Содержание к диссертации
Введение
Глава 1: Топологические методы фрактальной геометрии 12
1.1. Важнейшие определения 12
1.2. Основная теорема об универсальности 34
1.3.. Другие топологические теоремы 53
Глава 2: Турбулентность, протекание и дробная кинетика 70
2.1. Странные процессы переноса 70
2.2. Дробное кинетическое уравнение 84
2.3. Феномен самоорганизованной критичности 94
2.4. Коэффициенты переноса в гамильтоновом приближении 108
2.5. Проводимость фрактальных сетей 121
Глава 3: Степенные хвосты, странные ускорения и термодинамика корреляций 130
3.1. Странные ускорения в турбулентных средах 130
3.2. Нелинейное кинетическое уравнение 142
3.3. Энтропия Тсаллиса: функциональные свойства 150
3.4. Энтропия Тсаллиса: каноническое распределение 164
Глава 4: Фрактальные мозаики, цветные шумы и спектры флуктуации 172
4.1. Спектральные свойства турбулентности 172
4.2. Фрактальная структура турбулентного токового слоя 193
4.3. Фрактонные возбуждения и дробное волновое уравнение . 213
Заключение 225
Литература 232
- Основная теорема об универсальности
- Коэффициенты переноса в гамильтоновом приближении
- Энтропия Тсаллиса: функциональные свойства
- Фрактонные возбуждения и дробное волновое уравнение
Введение к работе
Развитие современной физики (как теоретической, так и эксперимен- * тальной) во многом опирается на представление о множествах, обладающих нецелой размерностью. Понятие дробной (фрактальной) размерности было впервые сформулировано в работах Хаусдорфа [1] и Бези-ковича [2], которым предшествовали исследования выдающихся математиков конца XIX - начала XX века, таких как Кантор, Вейерштрасс, Пеано, Кох, Серпинский. Основы топологической теории размерности были заложены замечательным советским математиком П. С. Урысо-ном, трагически погибшим в возрасте 26 лет в 1924 году. Обобщенная (дробная) размерность играет ключевую роль в абстрактной математике, в частности, в теории чисел [3-5].
Термин фрактальная размерность стал частью физического лексикона около 25 лет назад, начиная с фундаментальных работ Ман-дельброта [6-8] по геометрии случайных процессов. Бесспорной заслугой Мандельброта стала демонстрация необычайно широкого круга явлений, приводящих к формированию фрактальных структур, а также оригинальное определение фракталак&к множества, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше его топологической размерности [8]. Классическими примерами фракталов являются изре-
занные береговые линиии [6], случайные временные ряды [7], русла рек [8], траектории броуновских частиц [8], и др.
В настоящее время понятие фрактала воспринимается как парадигма современной теоретической физики. Всплеск работ по фракталам затронул такие основополагающие направления как неравновесная термодинамика [9,10] и космология [11,12], теория динамического хаоса [9,13,14] и гидродинамической турбулентности [9,15,16], исследование фазовых переходов [17,18] и транспортных явлений [19-21]. Богатый спектр приложений фрактальной геометрии в теоретической и экспериментальной физике обсуждается в сборнике [22], а также в монографиях [23-25]. Наиболее полное изложение математических основ современной фрактальной геометрии можно найти в монографии Федера [26].
Важный класс фрактальных объектов образуют множества, описывающие геометрию протекания, или перколяции. Под перколяцией в дальнейшем понимается случайное распространение жидкости через среду, причем абстрактные термины "жидкость" и "среда" могут быть интерпретированы в соответствии с физическим смыслом задачи [26]. Теории перколяции посвящена обширная литература: Отметим монографии [26-29], а также обзоры [30-33]. Перколяция является критическим процессом [32], т.е. подразумевает существование некоторого порога, ниже которого распространение жидкости ограничено конечной областью среды. Вблизи порога протекание происходит по фрак-
,
тальному множеству, геометрия которого определяется исключительно законами критичности. Условие критичности приводит к независимости геометрических характеристик фрактала от микроскопических свойств среды. Данное явление может быть интерпретировано как универсальность фрактальной геометрии перколирующих множеств на пороге протекания. Наиболее яркая формулировка свойства универсальности известна как анзац Александера-Орбаха (АО) о равенстве спектральной размерности фрактального множества на пороге протекания значению 4/3 во тзсех топологических размерностях не ниже 2 [33,34]. (Подробнее об этом см. Главу 1.)
С другой стороны, несмотря на столь бурный прогресс в исследовании фракталов, многие актуальные проблемы так и не были решены. Прежде всего, отсутствует математически полное и строгое определение фрактального множества [26]. Действительно, как отмечено в монографии Федера [26], определение, данное Мандельбротом [8] "при всей правильности и точности слишком ограничено. Оно исключает многие фракталы, встречающиеся в физике." Альтернативное определение фрактала как структуры, состоящей из частей, которые в каком-то смысле подобны целому [35] предлагает лишь внешнее описание множества с точки зрения его масштабной инвариантности, однако не содержит никакой информации о внутренней организации системы [26].
Во вторых, аналитическое доказательство (или опровержение) ан-
заца АО, ставшее камнем преткновения современной фрактальной гео-
ф метрии [33], признано фундаментальной проблемой, пути решения ко-
торой в рамках традиционных представлений о фракталах полностью исчерпаны. Кризис идей в этой области побудил Хавлина и бен-Аврахама назвать анзац АО вызовом всей теории перколяции [20].
Bo-третьих, такие фундаментальные понятия как индекс связности и спектральная размерность, без которых невозможно точно сформулировать анзац АО [20,34], входят в теорию как феноменологические характеристики динамических процессов на фракталах, без четкой связи с топологией фрактала как такового. В самом деле, индекс связности обычно определяется либо через фрактальную размерность хаотических траекторий частиц [8,36], либо через скейлинг обобщенного коэффи-циента диффузии [37,38], что в любом случае требует искусственного перехода от геометрии к динамике. Аналогично, спектральная фрактальная размерность, как правило, вводится через плотность фрактон-ных состояний [34], описывающих поведение волновых процессов на фракталах. Намного более естественным, однако, представляется изначальное определение индекса связности и спектральной фрактальной размерности из структурных свойств фрактала, с последующим рассмотрением произвольных динамических процессов на основе единых геометрических принципов. (Заметим, что связь спектральной размерности с наличием замкнутых циклов и точек ветвления на фрактальных
*
перколяционных сетях обсуждалась на описательном уровне в работе [33]. Цели, тем не менее, ставились несколько иные - иллюстрация динамических характеристик фрактонных возбуждений.)
Наконец, до сих пор нет ясной картины, сколько независимых параметров необходимо задать для полного описания геометрии фрактального множества. Естественными вопросами являются:
Можно ли установить отношение эквивалентности для фрактальных структур, обладающих одинаковыми значениями индекса связности и размерности Хаусдорфа-Безиковича?
Существуют ли преобразования фракталов, сохраняющие индекс связности и спектральную фрактальную размерность?
Существует ли набор "базисных фракталов", из которых бы строилось все многообразие фрактальных множеств?
Легко видеть, что проблемы, стоящие перед современной фрактальной геометрией, так или иначе имеют топологическую природу. Топологическое описание фракталов могло бы не только поставить причудливое здание фрактальной геометрии на прочную математическую основу, но и привести к более глубокому пониманию динамических процессов, протекающих на множествах дробной размерности.
Уместно отметить, что в современной физической литературе сложилось несколько неоднозначное отношение к применению топологических методов при описании фрактальных структур. В качестве аргу-
мента [14] обычно приводится несохранение метрических свойств фракталов при гомеоморфизмах - непрерывных взаимно однозначных ото- бражениях, переводящих одно множество в другое. Можно выдвинуть, однако, и контраргументы:
1. Сохранение размерности Хаусдорфа-Безиковича возможно при
наложении дополнительных условий, например, условия Липшица.
(Данное условие требует гладкость гомеоморфизма.) Можно доказать,
что гладкие гомеоморфизмы (называемые диффеоморфизмами) сохра
няют метрические свойства множеств [14].
2. Такие параметры как индекс связности и спектральная фракталь
ная размерность описывают тонкие геометрические свойства фракта
лов, которые не сводятся к простейшим метрическим характеристи
кам. О топологической инвариантности этих свойств известно очень
мало, однако вполне обнадеживающими фактами представляются сле
дующие: Во-первых, теоретико-множественное понятие связности яв
ляется топологическим инвариантом [39]. Во-вторых, свойство быть
канторовым множеством также является топологическим инвариан
том [14]. В последующих Главах будет показано, что понятие канто-
рова множества может быть положено в основу общего определения
фрактала. Наконец, следует подчеркнуть, что колоссальный аналити
ческий потенциал современной топологии [40-42] вплоть до настоящего
времени остается невостребованным (или почти невостребованным) в
большинстве публикуемых работ по фракталам.
Систематическое использование топологических методов при исследовании фрактальных структур было предложено в оригинальных работах автора [43-46]. Было показано, что синтез фрактальной геометрии и топологии приводит к ряду принципиально новых понятий, таких как дробное топологическое произведение и фрактальное многообразие. Топологические характеристики фрактальных многообразий определяются значением постоянной протекания С - фундаментальной математической константы, являющейся наименьшим (из двух возможных) решением трансцендентного алгебраического уравнения [43]
- 7ГС/2
= 7Г.
(0.0.0)
Г(С/2 + 1)
Понятия постоянной протекания и фрактального многообразия позволяют сформулировать важнейшие свойства фрактальных множеств на топологическом языке, а также доказать ряд теорем, открывающих путь к практическому применению топологической теории фракталов [43] в теоретической и математической физике. Топологическое описание фрактальных структур позволяет решить такие проблемы как
доказательство универсальности фрактальной геометрии перколирующих множеств в размерностях от 2 до 5 в смысле модифицированного анзаца АО [43];
вывод универсальных степенных законов для процессов переноса в сильно турбулентных средах [47,48];
3. исследование наиболее общих геометрических свойств сильной турбулентности в сложных нелинейных динамических системах [45,46,49].
Применение топологических методов в теории сильной турбулентности обусловлено существованием глубокой связи между структурными свойствами системы и основными кинетическими процессами, протекающими на различных пространственных масштабах. Открытая термодинамическая система может сколь угодно долго находиться вблизи неравновесного стационарного состояния (НСС), структурная устойчивость которого достигается за счет формирования иерархических турбулентных полей. Как правило, такие поля собраны в сгустки, "раскиданные" по пространству под действием тех или иных сил. Сгустки, в свою очередь, могут быть разделены пустотами, где амплитуда поля сравнительно мала. Крупномасштабная картина представляет собой фрактал, заполняющий некоторую часть доступного евклидова пространства. Плотность числа сгустков на различных масштабах определяется размерностью Хаусдорфа-Безиковича, а взаимное расположение соседних сгустков - индексом связности, являющимся важнейшей топологической характеристикой поля. С другой стороны, индекс связности характеризует тип кинетических уравнений, описывающих динамические процессы на фракталах (например, в контексте свойства персистентности [26]). Поскольку вычисление индекса связности
во многих случаях возможно на основе чисто топологических приемов (скажем, в терминах постоянной протекания С), анализ кинетических уравнений вблизи НСС фактически сводится к самосогласованному подбору фрактальной геометрии системы.
Развитием данных идей является геометрическое описание сильной турбулентности, впервые сформулированное автором в работе [50]. Геометрическое описание позволяет с единых позиций исследовать турбулентные динамические процессы, протекающие в солнечном ветре [50], дальнем хвосте магнитосферы Земли [49], а также в ближнем хвосте на начальных стадиях развития суббури [49,51]. Более того, геометрический подход приводит к ряду фундаментальных результатов [46-48] в области дробной динамики, играющей первостепенную роль в современной теории турбулентности и хаоса [52,53].
Слияние методов фрактальной геометрии и топологии [43,45,46] закладывает основы нового научного напрвления - фрактальной топологии, имеющего как фундаментальные математические [43-46], так и общефизические [47-49] аспекты. Термин фрактальная топология был впервые введен в работах [46,49,51].
Последовательное изложение топологических методов фрактальной геометрии в свете оригинальных работ [43-46] представлено в Главе 1. К важнейшим утверждениям, доказанным в Главе 1 (например, к Основной теореме об универсальности), мы будем возвращаться на
протяжении всей работы. Сконцентрировав математический аппарат в Главе 1, мы создаем единую для всех последующих моделей теоретическую основу. Переход от топологии к физике осуществляется в Главе 2, содержащей нестандартное описание странных процессов переноса в турбулентных средах; главный упор сделан на метод дробного кинетического уравнения на фрактальном многообразии [47]. Каноническое распределение турбулентного ансамбля построено в Главе 3 на основе мультилинейного обобщения энтропии [54]; наравне с обобщенным термодинамическим развит нестандартный кинетический подход, лейтмотивом которого является нелинейное дробное кинетическое уравнение для турбулентных систем с самодействием [48,55]. Ряд конкретных проблем, стоящих перед современной космической электродинамикой, обсуждается в Главе 4. Речь в ней идет о спектральных свойствах НСС в различных диапазонах частот [49,51,55,56]; далее рассмотрены самосогласованная модель турбулентного токового слоя в дальнем хвосте магнитосферы Земли [49,51], явление магнитосферной суббури [49,51] и фрактонная модель турбулентности солнечного ветра [50,57,58] (в контексте неустойчивости фрактонных мод по отношению к самосжатию). Принципиальные моменты, изложенные в работе, суммированы в Заключении.
Основная теорема об универсальности
Систематическое использование топологических методов при исследовании фрактальных структур было предложено в оригинальных работах автора [43-46]. Было показано, что синтез фрактальной геометрии и топологии приводит к ряду принципиально новых понятий, таких как дробное топологическое произведение и фрактальное многообразие. Топологические характеристики фрактальных многообразий определяются значением постоянной протекания С - фундаментальной математической константы, являющейся наименьшим (из двух возможных) решением трансцендентного алгебраического уравнения [43]
Понятия постоянной протекания и фрактального многообразия позволяют сформулировать важнейшие свойства фрактальных множеств на топологическом языке, а также доказать ряд теорем, открывающих путь к практическому применению топологической теории фракталов [43] в теоретической и математической физике. Топологическое описание фрактальных структур позволяет решить такие проблемы как 1. доказательство универсальности фрактальной геометрии перколирующих множеств в размерностях от 2 до 5 в смысле модифицированного анзаца АО [43]; 2. вывод универсальных степенных законов для процессов переноса в сильно турбулентных средах [47,48]; 3. исследование наиболее общих геометрических свойств сильной турбулентности в сложных нелинейных динамических системах [45,46,49].
Применение топологических методов в теории сильной турбулентности обусловлено существованием глубокой связи между структурными свойствами системы и основными кинетическими процессами, протекающими на различных пространственных масштабах. Открытая термодинамическая система может сколь угодно долго находиться вблизи неравновесного стационарного состояния (НСС), структурная устойчивость которого достигается за счет формирования иерархических турбулентных полей. Как правило, такие поля собраны в сгустки, "раскиданные" по пространству под действием тех или иных сил. Сгустки, в свою очередь, могут быть разделены пустотами, где амплитуда поля сравнительно мала. Крупномасштабная картина представляет собой фрактал, заполняющий некоторую часть доступного евклидова пространства. Плотность числа сгустков на различных масштабах определяется размерностью Хаусдорфа-Безиковича, а взаимное расположение соседних сгустков - индексом связности, являющимся важнейшей топологической характеристикой поля. С другой стороны, индекс связности характеризует тип кинетических уравнений, описывающих динамические процессы на фракталах (например, в контексте свойства персистентности [26]). Поскольку вычисление индекса связности во многих случаях возможно на основе чисто топологических приемов (скажем, в терминах постоянной протекания С), анализ кинетических уравнений вблизи НСС фактически сводится к самосогласованному подбору фрактальной геометрии системы.
Развитием данных идей является геометрическое описание сильной турбулентности, впервые сформулированное автором в работе [50]. Геометрическое описание позволяет с единых позиций исследовать турбулентные динамические процессы, протекающие в солнечном ветре [50], дальнем хвосте магнитосферы Земли [49], а также в ближнем хвосте на начальных стадиях развития суббури [49,51]. Более того, геометрический подход приводит к ряду фундаментальных результатов [46-48] в области дробной динамики, играющей первостепенную роль в современной теории турбулентности и хаоса [52,53].
Слияние методов фрактальной геометрии и топологии [43,45,46] закладывает основы нового научного напрвления - фрактальной топологии, имеющего как фундаментальные математические [43-46], так и общефизические [47-49] аспекты. Термин фрактальная топология был впервые введен в работах [46,49,51].
Последовательное изложение топологических методов фрактальной геометрии в свете оригинальных работ [43-46] представлено в Главе 1. К важнейшим утверждениям, доказанным в Главе 1 (например, к Основной теореме об универсальности), мы будем возвращаться на протяжении всей работы. Сконцентрировав математический аппарат в Главе 1, мы создаем единую для всех последующих моделей теоретическую основу. Переход от топологии к физике осуществляется в Главе 2, содержащей нестандартное описание странных процессов переноса в турбулентных средах; главный упор сделан на метод дробного кинетического уравнения на фрактальном многообразии [47]. Каноническое распределение турбулентного ансамбля построено в Главе 3 на основе мультилинейного обобщения энтропии [54]; наравне с обобщенным термодинамическим развит нестандартный кинетический подход, лейтмотивом которого является нелинейное дробное кинетическое уравнение для турбулентных систем с самодействием [48,55]. Ряд конкретных проблем, стоящих перед современной космической электродинамикой, обсуждается в Главе 4. Речь в ней идет о спектральных свойствах НСС в различных диапазонах частот [49,51,55,56]; далее рассмотрены самосогласованная модель турбулентного токового слоя в дальнем хвосте магнитосферы Земли [49,51], явление магнитосферной суббури [49,51] и фрактонная модель турбулентности солнечного ветра [50,57,58] (в контексте неустойчивости фрактонных мод по отношению к самосжатию). Принципиальные моменты, изложенные в работе, суммированы в Заключении.
Коэффициенты переноса в гамильтоновом приближении
Дробным евклидовым пространством Ed назовем топологическое произведение ds элементов статистически самоаффинной кривой J /2, не имеющей точек самопересечения:
При дробных ds пространство Ed содержит пустоты на всех пространственных масштабах. Если d3 не совпадает с d/, то Ed содержит внутренние пустоты. В качестве наглядной иллюстрации пространства Ed при d3 df можно привести ломоть "швейцарского сыра" подходящей степени "дырявости".
Из разложений (1.1.11.) и (1.1.12.) следует, что фрактальное множество F можно локально представить как евклидово пространство Ed с дробным ds. (Глобальная топология множества F будет зависеть от того, как различные элементы пространства Ed склеены между собой в некоторую более общую структуру. Пространство Ed можно, таким образом, рассматривать как элементарный строительный блок, из которого путем тех или иных комбинаций образованы различные фрак тальные объекты.) В пределе в — 0 и df[F] — п дробное евклидово пространство Edt переходит вп /х...[п]...х/ [42].
Операция дробного топологического произведения (1.1.12.) в принципе аналогична операции "целого" топологического произведения, широко применяемого в современной теории множеств при описании структуры соответствующих топологических пространств [40,42]. (К примеру, разложение Еп / х ... [п]... х / можно рассматривать как определение пространства Еп при п 2.) Разница заключается в том, что при "целом" топологическом произведении двух множеств А и В каждая точка х Є А "спаривается" со всеми точками у Є В, и наоборот. При дробном топологическом произведении А и В каждая точка х Є А "спаривается" с некоторым фрактальным подмножеством точек у Є В, лежащим в В, а каждая точка у Є В - с фрактальным подмножеством точек х Є А, лежащим в А. В качестве иллюстрации приведем дробное топологическое разложение самоаффинной фрактальной кривой 16/2 = I х ... [(2 + #)/2]... х / по базису из единичных интервалов / (0, 1) [43]. Представим себе, что самоаффинная кривая на Рис. 2 повернута на угол —7г/4 к оси абсцисс t. (Поворотом на угол —7г/4 достигается статистически симметричное расположение кривой по отношению к оси абсцисс и оси ординат.) Легко видеть, что перпендикуляр t = const пересекает лежащую под углом кривую по канторову множеству, Хаусдорфова размерность которого равна 1 + (2 + 9)/2 — 2 = 9/2. (Мы воспользовались известной формулой [32] для фрактальной размерности пересечения двух множеств: df[A П В] = df[A] + df [В] — п, где п = 2 -Хаусдорфова размерность пространства вложения.) В силу симметрии перпендикуляр B(t) = const пересекает кривую (расположенную под таким же углом 7г/4 к оси ординат), по канторову множеству размерности 1 + (2 + 0)/2 — 2 = в/2, лежащему на оси абсцисс t. При дробном топологическом произведении їх ... [(2 + в)/2]... х I каждая точка на оси абсцисс t "спаривается" с канторовым множеством на оси ординат B(t), Хаусдорфова размерность которого равна в/2, и vice versa.
Подставляя разложение I&/2 = I х ... [(2 + 6)/2]... х І в (1.1.12.), получаем диффеоморфизм Ed$ Id = I х ... [df]... х /. Из (1.1.11.) вытекает, что множество F локально диффеоморфно дробному произведению Idf единичных интервалов I, именно F / х ... [df]... х І", где учтено тождество (1.1.7.). Из разложения F I х ...[df]... х I очевидно, что "масса" фрактального множества F растет с пространственным масштабом % в Еп І" х ... [п]... х I как xdf в соответствии с геометрическим смыслом Хаусдорфовой размерности df.
Разложение Еп I X ... [п]... х / можно рассматривать как п-ую степень интервала I, т.е. Еп 1п. Определим теперь корень n-ой степени из / как множество точек 1х1п С /, топологическое произведение которого само на себя п раз воспроизводит I с точностью до диффеоморфизма: / 71/" х ... [п]... х 111п. Поскольку Хаусдорфова размер ность топологического произведения равна сумме Хаусдорфовых размерностей сомножителей [62], множеству 111п следует приписать Хаус-дорфову размерность df[Ilfn] = 1/п 1. Из уравнения (1.1.9.) следует, что множество 111п всюду разрывно, т.е. представляет собой канторово множество, лежащее, по определению, на I. Заметим, что в современной фрактальной геометрии существует общий алгоритм построения канторовых множеств на J, обладающих любой наперед заданной Ха-усдорфовой размерностью [26]. Таким образом, построение корня п-ой степени из интервала I сводится к построению канторова множества на / по известным правилам [26]. Данное обстоятельство позволяет свести понятие дробного евклидова пространства Ed Idf / X ... [df].. .X I к топологическому произведению канторовых множеств. Для этого необходимо представить Idf I х ... [df]... х І в виде топологического произведения корней из /. В случае рациональной размерности df = r/s имеем ГIs IіIs х ... [г]... х I1/3, где /1/- удовлетворяет тождеству I Ills х ... [s]... х 71/3. (Дробь r/s считается неприводимой.) В случае иррациональной размерности представим df в виде сходящейся последовательности рациональных дробей df = Мт.т.+со rm/sm. Тогда Idt lim- Г-/5-.
Энтропия Тсаллиса: функциональные свойства
Как уже отмечалось во Введении, существует особый класс фрактальных объектов, обладающих универсальными геометрическими свойствами, не зависящими от микроскопических свойств системы: Речь идет о процессах протекания (перколяции) вблизи порога, соответствующего критической проницаемости среды. Феноменологическим определением универсальности является анзац Александера-Орбаха (АО) [34], согласно которому спектральная размерность фрактала на пороге протекания равна 4/3 в любых объемлющих размерностях п не ниже 2:
Доказательство анзаца АО при п б основано на теории среднего поля [19,20,33,66]. Приближение среднего поля соответствует процессам протекания на деревьях Кэли (называемых в физике решетками Бете) [25]. Дерево Кэли представляет собой граф без петель, имеющий равное число ветвей в каждом из узлов. При п 6 построение деревьев Кэли вблизи порога возможно в силу высокой размерности пространства вложения: Отсутствие петель достигается за счет большого числа (n б) степеней свободы, позволяющего расположить ветви дерева без самопересечений.
При 2 п 5 приближение среднего поля нарушается вследствие "деструктивной" роли петель, дающих неперенормируемый вклад в пропагатор на пороге протекания. Важно подчеркнуть, что образование петель неизбежно в низких размерностях 2 п 5, отпускающих "мало места" для построения деревьев Кэли. Вместе с тем существуют указания на то, что спектральная размерность ds в действительности несколько меньше значения 4/3 при 2 п 5 [33]. Данный вывод во многом основан на результатах численного моделирования, позволяющего распознать-небольшие (порядка 1 %) отклонения ds от 4/3 при п 5. Одна из наиболее точных численных оценок величины ds получена в оригинальной работе [67] для модели протекания на плоскости (n = 2): ds 1.321 4/3. Результаты [67] фактически ставят под сомнение справедливость соотношения (1.2.1.) в низких размерностях. Известные аналитические оценки параметра ds вблизи порога протекания, как правило, используют метод ренорм-группы [20,33] и в целом подтверждают вывод о небольшом отклонении (в сторону меньших значений) величины ds от 4/3 при 2 п 5. Вместе с тем, однозначной аналитической теории, "заменяющей" модель среднего поля в низких размерностях (2 п 5), вплоть до последнего времени так и не было предложено [20]. Дефицит идей в этой области поставил анзац АО (или его возможные аналитические модификации при 2 п 5) в ряд наиболее трудных нерешенных проблем современной фрактальной геометрии [20]. Прогресс был достигнут сравнительно недавно в серии работ автора [43-46] по топологии фрактальных структур. Было показано, что в низких размерностях 2 п 5 соотношение (1.2.1.) следует заменить на где С « 1.327 представляет собой некоторую фундаментальную посто янную, описывающую общие свойства фрактальных множеств на поро ге протекания. Данная величина была названа постоянной протека ния, или перколяционной константой [44]. Перколяционная константа С определяется как наименьшее (из двух возможных) решение транс цендентного алгебраического уравнения [43,44] Выражения (1.2.2.)-(1.2.4.) следует рассматривать как аналитическую модификацию анзаца АО (1.2.1.). Необходимо сразу же оговориться, что уравнение (1.2.2.) относится к стягиваемым фрактальным множествам. (Напомним, что множество F называется стягиваемым, если тождественное отображение F — F гомотопно отображению F — F, переводящему все F в точку [42]. Например, шар Dn стягиваем при любом п 1, в то время как сфера Sn l QDn и тор S1 X ... [п]... х 51 не стягиваемы: мешают внутренние пустоты.) Предположение о стягиваемости похоже на условие об отсутствии петель при построении деревьев Кзли в теории среднего поля [19,20,33,66]. Можно показать [44], что для нестягиваемыхфракталов спектральная размерность ds на пороге протекания не превосходит постоянной С, хотя и очень близка к ней (с характерным отклонением порядка 1 %). Соответствующие оценки [44] хорошо согласуются с результатами известных численных расчетов [33,67], потребовавших модификации анзаца АО в низких размерностях.
Фрактонные возбуждения и дробное волновое уравнение
Формула (1.2.9.) обобщает известное выражение [68] для телесного угла на произвольные действительные значения размерности ds. Простейшими частными случаями формулы (1.2.9.) являются выражения 0,2 = 27Г для стандартной окружности 51 и Пз = 47Г для стандартной двумерной сферы S2.
Рассмотрим замкнутый -мерный дробный шар Тс Dd С Еп, определяемый неравенством (1.2.8.). В силу замкнутости перколирующее множество Тс содержит бесконечно удаленную точку Роо пространства Еп. Очевидно, Роо Є дТс. Предположим, что образом точки Роо при диффеоморфизме дТс Sd, x является северный полюс N сферы Sd l. Далее, пусть S -"южный полюс многообразия 5d _1. Ясно, что полюса N и S являютя диаметрально противоположными (в обычном понимании) точками 5dj_1 вследствие инвариантности уравнения (1.2.6.) Важно отметить, что шар Dd Dd L)5d _1 является линейно связным множеством (в силу линейной связности Тс и диффеоморфизма Тс Dd ). Следовательно, наряду с точками N и S множество Dd содержит путь 7-: N —ї S, соединяющий положения N n S. В общем случае существует бесконечное множество путей 7 N — S, лежащих в Dd . Нас будет интересовать тот, который проходит через все точки шара Dd , причем через каждую точку ровно один раз. Обозначим такой путь 7- В строгой формулировке путь 7 реализует всюду плотное покрытие [39] множества Dd , понимаемое как непрерывное отображение -у замкнутого интервала 7 на шар Dd , т.е. «у : Ї — Dd . Данное покрытие является минималънымв том смысле, что путь -у не содержит точек самопересечения (т.е. индекс покрытия всюду равен 1).
Покажем, что путь -у существует при определенных ограничениях на Хаусдорфову размерность df множества Dd\ Рассмотрим сначала простейший случай, когда число измерений объемлющего евклидова пространства Еп равно п = 2. Очевидно, df не может равняться своему максимальному значению df = п = 2 в Е2. В самом деле, при df = 2 всюду плотное покрытие множества Dd содержит отрезки кривых Пеа-но, обладающих бесконечным числом точек склеивания. Отметим, что кривые Пеано включают точки склеивания кратности 4 [69]. Данное обстоятельство противоречит предположению об отсутствии точек самопересечения у кривой
Максимальное множество на плоскости, которое еще можно покрыть кривой 7 без самопересечений, получается удалением из Е2 двумерной канторовой пыли С X С, где канторово множество С суть множество "стертой средней трети" и имеет Хаусдорфову размерность d/[C] = In 2/In 3 [25]. (Можно сказать, что точки склеивания кривой Пеано лежат на двумерной пыли С х С.) Оставшееся от Е2 "дырявое" множество диффеоморфно квадратному ковру Серпинского, Хаусдор-фова размерность которого равна % = In8/In3 1.89 2 [25]. Ковер Серпинского можно рассматривать как универсальную линию на плоскости [69]. [Линией называется склейка из элементов простых дуг. Простая дуга понимается как гомеоморфизм отрезка J. Любой путь, не имеющий точек самопересечения, является (пространственной) линией. Для любой линии на плоскости 7 можно найти гомеоморфную ей линию 7 , лежащую в квадратном ковре Серпинского.] Ввиду универсальности ковра Серпинского как линии на плоскости имеем d/lj] S2. Применяя последнее неравенство к кривой j (являющейся по построению плоской линией), находим [-у] S2. С другой стороны, поскольку 7 реализует всюду плотное покрытие шара Dd С Е2, Хаусдорфовы размерности множеств -у и Dd должны совпадать: dj[7] = d/[Dd ], откуда
Приведенные рассуждения легко обобщаются на случай произвольной объемлющей размерности п 2. Действительно, максимальное множество в Еп, которое еще можно всюду плотно покрыть (пространственной) линией 7» получается удалением из Еп n-мерной канторо-вой пыли С х ... [п]... х Су Хаусдорфова размерность которой равна d/[C х ... [п]... х С] = п\п2/In3. Остающееся от Еп множество (часто называемое канторовым сыром), имеет размерность Хаусдорфа, равную Sn = ln(3n — 1)/In 3 [25]. Соответственно, при n 2 получаем аналог уравнения (1.2.10а.):
Заметим, что Sn — n при n — со. Грубо говоря, при df[Dd ] tSn піар Dd С ?n "содержит слишком много точек", которые нельзя обойти один и только один раз вдоль пространственного пути у. ("Где-то необходимо пройти по несколько раз, чтобы побывать везде".) Принимая во внимание линейную связность множества Dd , из неравенств (1.1.8.) находим df[Dd ] 1 и Поскольку множество Dd по предположению стягиваемо, граница dDd Sd l опирается на тот же самый телесный угол (1.2.9.), что и путь 7з проходящий один и только один раз через каждую точку Dd".
