Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время основными математическими инструментами, использующимися при решении большинства задач теоретической физики, являются различные приближенные методы. Тем не менее, даже в рамках конкретных упрощенных моделей применение подобных методов не всегда позволяет получать исчерпывающую информацию о тех или иных свойствах изучаемой системы. В качестве наиболее типичного примера следует отметить современное состояние квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени, где разрешение многих интересных и важных вопросов упирается в отсутствие конструктивных способов решения соответствующих квантово-полевых уравнений [1,2]. В связи с этим, одной из актуальных на сегодняшний день проблем теоретической физики является построение эффективных методов точного интегрирования классических и квантовых дифференциальных уравнений, возникающих в физических задачах.
Построение точных решений дифференциальных уравнений и нахождение условий, при которых построение подобных решений возможно, являются основными задачами теории точного интегрирования. Особое место в указанной теории занимает проблема построения решений дифференциальных уравнений на многообразиях с симметриями. Актуальность этого направления связана с многочисленными приложениями данной тематики в фундаментальных вопросах общей теории относительности и квантовой ' теории поля. Отметим, например, что практически все модели римановых многообразий общей теории относительности, использующиеся до настоящего времени, связаны с различными группами преобразований и, как правило, большинство из них относятся к классу однородных римановых пространств. Нельзя также не отметить огромную роль, которую играет теория точного интегрирования в таких смежных математических дисциплинах как дифференциальная геометрия и топология, алгебра и геометрия групп Ли, теория гамильтоновых систем. Все это позволяет нам утверждать, что развитие методов точного интегрирования дифференциальных уравнений на многообразиях с симметриями имеет очень большое значение в современных проблемах теоретической и математической физики.
Одним из наиболее популярных на сегодняшний день методов точного интегрирования дифференциальных уравнений является метод разделения переменных, использующий коммутативные наборы операторов симметрии [3]. Данный метод имеет достаточно длительную историю, но свое оконча-
тельное завершение в случае линейных дифференциальных уравнений второго порядка метод разделения переменных приобрел сравнительно недавно [4}. Тем не менее, довольно часто встречаются классы дифференциальных уравнений, не допускающие решение в рамках указанного метода, а поэтому все большую актуальность представляют альтернативные способы нахождения решений.
В настоящей работе метод точного интегрирования классических геодезических потоков и соответствующих им квантовых релятивистских волновых уравнений на однородных пространствах строится с помощью специального канонического преобразования, эффективно использующего все симметрии исходного уравнения. Применение указанного канонического преобразования позволяет находить точные решения уравнений, неинте-грируемых традиционными способами, а также позволяет избежать трудности, возникающие в случаях, когда интегралы движения уравнений являются лишь локально сохраняющимися величинами.
Отметим также, что при интегрировании классических и квантовых дифференциальных уравнений на однородных пространствах с помощью специального канонического преобразования, четко прослеживается общность алгебраических конструкций, связанных со свойствами интегрируемости указанных классов уравнений. Все это свидетельствует о тесной взаимосвязи, существующей между классическими и квантовыми задачами, и указывает на плодотворность рассмотрения этих задач с единой симмет-рийной точки зрения.
Цель и задачи работы. Целью настоящей работы является построение методов точного интегрирования классических геодезических потоков и соответствующих им квантовых релятивистских уравнений на однородных пространствах с произвольными гладкими группами преобразований. При этом мы рассматриваем два класса римановых структур на однородных пространствах — это G-инвариантные метрики, определяющие действие группы как преобразование, сохраняющее данную метрику, и так называемые центральные римановы метрики или метрики субмерсии, обладающие неявными симметриями [5].
Основные решаемые задачи:
1. Построить все инварианты коприсоединенного представления вещественных групп Ли размерности меньше шести и на основе этих результатов выделить группы Ли с неполуотделимым пространством орбит.
-
Рассмотреть класс центральных римановых метрик на однородных пространствах и исследовать свойства геодезических потоков с данными метриками.
-
Построить алгоритм интегрирования в квадратурах геодезических потоков на однородных пространствах с G инвариантными и центральными метриками.
-
Обобщить построенный метод интегрирования геодезических лотоков на однородных пространствах на случай интегрирования соответствующих уравнений Якоби.
-
Разработать алгоритм точного интегрирования квантовых уравнений на однородных пространствах с центральными метриками.
Научная новизна и значение результатов. В работе впервые были получены следующие результаты. На основе построенных инвариантов коприсоединенного представления (функций Казимира) вещественных алгебр Ли размерности меньше шести были найдены две пятимерные алгебры Ли, пространства орбит которых являются топологически неполуотде-лимыми. Построено специальное каноническое преобразование на кокаса-тельном расслоении произвольного однородного пространства и с его помощью разработан конструктивный алгоритм интегрирования геодезических потоков на однородных пространствах с G-инвариантными и центральными метриками. Как следствие этого, найдены необходимые и достаточные условия интегрируемости в квадратурах указанных геодезических потоков и перечислены все вещественные группы Ли малых размерностей, допускающие интегрируемость потоков в квадратурах. Приведен критерий интегрируемости уравнения Якоби на произвольных римановых многообразиях, и с помощью построенного метода интегрирования геодезических потоков разработан алгоритм нахождения в квадратурах решений уравнения Якоби на однородных пространствах с С?-инвариантными и центральными метриками. Построен метод точного интегрирования квантовых уравнений на однородных пространствах с центральными метриками и найден критерий их интегрируемости.
Результаты проведенного исследования позволяют сделать вывод об эффективности использования полученных критериев интегрируемости классических геодезических потоков и соответствующих квантовых уравнений на однородных пространствах для выбора конкретных моделей квантовой
теории поля в искривленном пространстве времени. Как показано в работе, построенные методы интегрирования позволяют конструктивным путем получать точные решения соответствующих уравнений с помощью только вычисления квадратур и интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, что является их несомненным достоинством.
Одним из ключевых моментов настоящей диссертации также является демонстрация того, что рассматриваемые классические и квантовые уравнения могут быть рассмотрены с единых симметрийных позиций. Так, в работе доказан результат, согласно которому однородные пространства, допускающие интегрируемые в квадратурах геодезические потоки, допускают также интегрируемость соответствующих квантовых релятивистских волновых уравнений, являющихся результатом квантования геодезического движения. Данный результат указывает на широкие перспективы использования методов интегрирования и качественного анализа классических систем в теории точного и приближенного интегрирования квантовых уравнений.
Личный вклад соискателя. В работах, выполненных в соавторстве, автор принимал активное участие на всех этапах выполнения работы: от постановки задачи, до разработки и реализации методов решения. Метод интегрирования геодезических потоков и квантовых уравнений на однородных пространствах, лежащий в основе диссертационной работы, получил необходимое развитие в совместных работах автора с Широковым И.В. Все наиболее важные результаты диссертации, перечисленные в заключении, получены лично автором.
