Введение к работе
Актуальность темы.
Квантовая теория калибровочных полей служит математическим аппаратом современной физики элементарных частиц и лежит в основе современного понимания фундаментальных законов природы. Тем не менее, основной метод теории поля — теория возмущений по константе связи — оказывается неприменимым для описания динамики неабелевых калибровочных полей, находящихся в фазе конфайнмента при нормальных энергиях. Это означает, что принимаемое ведущее приближение — приближение свободных полей — в данном случае не подходит. Поэтому важнейшая задача состоит в нахождении другого, более подходящего, ведущего приближения, которое позволило бы проводить вычисления различных параметров элементарных частиц в виде теории возмущений вблизи этого главного приближения. Эта задача, известная также как проблема конфайнмента кварков, а также тесно связанная с ней задача о появлении массовой щели в неа-белевой теории Янга-Миллса, являются первостепенными задачами в теории квантовых калибровочных полей уже более 40 лет, однако до сих пор являются нерешенными. Важный новый метод описания неабелевых калибровочных теорий при больших константах связи был предложен в работе Х.Малдасены (J.Maldacena) и получил впоследствии название AdS/CFT соответствия. Развитию этого метода посвящена настоящая диссертация.
Малдасена рассмотрел теорию Янга-Миллса в 3+1 измерениях с максимально возможной суперсимметрией — так называемую теорию J\f = 4 супер-Янга-Миллса. Более чем за двадцать лет до работы Мал-дасены Г.'т Хоофт (G.'t Hooft) указал на определенные (по крайней мере качественные) упрощения рядов теории возмущений, которые возникают в пределе N —> оо, д —> 0, А = g2N = const., где д — константа связи, а N — ранг калибровочной группы. С тех пор данный предел называется пределом 'т Хоофта, а константа А — параметром, или константой, 'т Хоофта. Точно такой же предел рассмотрел и Мал-
дасена в своей работе. Неожиданное утверждение Малдасены состояло в том, что предел 'т Хоофта теории АҐ = 4 супер-Янга-Миллса в определенном смысле эквивалентен сигма-модели теории ПВ суперструн, распространяющихся в пространстве AdS*, х Бъ (здесь AdS — пространство анти-деСиттера, a S — сфера с обычной метрикой).
Важная черта AdS/CFT соответствия состоит в том, что константы связи теорий на двух сторонах соответствия обратно пропорциональны друг другу. Действительно, константой связи струнной сигма-модели является квадрат радиуса пространства AdS: R2 ос л/А. Предел слабой связи сигма-модели соответствует большому радиусу, т.е. большим значениям параметра 'т Хоофта. Именно это свойство и позволяет при помощи AdS/CFT соответствия исследовать область сильной связи калибровочной теории.
Со времени появления работы Малдасены был достигнут значительный прогресс в изучении AdS/CFT соответствия. Р.Р.Мецаев и А.А.Цейтлин построили действие Грина-Шварца струнной сигма-модели для случая таргет-пространства AdS х S (напомним, в стандартных учебниках обычно рассматривается случай таргет-пространства К. ' ). Предел большой константы 'т Хоофта соответствует классическому пределу в сигма-модели, поэтому знание действия Грина-Шварца позволило, в частности, рассмотреть квазиклассические поправки к различным классическим решениям. В работе Д.Беренстейна (D.Berenstein), X.Малдасены и Г.Настасе (H.Nastase) было предложено в качестве такого решения выбрать светоподобную (нулевую) геодезическую, тогда соответствующий предел называется пределом «плоской волны» — с геометрической точки зрения он отвечает разложению метрики вблизи нулевой геодезической (т.н. предел Пенроуза). В свою очередь, в теории поля такой предел возникает при рассмотрении длинных операторов вида tr(y Z ), где Y и Z — комплексные скалярные поля, к фиксировано, a J —> оо, Л —> оо, J/vA = const. Другое интересное классическое решение, которому, в частности, уделено большое внимание в диссертации, — это так называемая «вращающаяся струна», рассмотренная в работе С.Габсера
(S.Gubser), И.Р.Клебанова и А.М.Полякова, иными словами струна, вращающаяся в пространстве AdS вокруг своего центра масс. В калибровочной теории такому решению двойственны операторы вида tr(^D50), где S ^ оо, т.е. с большим числом производных. Отметим, что ведущая квазиклассическая поправка к энергии такого решения вычислена в работе С.А.Фролова и А.А.Цейтлина.
Однако основное продвижение в исследованиях заключалось в том, что были открыты свойства интегрируемости теории Янга-Миллса с максимальной суперсимметрией, а также сигма-модели теории струн в AdS х 5*5. Термин «интегрируемость» в данном случае используется в смысле квантовых интегрируемых систем и означает появление бесконечного набора коммутирующих операторов, в результате чего определенные величины удается вычислить точно при любых значениях константы связи. Тем не менее, интегрируемость проявляется в калибровочной теории и в струнной сигма-модели по-разному. В работе И.Бены (І.Вепа), Дж.Полчинского (J.Polchinski) и Р.Ройбана (R.Roiban) было показано, что классические уравнения движения струнной сигма-модели можно записать в лаксовой форме, или в виде уравнения нулевой кривизны однопараметрического семейства связностей — именно это позволяет найти бесконечное число интегралов движения, находящихся в инволюции. В N = 4 теории Янга-Миллса рассматривают составные калибровочно-инвариантные операторы, т.е. локальные (зависящие от одной точки х пространства Минковского) калибровочно-инвариантные функции от элементарных операторов А^,ф,ф (здесь А^ — калибровочное поле, ф — скалярные поля, ф — спинорные поля). Несмотря на то что рассматриваемая теория является конформной , эти операторы могут иметь ненулевые (зависящие от параметра 'т Хоофта А) аномальные размерности. Дж.Минахян (J.Minahan) и К.Л.Зарембо заметили, что вычисление этих размерностей (по крайней мере в однопетлевом приближении) сводится к диагонализации гамильтониана определенной спино-
Ютсюда и название «CFT», т.е. conformal field theory, или конформная теория поля.
вой цепочки. Гамильтониан этой цепочки интегрируем — это означает, что существует бесконечное число операторов, действующих в гильбертовом пространстве данной цепочки, коммутирующих между собой и с этим гамильтонианом. Данное свойство совсем не тривиально, и оно позволяет, в частности, задать спектр гамильтониана в виде решения системы алгебраических уравнений (уравнений Бете). Тем не менее, работа Минахяна и Зарембо посвящена исследованию однопетлевого приближения, и возникающая при этом XXX цепочка Гейзенберга описывает взаимодействие соседних спинов. Однако если учесть, например, двухпетлевые поправки, то возникнет модификация этой цепочки, где взаимодействовать будут уже каждые три соседних спина, в трехпетлевом приближении взаимодействуют четыре соседних спина и т.п. Таким образом, требовалось обобщение уравнений Бете, справедливых в однопетлевом приближении. Окончательный ответ на данный вопрос был дан в работе Н.Байсерта (N.Beisert) и М.Штаудахера (M.Staudacher) — в ней был выписан полный набор уравнений Бете, справедливый во всех порядах теории возмущений при условии, что рассматриваемые составные операторы имеют бесконечную длину. Следует заметить, что несмотря на большой прогресс и некоторые замечательные результаты, многие вопросы, связанные с операторами конечной длины, до сих пор остаются открытыми.
Мы только что описали результаты исследования AdS/CFT соответствия для случая АҐ = 4 теории супер-Янга-Миллса. Со времени появления оригинальной работы Малдасены были предложены и другие варианты AdS/CFT соответствий. В частности, в работе О.Лунина и X.Малдасены рассмотрена так называемая TsT-деформация2 AdS*, х 5*5 теории, при которой трехпараметрической деформации, определяемой параметрами 7ъ7257з, подвергается метрика сферы S . Эта теория предполагается двойственной несуперсим-метричной теории Янга-Миллса с полями материи (если параметры
2В аббревиатуре «TsT» буква Т обозначает Т-дуальность (обладающую свойством ГоГ= 1), as — сдвиг (shift).
деформации совпадают, то в теории имеется АҐ = 1 суперсимметрия). Кроме того, для данных теорий также были найдены некоторые признаки интегрируемости. Например, в работе С.А.Фролова построена лаксова пара для уравнений движения струнной сигма-модели. Изучению TsT-деформированной теории посвящена Глава 2 настоящей диссертации.
Существуют также теории, для которых (согласно гипотезе Мал-дасены) существуют AdS-двойственные аналоги, но которые отличаются от AdS*, х 5*5 случая сильнее, чем на простую деформацию. Таргет-пространства всех таких сигма-моделей могут быть записаны в виде AdSp+i х ]\Л (плюс фермионы), где М — некоторое компактное пространство. В некоторых случаях эти суперсимметричные пространства допускают достаточно большую группу изомет-рий и суперсимметрий, в результате чего они представляют собой факторпространства этих больших групп (супер)симметрий. В случае, когда соответствующая алгебра симметрии допускает Z^ градуировку, лаксова пара в классической сигма-модели строится стандартным образом (И.Бена, Дж.Полчински, Р.Ройбан). Такие теории (сигма-модели с ^-градуировкой, обладающие в однопетле-вом приближении нулевой бета-функцией и центральным зарядом с = 26) были классифицированы в работе К.Л.Зарембо. Одним из таких интересных примеров является сигма-модель для струн, распространяющихся в пространстве AdS^ х СР , впервые предложенная в работе О.Аарони (O.Aharony), О.Бергмана (O.Bergman), Д.Л.Джаффериса (D.L.Jafferis) и Х.Малдасены. Двойственной ей является теория Черна-Саймонса с N = 6 суперсимметрией в трехмерном пространстве — эта теория, как и АҐ = 4 супер-Янг-Миллс, является конформной. Изучению этого примера AdS/CFT соответствия посвящены Главы 3, 4 и 5 диссертации.
Сама по себе J\f = 4 теория супер-Янга-Миллса, будучи конформной, не может претендовать на роль физической теории элементарных частиц. Однако можно надеяться, что более физические теории
могут быть получены из нее с помощью деформаций, или возмущений. До сих пор на данном пути не было значительных продвижений, и, несомненно, прогресс в этом направлении был бы очень желателен. На первый взгляд может казаться, что деформированные теории, а также варианты AdS/CFT соответствия в других пространственно-временных размерностях являются еще менее физическими. С нашей точки зрения, особый интерес изучение различных вариантов AdS/CFT соответствия представляет для понимания области применимости этого метода в рамках квантовой теории поля. В частности, единственное известное до сих пор обоснование AdS/CFT соответствия — это описанное в оригинальной работе Малдасены, основанное на изучении низкоэнергетического действия большого количества параллельных четырехмерных бран в теории струн (эта аргументация приводится в Главе 1 диссертации). Так как в конечном итоге теория AdS/CFT сводится к двойственности между двумя квантовыми теориями поля (двумерной теорией мирового листа и, например, четырехмерной или трехмерной теорией поля, хотя возможно рассмотрение калибровочных теорий и в других размерностях), то естественным является вопрос о том, возможно ли «увидеть» появление данной двойственности непосредственно в квантовой теории поля, без какой бы то ни было аппеляции к теории струн. Несмотря на то что на качественном уровне такая аналогия кажется весьма уместной, более того она была предложена еще в 70-х годах в работе Г.'т Хоофта, до сих пор не существует ни одного количественного описания данного явления. Мы надеемся, что изучение разных вариантов AdS/CFT соответствия способствует продвижению в этом направлении.
Цель работы: Исследование 7-ДеФРмиРованнй сигма-модели AdS х Ж в конечном объеме, получение ведущей поправки на конечный объем к дисперсионному соотношению солитона; изучение алгебры симметрии сигма-модели AdS^ х СР3 в калибровке светового конуса, вычисление центрального расширения при отказе от условия соответствия уровней в пределе декомпактификации мирового листа;
вычисление спектра возбуждений вращающихся струн в пространстве AdS^ х СР3, определение взаимодействий безмассовых мод.
Основные результаты:
Получена ведущая поправка на конечный объем дисперсионного соотношения солитонного решения струнной сигма-модели (так называемого «гигантского магнона») в случае 7-ДеФРмиРованного пространства AdS х S^.
Получено центральное расширение алгебры симметрии суперструны, распространяющейся в пространстве AdS^ хСР , в калибровке светового конуса. Это расширение возникает при отказе от «условия соответствия уровней» в пределе бесконечного импульса на световом конусе (что эквивалентно тому, что длина струны эффективно обращается в бесконечность).
Получен спектр бозонных и фермионных флуктуации при разложении действия суперструны вблизи решения, описывающего вращение струны. Найдена однопетлевая поправка к энергии данной конфигурации. Показано, что в пределе, когда один из спинов обращается в бесконечность, некоторые из полей, как бозонных, так и фермионных, становятся безмассовыми. Получен полный лагранжиан, описывающий динамику этих безмассовых мод.
Методы исследования. В диссертации используются методы теории суперсимметрии, теории вполне интегрируемых систем, теории двумерных сигма-моделей.
Научная новизна.
В диссертационной работе исследовано солитонное решение 7" деформированной струнной сигма-модели в конечном объеме; вычислено центральное расширение алгебры симметрии сигма-модели теории струн, распространяющихся в пространстве AdS^ х СР3; найден спектр бозонных и фермионных возбуждений длинной струны, вращающейся в пространстве AdS^ х СР ; показано, что в пределе очень быстрого вращения некоторые из возбуждений являются безмассовыми; найден полный лагранжиан, описывающий взаимодействия без-
массовых мод. Все результаты являются новыми и получены впервые.
Теоретическая и практическая ценность. Настоящая диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в Главе 2 результаты могут быть использованы для изучения свойств интегрируемости 7-ДеФ0РмиРованнй сигма-модели и теории Янга-Миллса, не обладающей суперсимметрией. Результаты глав 3, 4 и 5 могут быть использованы для исследования сигма-модели AdS^ х СР3, а также для изучения аномальных размерностей составных операторов в трехмерной суперконформной теории Черна-Саймонса. Результаты диссертации могут быть использованы в работах, проводимых в МИАН, ПОМИ, ФИАН, ИЯИ, ЛТФ ОИЯИ, ИТЭФ, на физическом факультете МГУ.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на семинарах отдела Теоретической физики Математического института им. В. А. Стеклова РАН, на семинарах Факультета Математики Тринити Колледжа, Дублин, Ирландия, на семинарах Института Теоретической Физики Университета Сан-Паулу, Бразилия, а также на следующих международных конференциях:
15-я ирландская конференция по квантовой теории поля, Мэйнут, Ирландия, май 2008 г.
4-я конференция в рамках программы Европейского Союза EU-RTN, Варна, Болгария, сентябрь 2008 г.
16-я ирландская конференция по квантовой теории поля, Дублин, Ирландия, май 2009 г.
Конференция «Калибровочные поля. Вчера. Сегодня. Завтра.», Москва, Россия, январь 2010 г.
Конференция «Кварки 2010», Коломна, Россия, июнь 2010 г.
Конференция «Интегрируемость в калибровочной теории и теории струн», Стокгольм, Швеция, июнь 2010 г.
Публикации. Основные результаты, перечисленные выше, получены автором данной диссертации, являются новыми и опубликованы в работах [1, 2, 3, 4, 5].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав основного текста, заключения, приложений и списка цитируемой литературы, включающего 109 наименований. Объем диссертации составляет 155 страниц.
