимодействующих с электромагнитным полем, и ряде других задач.
Функции Грина в теории полярона
При последовательном исследовании макроскопических свойств многочастичных систем на основе микроскопического описания, исходным пунктом должны являться управляющие динамические уравнения или уравнение Лиувилля. Однако, зачастую для описания конкретных характеристик и свойств многочастичных систем не требуется знание полной функции распределения и исследования уравнения Лиувилля, а достаточко работать в рамках сокращённого описания, на основе кинетических уравнений для S -частичных функций распределения. При этом необходимо проводить математические исследования условий, при которых переход к сокращённому описанию является корректным. Такой подход впервые был развит в фундаментальной работе Н.Н.Боголюбова Ell, где была показана эквивалентность уравнения Лиувилля и цепочки уравнений для 5 -частичных функций распределения, были найдены и исследованы условия (принцип ослабления корреляций), при которых первое уравнение цепочки Боголюбова переходит в кинетическое уравнение Больцмана 2J для одночастичной функции распределения. Первоначальный вывод кинетического уравнения, данный самим Больцманом, носил полуинтуитивный характер и зиждился на гипотезе о вероятном числе столкновений. При ЭТО&! предполагалось, что все эффекты, связанные с корреляциями частиц, пренебрежимо малы. Естественно, что вопрос о рамках применимости кинетического уравнения Больцмана в таком подходе оставался открытым. В работе II3 показано, что для не очень малых интервалов времени, значительно больших времени столкновения, происходит синхронинизация функций распределения, заключающаяся в том, что все частичные функции распределения выше первой, начинают зави-сеть от времени только через одночастичную функцию распределения, взятую в тот же момент времени. Т.е. показана возможность сокращённого описания неравновесных процессов. Кроме того в рамках данного подхода, основанного на основных законах механики и принципе ослабления корреляций предложена схема нахождения поправок к уравнению Больцмана ГЗ, 4] и соответственно критерии его применимости.
По прошествии достаточно большого времени (времени релаксации) каждая изолированная макроскопическая система переходит в состояние статистического равновесия. Т.е.объект исследования равновесной статистической механики - равновесное состояние -является частным предельным состоянием макроскопической системы. Из общих соображений ясно, что описание и исследование предельного равновесного состояния должно быть значительно проще, чем описание и исследование тех процессов, в результате которых достигается это состояние. Однако, уже получение строгих и адекватных результатов в равновесной теории оказалось довольно сложной задачей, потребовавшей в каждом конкретном случае развитие мощных математических методов Ъ- 12]. При этом сложнейшим оказался уже вопрос о существовании функции свободной энергии в термодинамическом пределе (/ о ,у- оо , h//V- CoHJ t ), непосредственно связанный с устойчивостью материи JJ5, б, 12-17}. Сложность этих задач связана как со сложностью гамильтонианов реальных систем, так и с самой проблемой вычисления термодинамических потенциалов и термодинамических средних по заданному гамильтониану. Эти обстоятельства вынуждают идти на упрощение ситуации. Выделяя самые существенные особенности реальной системы и пренебрегая многочисленными деталями, по полному гамильтониану системы строится упрощённый гамильтониан, который описывает модель данной системы. Например, модельный гамильтониан теории сверхпроводимости (модель БКШ - Боголюбова EI8-20J) получается редукцией из более общего гамильтониана Фрёлиха, гамильтониан Дикке - из полного гамильтониана, описывающего взаимодействие вещества с излучением.
Интерес к модельным системам . /обусловливается тем, что их изучение вносит существенный вклад в наше понимание весьма сложных задач статистической механики и, в частности, для обоснования приближённых методов. Например, точное решение двумерной модели йзинга [24 - 29] сыграло большую роль при построении теории фазовых переходов и критических явлений, а точное решение модели БКШ - Боголюбова теории сверхпроводимости дало значительный толчок дальнейшему развитию этой теории [21, 22]. Одной из интересных моделей квантовой теории поля, физики твёрдого тела и статистической физики является модель полярона [30 - 33J - электрона, движущегося в ионном кристалле с сопутствующей ему поляризацией. Повышенный интерес к этой модели обусловлен тем, что здесь оказались применимы методы квантовой теории поля Jj34, 35/.
