Проблемы релятивистской кинетической теории плазмы Кузьменков Леонид Стефанович

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. ЭВОЛЮЦИЯ ВО ВРЕМЕНИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ 43

1.1. Микроскопические уравнения 43

1.2. Уравнение эволюции во времени статистической системы зарядов 45

1.3. Цепочка уравнений Боголюбова. Условие зацепления уравнений 56

1.4. Уравнения для коллективных процессов в плазме. 61

1.5. Уравнение Власова. Торможение излучением 73

1.6. Проблема включения гравитационных взаимодействий между частицами 81

Глава 2. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ПЛАЗМЫ 85

2.1. Интегральные представления диэлектрической проницаемости релятивистской плазмы 85

2.2. Дисперсия сверхсветовых ленгмюровских волн с фазовой скоростью близкой к скорости света. 93

2.3. Досветовые затухающие волны в релятивистской плазме 97

2.4. Диэлектрическая проницаемость ультрарелятивистской плазмы при оз/к >С 107

2.5. Приближение релятивистской двужидкостной гид родинамики плазмы 118

2.6. Дисперсия плазменных волн при наличии релятивистского пучка 122

Глава 3. ВОЛНЫ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МАГНИТОАКТИВНОИ ПЛАЗМЕ, 128

3.1. Интегральные представления тензора диэлектрической проницаемости релятивистской магнитоактивной плазмы 129

3.2. Слабое магнитное поле. Метод стационарной фазы 132

3.3. Внутренние критические точки. Тензор диэлектрической проницаемости релятивистской плазмы в слабом магнитном поле 135

3.4. Распространение сверхсветовых волн поперек внешнего слабого магнитного поля 147

3.5. Распространение досветовых необыкновенных волн перпендикулярно направлению магнитного поля. Предел нерелятивистских температур ; 151

3.6. Предел сильного магнитного поля. Распространение электромагнитных волн в электрон-позитронной плазме 158

Глава 4. ПРОБЛЕМЫ МОДУЛЯВДОННОЙ И ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙ ЧИВОСТИ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ПЛАЗМЕ 171

4.1. Нелинейные волны в релятивистской плазме 171

4.2. Система интегральных уравнений для амплитуд возмущений 181

4.3. Дисперсионные уравнения в резонансном случае. 190

4.4. Асимптотические значения коэффициентов дисперсионного уравнения 196

4.5. Инкремент нарастания амплитуды ленгмюровскихволн при нерелятивистских температурах. 200

4.6. Резонансное взаимодействие волн в ультрарелятивистской плазме 202

4.7. Пространственно-временная модуляция волн конечной амплитуды 206

4.8. Нерезонансное взаимодействие волн в релятивистской плазме 208

4.9. Роль ионной компоненты 217

Глава 5. НЕЛИНЕЙНОЕ РАССЕЯНИЕ ВОЛН В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ СЛАБО ТУРБУЛЕНТНОЙ ПЛАЗМЕ 222

5.1. Общее выражение для нелинейного декремента затухания волн в слаботурбулентной релятивистской плазме 222

5.2. Нелинейное затухание в слаборелятивистской турбулентной плазме 229

5.3. Декремент нелинейного затухания при релятивистских и ультрарелятивистских температурах. 234

Глава 6. СТОЛКНОВИТЕЛЬНОЕ И РАДИАЩОННОЕ ЗАТУХАНИЕ ВОЛН В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ПЛАЗМЕ 239

6.1. Дисперсионные уравнения с учетом парных столкновений и радиационного торможения 240

6.2. Затухание Ландау и радиационное затухание 245

6.3. Затухание волн за счет столкновений частиц и радиационное затухание 251

6.4. Радиационное затухание волн в магнитоактивной плазме 256

6.5. Вопросы пучковой неустойчивости 261

6.6. Радиационные эффекты в квазилинейном приближении. 264

Заключение 276

Литература . 280

• Микроскопические уравнения
• Интегральные представления диэлектрической проницаемости релятивистской плазмы
• Интегральные представления тензора диэлектрической проницаемости релятивистской магнитоактивной плазмы
• Нелинейные волны в релятивистской плазме
• Общее выражение для нелинейного декремента затухания волн в слаботурбулентной релятивистской плазме

Введение к работе

Статистическая теория систем движущихся зарядов, в том числе и наиболее распространенной и практически важной из них - плазмы, представляет собой бурно развивающуюся область теоретической физики как с точки зрения расчета известных и предсказания новых физических эффектов и явлений, так и с точки зрения основ теории. И тот и другой круг, взаимно дополняющих друг друга теоретических и математических проблем составляет основу настоящей диссертации.

Динамика системы движущихся зарядов, как динамика заряженных частиц и электромагнитного поля, может быть основана только на единых принципах симметрии, и следовательно, должна быть лоренц-инвариантной или релятивистской. Термин "релятивистский" традици-онно используется также по отношению к скоростям частиц, не малым по сравнению со скоростью света в вакууме, температуре, не малой по сравнению с массой покоя зарядов, функции распределения, обращающейся в нуль при скоростях больших скорости света.

Количественные расхождения с кинетической теорией,основанной на ньютоновых уравнениях движения, начинаются при температурах -4 2 порядка 10 ^mc , определяющих область применимости выражения для мнимой части продольной диэлектрической проницаемости нерелятивистской плазмы. Качественные расхождения при релятивистском и нерелятивистском подходе начинаются при еще более низких температурах. Действительно, без привлечения релятивистской динамики невозможно объяснить отсутствие резонансного взаимодействия электромагнитных волн с частицами, предсказываемого нерелятивистской теорией. Для плазменных волн, распространяющихся в направлении, перпендикулярном направлению внешнего магнитного поля, нерелятивистская теория предсказывает, наоборот, отсутствие затухания Ландау. Спектр продольных волн только в рамках релятивистской теории делится на досветовые волны, энергия которых поглощается частицами за счет обратного эффекта Черенкова, и сверхсветовые волны, для которых такое поглощение отсутствует.

Если учесть, что энергии 10 *ЩС соответствует темпера-тура в градусах Кельвина 2,6.10 К, становится ясным, что физические процессы по крайней мере в высокотемпературной плазме (плазме в установках для получения реакций термоядерного синтеза, звездной плазме, плазме магнитосфер пульсаров и т.п.) корректно рассматривать лишь в рамках релятивистской статистической теории. Если в системе, состоящей из большого числа заряженных частиц пренебречь запаздыванием электромагнитных взаимодействий, мы приходим к классической модели системы кулоновских частиц, эволюция во времени которой описывается уравнением Лиувилля. В уравнение Лиувилля статистика вводится неопределенностью начального динамического состояния при детерминированном законе движения |lj Это уравнение остается замкнутым до тех пор, пока уравнения движения частиц являются дифференциальными. Сокращенное описание системы дает "проекция" уравнения Лиувилля на некоторое подпространство, размерности кратной шести, фазового пространства. Такие уравнения не являются замкнутыми, а их множество образуют цепочку уравнений Боголюбова.

Физическая ясность и математическая простота аппарата статистической механики систем кулоновских частиц обязана бесконечной скорости распространения взаимодействий. При переходе от модели кулоновских взаимодействий к запаздывающим взаимодействиям, которые можно характеризовать запаздывающей функцией Грина |j2J, перестает существовать функция Гамильтона одних только зарядов, а уравнения движения частиц принимают вид дифференциально-разностных уравнений. Это свидетельствует о том, что уравнение эволюции системы движущихся зарядов может быть только уравнением для частиц и для поля одновременно и связывать динамические состоя- - 7 -ния системы, отстоящие в общем случае на конечные интервалы времени.

В представлении механики, когда каждой частице соответствует мировая линия, такое уравнение движения частиц в собственном электромагнитном поле в его классическом понимании действительно существует и было получено в ковариантной форме Климонтовичем [з] с. 135. Из факта существования уравнения Климонтовича, как единого микроскопического уравнения для частиц и электромагнитного поля, следует, что и при переходе к вероятностным представлениям должно существовать единое уравнение эволюции системы в терминах конечного набора переменных материальных частиц. Однако цепочка уравнений Боголюбова для систем с запаздывающим взаимодействием не может быть получена путем непосредственного статистического усреднения микроскопических уравнений Климонтовича, как это имеет место для кулоновских систем. Суть обычной процедуры статистического усреднения состоит во введении неопределенности одного выделенного динамического состояния, в то время как в микроскопических уравнениях при конечной скорости распространения взаимодействий закон движения частиц не содержится в бесконечно малом.

Предложено два принципиально различных подхода к построению статистической теории движущихся зарядов. При первом подходе, развитом в работах (4-I2J некулоновская часть электромагнитного поля зарядов рассматривается в качестве "независимой переменной" фазового пространства наряду с координатами и импульсами частиц и, следовательно, вместо плотности фазовых точек в 6А/ - мерном фазовом пространстве должна вводится фазовая плотность в пространстве размерности континуум. В тех случаях, когда поперечная часть поля представлена дискретным набором осцилляторов поля, число переменных образует счетное множество. При такой модификации процедуры статистического усреднения в принципе становится - 8 -возможным переход от микроскопического уравнения к уравнениям для редуцированных функций распределения. Однако согласно микроскопическим уравнениям при обычных условиях на бесконечности заряды и токи однозначно определяют поле. Появление независимой статистики полей возможно лишь за счет случайного характера однородной части общего решения уравнений поля.

Второй подход, который может быть назван ковариантным, вначале развивался преимущественно для кинетических уравнений, в частности, в работах (14-20 J . Помимо очевидных преимуществ, связанных с автоматическим учетом трансформационных свойств, ковари-антный подход позволяет изучать системы релятивистских зарядов в гравитационном поле, включать гравитационные взаимодействия. Вопросы построения ковариантной статистической механики с учетом реакции излучения были рассмотрены в работах [21-23 J . Вследствие того, что выражение для реакции излучения содержит производную от ускорения частицы, фазовое пространство в этих работах было расширено путем включения производных от ускорений в качестве независимых переменных наряду с координатами и скоростями частиц. Основные уравнения ковариантной статистической теории систем движущихся зарядов на основе фазовых пространств размерности 8N (минимальная размерность для ковариантной формулировки) были сформулированы в работе [24] . В этой работе было получено также кинетическое уравнение, учитывающее радиационное торможение, и показано, что реакция излучения приводит к затуханию волн в плазме.

Во всех случаях при использовании 8N - мерных фазовых пространств вместо реальных зарядов рассматриваются точки пространства Минковского, принадлежащие мировым линиям зарядов. Поэтому такой подход требует дополнения в виде общего метода устранения ( 2Л/ - і ) дополнительных степеней свободы частиц.

Принципиальные математические трудности, присущие теории систем с запаздыванием, не возникают при построении слаборелятивистской статистической теории. Как показано в работах Трубникова, Косачёва [25-27] ,[Павлоцкого 28-31] , такая теория может быть развита как обобщение нерелятивистской статистической механики и метода Боголюбова.

Сделаем краткий обзор новых результатов, полученных в диссертации и выносимых на защиту, а также укажем ряд работ советских и зарубежных авторов, на которые мы в той или иной мере опирались при работе над диссертацией.

В первой главе диссертации приводится вывод статистического уравнения эволюции во времени системы движущихся зарядов в рамках обычного фазового пространства с размерностью, равной удвоенному числу степеней свободы частиц /см. также [З²-!/* ^в основу вывода положены следующие представления. Эволюция системы с запаздывающим взаимодействием между частицами на некотором временном интервале не определяется более единственным начальным состоя -нием, а зависит от множества состояний в предшествующие моменты времени, или при использовании функций Грина 1.2 J , от предыстории системы. Поэтому статистика может вводиться лишь путем задания неопределённости каждого из множества таких состояний. Поскольку при этом теряется представление о детерминированности движения вдоль фазовых траекторий, то при выводе уравнения эволюции могут быть использованы только вероятностные представления о законах движения частиц. Это уравнение имеет вид ^{ЄН^|с1Ййр=о V«Y}_K :^ді^і⁺с^і и отличается от уравнения Лиувилля наличием запаздывания ( G функция Грина оператора Даламбера, D - функция распределения в запаздывающий момент времени) и недетерминированностью закона движения частиц ( К (>* ) - вероятность перехода из состояния в момент 't в состояние в момент * ). Вероятности перехода связаны интегральным уравнением типа уравнения Чепмена-Колмогоро-ва в теории стохастических процессов [зз] .

При переходе к бесконечной скорости распространения взаимодействий уравнение эволюции совпадает с уравнением Лиувилля, а в пределе когда функция распределения стягивается в О - функцию в фазовом пространстве это уравнение эквивалентно микроскопическому уравнению Климонтовича.

Любое менее детальное описание получается путем интегрирования уравнения эволюции по части независимых переменных и сопровождается появлением двухвременных редуцированных функций распределения наряду с одновременными, обычными для теории систем без запаздывания [iJ .

Уравнения для редуцированных функций распределения становятся зацепляющимися и образуют цепочку уравнений Боголюбова в том и только в том случае, если под системой ансамбля Гиббса понима-ется t - упорядоченный набор частиц, в котором координаты "t, произвольной частицы, конфигурационное пространство которой совпадает с физическим пространством, связаны с координатами всех остальных частиц условиями запаздывания - "t^ = "fc - I fc - Zi I/С _#

При выборе любого б - мерного подпространства для сокра- - II - щенного описания среднее коллективное силовое поле действующее на каждую из с частиц со стороны зарядов, может быть отделено от нерегулярных взаимодействий или "столкновений", как поле, не имеющее источников в импульсном пространстве этого подпространства. Уравнение для с - частичной функции распределения оказывается таким образом самосогласованным с "макроскопическими" уравнениями Максвелла, в которых источниками поля служат ( N-(L ) частиц; образующих непрерывное распределение заряда иСточечных зарядов. Нерегулярные взаимодействия t частиц с ( N - ) частицами и соответствующей частью излучения объедим няются в "интеграл столкновений". Конкретное значение числа с всегда может быть продиктовано условиями физической задачи. Поэтому "интеграл столкновений" может быть опущен и мы получаем замкнутое самосогласованное уравнение для с- частичной функции распределения, совпадающее при с = / с уравнением Власова. Это уравнение имеет вид ^Lrrui при Z = Z_a , p = p_Q ^ (a= 1,2,...,J , а также _{-+ 10 і -»-*(ty| -*} индекс ( і ) относится к ионам, а уравнения поля записаны для кратности через потенциалы.

Впервые кинетическое уравнение для t - частичной функции распределения рассматривалось Леонтовичем (34J для разреженного больцмановского газа.

При с = 2 в приведенном уравнении учитываются коллективные и парные взаимодействия. В кинетическом уравнении ( -1 ) без коллективных полей это соответствует учету интеграла столкновений Беляева-Будкера (15 J . Поляризационные эффекты появляются либо при L > 2 , либо при t = 2 и отличной от нуля правой части соответствующего уравнения. Интегральное уравнение, учитывающее эти эффекты для случая кулоновской плазмы, было выведено Боголюбовым [iJ , а кинетическое уравнение - Балеску, Ленардом и Гернси (35-38J . Релятивистский интеграл столкновений, учитывающий наряду с кулоновскими взаимодействиями взаимодействие, переносимое полем, получен Силиным |39,40| . Частная форма релятивистского интеграла столкновений ранее была получена Климонто-вичем [41].

Как и микроскопическое уравнение, уравнения для редуцированных функций распределения имеют сингулярные слагаемые, которые наряду с обычными кулоновскими расходимостями содержат реакцию излучения. На кинетическом уровне средних коллективная часть реакции излучения может быть выделена методом Дирака (42,2J , ку-лоновские расходимости опущены, как не влияющие на взаимодействия различных частиц, и мы приходим к уравнению Власова, в котором содержатся слагаемые, учитывающие торможение излучением. В ковариантной форме это уравнение имеет вид [24 J - із - e*?ir^r3F_Tr/axP = o и является необратимым. Как указано в (_I3J » ^с» 384, другим источником необратимости для уравнения Власова служат граничные условия.

Тормозное излучение [43 J и реакция этого излучения могут быть учтены лишь в уравнении для двухчастичной функции распределения, где они содержатся в слагаемых типа потенциалов Лиенара -Вихерта.

Внешнее электромагнитное поле в приведенном выше уравнении входит через тензор поля. Нередко в астрофизических приложениях релятивистская плазма рассматривается в гравитационном поле (см., например, (44 J ). В этом случае уравнение Власова приобретает дополнительное слагаемое Г^ . Для самогра- витируюших систем через коэффициенты связности уравнение должно быть "самосогласовано" с уравнениями гравитационного поля JI8J . К уравнению Власова - Пуассона эта часть взаимодействий между частицами сводится при переходе к нерелятивистскому пределу лишь для вполне определенной метрики пространства событий [45,46] .

Уравнение Власова является основой кинетического описания процессов в плазме, близкой к равновесию. Эффекты, связанные со столкновениями и потерями энергии частиц на излучение при движении в коллективном поле, в линейном приближении как правило вхо- дят аддитивно и рассмотрены отдельно, в основном в шестой главе. С этой точки зрения шестая глава может рассматриваться как часть второй главы.

Во второй главе бесстолкновительное уравнение в его традиционной форме использовано для исследования дисперсии и колебаний релятивистской плазмы.

Ленгмюровские волны в релятивистской плазме рассматривали Силин [47J , Силин и Рухадзе [48] , Клеммов и Вильсон [49J . Силиным были найдены незатухающие ленгмюровские волны с фазовой скоростью, превышающей скорость света, в релятивистской плазме с максвелловским распределением частиц. Само максвелловское распределение подробно проанализировано в работе . Волны с фазовой скоростью меньшей скорости света и их затухание вследствие черепковского взаимодействия с частицами были исследованы Цытови-чем [51] . Ряд полезных апроксимаций и уточнений получили Гершман [б2І , Имре [бз] , Бути [54,55] .

Интерес к продольным волнам в релятивистской плазме значительно возрос после открытия пульсаров. Цытович и Каплан [56J теперь уже для одномерных степенных распределений показали возможность черенковской генерации затухающих досветовых волн. Однако этот вывод был поставлен под сомнение в работе [57J Суворова и Чугуно-ва. В работах (24, 58J было вычислено затухание Ландау для длинноволновой части спектра досветовых волн и проведено (24J сравнение этого затухания с радиационным затуханием волн в плазме с максвелловским распределением по скоростям. Для общего вида равновесных распределений частиц по импульсам вопросы затухания Ландау и пучковой неустойчивости были исследованы Ломинадзе и Михайловским [58] . Результаты этих работ находились в согласии с выводами Цытовича и Каплана.

Проблеме, получения новых разложений и асимптотических формул для диэлектрической проницаемости релятивистской плазмы, выражений для дисперсии и декрементов затухания досветовых ленгмюров-ских волн были посвящены работы [59, 60J . Одновременно в серии из трех работ (61-63] было предложено несколько новых представлений дисперсионного соотношения для продольных волн, исследована начальная задача для релятивистской плазмы, проведена сравнительная оценка вкладов всех полюсов Ландау и линий разреза на плоскости комплексной частоты, приведено и проанализировано большое число графиков, полученных в результате численных расчетов. Численный расчет тензора диэлектрической проницаемости бесстол-кновительной слаборелятивистской плазмы проделан в работе |б4| .

К числу фундаментальных работ о колебаниях и волнах в равновесной релятивистской плазме относится также работа [65 J Михайловского, в которой объединены результаты более чем двадцатилетних исследований этой проблемы различными авторами. На основе анализа диэлектрической проницаемости при помощи нескольких безразмерных параметров были вычислены физические характеристики колебаний слаборелятивистской и ультрарелятивистской плазмы в различных диапазонах фазовых скоростей. В этой работе были уточнены также области применимости результатов Силина для сверхсветовых волн и формул для дисперсии и декремента затухания волн с фазовой скоростью, близкой к скорости света. Эти формулы в работе Михайловского были впервые написаны правильно, если не считать, как показано в работе [66J, имеющейся неточности в выражении для декремента. В 1982 году вопрос о затухании досветовых ленгмюровских волн был рассмотрен Силиным и Урсовым |67j. Они показали, что декремент затухания таких волн ограничен сверху и нашли соответствующие оценки.

Помимо задач, связанных с изучением физических свойств релятивистской плазмы и возможными приложениями, такой большой интерес к колебаниям свободной бесстолкновительной плазмы можно объяснить также потребностями дальнейшего развития теории релятивистской плазмы. Для изучения магнитоактивной плазмы, нелинейных явлений, турбулентной плазмы необходимо иметь надежные результаты для свободной плазмы.

В связи с этим в работах (66,68,69] и на основе этих работ во второй главе диссертации предпринята попытка провести строгое исследование диэлектрической проницаемости релятивистской плазмы на основе единого математического подхода. В рамках развитого метода в этой главе получено новое интегральное представление для диэлектрической проницаемости, даны вывод, обоснование и уточнение дисперсии и декремента затухания околосветовых волн, а также получена асимптотическая формула для диэлектрической проницаемости ультрарелятивистской плазмы, пригодная во всем диапазоне фазовых скоростей, где затухание Ландау отсутствует или является экспоненциально малым. Продольная диэлектрическая проницаемость имеет

2 = go/kc «, г_р=со_р/кс р=(г²н) оі=тс²Ді

С - постоянная Эйлера. Через Gq обозначена производная G₀ по оС , а(х) - известная специальная функция Ы с. 59.,

Эта формула содержит в качестве предельных случаев выражения для продольной диэлектрической проницаемости, найденные Силиным ( ск (2>« \ ), а также Цытовичем и Михайловским ( ol (Ь »4 ).

В результате численных расчетов, представленных графически, удалось установить, что указанный общий результат дает высокую точность уже при температурах, на порядок превышающих массу покоя электрона, а известная формула Силина имеет более широкую область применимости, чем предполагалось при ее выводе.

Результаты кинетической теории позволили оценить, [71] , ограниченность описания волн на основе релятивистской гидродинамики и указать явно ошибочные подходы в этом направлении. В частности, гидродинамика приводит в ультрарелятивистской области к правильной дисперсии лишь для волновых векторов близких к нулю. Основные гидродинамические уравнения могут быть представлены в форме равенства нулю дивергенции тензора энергии - импульса. Если использовать для изучения колебаний в плазме, как это, например, делается явно в работе (72J или неявно в работе [73J , хорошо известное выражение для тензора энергии - импульса сплошной среды феноменологической теории Эккарта, И.о. 118, то уравнения приводят к ошибочным результатам. Причина состоит в том, что эта частная форма тензора энергии - импульса справедлива для среды, находящейся локально в равновесном состоянии.

Примером систем с анизотропным распределением по скоростям может служить пучково-плазменная система. Возможность возбуждения высокочастотных колебаний в системе плазма-пучок была рассмотрена Ахиезером и Файнбергом [74-76J , Бомом и Гроссом |77 , 78 J . Эти системы достаточно полно изучены [58, 79 - 83J. Некоторые вопросы, связанные с пучковой неустойчивостью таких систем, рассматриваются в шестой главе.

С релятивистской точки зрения представляет интерес найти дисперсию ленгмюровских волн при отличной от нуля температуре релятивистского пучка. Этот результат получен во второй главе и в работе (_8| , и имеет самостоятельный интерес. Однако он важен и с общетеоретических позиций, как зависящий от закона преобразования температуры пучка при переходе к лабораторной системе отсчета. Трансформационные свойства температуры уже"давно обсуждаются в литературе (.85-90J . При этом центральным является вопрос, пре-бразовывать ли температуру по формуле, предложенной Планком и Лауэ, по формуле Отта-Меллера, считать инвариантом или компонентой тензора. Если использовать определение температуры, как средней кинетической энергии, и закон преобразования 4 - вектора скорости, то путем непосредственного вычисления температуры в движущейся системе отсчета можно показать (.91J , что температура при переходе в лабораторную (нештрихованную) систему отсчета преобразуется по закону Планка и Лауэ ^T-T'\b-v2/c2

С учетом этой формулы зависимость частоты волн от фазовой ско рости имеет вид резонансной кривой ^? _к² _к² _{L v}² _vmcV.

Максимальное значение "резонансного" пика равно ^р/З^.К² "^Л "V'⁶Db и не зависит от энергии Е трансляции пучка, в то время как при использовании формулы преобразования Отта-Меллера мы получили бы квадратичную зависимость этой величины от энергии. Экспериментальная проверка этого результата могла бы послужить одновременно и доказательством закона преобразования температуры.

При включении магнитного поля качественно меняется спектр колебаний плазмы. Характерным физическим явлением при переходе изотропная - анизотропная плазма является процесс образования электростатических волн Бернстейна [?2,93j. Нерелятивистские уравнения Власова, предсказывающие полное отсутствие затухания волн в направлении перпендикулярном магнитному полю ( (94І с. 102, (95J с. 77 ) и, следовательно, факт выключения резонансного взаимодействия волна-частица магнитным полем, как уже отмечалось выше, не могут служить надежной основой при изучении мод Бернстейна. Здесь мы встречаемся с физическим явлением, имеющим место и при нерелятивистских температурах, для описания которого необходимы релятивистские уравнения.

Проблемы магнитоактивной плазмы составляют содержание третьей главы. В этой главе рассмотрено распространение волн в релятивистской магнитоактивной плазме в предельных случаях слабого и сильного магнитного поля, причем в первом случае только в направлении перпендикулярном полю, как проблему имеющую математически своеобразный характер, (96 J, с. 276, а потому менее изученную.

Предел слабого магнитного поля в нерелятивистской плазме рассматривался в работе |92j. Математическое своеобразие перехода к пределу слабого поля в этой работе обусловлено непоследовательностью нерелятивистского уравнения Власова.

Свойства слабоанизотропной релятивистской плазмы исследовались Трубниковым [97J в связи с вычислением коэффициентов поглощения электромагнитных волн. Им получено интегральное представление тензора диэлектрической проницаемости релятивистской плазмы, которое легло в основу многих исследований, в том числе и исследования изложенного ниже.

Что касается плазмы в сильном магнитном поле, то роль релятивистских эффектов в ней изучена весьма полно. В работах (52-55J а также [98-100] исследованы релятивистские эффекты в пределах слаборелятивистских и ультрарелятивистских температур. Дисперсионные и диссипативные свойства плазмы вблизи гармоник циклотронной частоты изучались в работах [юі-105]. Анализ электронно-циклотронного поглощения обыкновенных и необыкновенных мод в сла-борелятивистской плазме на основании уравнений энергетического баланса проводился в работах [юб-юэ]. Бесстолкновительное поглощение обыкновенной волны, распространяющейся поперек магнитного поля, обусловленное релятивистскими эффектами движения электронов оценено в работе 194J с.134, см. также [ПО, IIlJ .

Диэлектрическая проницаемость релятивистской плазмы при распространении волн вдоль произвольного внешнего магнитного поля детально изучена в работе [lI2J. В работах [113,114] подробно аналитически и численно была исследована дисперсия циклотронных волн в нерелятивистской плазме. Значительное внимание теории релятивистской магнитоактивной плазмы уделено в монографиях (48J с. 147 и |П5] с. 219, а также в работах LII6-II8J.

В третьей главе дано общее решение задачи об отыскании асимптотического выражения для тензора диэлектрической проницаемости релятивистской плазмы в слабом магнитном поле [119,122] . Для решения этой задачи использован многомерный метод стационарной фазы |l20,12lj , как наиболее эффективный математический аппарат при исследовании различных переходных процессов.

Асимптотическая формула для тензора диэлектрической проницаемости релятивистской плазмы в слабом магнитном поле может быть представлена в виде суммы тензора диэлектрической проницаемости свободной изотропной плазмы С^я , вклада "граничной области" _Иож²_{с* )(ил-йП)}² ₁ + ^и* ^(u₀^{i-un)2 кщ> и}₀^г-ик, _{I , є} и вклада "внутренних критических точек" и^ , ц

где .2ч.. г^/ ^{*. ~-*.ц\} _{Лл. "his} X - циклотронная частота, Є^уГ" - единичный антисимметричный по всем индексам тензор, 177.(/26) - максимальный номер интервала (2ІГш ^_m) > где существуют решения уравнения

Для сверхсветовых волн, распространяющихся в направлении перпендикулярном магнитному полю вклад внутренних критических точек отсутствует. Дисперсия обыкновенной волны совпадает в первом приближении по полю с дисперсией поперечной волны в незамагниченной плазме. Дисперсия сверхсветовых необыкновенных волн вне узкой области волновых векторов, зависящей от температуры и пропорциональной у 2 , также не отличается в этом приближении от изотропного случая, а внутри области имеет вид _{2 U}² _злг² _г0²_{4 я} [сЛ<4(А+_лТ^[а/-с/_р(л₊ где Л,А,\) известные функции температуры, имеющие нереляти- вистскую и ультрарелятивистскую асимптотики, равные соответственно 1 )3>/ск_}1 и =(1)'Л(_С.чтУ,

Максимальное значение вклада внутренних критических точек в продольную диэлектрическую проницаемость для быстрых слабозатухающих досветовых необыкновенных волн в направлении перпендикулярном полю достигается на частотах, кратных циклотронной. В этой части спектра на дисперсионной кривой появляются характерные "резонансные всплески", которые при нерелятивистских температурах и слабом магнитном поле имеют величину

К 6V2jToo V\T_T J *- \^ ^т "« V_П[Тг

Мнимая часть продольной диэлектрической проницаемости определяет бесстолкновительную диссипацию энергии таких волн. Декремент затухания оказывается отличным от нуля и равным *=Va(i-2u>²T(w/2)/c«)u-_t²), где Уд - затухание Ландау, ^(х) - пилообразная функция с периодом равным единице. Декремент как функция частоты графически представляет собой спадающую, как и у_А функцию, промодули-рованную ступенчатой функцией.

В том случае, когда магнитное поле не является слабым, нельзя пренебречь реакцией излучения зарядов в таком поле. Вследствие торможения излучением происходит "высвечивание" поперечных степеней свободы частиц и их распределение становится анизотропным, в пределе одномерным. Одномерные распределения широко используются при описании электрон-позитронной плазмы магнитосфер пульсаров (56, 123, 124J . На основании уравнения Власова, учитывающего торможение излучением показано, что релятивистское распределение Максвелла в сильном магнитном поле принимает вид причем поперечная температура Т± == Т₀ вХр C*~"w ** / убывает с характерным временем f ~ 3 т²с С и/4 Є и тем меньшим, чем больше плотность энергии магнитного поля.

Проблема распространения и возбуждения волн в одномерной плазме в связи с астрофизическими приложениями рассматривалась в работах [II6,I25,57J . Одной из центральных проблем, связанной с механизмом турбулентности является проблема выявления и иерархии неустойчивостей LI25J . Это проблема приобретает особый интерес в связи с тем, что циклотронная раскачка альвеновских волн в электрон-позитронной плазме невозможна |_I25J . В диссертации и работе |12б] показано, что циклотронная раскачка волн в электрон-позитронной плазме существует, но на более высокой релятивистской циклотронной частоте еВс/Т .В частности поперечные волны с правой круговой поляризацией усиливаются при распространении вдоль магнитного поля с инкрементом у=(Зло)р/2ы2²Ко_?88)²ехр(-0_>88)со для значений плотности магнитосферы *г~ 10 см , магнитного поля В^Ю'Тс, температур 1^*10тс частота усиливающихся волн лежит в радиодиапазоне, ОО'^'/О С , У~ Ю С , что соответствует наблюдаемым частотам для большинства радиопульсаров JI23J .

Геликоидальные моды, существующие только при различных температурах электронов и позитронов, а также альвеновские волны являются затухающими. В диссертации приведены соответствующие декременты и дисперсии.

Для волн с продольной поляризацией, с поляризацией перпендикулярной волновому вектору и магнитному полю, для волн с поляризацией вдоль магнитного поля и направлением распространения, перпендикулярном полю, дисперсионные уравнения можно выразить только через одну специальную функцию, что позволяет проанализировать их достаточно полно. Анализ дисперсионных уравнений показывает, что на релятивистской циклотронной частоте оказываются неустойчивыми электромагнитные волны и при поперечном распространении. Неустойчивыми оказываются также электромагнитные волны с поляризацией, перпендикулярной магнитному полю и направлению распространения, на частотах, значительно меньших циклотронной: ш²=к²с²-2о<ц)² In&Q/u), ї = -3зг<*ц)р Мы9/оо)/2оо>о.

Что касается ленгмюровских волн, то они оказываются неустойчивыми на частотах o/=2dco* In С COM2)- у г 3710)/2^0/0(2),

В диссертации также приведены дисперсионные формулы устойчивых мод.

Характерным нелинейным эффектом, возникающим при распространении в плазме длинных ленгмюровских волн, является модуляционная неустойчивость 1127] . Под воздействием высокочастотного поля ленгмюровской волны возможна модуляция плотности ионов, которая в свою очередь вызывает захват продольных колебаний в каверны с пониженной плотностью. Охлопывание этих каверн сопровождается уменьшением длины волны ленгмюровских колебаний.

В 1972 году Захаровым [l28J в рамках гидродинамики была предложена простая система уравнений для описания модуляционной неустойчивости, на основании которых это явление было детально исследовано[129]. В рамках кинетической теории электронно-ионной плазмы в заданном однородном осциллирующем поле возникновение неустойчивости подробно проанализировано в монографии Силина [ізо]. Это явление на языке резонансного взаимодействия волн рассмотрено в обзоре Галеева и Сагдеева [131]. Весьма эффективным аппаратом для исследования нелинейного взаимодействия волн в плазме является аппарат многоиндексных тензоров диэлектрической проницаемости ІІ32-І33]. Различные аспекты модуляционной неустойчивости рассматриваются также в работах [I34-I39J .

Существует два условия, при которых ленгмюровская волна конечной амплитуды изменяет дисперсионные свойства однородной эле- ктронной плазмы. Это - наличие ионов и нелинейная зависимость скорости электрона от ее начального значения. Скорость частицы в однородном осциллирующем поле зависит от начальной скорости как от аддитивной постоянной. Поэтому в таком поле возможна лишь "двух-компонентная" модуляционная неустойчивость. Нелинейная зависимость скорости электрона от начальной скорости появляется, если длина волны конечной амплитуды не равна бесконечности, а также в том случае, если электрон релятивистский. При выполнении критерия Лайтхилла |l40j в этом случае возможна "однокомпонентная" модуляционная неустойчивость. Применение критерия Лайтхилла для плазменных волн будет корректным, если под нелинейным сдвигом частоты понимать относительный сдвиг частоты возмущений по отношению к дисперсионной кривой, описывающей волну конечной амплитуды.

Возможность параметрической раскачки колебаний в холодной релятивистской плазме однородным осциллирующем полем впервые была указана Цинцадзе [l4l]. В работе |I42J было отмечено, что учет нелинейного сдвига частоты самосогласованного поля накачки приводит в холодной плазме к расстройке резонанса, сильному ослаблению параметрического инкремента. Значение инкремента неустойчивости и сдвиг частоты в пределе низких температур получены в работах [I43-I45J. Последовательное рассмотрение этого эффекта в рамках релятивистской кинетической теории проведено в работе |.14б| . В работе [147]решена задача на устойчивость в поле ленгмюровской самосогласованной стационарной волны, впервые исследованной Ахие-зером и Половиным|l48j. Дальнейшее развитие это направление получило в работах [I49-I50J, где получена слаборелятивистская по амплитуде поля нелинейная добавка к уравнениям Захарова. Это позволило учесть влияние релятивизма на электрон-ионную модуляционную неустойчивость при больших длинах волн.

Исследованию различных типов волн в плазме, когда существенна нелинейная зависимость релятивистского импульса электрона от скорости, посвящены также работы [151- I56J . Ряд простых нелинейных эффектов и теория возмущений для описания распространения в холодной плазме плоских волн с фиксированным профилем рассмотрены в работах [157, 158J .

В четвертой главе, см. также [159] , рассмотрена модуляционная и параметрическая неустойчивость в релятивистской плазме. Число захваченных частиц предполагается малым. Для сверхсветовых волн это число равно нулю. Фазовые скорости досветовых волн должны быть большими по сравнению с тепловой скоростью электронов. Ограничение на число захваченных частиц не относится к биениям, которые могут иметь малые фазовые скорости и взаимодействовать с частицами посредством механизма нелинейного затухания Ландау.

Нелинейность стационарной ленгмюровской волны типа БГК [I60J, [ібі] за счет колебаний захваченных частиц в потенциальных ямах волны рассмотрена, в частности, в работах [162, 163] . Взаимодействие волны с незахваченными, движущимися с тепловыми скоростями, частицами учитывается в этих работах лишь в линейном приближении. Неустойчивость, связанная с захватом частиц в волну, затухание волны с учетом вклада всех электронов, влияние захвата частиц на индуцированное рассеяние рассмотрены соответственно в работах [ш], [і65-І6б, Ібї] .

В I четвертой главы получено решение релятивистского уравнения Власова для бесстолкновительной плазмы в виде нелинейных стационарных волн конечной амплитуды. Это решение получено при по- мощи метода Боголюбова [l68] , содержит, наряду с основной гармоникой, также высшие гармоники с амплитудами имеющими порядок Е₀ \> , где п - номер гармоники, а \) =е п_о/с0_о<р_о> - малый параметр, и имеет вид ( л/ - J. M²J I| S/n 3(о>.* - *о? - У.),

Частота основной гармоники оказывается сдвинутой относительно частоты, определяемой дисперсионным уравнением линейной теории, на слагаемое порядка V

Здесь

2Ле^: _{-Рм/ар, mco.}² _{JUA/3mcy ї-к0Уг/со0 ' '} Bamcp^/piO-K.Va/u).)²; А а 3 b²p_e(p₄-K_ecp./u_e)/2p .

Вычислив асимптотику П и N как функций температуры в нерелятивистском и ультрарелятивистском пределах мы нашли нелинейный сдвиг частоты в этих предельных случаях. При оС» і

3 /еЕ₀ \* is; /еЕоКоМКо _{+ 8 VmccoAi} и сдвиг частоты определяется как нелинейной зависимостью импульса электрона от скорости, так и четырехволновым взаимодействием плазменных волн. В ультрарелятивистском пределе этот результат имеет вид W_o = 00_{A 3 /еН< Чо \ тссо, ы}²_{- ^}

1?5Ч ШСОд² и нелинейный сдвиг целиком зависит от температуры. Подобная задача рассматривалась в работе (I69J . Отброшенные автором этой работы нелинейные слагаемые в разложении по полю волны содержат тот же порядок величин, что и учтенная первая нелинейная поправка. Поэтому результаты работы (I69J нельзя признать удовлетворительными.

Далее в диссертации рассмотрено взаимодействие волны конечной амплитуды с линейными волнами возмущений, результатом которого является возникновение высших гармоник, нелинейного сдвига частот возмущений, нелинейного инкремента или декремента. Показано, что при резонансном взаимодействии волн в релятивистской плазме, когда расстройки частот и волновых векторов имеют порядок, не превышающий & = (б Ег₀ /гп C(j0_o) » дисперсионным уравнением служит уравнение [е(ш₊со₀- к + к₀)-Р₊] [e(w-uv,k-k₀)-P_]-Q₊Q_= О, _{Д0Д±і J} в котором котором / , _л / ±i АоД ±2 - 4 I -) Д²₁ J Д-к, t

I ^JA±i Д+2. _{- зо - Q+ = А і<±к} - 4 к + Ко

Кроме того, использованы обозначения

А< = А-тсМВ/Зе^ A₂=A-vmcMB/e-, її = 4ЗГе²с (< - K₀v₂/co₀) af_H /Эр_г ;

Д _h =r 00 + ИСОо - (К + hKo)V_s .

Это уравнение исследовано в пределах нерелятивистских и ультрарелятивистских температур. В первом случае мы приходим к выводу, что в релятивистской электронной плазме в поле волны конечной амплитуды наиболее интенсивно возбуждаются моды с волновыми векторами и частотами, равными S=i-8c²v_T²Ko⁴/uo⁴.

Максимальное значение инкремента нарастания таких мод определяется формулой _{^тах = 0р —- I М - Ул f 16 ' '} ил_> а пороговое значение амплитуды нелинейной волны, при котором начинает развиваться неустойчивость, равно - ЗІ - ^ьо ~ 5 v є і СОр '

При К₀ = О эти формулы описывают параметрическую неустойчивость во внешнем однородном осциллирующем поле. Кроме того, из этих формул видно, что резонансное взаимодействие волн в электронной плазме имеет место лишь при отличных от нуля температурах.

В случае ультрарелятивистских температур вклады за счет релятивистской нелинейной зависимости импульса от скорости и за счет четырехволнового взаимодействия входят с одинаковыми знаками. Максимальное значение инкремента q _ о^2 ojp/ га ^ 214 Кос² достигается на частотах

СО =G0_o + К_оС²(К-К_о)/С0р ', СОр^иЗроС/З', к-к₀=^р ' \120 350 C0₀^z/ .

Эти формулы описывают нарастание модуляционной неустойчивости в сверхсветовой части спектра ультрарелятивистской плазмы с ростом Ко » а при Kq—О описывают параметрическую неустойчивость.

Нерезонансное взаимодействие волн в плазме с нерелятивистской температурой приводит, с точностью до квадратов отношений тепловой скорости частиц к фазовым скоростям волн, только к нелинейному сдвигу частот; oj=oj_a - -|-сор(Ь

При ультрарелятивистских температурах такое взаимодействие волн сопровождается также нелинейным затуханием сверхсветовых волн:

Последняя формула является также количественным выражением для случая ультрарелятивистских температур процесса перекачки энергии ленгмюровских волн в длинноволновую область.

В четвертой главе рассмотрена также роль ионной компоненты в нелинейных процессах в релятивистской плазме. Все расчеты проводятся в длинноволновом приближении, когда можно не различать продольную и поперечную волны большой амплитуды. Для этого случая найдено дисперсионное уравнение. При нерелятивистских температурах оно приводит к результатам, полученным в монографии [іЗО] Силина. В ультрарелятивистской плазме неустойчивость "апериодического" типа развивается с инкрементом, максимальное значение которого определяется универсальной формулой - с численным коэффициентом X равным: 0,03? при КС«СО_рер>Ы² ; 0,09 6 при 2_рер>Ы² « КС «

2_pep<*^ec/v_s ; о₅138 дри G_pepoi²«Kv_s , где V_s - скорость ионного звука. Учет движения ионов привел в процессах "апериодического" типа к изменению примерно на одну треть численного коэффициента Л

В ультрарелятивистской неизотермической двухкомпонентной плазме становится возможной неустойчивость "распадного" типа, при которой происходит одновременное возбуждение ленгмюровских и ионно звуковых волн. Этот процесс характеризуется инкрементом Y^(0i_sG3_pepocV^8)^l/2 при Ы₀=0КК)+С0₅.

Б пятой главе рассмотрено нелинейное рассеяние волн в релятивистской слаботурбулентной плазме. Предполагается, что в такой плазме одновременно возбуждено много волн, и фазовые соотношения между взаимодействующими волнами случайны. Метод расчета процессов в такой плазме в рамках кинетической теории был развит в работах Кадомцева и Петвиашвили [I70J , Драмонда и Пайнса |I7lJ , Галеева и Карпмана [l72_tI73j , Силина JJE74J и лег в основу многочисленных исследований в этом направлении (см., например, [l75-I8l] , [іЗі] ).

В релятивистской максвелловской плазме ленгнюровская турбулентность рассматривалась в работах [182,183] . Детальное исследование одномерного случая проведено Ломинадзе, Михайловским, Сагдеевым |l84J . Слабая турбулентность релятивистской плазмы со степенным невозмущенным распределением изучалась Цытовичем, Кап-ланом, Николаевым (185,18б] .

В диссертации дан вывод общей формулы для декремента затухания, обусловленного нелинейным взаимодействием волн с частицами в релятивистской плазме. От аналогичного нерелятивистского выражения эта формула отличается учетом нелинейной зависимости импульса электрона от его скорости и в слаборелятивистском приближении имеет вид '<_1? ^vr²_21 tKxKj' V_T^Z ~]т/їй?

Случаю наиболее эффективной перекачки энергии ленгмюровских волн в часть спектра с фазовыми скоростями, большими скорости света, соответствует декремент *_T*6u>_p(fr)^sУк.0-24^) ^{^р' hm\r}_T ^с где We - плотность энергии колебаний.

Интенсивность нелинейной перекачки турбулентного ленгмюров-ского спектра с ростом температуры уменьшается. Этот факт имеет место также и в случае одномерной ультрарелятивистской плазмы [184]. При температурах порядка 10 171 с релятивистские поправки становятся преобладающими.

В пятой главе получена также формула для нелинейного декремента при произвольных релятивистских температурах в длинноволновом приближении. Величина нелинейного декремента для релятивистских температур оказывается пропорциональной первой степени K(U"^/cO » а не третьей, как это имеет место для нерелятивистских температур. При температурах, значительно превышающих массу покоя электрона, у 1$\- 27 С Г K^lW У _уг 9 ^ут<^кЬ-зго*тЗ"кГ- (.9 ^Кг,<1г

В нерелятивистской плазме процессы индуцированного рассея-ния волн на частицах в направлении перпендикулярном К не дают вклада в Y-. (к) . В релятивистской плазме такие процессы перестают быть запрещенными.

В шестой главе рассмотрено радиационное и столкновительное затухание волн в релятивистской плазме. Механизм резонансного поглощения энергии волн частицами, рассмотренный во второй главе, изучается одновременно с коллективной частью торможения излучением и столкновениями. В соответствии с результатами первой главы радиационное затухание может быть рассмотрено на основании релятивистского кинетического уравнения Власова, учитывающего реакцию излучения. Так как среднее за единицу времени значение квадратичной по полю части реакции излучения равно изменению за это время среднего импульса частицы при рассеянии на ней волны [45] , с.281, то учет торможения излучением в уравнении Власова связан с учетом потерь энергии - импульса при рассеянии волн на зарядах плазмы [l87] .

Для оценки столкновительного затухания в диссертации использован интеграл столкновений Беляева - Будкера. Такой выбор диктуется преимущественно возможностью получить результаты в аналитической форме. При этом плазма предполагается достаточно разрешенной, так что частицы редко сближаются на малые расстояния. Более точная количественная оценка условий применимости приближения парных столкновений в плазме приведена в книге JI3J Климонтовича. Учет коллективных взаимодействий приводит к функциональной зависимости интеграла столкновений от тензора диэлектрической проницаемости.

Так как этот тензор сам определяется функцией распределения, то и интеграл столкновений Балеску-Ленарда [35,-37, I88J , и полностью сходящийся интеграл Силина и Рухадзе [96J , с. 225 , и интеграл Климонтовича [l89j , учитывающий взаимодействия частиц на малых расстояниях (см. также [190-193] ) оказываются значительно усложненными. Различные сходящиеся интегралы столкновений, как показано в работах |l94,I95J могут приводить к одинаковым коэффициентам переноса. Наряду с методом корреляционных функций [і, 196-198] и методом теории флуктуации и уравнения Фоккера - Планка [з, 13, 198-203J для расчета релаксационных процессов в плазме используются модельный интеграл столкновений Багнагара-Гросса-Крука (204, 205] , уравнение диффузии [206J . Проблема установления и поддержания максвелловского распределения при учете комптоновского рассеяния, образования электрон-позитронных пар, тормозного излучения и поглощения синхротронного излучения [207 J рассматривалась в работах [208-211]. Выяснению роли коллективных эффектов в тормозном излучении в плазме с немаксвелловским распределением посвящена работа [212|Цытовича. Попытка рассмотреть торможение излучением в кинетической теории была предпринята Власовым (2I3J, с. 162, а также в работах (2І-23І, обобщающих на ковариантный случай схему Власова, в работах [24, 71, 73,214-21б] и др. В рамках тетрадного формализма эта проблема рассмотрена в работе [217]. Уравнения динамики излучающего электрона рассматривались в частности в работах (2,42,187,218-222].

В диссертации на основании релятивистского кинетического уравнения Власова с торможением излучением и интегралом столкновений Беляева-Будкера найдены дисперсионные уравнения для продольных и поперечных волн в релятивистской плазме. Основной качественный вывод, вытекающий из анализа дисперсионных уравнений и результатов второй главы относительно бесстолкновительной части диссипации энергии волн в релятивистской плазме, состоит в том, что во всей области спектра продольных и поперечных волн, где бесстолкно-вительное резонансное поглощение энергии волн частицами отсутствует, имеет место бесстолкновительное радиационное затухание.Это затухание является единственным для продольных волн с фазовыми скоростями большими скорости света, а также для поперечных волн во всех областях спектра (см. также работы [223, 224J ).

Для слаб о затухающих по формуле Ландау [225J волн с фазовыми скоростями меньшими скорости света и, по крайней мере, на порядок превышающих тепловую скорость электронов, радиационное затухание определяется декрементом и превышает затухание Ландау. Для волн с фазовыми скоростями близкими к скорости света - V-f^Hi-.^^^jDj, с*) где u-_L - функции температуры. Для сильно релятивистской плазмы последняя формула приобретает вид ^г 18 mc ^L ' <* ^J

Вместе с результатами главы 2 эти формулы полностью описывают бесстолкновительное затухание в досветовой части спектра. В сверхсветовой части спектра ленгмюровских волн с фазовыми скоростями близкими к скорости света _г.¹ и, в частности, при Т»Гпс у ^о сок / Л+ъЫ . \

Если фазовая скорость не слишком близка к С -

Частота и волновой вектор связаны дисперсионной формулой Силина.

В пределе нерелятивистских температур и фазовых скоростей, значительно превышающих тепловую скорость частиц, декременты стол-кновительного затухания совпадают с результатами Гинзбурга и Ру-хадзе [226]. Радиационное затухание поперечных волн определяется декрементом ^ = ~есОр/ЗгпсЗ , а ленгмюровских-формулой ( * ). В этом пределе столкновительное затухание ленгмюровских волн превосходит полное бесстолкновительное затухание. Однако радиационные затухания электромагнитных волн оказывается большим столкновительного при условии

2_р²Н V2i где L - кулоновский логарифм. В диссертации приведены также выражения для декрементов затухания в области о(&«1 , р>»4 Ленгмюровские волны в этой области характеризуются формулами

00 = Kef Н + 2ехр (-2 -1 -2.)1

Дія поперечных волн в этой области _{зс к}^г_т ц^ _К2_С2 ₊ |_ ц^ и радиационное затухание электромагнитных волн снова превосходит столкновительное затухание. Декремент затухания ленгмюровских волн за счет столкновений в этой области может быть как больше, так и меньше декремента радиационного затухания.

Другой асимптотический предел для сильно релятивистской плазмы соответствует с* р> » і .В этом пределе радиационное затухание электромагнитных волн, у^~- ?_оС0р/зс значительно превосходит столкновительное. Для ленгмюровских волн, наоборот, столкновителъное затухание превосходит радиационное. В длинноволновой области спектра в первом приближении по \Г_Т / ц~ф дисперсия и декременты затухания продольных и поперечных волн совпадают и равны > ² ^ (О^СО^К-СЫ) ^dxlToW/X² ; ^{2>mc* 2.} _ы

Радиационное затухание длинных волн слабо зависит от температуры. Декремент столкновительного затухания убывает с ростом тем- -т- -Ъ/2. пературы в нерелятивистской области ~ Г , в ультрареляти- вистской плазме ~ Т .В частности при Т » ГП С и у^ > у_с . Соотношения между затуханием Ландау, столкнови-тельным и радиационным затуханием иллюстрируются графически.

Величина радиационного декремента затухания не превосходит своего значения, характерного для нерелятивистских температур.

В диссертации и в работах [227,228] рассмотрено также распространение волн в холодной магнитоактивнои плазме на основе гидродинамических уравнений, полученных из уравнения Власова учитывающего торможение излучением. Качественно отличные результаты получены для случая сильных магнитных полей, когда циклотронная частота значительно превосходит плазменную частоту. В этом случае декремент радиационного затухания электромагнитных волн с левой круговой поляризацией близок к нулю, а радиационное затухание электромагнитных волн с правой круговой поляризацией, плазменных колебаний вблизи циклотронной и гибридной частот описываются одной и той же формулой

Х- 22Vac = <і,4-іо"⁸в²с^-1.

В отличие от случая изотропной плазмы этот результат не содержит зависимости от плотности числа частиц.

Далее, в шестой главе рассмотрена пучковая неустойчивость в слаборелятивистской плазме. Показано, что при наличии релятивистского пучка без теплового разброса скоростей, ленгмюровские волны с фазовыми скоростями меньшими скорости пучка затухают за счет торможения излучением сильнее, а волны с фазовыми скоростями большими скорости пучка затухают радиационно слабее, чем волны в плазме без пучка. Инкремент пучковой неустойчивости в присутствии холодного релятивистского пучка определяется формулой V² \S/4 _{со, 0-S? , . Wkv} V^і k*v^z/ k²v² k*v^{2 J}

Качественное отличие этой формулы от аналогичного нерелятивистского выражения проявляется в том, что пучковая неустойчивость при K^V > СОр существует и в холодной плазме. При конеч- ных температурах плазмы и пучка и для фазовых скоростей волн много больших тепловой скорости пучка наибольшее значение инкремента неустойчивости равно ⁶*«x-Y_t+ ^4-8 те* к* Ть

При V/V_T~10^Z, h_b~-l0⁵CNf³ » Е ~mc² радиационное затухание препятствует развитию пучковой неустойчивости начиная с плотностей плазмы к\ ~ Ъ- 10 см

Влияние радиационных эффектов на пучковую неустойчивость рассматривалось также в работах [229, 230J.

Ряд интересных радиационных эффектов проявляется в рамках квазилинейной теории [231-236]. В частности, эффект увлечения электронов поперечной волновой связан с наличием в силе Лоренца-Дирака слагаемого, пропорционального (_ Е ^х о J , отличного от нуля в среднем за период и приводящего к захвату частиц поперечной волной. Движение электрона в поле волны в механике рассматривалось, например, в работах [2,237-239] .

Из квазилинейного уравнения диффузии для релятивистской плазмы, полученного в работах |240-24lJ_; в диссертации, следует ре -зультат где U - плотность электромагнитной энергии волны. При этом увеличение импульса частиц плазмы в точности равно уменьшению импульса волны.

Потери энергии электронов на излучение сказываются также на изменении плотности энергии плазмы. При распространении ленгмю-ровских волн эта величина изменяется в квазилинейном приближении. в то время, как плотность импульса остается неизменной. Этот результат можно также получить путем непосредственного подсчета энергии излучения электронов единицы объема плазмы. В диссертации подробно рассмотрена квазилинейная релаксация функции распределения Максвелла и приведены формулы учитывающие уменьшение температуры плазмы вследствие потерь энергии частиц на излучение.

Микроскопические уравнения

Уравнения движения системы релятивистских зарядов взаимодействующих через собственное электромагнитное поле могут быть записаны в виде где через G - обозначена функция Грина оператора Даламбера.

Основной математической особенностью уравнений движения системы релятивистских зарядов является тот факт, что они не являются дифференциальными, как это имело место для системы кулоновских частиц. Это делает невозможным реализацию классической схемы построения статистической теории таких систем, как статистической механики, согласно которой в уравнение Лиувилля статистика введена неопределенностью единственного начального динамического состояния при детерминированном законе движения [ij . Действительно, уравнения движения частиц можно представить в виде "полевого" уравнения, если ввести функцию микроскопической фазовой плотности [242]

Дифференцируя эту функцию по времени и используя свойства 5"- функции [2 ] , найдем

Подставляя в это тождество уравнения движения зарядов, приходим к уравнению Юїимонтовича ( Гз] с 135 )

При этом мы для простоты положили Єк Є Кроме того, под G" С " t) Т - у мы понимаем запаздывающую функцию Грина [21 с. 31]

Это единственная релятивистски инвариантная функция Грина, удовлетворяющая условию причинности в форме Боголюбова. При использовании этой функции полное поле разделяется на две части ( [243] с. 244 ): электромагнитное поле создаваемое зарядами и "падающее на систему излучение". Свободное электромагнитное поле представляет собой решение однородных полевых уравнений и в уравнении (I.I) опущено.

Заметим также, что вывод замкнутого уравнения оказывается возможным лишь при условии включения само действия частиц, которое для запаздывающих взаимодействий содержит, наряду с обычными кулоновскими особенностями, взаимодействия частиц с собственным полем излучения.

Для кулоновских частиц уравнение Климонтовича часто рассматривается в качестве исходного уравнения при построении статистической теории систем зарядов [95 , 188]. Цепочка уравнений Боголюбова для редуцированных функций распределения получается при этом путем непосредственного усреднения -микроскопических уравнений. Однако, как непосредственно видно из (I.I), уравнение Климонтовича для запаздывающих взаимодействий не допускает перехода к средним при помощи обычной процедуры статистического усредне-ния, суть которой состоит во введении неопределенности некоторого динамического состояния при детерминированном законе движения. Вместе с тем уже из самого факта существования уравнения Климонтовича, как единого уравнения для частиц и поля, следует, что существует также единое, основанное на вероятностных представлениях, уравнение эволюции в терминах координат и импульсов конечного набора материальных частиц,, по отношению к которому уравнение Климонтовича является предельным уравнением, соответствующим достоверной информации о состоянии каждой частицы во все моменты времени.

Интегральные представления диэлектрической проницаемости релятивистской плазмы

Волны в релятивистской плазме изучались Силиным [47, 265J , Цытовичем , Михайловским, Ломинадзе [б5,58І и другими авторами /см.Введение/. В этой главе излагается математический подход, развитый в работах (24,66,68,691Х/и позволивший уточнить известные результаты для релятивистской плазмы, а также получить общую аналитическую формулу для диэлектрической проницаемости ультрарелятивистской плазмы, справедливую в широкой области фазовых скоростей, где затухание Ландау отсутствует или является экспоненциально малым. Как показывают численные расчёты, равенство нулю этой функции с высокой точностью определяет дисперсию ленгмюровских волн уже при температурах электронов, на порядок превышающих их массу покоя.

В этой главе рассмотрена также "тёплая" гидродинамика l9,20j дающая сходные с кинетической теорией результаты 7lj , указаны ошибочные подходы в релятивистской гидродинамике плазмы.

В качестве примера анизотропного распределения рассмотрено распределение частиц пучково-плазменной системы [84J. дисперсия волн в такой системе зависит от закона преобразования температуры в релятивистской статистической теории [9IJ . Этот факт можно использовать для экспериментальной проверки этого закона.

Уравнения Власова для возмущений малой амплитуды х/г Работы [бб,68,69,71,84,91] выполнены в соавторстве с Лоскуто-вым Ю.М.,Подосёновым П.Б.,Поляковым П.А.,Ситновым М.И., Трубачёвым 0.0.

Интегральные представления тензора диэлектрической проницаемости релятивистской магнитоактивной плазмы

В этой главе мы рассмотрим распространение волн в релятивистской магнитоактивной плазме в предельных случаях слабого и сильного магнитного поля, причем в первом случае только в направлении перпендикулярном полю, как проблему, имеющую математически своеобразный характер 196J , с. 276, а потому менее изученную.

В слабом магнитном поле дано решение общей задачи об отыскании тензора диэлектрической проницаемости релятивистской плазмы, пригодного для изучения переходного процесса изотропная - магнитоактивная плазма. Исходной формулой служит интегральное представление Трубникова . Вычислен декремент бесстолкнови-тельного затухания волн, распространяющихся перпендикулярно полю в плазме с нерелятивистской температурой, т.е., волн, не затухающих вообще в нерелятивистской теории. Выяснено, какие изменения претерпевает дисперсионная кривая продольных волн при включении слабого магнитного поля. Это позволяет проследить за процессом образования мод Бернстейна, которые продолжают привлекать к себе внимание исследователей [274] .

Предел сильного магнитного поля рассмотрен в связи с коллективными явлениями в электрон-позитронной плазме. Эта задача представляет интерес прежде всего с точки зрения выявления и установления полной иерархии неустойчивостей [278,279] , связанной со структурой стационарной турбулентности в магнитосферах пульсаров [l25J .

Основные результаты этой главы изложены в работах Ы (Кузьменков, Ситнов ) и 1126] ( Кузьменков, Поляков ).

Нелинейные волны в релятивистской плазме

До сих пор мы рассматривали распространение волн в релятивистской плазме в линейном приближении, т.е. волн бесконечно малой амплитуды. Учет конечности амплитуды ленгмюровских волн обнаруживает наряду с типичными для теории нелинейных колебаний явлениями сдвига частоты и появления высших гармоник, также изменение дисперсионных свойств плазмы. В этом параграфе мы вычислим нелинейный сдвиг частоты и вклад высших гармоник.

Пусть ЕО)Со0 - амплитуда и частота стационарной ленгмю-ровской волны, С рх в - средняя энергия электрона и " его заряд. Из этих величин можно составить безразмерный парамет/

Этот параметр предполагается меньшим единицы, так что по немуможно вести разложение в степенной ряд. Задача состоит в отыскании волновых решений кинетических уравнений бесстолкновительной релятивистской плазмы соответствующих распространению вдоль оси 2- продольной волны вида оны рассматриваются как компенсирующий фон, В том случае, если фазовая скорость стационарной волны меньше скорости света, мы будем предполагать, что эта скорость значительно превышает тепловую скорость электронов, так что можно пренебречь вкладом захваченных частиц.

Общее выражение для нелинейного декремента затухания волн в слаботурбулентной релятивистской плазме

Рассмотрим волновой пакет легмюровских колебаний со случайными фазами в релятивистской плазме, движением ионов будем пренебрегать. Функцию распределения электронов можно представить в виде суммы медленно меняющейся функции и быстрой осциллирующей, представляющей собой суперпозицию волн с медленно меняющимися амплитудами и случайными фазами, причем, характерное время изменения амплитуд значительно превышает периоды колебаний и времена смены фаз [I70J . С точки зрения масштабов порядка характерных периодов и длин волн рассматриваемых колебаний такое представление быстро осциллирующей части функции распределения можно считать представлением Фурье [30і] .

Амплитуды связаны уравнением Власова для быстро осциллирующей части функции распределения в Фурье - представлении, усредненном по случайным фазам.