Содержание к диссертации
Введение
2 Низкоэнергетическое эффективное действие на D-бранах 15
2.1 Связь между статистической суммой двумерной струнной сигма-модели и эффективным действием для полей в пространстве-времени 16
2.2 Случай N параллельных D-бран 21
2.3 Вычисление статистической суммы 23
2.4 Эффективное действие для полей Ф 31
3 Дуальность теории струн на фоне метрики AdS*, х S5 и N = 4 суперсимметричной XJ(N) калибровочной теории Янга-Миллса 37
3.1 Коррелятор вильсоновской петли в теории струн 39
3.2 Однопетлевое вычисление в SYM 42
3.3 Струнная сигма-модель 46
3.4 Экспоненциирование 50
4 Суперсимметричная матричная модель Янга-Миллса для произвольной простой калибровочной группы 54
4.1 Локализация 60
4.2 Вычисление локализованной статистической суммы матричной модели Янга-Миллса 64
4.3 Результаты явного вычисления статистической суммы матричной модели Янга-Миллса 69
4.4 Граничный вклад в индекс Виттена и гипотеза о виде общей формулы для статистической суммы матричной модели Янга-Миллса в случае SO(2iV + 1), Sp(2iV + 1) и SO(2iV) калибровочных групп 70
5 О вакууме в эффективной низкоэнергетической суперсимметрич ной Л/" = 1 калибровочной теории Янга-Миллса 78
5.1 Доказательство соотношения наЛА = 1 эффективный препотенциал, выполняющееся в точке экстремума эффективного суперпотенциала 86
6 Заключение 90
- Связь между статистической суммой двумерной струнной сигма-модели и эффективным действием для полей в пространстве-времени
- Коррелятор вильсоновской петли в теории струн
- Вычисление локализованной статистической суммы матричной модели Янга-Миллса
- Доказательство соотношения наЛА = 1 эффективный препотенциал, выполняющееся в точке экстремума эффективного суперпотенциала
Введение к работе
Теория струн [1-4], возникшая из амплитуды Венициано [5] как попытка описать динамику сильных взаимодействий (квантовую хромодинамику — КХД), в настоящее время является главным кандидатом на самосогласованную фундаментальную квантовую теорию, включающую в себя идеи Великого Объединения, квантовой гравитации, суперсимметрии, компактификации дополнительных измерений, топологических теорий, обобщенных сигма-моделей, дуальности и многие другие. Теория струн как фундаментальная теория еще далека от завершения, однако за время своего развития она проявила чрезвычайно богатую структуру, и методы, которые были разработаны в процессе ее развития, могут быть с успехом применены к решению традиционных задач квантовой теории поля.
Одной из главных задач в квантовой теории поля является описание ее эффективной динамики, которая остается после частичного исключения степеней свободы. Обычно при этом подразумевается исключение высокоэнергетических степеней свободы фы, и тогда речь идет соответственно о низкоэнергетической эффективной динамике степеней свободы фіШ!. В формализме функционального интеграла это означает выполнение частичного интегрирования в статистической сумме теории по степеням свободы фы и приводит к понятию эффективного действия [6-8]. Действительно, пусть effWlow] e-Seff[
Тогда, если известно эффективное действие Sefffyiow], то чтобы найти среднее значение от любой функции /(0/o)> достаточно выполнить только интегрирование саний одной и той же физической системы1. То есть существования взаимооднозначного отображения между пространством состояний и существование дуального действия, генерирующего эквивалентную динамику. Если оказывается, что режим сильной связи в исходном описании соответствует режиму слабой связи в новом описании, то такое дуальное описание становится мощным средством исследования непертурбативной динамики исходной системы. Действительно, для непертурбативного вычисления амплитуд в исходной теории достаточно сделать преобразование состояний в дуальную теорию, и провести вычисления в ней , справедливо пользуясь теорией возмущений. Классическим примером такой дуальности является дуальность Крамерса-Ванье для двумерной модели Изинга, меняющая местами высоко- и низкотемпературный режимы е_2/3 = th /?.
Исторически теория струн была сформулирована в первично квантованном виде, то есть в виде правил, определяющих амплитуды рассеяния, заданные фей-нмановскими диаграммами. Отличие от традиционной теории поля заключалось в том, что фейнмановские диаграммы состояли не из одномерных линий, а из двумерных поверхностей. Формулировка теории была в сущности пертурбативной, поскольку не постулировалось никакое пространственно-временное действие, теория возмущений для которого генерировала бы ряд струнных амплитуд. Из требования сокращения квантовых аномалий [17] были выведены ограничения на размерность пространства-времени и вид дополнительных структур на струнных поверхностях. В 80-е годы было показано существование пяти пертурбативно разных типов суперструн в критической размерности пространства-времени 10 — Туре I, НА, ИВ, Het SO(32) и Het Eg х Eg [2,4]. Однако, после открытия D-бран был замечен ряд так называемых струнных дуальностей. Предположительно, что разные типы теорий струн являются просто разными рядами теории возмущений в дуальных описаниях одной, окончательно еще не сформулированной "М-теории" [18-20].
Существенную роль в формулировке струнных дуальностей [10-13] сыграли Dp-браны (солитоноподобные непертурбативные объекты в секторе замкнутых струн, имеющие р протяженных пространственных направлений) [4,21]. С точки зрения открытых струн D-браны выглядят как некоторые р + 1-мерные подмногообразия в пространстве-времени, фиксирующие граничные условия для мировой поверхности струны. Чтобы найти низкоэнергетическое описание динамики D-бран можно проинтегрировать по массивным струнным модам и получить эффективное действие для полей безмассового сектора [18,21-26]. Оказывается, что 1 Естественно, что понятие дуальности может быть обобщено на понятие n-альности, подразумевая существование п альтернативных описаний в лидирующем порядке по о! (натяжению струны), низкоэнергетическая динамика одной D-браны может быть описана U(l) калибровочной теорией со скалярными полями, характеризующим флуктуации D-браны в трансверсальных направлениях. В случае же нескольких совпадающих D-бран калибровочная симметрия расширяется до группы U(iV). Если размерность браны максимальна, то низкоэнергетическим эффективным действием является N = 1 суперсимметричное действие Янга-Миллса. Действие на бранах меньшей размерности можно получить с помощью размерной редукции, сводящейся к замене ковариантной производной на скалярное поле в присоединенном представлении. Таким образом, бозонный сектор эффективной теории N БЗ-бран содержит 6 скалярных полей, а полное действие является J\f = 4 суперсимметричным действием Янга-Миллса. Оказалось, что низкоэнергетическая теория N БЗ-бран может быть описана двумя разными способами, и возникающая дуальность [27-29] похожа на старые идеи [30,31] описать КХД с помощью глюонных струн.
С точки зрения полей сектора замкнутых струн, Dp-браны заряжены по отношению к R-R полям Ap+i (р + 1-формам в окружающем объеме) [4]. В описании супергравитации D-брана является протяженной заряженной черной дырой. Из-за суперсимметрии заряд и масса D-браны связаны так, что получающееся решение для метрики вблизи D-браны соответствует решению для метрики вокруг экстремально заряженной черной дыры, в котором горизонт совпадает с физической сингулярностью. Решение для метрики в координатах г Ш+,х Є IR4,fi5 Є S5 выглядит следующим образом: ds2 = (1 + R4/r4)-V2dx2 + (1 + R4lrlf'2{dr2 + r2dn25). (1.1)
Вблизи горизонта г —> 0 удобно записать асимптотику метрики, заменив корднії2 нату г на?/ = —: ds2 = R2dx2 + dy2 +r4q2 у2
Итак, метрика вблизи D3 браны является метрикой пространства AdS*, х Sb. За AdS$ обозначено симметрическое пространство постоянной отрицательной кривизны (псевдосфера/пространство Лобачевского/Анти-де-Ситтера). Абсолютное значение радиуса кривизны в обоих факторах совпадает и равно R. Заметим, что граница пространства AdS у = 0 изоморфна Е4.
Примечательная AdS/С FT гипотеза [27-29] заключается в том, что существует точное соответствие/дуальность между теорией, определенной на границе пространства AdS — четырехмерной Af = 4 суперсимметричной теорией Янга-Миллса (SYM) и теорией суперструн типа ПВ в объеме AdS. При этом константа связи т'Хофта Л = NgYM соответствует натяжению струны как Г = т^- = ^, где R = Va*(gYMN)* — радиус кривизны пространства AdS$ х S5, причем струнная константа связи gs = еф = A.itgYM. Легко видеть, что планарный предел т'Хофта [30] (N —> со, Л = const) соответствует невзаимодействующим струнам — планарным поверхностям, имеющим простейшую топологию. Идея т'Хофта [30] о том, как U(iV) калибровочная теория Янга-Миллса может упроститься в пределе большого числа цветов N, заключается в следующем. Введем обозначения двойных линий для пропагаторов глюонов так, что каждая из линий соответствует одному матричному индексу калибровочного поля. Тогда фейнмановские диаграммы будут представлять из себя ориентируемые ленточные графы, а цветовой фактор для каждой диаграммы будет равен NF, где F — число замкнутых индексных петель. Сопоставим теперь каждому такому ленточному графу двумерную поверхность, на которой он может быть нарисован без самопересечений. Это задаст разбиение двумерной поверхности на F граней, которые будут склеены между собой по Е ребрам, соответствующим пропагаторам глюонов. Пусть константа связи gYM входит в действие Янга-Миллса как — ^-|— TrF2. Определим параметр т'Хофта Л = NgYM. Тогда вес фейнмановской диаграммы с V вершинами, Е пропагаторами (ребрами) и F индексными петлями (гранями) равен NF (-^) . Воспользовавшись определением эйлеровой характеристики х = 2 — 2д = F — Е + V, где д — род двумерной поверхности, получим вес диаграммы в виде N2~29\E~V. Зависимость полной амплитуды А от N можно записать в виде разложения A == Ylg N2~2aFg, где Fg соответствует сумме всех диаграмм рода д. Теперь заметим, что разложение по родам мировых поверхностей для струнных амплитуд имеет точно такой же вид, если отождествить 1/JV со струнной константой связи gs = еф (где Ф — поле дилатона, входящее в действие для струнной сигма-модели как ASy = %Ф).
Таким образом, при больших N поверхности со сложной топологией подавлены, а главный вклад вносят только планарные диаграммы с простейшей топологией сферы. То есть, режим больших N отвечает пределу слабосвязанных струн. Конечно, для настоящей КХД пока остается загадкой, какая именно струнная модель соответствует данной картине. В случае же N = 4 суперсимметричной калибровочной теории существует предположение [27-29], что такая теория в точности дуальна теории струн типа ПВ на фоне метрики AdS^ х S5. Четыре — максимально возможное число суперсимметрий для калибровочной теории поля-в четырех измерениях. Кроме калибровочного поля, рассматриваемая теория содер- жит четыре фермиона и шесть скалярных полей в присоединенном представлении калибровочной группы. Лагранжиан теории полностью определяется требованиями суперсимметрий. Он обладает глобальной R-симметрией SU(4), отвечающей за вращения суперзарядов между собой, а также конформной симметрией, которая в четырех измерениях является группой SO(4,2). Данные симметрии можно увидеть и в дуальной струнной картине. Действительно, сфера S5 симметрична относительно вращений группы SO(6), изоморфной SU(4). Пространство AdS5 изометрично относительно действия группы 5*0(4,2), причем это действие продолжается до действия конформными преобразованиями на границе AdS*,. В свою очередь, граница AdS$ изоморфна пространству Ж4, на котором определена N = 4 SYM.
Как было сказано выше, метрика AdS5 х S5 является метрикой вблизи N совпадающих БЗ-бран. При этом возможны два режима описания динамики системы. Описание низкоэнергетических флуктуации стопки из N БЗ-бран определяется Af = 4 суперсимметричной U(iV) калибровочной теорией Янга-Миллса. С другой стороны, в низкоэнергетическом приближении с точки зрения гравитации/теории струн в объеме AdS существенный вклад вносит только область вблизи горизонта бран за счет эффекта инфракрасного смещения. Это позволяет предположить [27-29], что если, с одной стороны, заменить точное решение для метрики на его асимптотический предел вблизи горизонта бран, и, с другой стороны, ограничиться низкоэнергетическим приближением к описанию динамики бран, то эквивалентность сохранится. В режиме маленькой эффективной константы связи gyMN хорошо работает пертурбативная калибровочной теория. Но когда константа связи A = gyMN стремится к бесконечности, радиус кривизны пространства времени R — Vci'igYM^)1^ становится намного больше струнного масштаба, и тогда возможно приближение низкоэнергетической супергравитации, в то время, как пертурбативное описание на стороне калибровочной теории вообще теряет смысл.
Таким образом, получается пример дуальности между калибровочной теорией и гравитацией, что само по себе является интереснейшим эффектом. Казалось бы, что калибровочная теория и гравитация имеют совершенно разное описание, и, наивно, не могут быть отождествлены. Но дело как раз в том, что данная дуальность меняет местами режим сильной и слабой связи. Таким образом первая теория в режиме сильной связи может быть описана второй теорией в режиме слабой связи, и наоборот. Это, с одной стороны, позволяет сделать нетривиальные предсказания о непертурбативной динамике каждой из них, с другой делает сложным строгое доказательство самой дуальности. Конечно, в данной дуальности имеется важное отличие от желаемого дуального описания настоящей КХД, обусловленное прежде всего наличием Af' = 4 суперсимметрии. Тем не менее, многие эффекты могут быть похожими. Следует подчеркнуть, что речь идет о точно сформулированной дуальности, а не о приближенном эмпирическом описании. Одной из задач работы является изучение данной дуальности.
Итак, дуальность, меняющая местами режимы слабой и сильной связи оказывается мощным инструментом для описания непертурбативной динамики систем. С другой стороны, в силу своего определения она не может быть доказана пертур-бативно — необходимы другие методы. Один из таких непертурбативных методов точного вычисления функционального интеграла — метод локализации интеграла на критических точках действия [32-35]. Если удается найти, например, два разных способа локализации интеграла, то появляется два дуальных описания одной теории. Скажем, зеркальная симметрия (mirror symmetry) — это пример локализации в топологических моделях отображений римановых поверхностей в target-пространство на голоморфные отображения (А-модели) и на постоянные отображения (В-модели) [36].
Суперсимметричные матричные модели Янга-Миллса (SYMM) [18,19, 37, 38] (размерная редукция D-мерной калибровочной теории в ноль измерений, с действием S ос [Xi, Xj}2) как раз принадлежат к такому классу, где метод локализации может быть успешно изучен [26,39,40]. Кроме того, данные матричные модели интересны также по следующим причинам. Калибровочную теорию в D измерениях можно реализовать с помощью SYMM бесконечно большого ранга [37]. Далее, динамика N D(—1)-бран в D измерениях канонически описывается такой же матричной моделью, и существует гипотеза [19], что в случае десяти измерений и предела бесконечного ранга матриц SYMM является непертурбативным определением десятимерной теории суперструн типа ИВ. Наконец, D(—l) браны также можно интерпретировать как инстантоны в калибровочной теории. Действительно, ADHM [41] конструкция предъявляет явное описание пространства модулей к инстантонов с помощью к х к матриц, и мера на пространстве модулей инстантонов в Л/" = 2 SYM схематично дается действием SYMM [42]. Таким образом, с небольшими изменениями (добавление матриц, соответствующих струнам, оканчивающимся на N D3 и к D(—1)-бранах, и преобразующихся в бифундамен-тальном представлении U(iV) х U(fc)) такая матричная модель описывает вклад к инстантонов в Л/" = 2 эффективный низкоэнергетический предпотенциал [42-46].
Методы теории струн — геометрическое конструирование с помощью D-бран и дополнительных измерений четырехмерных калибровочных теорий, а также идеи зеркальной симметрии, позволили решать задачи, которые могли быть сформулированы в рамках обычной четырехмерной теории поля, но при этом их решение традиционными методами было неизвестно. Сначала оказалось, что точный низкоэнергетический эффективный N = 2 предпотенциал U{N) калибровочной теории, включающий все непертурбативные вклады может быть описан с помощью геометрии комплексных гиперэллиптических кривых [14,47-49]. Затем, также геометрическими методами [15,50-53] был найден точный низкоэнергетический эффективный суперпотенциал для полей глюинного конденсата в N = 1 теориях. Не случайно, что свойство точной решаемости данных суперсимметричных теорий было связано с наличием в них структур интегрируемых систем [42,54-58,58] Кроме того, оказалось, что N = 1 точный суперпотенциал, включающий все непертурбативные вклады, может быть вычислен с помощью голоморфной одноматричной модели с действием, заданным таким же полиномом, как и древесный суперпотенциал в калибровочной теории [59-63]. Структура точных решений в Af = 1 и N — 2 теориях и их связь с матричными моделями [64-66] является интересным объектом для исследования.
Итак, сформулируем цели работы.
Исследование динамики непертурбативных объектов теории струн — D-бран.
Исследование дуальности между теорией струн на фоне метрики AdS5 х S*, и N = А суперсимметричной калибровочной теорией Янга-Миллса с помощью вычисления одних и тех же корреляторов дуальными методами.
Исследование методов локализации функционального интеграла в приложении к квантовой динамике взаимодействия нескольких D-инстантонов (нульмерная калибровочная матричная модель Янга-Миллса) и обобщение вопроса на случай произвольной простой калибровочной группы.
Исследование вакуумной конфигурации в низкоэнергетической теории, полученной из М = 1 суперсимметричной калибровочной теории с материей в присоединенном представлении и заданным древесным суперпотенциалом.
Диссертация имеет следующую структуру.
В главе 2 изучена связь между статистической суммой для двухмерной струнной сигма-модели [1,4,67] и древесным эффективным действием для соответствующих безмассовых струнных полей. Струнная сигма-модель является производя- щим функционалом для всех древесных струнных амплитуд рассеяния. При преобразовании Лежандра вычитаются амплитуды, которые соответствуют обмену струнными полями, входящими в эффективное действие. Рассмотрена древесная статистическая сумма г[А,Ф] = (ъРехрЫ(АкдтХк + ъФпХ*)<1т\\ (1.3) для открытых струн, оканчивающихся на N совпадающих D-бранах. Здесь Ак с лоренцевым индексом к вдоль бран — U(iV) калибровочные поля, аФ4с лоренце-вым индексом в перпендикулярных направлениях — поля безмассовых скаляров, характеризующих флуктуации положения D-бран. Статистическая сумма Z[J}= f VX[a}e-S!We-s^x'J^ (1.4) вычисляется с действием Полякова свободной струны в конформной калибровке Sfree[X] = -^7 / даХ,даХ» d2a, (1.5) при этом эффект присутствия D-бран сводится к замене граничных условий струны в соответствующих направлениях с условий Неймана на условия Дирихле.
В результате прямого вычисления, в лидирующем порядке по а' получаетса действие U(N) калибровочной теории, редуцированной нар + 1 измерение [18,21]. Дополнительно также вычисляется первая поправка в разложении по а' [68].
В главе 3 в рамках соответствия струны в AdS*, х 55 и JV = 4 SYM [29] выпол-' няется вычисление коррелятора (W(C)Oj) вильсоновской петли W(C) с оператором Oj, имеющим большой заряд J по отношению к действию U(l) подгруппы группы і?-еимметрии 50(6): >-Ш»ъ*' (1-б) где Z = Фі + гФ2 - линейная комбинация двух из шести скалярных полей Л/" = 4 калибровочной теории.
Коррелятор (W(C)Oj) пропорционален весу, с которым Oj входит в локальное операторное разложение вильсоновской петли. В дуальной картине вес определяется амплитудой перехода между состоянием замкнутой струны, рожденной из вильсоновской петли, и состоянием супергравитации, построенным по оператору Oj [69].
На стороне теории струн квазиклассическое вычисление выполняется [26] для произвольной вильсоновской петли в первых двух ненулевых порядках по Л, что соответствует двухпетлевому приближению в калибровочной теории. В калибровочной теории коррелятор вычисляется в однопетлевом приближении, а также показывается, что вклад из всех порядков от диаграмм с наибольшим комбинаторным весом имеет экспоненциальную форму, в соответствии с дуальным вычислением. С точностью используемого приближения результаты вычислений полностью совпадают, подтверждая гипотезу дуальности.
В главе 4 изучено обобщение квантовой статистической суммы для суперсимметричной матричной модели на произвольную калибровочную группу [70], действие которой является в лидирующем порядке по а' действием, полученным в главе 2 при описании набора Б(-1)-бран (D инстантонов), то есть является полной размерной редукцией суперсимметричного действия Янга-Миллса [18] 1М = шШ I iXdAdDe~Sru' (17) Sym = - Tr Q[^, А,]2 + Х&^А», А] - 2D2) . (1.8)
Оказывается, что данную статистическую сумму можно вычислить точно для произвольной калибровочной группы, вне рамок теории возмущений. Используется метод локализации [32, 33], который в [39] был применен в случае группы U(iV). Статистическая сумма сводится к контурному интегралу от рациональной функции /rs(fl)_а*ш rdufdU2...fduiYl-^. а-») #W Jс Jс Jc (2тє)г АА аи + е где {а} — множество корней алгебры g, a {as} — множество простых корней.
Суть метода состоит в деформации подынтегрального выражения на полную производную так, чтобы значение интеграла не менялось, но в то же время квазиклассическое приближение (сумма по критическим точкам действия от соответствующих детерминантов) становилось точным. Этого можно добиться, используя нильпотентный генератор суперсимметрии Q и деформируя действие на (5-точные члены. Альтернативно, данное вычисление можно быть представлено в формализме вычисления эквивариантных когомологий. Оператор Q = d + iu является эквивариантным дифференциалом, где ги - векторное поле, генерируемое калибровочным преобразованием и, деформированное действие - отображение моментов, а результат вычисления - эквивариантный объем фактора конфигурационного пространства модели по действию калибровочной группы. Вычисление контурного интеграла в виде суммы по вычетам равносильно суммированию вкладов от критических точек действия.
Результатом главы 4 является таблица значений статистической суммы для всех калибровочных групп до ранга 11 включительно, кроме групп Е7 и Eg (вычислительная сложность в этих случаях существенно выше, чем в остальных). Ответ для серии Ап был известен [39], а для всех остальных классических серий Bn,Cn,Dn выдвигается гипотеза общей формулы.
В главе 5 рассматривается вопрос о вычислении низкоэнергетического эффективного действия для Л/" = 1 и N — 2 суперсимметричных четырехмерных калибровочных теорий.
Доказывается [71], что в экстремуме (Si) эффективного суперпотенциала Weff(Si) свободная энергия матричной модели (она же эффективный предпотенциал Т), подчиняется уравнению
2Т-&%г = -д2- dSi »' (п2 - 1)'
ГДЄ #2 — Коэффициент ПОЛИНОМа Wfree-
В заключении подводятся итоги и перечисляются возможные дальнейшие направления для исследования. * * *
Благодарности
Многому я обязан своим первым учителям С.Н.Сашову и Л.Д.Парнесу.
Особенно благодарю за поддержку А.Ю.Морозова, постоянно поддерживающему на протяжении нескольких лет мой интерес к работе в области теории струн; а также Е.С.Суслову, без которой научная работа в лаборатории была бы невозможна.
Хотелось бы специально отметить, что некоторые результаты работы мной были получены совместно с А.Я.Дымарским и К.И.Зарембо.
Выражаю также благодарность за научные обсуждения и дискуссии на семинарах ИТЭФ Э.Т.Ахмедову, А.А.Герасимову, А.С.Горскому, А.Л.Городенцеву, А.С.Лосеву, А.В.Маршакову, А.Д.Миронову, М.И.Олыпанецкому, К.Г.Селиванову, И.В.Полюбину, А.В.Смилге, Л.О.Чехову, С.М.Харчеву, С.М.Хорошкину; а также
А.С.Александрову, Н.Я.Амбург, И.Е.Анно, Д.В.Васильеву, В.А.Долгущеву, И.В.Гор-делию, А.В.Зотову, Б.А.Качуре, С.Е.Клевцову, С.А.Локтеву, Д.В.Малышеву, Д.Г.Мельникову, В.А.Побережному, А.Соловьеву, А.В.Савватееву, К.А.Сарайкину и А.В.Червову.
Признателен М.И.Высоцкому, М.В.Данилову, Д.И.Казакову, Р.Б.Невзорову, П.Н.Пахлову и К.А.Тер-Мартиросяну за полезные семинары и обсуждения реальных процессов физики элементарных частиц.
Большую моральную поддержку и помощь при подготовке текста оказали А.А.Воронов, Т.С.Медведева, Т.В.Миронова и ТВ.Углов.
Я благодарен А.А.Крапивину за техническую поддержку.
Связь между статистической суммой двумерной струнной сигма-модели и эффективным действием для полей в пространстве-времени
Таким образом, при больших N поверхности со сложной топологией подавлены, а главный вклад вносят только планарные диаграммы с простейшей топологией сферы. То есть, режим больших N отвечает пределу слабосвязанных струн. Конечно, для настоящей КХД пока остается загадкой, какая именно струнная модель соответствует данной картине. В случае же N = 4 суперсимметричной калибровочной теории существует предположение [27-29], что такая теория в точности дуальна теории струн типа ПВ на фоне метрики AdS х S5. Четыре — максимально возможное число суперсимметрий для калибровочной теории поля-в четырех измерениях. Кроме калибровочного поля, рассматриваемая теория содер жит четыре фермиона и шесть скалярных полей в присоединенном представлении калибровочной группы. Лагранжиан теории полностью определяется требованиями суперсимметрий. Он обладает глобальной R-симметрией SU(4), отвечающей за вращения суперзарядов между собой, а также конформной симметрией, которая в четырех измерениях является группой SO(4,2). Данные симметрии можно увидеть и в дуальной струнной картине. Действительно, сфера S5 симметрична относительно вращений группы SO(6), изоморфной SU(4). Пространство AdS5 изометрично относительно действия группы 5 0(4,2), причем это действие продолжается до действия конформными преобразованиями на границе AdS ,. В свою очередь, граница AdS$ изоморфна пространству Ж4, на котором определена N = 4 SYM.
Как было сказано выше, метрика AdS5 х S5 является метрикой вблизи N совпадающих БЗ-бран. При этом возможны два режима описания динамики системы. Описание низкоэнергетических флуктуации стопки из N БЗ-бран определяется Af = 4 суперсимметричной U(iV) калибровочной теорией Янга-Миллса. С другой стороны, в низкоэнергетическом приближении с точки зрения гравитации/теории струн в объеме AdS существенный вклад вносит только область вблизи горизонта бран за счет эффекта инфракрасного смещения. Это позволяет предположить [27-29], что если, с одной стороны, заменить точное решение для метрики на его асимптотический предел вблизи горизонта бран, и, с другой стороны, ограничиться низкоэнергетическим приближением к описанию динамики бран, то эквивалентность сохранится. В режиме маленькой эффективной константы связи gyMN хорошо работает пертурбативная калибровочной теория. Но когда константа связи A = gyMN стремится к бесконечности, радиус кривизны пространства времени R — Vci igYM )1 становится намного больше струнного масштаба, и тогда возможно приближение низкоэнергетической супергравитации, в то время, как пертурбативное описание на стороне калибровочной теории вообще теряет смысл.
Таким образом, получается пример дуальности между калибровочной теорией и гравитацией, что само по себе является интереснейшим эффектом. Казалось бы, что калибровочная теория и гравитация имеют совершенно разное описание, и, наивно, не могут быть отождествлены. Но дело как раз в том, что данная дуальность меняет местами режим сильной и слабой связи. Таким образом первая теория в режиме сильной связи может быть описана второй теорией в режиме слабой связи, и наоборот. Это, с одной стороны, позволяет сделать нетривиальные предсказания о непертурбативной динамике каждой из них, с другой делает сложным строгое доказательство самой дуальности. Конечно, в данной дуальности имеется важное отличие от желаемого дуального описания настоящей КХД, обусловленное прежде всего наличием Af = 4 суперсимметрии. Тем не менее, многие эффекты могут быть похожими. Следует подчеркнуть, что речь идет о точно сформулированной дуальности, а не о приближенном эмпирическом описании. Одной из задач работы является изучение данной дуальности.
Итак, дуальность, меняющая местами режимы слабой и сильной связи оказывается мощным инструментом для описания непертурбативной динамики систем. С другой стороны, в силу своего определения она не может быть доказана пертур-бативно — необходимы другие методы. Один из таких непертурбативных методов точного вычисления функционального интеграла — метод локализации интеграла на критических точках действия [32-35]. Если удается найти, например, два разных способа локализации интеграла, то появляется два дуальных описания одной теории. Скажем, зеркальная симметрия (mirror symmetry) — это пример локализации в топологических моделях отображений римановых поверхностей в target-пространство на голоморфные отображения (А-модели) и на постоянные отображения (В-модели) [36].
Суперсимметричные матричные модели Янга-Миллса (SYMM) [18,19, 37, 38] (размерная редукция D-мерной калибровочной теории в ноль измерений, с действием S ос [Xi, Xj}2) как раз принадлежат к такому классу, где метод локализации может быть успешно изучен [26,39,40]. Кроме того, данные матричные модели интересны также по следующим причинам. Калибровочную теорию в D измерениях можно реализовать с помощью SYMM бесконечно большого ранга [37]. Далее, динамика N D(—1)-бран в D измерениях канонически описывается такой же матричной моделью, и существует гипотеза [19], что в случае десяти измерений и предела бесконечного ранга матриц SYMM является непертурбативным определением десятимерной теории суперструн типа ИВ. Наконец, D(—l) браны также можно интерпретировать как инстантоны в калибровочной теории. Действительно, ADHM [41] конструкция предъявляет явное описание пространства модулей к инстантонов с помощью к х к матриц, и мера на пространстве модулей инстантонов в Л/" = 2 SYM схематично дается действием SYMM [42]. Таким образом, с небольшими изменениями (добавление матриц, соответствующих струнам, оканчивающимся на N D3 и к D(—1)-бранах, и преобразующихся в бифундамен-тальном представлении U(iV) х U(fc)) такая матричная модель описывает вклад к инстантонов в Л/" = 2 эффективный низкоэнергетический предпотенциал [42-46].
Методы теории струн — геометрическое конструирование с помощью D-бран и дополнительных измерений четырехмерных калибровочных теорий, а также идеи зеркальной симметрии, позволили решать задачи, которые могли быть сформулированы в рамках обычной четырехмерной теории поля, но при этом их решение традиционными методами было неизвестно. Сначала оказалось, что точный низкоэнергетический эффективный N = 2 предпотенциал U{N) калибровочной теории, включающий все непертурбативные вклады может быть описан с помощью геометрии комплексных гиперэллиптических кривых [14,47-49]. Затем, также геометрическими методами [15,50-53] был найден точный низкоэнергетический эффективный суперпотенциал для полей глюинного конденсата в N = 1 теориях. Не случайно, что свойство точной решаемости данных суперсимметричных теорий было связано с наличием в них структур интегрируемых систем [42,54-58,58] Кроме того, оказалось, что N = 1 точный суперпотенциал, включающий все непертурбативные вклады, может быть вычислен с помощью голоморфной одноматричной модели с действием, заданным таким же полиномом, как и древесный суперпотенциал в калибровочной теории [59-63]. Структура точных решений в Af = 1 и N — 2 теориях и их связь с матричными моделями [64-66] является интересным объектом для исследования.
Коррелятор вильсоновской петли в теории струн
Низкоэнергетическое действие можно вычислять в виде ряда по степеням импульсов (производных в координатном представлении). При этом для членов этого ряда в некоторых случаях можно получить непертурбативное выражение по силе поля.
Например, рассмотрим простейший случай — вычисление потенциала для постоянного поля тахиона, которое взаимодействует с границей как dD Тдт. Статистическая сумма сводится к Выполнив преобразование Лежандра (2.10), можно получить непёртурбативный тахионный потенциал [78,79] В абелевом случае U(l) калибровочного поля статистическую сумму также довольно просто вычислить непертурбативно, поскольку функциональный интеграл в данном случае является гауссовым. Получается действие Дирака-Борна-Инфельда где G — внешняя метрика, a F - напряженность калибровочного поля. При разложении по степеням а из действия Борна-Инфельда получается действие обычной электродинамики плюс поправки по а . Вычисление в неабелевом случае осложняется Р-упорядочением для граничных вершинных операторов описывающих взаимодействие с полями ЛиФ.
Следующая наша задача — получить низкоэнергетическое эффективное действие для безмассовых полей, описывающих низкоэнергетическую динамику нескольких параллельных D-бран. Можно заранее ожидать присутствие расходимостей в статистической сумме при вычислениях на нулевом импульсе. В отличие от тахиона пропагатор К 1 \ для безмассового поля расходится при р — 0. Таким образом, для вычислений на нулевом импульсе статистическую сумму требуется регуляризовать и перенормировать. Удобно использовать регуляризацию, заключающуюся в деформировании двухмерных пропагаторов на D в ультрафиолетовом пределе. Она же одновременно является инфракрасной регуляризацией в пространстве-времени. Инфракрасные расходимости в пространстве-времени соответствуют таким конфигурациям мировой поверхности струны, которые конформно эквивалентны бесконечно полосе, соединяющей начальное и конечное состояния. Максимальная длина полосы L пропорциональна In , где є — масштаб ультрафиолетового обрезания на D. Проведем аналогию с пропагатором частиц, записанным в формализме первичного квантования
Заметим, что длина L соответствует одному из параметров пространства модулей струнных поверхностей в области вырождения. Как было сказано выше, струнная поверхность вырождается, когда точки U, в которых были вставлены вершинные операторы, подходят друг к другу: U — tj. Тогда
Мы работаем с пертурбативным разложением по степеням импульсов в точке р = 0, поэтому (2.15) расходится как L при т2 = 0, и как е а т L, когда а т2 0. Регуляризация, которую мы собираемся использовать, эффективно ограничивает mintj — tj\ є, то есть maxL ln(-). Поэтому мы получим линейную расходимость , при а т2 = — 1 (обмен тахионом), и логарифмическую In , при т2 = 0 (обмен безмассовой частицей). Для непертурбативной по импульсу формулы для струнной амплитуды [1,2] первая расходимость скрыта, поскольку используется аналитическое продолжение из той области импульсов, где амплитуда конечна [1,2]. При вычислениях в модели суперструны Невье-Шварца-Рамона (НЩР) тахион отщепляется, и остаются только логарифмические расходимости из-за обмена безмассовыми частицами. Поэтому эффективное действие для безмассовых полей статистической суммы сигма-модели можно получать перенормировкой [81, 83, 84]. Подчеркнем, что константы связи в сигма-модели являются полями в пространстве-времени. И условию зануления их / -функций соответствует уравнение движения. После регуляризации Полученная неоднозначность в эффективном действии (перенормированной статистической сумме) в действительности есть неоднозначность, связанная с возможностью переопределения полей.
В случае бозонных струн ситуация более сложная из-за взаимодействия тахионов и безмассовых полей. Возможны два способа вычисления эффективного действия для безмассовых полей. Во-первых, можно включить взаимодействие с тахионом в граничный член действия в сигма-модели, получить эффективное действие, зависящее и от тахиона, и от безмассовых полей, а затем исключить тахион с помощью уравнений движения. Во-вторых, можно вычислить статистическую сумму как функцию только безмассовых полей. В этом случае по полю тахиона будет автоматически проинтегрировано. Но тогда перед тем, как применять преобразование Лежандра к статистической сумме для получения действия, следует аналитически продолжить амплитуду по импульсу для того, чтобы избавиться от линейной расходимости, связанной с обменом тахионом. В данной части выполняется вычисление низкоэнергетического эффективного действия для безмассовых полей, описывающих набор из N параллельных Dp-бран [4, 21]. В этом случае статистическая сумма сигма-модели на фоне полей ДФ является следующим Р-упорядоченным коррелятором
Координаты Xk направлены вдоль D-бран, а координаты Хг — в перпендикулярных направлениях, дт - производная вдоль границы диска, а дп - производная по нормали к границе. Эти граничные условия означают, что струна заканчивается на плоской р + 1-мерной гиперплоскости - Dp-бране. Векторное поле Ак и D — р — 1 скалярных полей Ф\ принадлежащие алгебре u(N) в (2.21), описывают взаимодействие открытых струн и бран. В случае одной Dp-браны соответствующая калибровочная группа абелева U(l), и получающееся эффективное действие может быть найдено во всех порядках по напряженности поля гауссовым интегрированием в сигма-модели (действие Дирака-Борна-Инфельда [67]):
Вычисление локализованной статистической суммы матричной модели Янга-Миллса
Как отмечено во введении, при N — оо в ряд теории возмущений основной вклад дают только планарные диаграммы. Качественно можно представлять себе их как дискретизованные мировые поверхности свободных струн [30]. Но для того, чтобы количественно сравнить амплитуды SYM со струнной сигма-моделью, необходимо учесть вклад всех планарных диаграмм, что представляет из себя нетривиальную задачу.
Недавно стало ясно, как все-таки можно сравнить амплитуды SYM с квазиклассическим приближением в струнной сигма-модели, не суммируя все планар-ные диаграммы. Это можно сделать, рассмотрев специальные струнные состояния с большими квантовыми числами. Например, можно взять операторы с большим Д-зарядом, которым отвечают струнные состояния, имеющие большой угловой момент движения вдоль S5. Такие состояния можно описать как квазиклассическим приближением в струнной сигма-модели, так и теорией возмущений в SYM, что позволит вычислить и сравнить их корреляционные функции. Данный подход оказался успешным для корреляторов локальных операторов [28,69,89-92].
Состояния в секторе открытых струны дуальны [93-95] вильсоновским петлям, соответствующим границам мировых поверхностей. Поэтому корреляторы виль-соновских петель с операторами, обладающими большим Д-зарядом, также можно вычислить в квазиклассическом приближении сигма-модели даже при малых Л и сравнить их с диаграммным вычислением в SYM [96]. В данной главе вычисляется коррелятор (W(C)Oj) вильсоновской петли с оператором Oj, имеющим большой заряд J по отношению к U(l) подгруппе группы Д-симметрии SO (6): где Z = Фі + гФ2 - линейная комбинация двух из шести скалярных полей JV" = 4 калибровочной теории. Коррелятор (W(C)Oj) пропорционален весу, с которым Oj входит в локальное операторное разложение вильсоновской петли. В дуальной картине вес определяется амплитудой перехода между состоянием замкнутой струны, рожденной из вильсоновской петли, и состоянием супергравитации, построенным [69] по оператору Oj. В одном специальном случае известен точный ответ — можно вычислить данный коррелятор непертурбативно во всех порядках по константе связи для вильсоновской петли, имеющей форму окружности [97]. Такая петля является в некотором смысле киральным оператором [98-100]. Из-за сокращений, которые происходят благодаря суперсимметрии, в вакуумное среднее данного оператора вносят вклад только диаграммы без внутренних вершин [100,101], тоже самое касается коэффициентов в его операторном разложении по киральным примарным полям [97]. Такие диаграммы можно просуммировать в явном виде и получить ответ, справедливый при любом значении параметра т Хофта А. Квазиклассическое вычисление на стороне сигма-модели может быть также проделано во всех порядках теории возмущений [96] благодаря 0(2) симметрии окружности. В данной главе будет рассмотрен произвольный контур, а дифференциальные уравнения на экстремум действия в сигма-модели будут решены порядок за порядком по степеням параметра A/J2. В сигма-модели А = 4п2Т2 соответствует квадрату натяжения струны, а в SYM А = д ум - В результате струнная амплитуда будет разложена по степеням A/ J2, что позволит сравнить ее с пленарными диаграммами теории возмущений в SYM. Данная глава построена следующим образом. В части 3.1 вводятся обозначения и кратко описывается, как в струнной сигма-модели вычисляется коррелятор вильсоновской петли с локальным оператором. В части 3.2 проводится однопет-левое вычисление на стороне SYM. Классическое решение сигма-модели, которое описывает коррелятор в теории струн, приводится в части 3.3. Затем струнная амплитуда, определяемая данным решение сопоставляется с однопетлевой диаграммой SYM. В части 3.4 показывается, вклад всех планарных диаграмм теории возмущений SYM в вычисляемый коррелятор имеет экспоненциальный вид, что сходится с вычислением в струнной сигма-модели. Заключение и обсуждение по данной главе приводятся в части 3.4. Суперсимметричный оператор вильсоновской петли определен [93] как Данный оператор является смесью обычного неабелевого фазового фактора и единственного петлевого скалярного оператора, который одновременно конформно-и лоренц- ковариантен [102]1. 1 Оператор вильсоновской петли общего вида зависит от скаляров через произвольную линейную комбинацию Ф,#\ где 9г единичный 6-вектор, который может зависеть от s, и таким образом параметризовать замкнутый контур в 55. В данной главе для определенности выбирается фиксированное значение 91; результат не будет сильно отличаться для любой другой константы в1. Было бы интересно также рассмотреть меняющееся значение вг [93,103,104]. Оператор вильсоновской петли дуален макроскопическому струнному состоянию в AdS5 х S5 . Локальный оператор Oj дуален некоторому состоянию в секторе супергравитации. Для того, чтобы вычислить коррелятор этих двух операторов, требуется найти вершинный оператор, соответствующий данному состоянию супергравитации, вставить его в мировую поверхность струны, объединить с соответствующим пропагатором и затем вычислить функциональный интеграл по всем вложениям мировой поверхности в AdS$ х55и всем точкам вставки оператора [69]. В пределе, когда расстояние между петлей и вставкой вершинного оператора стремится к бесконечности, пропагатор факторизуется, и остается одноточечная корреляционная функция в сигма-модели: где X означает фермионные и бозонные координаты струны в AdS$ х S5 ; Sam[X] — действие Грина-Шварца AdS х S5 сигма-модели, a Vj(X(a)) — вершинный оператор, который рождает состояние струны, дуальное оператору Oj. Предположим, что конформная калибровка зафиксирована, и рассмотрим соответствующий детерминант Фадеева-Попова как часть меры в функциональном интеграле. Метрика в AdS$ в координатах Пуанкаре е р = у выглядит как Граница находится при р = оо,у = 0, а горизонт при р = — со, г/ = +оо. Примем следующую параметризацию S5: вг = (cos-0 cos ip, cos ip sin /?, sin n), где n — соответствующий единичный 4-вектор. Тогда действие сигма-модели в этой параметризации будет
Доказательство соотношения наЛА = 1 эффективный препотенциал, выполняющееся в точке экстремума эффективного суперпотенциала
Было выполнено подробное сравнение между диаграммами теории возмущений в SYM и квазиклассической струнной амплитудой, которая вычисляет двухточечный коррелятор между оператором произвольной вильсоновской петли W(C) и локальным оператором Oj в N = 4 SYM. Результаты полностью совпадают в однопетлевом приближении, а также во всех порядках теории возмущений для диаграмм с наибольшим комбинаторным весом. Следует еще раз подчеркнуть, что нет очевидной причины для такого согласования. Струнная модель и теория возмущений вычисляют физические величины в разных режимах, что легко может быть видно из общей формы квазиклассической струнной амплитуды (3.10). На стороне струнной модели приходится предположить, что степень в (3.10) велика, в противном случае обычное обоснование квазиклассического приближения не работает. Для сравнения с SYM мы все же разлагаем экспоненту в ряд, и таким образом предполагаем, что показатель мал. Интересно, что для объяснения согласия между результатами вычислений можно привлечь аргументы похожие на [106]. Аргументы основаны на том наблюдении, что параметр т Хофта появляется только в комбинации A/J2 на обоих сторонах соответствия, что к примеру означает, что комбинация A/J2, а не А, является параметром разложения планар-ной теории возмущений.
Случайно было найдено, что вычисления в струнной модели технически проще, чем пертурбативные вычисления в SYM. Достаточно просто вычислить струнную амплитуду в двухпетлевом приближении, и, определенно, возможно продолжить струнные вычисления в следующих порядках по A/J2, в то время как на стороне SYM двухпетлевое вычисление технически намного сложнее. Простота струнных вычислений может свидетельствовать о том, что различные диаграммы сокращаются, оставляя простой суммарный результат. Действительно, в одной петле наблюдались сокращения, но выглядели они довольно случайно, по крайней мере в том виде, в котором были найдены.
Динамика неабелевых калибровочных теорий — один из интереснейших вопросов квантовой теории поля. Калибровочные теории лежит в основе стандартной модели фундаментальных взаимодействий. Хотя теория возмущений позволяет вычислять амплитуды рассеяния частиц, входящих в микроскопический лагранжиан при больших энергиях (благодаря уменьшению перенормированной константы связи с ростом энергии), мало что можно сказать про низкоэнергетическую структуру теории, используя лишь пертурбативные методы. Полное описание динамики теории задается функциональным интегралом / DA e s по калибровочным полям Ац с действием Янга-Миллса S = j dDx{—\ Tr F2). Конечно, точное вычисление функционального интеграла является сложной задачей из-за неквадратичности действия, обусловленной присутствием коммутаторного члена в FM„ = дцAv — диАц + [Ац,А„]. Размерная редукция (уменьшение числа степеней свободы выбрасыванием зависимости полей от одной или нескольких координат) позволяет сильно упростить вычисление функционального интеграла и в тоже время дает какую-то информацию о динамике исходной теории. В этом контексте появляется понятие квантовой механики Янга-Миллса (редукция в одно измерение - время) и матричной модели Янга-Миллса (редукция в ноль измерений). В последнем случае поля принимаются независящими не только от координат, но и от времени тоже. При этом классическое описание, конечно, тривиально. Однако, квантовые корреляторы хорошо определены в терминах функционального интеграла — статистической суммы. В случае редукции в ноль измерений статическая сумма является конечномерным интегралом по компонентам полей, лежащим в алгебре Ли калибровочной группы.
Есть несколько причин, по которым интересно изучать матричные модели такого типа. Во-первых, калибровочную теорию в D измерениях можно реализовать с помощью SYMM бесконечно большого ранга [37]. Далее, динамика N D{—1)-бран в D измерениях канонически описывается такой же матричной моделью, и существует гипотеза [19], что в случае десяти измерений и предела бесконечного ранга матриц SYMM является непертурбативным определением десятимерной теории суперструн типа ПВ. Интуитивно это утверждение предполагает, что все динамические объекты в теории струн (сами фундаментальные струны и браны) могут быть построены из объектов нулевой размерности — D{—\) бран. Наконец, D(—1)-браны также можно интерпретировать как инстантоны в калибровочной теории. Действительно, ADHM конструкция [41] предъявляет явное описание пространства модулей к инстантонов с помощью к х к матриц, и мера на пространстве модулей инстантонов в N — 2 SYM схематично дается действием SYMM [42]. Таким образом, с небольшими изменениями (добавление матриц, соответствующих струнам, оканчивающимся на N D3 и к D(—1) бранах, и, соответственно, преобразующихся в бифундаментальном представлении V(N) х U(fc) ) данная матричная модель описывает вклад к инстантонов в N = 2 эффективный низкоэнергетический предпотенциал [42-46]. И, наконец, вычисление статистической суммы матричной модели Янга-Миллса (ноль измерений) тесно связано с решением задачи о числе нормируемых основных состояний в квантовой механике Янга-Миллса (одно измерение) [107-111]. А именно, в суперсимметричном случае статистическая сумма матричной модели равна объемному вкладу в индекс Виттена [112] соответствующей квантовой механики.
Введение суперсимметрии в модель позволяет еще больше ограничить динамику системы. Оказывается, что при этом вычисление статистической суммы можно произвести точно [39], несмотря на остающуюся нелинейность теории (в действие входит член [Л ,А,]2) и произвольно большую кратность интеграла. В данной главе будет рассмотрена статистическая сумма Д для J\f = 4 супер симметричной матричной модели Янга-Миллса с произвольной простой калибровочной группой G. Эта модель получается при полной размерной редукции из четырехмерной N = 1 суперсимметричной калибровочной теории:
Через Ац, А и D обозначим соответственно компоненты редуцированного 4-х компонентного векторного поля, 2-х компонентного вейлевского фермиона и скалярного вспомогательного поля. Последнее поле свободное; в модель оно введено для удобства записи преобразований суперсимметрии. Все компоненты преобразуются по присоединенному действию группы G, то есть лежат в соответствующей группе G алгебре Ли д. Мера интегрирования выбирается также G-инвариантной, она определена однозначно формой Киллинга на g с точностью до общего масштаба, который нормируется множителем YoUG/z) (где — это центр G). В данной главе рассматривается вычисление статистической суммы с нулевыми источниками, таким образом результат вычисления есть число, зависящее только от структуры алгебры д.
Проинтегрировав по фермионам, мы можем считать, что модель определена в евклидовой сигнатуре, при этом интеграл (4.1) сходится [113]. Действительно, после гауссова интегрирования по фермионам получается однородная функция переменных Аа, которую можно проинтегрировать по \А\. Получающаяся функция угловых координат сингулярна на подмногообразиях, соответствующих направлениям, в которых все элементы Ац алгебры g коммутируют. Простой подсчет степени роста подынтегрального выражения по отношению к корангу подмногообразия, на котором оно сингулярно, позволяет сделать вывод о сходимости интеграла. В простейшем случае su(2) интеграл / может быть явно вычислен в терминах гамма-функций [107,110,114]; результат равен 1/4. В случае простых групп старшего ранга вычисление интеграла в исходном виде чрезвычайно усложняется резким ростом1 кратности интеграла, равной 4 dim д.
