Введение к работе
Настоящая диссертация посвящена получению и исследованию новых интегрируемых систем на пространстве параметров, определяющих Римановы поверхности. Также обнаружены и исследуются новые свойства уже известных интегрируемых систем.
1.1 Актуальность темы
Исследование интегрируемых систем можно разделить на два периода. К первому периоду относятся работы таких великих математиков как Л.Эйлер, Ж.Лагранж, С.Пуассон, К.Якоби, У.Гамильтон, Ж.Лиувилль, Г.Дарбу. В конце XIX - начале XX вв были исследованы многие интересные примеры. Важнейшие работы были сделаны С.Ковалевской, Н.Жуковским, П.Пенлеве, Л.Шлезинджером и др. Были изучены многие системы, представляющие собой гамильтоновы системы с конечным числом степеней свободы, обладающие достаточно большим числом сохраняющихся величин - интегралов движения. Заметим, что именно из изучения интегрируемых систем возникла теория групп Ли. Но после работ Пуанкаре стало понятно, что глобальные интегралы движения существуют лишь в исключительных случаях. Это явилось причиной уменьшения интереса к такого рода системам.
Второй период в исследовании интегрируемых систем начался уже во второй половине XX века со знаменитой работы К.Гарднера, Дж.Грина, М.Крускала и Р.Миуры [GGKM]1 , где была предложена нелинейная замена переменных в уравнении Кортвега-де Фриза (КдФ), после которой это уравнение становится линейным и решается в явном виде. Замена основана на формализме прямой и обратной задач рассеяния для одномерного уравнения Шредингера. Далее, в работе П.Лакса [L]2 было обнаружено, что уравнение КдФ возникает как условие совместности линейных дифференциальных уравнений. В этой же работе были введены понятие L — А пары (пары Лакса) и уравнение Лак-са, для которого следы степеней матрицы Лакса L являются интегралами движения. В.Захаровым и А.Шабатом [ZS]3 было показано, что понятие L — А пары свойственно не только уравнению КдФ, но также и нелинейному уравнению Шредингера. Стало понятно, что этот метод возможно применим к широкому классу уравнений. Тогда же В.Захаров и Л.Фаддеев в работе [ZF]4 показали, что КдФ является бесконечномерной гамильтоновой системой.
В последовавших за этим работах И.Кричевера и С.Новикова ([К]5 , [KN]6) были вве-
^GGKM] - Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M., Method for solving the Kortveg-de Vries equation, Phys.Rev.Lett., v.19 (1967) 19, p.1095-1097.
2[L] - Peter D. Lax, "Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves.", Comm. Pure Appl. Math., 21 (1968), 467-490.
3[ZS] - В.Захаров, А.Шабат, Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах, ЖЭТФ, т.61 (1971) 1, 118-134.
4[ZF] В.Захаров и Л.Фаддеев, Уравнение Кортвега-де-Фриса - вполне интегрируемая гамильтонова система, Функц. анализ и его прилож., т.5 (1971) 4, 18-27.
5[К] - И.Кричевер, Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической геометрии, Функц. анализ и его прилож., т.11 (1977) вып.1, 15-31.
e[KN] - И.Кричевер и С.Новиков, Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нели-
дены уравнения Лакса, содержащие спектральный параметр - локальную координату на римановой поверхности. В этом случае необходимые для интегрирования сохраняющиеся величины возникают как коэффициенты в разложении по подходящему базису на римановой поверхности следов степеней матрицы Лакса. Появилась возможность рассматривать матрицу Лакса как мероморфную функцию на римановой поверхности.
Наряду с алгебро-геометрическими методами развивались также и теоретико-групповые. Так, в работах М.Олыпанецкого и А.Переломова [ОР]7 были развиты метод проектирования и метод редукции, основанный на отображении момента, обобщающем теорему Нетер. Было выполнено явное интегрирование для систем Калоджеро, Сазерленда, непериодических цепочек Тоды. Важным этапом стало появление метода г-матрицы в работах Е.Склянина, Л.Тахтаджяна и Л.Фаддева ([STF]8,[S]9 ,[TF]10) - удобного способа описания гамильтоновой структуры. Его возникновение связано с квантовым методом обратной задачи рассеяния, классический вариант метода г-матрицы был развит позже. В рамках формализма г-матрицы находится работа Склянина [Ski]и , в которой вводится квадратичная алгебра скобок Пуассона (алгебра Склянина) между переменными, образующими фазовое пространство решеточной модели Ландау-Лифшица ([SR]12 ,[FT]13).
Новые возможности в исследовании интегрируемых систем открыла работа Хитчи-на [Н]14 . В ней было показано, что в результате редукции пространства связностей голоморфных векторных расслоений над римановой поверхностью естественным образом возникает интегрируемая система на кокасательном расслоении к пространству модулей. Наличие достаточного количества коммутирующих интегралов движения имеет алгебро-геометрическую природу и выражается с помощью теоремы Римана-Роха, используя двойственность Серра. В работах А.Горского и Н.Некрасова ([GN] 15,[Ne]16 ) были построены системы, обобщающие эту конструкцию.
В русле работы Хтичина находится работа А.Левина и М.Олыпанецкого [LO]17 , в которой совмещаются подход Шлезинджера к решению проблемы Римана ([Sch]18) и редукция свободной неавтономной гамильтоновой системы. Примерами полученных таким образом систем являются системы Шлезинджера, Пенлеве VI и их обобщения, а в общем
нейные уравнения, УМН, т.35 (1980) 6, 47-68.
7[ОР] - M.Olshanetsky, A.Perelomov, Classical integrable finite-dimensional systems related to Lie algebra, Phys. Rep., 71 С (1981), 313-400.
8[STF] - Е.Склянин, Л.Тахтаджян, Л.Фадцеев, Квантовый метод обратной задачи I, Теор. и мат. физика, т.40 (1979) 2, 194-220.
9[S] - Е.Склянин, Метод обратной задачи рассеяния и квантовое нелинейное уравнение Шредингера, ДАН СССР, т.244 (1979) 6, 1337-1341.
10[Т]- Л.Тахтаджян, Л.Фаддеев, Квантовый метод обратной задачи и XYZ модель Гейзенберга, УМН, т.34 (1979) 5, 13-63.
11 [Ski] - Е.Склянин, Некоторые алгебраические структуры, связанные с уравнением Янга-Бакстера, Функ.анализ и приложения, 16 (1982), по. 4, 27-34.
12[SR] - А.Рейман, М.Семенов-тян-Шанский, Интегрируемые системы, Москва-Ижевск, 2003.
13[FT] Л.Тахтаджян, Л.Фаддеев, Гамильтонов подход в теории солитонов, М, Наука, 1986.
14[Н] N.Hitchin, Stable bundles and integrable systems, Duke Math. J., V.54 (1987) 1, p.91.
15[GN] - A.Gorsky, N.Nekrasov, Elliptic Calogero-Mozer system from two dimensional current algebra, (1994), hep-th/9401021.
le[Ne] - N. Nekrasov, Holomorphic bundles and many-body systems, Comm. Math. Phys., 180 (1996), 587-604.
17[LO] - A. Levin, M. Olshanetsky, Hierarchies of isomonodromic deformations and Hitchin systems. Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 191, Amer. Math. Soc, Providence, RI, (1999), 223-262, hep-th/9709207.
18 [Sch] - L. Schlesinger, Uber eine Klasse von Differentialsystemen beliebeger Ordnung mit fersten kritischen Punkten, J. Peine Angew. Math., 141 (1912), 96-145.
случае эти системы определяют иерархии изомонодромных деформаций в соответствии с изменениями модулей кривых.
В чем ценность такого подхода? Дело в том, что рассматривая алгебро-геометрическую конструкцию как источник построения интегрируемых систем, мы можем, меняя параметры расслоения, получать разные системы ([GN]19 ,[Ne],[LO]), а также устанавливать связь между различными системами. Так, в работе А.Зотова, А.Левина и М.Ольшанецкого [LOZ]22 была установлена связь между эллиптической системой Калоджеро-Мозера и эллиптическим волчком Эйлера-Арнольда с помощью процедуры модификации, меняющей степень расслоения. Эти системы соответствуют расслоениям степени ноль и степени один.
Теория интегрируемых систем находит применение в большом числе разделов физики: теории струн ([MZ]23), супесимметричных калибровочных териях ([GK]24), матричных моделях ([ММ]25), топологических теориях поля ([D]26), квантовом эффекте Холла, теориях Ландау-Гинзбурга. Отметим, что такая интегрируемая модель как решеточная модель Ландау-Лифшица, связанная с алгебрами Склянина, является универсальной для систем с двумерным фазовом пространством. Различными предельными переходами из нее можно получить ситему Sine-Gordon, ситему непрерывного изотропного магнетика Гейзенберга, систему непрерывного анизотропного магнетика и нелинейное уравнение Шредингера.
Результаты настоящей работы продолжают развивать соединение алгебро-геометричес-кого и теоретико-группового подходов. В ней рассматриваются системы, ассоциированые с модулями кривых. В этом контексте возможна следующая общая постановка вопроса: как, меняя модули кривых, вырождая их, деформируя, добавляя новые модули, можно получать новые интегрируемые системы. Изучение этих вопросов и составляет содержание диссертации.
1.2 Цель диссертационной работы
Применить метод симплектической редукции для получения эллиптической системы Шлезинджера и исследовать ее свойства. Исследовать алгебраическую структуру. Рассмотреть возможную редукцию системы Шлезинджера к известным интегрируемым системам. Получить квантовый аналог этой системы. Методом слияния отмеченных точек получить новые системы из рациональной и эллиптической систем Годена. Рассмотреть их свойства и алгебраическую структуру. Применяя Предел Иноземцева к эллиптической системе Эйлера-Калоджера-Мозера и к системе, полученной слиянием отмеченных точек из эллиптической системы Годена, получить системы с экспоненциальным типом взаимодействия с нетривиальными коммутационными соотношениями между переменными фазового пространства.
19[GN] - A.Gorsky, N.Nekrasov, Elliptic Calogero-Mozer system from two dimensional current algebra, (1994), hep-th/9401021.
22[LOZ] - A. Levin, M. Olshanetsky, A. Zotov, Painleve VI, Rigid Tops and Reflection Equation, Comm.Math.Phys., 268 (2006), 67-103, math.QA/0508058.
23[MZ] - A.Morozov, String theory - what it is, Sov.Phys.Uspekhi, 162 8 , 84.
24[GK] - A.Gorsky,I.Krichever,A.Marshakov,A.Mironov,A.Morozov, Integrability and exact Seiberg-Witten solution, Phys.Lett, В 355 (1995), 466-474.
25[MM] - A.Morozov, Integrability and matrix models, Sov.Phys.Uspekhi, 164 (1994) 1, 3-62.
26 [D] - V.Dubrovin, Integrable systems and classification of 2-dimensional topological field theories, preprint hep-th/9209040.
1.3 Методы Исследования
В работе используются методы теории интегрируемых систем: симплектическая и пуас-соновая редукции, r-матричный формализм, используются алгебраический метод - метод слияния отмеченных точек, а также алгебро-геометрический метод - Предел Иноземцева.
1.4 Научная новизна и практическая ценность
Результаты диссертации являются новыми и заключаются, в основном, в следующем:
1) Используя симплектическую редукцию, получена эллиптическая система Шлезин-джера (ЭСШ). Выполнив пуассоновую редукцию получен модифицированный опретор Лакса для ЭСШ, а также редуцированная пуассоновая структура - квадратичные пуас-соновые алгебры с нетривиальным смешиванием компонент. Явно получены квантовые версии квадратичных алгебр. Показано, что ЭСШ является бигамильтоновой системой в соответствии с линейными и полученными квадратичными скобками Пуассона, доказана совместность этих двух структур. Показано, что в случае четырех точек для специально выбранных начальных данных ЭСШ редуцируется к уравнению Пенлеве VI в форме уравнения гиростата Вольтерра-Жуковского.
Используя процедуру слияния отмеченных точек получены новые интегрируемые системы с полюсами порядка выше первого в матрице оператора Лакса из рациональной и эллиптической систем Годена. Пуассоновая алгебра переменных фазового пространства новых систем имеет градуированную структуру. Зафиксировав координаты пространства модулей эллиптической системы Шлезинджера, путем слияния отмеченных точек получены новые интегрируемые системы, операторы Лакса которых имеют полюса порядка выше первого. Квадратичная пуассоновая алгебра переменных фазового пространства обобщает алгебру Склянина и имеет градуированную структуру.
Показано, что Предел Иноземцева (ПИ), примененный к эллиптической sl(N,C) модели Эйлера-Калоджеро-Мозера и эллиптической модели Годена, приводит к спиновой Тоде. Дана классификация систем, возникающих в ПИ для случая s/(3,C). Применяя ПИ к системе, полученной слиянием отмеченных точек в эллиптическом случае, найдена система типа Тоды с нетривиальными коммутационными соотношениями между переменными фазового пространства.
Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы специалистами в теории интегрируемых систем
1.5 Апробация работы и публикации
Результаты докладывались на международной научной школе "Классические и квантовые интегрируемые системы "(Дубна), на теоретическом семинаре ЛТФ ОИЯИ (Дубна), на семинарах ЛМФ ИТЭФ. Основные результаты диссертации содержатся в 3 работах, опубликованных в журналах из списка ВАК, список публикаций приведен в конце автореферата.
1.6 Структура и объем работы
