Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Преобразование Дарбу 9
1.1 ПД для одномерного уравнения Шрсдиигсра и его обобщения 9
1.2 Нарушенная супсрсиммстрия 20
1.3 БПС состояния 25
1.4 Расширенная суперсимметрия 35
1.5 Преобразования Мутара в высших, измерениях 38
1.6 ПМ и эллиптический комплекс 40
1.7 Трехмерные преобразования Мутара в потенциалах типа Ааронова-Бома 42
Глава 2. Преобразование Дарбу в космологии 52
2.1 Построение интегрируемых моделей в метрике Фридмана-Леметра-Робертсона-Уолкера
2.2 Точно решаемые космологии
2.3 Постановка задачи 60
2.4 Простейшая модель 64
2.5 Преобразование Дарбу 68
2.6 Преобразование Дарбу и тахионная нестабильность 73
2.7 Плоский спектр и ПД 75
2.8 Реконструкция потенциала У(ф) 79
2.9 Возмущения плотности 83
Глава 3. Общие решения уравнений Эйнштейна и энергетические условия 87
3.1 Список возможных объяснений 92
3.2 Гладкая фантомизация 99
3.3 Можно ли избежать сингулярности большого разрыва через кротовую пору? 103
Заключение 110
Приложение А 111
Приложение Б. Список публикаций автора 117
Литература
Введение к работе
Актуальность темы
Предлагаемая работа посвящена изучению многомерных преобразований Дарбу-Мутара и обобщенного комплекса Де Рама, а также механизмов связи этих преобразований с процедурой нарушения суперсимметрии, с генерацией расширенной суперсимметрии и с БПС состояггиями. Кроме того рассматривается суперсимметричный подход к построению точных решений уравнений Эйнштейна-Фридмана. 1) Эффективным способом построения суперсимметричных моделей является метод преобразований Дарбу ПД. В одномерном случае, ПД позволяет построить квантовый гамильтониан с наперёд заданным конечным дискретным спектром. Изоспектраль-ные системы в одномерном случае возникают в случае, когда опорная функция ПД является положительно определённой. Например, если в качестве таковой выступает волновая функция основного состояния исходного гамильтониана, то спектр (дискретный) нового гамильтониана получается из спектра исходного просто вычёркиванием нижнего уровня. Если, всюду положительная, опорная функция достаточно быстро растёт вдоль обоих направлений вещественной оси, то подобной процедурой можно получить спектр исходного гамильтониана из спектра нового. Наконец, если положительно-определённая опорная функция быстро растёт в одном направлении и убывает в другом, то спектры гамильтонианов, сплетённых посредством ПД - совпадают. В последнем случае реализуется нарушенная суперсимметрия, а в первых двух - точная. Кроме того, можно удалять уровни из любого места спектра группами, если пользоваться схемой Адлера. В многомерном случае (d l), ситуация становится гораздо сложнее., поскольку при этом возникает последовательность сплетающихся друг с другом матричных гамильтонианов. Изоспсктральными оказываются лишь ближайшие соседи этой цепочки, спектры же двух скалярных гамильтонианов замыкающих цепочку вообще говоря никак не связаны. Использование в качестве опорной волновой функции основного состояния исходного скалярного гамильтониана с потенциалом степенного типа, приводит, как и в одномерном случае, к исчезновению нижнего уровня у всех остальных гамильтонианов цепочки. Можно, однако использовать другие потенциалы, которые приводят к качественно новому поведению. Например, в двух измерениях цепочка состоит из двух скалярных и одного матричного гамильтонианов. Можно, оказывается, найти модели, такие, что ПД будет "удалять"нижний уровень в спектре правого замыкающего скалярного гамильтониана, но "оставлять"его в спектре матричного. Можно добиться и обратного; наличия нижнего уровня в спектрах правого замыкающего и матричного. В обоих случаях, в спектре суперсимметричного гамильтониана, который строится блочно-диагональным образом из этих трёх, будет присутствовать двукратно-вырожденный уровень Е=0. Аналогичную процедуру можно провести и для произвольной размерности.
Такие модели могут быть весьма интересны с точки зрения теории поля. Как известно, d-мерная суперсимметричиая квантовая механика, построенная по описанной выше схеме может быть рассмотрена, как (0-г1)-мерпая теория d-компонентпого суперполя. Роль независимых переменных в такой модели играют время и двухкомпопентпый антикоммутиругощий, майорановский спинор. Суперсимметричный лагранжиан содержит потенциальное слагаемое (суперпотенциал), которое является логарифмом опорной функции ПД, взятого с обратным знаком. В рамках такой, достаточно простой, но уже нетривиальной теории поля, можно рассмотреть вопрос о спектре масс частиц, входящих в супермультиплет, который содержит d скалярных и (1 фермионных полей. Ограничимся случаем d—2. Если рассмотреть случай "исчезающего"уровня, то суперсимметрия будет точной. Если выбрать в качестве опорной положительно определённую, и ограниченную вдоль какого нибудь направления на плоскости функцию,™ получится нарушенная суперсимметрия. Наконец, выбирая исходный потенциал модели, так, чтобы нижний уровень одного из замыкающих скалярных гамильтонианов совпадал с нижним уровнем матричного, получим супер-симметричную модель с двукратно вырожденным уровнем Е-0. В этом случае суперсимметрия не нарушена - операторы суперсимметрии будут уничтожать соответствующие вакуумные волновые функции, а не переводить их друг в друга. Исследование системы с точной суперсимметрией, но вырожденным основным состоянием может оказаться весьма полезным и в реалистичных моделях.
2) Космология в настоящий момент является одним из наиболее интересных и бурно развивающихся разделов физики. Однако, исследования в ней осложняются тем обстоятельством, что известно сравнительно небольшое количество точных решений соответствующих уравнений, адекватное приближение существует далеко не всегда, а численный анализ может пропустить целые классы решений или не заметить некоторые особенности их поведения. В настоящей работе предложен метод, основанный на использовании преобразования Дарбу (или суперсимметрии), позволяющий построить новый класс точных космологических моделей. Так же в работе проведены исследования полученных моделей для некоторых интересных случаев, что, в частности, позволило открыть явление гладкой фантомиза-ции, то есть возможность такой эволюции Вселенной, при которой обычное состояние в некоторый момент времени гладко (то есть без разрывов как функций, так и их производных) переходит в состояние с нарушенным ела бым энергетическим условием (р 0, р + р/с2 0), В работе исследованы
разнообразные следствия этого явления и рассмотрены возможные возражения против пего; разработан метод, позволяющий вырезать области с нарушением слабого энергетического условия который позволяет, в частности, построить точную космологическую модель с первичной инфляцией, выходом из пес и вторичной инфляцией.
Цель и задачи
Цель работы заключается в
1. разработке математической техники позволяющей строить полевые модели с нарушенной суперсимметрией и генерировать БПС состояния с помощью многомерных преобразований Дарбу-Мутара;
2. реализации алгебр расширенной суперсимметрии в двумерной супер-симметричной квантовой механике;
3. изучении связи многомерных преобразований Мутара с геометрией обобщенного эллиптического комплекса;
4. построении трехмерных преобразований Мутара связывающих ска » лярные гамильтонианы при наличии потенциалов типа Аароиова Бома;
5. применении методов суперсимметрии для построения точных космологических решений в метрике Фридмана;
G. изучении режимов гладкой фантомизации и возможных подходов позволяющих избавиться от решений такого типа.
Предмет исследования
Суперсимметричная квантовая механика, многомерные преобразования Дарбу-Мутара, обобщенный комплекс Де Рама, БПС состояния, нарушенная суперсимметрия, использование преобразования Дарбу для построения точных космологичесих моделей, анализ свойств таких моделей, явление гладкой фаптомизации.
Научная новизна и положения, выносимые на защиту.
В диссертационной работе получены следующие новые результаты:
1. Показано, что нарушение суперсимметрии в ССКМ приводит к раздвижке масс в соответствующей полевой теории.
2. Предложен метод построения суперсимметричной квантовой механики с вырожденным уровнем Е=0. Приведены аргументы в пользу того, что соответствующие состояния являются БПС состояниями.
3. Предложен метод получения двумерных преобразований Мутара, который может быть обобщен на случай трех измерений путем использования неинтегрируемой Дираковской фазы.
4. Развит метод построения точных решений уравнений Эйнштейна-Фридмана использующий преобразование су 11 ере и метри и.
5. Обнаружено явление гладкой фаптомизации.
Нарушенная супсрсиммстрия
Хорошо известно, что нерелятивистская суперсимметричная квантовая механика может быть построена с помощью ПД. ПД объединяет два гамильтониана !IQ и hi . h = q+q+E0, }ц = qq++EQ, q = (Ы(р) q+ = ——(In у?) , где (p — ip(x; EQ) - решение уравнения h$p — E$ip (опорная функция) с фиксированным значением спектрального параметра Е = EQ. Как мы видели в предыдущем параграфе /іо и h\ сплетаются посредством q и q+: qh0 = hiq, h0q+ = q+Іц. Напомним, что ПД отображает нормируемые функции в нормируемые, откуда прямо следует, что спектры операторов /ід и hi совпадают, с точностью до уровня 1. Уровень EQ может принадлежать спектру гамильтониана IIQ. у В этом случае, ц будет знакоопределёииой лишь если это волновая функ ция основного состояния )щ. При этом спектр h\ получается из спектра /to вычеркиванием уровня EQ [5]. Поскольку ПД обратимы, то можно, отталкиваясь от исходной решаемой модели (с гамильтонианом h ), строить новые гамильтонианы с дополнительными уровнями. Подробный анализ такого преобразования содержится в работе [16] (см. также предыдущий параграф). Наконец можно обойти условие знакоопределённости опорной функции и удалять уровни целыми группами, по специальной схеме предложенной в [2, причём нижний уровень в серии, составленной из этих групп, может быть возбуждённым.
Все сказанное имеет прямое отношение к одномерной суперсимметрич i ной квантовой механике, основанной па известных перестановочных соот ношениях: [Q, Я] = [Q+, Я] = О, {Q, Q+} = Я, (1.24) где Q = qa+, Q+ = /+fj_, Я = diag(/i0 - E0,hi - E0), причём т± — {o"i ± 2(72)/2, (Ті,2 матрицы Паули. Отметим, что q и q+ бо-зонные, а О- и а+ - фермионные операторы упичтожения-рождслия. Если дискретные спектры /in и hi отличаются на один уровень, то (1.24) отвечает точной суперсимметрии. Если же уровень EQ отсутствует в спектрах обоих гамильтонианов, то суперсимметрия нарушена. Легко видеть, что уровень EQ не может одновременно присутствовать в спектре ho и спектре h\. Это означает, что если нижний уровень в спектре одномерного суперсиммет-ричиого гамильтониана равен нулю, то он певырожден.
Возникает интересный вопрос: как нарушение нерелятивистской суперсимметрии скажетсн на спектре масс полей, входящих в супсрмультиплет (1.25)? Допустим, что суперсимметричный квантовый гамильтониан Я, построенный с помощью преобразования Дарбу отвечает точной или нарушенной супсрсиммстрин. Конкретизируем вопросы: (і) будут ли совпадать массы бозонов и фермионов если суперсимметрия квантовомеханическо-го гамильтониана точна (т.е. если у пего есть уровень Е = 0); (іі) будут ли различаться, если такого уровня нет в спектре Я; (ііі) что будет если уровень Е — 0 вырожден?
Дарбу высшего порядка, однако, классы соответствующих потенциалов весьма узки 9). Для иллюстрации последнего утверждения рассмотрим притягивающий кулоновский потенциал (этот пример позаимствован из работы [5]} и — —аг 1, а 0. Несложно убедиться, что если (р волновая функция основного состояния, то у)-1 — +ar l. Таким образом, гамильтониан h\ вообще не обладает дискретным спектром, тогда как при d=l спектр Ii[ должен был получиться из спектра ho вычеркиванием нижнего уровня. Сказанное должно прояснить то обстоятельство, что при d 1 мы не имеем общих формул, выражающих волновые функции Іі{ через волновые функции ko, подобные одномерному случаю, так как наличие таких формул означает и наличие общих связей между спектрами ho и h\. Не запрещено, однако, существование общих формул, связывающих решения ф, ф многомерных уравнений Шрсдипгсра с одинаковым значением спектрального параметра. При d — 2 эта возможность допускает конкретную реализацию с помощью формулы Мутара (1.42) 55.
Замечание. Связи между волновыми функциями гамильтонианов /IQ И }ц возможны, когда потенциалы и и уу переводятся друг в друга путём подходящего выбора параметров {А } от которых они зависят, т.е. если u {xi,X2 , {К }) — u(xi,X2 , {К})- Пример такого двумерного потенциала приведён ниже (формула (1.45)). Общие связи между спектрами существуют для пар /ід, hmi и h\, Hmi. Действительно, учитывая, что hi можно представить в виде /ЇЇ = pj m + Е(\у несложно проверить истинность соотношений сплетания: qmh0 = Ilmiqi, pmhi = Hm[pi, что и означает наличие таких связей. По этим же формулам сплетается с h$ и h\ оператор /imj. Его спектр совпадает со спектрами скалярных гамильтонианов, с точностью до, быть может, уровня EQ. В работе [С], изучалась суперсимметрия определённая с помощью операторов (1.31)-(1.34), причём предполагалось, что (р(х\,Х2 ,Ео) -волновая функция основного состояния гамильтониана 1щ. Как показано в цитируемой статье, такой выбор опорной функции приводит к тому, что уровень EQ отсутствует в физических частях спектров hmi и 1ц, т.е. к ненарушенной суперсимметрии. Основное внимание было уделено связям между спектрами h-Q, hmi и k\ при условии Е EQ. Нас будет интересовать, главным образом, вопрос о наличии уровня EQ в спектрах этих гамильтонианов. В частности, мы обсудим задачу о добавлении уровня EQ, отсутствующего в спектре HQ, К спектрам двух других гамильтонианов. Такой выбор темы обусловлен тем обстоятельством, что именно наличие или отсутствие уровня EQ В спектрах ho, hmi и h\ определяет точна или нарушена суперсимметрия в рассматриваемой модели. Ниже будет развит общий подход позволяющий осуществить эту процедуру, а на примере радиалыю симметричного потенциала мы покажем, что при специальном выборе асимтотик опорной функции могут быть реализованы 25 различных случаев "распределения уровня EQUUO спектрам KQ, hmi и h\. В 7-ми из них уровень EQ вообще отсутствует в спектрах всех гамильтонианов, что означает наличие спонтанно нарушенной суперсимметрии, а в С-ти суперсимметричный гамильтониан обладает двукратно вырожденным уровнем с Е = 0 - ситуация не встречающаяся для (1—1 в общем случае и для d 2 при "удалении уровня", с помощью волновой функции основного состояния гамильтониана / (случай, подробно исследованный в [5], [С] и [8]).
ПМ и эллиптический комплекс
В моделях с d 2 приходится сталкиваться С новыми трудностями. Вместо трёх гамильтонианов (двух скалярных и одного матричного) возникает цепочка матричных операторов : Собственные функции операторов h и Н связаны с собственными функциями соответствующих операторов Я "1-1 , /i m+1\ а h = h(rn -f Я " - IEQ (І - единичная матрица) имеет вид обычного, квантово механического гамильтониана. Операторы h и II (т факторизо-ваны, соответственно, операторами q m l\ {q m )+ и ((/m )+, q и существует естественный гомоморфизм пространств антисимметричных волновых функций в пространства внешних дифференциальных форм. Операторы q(m\ при этом, становятся универсальными операторами типа внешнего дифференцирования, а описанный комплекс является обобщением комплекса Де Рама [5]. Подобно двумерному случаю, разобранному в (1.4) можно показать, что уровень EQ (значение спектрального параметра опорной, скалярной функции d переменных, с помощью которой строится цепочка (1.49)) присутствует в спектрах гамильтонианов h если и только если он присутствует в спектрах h(m) и Н(т) (при достаточно быстром убывании соответствующей собственной функции). В свою очередь, это приводит к необходимости существования связей между (необязательно нормируемыми) решениями уравнений па собственные значения операторов Н т и / т+2) при Е = EQ. Оказывается, такие связи, действительно, существуют в требуемом количестве [d 1). Целесообразно назвать их многомерными формулами (или преобразованиями) Мутара.
Подчеркнём, что, как и в формуле (1.42), 1-форма под интегралом в (1.51) и (1.52) - замкнута. Аналогичные формулы можно получить и при d 3. Отметим, что в чётномерпых пространствах возникает дополнительная специфика, позволяющая объединять с помощью многомерных формул Мутара волновые функции гамильтонианов одинаковой матричной размерности, а именно Cd xC(J . В частном случае d = 1 мы имеем обычные преобразовании Мутара между скалярными [ амильтонианами. Введённые выше преобразовании позволяют разработать технику построения многомерных супергамилвтопианов с точной и нарушенной супереимметрией, а так же супергамильтонинов с вырожденным уровнем Е = 0. Следует отметить работу [30] где описанная выше процедура реализована па произвольном многообразии с использованием процедуры внешнего дифференцирования и теории р-форм. Однако изложение в [30] достаточно абстрактно, поэтому мы привели выше явный виді этих преобразований па привычном для физиков языке.
Несмотря на красоту описанных формул, обычно нас интересуют связи между скалярными гамильтонианами. Случай d = 3 был рассмотрен в работе [33] с помощью попытки найти формальный аналог одномерного ПД. В результате автор построил пример некоторых трехмерных потенциалов для которых уравнение Шредингера может быть решено точно. В этом параграфе мы попробуем продемонстрировать, что в трехмерном случае можно построить преобразование типа Мутара для трехмерного уравнения Шредингера, связывающего два скалярных потенциала. При этом необходимо использовать ряд дополнительных идей, а именно использование дираковскую "неинтегрируемую фазу" и поля типа Ааронова-Бома [77].
Хотя мы уже описывали метод вывода двумерного преобразования Мутара. в целях полной ясности рассмотрим его еще раз, используя покомпонентную запись. Как будет видно далее, именно обобщение этой методики к позволит построить преобразоіїания Мутара [І трех измерениях.
В отличии от (1.56) уравнение (1.60) не удовлетворяется тождественно, лишь па том основании, что ф и р являются решениями исходного уравнения Шредипгера, поэтому па этом этапе необходимо привлекать дополнительные идеи.
В качестве такой идеи, мы предлагаем ввести в ф "неинтегрируемую фазу". Основное соображение оправдывающее этот шаг: попытаться избавиться от нсиптсгрирусмости в в (в трех измерениях) путем перекачки1 ее в фазу. В свою очередь, наличие нсиптсгрирусмости такого типа озна — чаег включение внешнего магнитного поля В = rot/?, где к - векторный потенциал (в дираковских обозначениях). Тем самым, наше формальное математическое рассмотрение неожиданно обретает физический смысл. Разумеется, divB — 0.
Скалярные поля играют центральную роль в современной космологии. С одной стороні)!, эти поля {или это поле) играет роль инфлатона, т.е. поля ответственного за инфляцию в ранней вселенной [31], [42], [4], [43] . С другой стороны, безмассовые скалярные поля пытаются рассматривать как квинтэссенцию - физический субстрат вызывающий наблюдаемое ныне ускоренное расширение вселенной [G2], [65], [29], [69], [64], ]85[. В наиболее развитой космологической модели - т.п. теории хаотической инфляции [43] - предполагается, что в ранней вселенной доминировало скалярное поле с минимальной (в простейшем случае) связью, причем плотность энергии была сконцентрирована в потенциале самодействия. При этих условиях удается провести ряд упрощений исходных уравнений, после чего редуцированные уравнения тривиально интегрируются, демонстрируя наличие инфляционной фазы {более точно, квази-де Ситтеровской фазы, в течение которой параметр Хаббла можно примерно считать константой) 1. Далее предполагается, что в процессе раздувания кинетический член возрастает до тех пор пока приближение медленного скатывания не перестает действовать. Отсюда делается вывод о самопроизвольном прекращении инфляции (или о выходе из инфляции, на космологическом жаргоне). Следующей фазой должна быть фаза осцилляции, которая необходима для заполнения вселенной, "опустошенной инфляцией", элементарными частицами.
Точно решаемые космологии
Красивым примером такого подхода является модель [28 , в которой допускаются неположительно определенные потенциалы самодеііствия. Одним из стимулов изучения таких моделей являются калибровочные супергравитационные теории (являющиеся пизкоэнергетичным пределом гипотетической М-теории) с 7V = 2,4,8. Именно последнее обстоятельство позволяет надеяться, что такие модели могут иметь физический смысл. Неположительность потенциала приводит к интересному следствию: даже если плотность вещества во вселенной в точности равна критической, вслед за фазой расширения возможна фаза коллапса, тогда как при положительном потенциале расширение длится вечно. Неограниченность же потенциала снизу (это достаточно общий случай для потенциала с положительным экстремумом для iV — 2,4,8 моделей) приводит к естественному появлению фазы ускоренного расширения, которую мы возможно как раз наблюдаем [37, [47]. Заметим, что общее исследование динамики вселенной при заданном потенциале самодействия представляет собой исключительно трудную математическую задачу. По этой причине, последние семь лет активизировались исследования модельных космологии, в которых уравнения допускают точное аналитическое решение [14], [52], [83], [12], [27], [41], [13], [58]. Соответствующие модели получили название "точно решаемых космологии" (ТРК) или просто "точных космологии". В основе ТРК лежит чрезвычайно широкий калибровочный произвол космологических уравнений в метрике Фридмапа-Леметра-Робертсона-Уолкера (ФЛРУ). Если рассмотреть общий случай вселенных с такой метрикой и самодействующим скалярным полем, то можно задавая, например, эволюцию масштабного фактора вычислить вид соответствующего потенциала самодействия приводящего к такой динамике. В других подходах фиксировалась динамика поля или параметра Хаббла, причем в последнем случае, оказалось, удобно ввести новую независимую переменную - число е-расширепий вселенной. Отметим, что кажущийся почти безграничным произвол сужается необходимостью выполнения энергетических условий: или слабого или сильного или основного, в зависимости от контекста рассматриваемой задачи, поэтому не всякая эволюция, скажем, масштабного фактора действительно может происходить. Мы подробнее остановимся на этом вопросе ниже. Очевидная "беда ТРК- "патологичсскис"формы потенциалов самодействия, которые вряд ли могут быть обоснованы физикой элементарных частиц. Вместе с тем изучение ТРК может оказаться исключительно важным п инфляционной космологии. В самом деле, в рамках теории хаотической инфляции предполагается, что фактически любой потенциал удовлетворяющий специальным начальным условиям будет приводить к инфляции, выходу из нее, осцилляциям, переходу на фридмановскую стадию радиационного доминирования и т.д. Если это действительно так, то патологическая форма потенциалов обычно появляющихся в ТРК не должна быть существенной. Собирая статистику по ТРК можно сделать достаточно обоснованные заключения о том насколько надежны предположения теории хаотической инфляции. Исследования, проведенные в цитированных выше работах привели к следующим выводам:
1. Идея медленного скатывания - верпа. Инфляция, действительно, возникает при чрезвычайно разнообразных потенциалах самодействия, так что ист никакой необходимости фиксировать некоторую форму потенциала для получения раздувающейся вселенной 3.
2. Выход из инфляции оказался непростой задачей. Для многих модельных потенциалов, вселенная, войдя в стадию раздувания, остается в ней навсегда. Выход из инфляции, как правило, обеспечивается "тонкой па-стройкой"или, попросту говоря, подгонкой параметров модели.
3. Непонятно откуда берутся осцилляции. Хотя точные модели инфляции с выходом построены, они определенно не содержат осциллирующей фазы (в отличии от пеинтегрируемых моделей типа V — т2ф2/2, в которых наличие осцилляции подтверждается качественными оценками и численным интегрированием [43], [45]). Это не означает, что такая стадия не может быть описана какой-либо точной космологией. Например, в [84] построен пример потенциала описывающего затухающие осцилляции скалярного поля, однако вряд ли такой потенциал может быть получен в рамках квантовой теории поля или физики струн.
4. Всем без исключения ТРК с выходом присуща следующая неприятная черта: после выхода из инфляции вселенная либо переходит на стадию радиационного доминирования, где остается навсегда, либо сначала переходит на стадию пылевидной материи, а потом на стадию преобладания излучения, тогда как все должно быть в точности наоборот. Это достаточно общее явление. Например, в [82] исследовались ТРК с комплексным скалярным полем и оказалось, что там имеет место та же самая проблема. В наиболее удачной ТРК модели описанной в [84], предлагается дополнительная гипотеза о наличии некоторого фазового перехода, долженствующего вывести вселенную из радиациошю-доминированной фазы и перевести на фазу доминирования пылевидной материи. Однако едва ли физическая теория может строиться с использованием таких гипотез ad hoc. Последняя проблема может показаться достаточно надуманной.
Гладкая фантомизация
В настоящее время существует огромное число работ посвященных изучению космологических моделей запол пенных т.н. "фантомной энергией "для которой отношение давления к квадрату скорости света умноженному на плотность меньше чем —1. Если "фантомная эпергия"опиеывается, как некоторое скалярное иоле с минимальной связью, то кинетический член в лагранжиане этого поля должен быть отрицательным [20].
При этом оказалось, что и простейших моделях с баротропным уравнением состояний фантомные поля приводят к новому виду сингулярности - большому разрыву, т.е. точке в которой как масштабный фактор (и, разумеется, компоненты тензора Риччи) так и скорость расширения ста-ловятся бесконечно большими [20], [21]. Как мы показали выше, уравнения Эйнштейна допускают точные решения описывающие непрерывный и гладкий переход от вселенной заполненной субстанцией для которой выполнено условие энергодоминантности к вселенной, где это условие нарушено. Очевидно, что множитель ф. который обычно опускают при изучении ди намики скалярных полей в космологии обеспечивает "гладкую фантомиза-цию" [10].
При этом, я вышеприведенных работах рассматривался только случай плоской вселенной. Хоти такая модель является наиболее популярной у космологов (поскольку вытекает из теории инфляции} тем не менее, есть некоторые астрономические указания данные, которые можно проинтепре-тировать как косвенное указание па замкнутость вселенной [68], [74]. По этой причине модели с ненулевой кривизной вновь стали объектом внимания, в том числе у классиков инфляционной космологии, см. например [49]. Это обстоятельство приводит к вопросу: возможна ли гладкая фаптомиза » ция во вселенных с к = +1 и к = —1?
Покажем, что это действительно возможно. Заметим, что метод который мы использовали выше не применим в ие плоских вселенных. В самом деле, куб масштабного фактора при к = ±1 будет удовлетворять нелинейному уравнению, метод нахождения общего решения которого нам неизвестен. Нам необходимо именно общее решение, поскольку, как было показано выше, для построения гладкой фантомизации необходимо решение параметризованное двумя произвольными константами.
Как мы видели, пока пет убедительных аргументов позволяющих исключать решения такого рода. Более того, недавно появились работы, в которых обосновывается необходимость наличия фантомных полей [GO]. Дело в том, что традиционное объяснение причины ускорения вселенной - наличие положительной космологической постоянной, или более экзотические -наличие т.п. "квинтэссенции", по-видимому, не совместимо с теорией струн (М-теорией). Помимо того, что неизвестны реалистичные решения, описывающие компактификацию лишних измерений и приводящие к деситте-ровскому режиму, так и более развитые голографические модели темной энергии-квинтэссенции (в которых наличествует связь между ультрафиолетовым обрезанием на высоких частотах с инфракрасным обрезанием па малых частотах) вступают в противоречие с формализмом S-матрицы. Оказывается, что в рамках фантомных моделей это противоречие можно разрешить и потому, не исключено, что наличие "фантомных полей"просто необходимо для существования согласованной с наблюдениями М-теории! Актуальность исследований "фантомных космологий"обусловлена не только тем, что описанная картина полностью меняет классическую парадигму эволюции вселенной (вселенная либо вечно расширяется либо кол-лапсирует в финальную сингулярность), по и с тем, что традиционное объяснение причины ускорения вселенной - наличие положительной космологической постояноой, или более экзотические - наличие т.н. "квинтэссенции", по-видимому, не совместимо с теорией струн (М-теорией).
Современная космология удивительно богата новыми необычными ре-шениями. Одной из последних является модель с "фантомным полем", нарушающем слабое энергетическое условие (СЭУ) р 0, р + р/с2 0 [8G], [21], где р это плотность жидкости и р - давлепие.Такие фантомные ноля, как следует из их квантовой теории [87], должны непременно описываться скалярным полем с отрицательным кинетическим членом. Подробное исследование показало, что такие поля не могут рассматриваться как фундаментальные объекты. Однако, лагранжиан с отрицательным кинетическим слагаемым может возникать в некоторых эффективных моделях, как это случается в моделях су вер гравитации [57] и в гравитационных теориях с высшими производными [G3]. Кроме того, "фантомная"эпсргия в бранных теориях рассматривалась в работе [67].
Похожие диссертации на Использование суперсимметрии для интегрирования уравнений Эйнштейна и гладкая фантомизация
