Содержание к диссертации
Введение
1 Классификация штеккелевых метрик в классической теории гравитации 17
1.1 Общие свойства изотропных штеккелевых пространств . 17
1.1.1 Необходимые сведения из теории разделения переменных . 17
1.1.2 Общие свойства штеккелевых пространств типа (N.1) 22
1.1.3 Разделение переменных с помощью интегральных наборов . 27
1.2 Изотропные штеккелевы пространства с чистым излучением (проблема Вайдья) 31
1.2.1 Изотропные пространства с тремя векторами Киллинга 32
1.2.2 Изотропные пространства с двумя векторами Киллинга . 34
1.2.3 Изотропные пространства с одним вектором Киллинга 38
1.3 Изотропные штеккелевы пространства в теории Эйнштейна-Максвелла 42
1.3.1 Изотропные пространства с двумя векторами Киллинга . 43
1.3.2 Изотропные пространства с одним вектором Киллинга 45
1.3.3 Пространства электровакуума, обобщающие тип (1.1) 49
1.4 Изотропные штеккелевы пространства в теории Бранса-Дикке 54
1.4.1 Изотропные пространства с двумя векторами Киллинга 54
1.4.2 Изотропные пространства с тремя векторами Киллинга 62
2 Классификация конформно-штеккелевых метрик пространств Эйнштейна 65
2.1 Пространства Эйнштейна с изотропными конформно-штеккелевыми метриками 65
2.1.1 Условия совместности конформно-преобразованных уравнений Эйнштейна 66
2.1.2 Изотропные конформно-штеккелевы пространства типа (3.1) . 69
2.1.3 Изотропные конформно-штеккелевы пространства типа (2.1) . 71
2.1.4 Изотропные конформно-штеккелевы пространства типа (1.1) . 73
2.1.5 Метрики типа (N.1) конформно-штеккелевых пространств Эйнштейна 75
2.2 Конформно-плоские изотропные штеккелевы пространства . 79
2.3 Неизотропные конформно—штеккелевы метрики пространств Эйнштейна 83
2.3.1 Метрики типа (3.0) 83
2.3.2 Метрики типа (2.0) 87
2.3.3 Риччи-плоские конформно-штеккелевы пространства типа (3.0) 90
Классификация однородных пространств с дополнительными симметриями 94
3.1 Метрики однородных пространств, допускающих изотропные полные наборы с тремя векторами Киллинга 94
3.2 Метрики однородных пространств, допускающих изотропные полные наборы с двумя векторами Киллинга 103
Специальные проблемы в современных теориях гравитации 138
4.1 Интегрируемость уравнений Эйнштейна-Вейля для однородных пространств 138
4.1.1 I и II типы по классификации Бианки 142
4.1.2 III, IV, VI типы по классификации Бианки (р2 ф 0) 144
4.1.3 III, V, VI типы по классификации Бианки (р2 = 0) 146
4.1.4 VII тип по классификации Бианки 149
4.1.5 VIII тип по классификации Бианки 155
4.1.6 IX тип по классификации Бианки 159
4.2 Вселенные типа Кантовского-Сакса с учетом квантовых поправок 163
4.2.1 Несингулярная космология Кантовского-Сакса . 171
4.2.2 Сингулярная космология Кантовского-Сакса. 175
4.2.3 Кротовые дыры в ранней Вселенной 181
4.3 Вселенная типа Фридмана с учетом эффекта Казимира 192
4.4 Некоторые решения в модели мембранной гравитации 199
Заключение 215
Приложение 1. Метрики однородных пространств в голономном и тетрадном репере. 217
Литература 235
- Разделение переменных с помощью интегральных наборов
- Метрики типа (N.1) конформно-штеккелевых пространств Эйнштейна
- Метрики однородных пространств, допускающих изотропные полные наборы с двумя векторами Киллинга
- Вселенные типа Кантовского-Сакса с учетом квантовых поправок
Введение к работе
Одной из важных проблем современной теоретической физики является задача осуществления объединения гравитационного взаимодействия с остальными фундаментальными взаимодействиями и построение реалистичных космологических моделей развития Вселенной, особенно на ранних этапах ее развития. Большинство исследователей полагает, что классическая общая теория относительности является низкоэнергетическим приближением некоторой более фундаментальной теории гравитации. В связи с этим сейчас большое внимание уделяется построению теорий и моделей, приводящих к различным модификациям ОТО и альтернативным теориям гравитации, использующих новые подходы (теории гравитации с высшими производными, с высшими размерностями, со специальными граничными условиями), включающих дополнительные объекты, отвечающие за гравитационные эффекты (дилатон, кручение), учитывающих различные квантовые поправки, возникающие в объединенных теориях. В рамках современных теорий гравитации особенный интерес исследователей вызывают космологические модели, описывающие начальные этапы развития Вселенной и модели, описывающие астрофизику черных дыр. В этих моделях применяются самые последние достижения различных физических теорий. При этом считается, что жизнеспособная теория гравитации, по всей вероятности, должна быть метрической теорией.
Усложнение моделей приводит к трудностям при интегрировании полевых уравнений и даже при исследовании их качественного поведения. Число точно решаемых моделей в таких теориях мало. Зачастую невозможность аналитического исследования уравнений приводит к необходимости использования численных методов интегрирования, что связано с изучением проблем сходимости и контроля точности расчета, где для выверки методов большую роль играют точно решаемые задачи. При квантовании теории также большую роль играют точно решаемые классичес- кие модели.
Таким образом развитие методов математической физики в искривленном пространстве - времени является актуальной проблемой. Одной из важнейших проблем современной математической физики является проблема интегрирования и классификации решений полевых уравнений в различных моделях теории гравитации. Под классификацией понимается перечисление всех неэквивалентных относительно выбранной группы преобразований решений полевых уравнений. При этом классификация, если она осуществляется по признаку симметрии изучаемых уравнений, одновременно является и мощным аналитическим методом интегрирования этих уравнений. Поскольку основным объектом исследования в теории гравитации является пространственно-временная метрика, особый интерес представляют пространства, обладающие какой-либо симметрией. Не случайно, первые систематические исследования проблемы точного интегрирования полевых уравнений общей теории относительности были связаны с классификацией пространств, допускающих группу движений (см. фундаментальный труд А.З.Петрова "Новые методы в общей теории относительности", 1966). Естественным обобщением таких пространств являются пространства, допускающие более сложные геометрические объекты, например, тензорные поля Киллинга. Вместе с тем замечено, что классификационный подход, как правило, конструктивен только в том случае, если имеется более двух геометрических объектов (тензорных и векторных полей Киллинга). Более того, на набор, состоящий из трех объектов обычно приходится накладывать дополнительные ограничения. Классификация для случая четырех и более геометрических объектов как правило проблем не вызывает.
Главным направлением исследований диссертации является классификационная проблема для пространственно - временных метрик, допускающих наборы из трех геометрических объектов, удовлетворяющих дополнительным условиям, имеющим ясный физический смысл. При этом мы рассматриваем две возможности.
1. Наборы являются полными (соответствующие поля коммутируют и отвечают некоторым алгебраическим условиям). Соответствующие пространства называют штеккелевыми. См. работы В.Н.Шаповалова: Дифф. уравнения. -1980. t.XVI, 10, 1864-1874; Сиб. мат. журнал. -1979. -20. -1117; Изв. вузов, Физика. -1978. -9. -18; а также работы: В.Г. Багров, В.В. Обухов, Полное разделение переменных в свободном уравнении Гамильтона -Якоби. Теоретическая и математическая физика. 1993. Т. 97, N 2, С. 250-269. В.Г.Багров, В.В. Обухов, Обобщение теоремы Шаповалова о необходимых и достаточных условиях разделения переменных. Гравитация и теория относительности. Вып. 28. Казань: Изд-во Казанского университета, 1991. С. 7-107 V.G. Bagrov, V.V. Obukhov, Separation of Variables for the Dirac Square Equation. International Journal of. Modern Physics D. 1994. V. 3, N 4. P. 739-746. Bagrov V.G., Obukhov V.V., Osetrin K.E., The problem of exact integration of mathematical physics equations in curved space-times. In "Gravity, Particles and Space-Time". World Scientific, Singapore, 1996. p.1-18.
2. Набор образован пространственно-подобными векторными полями Киллинга (пространственно-однородное пространство-время).
Интерес к этим вариантам обусловлен физической и геометрической выделен-ностью данных множеств. В штеккелевых пространствах могут быть проинтегрированы методом полного разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби уравнения геодезических, а однородные пространства находят большое применение в космологии.
В настоящее время классификационные задачи для штеккелевых пространств в достаточной мере изучены (в том числе и в наших работах). Решены проблемы классификации штеккелевых метрик в пространствах Эйнштейна, Риччи-плоских пространствах, пространствах электровакуума и т.д.
Значительно менее данная проблема исследована для однородных пространств, хотя известно множество разрозненных точных решений самых различных полевых уравнений. Существует настоятельная необходимость ликвидировать этот пробел.
С этой целью в предлагаемой работе изучается пересечение множеств штеккелевых и однородных пространств и проведена классификация полученных пересечений. Изучаются однородные пространства, удовлетворяющие полевым уравнениям классических гравитационных теорий в присутствии дилатона и спинорной материи. Используются исследуемые пространства для нахождения точных решений полевых уравнений в различных теориях гравитации.
В диссертации осуществлена классификацию однородных пространств, допускающих изотропные полные наборы интегралов движения в уравнениях геодезичес- ких, тем самым определив все неэквивалентные метрики однородных пространств, в которых уравнения движения могут быть проинтегрированы методом полного разделения переменных.
Однородные пространства в настоящее время вызывают повышенный интерес у исследователей, поскольку они лежат, по существу, в основе современной космологии. Вместе с тем их широкое применение осложнено двумя обстоятельствами. Во-первых, они заданы с достаточно большим произволом, и метрики этих пространств, даже записанные в системах координат, связанных с синхронными системами отсчета, в общем случае имеют довольно сложный вид. Поэтому возникает необходимость сформулировать физически или геометрически оправданные дополнительные условия, ограничивающие этот произвол. Во-вторых, с точки зрения космологии наиболее интересными представителями однородных пространств являются такие, в которых существуют решения уравнений материи, позволяющие построить зависящие только от временной переменной тензоры материи. Поэтому возникает проблема изучения всех типов однородных пространств на предмет нахождения среди них классов пространств, в которых могут быть получены соответствующие решения.
Изучение дополнительных симметрии однородных пространств призвано решить упомянутые проблемы.
Однородные пространства допускают трехпараметрические группы движений, имеющие трехмерные пространственно- подобные орбиты. Наличие этой группы в общем случае еще не позволяет осуществить точное интегрирование даже простейших уравнений движения материи. Конструктивные методы интегрирования этих уравнений основаны на нахождении условий, при которых возможно осуществить полное или частичное разделение переменных. Известно, что данные условия для простейших классических и квантовых уравнений движения (уравнений Гамильтона-Якоби, Клейна-Гордона, Дирака) приводят к необходимости существования в пространстве наборов, состоящих из векторных и тензорных полей Киллинга (в случае полного разделения переменных - так называемые полные наборы). Очевидно, что для выполнения поставленных условий необходимо дополнить симметрию однородных пространств так, чтобы обеспечить требование частичного или полного разделение переменных в рассматриваемых уравнениях движения.
Штеккелевыми называются пространства, в которых уравнение Гамильтона -
Якоби для незаряженной массивной частицы интегрируется методом полного разделения переменных. Теория полного разделения переменных в одночастичных уравнениях движения разработана усилиями многих исследователей, начиная с Фурье, Остроградского, Якоби. В настоящее время построение теории в значительной мере завершено для уравнения Гамильтона- Якоби, линейного скалярного дифференциального уравнения второго порядка, в том числе для уравнения Клейна-Гордона и волнового уравнения (см. работы В.Н.Шаповалова Дифф.уравнения.-1980.т.ХУ1, 10, 1864-1874; Сиб. мат. журнал. -1979. -20. -1117; Изв.вузов,Физика.-1978.-9.-18; а также наши работы [20-22]). Первый пример штеккелевого пространства, удовлетворяющего уравнениям Эйнштейна получен еще Шварщшильдом. К штеккелевым пространствам относятся также такие широко известные решения, как решения Кер-ра, Казнера, де Ситтера и т.д. (см., например, R.P.Kerr, . 1963, -11, -5, -237.; E.Newman, L.Tamburino, T.Unti, J.Math.Phys. -1963, 4, -7, 915.; C.P.Boyer, E.G.Kalnins, Jr.W.Miller, J.Phys.A. 1981, -14, -1675.; Debever R., Mc.Lenaghan R.G., J.Math.Phys. -1981, -22, -8, -1711.)
Отметим уникальное свойство штеккелевых пространств - только для них существует возможность поставить проблему полного разделения переменных в квантовых и волновых уравнениях.
В диссертации решается задача о нахождении штеккелевых пространств, допускающих группу движений с трехпараметрической подгруппой, имеющей трехмерные пространственно-подобные орбиты. На этом пути нужно проинтегрировать векторные уравнения Киллинга, решения которых совместно с векторными полями Киллинга из полного набора образуют искомую группу.
Классификация основана на существовании в пространстве наборов, состоящих из 3 геометрических объектов (для штеккелевых пространств - векторных и тензорных полей Киллинга, для однородных пространств - векторных полей Киллинга) и в литературе (кроме наших работ) до настоящего времени не обсуждалось. Решение указанной проблемы позволяет выделить в явном виде множество римановых пространств, обладающих двумя уникальными свойствами - они однородны и в них можно проинтегрировать классические и квантовые одночастичные уравнения движения. Эти свойства можно, в частности, использовать для получения космологических моделей, построенных на пространствах Бианки, отличных от хорошо изученных в литературе типов (I и IX).
В работе найдены штеккелевы метрики однородных пространств, т.е. тем самым перечислены привилегированные системы координат в однородных пространствах.
Однородные пространства - хорошо известный объект исследований как в математике, так и в физике, причем наибольший интерес к ним в настоящее время проявляют исследователи, работающие в пограничных областях теоретической физики и математической физики.
Математическим аспектам проблемы посвящены следующие области исследования однородных пространств. - Разработка математических методов исследования однородных пространств в теории гравитации (исследование дополнительных симметрии, формализм Аште- кера, гамильтонова формулировка, динамические системы и т.д.). (см. например: Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофи зике и газовой динамике. М.: Наука, 1980; Maciejewski A.J., Szydlowski М. J.Phys АЗІ (1998) 2031-2043; Capozziello S., Marmo G., Rubano C., Scudello P. Int. J. Mod. Phys. D6 (1997) 491-503; Demaret J., Querella L. Class. Quant. Grav. 12 (1995) 3085-3102; Gonzales G., Tate R.T., Class. Quant. Grav. 12 (1995) 1441; Schirmer J. Class. Quant. Grav. 12 (1995) 1099; Obregon 0., Pullin J., Ryan M.P. Phys. Rev. D48 (1993) 5642-5647; Coussaert 0., Henneaux M. Class. Quant. Grav. 10 (1993) 1607-1618; Ryan M.P., Waller S.M. gr-qc/9709012;)
Третью главу предлагаемой диссертации можно отнести именно к этой области исследований и здесь наше направление является пионерским. Оно представляет собой логическое продолжение наших предыдущих исследований, посвященных применению методов теории симметрии к одночастичным уравнениям движения и, как следствие, к геометрии римановых пространств.
Физическим аспектам теории однородных пространств посвящены работы в следующих областях. - Построение на базе однородных пространств моделей Большого взрыва, ис следование начальных сингулярностей и построение инфляционных моделей. Иссле дования однородных космологических моделей с целью выяснения механизма изотро- пизации Вселенной, (см. например: Byland S., Scialom D. Phys.Rev. D57(1998) 6065-
6074; Chiba Т., Mukohyama S., Nakamura T. Phys.Lett. B408 (1997) 47-51; Bergamini R., Sedici P., Verrocchio P. Phys.Rev. D55(1997) 1896-1900; Rendall A.D. J.Math.Phys. 37(1996) 1763-1796; Chauvet P., Cervantes-Cota J.L. Phys.Rev. D52(1995) 3416-3423;) - Исследование поведения однородных космологических моделей для различных современных теорий гравитации с целью выяснения общих закономерностей в картине развития Вселенной, (см. например: Cheng A.D.Y., D'Eath P.D. Class.Quant.Grav. 13(1996) 3151-3162; Cho H.T., Speliotopoulos A.D. Phys.Rev. D52(1995) 5445-5458; Aguirregabiria J.M., Feinstein A., Ibanes J. Phys.Rev. D48(1993) 4662-4668; Rugh S.E., Jones B.J.T. Phys.Lett. A147(1990) 353-359; King D.H. Phys.Rev. D44(1991) 2356-2368; Graham R. Phys.Rev.Lett. 67(1991) 1381-1383;)
В рамках этих направлений лежит часть результатов четвертой главы диссертации. Результаты, выносимые на защиту:
Построена классификация изотропных штеккелевых пространств в задаче Вай-дья, т.е. найдены все несводимые друг к другу преобразованиями координат метрические тензоры и излучение, отвечающие уравнениям Эйнштейна и допускающие интегрирование уравнения движения пробной частицы в форме Гамильтона - Якоби методом полного разделения переменных.
Построена классификация изотропных штеккелевых пространств электровакуума, т.е. найдены все несводимые друг к другу преобразованиями координат метрические тензоры и электромагнитное поле, отвечающие уравнениям Эйнштейна - Максвелла и допускающие интегрирование уравнения Гамильтона -Якоби для пробной частицы методом полного разделения переменных.
Построена классификация изотропных штеккелевых пространств в теории Бран-са - Дикке (ТБД) со скалярным полем дилатонного типа, т.е. найдены все несводимые друг к другу преобразованиями координат метрические тензоры и скалярное поле, отвечающие уравнениям ТБД и допускающие интегрирование уравнения Гамильтона - Якоби для пробной частицы методом полного разделения переменных.
Получена новая форма условий совместности конформно преобразованных уравнений Эйнштейна и на ее основе построена классификация конформно - штеккелевых пространств Эйнштейна, т.е. найдены все несводимые друг к другу преобразованиями координат метрические тензоры и конформный фактор, отвечающие уравнениям Эйнштейна и допускающие интегрирование уравнения эйконала методом полного разделения переменных.
Построена классификация пространственно однородных моделей пространства-времени, допускающих существование полного набора и тем самым интегрирование уравнения Гамильтона - Якоби для пробной частицы методом полного разделения переменных.
Доказана интегрируемость уравнений Эйнштейна - Вейля со спйнорным полем для однородных пространств всех типов по Бианки.
Найдены точные решения для Вселенной Кантовского - Сакса с учетом квантовых поправок.
Найдены точные решения для Вселенной Фридмана с учетом эффекта Казимира.
Найдены точные решения для модели бранной Вселенной типа Рандалл - Сандру м.
Все полученные результаты и разработанные методы являются оригинальными. Для аналитических расчетов в диссертации использовались системы компьютерной алгебры "Reduce" и "Mathematica". Применялись программы собственной разработки для расчета геометрических величин и получения полевых уравнений. Отладка и первое применение разработанных программ проведено в работах [146], [161], [162]. Численные расчеты осуществлялись с помощью программ собственной разработки, тестирование и отладка которых проводилась по существующим аналитическим решениям, программы впервые применялись в работах [164], [183].
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения.
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели работы, указаны научная новизна, научная и практическая значимость результатов работы, сделан краткий обзор по проблематике диссертации, перечислены результаты, выносимые на защиту, приведены структура и содержание диссертации.
В первой главе даны необходимые сведения из теории разделения переменных, дано ковариантное определение штеккелева пространства (пространства, допускающего разделение переменных в уравнении Гамильтона - Якоби для тестовой частицы) через понятие полного набора векторных и тензорных полей Киллинга, допускаемых пространством. Получены общие для изотропных штеккелевых пространств (ИШП) геометрические величины (показано, что всегда существует система координат, где метрики ИШП приводятся к форме Робертсона-Траутмана). На основании общих формулировок показано, что все ИШП являются алгебраически специальными пространствами.
Для ИШП решена задача Вайдья. Проблемой Вайдья в литературе обычно называют задачу о решении уравнений Эйнштейна, в которых правая часть содержит тензор энергии-импульса возникающий при рассмотрении высокочастотного излучения произвольной природы (гравитационного, электромагнитного и т.п.) малой амплитуды на фоне искривленного пространства-времени в приближении геометрической оптики.
Решена задача о классификации ИШП, удовлетворяющих системе уравнений Эйнштейна-Максвелла-Вайдья (с Л-членом). Интегрирование полевых уравнений становится возможным благодаря выделению автономных подсистем на некоторые из функций, входящих в метрику. Для всех типов ИШП (допускающих 3, 2 и 1 вектор Киллинга в полном наборе соответственно) найдены соответствующие метрики, электромагнитные потенциалы и плотность энергии излучения. Проведена классификация решений по Петрову.
Решена задача классификации ИШП электровакуума. Электровакуумом в ОТО обычно называют решения самосогласованной системы уравнений Эйнштейна - Максвелла (с космологическим членом Л). Для решения получающихся функциональных уравнений использовался метод разложения по базисным функциям (Обухов В.В., 1986). Проведена полная классификация всех типов ИШП электровакуума - получены соответствующие метрики и электромагнитные потенциалы.
Следующий раздел посвящен исследованию ИШП в скалярно-тензорной теории Бранса-Дикке со скалярным полем дилатонного типа. При нахождении точных решений уравнений поля ТБД штеккелевы пространства играют более важную роль, чем в ОТО, поскольку в этих пространствах имеется возможность найти общее решение скалярного уравнения, входящего в систему полевых уравнений ТБД. При классификации основную роль играет изучение уравнений совместности системы полевых уравнений. Условия совместности накладывают довольно жесткие ограничения на функции, входящие в метрические коэффициенты, что позволяет проинтегрировать полевые уравнения. Для теории Бранса-Дикке проведена классификация ИШП, допускающих два и три вектора Киллинга из полного набора. Найден явный вид соответствующих метрик и скалярного поля.
Во второй главе изучаются конформно-штеккелевы пространства, т.е. пространства, в которых уравнение эйконала может быть проинтегрировано методом полного разделения переменных. Метрика конформно-штеккелева пространства (КШП) отличается от метрики ШП произвольным конформным фактором. В результате при изучении КШП возникла независимая задача о конформном отображении пространств и изучении конформно преобразованных полевых уравнений. Показано, что при конформном преобразовании пространств Эйнштейна, условия совместности конформно преобразованных уравнений можно представить в изящном виде ковариантном виде через ковариантную производную тензора Вейля исходного пространства. Данный вид условий совместности облегчает исследование алгебраически специальных пространств и позволяет получить удобную для расчетов форму уравнений совместности в формализме Ньюмена-Пенроуза. Исследование условий совместности в полученной форме позволяет сделать вывод, что из всех типов ИШП только пространства типа (1.1) допускают существование нетривиальных КШП Эйнштейна (т.е. пространств, не сводящихся к штеккелевым). Проведена классификация данных пространств.
Частный случай, когда уравнения совместности удовлетворяются тождественно - конформно-плоские пространства. В следующем разделе проведена полная классификация конформно-плоских изотропных штеккелевых пространств. Опираясь на условия совместности для неизотропных ШП показано, что нетривиальное отображение возможно только для конформно-плоских пространств. Для КШП типа (3.0) получено аналитическое решение уравнений Эйнштейна.
В третьей главе проводится классификация однородных пространств по признаку наличия полного набора, что является необходимым и достаточным условием ШП. Другими словами, требуется, чтобы пространство с полным набором допускало 3-параметрическую транзитивную группу движений с пространственно-подобными орбитами. Всего для пространств сигнатуры (+, —,—,—) может существовать 7 типов полных наборов. В разделе рассматривается задача о нахождении пространств с изотропными полными наборами, являющихся пространственно-однородными. При классификации основную роль играет анализ и интегрирование уравнений Киллинга, коммутационных соотношений и тождеств Якоби для векторов Киллинга. Для пространств с изотропными полными наборами, включающими три вектора Киллинга найдено 7 типов однородных моделей. Найден явный вид соответствующих метрик и векторов Киллинга, допускаемых пространством. Проведена классификация полученных решений по Бианки. Приведена таблица пересечений полученной классификации и классификации Бианки. В полученной классификации отсутствуют метрики VIII и IX типов по Бианки.
Для ШП типа (2.1) количество возможных структур резко увеличивается, а сложность уравнений резко возрастает, что связано с наличием двух векторов Киллинга, не принадлежащих полному набору ШП. Найдено 29 классов однородных штеккелевых пространств типа (2.1). Полученные метрики и вектора Киллинга приведены в явном виде.
В четвертой главе изучаются вопросы интегрируемости для ряда моделей в современной теории гравитации.
В первом разделе изучается система уравнений Эйнштейна-Вейля (гравитационное и спинорное поле). Используя формализм Ньюмена-Пенроуза доказана интегрируемость уравнений для однородных пространств всех типов по Бианки. Доказательство базируется на изучении уравнений совместности.
Во втором разделе изучаются Вселенные Кантовского-Сакса для действия с квантовыми поправками (эффективное действие). Получены частные аналитические решения полевых уравнений. Найдены два первых интеграла уравнений движения. Используя интегралы, проведен анализ возможных сценариев развития Вселенной. Показана возможность существования как сингулярных, так и несингулярных решений.
В третьем разделе изучается сферически-симметричное пространство для действия с квантовыми поправками. Анализ полевых уравнений и их численное решение показывает возможность существования в зависимости от начальных условий наряду с быстро схлопывающимися и расширяющихся кротовых дыр.
В четвертом разделе рассматривается Вселенная Фридмана для действия с учетом эффекта Казимира. В пертурбативном приближении найден ряд решений для конформного фактора и силы Казимира.
В пятом разделе исследуются модели мембранной гравитации с учетом квантовых поправок. Для Вселенной типа Фридмана найден ряд частных аналитических решений для дилатона и скалярного потенциала - представлены несколько моделей двубранных Вселенных.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.
В приложении приведены метрики однородных пространств всех типов по Би-анки в голономном и тетрадном репере.
Результаты, полученные в диссертации, представлялись на VI Советской гравитационной конференции (Москва, 1984), на симпозиуме по физике в честь Д.Д. Иваненко (Москва, 1984), на Всесоюзном семинаре "Современные проблемы гравитации" (Томск, 1987), на VII Советской гравитационной конференции (Ереван, 1988), на II Всесоюзном семинаре "Точные решения уравнений гравитационного поля и их физическая интерпретация" (Тарту, 1988), на VI семинаре "Гравитационная энергия и гравитационные волны" (Дубна, 1993), на II международном Фридмановском семинаре по гравитации и космологии (С.Петербург, 1994), на III международном Фридмановском семинаре по гравитации и космологии (С.Петербург, 1995), на международной школе-семинаре "Математические аспекты теорий гравитации" (Варшава, Польша, 1996), на II международной конференции "Квантовая теория поля и гравитация" (Томск, 1997), на III международной конференции по физике космических частиц "COSMION-97" (Москва, 1997), на международном семинаре по математической космологии (Потсдам, Германия, 1998), на XI международной школе-семинаре по проблемам теоретической и математической физики (Казань, 1999), на X Российской гравитационной конференции (Владимир, 1999), на V международной конференции по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона (Москва, 2001), на семинарах по теоретической физике в Лейпцигском университете (Лейпциг, Германия, 2001), на III международной конференции "Квантовая теория поля и гравитация" (Томск, 2002), на семинаре кафедры теоретической физики МГУ, на межвузовском семинаре по теоретической физике в г.Томске.
Разделение переменных с помощью интегральных наборов
Для ИШП решена задача Вайдья. Проблемой Вайдья в литературе обычно называют задачу о решении уравнений Эйнштейна, в которых правая часть содержит тензор энергии-импульса возникающий при рассмотрении высокочастотного излучения произвольной природы (гравитационного, электромагнитного и т.п.) малой амплитуды на фоне искривленного пространства-времени в приближении геометрической оптики.
Решена задача о классификации ИШП, удовлетворяющих системе уравнений Эйнштейна-Максвелла-Вайдья (с Л-членом). Интегрирование полевых уравнений становится возможным благодаря выделению автономных подсистем на некоторые из функций, входящих в метрику. Для всех типов ИШП (допускающих 3, 2 и 1 вектор Киллинга в полном наборе соответственно) найдены соответствующие метрики, электромагнитные потенциалы и плотность энергии излучения. Проведена классификация решений по Петрову.
Решена задача классификации ИШП электровакуума. Электровакуумом в ОТО обычно называют решения самосогласованной системы уравнений Эйнштейна - Максвелла (с космологическим членом Л). Для решения получающихся функциональных уравнений использовался метод разложения по базисным функциям (Обухов В.В., 1986). Проведена полная классификация всех типов ИШП электровакуума - получены соответствующие метрики и электромагнитные потенциалы.
Следующий раздел посвящен исследованию ИШП в скалярно-тензорной теории Бранса-Дикке со скалярным полем дилатонного типа. При нахождении точных решений уравнений поля ТБД штеккелевы пространства играют более важную роль, чем в ОТО, поскольку в этих пространствах имеется возможность найти общее решение скалярного уравнения, входящего в систему полевых уравнений ТБД. При классификации основную роль играет изучение уравнений совместности системы полевых уравнений. Условия совместности накладывают довольно жесткие ограничения на функции, входящие в метрические коэффициенты, что позволяет проинтегрировать полевые уравнения. Для теории Бранса-Дикке проведена классификация ИШП, допускающих два и три вектора Киллинга из полного набора. Найден явный вид соответствующих метрик и скалярного поля.
Во второй главе изучаются конформно-штеккелевы пространства, т.е. пространства, в которых уравнение эйконала может быть проинтегрировано методом полного разделения переменных. Метрика конформно-штеккелева пространства (КШП) отличается от метрики ШП произвольным конформным фактором. В результате при изучении КШП возникла независимая задача о конформном отображении пространств и изучении конформно преобразованных полевых уравнений. Показано, что при конформном преобразовании пространств Эйнштейна, условия совместности конформно преобразованных уравнений можно представить в изящном виде ковариантном виде через ковариантную производную тензора Вейля исходного пространства. Данный вид условий совместности облегчает исследование алгебраически специальных пространств и позволяет получить удобную для расчетов форму уравнений совместности в формализме Ньюмена-Пенроуза. Исследование условий совместности в полученной форме позволяет сделать вывод, что из всех типов ИШП только пространства типа (1.1) допускают существование нетривиальных КШП Эйнштейна (т.е. пространств, не сводящихся к штеккелевым). Проведена классификация данных пространств.
Частный случай, когда уравнения совместности удовлетворяются тождественно - конформно-плоские пространства. В следующем разделе проведена полная классификация конформно-плоских изотропных штеккелевых пространств. Опираясь на условия совместности для неизотропных ШП показано, что нетривиальное отображение возможно только для конформно-плоских пространств. Для КШП типа (3.0) получено аналитическое решение уравнений Эйнштейна.
В третьей главе проводится классификация однородных пространств по признаку наличия полного набора, что является необходимым и достаточным условием ШП. Другими словами, требуется, чтобы пространство с полным набором допускало 3-параметрическую транзитивную группу движений с пространственно-подобными орбитами. Всего для пространств сигнатуры (+, —,—,—) может существовать 7 типов полных наборов. В разделе рассматривается задача о нахождении пространств с изотропными полными наборами, являющихся пространственно-однородными. При классификации основную роль играет анализ и интегрирование уравнений Киллинга, коммутационных соотношений и тождеств Якоби для векторов Киллинга. Для пространств с изотропными полными наборами, включающими три вектора Киллинга найдено 7 типов однородных моделей. Найден явный вид соответствующих метрик и векторов Киллинга, допускаемых пространством. Проведена классификация полученных решений по Бианки. Приведена таблица пересечений полученной классификации и классификации Бианки. В полученной классификации отсутствуют метрики VIII и IX типов по Бианки.
Для ШП типа (2.1) количество возможных структур резко увеличивается, а сложность уравнений резко возрастает, что связано с наличием двух векторов Киллинга, не принадлежащих полному набору ШП. Найдено 29 классов однородных штеккелевых пространств типа (2.1). Полученные метрики и вектора Киллинга приведены в явном виде.
В четвертой главе изучаются вопросы интегрируемости для ряда моделей в современной теории гравитации.
В первом разделе изучается система уравнений Эйнштейна-Вейля (гравитационное и спинорное поле). Используя формализм Ньюмена-Пенроуза доказана интегрируемость уравнений для однородных пространств всех типов по Бианки. Доказательство базируется на изучении уравнений совместности.
Во втором разделе изучаются Вселенные Кантовского-Сакса для действия с квантовыми поправками (эффективное действие). Получены частные аналитические решения полевых уравнений. Найдены два первых интеграла уравнений движения. Используя интегралы, проведен анализ возможных сценариев развития Вселенной. Показана возможность существования как сингулярных, так и несингулярных решений.
В третьем разделе изучается сферически-симметричное пространство для действия с квантовыми поправками. Анализ полевых уравнений и их численное решение показывает возможность существования в зависимости от начальных условий наряду с быстро схлопывающимися и расширяющихся кротовых дыр.
Метрики типа (N.1) конформно-штеккелевых пространств Эйнштейна
Электровакуумом в ОТО обычно называют решения самосогласованной системы уравнений Эйнштейна-Максвелла (с космологическим членом Л):
Изучение пространств электровакуума, допускающих полное разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби, впервые было начато работой Картера [39]. Для изотропных специальных штеккелевых пространств задача была решена в работе [217]. Окончательно все специальные штеккелевы пространства были найдены в работе [222]. Исследование штеккелевых пространств электровакуума было начато в нашей работе [148], где получены все решения для изотропных штеккелевых пространств электровакуума.
В данной главе предлагается решение проблемы для штеккелевых пространств с изотропными полными наборами. Очевидно, что система уравнений (1.39) переходит в (1.96) при условии /С = 0, поэтому расчеты, которые необходимо провести при интегрировании системы (1.96), полностью аналогичны проведенным во второй главе и могут быть опущены, за исключением уравнения
ЭТО уравнение в общем случае является функциональным и приводит к дополнительным ограничениям на метрические коэффициенты и электромагнитный потенциал. Исследование показывает, что штеккелево пространство электровакуума типа (3.1) полностью сводится к специальным штеккелевым пространствам, поэтому этот случай при решении уравнений (1.96) мы рассматривать не будем. Изотропные пространства с двумя векторами Киллинга Используя введенные ранее обозначения, выпишем уравнение (1.97) для штеккелева пространства электровакуума типа (2.1). Оно эквивалентно следующему уравнению Независимость левой части уравнения (1.98) от переменных х1 и х2 приводит к дополнительным ограничениям на вид электромагнитного потенциала При выполнении условий (1.99-1.100) уравнение (1.98) служит для определения функции а3, причем, поскольку а3 = а3(х3), возникают добавочные соотношения на метрические коэффициенты. При этом нетрудно показать, что условие / Ф 0 приводит к специальным штеккелевым пространствам. Поэтому будем полагать, что/ = 0. Тогда использование решений автономной подсистемы (1.64)-(1.65) и вид электромагнитных потенциалов (1.61)-(1.63) позволяет проинтегрировать уравнение (1.98). Не приводя этих очевидных выкладок, выпишем полученные решения (для всех решений А1=А3 = 0).
Метрики однородных пространств, допускающих изотропные полные наборы с двумя векторами Киллинга
В работе найдены штеккелевы метрики однородных пространств, т.е. тем самым перечислены привилегированные системы координат в однородных пространствах.
Однородные пространства - хорошо известный объект исследований как в математике, так и в физике, причем наибольший интерес к ним в настоящее время проявляют исследователи, работающие в пограничных областях теоретической физики и математической физики. Математическим аспектам проблемы посвящены следующие области исследования однородных пространств. - Разработка математических методов исследования однородных пространств в теории гравитации (исследование дополнительных симметрии, формализм Аште кера, гамильтонова формулировка, динамические системы и т.д.). (см. например: Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофи зике и газовой динамике. М.: Наука, 1980; Maciejewski A.J., Szydlowski М. J.Phys АЗІ (1998) 2031-2043; Capozziello S., Marmo G., Rubano C., Scudello P. Int. J. Mod. Phys. D6 (1997) 491-503; Demaret J., Querella L. Class. Quant. Grav. 12 (1995) 3085-3102; Gonzales G., Tate R.T., Class. Quant. Grav. 12 (1995) 1441; Schirmer J. Class. Quant. Grav. 12 (1995) 1099; Obregon 0., Pullin J., Ryan M.P. Phys. Rev. D48 (1993) 5642-5647; Coussaert 0., Henneaux M. Class. Quant. Grav. 10 (1993) 1607-1618; Ryan M.P., Waller S.M. gr-qc/9709012;) Третью главу предлагаемой диссертации можно отнести именно к этой области исследований и здесь наше направление является пионерским. Оно представляет собой логическое продолжение наших предыдущих исследований, посвященных применению методов теории симметрии к одночастичным уравнениям движения и, как следствие, к геометрии римановых пространств. Физическим аспектам теории однородных пространств посвящены работы в следующих областях. - Построение на базе однородных пространств моделей Большого взрыва, ис следование начальных сингулярностей и построение инфляционных моделей. Иссле дования однородных космологических моделей с целью выяснения механизма изотро пизации Вселенной, (см. например: Byland S., Scialom D. Phys.Rev. D57(1998) 6065 6074; Chiba Т., Mukohyama S., Nakamura T. Phys.Lett. B408 (1997) 47-51; Bergamini R., Sedici P., Verrocchio P. Phys.Rev. D55(1997) 1896-1900; Rendall A.D. J.Math.Phys. 37(1996) 1763-1796; Chauvet P., Cervantes-Cota J.L. Phys.Rev. D52(1995) 3416-3423;) - Исследование поведения однородных космологических моделей для различных современных теорий гравитации с целью выяснения общих закономерностей в картине развития Вселенной, (см. например: Cheng A.D.Y., D Eath P.D. Class.Quant.Grav. 13(1996) 3151-3162; Cho H.T., Speliotopoulos A.D. Phys.Rev. D52(1995) 5445-5458; Aguirregabiria J.M., Feinstein A., Ibanes J. Phys.Rev. D48(1993) 4662-4668; Rugh S.E., Jones B.J.T. Phys.Lett. A147(1990) 353-359; King D.H. Phys.Rev. D44(1991) 2356-2368; Graham R. Phys.Rev.Lett. 67(1991) 1381-1383;) В рамках этих направлений лежит часть результатов четвертой главы диссертации. Результаты, выносимые на защиту: Построена классификация изотропных штеккелевых пространств в задаче Вай-дья, т.е. найдены все несводимые друг к другу преобразованиями координат метрические тензоры и излучение, отвечающие уравнениям Эйнштейна и допускающие интегрирование уравнения движения пробной частицы в форме Гамильтона - Якоби методом полного разделения переменных. Построена классификация изотропных штеккелевых пространств электровакуума, т.е. найдены все несводимые друг к другу преобразованиями координат метрические тензоры и электромагнитное поле, отвечающие уравнениям Эйнштейна - Максвелла и допускающие интегрирование уравнения Гамильтона -Якоби для пробной частицы методом полного разделения переменных. Построена классификация изотропных штеккелевых пространств в теории Бран-са - Дикке (ТБД) со скалярным полем дилатонного типа, т.е. найдены все несводимые друг к другу преобразованиями координат метрические тензоры и скалярное поле, отвечающие уравнениям ТБД и допускающие интегрирование уравнения Гамильтона - Якоби для пробной частицы методом полного разделения переменных. Получена новая форма условий совместности конформно преобразованных уравнений Эйнштейна и на ее основе построена классификация конформно - штеккелевых пространств Эйнштейна, т.е. найдены все несводимые друг к другу преобразованиями координат метрические тензоры и конформный фактор, отвечающие уравнениям Эйнштейна и допускающие интегрирование уравнения эйконала методом полного разделения переменных. Построена классификация пространственно однородных моделей пространства-времени, допускающих существование полного набора и тем самым интегрирование уравнения Гамильтона - Якоби для пробной частицы методом полного разделения переменных. Доказана интегрируемость уравнений Эйнштейна - Вейля со спйнорным полем для однородных пространств всех типов по Бианки. Найдены точные решения для Вселенной Кантовского - Сакса с учетом квантовых поправок. Найдены точные решения для Вселенной Фридмана с учетом эффекта Казимира. Найдены точные решения для модели бранной Вселенной типа Рандалл - Сандру м. Все полученные результаты и разработанные методы являются оригинальными. Для аналитических расчетов в диссертации использовались системы компьютерной алгебры "Reduce" и "Mathematica". Применялись программы собственной разработки для расчета геометрических величин и получения полевых уравнений. Отладка и первое применение разработанных программ проведено в работах [146], [161], [162]. Численные расчеты осуществлялись с помощью программ собственной разработки, тестирование и отладка которых проводилась по существующим аналитическим решениям, программы впервые применялись в работах [164], [183].
Вселенные типа Кантовского-Сакса с учетом квантовых поправок
Частный случай, когда уравнения совместности удовлетворяются тождественно - конформно-плоские пространства. В следующем разделе проведена полная классификация конформно-плоских изотропных штеккелевых пространств. Опираясь на условия совместности для неизотропных ШП показано, что нетривиальное отображение возможно только для конформно-плоских пространств. Для КШП типа (3.0) получено аналитическое решение уравнений Эйнштейна.
В третьей главе проводится классификация однородных пространств по признаку наличия полного набора, что является необходимым и достаточным условием ШП. Другими словами, требуется, чтобы пространство с полным набором допускало 3-параметрическую транзитивную группу движений с пространственно-подобными орбитами. Всего для пространств сигнатуры (+, —,—,—) может существовать 7 типов полных наборов. В разделе рассматривается задача о нахождении пространств с изотропными полными наборами, являющихся пространственно-однородными. При классификации основную роль играет анализ и интегрирование уравнений Киллинга, коммутационных соотношений и тождеств Якоби для векторов Киллинга. Для пространств с изотропными полными наборами, включающими три вектора Киллинга найдено 7 типов однородных моделей. Найден явный вид соответствующих метрик и векторов Киллинга, допускаемых пространством. Проведена классификация полученных решений по Бианки. Приведена таблица пересечений полученной классификации и классификации Бианки. В полученной классификации отсутствуют метрики VIII и IX типов по Бианки.
Для ШП типа (2.1) количество возможных структур резко увеличивается, а сложность уравнений резко возрастает, что связано с наличием двух векторов Киллинга, не принадлежащих полному набору ШП. Найдено 29 классов однородных штеккелевых пространств типа (2.1). Полученные метрики и вектора Киллинга приведены в явном виде. В четвертой главе изучаются вопросы интегрируемости для ряда моделей в современной теории гравитации. В первом разделе изучается система уравнений Эйнштейна-Вейля (гравитационное и спинорное поле). Используя формализм Ньюмена-Пенроуза доказана интегрируемость уравнений для однородных пространств всех типов по Бианки. Доказательство базируется на изучении уравнений совместности. Во втором разделе изучаются Вселенные Кантовского-Сакса для действия с квантовыми поправками (эффективное действие). Получены частные аналитические решения полевых уравнений. Найдены два первых интеграла уравнений движения. Используя интегралы, проведен анализ возможных сценариев развития Вселенной. Показана возможность существования как сингулярных, так и несингулярных решений. В третьем разделе изучается сферически-симметричное пространство для действия с квантовыми поправками. Анализ полевых уравнений и их численное решение показывает возможность существования в зависимости от начальных условий наряду с быстро схлопывающимися и расширяющихся кротовых дыр. В четвертом разделе рассматривается Вселенная Фридмана для действия с учетом эффекта Казимира. В пертурбативном приближении найден ряд решений для конформного фактора и силы Казимира. В пятом разделе исследуются модели мембранной гравитации с учетом квантовых поправок. Для Вселенной типа Фридмана найден ряд частных аналитических решений для дилатона и скалярного потенциала - представлены несколько моделей двубранных Вселенных. В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации. В приложении приведены метрики однородных пространств всех типов по Би-анки в голономном и тетрадном репере. Результаты, полученные в диссертации, представлялись на VI Советской гравитационной конференции (Москва, 1984), на симпозиуме по физике в честь Д.Д. Иваненко (Москва, 1984), на Всесоюзном семинаре "Современные проблемы гравитации" (Томск, 1987), на VII Советской гравитационной конференции (Ереван, 1988), на II Всесоюзном семинаре "Точные решения уравнений гравитационного поля и их физическая интерпретация" (Тарту, 1988), на VI семинаре "Гравитационная энергия и гравитационные волны" (Дубна, 1993), на II международном Фридмановском семинаре по гравитации и космологии (С.Петербург, 1994), на III международном Фридмановском семинаре по гравитации и космологии (С.Петербург, 1995), на международной школе-семинаре "Математические аспекты теорий гравитации" (Варшава, Польша, 1996), на II международной конференции "Квантовая теория поля и гравитация" (Томск, 1997), на III международной конференции по физике космических частиц "COSMION-97" (Москва, 1997), на международном семинаре по математической космологии (Потсдам, Германия, 1998), на XI международной школе-семинаре по проблемам теоретической и математической физики (Казань, 1999), на X Российской гравитационной конференции (Владимир, 1999), на V международной конференции по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона (Москва, 2001), на семинарах по теоретической физике в Лейпцигском университете (Лейпциг, Германия, 2001), на III международной конференции "Квантовая теория поля и гравитация" (Томск, 2002), на семинаре кафедры теоретической физики МГУ, на межвузовском семинаре по теоретической физике в г.Томске.
