Введение к работе
Актуальность темы. По мере развития физики все большую роль играет теория симметрии. Принцип симметрии является основополагающим при построении единой теории фундаментальных взаимодействий. В частности, теория представлений группы Пуанкаре является основой для вывода уравнений, описывающих свободные поля в релятивистской квантовой-механике. Однако, кроме изначально oar даваемой симметрии, квантово-похевые уравнения могут иметь более широкую группу инвариантности. Характерным примером является конформная инвариантно ста свободных беомассовых волновых уравнений, ТЪлим образом, является актуальной проблема ноученпя сим-метрийных свойств фундаментальных уравнений теоретической фнонхи.
Другим, не менее оначительным, приложением теории симметрии является возможность построения на ее основе методов точного интегрирования. Нет необходимости говорить о важности точно интегрируемых модельных задач. Отметим, в частности, их роль в исследовании квантово-полевых процессов в интенсивных внешних полях.
Знание алгебры симметрии недостаточно для нахождения всех решений дифференциального уравнения. Развитие соответствующих методов является самостоятельной оадачей. Непосредственное использование алгебры симметрии в проблеме точного интегрирования возможно лишь в случае обыкновенных дифференциальных уравнений д в случае линейных дифференциальных уравнений (ЛДУ) в частных производных. Оаметим также, что наличие бесконечномерной алгебры симметрии является признаком интегрируемости нелинейных диффе-
Доя ЛДУ математической фиоикв в настоящее время наиболее развитый подход к проблеме интегрирования реализован в рамках теории раодедення переменных (РП). Методом РП была проведена систематизация практически всех известных точных решений уравнении квантовой механики с внешними полями, а также найдены обшнрі.де классы новых полей и соответствующих точных решении. Доя скалярного уравнения второго порядка нахождение новых классов внешних полей, или римановых пространств, допускающих применение метода РП, по крайней мере в его традиционной форме, на фоне выполненных исследований представляется в оначительной мере исчерпанным. Поэтому приобретает интерес разработка новых методов точного интегрирования ЛДУ, отличающихся от методов РП, На сегодняшний день существуют две принципиальные возможности выхода оа рамки теории РП. Во-первых, используя для построения решении операторы симметрии иной структуры, чем в методе разделения переменных, (т.е. операторы более высокого порядка, чем порядок уравнения, нелокальные операторы), во-вторых, с помощью наборов некоммутирующих операторов. Построение метода интегрирования, основанного на пс-польоовании некоммутативных алгебр, вскрывает также новые связи с теорией представлений групп Лп, что представляет самостоятельный интерес
Нельзя не обратить внимание на следующее важное обстоятельство. Существует общность алгебраических конструкций, связанных с симметрийнымп сїсіїсгр.а ,ш точно интегрируемых квантовых уравнений и соответствующих Алассичсскпх гампльтоновых систем. Эта об-
шность прослеживается в теории РП (и частности, уравнения Клейна-Гордона со внешними электромагнитными и гравитационными полями интегрируются толыо тогда, когда интегрируются этим методом соответствующие уравнения Гамильтона-Якоби) и в дальнейших обобщениях, связанных с применением некоммутативных алгебр. Четкое осознание такс" взаимосвязи пооволяет испольоовать вековой опыт интегрирования и качественного анализа уравнении классической механики в проблеме построения точных и приближенных решении линейных полевых уравнений, что открывает новые широкие перспективы.
Целью настоящей работы является
-
Исследовать алгебру локальных симметрии линейного дифференциального уравнения. Построить релятивистские волновые уравнения, описывающие частицы с произвольней массой и спином. Найти все локальные симметрии беамассовых волновых уравнений. Провести pan-деление переменных в волновом уравнении.
-
На основе некоммутативных алгебр симметрии построить новый метод точного интегрирования линейных дифференциальных уравнений. Решить проблему некоммутативной интегрируемости уравнений Клейна-Гордона-Фока и Дирака-Фока.
3) Исследовать возможность применения нелокальных симметрии
для построения методов точного интегрирования, выходящих оа рамки
метода раоделения переменных. Используя приближенные симметрии,
раоработать теорию возмущений, являющуюся квантовым аналогом
теории воомущений КАМ (Колмогорова-Арнольда-Мооера).
Научная новптіпа. В работе получены следующие оригинальные результаты.
Докапаны теоремы о структуре алгебры симметрии трансяяционно инвариантных уравнений. Похапало, что все локальные симметрии линейных дифференциальных уравнении второго порядка в пространстве иеоавясимых переменных размерности больше двух — линейны. Найдена алгебра локальных симметрии уравнения Лапласа-Бельтрами. Рассмотрела проблема разделения переменных в волновой уравнении. Найденные новые системы разделяющихся координат полностью исчерпывают проблему разделения переменных в уравнении Даламбера.
Построены релятивистски-инвариантные волновые уравнения, описывающие массивные и беомассовыс частицы с прововольпым спином (в том числе и комплексным).
Покапано, что алгебра локальных симметрии беомассовых волновых уравнений с любым оначением спина, принадлежит обертывающей алгебре алгебры конформной группы.
Изучен идеал обертывающей алгебри — тождества на решениях конформно-инвариантных волновых уравнении с гроиовольпым спином. Для беомассовых волновых уравнений Найдена размерность алгебры дифференциальных операторов симметрии проновопыюго порядка г.
Предложен новый метод точного интегрирования линейных полевых уравнений с помощью некоммутативных алгебр Ли симметрии и рассмотрены его различные приложения. Полностью решена проблема некоммутативной интегрируемости уравнений Клейна-ГЪрдона-Фока и Дирака в рнмааовых пространствах с группой движений. Проинтегрировано юантовоа уравнение Эйлера на алгебре Ли ао(4).
Проведена классификация четырех- н пятимерных квадратичных алгебр, пооБодяющих решать уравнения с четырьмя независимыми пе-
ременными. Проинтегрированы уравнения Кяейна-Гордона-Фога, допускающие квадратичные алгебры симметрии.
Предложен метод некоммутативной размерной редукции, поовоакіо-щдй строить точно интегрируемые уравненші. Дано полное опясеяяе локальных симметрии уравнения Шредингера с кулоновым потенцна-
И5М.
Найден новый метод генерации точно решаемых потенцсгсдв нестационарного уравнения Шредингера. Иовестный метод генергпдл — метод Дарбу, распространен на случай нестационарного уравнения Шредингера. Развит алгебраический подход, объединяющий ргяяіи-яые методы генерации точно интегрируемых потенциалов.
Предложен способ применения приближенных симметрии для интегрирования уравнения Шредингера. Раоработап вариант квантового аналога теории воомущений КАМ (Колмогорова-Арнальда-Мсрера).
Научная и практическая ценпость. Реоультаты, полученные в диссертации, являются дальнейшим рапвитием теории симметрия основных уравнений релятивистской квантовой механики.
Проведенные исследования алгебры симметрии полевых уравнений попволяют, с одной стороны, систематически подойти к проблеме нахождения симметрии отих уравнений, а с другой стороны, — более глубокому геометрическому и фшзпческому пониманию природы самих фиопческих полей.
Построенные в диссертации релятивистские волновые уравнения, в которые спин входит как параметр, пооволяют оффектнвно провести исследования алгебры симметрия'для полевых уравнения с рад-личными оначениями спина.
Предложенные -в работе новые методы точного интегрирования,
обобщают теорию разделения переменных, что, несомненно, приво
дит к дальнейшему стимулированию раовития методов интегрирова
ния уравнений теоретической фгоики. ~~
Зснопные положения диссертации, выносимые на оащиту, следующие:
-
Исследована структура алгебры симметрии линейных дифференциальных уравнений математической фиопхи. Описаны нетривиаль-иые локальные симметрии вошювого уравнения. Налдены тождества второго порядка на его решениях, играющие важную роль в проблеме раодеяения переменных.
-
.Предложена скалярная форма уравнений для беомассовых имас-сивных полей с произвольным спином (в том числе и комплексным).
3. Найдена алгебра всех локальных симметрии беомассовых вол
новых уравнений с проипвольяым спином. Исследованы тождества на
решениях этих уравнений.
-
Построек метод интегрирования линейных тагевых уравнений с помощью некоммутативных алгебр Ли симметрии. Докапана теорема о необходимых и достаточных условиях интегрируемости с использованием некоммутативной алгебры Ли операторов симметрии. Рассмо-треггы различные приложения метода.' Полностью решена проблема некоммутативной интегрируемости уравнении Клейна-Гордона-Фока и Дирака в римановых пространствах с группой движений. Проинтегрировано квантовое уравнение Эйлера на алгебре Ліг ло(4).
-
Метод некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений распространен на случаи квадратичных алгебр и F-алгебр операторов симметрии. Проведена классификация четырех- а пятимерных квадратичных алгебр, пооволяющих интегрировать ура-
«
вненяя с четырьмя независимыми переменными. Проклассифицированы метрики римановых пространств, для которых уравнения Клейна-ГЬрдопа- Фока допускают квадратичные алгебры симметрии.
в. Построен метод точного интегрирования многомерных полевых уравнений, основанный на некоммутативной раомерной редукции с помощью коммут'тивных подалгебр симметрии. Дано полное описание локальных симметрии уравнения Шредилгера с хулоповым потенциалом.
7. Развит алгебраический подход, объединяющий различные ме--
тоды генерации точно интегрируемых потенциалов уравнения Шре
дилгера. Предложен способ применения приближенных симметрии для
интегрирования уравнения Шредингера.
8. Предложен вариант квантового аналога теории возмущений КАМ
(Колмогорова-Арнольда-Мооера).
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Всесоюзном совещании "Математические проблемы статической механики и квантовой теории поля" (Куйиышев, 1987); на Всесоюзных коллоквиумах "Современный групповой анализ: теория и приложения," (Баку, 1988; Красноярск, 1989; Ленинград 1990; Уфа, 1991; Н. Новгород, 1992; Самара, 1993); на IX и X Всесоюзных рабочих совещаниях "Гравитация и олектромагнетиом" (Минск, 1989; Минск, 1991); на III и V Международных семинарах "Гравитационная энергия и гравитационные полны" (Дубна, 1990; Дубна, 1992); 18-ом Международпом коллоквиуме "Теоретико-групповые методы в фиоике" (Москва, 1990); Все-союпной школе-семинаре "Основания фиалки" (Сочи, 1990); Международной конференции "Лобачевский и современная геометрия" (Капань, 1992); Международной конференции "Квантовая теория поля и грави-
тацил* (Ibucx, 1994), а таїже на сеыиларах кафедры квантовой теории подяТГУ.
Публикации. Основные рсоулътаты диссертации опубликованы в 29 .татьях. Всего по теме диссертации опубликовано 38 работ.
Объем п структура диссертации. Диссертация объемом 250 страниц мацшнонисного текста состоит ко сведения, пати глав, оа-хдючения, 4 приложений и списка цитируемой литературы ко 203 иа-пмецоваицй.
Похожие диссертации на Алгебраические проблемы теории симметрии и методы интегрирования полевых уравнений
