Содержание к диссертации
Введение
1 Двумерные конформные теории как теории свободных полей 12
1.1 Введение 12
1.1.1 Общие сведения 12
1.1.2 Конформный бутстрап 19
1.1.3 Уравнения Книжника-Замолодчикова 23
1.1.4 Алгебраические уравнения 25
1.1.5 Бозонизация: лагранжев подход 26
1.1.6 Алгебры Ли: представления со старшим весом 27
1.1.7 Свободные поля и алгебры Каца-Муди 29
1.2 Вычисление корреляторов и конформных блоков 34
1.2.1 Производящая функция примарных полей 34
1.2.2 Конформные блоки: sl(2) 37
1.2.3 Конформные блоки: общий случай 40
1.2.4 Корреляционные функции 41
1.2.5 Тест результатов и новые интегральные тождества . 44
1.3 Обсуждение 47
2 Описание швингеровских процессов при помощи конфигураций бран 49
2.1 Введение 49
2.2 Конфигурации бран, описывающие рождение пар во внешнем поле 51
2.2.1 Предварительные сведения 51
2.2.2 Рождение пар И^-бозонов в U{2) калибровочной теорий с точки зрения теории струн 54
2.2.3 Рождение материи в фундаментальном представлении . 60
2.2.4 Рождение монополь-антимонопольных пар 63
2.2.5 Рождение пар при конечной температуре 64
2.3 Распад БПС-частиц во внешних полях
2.4 Рождение пар в калибровочных теориях в пределе больших N и AdS/CFT соответствие 69
2.4.1 Режим сильной связи в J\f = 4 калибровочной теории и супергравитация 69
2.4.2 Образование пар в N = 4 теории с калибровочной груп-noflU(N)xU(l) 72
2.4.3 Образование пар в Л/" = 4 теории с калибровочной группой U(N)xU(2) 73
2.5 Обсуждение 77
3 Некоммутативные деформации в теории струн и квантовой теории поля 78
3.1 Введение 78
3.2 Неабелева деформация С/(1) калибровочной симметрии 84
3.2.1 Предел Зайберга-Виттена 84
3.2.2 Тест: приближение квадратичных полей 86
3.2.3 Переопределение полей 87
4 Эквивалентность Мориты 88
4.1 Обозначения 88
4.2 Двумерный тор. U(l)\e=M U(N) 90
4.3 Td. U(l)\e -* U{Ni) x x ^(ЛГГ) 92
4.4 Td. U(l)\e -U{N) 92
4.5 Некоммутативная и обычная теории Янга-Миллса 93
Заключение 97
Публикации автора по теме диссертации 100
Литература 101
- Алгебры Ли: представления со старшим весом
- Производящая функция примарных полей
- Рождение пар И^-бозонов в U{2) калибровочной теорий с точки зрения теории струн
- Образование пар в N = 4 теории с калибровочной груп-noflU(N)xU(l)
Введение к работе
Актуальность темы. Роль симметрии в современной теоретической физике трудно переоценить. Классический пример среди теорий, построены^ на основе принципа симметрии - это теория гравитации Эйнштейна, инвариантная относительно локальных преобразований координат. В квантовой теории поля симметрия лагранжиана диктует вид взаимодействий, определяет типы элементарных частиц и их заряды. Фундаментальную роль при описании взаимодействий элементарных частиц играют калибровочные симметрии, например, калибровочная группа (7(1) в КЭД и 57/(3) в КХД. Однако, стандартные методы квантовой теории поля, такие как теория возмущений, зачастую оказываются недостаточными для описания наиболее интересных, непертурбативных эффектов в калибровочных теориях, которые требуют знания поведения теории в режиме сильной связи. Здесь на помощь приходит терия струн, предоставляющая целый арсенал новых методов для исследования калибровочных теорий.
Теория струн (суперструн) является самосогласованной квантовой теорией, естественным образом объединяющей терию поля и гравитацию, и в настоящий момент насчитывает более чем тридцатипятилетнюю историю. В 1995 году, после появления работы Польчинского [1], произошла так называния вторая струнная революция. В результате был достигнут впечатляющий прогресс в понимании непертурбативных явлений и поведения теории струн в области сильной связи, основанный на внутренних симметриях, так называемых дуальностях, теории струн. При этом после появления работы Витте- на [2] калибровочные терии получили простое геометрическое представление в виде конфигураций D-бран разных размерностей. В частности, калибровочной группе U(N) в 4 измерениях соответствует стопка из N параллельных >3-бран. Правильность такого подхода была продемонстрирована в работах Мальдасены [3], Губсера, Клебанова и Полякова [4], и Виттена [5] на примере так называемого AdS/CFT соответствия, позволяющего описывать четырехмерную N = 4 суперсимметричную теорию Янга-Миллса при помощи теории струн типа ПВ на фоне метрики А(і% х 55. Естественно, эти примеры -только первые шаги на пути к полной картине, описывающей физику калибровочных теорий на языке теории струн. Таким образом, развитие струнного подхода к калибровочным теориям представляет актуальную и многообещающую проблему для исследования.
Помимо прогресса в описании калибровочных теорий, теория струн возродила интерес к конформным и некоммутативным симметриям. Напомним, что действие теории струн - это двумерная сигма-модель, описывающая отображения римановых поверхностей в d-мерное пространство-время. Среди симметрии этого действия есть и инвариантность относительно конформных преобразований. Группа конформных симметрии в двух измерениях бесконечномерна, и это накладывает очень сильные ограничения на теории с такой симметрией. Воспользовавшись этим, в 1984 году Белавин, Поляков и Замолодчиков [6] сформулировали новый подход к конформным теориям, в котором точные ответы, например, корреляционные функции, получаются как решения специальных уравнений, следующих из конформной симметрии. В физике конформная симметрия часто проявляется в точках фазового перехода термодинамических систем, например, в критической точке ферро-магнетных систем и более общих спиновых систем на решетках. Огромный интерес конформные теории вызывают у математиков, поскольку приводят к интересным бесконечномерным алгебрам: алгебрам Каца-Муди, вершинным алгебрам и др. Методы конформной теории поля, разработанные в контексте теории струн, находят здесь обширное применение.
В 1999 году, благодаря работе Зайберга и Виттена [7], стали активно изу- <б чаться некоммутативные симметрии в теории поля. Такие симметрии возникают при рассмотрении пространств, координаты на которых не коммутируют. Классической пример некоммутативного пространства - фазовое пространство квантовой механики: обобщенные координаты подчиняются соотношению неопределенности [р, q] = ih. С точки зрения теории струн кван- v товые теории поля на таких пространствах возникают при выборе специальной регуляризации. Помимо изучения новых нетривиальных свойств теорий с некоммутативной симметрией представляет непосредственный интерес вопрос об их связи с обычными калибровочными теориями, которые можно получить из теории струн при стандартной регуляризации струнной сигма- щ модели. Действительно, физические свойства теории не должны зависеть от выбора регуляризации, поэтому можно ожидать, что есть соответствие между некоммутативными и обычными калибровочными симметриями. Оказывается, что в некоторых случаях (например, для квазипериодических граничных условий) можно предъявить примеры, когда такое соответствие удается построить явно. Кроме того, интересно проследить эту связь и на уровне * действия струнной сигма-модели.
Целью работы являлось:
Изучение корреляционых функций в модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена и вычисление конформых блоков - голоморфных составляющих корреляционых функций, при помощи бозонизации.
Исследование процессов Швингеровского типа в калибровочных теориях с точки зрения теории струн и представление непетурбативных процессов рождения частиц во внешних полях при помощи конфигураций бран.
Изучение связи между регуляризацией сигма модели для открытых струн и калибровочной симметрией ее эффективного низкоэнергетического лагранжиана.
Исследование некоммутативной теории Янга-Миллса на торе. Построение явного преобразования, переводящего поля и наблюдаемые некоммутативной теории в соответствующие поля и наблюдаемые обычной калибровочной теории Янга-Миллса с группой симметрии U(N).
Научная новизна работы заключается в следующих оригинальных результатах, которые выносятся на защиту:
Описана двумерная конформная теория поля, позволяющая эффективно вычислять корреляционные функции в модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена на сфере. При этом корреляционные функции автоматически представляются в виде комбинаций голоморфных составляющих - конформных блоков, удовлетворяющих уравнениям Книжника-Замолодчикова. Выдвинута гипотеза о виде корреляторов на римановых поверхностях старших родов.
Разработано описание непертурбативных процессов рождения частиц в калибровочных теориях поля с точки зрения бранных конфигураций в теории струн.
Найдено двухпараметрическое семейство регуляризации струнной сигма-модели, позволяющее интеполировать между абелевой и некоммутативной калибровочной симметрией в эффективном действии для тахионного и векторного полей.
Построено явное преобразование (отображение Мориты), переводящее поля и наблюдаемые некоммутативной теории Янга-Миллса на торе в соответствующие поля и наблюдаемые обычной калибровочной теории на дуальном торе с подкрученными граничными условиями и обратно. Показано, что при этом поляковские петли переходят в некоммутатив- ные вильсоновские открытые петли ИИКК [8].
Структура диссертации такова:
В Главе 1 выведена двумерная конформная теория поля, позволяющая эффективно вычислять корреляционные функции в модели Весса-Зумино- ^ Новикова-Виттена на сфере. Конформные блоки, из которых состоят корреляционные функции, вычислены при помощи бозонизации и совпадают с решениями уравнений Книжника-Замолодчикова, найденнными Шехтманом и Варченко. Получены интегральные выражения для корреляторов в случае алгебры sl(2) и описан метод их вычисления для простых алгебр Ли.
Ф В Главе 2 разработано описание процессов рождения пар заряженных частиц (W-бозонов, монополей и др.) во внешних полях припомощи конфигураций D-бран в теории струн типа ПВ. Получено выражение для вероятности процесса с учетом струнных поправок с экспоненциальной точностью. Дется геометрическое представление процессов рождения материи в фундаментальном представлении и при конечной температуре. Описаны процессы * индуцированного распада БПС-частиц во внешних полях, например переход VT-бозона в дион и анти-монополь в постоянном магнитном поле. Исследова но поведение вероятности рождения пар в режиме сильной связи при помощи AdS/CFT соответствия. Получено неявное выражение для вероятности рож дения пар для калибровочной группы U(N) X /(2) в режиме сильной связи в терминах эллиптических интегралов.
В Главе 3 обсуждается связь между регуляризацией струнной сигма-модели и калибровочными симметриями эффективного низкоэнергетического действия. Найдено двухпараметрическое семейство регуляризации струн- ной сигма-модели и переопределение полей, позволяющие интеполировать между абелевой и некоммутативной калибровочной симметрией в эффективном действии для тахионного и векторного полей, описывающем наинизшие « возбуждения бозонной струны
В Главе 4 исследованы некоммутативные калибровочные симметрии в рамках квантово-полевого подхода. Построено явное преобразование (отображение Мориты), переводящее поля и наблюдаемые некоммутативной теории Янга-Миллса на торе с периодическими граничными условиями при рацио- ^ нальном значении параметра некоммутативности, в соответствующие поля и наблюдаемые обычной калибровочной теории на дуальном торе с подкрученными граничными условиями и обратно, С точки зрения некоммутативной геометрии эта связь является проявлением эквивалентности Мориты. Показано, что при этом поляковские петли обычной теории Янга-Миллса пере- -j ходят в некоммутативные вильсоновские петли, введенные Ишибаши, Исо, Каваи и Китазавой [8].
В Заключении сформулированы результаты работы.
Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской Академии Наук.
Основные результаты диссертации докладывались на научных семина- щ pax ИТФ им. Л.Д. Ландау, ИТЭФ, ФИАН и ИЯИ; международной школе "Симметрии и интегрируемые системы "(Дубна, 1999), Международной летней школе-семинаре по современым проблемам теоретической и математической физики (Казань, 1999), Бретанской конференции по физике высоких энергий (Гидель, Франция 2000). л По теме диссертации опубликовано три работы, список которых приведен в конце диссертации.
Алгебры Ли: представления со старшим весом
Представление алгебры sl(2) со старшим весом (спином) j Є N/2 дается: (1.1.48) Помимо хорошо известной матричной реализации, алгебру можно представлять при помощи дифференциальных операторов, действующих на полиномы. Например, легко проверить, что следующие операторы: е = -2:2 + 2jx образуют агебру sl(2), действуя на полиномах от х, поскольку их коммутаторы совпадают с (1.1.47). Для представлений со старшим весом в такой формулировке имеется соответствие: в чем легко убедиться непосредственно. Для реализаций алгебры Каца-Муди и их представлений нам понадобится три типа свободных полей (см. например, [32]). Во-первых, введем скалярное свободное поле ф с действием: Учитывая уравнения движения, удобно разделить поле ф на голоморфную и антиголоморфную части: с операторным разложением: В дальнейшем нам понадобится следующая формула для корреляторов произведения экспонент Д-полей: где символ Кронекера возникает из-за интегрирования по нулевой моде. Условие Soij = 0 довольно важно и называется законом сохранения заряда (поскольку действие (1Л.54) фактически описывает "двумерный кулоновский газ"частиц с взаимодействием Ї7(гіа) = — сца2 logria). В дальнейшем оно всегда предполагается выполненным и символ Кронекера опускается. Голоморфная факторизация в выражении (1.1.54) очевидна. Действие (1.1.51) можно деформировать добавлением члена с двумерной кривизной 7Z: где д - детерминант двумерной метрики. Эта деформация будет важна, когда мы перейдем к реализации алгебр Каца-Муди. Кроме того, нам понадобятся поля /З7 где поле (3 имеет спин 1, а поле 7 -спин 0. Такие /3 и 7-поля хорошо известны в теории струн. Они описываются действием; Введем также их антиголоморфные партнеры: Операторные разложения имеют вид: Для вычисления корреляторов с участием /5 и 7-полей на сфере достаточно знать, что для них справедлива теорема Вика, а парный коррелятор (функция Грина оператора В) равен в соответствии с (1.1.58). Тогда общий коррелятор /?7_системы дается: В используемой прескрипции все корреляторы, в которых число /?-полей не равно числу 7-полей, обращаются в ноль9. Напомним, алгебра Каца-Муди g, связанная с алгеброй Ли g, задается при помощи токов Ja{z) с операторным разложением: где /с - структурные константы алгебры g, а ть - инвариантная форма Киллинга. Для краткости мы обозначили через ф голоморфную часть фь{%) поля ф(г, z). Например, для алгебры g = sl{2): Ниже мы подробно опишем представление свободными полями для алгебры Каца-Муди sl(2)k, а в конце раздела представим обобщение для других аггебр. Нетрудно проверить, что для токов, определенных согласно: т.е. J1 1 и Я образуют алгебру s/(2)&. Отметим, что эти токи получаются из представления (1.1.49) заменой: и перенормировкой с добавлением аномального члена (д2 —2)07 к последнему току.
Для реализации прим арных полей в терминах ф, {3,7 нам надо построить конечномерное представление алгебры sl(2)k. Рассмотрим цепочку вершинных операторов: вектор представления, он не имеет сингулярных членов в разложении с током J t а остальные члены цепочки получаются последовательным действием на него тока J+ и выделением множителя при полюсной сингулярности. Все операторы из этого представления являются собственными для картана J0. Последний оператор в (1.1.66) не имеет сингулярных членов в разложении с током J+, что означает конечномерность представления. В явном виде: Соответствие (1.1.66) с полиномиальным представлением (1.1.50) очевидно. Для описания конформных свойств операторов (1.1.66) нам необходим тензор энергии-импульса. Он строится по конструкции Сугавары: Точку R без потери общности можно устремить в бесконечность. В дальнейшем мы для краткости не будем явно записывать вставку вакуумного заряда, хотя это везде предполагается. Все операторы из представления (1.1.66) имеют одинаковую конформную размерность по отношению к сугаваровскому тензору энергии-импульса (1.1.69). Кроме представлений (1.1.66) в теории важную роль играет особый оператор с нулевой конформной размерностью: - так называемый экранирующий оператор (оператор Фейгина-Фукса [41]). Он коммутирует с алгеброй (1.1.63) и не меняет конформных свойств коррелятора. Его роль сводится в обеспечению обращения в ноль полного заряда коррелятора по полю ф, для чего под коррелятор надо вставлять некоторое число операторов (1.1.74). Как упоминалось выше, в лагранжевом подходе таким способом обеспечивается корректность производимых замен координат. Теперь кратко опишем обобщение бозонизации на случай произвольной алгебры g (необходимые подробности можно найти в [34, 35]). Стартуем с представления дифференциальными операторами соответствующей алгебры Jlng: где W, P - полиномы, зависящие от выбора g. Затем введем г копий полей ф, /3,7 с операторным разложением: После этого выражения для соответствующих токов Каца-Муди можно получить подстановкой: и добавлением аномального члена Ffnom{ {z) d (z)) (явный вид приведен в [34, 35], но он нам не понадобится) в последнюю строчку (1.1.75). Примарные поля даются: Экранирующие операторы имеют вид: В этом разделе мы опишем, как вычислять корреляторы и конформные блоки модели ВЗНВ. Для этого хорошо известную картину представления свободных полей, изложенную во Введении, надо будет дополнить двумя новыми ингридиентами. Во-первых, для получения конформных блоков, удовлетворяющих уравнениям Книжника-Замолодчикова, будет необходимо ввести специальную производящую функцию примарных полей. Во-вторых, чтобы правильно построить корреляционные функции из конформных блоков, в действие для свободных полей надо будет добавить маргинальный член, эффективно описывающий взаимодействие вершинных операторов с экранирующими операторами. Это составляет основной результат данной главы. Итак, наша задача состоит в нахождении конформных блоков - решений уравнений Книжника-Замолодчикова и дополнительных алгебраических уравнений, с заданными конформными размерностями и старшими весами
Производящая функция примарных полей
После этого выражения для соответствующих токов Каца-Муди можно получить подстановкой: и добавлением аномального члена Ffnom{ {z) d (z)) (явный вид приведен в [34, 35], но он нам не понадобится) в последнюю строчку (1.1.75). Примарные поля даются: Экранирующие операторы имеют вид: В этом разделе мы опишем, как вычислять корреляторы и конформные блоки модели ВЗНВ. Для этого хорошо известную картину представления свободных полей, изложенную во Введении, надо будет дополнить двумя новыми ингридиентами. Во-первых, для получения конформных блоков, удовлетворяющих уравнениям Книжника-Замолодчикова, будет необходимо ввести специальную производящую функцию примарных полей. Во-вторых, чтобы правильно построить корреляционные функции из конформных блоков, в действие для свободных полей надо будет добавить маргинальный член, эффективно описывающий взаимодействие вершинных операторов с экранирующими операторами. Это составляет основной результат данной главы. Итак, наша задача состоит в нахождении конформных блоков - решений уравнений Книжника-Замолодчикова и дополнительных алгебраических уравнений, с заданными конформными размерностями и старшими весами представлений. Во Введении мы описали ингридиенты, которые локально (в смысле операторных разложений квантовой теории поля) являются составляющими искомых решений. Единственный вопрос - как правильно "собрать "эти ингридиенты в конформный блок, удовлетворяющий уравнениям Книжника-Замолодчикова? Для иллюстрации основной идеи начнем опять с простейшего случая -алгебры si (2). Уравнения Книжника-Замолодчикова (1.1.39) принимают вид: С математической точки зрения это уравнения на функцию N переменных T{z\,..., ZN) со значениями в тензорном произведении N представлений алгебры sl(2). Индекс г у оператора hi (e fi) означает, что он действует как h (є,/) на г-тую компоненту в тензорном произведении, и как единичный оператор - на все остальные. Для удобства в дальнейшем обозначим через v "вакуумный вектор "представления: Тогда в общем виде F{z) можно записать как Поясним, почему конформный блок имеет такую структуру. Слова о том, что набор примарных полей образует представление алгебры, означают, что известен способ преобразования элементов набора (1.2.84) под действием генераторов алгебры (они "вращают"(1.2.84) во внутреннем пространстве). Генераторы е, /, h естественно действуют сами на себя, поэтому для примарных полей можно определить где Cm - некоторые константы. Закон преобразования под действием генера-тов е, /, h для элементов Фд такого мультиплета очевиден.
Голоморфным частям примарных полей ФmA (z, z) в изложенной формулировке соответствуют вершинные операторы VjiJn(z) (1.1.66), которые также следует объединить в мультиплет10: (Члены с т j в этой сумме несущественны, поскольку в силу условия P+1 \j 0) = 0 они исчезнут при действии Vj на и.) Константы Сщ в (1.2.86) однозначно определяются из операторного разложения (1.1.27), которое должны иметь примарные поля с токами: С помощью (1.2.88) ряд (1.2.86) суммируется в экспоненту - вершинный оператор "одевается", и мы получаем следующее выражение для производящей 10Такая конструкция полностью аналогична известному сопоставлению трехмерному вектору тї матрицы 2 х 2 по формуле (п)аь = {пс)в.ъ- гДе ? _ матрицы Паули. функции соответствующего примарного поля выражение: Этот результат непосредственно обобщается на случай произвольной алгебры Ли. В этом случае матрица П в уравнении (1.2.80) имеет вид: а производящая функция примарных полей дается: Непосредственным вычислением проверяется, что (1.2.91) имеет правильные операторные разложения (1.1.26) с токами Каца-Муди. Теперь мы полностью готовы к вычислению конформных блоков. Для этого мы предлагаем следующий рецепт, мотивированный ([32, 39, 40]): конформные блоки - это голоморфные части кореляторов производящих функций (1.2.89) со вставкой п экранирующих операторов: где индекс а нумерует различные наборы контуров интегрирования, а коррелятор вычисляется при помощи киральной части действия (1.1.55). Число п в этой формуле диктуется законом сохранения заряда: где единица отвечает вкладу вакуумного заряда. Покажем, что определенная таким образом величина действительно является решением уравнений Книжника-Замолодчикова. Континуальный интеграл по скалярным полям в (1.2.92) дает общий множитель а интеграл по (/3,7)-П0ЛЯМ равен: где знак Е означает суммирование по всем перестановкам чисел perm { т(1),..., a(N)}, таким, что среди них число і (і = 1, — , JV) встречается ровно пи раз. Следуя [44], удобно ввести функцию: Тогда, собирая вместе (1.2.94) и (1.2.95), мы получим следующее выражение: которое совпадает с известным решением Шехтмана-Варченко [43, 42, 44, 45] уравнений Книжника-Замолодчикова11. В этом можно также убедиться и прямой постановкой. Заметим, что общее решение, найденное в [43, 42] получится, если снять ограничение (1.2.93) на число вставленных экранирующих операторов и допустить любые другие (натуральные) значения параметра п в (1.2.97). Как уже говорилось выше, конформными блоками модели ВЗНВ являются не все решения уравнений КЗ, а только те, которые удовлетворяют дополнительным алгебраическим уравнениям (1Л.40). Б.Фейгин, В.Шехтман и А.Варченко [48] доказали, что решение (1.2.97) удовлетворяет этим уравнениям как раз при наложении условия (1.2.93) на параметр п.
Рождение пар И^-бозонов в U{2) калибровочной теорий с точки зрения теории струн
Начнем с рассмотрения следующего примера: (1+1)-мерной калибровочной теории с группой U (2). Эта теория релизуется на мировом объеме двух параллельных .Ш-бран в теории струн типа ИВ. Напомним, что Пр-бр&пы это {р+ 1)-мерные динамические протяженные объекты, на которых могут оканчиваться открытые струны. Расстояние v соответствует нарушению калибро-вочнной группы 17(2) — С7(1) х [7(1). В соответствии с механизмом Хиггса в теории при этом имеется бозон, масса которого пропорциональна расстоянию между бранами. Заметим, что в случае совпадающих бран (v = 0) калибровочная симметрия полностью восстанавливается. Чтобы включить электрическое поле, в принципе надо добавить стандартный граничный член [74]: в действие Намбу-Гото. Однако, в теории струн ПВ аналогичный эффект достигается, если рассмотреть (п, 1)-струны вместо Dl-бран [75]). Напомним, что (р, д)-струна - это связанное состояние р фундаментальных струн и q Dl-бран. Тогда значение электрического поля будет равно: где gst - струнная константа связи, связанная с полевой константой связи д соотношением: gst = д2. Как видно из этой формулы, существует максимально возможное (критическое) значение электрического поля, равное Е&. = 1. По достижении этого значения эффективное натяжение открытой струны обращается в ноль. С точки зрения теории поля, это отвечает образованию пар без экспоненциального подавления, поскольку в этом случае 5 [?ст] = 0. Хиггсовским W-бозонам в этой картине соответствуют фундаментальные струны, натянутые между двумя дионными (п — 1,1) струнами. С точки зрения /(2) калибровочнной группы матрица электрического поля имеет вид diag(, -Е). Рис.2: (а) Евклидова конфигурация бран, описывающая рождение пар W-бозонов в U(2) (1+1)-мерной калибровочной теории. (Ь) Точка слияния трех (Р. _)-струн. Таким образом, мы предлагаем следующую конфигурацию бран для описания рождения пар в 1+1 измерениях (см. Рис.2). Мировая поверхность фундаментальной (1,0)-струны, натянутой между двумя (п, 1)-струнами, очевидно, должна обладать вращательной симметрией. Мировые поверхности, (п, 1)-струн, наивно выглядящие как параллельные плоскости, на самом деле (как мы увидим ниже) логарифмически искривляются на бесконечности. Это является артефактом двухмерной физики. Однако, с точки зрения теории поля отклонение мировой поверхности (п, 1)-струн от плоской формы может быть интерпретировано как перенормировка массы W-бозона, и следовательно, не оказывает влияние на окончательный ответ для вероятности, выраженный через физическую массу. Поэтому сначала мы будем работать в приближении плоских мировых поверхностей (тг, 1)-струн,
Кроме того, мы должны учесть два диска, "заклеивающие"поверхность фундаментальной струны сверху и снизу, и являющиеся мировыми поверхностями (п — 1,1) струн. Напомним, что закон сохранения NS — NS и RR -зарядов требует выполнения соотношения: для трех контактирующих ориентированных (р, ?)-, (pi, 7i)- и (р2 Н)-струн. Очевидно, что мировые поверхности (п — 1,1) струн обязаны быть плоскими, поскольку электрические силы действуют на них только на границе. Выберем цилиндрические координаты (г, ф, z) таким образом, чтобы поверхности (п— 1,1)-струн были ортогональны оси z. Угол 7 между минимальной поверхностью фундаментальной (F) струны и поверхностью (п — 1,1)-струны (Рис. 2Ь) зависит от струнной константы связи д& и числа п. При больших п или l/gat . Угол j3 между (n, 1)- и (n — 1,1)-струнными поверхностями в этом случае всегда мал: Из (2.2.11) следует, что при малой струнной константе связи поверхность F-струны ортогональна поверхности (п—1,1), и принимает практически цилиндрическую форму. При больших значениях д& F-струна подходит к дионной струне практически под нулевым углом. Интересно проследить, как выглядит процесс рождения пар с точки зрения эволюции в евклидовом времени. Для этого надо рассмотреть последовательные сечения Рис.2а, скажем yz -плоскостями (направив время по оси х). Сначала в некоторой точке евклидова времени от каждой из -бран вытягиваются по .F-струне (Рис. За). Затем эти две струны касаются в некоторой промежуточной точке (Рис. ЗЬ) и переходят в две струны, натянутые между Л-бранами (Рис.Зс). После материализации в пространстве Минковского они разлетаются. (a) Рис.3: Евклидовы временные срезы, показывающие эволюцию струн в постоянном электрическом поле.
Образование пар в N = 4 теории с калибровочной груп-noflU(N)xU(l)
Важный вопрос, который следует обсудить, касается учета постоянного электрического поля в дуальной гравитационной картине. Одна возможность состоит в прямом учете поля в метрике (см. [77, 78]). К сожалению, при этом становится трудно найти явное решение для минимальной поверхности, поскольку учет внешнего поля таким образом нарушает симметрии пространства AdS$. Вместо этого для учета взаимодействия с электрическим полем мы предлагаем добавить граничный член (2.2.8) в эффективное действие: Здесь через Fpv обозначена напряженность калибровочного поля. С точки зрения струны этот член не что иное как обычный Л -член в действии Намбу-Гото. Для учета искривленной метрики будет удобно ввести "скалярное "электрическое поле Е, умножив тензор калибровочного поля на фактор красного смещения из метрики (2.4.38): -АЛЗ Значение так определенного электрического поля не зависит от положения наблюдателя в поперечном направлении z. Тогда легко видеть, что граничный член (2.4.41) дает площадь3 диска с?Е, вырезаемого границей минимальной поверхности из )3-браны. Таким образом, мы приходим к следующему эффективному действию: Очевидно, что для минимальной поверхности с двумя границами эффективное действие (2.4.43) будет содержать два граничных члена. Для нахождения вычисленную в метрике AdSb (2.4.38) вероятности необходимо минимизировать это действие. Минимизация проходит в два этапа. На первом шаге мы фиксируем граничные условия и находим соответствующую им минимальную поверхность. Затем мы находим минимум Sef/ по отношению к граничным условиям. Вычисление вероятности процесса, отвечающего минимальной поверхности в виде "шапочки"(Рис.8b) , приведено в разделе 4.2. По сути, оно похоже на вычисление среднего вильсоновской петли в Af = 4 теории Янга-Миллса [65, 66, 67, 68]. Однако, в нашем случае имеется два отличия. Во-первых, на пробной 3-бране включено электрическое поле, определяющее значение угла между поверхностью фундаментальной струны и 3-браны. Во-вторых, пробная )3-брана не уноситтся на бесконечность, поскольку мы хотим зафиксировать массу W-бозона. Другой интересный пример, рассмотренный в разделе 4.3, реализуется в случае нарушения калибровочной группы по сценарию U(N + 2) — U(N) х U(2). В дуальной гравитационной картине тогда имеется две пробные браны в пространстве AdS и трубообразная поверхность струны, натянутой между ними. Площадь минимальной поверхности в виде "шапочки"с окружностью в качестве границы в пространстве AdS была вычислена в работах [79, 80] для нулевого электрического поля. Задача с учетом электрического поля решена в разделе 4.3, и здесь мы воспользуемся этим результатом. Поскольку на "шапочке"есть точка г = р = 0 ("полюс"), мы должны положить с — О в интеграле движения (2.4.59).
Таким образом, уравнение минимальной по верхности в координатах (р, г) есть просто г = const. В координатах (г, z) оно принимает вид: Электрическое поле определяет угол между этой поверхностью и 1?3-браной. При нулевом значении поля этот угол равен тг/2. Действие, которое необходимо минимизировать, как функцию граничных условий, дается выражением: где х = sinh/э определяет граничный радиус поверхности. Экстремум действия достигается при Таким образом, и после восстановления зависимости от Ы и константы связи вероятность процесса принимает вид: Отметим, что вероятность не зависит от массы VK-бозона, или, иными словами, от положения .ОЗ-браны в пространстве AdS. Начнем с определения связи между значением электрического поля и углом, под которым минимальная поверхность подходит к ДЗ-бране. Эффективное действие в координатах (г, z) принимает вид: с подходящими граничными условиями: r(zitn) = г д. Чтобы найти минимум действия (2.4.49) мы должны продифференцировать его по гдд и затем приравнять производные к нулю. Используя уравнения движения, мы находим: Таким образом, На левой (L) бране 0, в то время как на правой (R) бране 0. Отметим, что мы получили те же граничные условия подклеивания мировой поверхности к бране в терминах поля Е, что и для случая малой константы связи (2.2.18). Более того, видно, что и в режиме сильной связи существует то же критическое электрическое поле, что и в (1+1)-мерной задаче. Это можно рассматривать как простейший тест согласованности нашего подхода. В качестве следующей проверки продемонстрируем, как возникает формула Швингера в дуальной гравитационной картине. Для этого рассмотрим образование очень легких И бозонов в слабом поле4. Эффективное действие имеет вид: Значение константы с можно определить из условия, что расстояние между левой и правой бранами равно v. Предположим, что с ; 1. Тогда легко показать, что логарифм в (2.4.55) порядка с, в то время как сам интеграл порядка и поэтому несуществен. 4то есть в предположении vjB,AdS "S 1
