Гравитирующие сигма-модели в теории струн Кечкин Олег Вячеславович

Содержание к диссертации

Введение

1 сг-модели в гравитации и теории струн 30

1.1 Трёхмерная а-модель в ТЭ 30

1.2 Трёхмерная сг-модель в ТЭМ 34

1.3 Трёхмерная генерация из ТЭ в ТЭМ 37

1.4 Трёхмерная а-модель в ТЭМД 42

1.5 Трёхмерная сг-модель в ТЭМДА 45

1.6 Трёхмерная а-модель в ТГС 49

1.7 Симметрии двумерных а-моделей 53

1.8 Солитоиы в двумерных сг-моделях 58

2 сг-модели с симплектическои симметрией 62

2.1 Изучение усечённой сг-модели 62

2.2 Группа заряжающих симметрии 6G

2.3 Симметрии пространства зарядов 69

2.4 Построение линеаризующего представления 74

2.5 Генерация неэкстремальных решений 77

2.6 Инвариантный класс экстремальных решений 80

2.7 Инвариантный класс геодезических решений 84

2.8 Изучение расширенной сг-модели 89

3 сг-модели с ортогональной симметрией 95

3.1 Матричные потенциалы Эрнста 95

3.2 Классификация скрытых симметрии 98

3.3 Группа заряжающих симметрии 101

3.4 Линеаризующее представление 108

3.5 Инвариантный класс решений ИВП 114

3.6 Генерация в моделях с d + n — 2 119

3.7 Генерация в моделях с d + п > 2 126

4 Т-модели с унитарной и унимодулярной симметрией 133

4.1 Унитарное усечение модели с d = п — 1 133

4.2 Унитарное расширение модели с d — п — 1: группа заряжающих симметрии 137

4.3 Унитарное расширение модели с d = п = 1: общий формализм матричных потенциалов 143

4.4 Унимодулярное представление для модели с fif — 2, п — 0 и его расширения 147

4.5 Инвариантный класс геодезических решений в модели с d = 2, 71-:0 152

4.6 Гармонические подпространства в расширенных моделях 157

4.7 Инвариантные отображения в классе расширенных моделей 164

5 cr-модели в двух измерениях 171

5.1 Альтернативные матричные представления 171

5.2 Асимптотически плоские солитонные решения 174

5.3 Некоторые конкретные примеры 179

Заключение 185

• Трёхмерная сг-модель в ТЭМ
• Солитоиы в двумерных сг-моделях
• Инвариантный класс экстремальных решений
• Генерация в моделях с d + п > 2

Введение к работе

Создание последовательной теории, реалистически описывающей все фундаментальные частицы и взаимодействия между ними, является основной задачей теоретической физики. В настоящее время считается, что решение этой задачи может быть найдено на пути построении самосогласованной непертурбативной теории суперструн, с последующей интерпретацией её результатов в терминах объектов и событий, наблюдаемых в эксперименте [1]—[Т]. Современное состояние данной области физико-математических наук характеризуется бурным и всесторонним развитием. Представляемая диссертационная работа посвящена изучению ряда предсказываемых теорией суперструн модификаций Общей Теории Относительности.

В настоящее время Общая Теория Относительности (ОТО) [8]-[12] и, особенно, различные её обобщения, составляют существенную часть всей физико-математической деятельности. При этом, в отличие от предшествующего периода развития предмета, современные варианты ОТО оказываются естественным образом связанными с другой, ранее автономной частью теоретической физики - с квантовой теорией поля (КТП) [13]—[19]. Взаимопроникновение феноменологических приложений двух указанных дисциплин - физики чёрных дыр [20]—[23] и космологии [24]-[26] (со стороны ОТО) и физики элементарных частиц [27]-[33] (со стороны КТП) - уже принесло определённые результаты [34]-[38]. Однако как прикладная, так и фундаментальная работа в деле создания соответствующей объединённой теории остаются ещё весьма далекими от своего логического завершения и активно продолжаются в наше время.

Несколько упрощая, можно сказать, что под обобщением ОТО понимается любая общековариаитная теория, в рамках которой метрика физического пространства-времени и набор рассматриваемых полей материи описываются в соответствующей (квази)геомстрической форме. При этом метрика входит в уравнения движения теории в том числе, и

через определяемые тензором кривизны Римапа-Кристоффеля величины, а поля материи часто объединяются в различные нетривиальные мультиплсты. Так, например, в рамках простейших обобщений в качестве обсуждаемой метрической конструкции выступает тензор Риччи и скаляр кривизны, а материальные поля являются либо скалярами, либо потенциалами для соответствующих дифференциальных форм (о различных используемых здесь геометрических структурах можно прочитать в [39]-[41]). Разумеется, множество возможных обобщений ОТО оказывается при этом бесконечным, а детальное изучение их свойств и последующая классификация упираются в проблему существенной нелинейности всех подобных теорий.

С учётом указанных трудностей, а также исходя из общих эстетических соображений, до некоторой степени произвольное 'конструирование' очередного варианта обобщения ОТО стараются заменить на 'вывод' уравнений движения новой теории (или её лагранжиана в случае лагранжеиых систем) из того или иного 'псрвопринципа'. Исторически первым таким 'первопринципом' оказался т. н. 'принцип геометризации', в рамках которого не только уравнения движения, но и набор всех материальных полей теории должны иметь 'чисто геометрическое происхождение'.

К классу 'геометризовапных' теорий относятся, например, теории Калуцы-Клейна (ТКК), которые являются обобщениями ОТО на случай пространства-времени большей, чем четыре, размерности [42]-[44]. В ТКК поля материи 'получают' из дополнительных компонент метрики, а дополнительные измерения 'сворачивают' в компакты микроскопических (точнее, ненаблюдаемых в 'обычных' экспериментах) размеров. После этого исследуют возникающую четырёхмерную теорию, которая описывает систему определённым образом взаимодействующих скалярных и калибровочных полей, 'минимально' связанных с метрикой. Отмстим, что исходная многомерная теория является стандартной Общей Теорией Относительности (с соответствующим числом измерений) в вакууме. Об истории обсуждаемого здесь геометрического подхода к построению обобщений ОТО можно прочитать, например, в сборнике [45].

Теория Ворна-Ифельда-Эйнштейна (ТБИЭ) является ещё одним примером 'геометризованной' теории, получившей, к тому же, в последнее время своё второе, уже струнное, рождение. В ТБИЭ у

метрического тензора предполагается наличие антисимметричной части; эта последняя полагается пропорциональной максвелловскому тензору напряжённости электромагнитного ноля. При этом симметричная часть метрического тензора связывается с 'обычной' метрикой искривлённого четырёхмерного пространства-времени. Не останавливаясь на подробностях, которые могут быть найдены в литературе (например, в работе [46]), отметим, что ТБИЭ оказывается эквивалентной борн-инфельдовскому нелинейному варианту электродинамики, взаимодействующей с гравитационным полем. О некоторых современных вариантах ТБИЭ и их приложениях можно прочитать в [47]-[49].

Следует отметить, что как в случае ТКК, так и в случае ТБИЭ, соответствующая конкретизация 'принципа геометризации', имеющая простой аналитический смысл, позволяет установить как 'спектр' полей теории, так и тип взаимодействия между ними. Иными словами, в рамках такого подхода удаётся 'вывести' интересующий вариант теории в его явном виде, т. е. устанавливаются своего рода 'правила отбора' на множестве всех теорий из рассматриваемого класса. При этом исходный 'первопринцип' вовсе не обязательно должен быть связан, как это было в случае рассмотренных теорий, именно с геометрией.

Действительно, развитие квантовой теории привело к такому изменению области формулирования 'первоприпципов', в результате которого 'принцип геометризации' оказался заменённым па 'принцип наличия квантового варианта' у той или иной 'затравочной' классической системы. Разумеется, именно указанный квантовый вариант рассматривается в данном подходе как 'истинная физическая' теория, а породившая его классическая система играет роль лишь соответствующего к нему приближения. Однако в силу требуемой согласованности процедуры квантования на множестве всех 'затравочных' классических теорий из рассматриваемого класса очевидным образом задаются 'правила отбора'. А именно, в силу этих правил отбираются только те классические теории, которые имеют свой квантовый вариант. Мы здесь не будем входить в детали обсуждения последовательной процедуры квантования и лишь отметим, что он по-необходимости понимается в пертурбативном смысле и основывается на свойствах перенормируемости и (почти всегда) отсутствия аномалий у рассматриваемых теорий.

Аномалии, как известно, отвечают потере тех или иных симметрии теории в результате проведения процедуры квантования. При этом полная группа симметрии является одним из основных характеристических свойств рассматриваемой теории. А именно, упрощая, можно сказать, что в рамках соответствующих друг другу классической и квантовой теорий реализуются различные представления одной и той же группы фундаментальных симметрии (о теории представлений групп и её физических приложениях см. курс [50], а также монографии [51] - [53]). Забегая вперёд, отметим, что уравнения струнной гравитации, с исследованием пространства решений которых связана эта диссертационная работа, являются условиями отсутствия аномалий в теории гстсротичсской струны (ТГС) в иизкоэнергетическом приближении. С формальной же точки зрения обсуждаемая струнная гравитация выступает в качестве ещё одного, уже мотивированного пертурбативной ТГС, конкретного обобщения ОТО. Различные современные нетривиальные струнно- и кваптовогравитационные обобщения ОТО можно найти, например, в работах С. Одинцова с соавторами, см. [54J—[70] (и, особенно, обзор [71]). В указанных работах также даются многочисленные и приложения струнной теории, к космологии и физике чёрных дыр.

Заметим, что теория струн и сама является теоретической схемой, отвечающей второму из сформулированных 'первопринципов'. Соответствующая классическая теория описывает динамику одномерных объектов — замкнутых и открытых струн, инвариантную относительно действия группы конформных симметрии. Последовательная процедура квантования должна, в соответствии с общей схемой деятельности, быть свободной от конформной аномалии. Замечательно, что это требование позволяет, например, 'вычислить' размерность физического пространства-времени [72] - [76]. Отметим, что классическая и квантовая струнная динамика активно исследовалась в Лаборатории теоретической физики ОИЯИ Б. М. Барбашовым, В. В. Нестеренко и соавторами, [77] - [91]. При этом изучались и различные тесным образом связанные со. струнной теорией общие вопросы и конкретные теоретические конструкции [92] - [96].

С целью устранения тахионных состояний изначально бозонная теория должна быть суперсимметризована ( о суперсимметрии см. [97] - [98]),

(

после чего получившаяся теория суперструн должна быть тем или иным образом проквантовапа. В результате в рамках пертурбативного подхода получаются пять различных согласованных конкретных суперструнных теорий. Их низкоэнергетичеекие пределы описываются, как известно, соответствующими супергравитациями [99] - [102]. Отметим, что все эти супергравитации являются, с формальной точки зрения, вполне определёнными обобщениями ОТО, 'поддерживаемыми', как говорят, теорией суперструн.

Как уже говорилось, теория суперструн претендует на роль последовательной и реалистической теории великого объединения, включающей в себя, в том числе, и гравитационный сектор. Предполагается, что упомянутые пять её известных пертурбативпых 'режимов' (с одним из которых - пертурбативной теорией гетеротической струны и связана, главным образом, данная диссертационная работа), являются предельными случаями пока ещё не построенной, но активно разрабатываемой М-теории [103] - [105]. При этом информация о непертурбативной области М-теории получается, в основном, при помощи применения так называемых 'дуалыгостей', являющихся, по предположению, точными квантовыми симметриями данной теории [106] - [108]. Отметим, что преобразования дуальности применяются к результатам, полученным в рамках 'обычного' пертурбативного подхода. В связи с этим обстоятельством детальное исследование пертурбативпых режимов теории суперструн является важной и выходящей за свои собственные рамки задачей.

Обратимся теперь к обсуждению третьего 'первопринципа', или третьего 'правила отбора', замечательным образом согласующегося с уже обсуждавшимися первым и вторым 'правилами'. Имеется в виду принцип выбора из рассматриваемого класса теорий тех его представителей, которые имеют максимально широкую группу скрытых симметрии. При этом под симметрией здесь понимается любое преобразование независимых координат и функциональных переменных теории, переводящее произвольное решение сё уравнений движения D соответствующее ему в силу этого преобразования решение.

Как показывает практика, наличие нетривиальных симметрии у существенно нелинейной теории обеспечивает дополнительные (и наиболее действенные) возможности для исследования пространства её

решений и классификации элементов этого пространства [109] - [112]. В качестве примера такой теории может быть названа важная для приложений к физике частиц и крайне интересная с математической точки зрения модель Скирма. Существенный прогресс в её изучении, достигнутый группой Ю. П. Рыбакова, во многом основывается на использовании группы скрытых симметрии этой теории [113] - [118]. В частности, исследовались важные для феноменологии максимально-инвариантные конфигурации в модели Скирма.

Связанные с использованием теории симметрии методы часто называются 'методами генерации'; их использование привело к исключительному прогрессу как в стандартной ОТО, так и в некоторых 'удачных' обобщениях данной теории. При этом выясняснилось, что 'гёометризуемые' и 'имеющие квантовый аналог' обобщения ОТО, такие как, например, ТКК и, соответственно, низкоэнергетическая ТГС, обладают максимально широкими группами скрытых симметрии в рамках классов теорий соответствующих типов. В этом смысле три рассмотренных 'правила отбора' замечательным образом приводят к согласующимся результатам. Отметим, что, ввиду своей принципиальной вычислимости, доступными при изучении нелинейных теорий оказываются, фактически, только непрерывные симметрии.

Принципиальная схема метода генерации сводится к следующему. Используя разработанную Софусом Ли и его последователями процедуру, вычисляют все генераторы преобразований симметрии данной системы дифференциальных уравнений. Затем, по найденным инфинитезимальным преобразованиям, 'восстанавливают' соответствующие им конечные элементы группы скрытых симметрии теории. После этого, применяя, по-возможности, общий конечный элемент указанной группы преобразований, 'переводят' каждое из найденных ранее частных решений рассматриваемой системы в соответствующее семейство сё решений. При этом каждое из построенных таким образом семейств решений оказывается, автоматически, инвариантным классом по отношению к действию преобразований из группы скрытых симметрии. Отметим также, что поиск 'затравочных' решений выходит за рамки собственно метода генерации, а эффективность этого метода напрямую зависит от того, насколько нетривиальной является группа скрытых симметрии изучаемой теории.

Иногда знание инфипитезимальной структуры группы симметрии
системы дифференциальных уравнений оказывается достаточным
для отыскания процедуры сё интегрирования. Обладающие этим
замечательным свойством системы называются 'интегрируемыми';
общеизвестные примеры подобных систем обыкновенных

дифференциальных уравнений даёт классическая механика [119] - [120]. С некоторыми уточнениями свойство интегрируемости оказывается ключевым и при исследовании соответствующих (интегрируемых) систем уравнений в частных произвожных, хотя в данном случае ситуация оказывается гораздо более сложной. Ясно, что принципиальная 'вычислимость' пространств решений интегрируемых систем (являющихся, вообще говоря, существенно нелинейными) обеспечивает исключительные возможности для анализа, например, физических приложений соответствующих теорий. Работа, связанная с поиском и изучением интегрируемых систем, активно продолжается в настоящее время и ещё весьма далека даже от своего принципиального завершения [121] - [123].

В контексте данной диссертационной работы наиболее интересными представляются найденные в последнее время новые интегрируемые струшю-гравитационные системы. Все они, с учётом таких фактически не допускающих приближённый анализ 'сингулярных' физических приложений, как теория черных дыр и космология, являются исключительно важными в рамках изучения указанных дисциплин. Здесь следует отметить работы А. Т. Филиппова с соавторами, в которых устанавливались и детально исследовались интегрируемые обобщения дилатонной гравитации струнного типа [124] - [134]. При этом данными авторами рассматривались приложении разработанных ими общих методов как к физике чёрных дыр (общий анализ горизонтов), так и к физической космологии. Изучавшиеся в их работах системы, что существенно, не сводились к тем или иным эффективным сигма-моделям, наличие которых обычно значительно упрощает проведение соответствующего анализа.

Заметим, что такие струнно-гравитационные модели, появляющиеся после различных нетривиальных компактификаций предельных режимов теории суперструп, остаются пока малоисследованными в контексте обсуждаемого здесь свойства интегрируемости. Изучение . подобных

'нестандартных' систем, как оказывается, может выявить новые возможности для решения известных фундаментальных теоретических проблем. Так, например, рассмотрение мотивированного теорией суперструн аналога трения в космологии позволило Б. М. Барбашову, В. И. Первушину и соавторам получить ряд новых результатов, связанных, в частности, с необходимостью решения проблем начального состояния в космологии, наличия во Вселенной тёмной материи, а также описания реалистической эволюции галактик [135]-[137]. Разработанная этими авторами масштабно-инвариантная космология оказывается связанной с уже упоминавшимися борн-ипфельдовскими обобщениями ОТО.

Предсказываемое теорией суперструн нелинейное обобщение
электродинамики (например, борн-инфельдовского типа),

взаимодействующей с гравитационным полем, должно приводить, как выяеняетя, к многочисленным наблюдаемым последствиям в области звёздной динамики. Здесь следует прежде всего отметить результаты работы группы В. И. Денисова, имеющие, в том числе, конкретные приложения к физике нейтронных звёзд и пульсаров [138]—[145].

Имея в виду постоянно используемую далее терминологию, отметим сразу, что под 'сигма-моделью' здесь понимается любая теория, лагранжиану которой можно обычным образом сопоставить определённое эффективное риманово пространство, называемое 'пространством потенциалов'. При этом 'гравитирующей сигма-моделыо' называется любая сигма-модель, минимально связанная с эйнштейновской гравитацией, заданной над соответствующим координатным пространством. Хорошо известно, что как ОТО, так и её наиболее детально изученное классическое обобщение -теория Эйнштейна-Максвелла (ТЭМ), описываются определёнными гравитирующими сигма-моделями как в стационарном, так и в аксиальносимметричном случаях. Тем же свойством обладает и тороидально скомнактифицированная на три измерения ТКК. С этим обстоятельством, а также с фактом наличия нетривиальных симметрии у пространств потенциалов указанных теорий и связан, в основном, исключительный успех, достигнутый в их изучении. Было установлено, что во всех трёх случаях пространства потенциалов теорий являются симметрическими.

В работах Эрнста [146], Элерса [147] Харрисона [148] и Киннерсли

[149] - [152| были установлены и классифицированы скрытые симметрии трёхмерных гравитирующих сигма-моделей в ОТО и ТЭМ. В работе Мазура [153] в основном подытоживается соответствующий общий формализм, определяемый представлением этих систем и терминах потенциалов Эрнста, и связанный с последовательным использованием допускаемого обеими системами представления нулевой кривизны. Соответствующая работа для случая (исходной пятимерной) ТКК была проведена Мэйсоном, см. [154]. Полученные в указанных публикациях результаты воспризведены во вводной части диссертационной работы. Они сыграли большую эвристическую роль при постановке и решении тех проблем и реализации тех программ, с которыми связана оригинальная часть данной диссертации.

В работах [155] - [156] Белинского и Захарова была впервые получена пара Лакса для стационарной и аксиалыгосимметричпой ОТО; тем самым было показано, что данная гравитационная система является интегрируемой. В работах Г. А. Алексеева [157] - [161] и Н. Р. Сибгатуллина [162] - [165] был установлен факт интегрируемости стационарной и аксиальносимметричной ТЭМ. В обоих случаях были построены общие ('одевающие') солитонные преобразования на произвольном фоне. Позднее Г. А. Алексеевым был развит 'метод монодромии', в рамках которого, в частности, удаётся получать в том числе и несолитопные решения в ОТО [166]. Интегрируемость пятимерпой ТКК, тороидально скомпактифицированной на два измерения, была установлена, в полной аналогии с аналогичным свойством ОТО, Белинским и Руффини, см. [167]. Развитые указанными авторами мощные генерационные процедуры привели к построению большого числа важных с физической точки зрения семейств решений. Так, были получены крайне нетривиальные решения как космологического, так и 'частицеподобного' типов, фактически 'недоступные' при использовании аналитически менее изощрённых подходов.

Большой вклад в изучение двумерных гравитирующих сигма-моделей, появляющихся в ОТО и ТЭМ, был внесён Герочем [168] - [169], Киннерсли с соавторами [170] - [174], Хаузером и Эрнстом [175] - [187], Косгровом [188] - [193], Крамером и Нойгебауэром с соавторами [194] - [202], и рядом других исследователями [203] - [207]. При этом была установлена, в частности, крайне нетривиальная групповая структура указанных

интегрируемых систем. Выяснилось, например, что группа скрытых симметрии рассматриваемых теорий является бесконечномерной. Был найден способ нахождения некоторых бесконечномерных подалгебр полной алгебры скрытых симметрии. Восстановление же конечных преобразований симметрии по их уже известным инфинитезимальным частям оказалось, в общем случае, практически неразрешимой задачей.

Обсуждаемая конкретная сигма-модельная деятельность была существенно обобщена на все трёхмерные сигма-модели с симметрическим пространством потенциалов в работах [208] - [210] Брейтенлонера, Гиббопса и Мэйсона. В работах же [211] - [212] Дж. А. Шварца были подытожены исследования алгебры скрытых симметрии соответствующих двумерных систем. При этом была рассмотрена произвольная допускающая представление нулевой кривизны гравитирующая сигма-модель как главного кирального, так и симметрического типов. Ознакомление с результатами, приведёнными в указанных публикациях, значительно повлияло па разработку соответствующей оригинальной части данной диссертации.

В диссертационной работе изучается низкоэнсргстичсский предел бозонного сектора теории гетеротической струны, тороидально скомпактифицированный на три и два измерения. Он описывает некоторое (конкретизируемое далее) обобщение ОТО, которое, как выясняется, обладает многими характерными чертами ТЭМ. Рассматриваемая гравитационная модель является многомерной (точнее, 10-мерной в согласованном с квантовой теорией гетеротической струны случае). При этом ноля материи включают в себя дилатоп (скалярное поле), поле Калб-Рамона (антисимметричное тензорное поле второго ранга, оно входит в теорию, фактически, через три-форму), а также набор абелевых калибровочных (максвелловских) полей (квантовая теория гетеротической струны приводит к 16 таким полям). Взаимодействие между указанными полями материи, являющимися, вместе с метрикой, безмассовыми бозонными модами возбуждения гетеротической струны, оказывается однозначно определённым струнной динамикой в рассматриваемом низкоэпергетическом (однопетлевом) приближении.

Отметим, что размерность физического пространства-времени, равно как и число максвелловских полей, имеет смысл оставлять в

качестве произвольных параметров, переходя к указанным ранее 'критическим' их значениям только по мере необходимости. Дело в том, что при некоторых других ('некритических') значениях этих параметров получающиеся гравитационные модели также описывают бозонные секторы соответствующих су и ер гравитаций. Кроме того, эти новые 'исключительные' значения приводят, после компактификации рассматриваемых теорий, к динамическим системам, обладающим особыми аналитическими свойствами. В диссертации исследованию указанных систем также отводится соответствующее место: в рамках развиваемого и основанного на использовании скрытых симметрии теории генерационного подхода эти системы играют роль естественных баз генерации.

Первые результаты общего характера в области изучения скрытых симметрии бозонного сектора теории гетеротической струны принадлежат Д. Махаране и Дж. А. ІПварігу. Эти авторы, в частности, показали, что после тороидальной компактификации на три измерения рассматриваемая теория становится нелинейной гравитирующей сигма-модслыо [213]. А. Сен, в свою очередь, установил, что указанная сигма-модель обладает симметрическим пространством потенциалов, и первым получил представление нулевой кривизны для данной теории [214]—[215]. Представление А. Сена использовалось многими авторами для построения, прежде всего, имеющих ясный физический смысл новых классов асимптотически-плоских решений (см. обзор [216]). При этом ими использовались как непосредственное интегрирование уравнений движения в тех или иных частных случаях, так и некоторые специальные преобразования симметрии [217]—[221]. Можно сказать, что под вторым (генерационным) подходом данная диссертационная работа подводит определённую логическую черту. Разработанный в ней формализм (трёхмерной) генерации асимптотически-плоских решений является универсальным и не допускающим дальнейшего обобщения.

Отметим, что генерация асимптотически-плоских решений производится при помощи тех преобразований симметрии теории, которые сохраняют свойство асимптотической плоскостности. Множество всех таких преобразований образует, очевидно, подгруппу группы скрытых симметрии. Эта подгруппа называется 'группой заряжающих преобразований'. Подобная терминология является

естественной с точки зрения использования обсуждаемого генерационного формализма в области физики чёрных дыр. Так, хорошо известно, что применение соответствующих заряжающих преобразований симметрии к нейтральному решению Шварцпіильда позволяет 'перевести' его в заряженное решение Райсснера-Нордстрема в рамках теории Эйнштейна-Максвелла. Аналогичная процедура переводит нейтральное решение Керра в заряженное решение Керра-Ньюмена в той же теории. Следует отметить, что 'затравочные' по отношению к генерации (и входящие в соответствующую базу) решения предполагаются здесь, разумеется, асимптотически-плоскими (например, решения Шварцпіильда и Керра обладают этим свойством).

В диссертационной работе, в рамках изучения низкоэнергетической теории гетеротической струны, основную роль играет построение в явном виде общего конечного элемента группы трёхмерных заряжающих симметрии, а также последующее его использование в конкретных генерационных целях. С общей же точки зрения, основными целями диссертации являются:

- всестороннее развитие общего формализма в изучаемой струнно-
гравитационной теории;

детальное изучение группы скрытых симметрии этой теории;

разработка новых и наиболее общих процедур генерации инвариантных классов асимптотически-плоских решений в пей;

- построение и исследование конкретных семейств точных решений,
интересных как с точки зрения их физических приложений, так и в рамках
общего изучения и развития теории суперструн.

Материал данной диссертационной работы может рассматриваться как естесствеппое и кардинальное развитие и усиление результатов предыдущей [222], написанной и защищенной под руководством профессора Д. В. Гальцова во время моего обучения в аспирантуре физического факультета МГУ. В настоящее время группа профессора Д. В. Гальцова продолжает работу в том числе и в направлениях, близких к развиваемому здесь, см. [223]-[234].

С формальной точки зрения, моя кандидатская диссертация была связана, в основном, с изучением четырёхмерной теории рассматриваемого здесь типа, включающей, помимо дилатоиа и калб-рамоповского поля,- одно абелево калибровочное поле. В представляемой

же диссертационной работе, в числе прочего, ограничения на размерность пространства-времени и число полей в абелсвом секторе теории удалось снять. При этом были получены совершенно новые результаты как общего (связанные с развитием формализма теории), так и конкретного (те или иные инвариантные классы точных решений) характера. В разработке некоторых из представленных здесь результатов принимали участие защитившиеся под моим научным руководством к.ф.-м. п. Юрова М.В. ([235]) и Эррера-Агиляр А.Ф. ([236]) которых я также хочу искренне поблагодарить за сотрудничество. Их последующая оригинальная научная деятельность также частично связана с разработкой данной темы (см., соответственно, [237]-[239] и [237]-[239]).

В число научно-исследовательских коллективов, внёсших существенный вклад в изучение и развитие струнно-гравитационных систем рассматривамого в диссертации типа, а также и некоторых родственных тем, нужно включить группы М. Цветич и Д. Юма [244]-[251], Г. Гиббонса [252]-[259], Р. Каллош [260j-[267], М. Гасперини и Г. Венециано [268]-[275], А. Бисваса, А. Кумара и К. Рея [276]-[279], Ю.П. Рыбакова [280]-[283] и В. Н. Мельникова [284]-[291]. Следует отметить работы (с соавторами) М. Цейтлина [292]-[295], И. Бакаса [296]-[299], Ж. Клемана [300]—[303] и В. Сабра [304]-[307]. Сравнение их результатов с полученными в ходе работы над диссертацией имело весьма существенное стимулирующее значение.

Обратимся теперь к обсуждению содержания диссертационной работы. Она включает в себя Введение, пять глав основного текста, Заключение, и список цитируемой литературы.

Первая глава диссертации ('сг-модели в гравитации и теории струн') диссертации состоит из восьми параграфов и имеет, в основном, обзор но-методи чес кий характер. В ней излагается ряд общих свойств некоторых классических гравитационных систем, имеющих близкие аналогии в изучаемой в оригинальной части работы области струнно-гравитационных моделей. Также в этой главе содержатся все необходимые для последующего оригинального рассмотрения сведения об эффективной гравитационной модели, получающейся в рамках низкоэнергетической теории гетеротической струны. При написании текста данной главы были использованы, в том числе, и оригинальные результаты, полученные в соавторстве с Д. В. Гальцовым и А. А. Гарсиа, и опубликованные в [308]-

[316].

В параграфе 1.1 рассматривается ОТО в стационарном случае. Вводится представление Эрнста, которое используется затем для классификации полной группы непрерывных симметрии системы. Приводится связанное с представлением Эрнста представление нулевой кривизны теории. В параграфе 1.2 аналогичные построения производятся для стационарной ТЭМ. В параграфе 1.3 для обеих рассмотренных теорий определяется группа заряжающих симметрии и линеаризующее её действие представление, связанное в обоих случаях с представлением Эрнста. Формулируется общая техника генерации асимптотически плоских решений в теории Эйнштейна-Максвелла из обладающих тем же свойством решений Общей Теории Относительности, основанная на действии общего преобразования из группы заряжающих симметрии. Даются важные для последующего изложения примеры [317]-[318]. В параграфе 1.4 приводится представление Эрнста для стационарной ТЭМ с дилатоном (ТЭМД) в случае произвольного значения константы дилатон-максвелловской связи. Показывается, что в случае калуце-клейповского значения этой константы теория обладает представлением нулевой кривизны, которое также определяется представлением Эрнста [308] -[309].

Параграф 1.5 связан с рассмотрением стационарной ТЭМ с дилатоном и аксионом (ТЭМДА) [310] - [310], являющейся простейшим представителем того класса струнно-гравитациопиых систем, исследованию которых посвящена основная часть диссертационной работы. Показывается, что указанная теория обладает представлением, являющимся матричным аналогом представления Эрнста в ОТО. В терминах этого 'матричного представления Эрнста' производится классификация преобразований из группы скрытых симметрии теории. С этим представлением связывается представление нулевой кривизны теории.

В параграфе 1.6 приводятся свойства бозонного сектора пизкоэнергетической теории гетеротической струны, тороидально скомпактифицировашюй на три измерения, установленные в работах Д. Махараны, Дж. А. Шварца и А. Сена [213]-[215] и необходимые для развития оригинальной части диссертации.

В параграфе 1.7 делается обзор ряда свойств произвольной

двумерной гравитирующей сигма-модели, допускающей представление нулевой кривизны. Уравнения этой модели переписываются в форме переопределённой линейной системы Белинского и Захарова с парой Лакса, взятой в форме Дж. А. Шварца [211]-[212]. Указывается обобщенное инфинитезималыюе преобразование симметрии теории, порождающее группу симметрии Героча. Приводятся симметрия Боннора для теории Эйнштейна-Максвелла с дилатоном, а также преобразование Крамера и Нойгебауэра и представление нулевой кривизны Белинского и Захарова для стационарной и аксиалыюсимметричпой Общей Теории Относительности. В параграфе 1.8 делается обзор метода Белинского и Захарова построения солитонных решений на произвольном фоне в случае гравитирующих двумерных сигма-моделей с симметричной матрицей представления нулевой кривизны [155]—[156].

Вторая глава диссертации ('<т-модели с симплектической симметрией'), как и последующие, содержит только оригинальный материал. Она состоит из восьми параграфов и базируется на работах [319]—[326].

В параграфе 2.1 изучается статическая ТЭМД с произвольной константой дилатои-максвелловской связи. Вводится (вещественное и нематричиое) представление Эрнста. С его помощью классифицируется группа скрытых симметрии и с ним связывается представление нулевой кривизны теории. Определяется группа заряжающих симметрии и строится представление, линеаризующее её действие. Разрабатывается процедура генерации асимптотически плоских решений данной теории из асимптотически плоских статических решений ОТО. Параграф написан по результатам публикации [319].

В параграфах 2.2-2.7 изучается стационарная четырёхмерная гравитационная модель с дилатоном, калб-рамоновским и максвелловским полями, эквивалентная теории Эйнштейн а-Макс вел л а с дилатоном и аксионом. В параграфе 2.2 для неё строится и идентифицируется группа заряжающих симметрии в симплектическом представлении нулевой кривизны. Определяется действие этой группы на комплексный матричный потенциал Эрнста. В параграфе 2.3 определяется действие группы заряжающих симметрии на матрицу, параметризованную кулоновскими зарядами теории. Это действие описывается линейным и однородным преобразованием с оператором, параметризующим группу SU(1,1) х U(l). Устанавливаются два зарядовых инварианта

группы заряжающих симметрии теории. Разрабатывается техника генерации асимптотически плоских решений, основанная на применении преобразований из заряжающей группы к базе, эквивалентной сумме двух эйнштейновских сигма-моделей.

В параграфе 2.4 выводится представление теории, линеаризующее действие группы заряжающих симметрии. Конечный результат описывается матричным потенциалом, выражаемым через матричный потенциал Эрнста. Он обладает, в случае заряженных асимптотически плоских полей, лидирующей асимптотикой кулоновского типа с коэффициентом, пропорциональным зарядовой матрице из предыдущего параграфа. Определяются также два функциональных инварианта группы заряжающих симметрии теории. Параграфы 2.2 - 2.4 написаны по результатам публикаций [320]-[321]. В параграфе 2.5 линеаризующее представление используется для генерации неэкстремального класса асимптотически плоских решений, описывающего массивный вращающийся электромагнитный диполь с нетривиальными значениями дилатонного и калб-рамоповского зарядов. В параграфе 2.6 в рамках этого же формализма в явном виде строится класс экстремальных решений теории, определяемый произвольным комплексным гармоническим полем. В качестве конкретного представителя этого класса выписывается семейство решений, описывающее вращающийся незаряженный безмассовый источник с нетривиальными дипольпыми моментами электрического, магнитного, дилатонного и калб-рамоновского полей.

В параграфе 2.7 с использованием симплектического представления нулевой кривизны исследуется система геодезических пространства потенциалов теории. Строится класс решений, определяемый семейством изотропных геодезических и произвольной гармонической функцией координат физического трёхмерного евклидова пространства. Этот класс инвариантен относительно действия группы заряжающих симметрии и является обобщением семейства решений Мажумдара и Папапетру из ТЭМ [327]-[328] на случай исследуемой струнно-гравитационной системы.Параграфы 2.5 - 2.7 написаны по результатам публикаций [322]-[324].

В параграфе 2.8 изучается обобщение четырёхмерной дилатон-аксионпой гравитации за счёт включения в неё произвольного числа п максвелловских полей, приводящее в стационарном случае к сигма-

модели с пространством потенциалов, изоморфным Sp(n + 1, R)/U(n + 1). Строится матричное представление Эрнста, в его терминах определяется действие группы заряжающих симметрии, устанавливается явный вид матричного представления, линеаризующего действие этой группы. С представлением Эрнста связывается представление пулевой кривизны, которое используется для определения процедуры устранения (или, наоборот, генерации) нетривиальных асимптотик произвольной асимптотически плоской конфигурации полей теории. Материал параграфа 2.8 основан на результатах, полученных в работах [325]-[326].

Третья глава диссертации ('сг-модели с ортогональной симметрией') является центральной. Она состоит из семи параграфов и посвящена изучению бозонного сектора теории гетеротической струны при низких энергиях, тороидально скомпактифицироваппой на три измерения. При этом как число исходных многомерных абелевых калибровочных полей (п), так и число скомпактифицированных пространственно-временных измерений (rf), считается произвольным везде, где это не оговорено особо. Материал главы соответствует публикациям [329]-[340].

В параграфе 3.1 строится представление теории в терминах матричных потенциалов Эрнста ('гравитационного' и 'электромагнитного' матричных потенциалов, имеющих размеры (rf-f-1) х (d-\-1) и (d + 1) х (d + 1 + п) соответственно). С этим представлением связывается новое представление нулевой кривизны с матрицей, параметризующей факторпространство SO(d+l,d+1+ n)/SO(d + 1) х SO(d+ 1 + n). Устанавливается близкая аналогия со случаем стационарной ТЭМ, а также вложение указанной теории в рассматриваемую струнно-гравитационную модель, свободное от дополнительных связей. Материал данного параграфа основан на результатах, полученных в работах [329]-[330]. В параграфе 3.2 матричное представление Эрнста используется для построения и классификации группы непрерывных преобразований симметрии низкоэнергстической теории гетеротической струны. Показывается, что по отношению к некоторому дискретному преобразованию симметрии теории группа её непрерывных симметрии может быть естественным образом разбита на шесть классов преобразований. Эти классы являются матричными обобщениями преобразований гравитационного и электромагнитного.

сдвигов, изменения масштаба, электромагнитного вращения, а также сектора преобразований Элерса и Харрисона. При этом явный вид существенно нелинейных матричных преобразований Элерса и Харрисона устанавливается при помощи упомянутого нелинейного дискретного отображения, применяемого к преобразованиям гравитационного и электромагнитного сдвигов. Материал этого параграфа основан на результатах, полученных в работах [329], [331].

В параграфе 3.3 формализм матричных потенциалов Эрнста используется для определения процедуры устранения (или, наоборот, генерации) произвольных нетривиальных асимптотик произвольной асимптотически плоской конфигурации полей теории, а также для нахождения явного вида всех конечных преобразований из группы её заряжающих симметрии. Устанавливается явный вид представления, в терминах которого общее заряжающее преобразование имеет линейную и однородную реализацию. Это 'линеаризующее' представление основано на использовании нового (d + 1) х (d + 1 + п))-мерного матричного потенциала, определённым образом связанного с матричными потенциалами Эрнста. С помощью линеаризующего представления группа заряжающих симметрии идентифицируется как SO(2, d— 1) х SO(2,d — 1 + п). Материал этого параграфа основан на результатах, полученных в работах [331]-[332].

В параграфе 3.4 детально разрабатываются динамические аспекты линеаризующего представления. В частности, определяется явный вид полного набора трёхмерных ковариантно сохраняющихся матричных токов и связанных с ними векторных матричных потенциалов. Устанавливается связь линеаризующего представления с представлением нулевой кривизны, используемая далее для изучения структуры полной группы скрытых симметрии теории (через вычисление коммутационных соотношений для генераторов заряжающих и незаряжающих (калибровочных) преобразований). Выводятся выражения, позволяющие переводить результаты, полученные в сигм а-модельных терминах величин линеаризующего представления на язык компонент физических полей исходной струнно-гравитационной теории. Материал этого параграфа основан па результатах, полученных в работе [332].

В параграфе 3.5 линеаризующее представление используется для вывода, исходя из. аналогии с теорией Эйнштейна-Максвелла, а

также для изучения свойств симметрии общего класса экстремальных решений Израэля-Вильсона-Переша (ИВП; см. [341]-[342] в случае ТЭМ) в низкоэнергетической теории гстсротичсской струны. Этот класс решений оказывается инвариантным относительно действия группы заряжающих симметрии теории. В рамках исследования данного класса решений множество всех рассматриваемых теорий естественным образом подразделяется на два семейства — cd + n = 2 и с d -\- п > 2. Материал этого параграфа основан на результатах, полученных в публикации [332], а также работах [333]-[335], имевших подготовительное значение. В параграфах 3.6 и 3.7 результаты параграфа 3.5 обобщаются на неэкстремальный случай и показывается, что это обобщение определяет новые генерационные процедуры для указанных семейств струнно-гравитационных теорий.

А именно, в параграфе 3.6 строится неэкстремальное обобщение класса решений ИВП для (двух) теорий с d + п = 2. Показывается, что в случае теории cd=2nn=0 построенное обобщение задаёт генерационную процедуру с базой, взятой в виде главной киральной модели с группой симметрии SL(2,R). В случае же теории с d — п — 1 такой базой генерации является сигма-модель с симметрическим пространством потенциалов SL(2, R)/SO(2). Для этих баз приводится явный вид решений монопольного вида с устранёнными особенностями типа дираковской струны. Материал этого параграфа основан на результатах, полученных в работе [336]. В параграфе 3.7 соответствующее рассмотрение произведено для семейства теорий с d + п > 2. Показано, что базой генерации для указанного семейства служит стационарная струнно-гравитационная модель рассматриваемого типа с числом исходных абелсвых полей, равным d — l. Подробно разобран случай генерации в теориях с d — 2к-\-1. Установлено, что в этом случае (включающем в себя и критические струнные) генерационной базой может служить стационарная теория Эйнштейна с к макевелловскими полями. В качестве физически значимого приложения развитого общего формализма приводятся явные выражения для струнных полей, полученные при генерации исходя из керр-пыомсновского затравочного решения. Материал данного параграфа основан на результатах, полученных в работе [337].

Четвёртая глава диссертации (⁽сг-модели с унитарной и унимодулярной симметрией') содержит семь параграфов. Она связана с дополнительным

исследованием струн но-гравитационных теорий рассматриваемого тина с конкретными значениями параметров d и и, а также некоторых их усечений. Материал главы соответствует публикациям [343]—[350J.

В параграфе 4.1 изучается усечение теории с d = п = 1, инвариантное относительно действия дискретной симметрии, по отношению к которой (в терминах определенного в первой и второй главах комплексного матричного представления Эрнста) была произведена классификация группы скрытых симметрии этой теории. Показано, что данное усечение есть сигма-модель с пространством потенциалов SU(2)/SO(2). Построено соответствующее представление нулевой кривизны, приведены явные выражения для компонент физических полей исходной теории в терминах сигма-модельных потенциалов усечённой системы. Получен явный вид монопольного решения. Исследовано действие группы заряжающих симметрии на полностью его определяющие электрический и магнитный заряды системы. Материал этого параграфа основан на результатах, полученных в работе [343].

В параграфах 4.2 и 4.3 изучается теория с d=l, п~2. В параграфе 4.2 при помощи сопоставления ортогональных и унитарных генераторов симметрии строится унитарная реализация (SU(1,1) х SU(1,1) х U(l)) группы заряжающих симметрии данной теории. Материал этого параграфа основан на результатах, полученных в работе [344]. В параграфе 4.3 выводится представление теории в терминах комплесиого матричного потенциала Эрнста. Производится классификация преобразований скрытой симметрии теории. Строятся связанные с данным представлением Эрнста представление нулевой кривизны (с матрицей, параметризующей факторпространство SU(2,2)/S(U(2) х U(2)), а также представление, линеаризующее действие группы заряжающих симметрии. Материал этого параграфа основан на результатах, полученных в работе [345].

В параграфе 4.4 выводится унимодулярное представление для теории с d = 2, п = 0. Матрица нулевой кривизны в данном случае параметризует факторпространство SL(4, R)/SO(4). Исследуются также два усечения теории с произвольным d и с п = 0, приводящие к сходным общим результатам. Для указанных моделей в явном виде (в терминах метрики и физических нолей) строится специальный класс экстремальных решений, определяемый одной трёхмерной гармонической функцией. Материал

этого параграфа основан на результатах, полученных в работах [346]-[348]. В параграфе 4.5 для теории с d — 2, n = 0 в её унимодуляриом представлении с использованием метода Крамера и Нойгебауэра построен общий класс экстремальных геодезических решений. В простейшем случае линейной зависимости построенного оператора отображения от соответствующей гармонической функции определён явный вид метрики и всех физических полей для данного решения. Материал данного параграфа основан на результатах, полученных в работе [346].

В параграфах 4.6 и 4.7 изучаются струнно-гравитационные модели, усечённые таким образом, что их 'гравитационный' матричный потенциал Эрнста оказывается симметричным, а 'электромагнитный' принимает тривиальное значение. В параграфе 4.6 разрабатывается генерационная процедура, переводящая пространство решений трёхмерной сигма-модели с N минимально связанными с гравитацией гармоническими полями в пространство решений исследуемой усечённой теории. В случае ЛГ = 2, допускающем комплексную реализацию, в явном виде строится решение, определяемое гармонической функцией того же вида, что и функция, с которой в рамках теории Эйнштейна-Максвелла связывается решение Керра-Ньюмена-НУТ. Устанавливаются условия отсутствия дираковских струн в найденном решении. В параграфе 4.7 на множестве всех рассматриваемых усечённых моделей, характеризуемых различными значениями параметра d, строится общее отображение, сохраняющее данное усечение, и переводящее пространство решений модели с меньшим значением указанного параметра в пространство решений модели с большим его значением. Построенное отображение определяет соответствующую генерационную процедуру. Приводятся явные выражения для полей результирующей теории в случае, когда база генерации выбирается с d — 1. Строится и исследуется класс конкретных решений керровского типа, определяемый, помимо параметров отображения, парой комплексных гармонических функций, связанных с искривлённой трёхмерной метрикой. Материал параграфов 4.6 и 4.7 основан на результатах, полученных в работах [349] - [350].

Пятая глава диссертации ('ст-модели в' двух измерениях') состоит из трёх параграфов. Она посвящена изучению свойств рассматриваемых струнно-гравитационных моделей в случае, когда их тороидальная компактификация производится на два измерения. В контексте

изучавшейся в предыдущих главах компактификации па три пространственных измерения здесь, в эффективном двумерном случае, предполагается наложение дополнительного условия аксиальной симметрии. Материал главы соответствует публикациям [351]-[355].

В параграфе 5.1 показывается, как (в случае моделей с унитарной и симплектической группами симметрии) может быть построено представление пулевой кривизны типа представления Белинского и Захарова в ОТО. Устанавливается явный вид преобразования Крамера и Нойгебауэра, связывающего новое представление нулевой кривизны с исходным сигма-модельным. Материал этого параграфа основан на результатах, полученных в работах [351]-[352].

В параграфах 5.2 и 5.3 для изучаемых струнно-гравитационных теорий строятся такие преобразования симметрии солитонного типа (в смысле обратной задачи теории рассеяния), которые являются обобщёнными заряжающими симметриями, обладающими инфинитезимальным пределом. Материал этих параграфов основан на результатах, полученных в работе [353] - [355].

В параграфе 5.2 вычисляется действие общего солитонного преобразования симметрии на матрицу нулевой кривизны теории, матрицу её векторных потенциалов и на нетривиальную метрическую компоненту трёхмерной аксиальносимметричной метрики (взятой в форме Льюиса и Папапетру). Устанавливаются условия, которые должны быть наложены на солитопные параметры для того, чтобы результирующая матрица представления нулевой кривизны была симметричной, а солитонное преобразование допускало бы инфинитезимальный предел. Этот инфинитезимальный предел устанавливается в рамках определяемой здесь же предельной процедуры. Он принадлежит к алгебре группы Героча и представляет собой инфинитезималыгос преобразование симметрии, определяемое параметрами порождающего его солитонного решения. Устанавливается, что построенное солитонное преобразование симметрии является заряжающим, т. е. сохраняющим свойство асимптотической плоскостности. Показывается, что в применении к кулоповским зарядовым характеристикам такое, преобразование является чистым сдвигом. В заключение параграфа приводится ряд условий, которым должны удовлетворять солитопные параметры для того, чтобы

солитонное преобразование принадлежало к требуемой группе симметрии. В явном виде выписываются условия, соответствующие основной для класса рассматриваемых струн но-гравитационных моделей ортогональной группе симметрии.

В параграфе 5.3 приводятся конкретные примеры построения солитонных решений рассмотренного типа в теориях, чей эффективный трёхмерный вариант был исследован в предыдущих главах. А именно, в явном виде построено 2Л^г-солитоннос решение на плоском фоне для струнно-гравитационной модели, изучавшейся в параграфах 4.6 и 4.7. При этом соответствующее двухсолитонное решение представлено и проанализировано в координатах Бойера-Линдквиста. В тех же координатах построено и двухсолитонное решение на плоском фоне для электрического и магнитного секторов определённой в параграфе 2.1 теории Эйнштейна-Максвелла с дилатоном и произвольным значением дилатоп-максвелловской связи. Построенные двухсолитонные решения являются явно асимптотически плоскими. Их кулоновские зарядовые характеристики оказываются пропорциональными параметру, при инфинитезимальном значении которого построенное солитонное преобразование достигает инфинитезималыюго предела определяемого в параграфе 5.2 вида.

В Заключении перечисляются основные результаты диссертации и обсуждается их научная значимость. Выражается благодарность соавторам и всем тем, кто способствовал проведению научных исследований, по материалам которых была написана диссертационная работа.

Сформулируем теперь выносимые на защиту результаты, полученные в диссертационной работе. Они сводятся к следующему:

1. Для теории с произвольным числом скомпактифицировапиых измерений и исходных абелевых полей разработан общий формализм, основанный на использовании матричных потенциалов Эрнста. В его терминах струн но-гравитационная модель, описывающая теорию гстерот и ческой струны, представляется в виде матричнозначной

класической теории Эйнштейна-Максвелла. Этот результат позволил напрямую 'перевести' ряд точных решений (включая сажный общий класс экстремальных решений) из области классической гравитации в область рассматриваемой струнной гравитации.

2. Разработанный формализм использован для изучения и

классификации полной группы трёхмерных скрытых симметрии теории. В частности, в явном виде построены все конечные преобразования из нелинейного сектора Элсрса и Харрисона, а также полная группа заряжающих преобразований симметрии, сохраняющих свойство асимптотической плоскостности решений. В рамках проведённого анализа установлены все естественные свойства и взаимосвязи между всеми семействами трёхмерных преобразований симметрии, допускаемыми теорией. Вопрос о классификации этих преобразований был, тем самым, закрыт.

3. Найдено повое матрично-потенциальнос представление теории, в рамках которого заряжающая группа преобразований симметрии имеет линейную и однородную реализацию. Разработана наиболее общая процедура генерации трёхмерных классов асимптотически плоских решений, играющих основную роль в приложениях к физике чёрных дыр и к космологии. На основе этой процедуры построено в явном виде отображение пространства решений теории Эйнштейна-Максвелла (с одним вектором Киллинга) в пространство решений рассматриваемой струнно-гравитационной системы.

4. Детально исследованы специальные генерационные базы, связанные со струнно-гравитационными моделями с определёнными значениями чисел скомпактифицированных измерений и исходных абелевых полей. Для этих баз, с использованием соответствующих групповых изоморфизмов, построены новые максимально компактные матрично-потенциальпые представления. На их основе получены новые, физически значимые классы точных струнно-гравитационных решений.

5. Построены новые, тесным образом связанные с формализмом Эрнста представления нулевой кривизны как для общей гетеротической струнно-гравитациошюй системы, так и для изученных в работе генерационных баз. На основе метода обратной задачи рассеяния разработана процедура генерации солитонных решений, сохраняющая свойство асимптотической плоскостности. Показано, что построенные с её помощью решения обладают ипфинитезимальным пределом в форме

соответствующего преобразования из алгебры группы Героча. При помощи данного метода получены новые, физически значимые классы асимптотически-плоских решений, описывающие системы источников (в том числе и керровского типа) с различными мультипольными характеристиками.

Отметим, что достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается использованием в ней самосогласованного и современного математического аппарата, имеющего аналогии в области классических гравитационных теорий, и являющегося их естественным обобщением на рассматриваемый струнно-гравитационный случай. Кроме того, корректность проведённого диссертационного исследования подтверждается сравнением результатов и выводов, полученных в рамках разработанных в нём оригинальных методик, с частично перекрывающимися результатами и выводами других авторов, работающих в данной области и использующих иные подходы. Научные новизна и ценность диссертации состоят в том, что в ней впервые изучение низкоэнергетического предела теории гетеротической струны производится с использованием компактных и универсальных матричпо-потенциальпых методов, связанных с последовательным применением допускаемой теорией полной группы непрерывных симметрии. А именно, в диссертации развиты:

- формализм матричных потенциалов Эрнста, используемый для
классификации полной группы скрытых трёхмерных симметрии;

линеаризующий формализм, в рамках которого группа трёхмерных заряжающих симметрии имеет линейную и однородную реализацию;

общая процедура генерации инвариантных классов асимптотически-плоских решений, основанная на использовании полной группы трёхмерных заряжающих симметрии;

- представление нулевой кривизны, используемое для генерации
в рамках обратной задачи рассеяния обобщённых двумерных
заряжающих преобразований симметрии солитонного типа, допускающих
инфинитезимальный предел.

Кроме того, в диссертационной работе построено большое число новых классов асимптоти чески-плоских решений, инвариантных относительно действия полной группы заряжающих симметрии. Эти классы решений описывают важные струнные обобщения известных классических

объектов (например, заряженные черные дыры) и представляют значительный интерес для соответствующих приложений струнной теории.

Научная значимость диссертационной работы определяется общностью полученных в пей результатов и возможностью их использования для дальнейшего изучения и развития струнной теории. В частности, результаты диссертации могут быть использованы для эффективной генерации новых инвариантных классов асимптотически-плоских решений. Кроме того, развитые в пей подходы могут быть применены для сравнения и изучения степени общности уже построенных семейств решений, а также для изучения различных физических характеристик этих решений. Наконец, результаты диссертации будут заведомо полезны для дальнейшего изучения общих свойств теории гстсротической струны, включая её су перейм мстричные и непертурбативные аспекты.

В заключение отмстим, что все основные результаты диссертационной работы были опубликованы на русском языке в обзоре [355].

Трёхмерная сг-модель в ТЭМ

Создание последовательной теории, реалистически описывающей все фундаментальные частицы и взаимодействия между ними, является основной задачей теоретической физики. В настоящее время считается, что решение этой задачи может быть найдено на пути построении самосогласованной непертурбативной теории суперструн, с последующей интерпретацией её результатов в терминах объектов и событий, наблюдаемых в эксперименте [1]—[Т]. Современное состояние данной области физико-математических наук характеризуется бурным и всесторонним развитием. Представляемая диссертационная работа посвящена изучению ряда предсказываемых теорией суперструн модификаций Общей Теории Относительности. В настоящее время Общая Теория Относительности (ОТО) [8]-[12] и, особенно, различные её обобщения, составляют существенную часть всей физико-математической деятельности. При этом, в отличие от предшествующего периода развития предмета, современные варианты ОТО оказываются естественным образом связанными с другой, ранее автономной частью теоретической физики - с квантовой теорией поля (КТП) [13]—[19]. Взаимопроникновение феноменологических приложений двух указанных дисциплин - физики чёрных дыр [20]—[23] и космологии [24]-[26] (со стороны ОТО) и физики элементарных частиц [27]-[33] (со стороны КТП) - уже принесло определённые результаты [34]-[38]. Однако как прикладная, так и фундаментальная работа в деле создания соответствующей объединённой теории остаются ещё весьма далекими от своего логического завершения и активно продолжаются в наше время. Несколько упрощая, можно сказать, что под обобщением ОТО понимается любая общековариаитная теория, в рамках которой метрика физического пространства-времени и набор рассматриваемых полей материи описываются в соответствующей (квази)геомстрической форме. При этом метрика входит в уравнения движения теории в том числе, и через определяемые тензором кривизны Римапа-Кристоффеля величины, а поля материи часто объединяются в различные нетривиальные мультиплсты. Так, например, в рамках простейших обобщений в качестве обсуждаемой метрической конструкции выступает тензор Риччи и скаляр кривизны, а материальные поля являются либо скалярами, либо потенциалами для соответствующих дифференциальных форм (о различных используемых здесь геометрических структурах можно прочитать в [39]-[41]).

Разумеется, множество возможных обобщений ОТО оказывается при этом бесконечным, а детальное изучение их свойств и последующая классификация упираются в проблему существенной нелинейности всех подобных теорий. С учётом указанных трудностей, а также исходя из общих эстетических соображений, до некоторой степени произвольное конструирование очередного варианта обобщения ОТО стараются заменить на вывод уравнений движения новой теории (или её лагранжиана в случае лагранжеиых систем) из того или иного псрвопринципа . Исторически первым таким первопринципом оказался т. н. принцип геометризации , в рамках которого не только уравнения движения, но и набор всех материальных полей теории должны иметь чисто геометрическое происхождение . К классу геометризовапных теорий относятся, например, теории Калуцы-Клейна (ТКК), которые являются обобщениями ОТО на случай пространства-времени большей, чем четыре, размерности [42]-[44]. В ТКК поля материи получают из дополнительных компонент метрики, а дополнительные измерения сворачивают в компакты микроскопических (точнее, ненаблюдаемых в обычных экспериментах) размеров. После этого исследуют возникающую четырёхмерную теорию, которая описывает систему определённым образом взаимодействующих скалярных и калибровочных полей, минимально связанных с метрикой. Отмстим, что исходная многомерная теория является стандартной Общей Теорией Относительности (с соответствующим числом измерений) в вакууме. Об истории обсуждаемого здесь геометрического подхода к построению обобщений ОТО можно прочитать, например, в сборнике [45]. Теория Ворна-Ифельда-Эйнштейна (ТБИЭ) является ещё одним примером геометризованной теории, получившей, к тому же, в последнее время своё второе, уже струнное, рождение. В ТБИЭ у метрического тензора предполагается наличие антисимметричной части; эта последняя полагается пропорциональной максвелловскому тензору напряжённости электромагнитного ноля. При этом симметричная часть метрического тензора связывается с обычной метрикой искривлённого четырёхмерного пространства-времени. Не останавливаясь на подробностях, которые могут быть найдены в литературе (например, в работе [46]), отметим, что ТБИЭ оказывается эквивалентной борн-инфельдовскому нелинейному варианту электродинамики, взаимодействующей с гравитационным полем. О некоторых современных вариантах ТБИЭ и их приложениях можно прочитать в [47]-[49]. Следует отметить, что как в случае ТКК, так и в случае ТБИЭ, соответствующая конкретизация принципа геометризации , имеющая простой аналитический смысл, позволяет установить как спектр полей теории, так и тип взаимодействия между ними. Иными словами, в рамках такого подхода удаётся вывести интересующий вариант теории в его явном виде, т. е. устанавливаются своего рода правила отбора на множестве всех теорий из рассматриваемого класса. При этом исходный первопринцип вовсе не обязательно должен быть связан, как это было в случае рассмотренных теорий, именно с геометрией. Действительно, развитие квантовой теории привело к такому изменению области формулирования первоприпципов , в результате которого принцип геометризации оказался заменённым па принцип наличия квантового варианта у той или иной затравочной классической системы.

Разумеется, именно указанный квантовый вариант рассматривается в данном подходе как истинная физическая теория, а породившая его классическая система играет роль лишь соответствующего к нему приближения. Однако в силу требуемой согласованности процедуры квантования на множестве всех затравочных классических теорий из рассматриваемого класса очевидным образом задаются правила отбора . А именно, в силу этих правил отбираются только те классические теории, которые имеют свой квантовый вариант. Мы здесь не будем входить в детали обсуждения последовательной процедуры квантования и лишь отметим, что он по-необходимости понимается в пертурбативном смысле и основывается на свойствах перенормируемости и (почти всегда) отсутствия аномалий у рассматриваемых теорий. Аномалии, как известно, отвечают потере тех или иных симметрии теории в результате проведения процедуры квантования. При этом полная группа симметрии является одним из основных характеристических свойств рассматриваемой теории. А именно, упрощая, можно сказать, что в рамках соответствующих друг другу классической и квантовой теорий реализуются различные представления одной и той же группы фундаментальных симметрии (о теории представлений групп и её физических приложениях см. курс [50], а также монографии [51] - [53]). Забегая вперёд, отметим, что уравнения струнной гравитации, с исследованием пространства решений которых связана эта диссертационная работа, являются условиями отсутствия аномалий в теории гстсротичсской струны (ТГС) в иизкоэнергетическом приближении. С формальной же точки зрения обсуждаемая струнная гравитация выступает в качестве ещё одного, уже мотивированного пертурбативной ТГС, конкретного обобщения ОТО. Различные современные нетривиальные струнно- и кваптовогравитационные обобщения ОТО можно найти, например, в работах С. Одинцова с соавторами, см. [54J—[70] (и, особенно, обзор [71]). В указанных работах также даются многочисленные и приложения струнной теории, к космологии и физике чёрных дыр. Заметим, что теория струн и сама является теоретической схемой, отвечающей второму из сформулированных первопринципов . Соответствующая классическая теория описывает динамику одномерных объектов — замкнутых и открытых струн, инвариантную относительно действия группы конформных симметрии. Последовательная процедура квантования должна, в соответствии с общей схемой деятельности, быть свободной от конформной аномалии.

Солитоиы в двумерных сг-моделях

Обратимся теперь к обсуждению третьего первопринципа , или третьего правила отбора , замечательным образом согласующегося с уже обсуждавшимися первым и вторым правилами . Имеется в виду принцип выбора из рассматриваемого класса теорий тех его представителей, которые имеют максимально широкую группу скрытых симметрии. При этом под симметрией здесь понимается любое преобразование независимых координат и функциональных переменных теории, переводящее произвольное решение сё уравнений движения D соответствующее ему в силу этого преобразования решение. Как показывает практика, наличие нетривиальных симметрии у существенно нелинейной теории обеспечивает дополнительные (и наиболее действенные) возможности для исследования пространства её решений и классификации элементов этого пространства [109] - [112]. В качестве примера такой теории может быть названа важная для приложений к физике частиц и крайне интересная с математической точки зрения модель Скирма. Существенный прогресс в её изучении, достигнутый группой Ю. П. Рыбакова, во многом основывается на использовании группы скрытых симметрии этой теории [113] - [118]. В частности, исследовались важные для феноменологии максимально-инвариантные конфигурации в модели Скирма. Связанные с использованием теории симметрии методы часто называются методами генерации ; их использование привело к исключительному прогрессу как в стандартной ОТО, так и в некоторых удачных обобщениях данной теории. При этом выясняснилось, что гёометризуемые и имеющие квантовый аналог обобщения ОТО, такие как, например, ТКК и, соответственно, низкоэнергетическая ТГС, обладают максимально широкими группами скрытых симметрии в рамках классов теорий соответствующих типов. В этом смысле три рассмотренных правила отбора замечательным образом приводят к согласующимся результатам. Отметим, что, ввиду своей принципиальной вычислимости, доступными при изучении нелинейных теорий оказываются, фактически, только непрерывные симметрии. Принципиальная схема метода генерации сводится к следующему. Используя разработанную Софусом Ли и его последователями процедуру, вычисляют все генераторы преобразований симметрии данной системы дифференциальных уравнений. Затем, по найденным инфинитезимальным преобразованиям, восстанавливают соответствующие им конечные элементы группы скрытых симметрии теории.

После этого, применяя, по-возможности, общий конечный элемент указанной группы преобразований, переводят каждое из найденных ранее частных решений рассматриваемой системы в соответствующее семейство сё решений. При этом каждое из построенных таким образом семейств решений оказывается, автоматически, инвариантным классом по отношению к действию преобразований из группы скрытых симметрии. Отметим также, что поиск затравочных решений выходит за рамки собственно метода генерации, а эффективность этого метода напрямую зависит от того, насколько нетривиальной является группа скрытых симметрии изучаемой теории. Иногда знание инфипитезимальной структуры группы симметрии системы дифференциальных уравнений оказывается достаточным для отыскания процедуры сё интегрирования. Обладающие этим замечательным свойством системы называются интегрируемыми ; общеизвестные примеры подобных систем обыкновенных дифференциальных уравнений даёт классическая механика [119] - [120]. С некоторыми уточнениями свойство интегрируемости оказывается ключевым и при исследовании соответствующих (интегрируемых) систем уравнений в частных произвожных, хотя в данном случае ситуация оказывается гораздо более сложной. Ясно, что принципиальная вычислимость пространств решений интегрируемых систем (являющихся, вообще говоря, существенно нелинейными) обеспечивает исключительные возможности для анализа, например, физических приложений соответствующих теорий. Работа, связанная с поиском и изучением интегрируемых систем, активно продолжается в настоящее время и ещё весьма далека даже от своего принципиального завершения [121] - [123]. В контексте данной диссертационной работы наиболее интересными представляются найденные в последнее время новые интегрируемые струшю-гравитационные системы. Все они, с учётом таких фактически не допускающих приближённый анализ сингулярных физических приложений, как теория черных дыр и космология, являются исключительно важными в рамках изучения указанных дисциплин. Здесь следует отметить работы А. Т. Филиппова с соавторами, в которых устанавливались и детально исследовались интегрируемые обобщения дилатонной гравитации струнного типа [124] - [134]. При этом данными авторами рассматривались приложении разработанных ими общих методов как к физике чёрных дыр (общий анализ горизонтов), так и к физической космологии. Изучавшиеся в их работах системы, что существенно, не сводились к тем или иным эффективным сигма-моделям, наличие которых обычно значительно упрощает проведение соответствующего анализа. Заметим, что такие струнно-гравитационные модели, появляющиеся после различных нетривиальных компактификаций предельных режимов теории суперструп, остаются пока малоисследованными в контексте обсуждаемого здесь свойства интегрируемости.

Изучение . подобных нестандартных систем, как оказывается, может выявить новые возможности для решения известных фундаментальных теоретических проблем. Так, например, рассмотрение мотивированного теорией суперструн аналога трения в космологии позволило Б. М. Барбашову, В. И. Первушину и соавторам получить ряд новых результатов, связанных, в частности, с необходимостью решения проблем начального состояния в космологии, наличия во Вселенной тёмной материи, а также описания реалистической эволюции галактик [135]-[137]. Разработанная этими авторами масштабно-инвариантная космология оказывается связанной с уже упоминавшимися борн-ипфельдовскими обобщениями ОТО. Предсказываемое теорией суперструн нелинейное обобщение электродинамики (например, борн-инфельдовского типа), взаимодействующей с гравитационным полем, должно приводить, как выяеняетя, к многочисленным наблюдаемым последствиям в области звёздной динамики. Здесь следует прежде всего отметить результаты работы группы В. И. Денисова, имеющие, в том числе, конкретные приложения к физике нейтронных звёзд и пульсаров [138]—[145]. Имея в виду постоянно используемую далее терминологию, отметим сразу, что под сигма-моделью здесь понимается любая теория, лагранжиану которой можно обычным образом сопоставить определённое эффективное риманово пространство, называемое пространством потенциалов . При этом гравитирующей сигма-моделыо называется любая сигма-модель, минимально связанная с эйнштейновской гравитацией, заданной над соответствующим координатным пространством. Хорошо известно, что как ОТО, так и её наиболее детально изученное классическое обобщение -теория Эйнштейна-Максвелла (ТЭМ), описываются определёнными гравитирующими сигма-моделями как в стационарном, так и в аксиальносимметричном случаях. Тем же свойством обладает и тороидально скомнактифицированная на три измерения ТКК. С этим обстоятельством, а также с фактом наличия нетривиальных симметрии у пространств потенциалов указанных теорий и связан, в основном, исключительный успех, достигнутый в их изучении. Было установлено, что во всех трёх случаях пространства потенциалов теорий являются симметрическими.

Инвариантный класс экстремальных решений

В работах [155] - [156] Белинского и Захарова была впервые получена пара Лакса для стационарной и аксиалыгосимметричпой ОТО; тем самым было показано, что данная гравитационная система является интегрируемой. В работах Г. А. Алексеева [157] - [161] и Н. Р. Сибгатуллина [162] - [165] был установлен факт интегрируемости стационарной и аксиальносимметричной ТЭМ. В обоих случаях были построены общие ( одевающие ) солитонные преобразования на произвольном фоне. Позднее Г. А. Алексеевым был развит метод монодромии , в рамках которого, в частности, удаётся получать в том числе и несолитопные решения в ОТО [166]. Интегрируемость пятимерпой ТКК, тороидально скомпактифицированной на два измерения, была установлена, в полной аналогии с аналогичным свойством ОТО, Белинским и Руффини, см. [167]. Развитые указанными авторами мощные генерационные процедуры привели к построению большого числа важных с физической точки зрения семейств решений. Так, были получены крайне нетривиальные решения как космологического, так и частицеподобного типов, фактически недоступные при использовании аналитически менее изощрённых подходов. Большой вклад в изучение двумерных гравитирующих сигма-моделей, появляющихся в ОТО и ТЭМ, был внесён Герочем [168] - [169], Киннерсли с соавторами [170] - [174], Хаузером и Эрнстом [175] - [187], Косгровом [188] - [193], Крамером и Нойгебауэром с соавторами [194] - [202], и рядом других исследователями [203] - [207]. При этом была установлена, в частности, крайне нетривиальная групповая структура указанных интегрируемых систем. Выяснилось, например, что группа скрытых симметрии рассматриваемых теорий является бесконечномерной. Был найден способ нахождения некоторых бесконечномерных подалгебр полной алгебры скрытых симметрии. Восстановление же конечных преобразований симметрии по их уже известным инфинитезимальным частям оказалось, в общем случае, практически неразрешимой задачей. Обсуждаемая конкретная сигма-модельная деятельность была существенно обобщена на все трёхмерные сигма-модели с симметрическим пространством потенциалов в работах [208] - [210] Брейтенлонера, Гиббопса и Мэйсона.

В работах же [211] - [212] Дж. А. Шварца были подытожены исследования алгебры скрытых симметрии соответствующих двумерных систем. При этом была рассмотрена произвольная допускающая представление нулевой кривизны гравитирующая сигма-модель как главного кирального, так и симметрического типов. Ознакомление с результатами, приведёнными в указанных публикациях, значительно повлияло па разработку соответствующей оригинальной части данной диссертации. В диссертационной работе изучается низкоэнсргстичсский предел бозонного сектора теории гетеротической струны, тороидально скомпактифицированный на три и два измерения. Он описывает некоторое (конкретизируемое далее) обобщение ОТО, которое, как выясняется, обладает многими характерными чертами ТЭМ. Рассматриваемая гравитационная модель является многомерной (точнее, 10-мерной в согласованном с квантовой теорией гетеротической струны случае). При этом ноля материи включают в себя дилатоп (скалярное поле), поле Калб-Рамона (антисимметричное тензорное поле второго ранга, оно входит в теорию, фактически, через три-форму), а также набор абелевых калибровочных (максвелловских) полей (квантовая теория гетеротической струны приводит к 16 таким полям). Взаимодействие между указанными полями материи, являющимися, вместе с метрикой, безмассовыми бозонными модами возбуждения гетеротической струны, оказывается однозначно определённым струнной динамикой в рассматриваемом низкоэпергетическом (однопетлевом) приближении. Отметим, что размерность физического пространства-времени, равно как и число максвелловских полей, имеет смысл оставлять в качестве произвольных параметров, переходя к указанным ранее критическим их значениям только по мере необходимости. Дело в том, что при некоторых других ( некритических ) значениях этих параметров получающиеся гравитационные модели также описывают бозонные секторы соответствующих су и ер гравитаций. Кроме того, эти новые исключительные значения приводят, после компактификации рассматриваемых теорий, к динамическим системам, обладающим особыми аналитическими свойствами. В диссертации исследованию указанных систем также отводится соответствующее место: в рамках развиваемого и основанного на использовании скрытых симметрии теории генерационного подхода эти системы играют роль естественных баз генерации.

Первые результаты общего характера в области изучения скрытых симметрии бозонного сектора теории гетеротической струны принадлежат Д. Махаране и Дж. А. ІПварігу. Эти авторы, в частности, показали, что после тороидальной компактификации на три измерения рассматриваемая теория становится нелинейной гравитирующей сигма-модслыо [213]. А. Сен, в свою очередь, установил, что указанная сигма-модель обладает симметрическим пространством потенциалов, и первым получил представление нулевой кривизны для данной теории [214]—[215]. Представление А. Сена использовалось многими авторами для построения, прежде всего, имеющих ясный физический смысл новых классов асимптотически-плоских решений (см. обзор [216]). При этом ими использовались как непосредственное интегрирование уравнений движения в тех или иных частных случаях, так и некоторые специальные преобразования симметрии [217]—[221]. Можно сказать, что под вторым (генерационным) подходом данная диссертационная работа подводит определённую логическую черту. Разработанный в ней формализм (трёхмерной) генерации асимптотически-плоских решений является универсальным и не допускающим дальнейшего обобщения. Отметим, что генерация асимптотически-плоских решений производится при помощи тех преобразований симметрии теории, которые сохраняют свойство асимптотической плоскостности. Множество всех таких преобразований образует, очевидно, подгруппу группы скрытых симметрии. Эта подгруппа называется группой заряжающих преобразований . Подобная терминология является естественной с точки зрения использования обсуждаемого генерационного формализма в области физики чёрных дыр. Так, хорошо известно, что применение соответствующих заряжающих преобразований симметрии к нейтральному решению Шварцпіильда позволяет перевести его в заряженное решение Райсснера-Нордстрема в рамках теории Эйнштейна-Максвелла. Аналогичная процедура переводит нейтральное решение Керра в заряженное решение Керра-Ньюмена в той же теории. Следует отметить, что затравочные по отношению к генерации (и входящие в соответствующую базу) решения предполагаются здесь, разумеется, асимптотически-плоскими (например, решения Шварцпіильда и Керра обладают этим свойством). В диссертационной работе, в рамках изучения низкоэнергетической теории гетеротической струны, основную роль играет построение в явном виде общего конечного элемента группы трёхмерных заряжающих симметрии, а также последующее его использование в конкретных генерационных целях. С общей же точки зрения, основными целями диссертации являются:

Генерация в моделях с d + п > 2

Материал данной диссертационной работы может рассматриваться как естесствеппое и кардинальное развитие и усиление результатов предыдущей [222], написанной и защищенной под руководством профессора Д. В. Гальцова во время моего обучения в аспирантуре физического факультета МГУ. В настоящее время группа профессора Д. В. Гальцова продолжает работу в том числе и в направлениях, близких к развиваемому здесь, см. [223]-[234]. С формальной точки зрения, моя кандидатская диссертация была связана, в основном, с изучением четырёхмерной теории рассматриваемого здесь типа, включающей, помимо дилатоиа и калб-рамоповского поля,- одно абелево калибровочное поле. В представляемой же диссертационной работе, в числе прочего, ограничения на размерность пространства-времени и число полей в абелсвом секторе теории удалось снять. При этом были получены совершенно новые результаты как общего (связанные с развитием формализма теории), так и конкретного (те или иные инвариантные классы точных решений) характера. В разработке некоторых из представленных здесь результатов принимали участие защитившиеся под моим научным руководством к.ф.-м. п. Юрова М.В. ([235]) и Эррера-Агиляр А.Ф. ([236]) которых я также хочу искренне поблагодарить за сотрудничество. Их последующая оригинальная научная деятельность также частично связана с разработкой данной темы (см., соответственно, [237]-[239] и [237]-[239]). В число научно-исследовательских коллективов, внёсших существенный вклад в изучение и развитие струнно-гравитационных систем рассматривамого в диссертации типа, а также и некоторых родственных тем, нужно включить группы М. Цветич и Д. Юма [244]-[251], Г. Гиббонса [252]-[259], Р. Каллош [260j-[267], М. Гасперини и Г. Венециано [268]-[275], А. Бисваса, А. Кумара и К. Рея [276]-[279], Ю.П. Рыбакова [280]-[283] и В. Н. Мельникова [284]-[291]. Следует отметить работы (с соавторами) М. Цейтлина [292]-[295], И. Бакаса [296]-[299], Ж. Клемана [300]—[303] и В. Сабра [304]-[307]. Сравнение их результатов с полученными в ходе работы над диссертацией имело весьма существенное стимулирующее значение.

Обратимся теперь к обсуждению содержания диссертационной работы. Она включает в себя Введение, пять глав основного текста, Заключение, и список цитируемой литературы. Первая глава диссертации ( сг-модели в гравитации и теории струн ) диссертации состоит из восьми параграфов и имеет, в основном, обзор но-методи чес кий характер. В ней излагается ряд общих свойств некоторых классических гравитационных систем, имеющих близкие аналогии в изучаемой в оригинальной части работы области струнно-гравитационных моделей. Также в этой главе содержатся все необходимые для последующего оригинального рассмотрения сведения об эффективной гравитационной модели, получающейся в рамках низкоэнергетической теории гетеротической струны. При написании текста данной главы были использованы, в том числе, и оригинальные результаты, полученные в соавторстве с Д. В. Гальцовым и А. А. Гарсиа, и опубликованные в [308]- [316]. В параграфе 1.1 рассматривается ОТО в стационарном случае. Вводится представление Эрнста, которое используется затем для классификации полной группы непрерывных симметрии системы. Приводится связанное с представлением Эрнста представление нулевой кривизны теории. В параграфе 1.2 аналогичные построения производятся для стационарной ТЭМ. В параграфе 1.3 для обеих рассмотренных теорий определяется группа заряжающих симметрии и линеаризующее её действие представление, связанное в обоих случаях с представлением Эрнста. Формулируется общая техника генерации асимптотически плоских решений в теории Эйнштейна-Максвелла из обладающих тем же свойством решений Общей Теории Относительности, основанная на действии общего преобразования из группы заряжающих симметрии. Даются важные для последующего изложения примеры [317]-[318]. В параграфе 1.4 приводится представление Эрнста для стационарной ТЭМ с дилатоном (ТЭМД) в случае произвольного значения константы дилатон-максвелловской связи. Показывается, что в случае калуце-клейповского значения этой константы теория обладает представлением нулевой кривизны, которое также определяется представлением Эрнста [308] -[309]. Параграф 1.5 связан с рассмотрением стационарной ТЭМ с дилатоном и аксионом (ТЭМДА) [310] - [310], являющейся простейшим представителем того класса струнно-гравитациопиых систем, исследованию которых посвящена основная часть диссертационной работы.

Показывается, что указанная теория обладает представлением, являющимся матричным аналогом представления Эрнста в ОТО. В терминах этого матричного представления Эрнста производится классификация преобразований из группы скрытых симметрии теории. С этим представлением связывается представление нулевой кривизны теории. В параграфе 1.6 приводятся свойства бозонного сектора пизкоэнергетической теории гетеротической струны, тороидально скомпактифицировашюй на три измерения, установленные в работах Д. Махараны, Дж. А. Шварца и А. Сена [213]-[215] и необходимые для развития оригинальной части диссертации. В параграфе 1.7 делается обзор ряда свойств произвольной двумерной гравитирующей сигма-модели, допускающей представление нулевой кривизны. Уравнения этой модели переписываются в форме переопределённой линейной системы Белинского и Захарова с парой Лакса, взятой в форме Дж. А. Шварца [211]-[212]. Указывается обобщенное инфинитезималыюе преобразование симметрии теории, порождающее группу симметрии Героча. Приводятся симметрия Боннора для теории Эйнштейна-Максвелла с дилатоном, а также преобразование Крамера и Нойгебауэра и представление нулевой кривизны Белинского и Захарова для стационарной и аксиалыюсимметричпой Общей Теории Относительности. В параграфе 1.8 делается обзор метода Белинского и Захарова построения солитонных решений на произвольном фоне в случае гравитирующих двумерных сигма-моделей с симметричной матрицей представления нулевой кривизны [155]—[156]. Вторая глава диссертации ( т-модели с симплектической симметрией ), как и последующие, содержит только оригинальный материал. Она состоит из восьми параграфов и базируется на работах [319]—[326]. В параграфе 2.1 изучается статическая ТЭМД с произвольной константой дилатои-максвелловской связи. Вводится (вещественное и нематричиое) представление Эрнста. С его помощью классифицируется группа скрытых симметрии и с ним связывается представление нулевой кривизны теории. Определяется группа заряжающих симметрии и строится представление, линеаризующее её действие. Разрабатывается процедура генерации асимптотически плоских решений данной теории из асимптотически плоских статических решений ОТО. Параграф написан по результатам публикации [319]. В параграфах 2.2-2.7 изучается стационарная четырёхмерная гравитационная модель с дилатоном, калб-рамоновским и максвелловским полями, эквивалентная теории Эйнштейн а-Макс вел л а с дилатоном и аксионом. В параграфе 2.2 для неё строится и идентифицируется группа заряжающих симметрии в симплектическом представлении нулевой кривизны. Определяется действие этой группы на комплексный матричный потенциал Эрнста. В параграфе 2.3 определяется действие группы заряжающих симметрии на матрицу, параметризованную кулоновскими зарядами теории. Это действие описывается линейным и однородным преобразованием с оператором, параметризующим группу SU(1,1) х U(l). Устанавливаются два зарядовых инварианта группы заряжающих симметрии теории. Разрабатывается техника генерации асимптотически плоских решений, основанная на применении преобразований из заряжающей группы к базе, эквивалентной сумме двух эйнштейновских сигма-моделей.

Похожие диссертации на Гравитирующие сигма-модели в теории струн

Классические и квантовые эффекты в моделях теории поля, связанных со струнамиБыценко, Андрей Александрович

Космологические модели, связанные с полевой теорией струнБулатов, Николай Владимирович

Квазиклассические решения и структура вакуума в двумерной сигма-модели и калибровочных теориях Исмагилов Равиль Габбасович

Интегрируемость струнных сигма-моделей, связанных с калибровочными теориямиБыков, Дмитрий Владимирович

Пространства модулей кривых в теории струн и топологических теориях поляДунин-Барковский Пётр Игоревич

Теория струн и непертурбативные эффекты в суперсимметричных калибровочных теориях Пестун Василий Сергеевич

Вопросы квантовой теории топологически массивной гравитации и теории струн в массивных фоновых поляхКрыхтин, Владимир Александрович

Геометрия и динамика в теории струн с N-расширенной локальной суперсимметриейГалажинский Антон Владимирович

Теории струн и полей высших спинов в калибровке светового конуса Мецаев Руслан Романович

Эффекты теории струн и суперсимметрий в космологических и небесных объектахМочалов, Сергей Витальевич