Содержание к диссертации
Введение
1 Основные уравнения стационарных аксиально симметричных гравитационных полей 14
1.1 Уравнения гравитационного поля и метрика Папапетру 14
1.2 Разные формы уравнений стационарного аксиально-симметричного поля и трансформационные теоремы 19
2 Статические решения вакуумных уравнений Эйнштейна 27
2.1 Решение Вейлена для статических аксиально-симметричных полей Эйнштейна 27
2.2 Решение уравнений Вейля с учетом сингулярных источников 32
2.3 Евклидонные решения 35
2.4 Солитонные решения и их деформация 47
3 Стационарные решения вакуумных уравнений Эйнштейна 52
3.1 Класс решений Льюиса 53
3.2 Класс решений Папапетру 59
3.3 Класс Томиматсу-Сато 65
3.4 Метод суперпозиции решения Керра с произвольным стационарным полем Эйнштейна 69
4 Теорема Боннора для аксиально-симметричных стационарных полей Эйнштейна 77
4.1 Суперпозиция решения Боннора с произвольным полем Эйнштейна-Максвелла 77
Заключение 86
Литература 88
- Разные формы уравнений стационарного аксиально-симметричного поля и трансформационные теоремы
- Решение уравнений Вейля с учетом сингулярных источников
- Метод суперпозиции решения Керра с произвольным стационарным полем Эйнштейна
- Суперпозиция решения Боннора с произвольным полем Эйнштейна-Максвелла
Введение к работе
Согласно современным представлениям, физика пространства-времени и материи описывается уравнениями Общей Теории Относительности (ОТО). Чтобы делать общие выводы о порожденной материей структуре 4-пространства-времени, необходимы точные решения уравнений теории Эйнтшейна. Точные решения ОТО, получившие ясное физическое истолкование, прочно вошли в арсенал современной астрофизики и космологии, определяя и даже открывая [1, 2, 3, 4] целые направления их развития. Уравнения ОТО представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, и нахождение их точных решений является весьма трудной задачей.
В 1916 году Шварцшильд [5] нашел первое точное решение уравнений Эйнштейна, которое описывает пространство-время вне тела со сферически-симметричным распределением вещества. Это решение объясняет аномалию в смещении перигилия Меркурия. Решение Шварцшильда допускает существование черных дыр. Если массивное тело сжать в сферу определенного радиуса, то пространство-время вблизи него искривляется так сильно, что совпадающую с горизонтом сферу радиуса Шварцшильда не может покинуть никакой материальный объект. Уникальность метрики Шварцшильда состоит в том, что, согласно теореме Биркгофа [6], она является единственным статическим, сферически-симметричным решением уравнений Эйнштейна. Кроме того, как позднее было математически строго доказано Израэлем [7], никакое другое статическое вакуумное решение не может иметь полностью регулярного горизонта событий.
Вращение - это общее свойство, присущее планетам, звездам и галактикам. Поэтому большой астрофизический интерес представляет случай аксиальной симметрии.
В настоящей диссертации рассматриваются точные решения уравнений Эйнштейна, которые, обладая аксиальной симметрией, являются также асимптотически плоскими, т.е. описывают внешние гравитационные поля, создаваемые так называемыми островными системами, для которых метрический интервал на больших расстояниях от источников переходит в обычную метрику Минковского неискривленного пространства-времени. Этот широкий класс решений уравнений гравитации включает в себя статические и стационарные поля Эйнштейна, и ему принадлежат как уже известные решения, имеющие фундаментальное значение для ОТО, так и решения, которые в недалеком будущем смогут найти широкое применение для большого круга астрофизических задач.
Исследование аксиально-симметричных гравитационных полей берет свое начало в работах Вейля [8, 9], в которых были получены два класса аксиально-симметричных решений, содержащих произвольную гармоническую функцию: класс статических решений уравнений Эйнштейна и класс статических решений уравнений Эйнштейна-Максвелла. Среди вакуумного класса Вейля имеется метрика Шази Керзона [10, 11], которая не имеет особенности в отличие от сферически-симметричного решения Шварцшильда.
Общее статическое аксиально-симметричное решение уравнений Эйнштейна в вакууме Вайлен [12] представил в виде интеграла, в котором решения Шварцшильда и Шази-Керзона являются частными случаями.
Первое статическое аксиально-симметричное решение, описывающее внешнее гравитационное поле массы, обладающей мультипольным моментом, было найдено Эрецом и Розеном [13]. Они использовали сплющенные эллипсоидальные координаты, которые теперь широко применяются для нахождения новых точных решений уравнений Эйнштейна.
Гуцунаев Ц.И. и Манько B.C. [14] нашли новое статическое аксиально-симметричное решение вакуумных уравнений Эйнштейна, описывающее гравитационное поле массы, обладающей произвольным мультипольным моментом. Решения Эреца-Розена [13] и Гуцунаева-Манько [14] существенно отличаются друг от друга, но оба решения на больших расстояниях от источника переходят в ньютоновский потенциал с массой, обладающей квадрупольным моментом [15].
В работах Льюиса [16] и Ван Стокума [17] были даны первые примеры стационарных вакуумных полей, которые не являются асимптотически плоскими. Несмотря на это, они в дальнейшем были использованы для получения асимптотически плоских, физически интересных метрик. Класс стационарных вакуумных полей был получен Папапетру [18] благодаря записи метрического аксиально - симметричного интервала в так называемой канонической форме (наиболее широко используемой в настоящее время), которая позволила существенно упростить вид полевых уравнений. Известным решением, принадлежащим классу Папапетру, является метрика Ньюмена - Унти - Тамбурино (НУТ) [19], которая, не обладая свойством асимптотической плоскостности, все же некоторое время рассматривалась как стационарное обобщение решения
Шварцшильда.
В 1954 году Петров А.З. [20] предложил новый метод инвариантного исследования характеристик гравитационного поля, основанный на изучении алгебраической структуры тензора Римана. Анализ аксиально-симметричных полей в вакууме, основанный на методе Петрова, проводится в работах [21, 22].
Первое асимптотически плоское решение, описывающее гравитационное поле стационарно вращающегося аксиально-симметричного изолированного источника, было найдено в 1963 году Керром [23] при изучении алгебраически специальных вакуумных метрик однако лишь спустя четыре года после работы Бойера и Линдквиста [24] стала возможной его строгая физическая интерпретация. Теорема Робинсона [3] устанавливает, что метрика Керра - единственное асимптотически плоское стационарное аксиально - симметричное решение уравнений Эйнштейна в вакууме, имеющее гладкий и выпуклый горизонт событий.
Новый метод нахождения точных аксиально-симметричных решений вакуумных уравнений Эйнштейна был предложен Эрнстом [25, 26]. Эрнст показал, что аксиально-симметричное стационарное решение вакуумных уравнений Эйнштейна может быть записано в терминах единственной комплексной функции, удовлетворяющей нелинейному дифференциальному уравнению второго порядка. А любое стационарное аксиально-симметричное решение уравнений Эйнштейна-Максвелла Эрнст [26] описал в терминах пары комплексных функций, удовлетворяющих системе двух нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка.
Пользуясь симметричным видом уравнений Эрнста [25], Томиматсу и Сато [27, 28] построили новый класс решений, зависящий от целочисленного параметра дисторсии. В статическом случае решение Томиматсу-Сато переходит в решение Зипоя [29] с соответствующим параметром дисторсии.
Во второй половине 70-х годов быстрыми темпами начали развиваться методы генерирования точных решений, основанные на использовании внутренних симметрии уравнений Эйнштейна. Начало этому направлению было положено работами Элерса [30], Освача [31] и Харрисона [32], а вклад в дальнейшее развитие внесли несколько исследователей, разрабатывавших в основном три различных подхода.
Теоретико-групповой метод, с помощью которого можно генерировать новые метрики, содержащие произвольное число параметров, был введен Герочем [33, 34] и Киннерсли [35], а затем развит в работах Киннерсли и Читра [36, 37, 38]. Основные достижения этого подхода связаны с отысканием группы непрерывных преобразований Хоенсела-Киннерсли-Ксантополуса (ХКК) [39], с помощью которых был построен ряд асимптотически плоских стационарных метрик [40]-[46].
Второе направление начало развиваться на пути применения к уравнениям Эйнштейна метода обратной задачи рассеяния. В основополагающих работах Белинского и Захарова [47, 48] данным методом было найдено хорошо известное теперь N-солитонное решение, подробный анализ которого приведен в [49]. Явная детерминантная форма вакуумных солитонных решений была получена Алексеевым [50]. Метод обратной задачи рассеяния разрабатывается в настоящее время представителями различных гравитационных школ [51, 52, 53, 54].
Третий подход использует для генерирования новых точных решений преобразования Бэклунда, существование которых для случая стационарных аксиально-симметричных вакуумных полей было доказано Харрисоном [55] и Нойгебауэром [56]. Преобразования Бэклунда, теория которых для уравнений Эйнштейна получила дальнейшее развитие в работах [57, 58, 59], позволяют генерировать новые стационарные вакуумные решения, содержащие произвольное число параметров [60]. Наиболее известный результат, полученный данным методом — решение Крамера-Нойгебауэра [61], описывающее нелинейную суперпозицию двух керровских масс, разнесенных по оси симметрии. Это решение было обобщено позднее Ямазаки на случай N вращающихся масс [62], которые, по его мнению, удерживаются в равновесии благодаря тому, что гравитационное притяжение компенсирует отталкивание, обусловленное вращением. Взаимозависимость и математическая эквивалентность всех трех указанных подходов генерирования точных решений была установлена Косгровом [63].
Метод вариации постоянных, предложенный в работе [64], позволяет находить новые асимптотически плоские метрики, содержащие произвольное число действительных параметров. Среди метрик, полученных данным методом, большой физический интерес представляют найденные совсем недавно точные решения уравнений Эйнштейна, переходящие в метрику Шварцшильда в статическом пределе [65]- [87].
Анализ мультипольной структуры конкретных метрик открывает широкие перспективы для более детального физического исследования в области точных решений уравнений гравитации. Начало этому исследованию было положено в работах Героча [88] и Хансена [89]. Хоенсела [90] сумел найти рекурентные соотношения, необходимые при вычислении релятивистских мультипольних моментов произвольной стационарной вакуумной аксиально-симметричной деформированной массы.
В настоящее время поиск решений с произвольной мультипольний структурой является одним из основных направлений деятельности исследователей в области точных решений, но можно определенно сказать, что на пути получения общего стационарного аксиально-симметричного решения уравнений Эйнштейна предстоит преодолеть еще очень много математических трудностей. С такими поисками непосредственно смыкается и работа по отысканию наиболее широкого класса преобразований, позволяющего генерировать решения из заданных метрик [91, 92]. С другой стороны, возрастает актуальность получения новых частных метрик, представляющих интерес для конкретных астрофизических приложений (к примеру, большое значение имело бы построение реалистичной суперпозиции метрик Керра с безмассовым магнитным диполем). В связи с вышесказанным трудно не согласиться с мнением известного американского специалиста Киннерсли [93], который, анализируя перспективы развития различных методов интегрирования уравнений Эйнштейна, отводит точным решениям приоритетную роль.
В последние годы трансформационные теоремы и преобразования симметрии стали наиболее эффективными методами для получения новых решений и для понимания существующей связи между старыми решениями. Объем внутренней симметрии, содержащийся в уравнениях поля, поразительно велик и никто еще полностью не осознал всего его основания [93]. Главной областью применения преобразования симметрии является класс стационарных аксиально-симметричных полей Эйнштейна-Максвелла. Среди решений, полученных с помощью преобразований симметрии и трансформационных теорем, можно привести, например, решение Боннора [94] для поля массивного магнитного диполя, "иамагниченные"решения Шварцшильда, Керра, Керра-Ньюмена [95], найденные Эрнстом [96] и Уайлдом [97], вселенная Мелвина [98], класс асимптотически плоских электровакуумных решений Херльта [99], [100].
Полный перечень всех известных точных решений уравнений Эйнштейна дан в обзорных работах [4, 93, 101, 102].
В настоящее время усилия исследователей в области точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла концентрируются на двух направлениях. Одно направление стремится показать, что единственно приемлемым физическим аксиально-симметричным стационарным электровакуумным решением является заряженное поле Керра [95]. Второе направление стремится, с одной стороны, найти наиболее широкий класс преобразований, позволяющий генерировать новые решения из заданных, а с другой стороны, найти новое оригинальное точное решение, не являющееся результатом применения простейших преобразований симметрии к уже известным решениям. В области точных решений уравнений ОТО наиболее важной остается проблема нелинейной суперпозиции известных решений, например, суперпозиция двух произвольных стационарных аксиально-симметричных решений уравнений Эрнста.
Отметим также большую важность и значимость, которую приобретает разработка программ и применение электронных вычислительных машин для получения и анализа новых точных решений уравнений Эйнштейна. С результатами по применению ЭВМ к задачам ОТО можно ознакомиться, в частности, в работах [103,104,105].
Целью данной диссертации является разработка математических методов, позволяющих находить новые аксиально-симметричные решения стационарных вакуумных уравнений Эйнштейна и статических уравнений Эйнштейна-Максвелла.
Диссертация состоит из четырех глав. Первая глава посвящена основным уравнениям гравитационного поля. Рассматривается метрика Льюиса-Папапетру и приводятся разные формы вакуумных уравнений Эйнштейна в случае аксиальной симметрии. Вторая глава посвящена описанию известных частных решений статических аксиально-симметричных вакуумных уравнений Эйнштейна. Схема изложения материала основана на рассмотрении различных методов решения уравнений гравистатики Эйнштейна. Также проведен подробный анализ евклидонных решений. В третьей главе единым образом изложены различные классы решений аксиально-симметричных стационарных вакуумных уравнений Эйнштейна. Методом вариации постоянных для стационарных уравнений Эйнштейна получено новое аксиально-симметричное решение, представляющее собой нелинейную суперпозицию решения Керра со статическим полем Вейля, которое есть, в свою очередь, суперпозиция обобщенного решения Шази-Керзона и решения Зипоя. Частным случаем является решение, которое в отсутствии вращения переходит в обобщенное решение Шази-Керзона. В четвертой главе рассматривается теорема Боннора для аксиально-симметричных стационарных полей Эйнштейна. Методом вариации постоянных для статических уравнений Эйнштейна-Максвелла получено новое точное аксиально-симметричное решение, представляющее собой нелинейную суперпозицию решения Боннора со статическим полем Вейля, которое есть, в свою очередь, суперпозиция обобщенного решения Шази-Керзона и решения Зипоя. Частным случаем является решение, которое описывает массу, обладающую аксиально-симметричным распределением заряда, и которое, кроме того, в отсутствии электромагнитного поля переходит в обобщенное решение Шази-Керзона.
Результаты исследований, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры теоретической физики Российского университета дружбы народов, на 40-й научной конференции Факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (19-23 апреля 2004 г.), на международном семинаре, посвященном 75-летию профессора Николая Александровича Черникова (Дубна, 25-27 февраля 2004 г,).
1 Основные уравнения стационарных аксиально-симметричных гравитационных полей
Разные формы уравнений стационарного аксиально-симметричного поля и трансформационные теоремы
Все стационарные аксиально-симметричные вакуумные поля описываются метрикой Папапетру (1.1.29), где метрические функции /,ш удовлетворяют системе нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (1.1.31), (1.1.32). Для нахождения новых стационарных аксиально-симметричных решений уравнений Эйнштейна в вакууме полезным оказывается приведение системы уравнений (1.1.31), (1.1.32) к другим формам. Иногда удобно переходить к вытянутым эллипсоидальным координатам (ж, у), которые связаны с каноническими координатами Вейля соотношениями (1.2.1) ) Существует две возможности записать уравнения (1.1.31) в безкоординатной форме. 1. Если перейти от потенциала вращения и к новому потенциалу Ф по формулам (1.2.9) или Б вытянутых эллипсоидальных координатах dz ар Рассмотрим аналог системы (1.2.15) в вытянутых эллипсоидальных координатах (х, у). Вид функций дает нам с помощью уравнений (1.2.13) следующую эквивалентную систему из четырех дифференциальных уравнений первого порядка где є — комплексное сопряжение К Є. Дальнейшее преобразование (1.2.19) ведет еще к одной возможности записать уравнения стационарного аксиально-симметричного гравитационного поля: Для уравнения (1.2.19) мы можем доказать следующую теорему [33]. ТЕОРЕМА 1. Если є — решение уравнения (1.2.19), то тогда функции где Ар, Вр,Ср и Dp — произвольные действительные константы (AQDQ + ВрСр ф 0), также удовлетворяют уравнению (1.2.19). Доказательство этой теоремы несложно, если прямо подставить (1.2.22) в соответствующее уравнение (1.2.19).
Из формул (1.2.22) с помощью (1.2.18) можно получить где / и Ф удовлетворяют уравнениям (1.2.11). Должно быть отмечено, что, если мы в (1.2.23) подставим Ар = Ер = 0, Бо = Со = 1, то получим преобразование Элерса [113] (см. также [93]): является частным случаем формул (1.2.22), соответствующим выбору 5Q — Со = і?о = 0, Ло = А)- В Этом случае формулы (1.2.23) принимают вид: Заметим, что обратное преобразование оставляет метрическую функцию 7 неизменной, то есть 7 = 7 Другой частный случай формул (1.2.22) — это преобразование с постоянной фазой [25]. где ао — действительная константа, а функция определена согласно (1.2.20). Это позволяет нам получить новые решения уравнения Эрнста (1.2.21) из старых. 2. Замена / = pjF в уравнениях (1.1.31) дает нам Систему двух дифференциальных уравнений второго порядка (1.2.28) также можно свести к системе четырех дифференциальных уравнений первого порядка. Если мы введем то получим систему уравнений (1.2.13). Заменой функций перепишем формулы (1.2.28) в симметричной форме Для уравнений поля (1.2.31) и (1.2.28) можно доказать теоремы, аналогичные (1.2.22) и (1.2.23). Так, для уравнения (1.2.31) мы имеем следующую теорему. ТЕОРЕМА 2. Если ё\ и ё2 — решение уравнений (1.2.31), то функции где F и й удовлетворяют уравнению (1.2.28). Отметим, что уравнения электростатического поля по форме эквивалентны уравнениям (1.2.31), если потенциалы є\ує2 положить где fj , A4 - гравитационный и электростатичесий потенциалы. Также уравнения магнитостатического поля по форме эквивалентны уравнениям (1.2.31), если потенциалы і,2 положить равными где /тозі4$ " гравитационный и магнитный твист потенциалы. Магнитный потенциал Аз связан с A!z следующим образом: Соотношения (1.2.34),(1.2.35) позволили Боннору [114] сформулировать теорему, которая устанавливает связь между решениями стационарных вакуумных уравнений Эйнштейна и решениями статических уравнений Эйнштейна-Максвелла.
Поэтому, если найдено какое-то решение (/ , Ф ) стационарных вакуумных уравнений Эйнштейна, то мы можем и для электростатических (магнитостатических) уравнений Эйнштейна-Максвелла записать решение в виде Это удается сделать при условии, что fst и Ф5г содержат параметр, комплексное продолжение которого обеспечит вещественность величин fel(mag) И А4, (A3). Данная глава посвящена вопросам, связанным со статическими аксиально-симметричными вакуумными полями Эйнштейна. В первом параграфе рассматриваются уравнения Вейля и приводится решение статических уравнений гравитации, полученное Вейленом. Во втором параграфе рассмотрено решение класса Вейля, которое включает в себя (как частные случаи) все известные в настоящее время решения этого класса и выгодно отличается от решения Вейлена. Уравнения Вейля для статического аксиально-симметричного гравитационного поля получаются из уравнений Эйнштейна, описыващих стационарные вакуумные гравитационные поля с аксиальной симметрией, если в них приравнять к нулю потенциал ш, характеризующий вращение. Метрика Вейля и соответствующие ей уравнения поля имеют вид [8]: (2.1.1) (2.1.2) (2.1.3) причем интегрируемость системы (2.1.3) обеспечивается выполнением уравнения (2.1.2). Ведем замену / = е2ф. (2.1.4) Уравнение (2.1.2) при этом принимает вид ДФ = 0, (2.1.5) а уравнения (2.1.3) запишутся следующим образом:
Решение уравнений Вейля с учетом сингулярных источников
Первая часть уравнения (2.1.7) приравнена к нулю, хотя в действительности она должна содержать некоторую сингулярную функцию, характеризующую распределение 5-образных источников. Обозначим через o{p,z) массовую плотность таких источников и перепишем (2Л.7) в виде Это уравнение имеет решение где г - радиус-вектор точки наблюдения, а штрихованные координаты описывают распределение масс. В координатах p,z, p мы имеем случае Так как левая часть (2.2.3) не зависит от р (мы рассматриваем аксиально-симметричные задачи), положим под интегралом tp = 0. Если положить В таком случае выражение (2.2.5) приобретает вид Рассмотрим частные случаи. 1. Пусть JQ(Z ) = 1. Таким выбором мы получим решение Если теперь перейти от координат В ей л я (р, г, р) к сфероидальным координатам (Л, /?, (р) по формулам а от них - к координатам кривизн (г, #, р) получим решение Шварцшильда 2. cr0(z ) — ( = const. В этом случае мы получим решение Зипоя [29] 3. (TQ(Z) = - , где (.г ) - дельта-функция Дирака. Интегрирование (2.2.6) в этом случае дает 4. сто (г) = y[z), где функция 7( ) имеет вид которое называется евклидоном и соответствует плоскому пространству-времени, так как в этом случае все компоненты Тензора Римана обращаются в нуль. и введем следующие обозначения: Е — положительно смещенный евклидон, Е к — отрицательно смещенный евклидон, EQ — несмещенный евклидон (при Wk = 0); где Wk — положительная постоянная, представляющая собой величину смещения, а к — номер смещенного евклидона (используемый из соображений удобства записи). Для обеспечения наглядности анализа решения (2.3.1) полезно ввести некоторое геометрическое отображение евклидонов. Поскольку смещение решений происходит только по координате z, то удобно отображать решения положением смещения Wk по оси z относительно текущей координаты z. В соответствии с такой интерпретацией положительно смещенный евклидон Ецг будет отображаться смещенной в положительном от текущей координаты z направлении точкой, Отрицательно смещенный евклидон Ew будет отображаться точкой, смещенной на Wk в сторону уменьшения z} а записать это решение можно как Несмещенный евклидон "о будет располагаться прямо на текущей координате z.
Аналитическое выражение для EQ будет следующим: Поскольку уравнение (2.1.5) линейно, то всякая линейная комбинация решений этого уравнения также будет его решением. Такое решение можно записать как к где Ецгк - евклидон с произвольным смещением, Ck - константы, принимающие значения либо +1 , либо -1. Следует отметить, что исследование несмещенного евклидона в комбинации со смещенным ничего существенно нового дать не может, поскольку EQ = Ew при W = 0. Анализируя таблицу, которую легко продолжить для большего числа евклидонов как четного, так и нечетного, можно заметить, что решения, отвечающие требованию физической реальности, могут быть построены только из четного числа евклидонов, независимо от направления их смещения. При этом на Ck должны быть наложены дополнительные ограничения: количество Ck = +1 должно равняться количеству Cfc = — 1. Только в этом случае построенные решения будут отвечать требованию асимптотической плоскостности. Определим общие правила построения евклидовых решений: 1. к = 2п, где п - натуральное число, т.е. число евклидонов должно быть четным. 2. ХЗ &к = 0, т-е. количество членов линейной комбинации со знаком + должно уравновешиваться равным количеством членов со знаком - . В простейшем возможном случае, когда в построении решений участвуют только два евклидопа или одна пара евклидонов, можно получить только два решения. Для двух евклидонов Для такой линейной комбинации есть лишь два варианта выбора значений:
В общем случае число решений, удовлетворяющих требованию асимптотической плоскостности, стремительно растет с ростом числа пар евклидонов, используемых при построении решений. Количество таких решений определяется формулой где 5 - число решений, отвечающих требованию асимптотической плоскостности; JV - число пар евклидонов, используемых при построении решений. С помощью формулы (2.3.7) легко определить, что уже при 6 парах евклидонов число возможных решений достигает 924. Поэтому было бы желательно установить общие тенденции поведения построенных таким образом решений на примерах для меньшего числа пар евклидонов. Для получения конкретных решений при различных iV можно построить матрицы знаков (Табл. 2,3) для значений С (+1 или -1): а) N = 1. Число возможных решений 5 = 2. б) ЛГ = 2. Число возможных решений 5 = 6. Двухевклидонные решения. Решение Si Для этого решения Сі = — 1
Метод суперпозиции решения Керра с произвольным стационарным полем Эйнштейна
Таким образом, формулы (3.4.20) и (3.4.21) определяют асимптотически плоское стационарное решение, отличное от решения Керра и содержащее 2 параметра т и а. Оно переходит в решение Шварцшильда, если положить параметр вращения а — 0. Если положить S = —1, a = —/3, то (3.4.19) определяют ассимптотически плоское стационарное решение, которое при отсутствии вращения (а — 0) переходит в обобщенное решение Шази-Керзона. В главе 3 (3.4) мы рассматривали суперпозицию решения Керра с произвольным стационарным вакуумным полем Эйнштейна, что позволяет получать физически интересные решения. Можно предположить, что подобная процедура нелинейной суперпозиции в случае статических полей Эйнштейна-Максвелла также приведет к физически приемлемым метрикам. Вид суперпозиционных формул (3.4.4) и (3.4.5)-(3.4.8) указывает нам возможность их переписания для случая статических электровакуумных полей с помощью теоремы Боннора. Для этой цели перепишем (3.4.4) в следующем виде: где = f + гФ определяет известное решение уравненй Эрнста.
Теперь для (4.1.1) и выражения для є применим комплексное продолжение для функций а и 6, ведущее к действительным потенциалам є і и єг в форме где є и eg удовлетворяет уравнениям При этом из системы (3.4.5)-(3.4.8) для а и Ъ порождается система дифференциальных уравнений для функций А и В: [-( 2 - i) i + to + і)Щ(і - 2) + 0 + y)(i + А2)Ф5,}, Дх = а функция Ф — либо электрический потенциал А\ (в случае электростатики) или магнитный твистпотенциал А$ (в случае магнитостатики). Формулы (4.1.2) — (4.1.5) описывают суперпозицию решения Боннороа с любым статическим аксиально-симметричным полем Эйнштейна. Так как уравнения (4.1.4) — уравнения Рикатти, то их интегрирование в общем случае — сложная проблема. Поэтому будем рассматривать формулы суперпозиции при Ф = 0, т.е. мы выбираем фоновую метрику среди вакуумных решений Вейля. В этом случае выражение (4.1.2), (4.1.4) принимают вид В пределе а, р — 0 приходим к следующему решению Вей ля: Используя теорему симметрии ДЛЯ Єї = i/J + Л4, Є2 = \ff — A4 приходим к новому классу электростатических асимптотически-плоских реншений: Рассмотрим два частных случая полученной серии решений, которые при отсутствии электрического поля переходят в решение Шварцшильда. 1) Пусть AQ = Do — 0, BQ — Со, S = —1/2, CQ = do 0. Тогда для є\ и 2 находим где к и М — действительные константы, асимптотическое поведение функций / и А\ имеет следующий вид причем М — полная масса, a Q — полный заряд, который дается выражением
Таким образом, решение (4.1.14), (4.1.15) может описывать Шварцшильдовскую черную дыру, обладающую аксиально-симметричным распределением заряда. Представляет интерес частный случай этого решения при условии Р = — а. Действительно, в таком случае заряд Q равен нулю a Aj на асиптотике ведет себя как г-2, что соответствует гравитационному полю массивного электрического диполя. Вспоминая, что полученные формулы дйствительны и для магнитостатики, мы находим из (4.1.14) и (4.1.15) при /3 = —ее магнитостатическое решение, описывающее гравитационное поле массы, обладающей магнитным дипольным моментом: асимптотическое поведение функций /, Лз и 7 при г — оо дается выражениями
Суперпозиция решения Боннора с произвольным полем Эйнштейна-Максвелла
Сформулируем основные результаты, полученные в настоящей диссертационной работе. 1. Из уравнений Вейля для вакуумного аксиально-симметричного гравитационного поля получена различными методами основная часть известных статических решений. 2. В координатах кривизн проведен графический анализ евклидонных статических решений. 3. Единообразно получены основные классы аксиально-симметричных стационарных уравнений Эйнштейна. 4. Методом вариации постоянных для стационарных уравнений Эйнштейна получено новое аксиально-симметричное решение, представляющее собой нелинейную суперпозицию решения Керра со статическим полем Вейля, которое есть, в свою очередь, суперпозиция обобщенного решения Шази-Керзона и решения Зипоя. Частным случаем является решение, которое в отсутствии вращения переходит в обобщенное решение Шази-Керзона. 5. Методом вариации постоянных для статических уравнений Эйнштейна-Максвелла получено новое точное аксиально-симметричное решение, представляющее собой нелинейную суперпозицию решения Боннора со статическим полем Вейля, которое есть, в свою очередь, суперпозиция обобщенного решения Шази-Керзона и решения Зипоя. Частным случаем является решение, которое описывает массу, обладающую аксиально-симметричным распределением заряда, и которое, кроме того, в отсутствии электромагнитного поля переходит в обобщенное решение Шази-Керзона. [1] Новиков И.Д., Фролов В,П. Физика черных дыр.- М.: Наука, 1986.-326с. [2] Зельдович Я.В., Новиков И.Д. Релятивистская астрофизика.- М.: Наука, 1967.- 656с. [3] Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр: в 2 частях.-М.: Мир, 1986.- 2 ч. [4] Крамер Д., Штефани X., Мак-Каллум М., Херльт Э., Точные Решения Уравнений Эйнштейна.- М.: Энергоиздат, 1982- 416с. [5] Schwarzschild К. Uber das Gravitationsfield eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie //Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss- 1916.-V.B7.- P.189. [6] Birkhoff G.K. Relativity and Modern Physics.- Cambridge: Harvard University Press, 1923,- 255p. [7] Israel W. Event horizons in static vacuum spaceimes //Phys.Rev.-1967.- V.164.- P.1776-1779. [8] Weyl H. Zur Gravitationstheorie //Annal. Physik.- 1917.- V.54.- P.117-145. [9] Weyl H. Bemerkung uber die axialsymmetrischen Losungen der Einsteinschen Gravitationsgleichmmgen //Ann. Physik.- 1919.- V.B59.-P.185. [10] Chazy J. Sur le champ de gravitation de deux masses fixes dans la theorie de la relativite //Bull. Soc. Math. France.- 1924.- V.52.- P. 17-38. [11] Curzon H.E.J. Cylindrical solutions of Einstein s gravitational equations //Proc. London Math. Soc- 1924.- V.23.- P.477-480. [12] Waylen P.C. The general axially symmetric solution of Einstein s vacuum equations //Proc. Roy. Soc. London.- 1982.- V.A382.- P.467-470. [13] Erez G., Rosen N. The gravitational field of a particle possessing a multipole moment //Bull. Res. Council Isr.- 1959.- V.F8.- P.47-50. [14] Gutsunaev Ts. I., Manko V.S. On the Gravitational Field of a Mass Possessing a Multipole Moment //Gen. Relat. Grav.- 1985.- V.17,- P. 1025-1027. [15] Quevedo H. On the Exterior Gravitational Field of a Mass with a Multipole Moment //Gen, Relat. Grav.- 1987.- V.19.- №10,- P.1013-1023. [16] Lewis T. Some Special Solutions of the Equations of Axially Symmetric Gravitational Fields //Proc. Roy. Soc. London.-1932.- V.A136,- P. 176-192. [17] Van Stockum W.J. The Gravitational Field of a Distribution of Particles Rotating About an Axis of Symmetry //Proc. Roy. Soc. Edinburgh.- 1937.- V.A57.- P.135-154. [18]
Papapetrou A. Eine Rotationssymmetrische Losung in der Allgemeinen Relativitatstheorie //Anna]. Physik.- 1953.- V.12.- P.309-315. [19] Newman E.T., Tamburino L., Unti T. Empty-Space Generalization of the Schwarzchild Metric //J, Math. Phys,- 1963.- V.4.- P.915-923. [20] Петров A.3. Пространства Эйнштейна.- M.: Гос.изд.физ.-мат.лит., 1961.- 464 с. [21] Collinson CD., Dodd R.K. Petrov classification of stationary axisym-metric empty spaceime //Nuovo Cimento.- 1968.- V.B62,- P.229. [22] Collinson CD., Dodd R.K. Symmetries of stationary axisymmetric empty spaceimes //Nuovo Cimento- 1971.- V.B3.- P.281. [23] Kerr R.P. Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics //Phys.Rev.Lett.- 1963.- V.1L- №5.- P.237-238. [24] Boyer R.H., Lindquist R.W. Maximal analytic extension of the Kerr metric //J.Math.Phys,- 1967.- V.8.- №2.- P.265-281. [25] Ernst F.J. New formulation of the axially symmetric gravitational field problem //Phys.Rev.- 1968.- V.167,- №5.- P.1175-1178. [26] Ernst F.J. New formulation of the axially symmetric gravitational field problem. II //Phys.Rev.- 1968.- V.168.- №5.- P. 1415-1417. [27] Tomimatsu A., Sato H. New exact solution for the gravitational field of a spinning mass //Phys.Rev.Lett.- 1972,- V.29.- №19.- P.1344-1345. [28] Tomimatsu A. Sato H. New series of exact solutions for gravitational fields of spinning masses //Prog.Theor.Phys.- 1973.- V.50.- №1.- P.95-110.
