Содержание к диссертации
Введение
1 Вспомогательные понятия для построения полевой теории струн и гипотезы Сена 16
1.1 Первично квантованые струны 16
1.2 Струнное умножение 28
1.3 D - браны 32
1.4 Гипотезы Сена 32
2 Формулировка полевой теории ферминной струны 37
2.1 Полевая теория фермионой струны 37
2.2 Решение уравнения движения типа "чистая" калибровка . 41
2.3 Пертурбативное решение матричного уравнения движения 43
3 Полуструнный формализм 48
4 Решение уравнений движения полевой теории фермионной струны 60
4.1 Тахионное решение 60
4.2 Регуляризация тахионного решения 62
5 Эквивалентность неполиномиальной и кубической полевых теорий 70
6 Решение уравнения движения полевой теории суперструны 77
6.1 Решение без фантомных слагаемых 77
6.2 Проверка 1-й и 3-й гипотезы Сена 80
6.3 Чисто калибровочные решения и фантомные слагаемые 83
6.4 Эквивалентность решений с фантомными слагаемыми и без них 85
Заключение 88
Литература 94
- Струнное умножение
- Решение уравнения движения типа "чистая" калибровка
- Регуляризация тахионного решения
- Проверка 1-й и 3-й гипотезы Сена
Введение к работе
Одним из важнейших достижений теоретической физики прошлого века является построение локальной квантовой теории поля [1], которая описывает взаимодействие точечных объектов. Возникает естественный вопрос о возможности построения аналогичной теории для протяженных объектов, в частности, струн [2, 3]. Ответ на этот вопрос дает полевая теория струн.
Первая полевая теория струн была предложена в работах Каку, Кик-кавы и Креммера, Жерве, в которых они сформулировали полевую теорию струн в калибровке светового конуса [4, 5]. Особенностью этой теории было то, что предполагалась, что струны взаимодействуют своими концами. Вычисления проведенные в этой теории показали, что она правильно воспроизводит амплитуду Венециано [6]. Вскоре Грином и Шварцем была построена полевая теория суперструны также в калибровке светового конуса [7]. Важным результатом, полученным с помощью струнной теории поля в калибровке светового конуса, было наблюдение Грина и Шварца о том, что для калибровочной группы 50(32) происходит сокращение аномалий. После работы Грина и Шварца было сделано много попыток построить свободное ковариантное действие для струнной теории поля. Зигель [8] в 1985 году, основываясь на БРСТ формализме,
Введение. 4
предложенным в 1983 году Като и Огава [9] для первично квантованной струны, предложил полевую теорию бозонной струны в фиксированной калибровке. В 1986 году Хата, Ито, Куго, Кунитомо и Огава [10] построили ВРСТ инвариантную полевую теорию взаимодействующих струн в фиксированной калибровке. Особенность этой теории состояла в том, что в ней появлялся дополнительный параметр - длина струны, это происходило от того, что предполагалось, что струны склеиваются концами. В том же году Арефьевой и Воловичем [11] на основании [10] была предложена калибровочно-инвариантная теория открытой бозонной струны с взаимодействием.
Следующим этапом (1986 год) в развитии полевой теории струн стала работа Виттена [12], в которой была предложена калибровочно-инвариантная полевая теория взаимодействующих открытых бозонных струн. Характерным свойством этой теории является то, что взаимодействие описывается "топологическим действием" типа действия Черна-Саймонса на некоторой бесконечно-мерной ассоциативной, некоммутативной алгебре. В отличии от всех предыдущих попыток построения бозонной теории струн, теория предложенная Виттеном не содержала дополнительного параметра - длины струны, так как все струны до взаимодействия и после имели одинаковую длину. Это достигалось с помощью того, что струны взаимодействуют не концами, а целыми своими половинами. Действие Виттена правильно воспроизводило амплитуду Венециано. Дальнейшие попытки обобщения этого действия на случай суперструны [13] приводили к трудностям, в частности не воспроизводились амплитуды рассеяния уже на древесном уровне [14]. Эти трудности были преодолены в 1987 году И. Я. Арефьевой, А. П. Зубаревым, П. Б. Медведевым [15]
Введение. 5
и независимо С. Преитшопфом, Ч. Торном, С. Йостом [16]. В [15, 16] было предложено кубическое действие полевой теории суперструн, которое в отличии от [13] использовало 0-картину (детали см. в Главе 2). Предложенная модифицированная теория не имела расходимостей на древесном уровне и воспроизводила суперсимметричное обобщение амплитуды Венециано [15, 16]. В 1995 году Н. Беркович [17] предложил неполино-миалыюе действие для полевой теории супеструн. В 1999 году в работе Н. Берковича, А. Сена и Б. Цвибаха [18] неполиномиалыгое действие Бер-ковича для суперструны было обобщено на случай фермионной струны, которая в отличии от суперструны, содержащей только ГСО(+) сектор, содержит ГСО(+) и ГСО(—) сектора [19]. Вскоре после этого в 2000 году И. Я. Арефьевой, Д. В. Беловым, А. С. Кошелевым и П. Б. Медведевым [20] было предложено кубическое действие для полевой теории фермионной струны, содержащей также оба сектора.
С момента создания полевых теорий струн были неоднократные попытки решить соответствующие уравнения движения. Различные решения классических уравнений движения полевой теории струн, по-видимому, находятся в соответствии с различными конформными граничными условиями.
Открытая бозонная струна имеет в своем спектре тахион - частицу с отрицательным квадратом массы, что приводит к нестабильности пер-турбативного вакуума. А. Костелецкий и С. Самуэль [21] в 1990 году предложили использовать полевую теорию струн для описания возникновения непертурбативного вакуума и конденсации тахиона. Поскольку в то время не было известно аналитического решения уравнения движения полевой теории бозонной струны, в своих вычислениях авторы [21]
Введение .
использовали метод обрезания по уровням, то есть в вычислениях участвовали только поля с массой не более какого-то заданного значения М. Уже на низших массовых уровнях было показано, что последовательное обрезание при все больших и больших значениях М дает систематическую аппроксимацию для эффективного потенциала тахиона. Более того, в такой схеме вычислений оказалось, что эффективный потенциал тахиона в бозонной струне имеет нетривиальный минимум.
В 1999 году А. Сен [22] предложил интерпретировать конденсацию тахиона как распад нестабильной D-браны, к которой прикреплены концы струны. Более того, он предложил, что вакуумная энергия открытой бозонной струны в непертурбативном вакууме должна компенсировать натяжение нестабильной D-браны (более конкретно, разность энергий в непертурбативном и пертурбативном вакуумах должна быть равна натяжению нестабильной D-браны). Подтверждением этой гипотезы являются выполненные А. Сеном, Л. Растелли и Б. Цвибахом [23] вычисления для полевой теории бозонной струны, так же основанные на методе обрезания по уровням, а также последующие работы А. Сена о скатывающемся тахионе [24].
А. Сен также распространил свои гипотезы и на случай полевой теории фермионной струны. Проверка этих гипотез для неполиномиалыюй теории была сделана в работе Н. Берковича, А. Сена и Б. Цвибаха [25], используя метод обрезания по уровням. Для кубической теории вычисления были проведены в 2000 году И. Я. Арефьевой, Д. В. Беловым, А. С. Кошелевым и П. Б Медведевым [20]. Авторы [20] использовали метод обрезания по уровням и показали справедливость гипотез Сена уже на первых трех уровнях.
Введение. 7
Отметим, что в [26] была предложена вакуумная струнная теория поля, т.е. теория поля, которая описывала теорию в окрестности гипотетического вакуума. Решение уравнений движения в такой теории строились Д. Гроссом и В. Тейлором [27] с помощью так называемых сливеров.
Кроме численных вычислений, в струнной теории поля постоянно делались попытки найти аналитическое решение соответствующих уравнений движения. Основная трудность состояла в том, что струнное умножение простейших струнных функционалов приводило к функционалам, содержащим бесконечное число струнных возбуждений. В 1988 году Д. Гросс и А. Жевицкий предложили, осцилляторный подход к описанию струнного умножения. Были и другие попытки описания струнного умножения, был предложен подход, основанный на использовании к-базиса, который развивался в работах Б. Цвибаха, Д. Белова, С. Ловласа и др. Так же были предложения интерпретировать струнное умножение как мояловское произведение, этот подход развивался в работах Т. Эрле-ра, И. Барса и др. Значительный прогресс в описании струнного произведения был достигнут 2000-х годах в работах Д. Гросса, В. Тейлора и др., в которых был предложен так называемый полу-струнный формализм.
Новый этап в развитии струнной теории поля начался в 2005 году после работы М. Шнабла [41], в которой он построил первое аналитическое решение уравнения движения для бозонной струной теории поля. Для построения решения Шнаблом было выдвинуто две важных идеи. Первая идея состояла в том, чтобы искать решение на подпространстве веджевских состояний - струнных полей специального вида [42, 48]. Ве-джевские состояния 0,а характеризуются тем, что они образую коммутативную подалгебру в алгебре струнных полей относительно струнного
Введение. 8
произведения (^-произведения) и имеют простой закон умножения
Па*& = Па+Р. (1)
Вторая идея - использовать специальные координаты для струнных мировых листов. Чтобы получить эти координаты надо перейти от верхней полуплоскости к цилиндру с помощью отображения z = arctanz [42], [75]. Решение Шнабла для бозонной струны имеет вид [41]:
N \
Ф= lim
JV->oo
<-v* , (2)
га=0 /
где фп = FcBQ,ncF и ф'п = FcBKQ,ncF (обозначения см. ниже Глава 3). Полученное решение удовлетворяет условию Д)Ф = 0 которое называется калибровкой Шнабла. Оказалось, что полученное решение удовлетворяет двум гипотезам Сена, на этом основании построенное решение описывает тахионный вакуум. После работы Шнабла появился ряд работ, в которых решение Шнабла записывалось более простыми способами [44, 45, 46]. Также значительная часть работ была посвящена выяснению смысла, так называемого "фантомного" слагаемого ф^. Выяснилось, что при некоторых вычислениях, таких как проверка гипотез Сена, вычисление амплитуд и т.д. слагаемое фм дает вклад, а в некоторых нет [47].
Вскоре после работы Шнабла были получены решения струнно-полевых уравнений движения, описывающие маргинальные деформации для бозонной струны [48, 49, 50, 55, 60], а так же решения описывающие маргинальные деформации в неполиномиальной теории суперструны [52, 53, 54, 56].
В 2007 году Т. Эрлером было построено решение уравнения движения
Введение. 9
в кубической полевой теории суперструны [57]. Решение имеет вид
*=&ЦЙ-^-Й-г, (3)
п=0 ч 7
где фп = FcBQncF, ф'п = FcBKQncF и Г = FBj2F. Оказалось, что это решение удовлетворяет двум гипотезам Сена: оно правильно воспроизводит натяжение D-браны и в окрестности этого решения нет возбуждений открытой струны. Этот результат казался удивительным, так как в полевой теории суперструны нет тахиона, который мог бы конденсироваться. В 2008 году в нашей работе [58] было построено решение уравнений движения кубической фермионной полевой теории струн. Полученное решение имеет вид (в отличии от решения (3) решение (4) явно содержит тахионную компоненту)
"; (4)
п=0
Было аналитически показано [58], что это решение также удовлетворяют первой гипотезе Сена при N —У со. В дальнейшем, это было подтверждено численными вычислениями [59]. Третья гипотеза для решения (4) была проверена в работе М. Кройтера и Е. Фукса [60]. Эти вычисления подтверждают, что полученное решение описывает настоящий тахионный вакуум. При этом возник вопрос является ли решение Эрлера [57] и наше решение [58] калибровочно эквивалентными? Этот вопрос до настоящего времени является открытым.
В 2008 году М. Кройтер и Е. Фукс [60] показали, что пеполиномиаль-ная теория суперструны эквивалентна кубической теории суперструны
Введение. 10
на классическом уровне. Для этого ими был введен нильпотентный оператор Р, который связывает поля в кубической Фсиъ и неполиномиальной Фпопрої суперструнной теории поля следующим образом:
Фпопрої = РФ cub- (5)
В том же 2008 году в наше работе с И. Я. Арефьевой и П. Б. Медведевым [61] было показано, что неполиномиальная теория фермионной струны эквивалентна кубической полевой теории фермионной струны. Мы предложили обобщить оператор Р и записать его в виде Р = Р<&<тз, где <7з является матрицей Паули. Тогда отображение в одну сторону имеет вид
Фпопрої = РФсиЬ, (6)
где Ф обозначает определенную композицию полей Ф± с подходящими матрицами Паули. В другую сторону отображение принимает вид
Фсиъ = G-^QG, (7)
где G = е попры и Q — Q сгз - матричный ВРСТ оператор.
В 2009 году М. Шнаблом и Т. Эрлером [62] было построено новое решение струнно-полевого уравнения движения. Оказалось, что решение также описывает тахионный вакуум бозонной полевой теории, т.е. было показано, что это решение удовлетворяет двум гипотезам Сена (первой и третьей). Это решение отличается от решения, полученного Шнаблом тем, что оно не содержит "фантомного" слагаемого и не требует регуляризации:
Ф = {-с + сКВс)—Х—-. (8)
1-А
Введение . 11
Оказалось, что новое решение не удовлетворяет калибровке Шнабла, а удовлетворяет более общей калибровке
0-(Ф(1-іО)г^ = 0, (9)
подробный смысл обозначений см. в Главе 2.
В 2009 году в нашей работе [63] решение Эрлера-Шнабла было обобщено на случай суперструны:
Ф = (-с - Б72 + сКВс)—-—. (10)
Как и в случае полученного Эр л ером решения, было показано, что это решение удовлетворяет двум гипотезам Сена, т.е. описывает непертурба-тивный вакуум суперструны. Также было показано, что решение Эрлера и новое решение связаны калибровочным преобразованием:
$Erler = U-l(new + Q)U. (11)
Оказалось, что как и в случае бозонной струны новое решение для суперструны удовлетворяет калибровке Эрлера-Шнабла:
tf-($(l-if))_L_ = 0. (12)
Интересно обобщить полученный результат на случай фермионной струны.
Введение .
Диссертационная работа имеет следующую структуру:
Струнное умножение
Для того, чтобы описать пространство струйных состояний1 мы используем стандартный формализм "in" и "out" состояний квантовой теории поля, адаптированный для нашей координатной системы. Для дальнейшего нам понадобится понятие примарного и квазипримарного поля: примарным полем называется поле ф(г), которое при преобразовании координат w = f(z) преобразуется следующим образом где h является конформной размерностью. Квазипримарным полем называется поле ф которое преобразуется по закону (1.30) при преобразовании координат w = . Глава 1. Вспомогательные понятия для построения полевой теории струн и гипотезы Сена27 Для квазипримарных полей A(z), "іп"-состояние определяется как Для "out -состояний, мы должны описать окрестность z — оо. Если мы определим z = —, тогда это будет точка w = 0. Отображение / : гу —) z = — является конформным преобразованием, при котором примарное поле A{z) преобразуется как Подставляя f(w) — , определим Естественно определить ги-М) Мы хотели бы определить (Д как эрмитово сопряжение состояния \А(П). Эрмитово сопряжение операторов веса h определено как Из определения (1.35), найдем --2h ТОТ факт, что тензор энергии-импульса и суперток являются эрмитовыми операторами может быть выражено используя (1.35) следующим образом: Глава 1. Вспомогательные понятия для построения полевой теории струн и гипотезы Села28 и или в терминах мод осциллятора: Условия на вакуум следуют из закономерности при z = 0. Разрешается только разложение по положительным степеням z, таким образом мы должны потребовать
Такое же условие для Нтщ- ОІТ -ш) и 11111 - )(01(7( ) дает Уравнение (1.42) означает, что "in -вакуум является 8Ь(2,С)-инвариантным. Остаток операторов Вирасоро создает нетривиальные "out -вакуум состояния. Только операторы которые уничтожают оба вакуума (0 и 0) (Аы,о и G±i) генерируют SL(2,C) подгруппу конформной группы: {C?i/2, G1/2} = .Li, {G_i/2, G_!/2} = L-\. Традиционно используют две координатные системы на струнном мировом листе. Первая, наиболее интуитивная использует время г є (—со, оо) и координату о Є [0,7г]. Эти переменные обычно объединяются в комплексную координату w = a + гт, определенную на полосе. Вторая координатная система, получаемая отображением z = —e lw, является наиболее удобной для вычислений в конформной теории поля, так как корреляционные функции на верхней полуплоскости легко могут быть найдены методом отображений. Для целей струнной теории поля наиболее удобной оказывается третья координатная система. Эта координатная система получается посредством отображения z = arctanz, которое отображает верхнюю полуплоскость (UHP) в полу-бесконечный цилиндр Сп с длиной окруж Глава 1. Вспомогательные понятия для построения полевой теории струн и гипотезы СенаЗО ности тт.
Конформная теория поля в этих новых координатах остается достаточно простой. Как и в случае верхней полу-плоскости, мы можем применить так называемый трюк удвоения ("doubling trick"), т.е. вместо верхней полу-плоскости использовать всю плоскость, при этом мы ограничимся рассмотрением только голоморфного сектора. Общая N-точечная корреляционная функция на цилиндре Сп может быть легко найдена в терминах корреляционной функции на верхней полуплоскости посредством отображения (здесь мы для простоты рассмотрим бозонную теорию) Поля ФІ(ХІ) определяются как координатные преобразования поля ФІ(ХІ) Одной из ключевых составляющих струнной теории поля является І -вершина [73] или же внутреннее произведение конформной теории поля [70], см. Рис. 1.1, которое определено как отображение V2 : %И —У М, где И является пространством струнных состояний где / : z — —1/z обратное отображение. Для состояний на цилиндре фі внутреннее произведение может быть переписан как Отметим, что в координатах z обратное отображение / : z —У —1/z становится просто трансляцией вдоль окружности / : z — z ± 7г/2.
Решение уравнения движения типа "чистая" калибровка
Оказывается, что уравнение движения (2.20) имеет простое решение. Это решение является чистой калибровкой и имеет следующий вид То, что это действительно решение легко проверить используя следующее свойство БРСТ оператора QI = 0, где / единичный оператор, Глава 2. Формулировка полевой теории ферминной струны 42 Из вида (2.21) видно, что для того, чтобы Ф было грассманово нечетным Q должно быть грассманово четным \Щ = 0, при этом мы учли свойства (2.16). Выражение для О, в компонентах имеет вид где калибровочные поля Q+ и Г2_ принадлежат ГСО(±) секторам. Воспользовавшись разложением (2.23) мы можем переписать решение урав-нения движения Ф в компонентах Используя только, что полученные результаты мы можем написать конечномерное калибровочное преобразование поля Ф в компонентах В матричных обозначениях два предыдущих выражения представляются в виде Глава, 2. Формулировка полевой теории ферминной струны 43 В этой секции мы будем искать решение уравнения движения (2.20). Решение будем искать в виде ряда с разложением по параметру Л, т.е. предположим, что поле Ф может быть записано в следующем виде В качестве решения уравнения (2.29) мы выбираем специальное решение вида где поля ф+ и ф- являются компонентами калибровочного поля ф и принадлежат соответственно ГСО(+) и ГСО(—) секторам. Отметим также, что поля ф+ и / _ имеют противоположные грассмановы четности. Мы уже вводили калибровочные поля ОиЛ, которые связаны друг с другом еле-дующим образом О, = е , ниже мы увидим, что калибровочное поле ф связано с Г2 как 1 = 1 — Хф. Мы используем три калибровочных поля Q, Л, ф поскольку в определенных случаях удобно пользоваться одним из них. Глава 2. Формулировка полевой теории ферминной струны 44 Во втором порядке по Л мы имеем Подставляя вместо фо его выражение в виде (2.30) получаем (здесь мы также используем правило Лейбница (2.14) для Q) мы получили минус в силу того, что \ф\ = 0.
Здесь мы также выбираем частное решение, т.е. предполагаем, что решение уравнения движения (2.33) принимает следующий вид Применяя эту же схему к остальным уравнениям, причем мы каждый раз выбираем частное решение, т.е. мы предполагаем, что четным \Щ = 0, при этом мы учли свойства (2.16). Выражение для О, в компонентах имеет вид где калибровочные поля Q+ и Г2_ принадлежат ГСО(±) секторам. Воспользовавшись разложением (2.23) мы можем переписать решение урав-нения движения Ф в компонентах Используя только, что полученные результаты мы можем написать конечномерное калибровочное преобразование поля Ф в компонентах В матричных обозначениях два предыдущих выражения представляются в виде Глава, 2. Формулировка полевой теории ферминной струны 43 В этой секции мы будем искать решение уравнения движения (2.20). Решение будем искать в виде ряда с разложением по параметру Л, т.е. предположим, что поле Ф может быть записано в следующем виде В качестве решения уравнения (2.29) мы выбираем специальное решение вида где поля ф+ и ф- являются компонентами калибровочного поля ф и принадлежат соответственно ГСО(+) и ГСО(—) секторам. Отметим также, что поля ф+ и / _ имеют противоположные грассмановы четности. Мы уже из выражение QX = 0 следует, что X = 0. В итоге мы получаем, что решение уравнения движения в порядке An+1 имеет вид тогда подставляя эти решения в выражение для Ф получаем Легко убедиться, что полученное нами решение имеет вид чистой калибровки (2.21). Действительно, введем О, = 1 — Хф, тогда (2.36) принимает вид чистой калибровки Глава, 2. Формулировка полевой теории ферминной струны 45 Ниже, где это не вызовет недоразумения, мы будем опускать . Полезно переписать выражение для Ф(А) через поля ф±
Регуляризация тахионного решения
Если мы станем вычислять действие на полученном решении, то получим, что оно равно нулю. В этом нет ничего удивительного, так как Глава 4. Решение уравнений движения полевой теории фермионной струны 63 полученное нами решение является чистой калибровкой при значении параметра Л 1. При значении параметра А = 1 наше решение теряет смысл. Подобная ситуация сложилась и в бозонной теории, и в теории суперструны, там для ее решения было предложено регуляризовать "чистую калибровку" при значении параметра А = 1 [41, 44, 45]. Метод регуляризации состоял в добавлении к "чистой калибровке" при А = 1 так называемых "фантомных слагаемых", при такой регуляризации действие принимало необходимое значение и уравнение движения спаренное с самим решением обращалось в ноль [77]. Мы предложили вводить регуляризацию не из необходимости получить необходимое значение действия, а из условия выполнения уравнения движения когда оно спарено с веджевским состоянием, ниже мы подробно это продемонстрируем на примере суперструны. Подобная процедура регуляризации была проведена и для решений Ф+, Ф_ [59]. Необходимость добавления "фантомных слагаемых" требовалась из необходимости удовлетворения уравнения движения в так называемом "сильном смысле" или в "слабом смысле" [59]
Первое условие - "сильный смысл", не дает всех необходимых условий для выбора коэффициентов перед дополнительными "фантомными" сла Глава, 4. Решение уравнений движения полевой теории фермионной струны 64 гаемыми. Второе же условие однозначно фиксирует коэффициенты, стоящие перед "фантомными" слагаемыми. Рассмотрим все выше сказанное на примере чистого ГСО(+) сектора, т.е. для кубической полевой теории суперструны, уравнение движения для которой имеет вид (Ф(Л)+ = Ф(Л)) Решение этого уравнения было получено в работе [57] и имеет вид где Здесь для удобства мы выделили часть Г из ср 0. Рассмотрим частичную суммы бесконечного ряда (4.12) и проверим выполняется ли уравнение движения (4.11) в слабом смысле на состоянии фт где Глава, 4. Решение уравнений движения полевой теории фермионной струны 65 Для вычисления выражения (4.15) мы воспользуемся приведенными ниже корреляторами [45] (подробное вычисление некоторых корреляторов приведено в Приложение А): Подставляем нужные корреляторы из таблицы (4.17) в (4.15) получаем Заметим, что мы получили ответ не зависящий от га. Устремляя N — оо при А 1 мы получаем для произвольного гтг другими словами, при Л 1 струнное поле Ф+(А) решает уравнение движения, когда оно спарено с произвольным состоянием из подпространства ({(рт}): натянутого на вектора (рт. Этот факт является естественным для решения полученного итерацинной процедурой. Заметим, что если мы рассматриваем справедливость уравнения движения на подпространстве, натянутом на вектора ср т, мы получим, что на этом подпространстве уравнение движения выполняется для произвольного Л Из уравнения (4.19) мы видим, что при Л = 1 струнное поле Ф+ = Ф+(1) не решает уравнение движения (4.15) в слабом смысле на подпространстве ({ipm})
Такая ситуация не является повой, если мы рассматриваем бозон-ную струны и проверяем уравнение движения в смысле (4.15), то мы будем вынуждены добавить дополнительные слагаемые к решению Ф 3 [59], кроме того эти дополнительные слагаемые обеспечивают выполнение гипотез Сена для бозонной струны [41, 44]. Добавим к Ф+ = Х п=о Рп + Г два дополнительных слагаемых (так как все наши корреляторы являются линейными функциями от степеней веджевских состояний, то не имеет смысла добавлять другие слагаемые с производными выше первой) где сі и С2 произвольны коэффициенты, которые мы найдем из требования выполнения уравнения движения в слабом смысле: С\ = —1 и С2 является произвольной. Действительно, как легко ви Глава 4. Решение уравнений движения полевой теории фермионной струны 67 деть // глхЛг ч\\ -1 m + N + 2 1 {{Vm, Q+ (СЬ С2))) = 2 Cl 2 С2_2 7Г 7Г 7Г которое равно нулю если с\ = — 1. Заметим, что получившийся ответ также не зависит от N. Расширим наше подпространство С({ рт}), добавив к нему вектор Г и наложим условие выполнения уравнения движения в слабом смысле также и на этом векторе Используя корреляторы из (4.17) мы получаем отсюда мы видим, что левая часть уравнения (4.28) обратится в ноль, если с2 = 1/2. Так же мы имеем, что окончательное выражение как и выше не зависит от N. Таким образом мы получаем регуляризованный ответ для Ф+ в виде Глава 4. Решение уравнений движения полевой теории фермионной струны 68 Проверим утверждение, сделанное в работе [57], что два дополнительных слагаемых необходимо, что бы выполнялись уравнения движения в сильном смысле и чтобы действие имело величину согласно гипотезе Сена. Сперва вычислим следующие корреляторы Сложим эти корреляторы и получим уравнение движение в сильном смысле из этого выражения мы видим, что оно обращается в ноль только тогда, когда сі — —1 и С2 = —\. Используя (4.30) мы можем посчитать действие при произвольных Сі и с2: Если мы возьмем сі = —1, то получим Заметим, что параметр с2 не дает вклада в действие, так же как и N. Поэтому мы можем положить N = 1. Таким образом утверждение, сделанное в статье [46], что добавление двух дополнительных слагаемых необходимо, что бы удовлетворить гипотезе Сена не подтверждается.
Проверка 1-й и 3-й гипотезы Сена
Покажем, что выражение (6.2) описывает конечную точку конденсации тахиона. Мы должны доказать следующие два утверждения [22]: первое - не существует физических возбуждений в окрестности вакуума и второе - глубина вакуума в точности равна минус энергии нестабильной D-браны. В работе [81] было показано, что утверждение об отсутствии физических возбуждений в окрестности тахионного вакуума эквивалентно утверждению, что БРСТ оператор Q$, построенный в новом вакууме, не имеет нетривиальных когомологий. В работе [80] было показано, что из этого утверждения следует Лемма: БРСТ оператор Q$ имеет нулевые когомологий если и только если существует струнное поле А такое, что Q$A = X. Доказательство: Предположим, что Q$ не имеет когомологий. Рассмотрим Q$X — QX+Ф-кХ—Х-кФ = QX. Так как, как было показано Гроссом и Жевитским, QX = 0, из этого следует, что Q$X = 0. Так как X является фф-замкнутым и Qq не имеет когомологий, тогда должен существовать некий А такой, что X = Q$A. Теперь предположим, что мы имеем состояние А такое, что Q$A = X. Предположим, что мы также имеем некое фф-замкнутое состояние Л Глава 6. Решение уравнения движения полевой теории суперструны 81 такое, что Q$A = 0. Тогда поэтому Л является фф-точным. Так как любое фф-замкнутое состояние является также 5ф-точным, из этого следует, что Q$ не имеет когомо-логий. Оператор 5Ф является вакуумным кинетическим оператором Q $ - = д.+[Ф,-][2б]. В математической литературе оператор А называется оператором гомотопии. Найдем оператор гомотопии А следуя [46]. Так как А имеет духовское число — 1, представим его в виде: где G некоторое поле, которое зависит только от К. Вычислим Если мы хотим, что бы В и с сократились, нам следует определить G в виде Таким образом оператор гомотопии имеет вид Заметим, что такой же оператор гомотопии получается и в случае бо-зонной струны.
Отметим, что из существования оператора А следует [87] Глава 6. Решение уравнения движения полевой теории суперструны 82 Лемма 2: Если оператор Q$ имеет тривиальные когомологии, т.е все решения уравнения Q \) = 0 имеют вид ф = Q$ x- тогда уравнение имеет только тривиальные решения (решения в виде чистой калибровки) Доказательство: Рассмотрим выражение Пусть U = X + А Ф, тогда (6.18) перепишется в виде откуда следует, что Утверждение в обратную сторону вообще говоря не верно. Вычислим энергию. Гипотеза Сена предсказывает, что в подходящих единицах энергия вакуума должна быть где 5(Ф) является действием. Используя уравнение движения получим, что действие сводится только к кинетическому слагаемому. Для того, чтобы получить ненулевой коррелятор, коррелятор должен иметь ( -импульс —2, так как оператор Глава 6. Решение уравнения движения полевой теории суперструны 83 смены картины У_2 несет -импульс равный —4, ненулевой вклад в действие дают только два слагаемых Мы показали, что найденное нами решение определяет непертурба-тивный вакуум полевой теории суперструн. Построение этого решения является третьим результатом диссертации. Отсутствие фантомных слагаемых в нашем решении оказывается неожиданным. Для того, что бы понять почему, рассмотрим следующую тему, связанную с нашей: все решения для непертурбативного вакуума, в некотором смысле, очень близки к чистой калибровке, как мы это показали в главе 4. В частности, для каждого вакуумного решения Ф, существует однопараметрическое семейство чисто калибровочных решений Фд, А Є [0,1) таких, что компоненты поля из фоковского пространства Фд приближают их в Ф при А достигающей 1. Действительно, если тахионный вакуум разложен по базису собственных состояний оператора
Со, то коэффициенты разложения никогда не будут близки к чисто калибровочному решению, для произвольного А. Отсюда следует, что тахионный вакуум и часто калибровочное решений должны отличаться слагаемым, который обращается в ноль в фоковском пространстве, но чье разложение по собственным состояниям оператора CQ тем не менее не обращается в ноль. Отсюда и возникают фантомные слагаемые. Так как фантомные слагаемые явно не появляются в нашем решении, мы должны отследить, где они вошли. Следую работе Окавы [44] г, мы можем построить подходящее однопараметрическое чисто калибровочное решение Фд уравнения движения в виде:
