Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Мероны в теории Янга-Миллса 26
I. Квазиклассическое разложение около условных экстремумов действия 26
2. Конфайнмент. Инстантоны и мероны 30
3. Разделение переменных в функциональном интеграле 34
4. Меронная конфигурация. Дополнительные условия. Устойчивость относительно внутренних флуктуации 37
5. Функции Грина 42
6. Поверхностные моды. Обсуждение 48
Гдава II. Фермионная сигма-модель. Общие свойства 52
I. Сигма-модель и теория Янга-Миллса. Построение фермионной сигма-модели 52
2. Нулевые моды 58
3. Токи и аномалия 59
4. Асимптотическая свобода 64
Глава III Инстантоны в сигма-модели с массивными фермионами 68
І. О взаимодействии компонент инстантон-антиинстантонного газа 68
2. Действие. Вторая вариация 70
3. Фермионные детерминанты. Случай малой массы 74
4. Анализ cUr 78
5. Взаимодействие инстантонных компонент 81
6. Фермионные детерминанты. Случай большой массы 84
7. Плотность фермионов в инстантонном поле 87
Глава ІV. Точные инстантон-антиинстантонные решения в сигма-модели с фермионами 90
Введение 90
I. Эффективное действие 92
2. Решение классических уравнений 94
3. Мера интегрирования на инстантон-антиинстантонном многообразии 100
4. Вторая вариация действия 101
5. Вычисление 105
6. Вычисление
Обсуждение 109
7. Функции Грина III
Заключение 115
Литература
- Конфайнмент. Инстантоны и мероны
- Нулевые моды
- Фермионные детерминанты. Случай малой массы
- Мера интегрирования на инстантон-антиинстантонном многообразии
Введение к работе
I. О квазиклассическом подходе в калибровочных теориях поля
Построение законченной теории сильных взаимодействий - одна из центральных задач физики элементарных частиц. В течение последних лет сложилось убеждение, что эти взаимодействия правильно описываются квантовой хромодинамикой, то есть калибровочной теорией со структурной группой $17. Однако успешно применить квантовую хромодинамику удалось только к жестким процессам, протекающим при высоких энергиях и больших переданных импульсах [ 1-2J. В этой области эффективная константа взаимодействия мала[з-4], что позволяет использовать стандартную теорию возмущений.
Иначе обстоит дело с такими задачами, как расчет масс адро-нов и описание мягких процессов рассеяния. В этом случае константа связи, входящая в уравнения хромодинамики, велика, и в ряду теории возмущений нельзя ограничиться несколькими первыми членами. Можно было, тем не менее, надеяться, что учет большего числа членов или суммирование бесконечных серий диаграмм позволяет приблизиться к истине.
Исследования, проведенные в этом направлении [5-Ю], дали обескураживающий результат. Оказалось, что если классические уравнения движения при мнимом времени (то есть в евклидовом пространстве) имеют решение с конечным евклидовым действием, то вклад членов ряда теории возмущений порядка и* при п, -+о растет как ^ : . Такой быстрый рост приводит к возникновению особенностей у преобразования Бореля и делает обратное преобразование неоднозначным. Квантовая хромодинамика оказалась теори-
ей именно такого типа, поэтому, если нельзя ограничиться несколькими первыми членами, то пытаться суммировать ряд теории возмущений бессмысленно.
С другой стороны, совершенно ясно, что решающее влияние на спектр низколежащих состояний должно оказывать нарушение кираль-ной симметрии. Необходимость такого нарушения вытекает уже из отсутствия дублетов по четности в реальном спектре масс элементарных частиц. В квантовой хромодинамике дивергенция аксиального тока оказывается пропорциональной плотности топологического заряда глюонного поля ҐПІ. Отсюда возникает подозрение о причастности топологически нетривиальных полей к генерации спектра масс. Эти поля не могут рассматриваться как малые флуктуации около вакуума теории возмущений, и поэтому становится понятной неудача последней в низкоэнергетической области.
Правильная теория должна учитывать все топологически неприводимые вакуумы. Замечательный пример здесь демонстрирует модель Швингера [I2J. В этой точно решаемой модели удалось показать ГіЗІ, что истинный вакуум является линейной комбинацией всех топологически различных вакуумов ( 6 -вакуум). При этом была решена и \7(d) - проблема [l4J, возникающая во всякой глюон-ферми-онной теории с нарушенной киральной симметрией. Отсутствие безмассового псевдоскалярного бозона оказалось связано со сложной структурой пространства физических состояний.
Результаты, вдохновляющие на более внимательное изучение роли топологически нетривиальных полей, были получены и в других моделях [33J.
Ясно, что эту задачу надо решать непертурбативным путем. Но такой современный метод как переход к решеточной теории
[I5-I6J вряд ли здесь вполне адекватен. Действительно, большинство достижений в этом направлении [I7-I8] связано с чистой глюо-динамикой. Введение же в решеточную теорию фермионов и топологического заряда встречается с рядом трудностей Cl9j. Наконец, существуют изначальные недостатки этого подхода: отсутствие явной Лоренц - инвариантности, введение дополнительных параметров (шаг решетки, ее размер).
Поэтому закономерно обращение к квазиклассическим методам [20-ЗҐ] в задаче описания низколежащих состояний в квантовой хромодинамике. Метод свободен от недостатков решеточного подхода. Возникновение членов вида 4~ -е#Ь (~ cuw/qZj ^ Где
Для применения квазиклассического разложения нужно иметь решение классических уравнений движения. Эту базу предоставляют именно те самые решения, которые гарантировали возникновение особенностей в борелевском суммировании. То, что эти решения удовлетворяют уравнениям движения в евклидовом пространстве, тоже получает простую интерпретацию в квазиклассическом подходе. Как показано в [*32j, решения евклидовых уравнений движения с конечным евклидовым действием описывают туннельные переходы между различными классическими состояниями (между различными классическими вакуумами в данном случае).
Не касаясь здесь внутренних проблем квазиклассического подхода, отметим, что существует очень важная задача согласования
низкоэнергетического (квазиклассического) описания с правильными результатами теории возмущений в высокоэнергетической области. Возникший на этом стыке метод сумм [34-37J опирается на операторное разложение Вильсона [38\, При этом коэффициенты разложения вычисляются по теории возмущений, а операторам сопоставляются их вакуумные средние - конденсаты, - вычисленные каким-либо непертурбативным методом (например, квазиклассическим), поскольку в рамках теории возмущений эти средние обращаются в нуль. То, что конденсаты входят в измеримые величины, позволяет производить отбор существенных полевых конфигураций, и, в итоге, понять структуру вакуумного состояния квантовой хромодинамики. Таким образом, в современной теории квантовых полей роль квазиклассического подхода важна и, в какой-то степени, уникальна. Систематическому изложению применения этого метода в теории калибровочных полей посвящены последующие параграфы.
2. Вакуумные состояния в классической теории Янга-Миллса
Рассмотрим теорию Янга-Миллса со структурной группой и действием
Динамическими переменными являются пространственные компоненты (Л и сопряженные им импульсы E-L - (fi^ . Действие (I)
не содержит производных по времени от полей 7 , которые играют роль множителей Лагранжа. Вариация по ним дает связи
С-= 2X^JtJ{jl
а/с J Ас
(2)
Эволюция динамических переменных в калибровке Л о » О описывается гамильтонианом
7/ = (E?f + (Iff
а die J /г с I (3)
ї'^А-^г^ЧЧУ
Скобки Пуассона
'7 ,Са]-~
(4)
обращаются в нуль, и поэтому связи (2) можно накладывать только на начальные условия. Не трудно убедиться, что (2) генерируют калибровочные преобразования, не зависящие от времени:
С (5)
С(ч) - JJsx Саоіл ; *w= | - ^/ » который здесь не рассматривается из-за громоздкости выкладок. Функции Грина для этого случая выписаны в Приложении 2. Там же приводятся явные выражения для решений уравнений (33), нормированных условиями (34).
На подпространстве, где \l-k | = Wi , матрица \/\%) диагональна и с ней можно обращаться как с числом. Решение однородного уравнения
в этом случае имеет вид
где С1 , С. - произвольные коэффициенты.
Построим функцию Грина для области
При і- к ~ 3/Z функция —г- і (і) регулярна в точке
Ъ-0 , а решение, обращающееся в нуль при
сингулярно при Ї-О . Функция Грина строится из этих двух решений однородного уравнения стандартным образом:
i(\-h){\-h) і
Точно так же строятся функции Грина для мод с 1=0, к - У и і - vfi , к -О . Этим значениям квантовых чисел в инстан-тонном случае соответствуют нулевые моды, и функция j (z) регулярна и при Z = 0 и при - 1 ,
Если же , то функция Y(%) сингулярна
при Ъ — О и для построения функции Грина используются реше
ния 1 щ
* 2
Первое из них регулярно в нуле, а второе обращается в нуль при Z.-V& Функция Грина имеет вид
e-fc-Ь 1^114)
о Построение функций Грина для области С^ совершенно аналогично.
Используя (35), (36) и формулы Приложения 2, легко вычислим производные, входящие в поверхностные действие (21). Об-
лаоть Q , 2 = z'= ^ :
Область (Л , 2=^= :
Символ <Э означает тензорное произведение двух столбцов. Исключение составляют моды с числами ( < = <9, ^ ^ ) и ( ^-~ vi9 С-0 )9 которым соответствуют равенства
Заметим, что сумма
являющаяся ядром поверхностного действия для флуктуации около инстантона (если, конечно, разрезать его на две половинки) не отрицательна.
б. Поверхностные моды. Обсуждение
Согласно (21), эффективное действие для поверхностных мод имеет вид
- 7 ЛП (40)
Входящие сюда производные функций Грина даны формулами (31), (37)-(39). Поверхностные поля 4С, , $ определены, соответственно, на сферах ґ~іїОл , QQ
Матричные элемента оператора К&ъ асимптотически растут пропорционально к , поэтому отрицательные собственные значения могут возникнуть только в нескольких первых модах. Их числовой расчет приводит к выводам:
I. При любом значении % мода \ % \\)0 }0/ отри-
цательна. При XQ-Q она становится нулевой.
Моды [1 > , \0 (і/і) ЇМ, Уі} неотрицательны для %>0 и становятся нулевыми при Х0 - О (инс-тантонный случай).
Все остальные моды строго положительны.
Полученные результаты означают устойчивость меронной конфигурации (13) при То ^ 3y\l , поскольку отрицательная мода заморожена условиями (22), и квазиклассическое разложение в рамках метода, развитого ранее, оказывается возможным. Область интегрирования по R./J , & при этом должна быть ограничена условиями (27). Ограничение на параметр разреженности меронного газа получается из комбинации формул (27), (14): D
Хотя этот результат получен из рассмотрения двухмеронной конфигурации, вряд ли он будет сильно нарушен в газе из произвольного числа квазичастиц. Таким образом, расстояние между центрами шаров с топологическим зарядом 1/2 не будет превышать их утроенного радиуса, то есть газ оказывается довольно плотным.
Может показаться, что учет таких условных минимумов не имеет никакого смысла, поскольку из-за положительности мод 10(14) , V'l 0)0,1) , отвечающим трансляциям и калибровочным преобразованиям, фазовый объем конфигурации (13) будет ничтожен по сравнению с инстантонным. Причина нарушения калибровочной и трансляционной инвариантности состоит в нелинейном характере соответствующих преобразований и использовании для разложения условного экстремума действия. Действительно, в случае точного решения уравнений движения вто-
рая вариация действия должна быть инвариантна с точностью до величин второго порядка по параметрам калибровочных преобразований и трансляций. Но если разложение идет около условного экстремума, то такой инвариантностью обладает только сумма первой и второй вариаций. Условиям (22) удовлетворяет только линейная часть калибровочных и трансляционных флуктуации, что приводит к нарушению инвариантности во втором порядке по параметрам преобразований. На самом деле, моды \0\}/t)Vt} Vi/-\^) и у/%{\)0) \/ ~ 1^0/ могут быть сделаны нулевыми введением в (22) квадратичных членов. (Такой путь изменения спектральных свойств второй вариации был отмечен в первом параграфе, формулы (7 а), (9)). Новые условия будут иметь вид
(41)
+ c4eZ{
А І где С a t С j, - коэффициенты, пропорциональные множителям Лагранжа, индекс І нумерует моды, сцепленные с |из) или |і> в (40).
При условиях (41) координатам центров сфер Я Од и параметрам калибровочных преобразований будут соответствовать нулевые моды в поверхностном действии. При стандартной замене вклада этих мод на интегрирование по параметрам преобразований в функциональном интеграле возникают дельта-функции
s(OS.-$>>), г(0$.-«^>) (42)
Но тогда все добавочные члены в (41) исчезают и восстанавливается условие (22), но уже дополненное ограничениями (42). Их явный вид
Отметим, что предел разреженного газа не совместим с ограничением (22), и развитый в этой главе аппарат к нему не применим.
С современной точки зрения Jj57j , J58] инстантонный газ находится вдали от точки фазового перехода к меронной плазме, и изучение конфигураций типа меронной (13) большого интереса не вызывает. Но, думается, развитый здесь метод квазиклассического разложения около условного экстремума действия может найти и более полезные применения.
глш п. дамионнАЯ сигма-модель, общие свойства.
I. Сигма-Модель и теория Янга-Миллса. Построение ферми-онной сигма-модели.
Затронутые во введении проблемы построения вакуумного состояния квантовой хромодинамики, видимо, не имеют простого решения. Ситуация, возможно, упростилась, если бы было известно полное решение уравнений дуальности (В.14). Пока же теория вынуждена довольствоваться приближенным рассмотрением приближенных решений (комбинации из одноинстантонных решений (В.15)) или конфигураций, которые вовсе не решения (инстантон-антиинстанто-ны). Понять, что нового добавит знание и использование точных многоинстантонных решений к пониманию структуры вакуума, можно только на подходящей модели, от которой естественно требовать достаточно глубокой аналогии с теорией калибровочных полей. На такую роль уже долгое время претендуют С/(3) - сигма-модель в двумерном пространстве-времени и ее обобщения - Сілі л модели. Оказалось, в частности, что, как и КХД, сигма-модель с действием
—* О
4-і
(I а)
асимптотически свободна [64]. При евклидовом пространстве-времени и граничных условиях
поля ^ осуществляют отборажение компактифицированной плоскости на единичную сферу в трехмерном пространстве и потому могут быть разбиты на счетное число классов топологически эквивалентных полей. Как и в теории Янга-Миллса эти классы нумеруются топологическим зарядом
!-iJ*V *V*f>
который имеет смысл числа покрытий единичной сферы при отображении f . Действию (I) не трудно дать оценку снизу:
S -4 jJVvr** ?% f VA f Ы > f І*
откуда сразу получаем аналог уравнений дуальности (В.14):
Решения этих уравнений (инстантоны) были получены в бб] и описываются мероморфной функцией vvitAsi [%) :
1 - <Рз, fc-i А <4)
Это полное решение уравнений (3), более того, можно показать [бб], что уравнения движения, получаемые из (I), не имеют других решений с конечным действием. Для (-^/-4 -моделей инстантоны были найдены в [67 - 69]. Таким образом, в отношении топологических свойств имеется полная аналогия между U(y) -сигма-моделью и теорией Янга-Миллса.
Из других достижений в изучении сигма-модели (I) отметим
существование бесконечного количества законов сохранения 703, [71], которые запрещают множественное рождение частиц и фиксируют набор импульсов в процессах рассеяния. Эти свойства позволили построить 72],[73~[ точную ,3 -матрицу. Наконец для сигма-
./| -моделей построено -разложение [74 - 7б]. После некоторой дискуссии [76 - 81] расхождение, возникшее между результатами инстантонного подхода и vjV разложения, было преодалено.
Квантовые флуктуации инстантонов сигма-модели изучались в работах 82 - 84/, a ^-^-^ -модели в 85]. Было показано, 84], что однопетлевой вклад инстантонов в функциональный интеграл сигма-модели совпадает со статистической суммой кулоновско-го газа, температура которого в точности соответствует температуре диссоциации "инстантонной молекулы" (пара комплексных чисел d^ , t>k ) Суммирование вкладов всех топологических секторов с неотрицательным зарядом (2), приводит к большой статистической сумме, которая может быть описана как функциональный интеграл модели синус-Гордон или модели Тирринга 86]. При температуре диссоциации последняя превращается просто в модель свободного массивного фермионного пояя. В итоге удалось выразить некоторые функции Грина через пропагаторы свободных массивных фермионов. Ряд дальнейших формул в этом направлении был получен в [87], [88].
Для сравнения с теорией Янга-Миллса и демонстрации преимуществ точных многоинстантонных решений приведем одноинстан-тонный вклад в функциональный интеграл сигма-модели 82], полученный в полной аналогии с результатом (В.17):
4ГКї)*\^^-$ + Ц* + ^)
woo =
г-2<
(5)
Параметры ZG » ^ имеют, соответственно, смысл центра и радиуса инстантона. Формулы (В.17) и (5) тождественны по своей структуре, отличаясь, разве, некоторыми степенями -результат изменения размерности пространства. Как и в теории Янга-Миллса вознникает потребность в обрезании интеграла по на верхнем пределе (более того, теперь нужно вводить обрезание и на нижнем пределе). Но, оказывается, такие "одноинстантонные неприятности" не мешают вычислять функции Грина, если пользоваться точными решениями.
Перечисленные здесь работы позволили понять физику инстан-тонного газа в о -модели, но главную проблему -учет инстан-тон-антиинстантонных вкладов, - они не затрагивают. Этим вопросам посвящены работы 83],]89],^90j, но использованные в них приближения либо сводили вычисления к одноинстантонным, либо были просто очень грубы. Поэтому по достоверности результатов они не выше работ, выполненных в рамках теории Янга4!иллса.
Критической проблемой квазиклассического подхода в теории калибровочных полей является обоснование стабильности инстан-тон-антиинстантонного газа, поскольку по наивным топологическим соображениям такая система должна быстро аннигилировать, а вакуум превратиться в топологически тривиальный вакуум теории возмущений. Трудно расчитывать найти такое обоснование, не
вводя в теорию каких-либо новых ингредиентов (например, жесткого ядра у инстантона 58]). Следует также вспомнить, что экспериментальные значения конденсатов JJ9I] характеризуют реальный мир, в котором существуют легкие кварки. Естественно попытаться найти механизм, стабилизирующий инстантон-антиинстантонный газ, во взаимодействии квазичастиц с фермионами. К этой задаче непосредственно примыкают и T7(v -проблема, и нарушение ки-ральной симметрии, и объяснение спектра масс элементарных частиц.
Для начала было бы полезно рассмотреть эти вопросы в сигма-модели, которая в бозонном варианте уже оказалась во многом аналогичной теории Янга-Миллса. При построении фермионной сигма-модели желательно, конечно, воспроизвести такие свойства как аналогия аксиального тока и возникновение нулевых фермионных мод в инстантонном поле. Последнее обстоятельство помогает выбрать взаимодействие бозонных и фермионных полей. Действительно, происхождение нулевых мод у второй вариации действия (I) на классическом инстантонном решении СР0
во многом обязано наложенному на вариации условию
Возникает мысль ввести аналогичным образом взаимодействие с изовекторным спинорным полем Ф^ , потребовав
В действие же вводится член, описывающий свободное фермионное поле:
а.
V Н о) / \~~ U о/
(7)
(Пространство евклидово). Формулы (7), (6), (1а) определяют нашу модель. Удовлетворяет ли она всем возложенным на нее надеждам, или нет, будет выяснено в последующих параграфах, сейчас же отметим, что впервые похожая модель была представлена в работах [92],[93], где она возникла как суперсимметричное расширение 0(І) -сигма-модели. При этом естественно возникает связь (6), но в действии появляется еще четырехфермионный член, а спиноры из-за необходимости баланса бозонных и фермион-ных компонент суперполя должны быть майорановскими. В настоящее время суперсимметричные сигма- и С г^/_^ -модели интенсивно исследуются. Интерес к ним объясняется сокращением вкладов фермионных и бозонных петель, что позволило получить точную
& -функцию Гелл-Манна-Лоу ^94]. л^/- разложение для этих моделей можно найти в работах [75],]95]. Обзор полученных результатов и обсуждение возможностей моделирования непертурба-тивных эффектов квантовой хромодинамики в суперсимметричных моделях изложен в препринтах [96} , [97].
Предложенная здесь модель не суперсимметричиа, и спиноры в (7) комплексны. Но нет суперсимметрии и в теории Янга-Миллса, как нет там и характерного для суперсимметричной теории четы-рехфермионного взаимодействия. Далее будут доказаны следующие
свойства модели:
а) евклидовы уравнения движения поля ^ имеют норми
руемые решения в инстантонном поле
б) из полей ч|> можно построить аксиальный ток, дивер
генция которого пропорциональна плотности топологического заря
да поля (f0 (аномалия аксиального тока);
в) асимптотическая свобода модели (I) сохраняется и в мо
дели (7). В целом эти свойства позволяют продолжать аналогию
с теорией Янга-Миллса и на фермионный сектор.
2. Нулевые моды
Пусть <^0 - инстантонное поле (3). Связь (6) можно решить, введя изовектора
и разложив поле ^ на компоненты
Д ,,у . ^
Т- СІ + чг^
(8)
V п=і
Tt/ Подставив (8) в классические уравнения движения
получим уравнения для спинорных компонент:
zww'
-і
Их нормируемые решения имеют вид
n,=. i^-wt^*0
(1 о
О -\
к-1
і =
л/
*1 z
К-0
л/
— /1
(9)
VL-0
^Иь » ^^ " постоянные коэффициенты.
Эти решения демонстрируют те же киральные свойства, что и
нулевые фермионные моды в теории Янга-Миллса [pl\. Количество
нормируемых нулевых мод зависит от используемой метрики. Так,
для плоского евклидова пространства /V = ^- Z , а если по
ля заданы на сфере(в этом случае квадрат фермионного поля дол
жен быть интегрируем с весом ( І+ '^' A&ZJ , К. - ради
ус сферы), то N - -1 .
3. Токи и аномалия
Благодаря связям (I а), (б), спинорная часть действия (7) кроме обычной инвариантности относительно преобразований ( бесконечно малый параметр)
цл ^ uf
(10)
обладает инвариантностью относительно
(II)
Токи, соответствующие преобразованиям (II),
(12)
I5 = ^cfu/^rrtc
в классической теории сохраняются.1'
Для вычисления дивергенций токов (12) в квантовой теории, рассмотрим спинорное поле Т во внешнем классическом поле <р . Пусть изовекторы Я, ср и 9^ <р линейно-независимы. Тогда, записывая решение уравнений связи (6) в виде
Vі = зур^1*
получим следующие выражения для токов:
1^= - ixQW^X^ аз)
5 Юпг Пґ^Л ~ „/.+ *,
лісс п ..a, .J
Qw= іЛ^тЧЛ11
х' Сохраняющиеся токи, отвечающие преобразованиям (10), аномалиями не обладают и здесь не рассматриваются.
Величина Q(x) имеет смысл плотности топологического заряда (2) поля срл . Так как токи являются сингулярными операторами, то необходимо произвести регуляризацию:
Коэффициенты вй удовлетворяют равенствам [98^
і U і J±
ы г~-\ н ,
где ^ - массы регуляризующих полей, )* - точка нормиров
ки. Регуляризующие токи Iu построим по формулам (13) из
полей у , подчиняющихся уравнениям
-irAVT/f)^+^<= (14)
(поле If удовлетворяет тем же уравнениям при №= 0 )щ
. .„. *. r;f -—««, —.....
ческому тензору
Для дивергенции регуляризованного тока с помощью (14) получим:
r rlt L (16)
причем
где м(g) - решение уравнения
Поэтому для нахождения дивергенции остается вычислить функции
Грина регуляризугощих полей при т^ -^ с точностью до
членов порядка т""1 в пределе \х~^'\~^0. Представим решение уравнения (18) в виде
* J <I9)
Из (18), (19) вытекают уравнение и начальные условия для
F(*,*'; 0) =%Sl{x-*') (20)
где (^ Jj* =Vp%JL-%{j*Jb+])*> %Jft * TeH3P Римана-Кристоффеля. Решение задачи (20) имеет вид
r-&M-*r)ZKw
к,
Причем функции ^ удовлетворяют рекуррентным соотношениям
L (*, *) = # (*>
которые можно решить при малых |ас-я:'| разложением в ряд.
Достаточно найти с точностью до I х-х | .
Сохраняя в результирующем выражении для G(в) только син-
U 0 -1.
гулярные члены и члены порядка тл и ґу\ , получим
I = Ц 5 f tл... _ постоянная Эйлера.
Заметим, что из-за двумерности пространства тензор имеет только одну незивисимую компоненту.
Подставив (17), (21) в (16), вычислим дивергенцию аксиального тока:
гі.? = 4
(22)
Y - а*}а$Т
О 0 ^Ыи&\) ~ скалярная кривизна. Так как поле
<^Л определяет отображение компактифицированной плоскости
'Ид на сферу единичного радиуса, то К-1 . Выражение (22)
не содержит масс, поэтому регуляризация снята.
4. Асимптотическая свобода
Чтобы убедиться в асимптотически свободном поведении теории, вычислим вклад фермионных петель в эффективное действие поля f . С этой целью решим сначала связь (6):
^а= W, ^. *; - obsess «-о, (23)
а затем, с помощью теории возмущений проинтегрируем по полям 4> в функциональном интеграле
<м і _,+H~ „ . m (24)
Выражение, стоящее в экспоненте, получается при подстановке (23) в действие (7).
Предположим, что константа взаимодействия t мала в некоторой области импульсного пространства. Тогда производные 9^^ порядка v| , и, не нарушая общности, можно
представить поле
Интегрирование по полям т в (21) дает в действие вклад.
-
пропагатор свободного поля Дирака. Выражение (25) содержит произведение квантовых полей в одной точке и нуждается в регуляризации. Поэтому введем в (25) функцию Ffjrjt У^(х~х )м которая отлична от нуля только при малых и и удовлетворя-
ет условию
ftWa - *
Релятивистски инвариантную регуляризацию получим, положив
(bS) . ± jjV/*' F(C*'-*'/)fow^? -
Переходя к переменным Д! = і (х'+х") , # = (xf-x J и отбрасывая члены, содержащие у в положительной степе-
ни, в силу свойств функции г(ч ) получим
'^«^аУы-^й^^^
(26)
так как
Функция F(2) выпала, и регуляризацию можно снять. В первом порядке теории возмущений выражение (26) совпадает с
Таким образом, учет фермионных потель приводит только к конечной перенормировке поля 93 , и асимптотическая свобода сохраняется.
Полученные в последних трех параграфах результаты позволяют распространить на фермионнуго сигма-модель такие известные в безмассовой квантовой хромодинамике свойства как обращение в нуль инстантонного вклада в функциональный интеграл и генерация нелокального взаимодействия т'Офта между фермионами. Существующая между этими двумя теориями аналогия топологических и киральных свойств позволяет надеяться, что характер индуцируемого фермионами взаимодействия между инстантонами сигма-модели сохранится и в теории Янга-Миллса. (Это взаимодействие будет исследовано в следующей главе). Связь же аномальной дивергенции аксиального тока с топологическим зарядом и, значит, с
вкладом топологически нетривиальных полей (как и в квантовой хромодинамике) приводит к мысли о едином механизме возникновения массы частиц. Этот вопрос будет затронут в Главе ІУ.в связи с вычислением вкладов инстантон-антиинетантонных конфигураций.
Результаты автора, изложенные в этой главе, опубликованы в [63].
Конфайнмент. Инстантоны и мероны
Проблема конфайнмента, то есть невылетания кварков, в рамках квантовой хромодинамики еще по настоящему не сформулирована, Но в чистой глюодинамике уже давно существует критерий [К ], по которому обычно судят о возможности конфайнмента в теории с кварками. Это так называемая "петля Вильсона":
Пространство евклидово, усреднение производится по вакуумному состоянию, экспонента предполагается упорядоченной по контуру интегрирования С , который можно считать прямоугольником Т7 Д . Тогда Е (к.) интерпретируется как энергия кварковой пары. Если при бесконечном росте контура интегрирования L$(c) Ш а0а) где и (.С-) - периметр контура С , то кварки могут разлететься сколь угодно далеко. Ситуация же, при которой LV(z) S (c) (юб) О (С)- площадь контура, трактуется как возникновение неубывающей с расстоянием і силы взаимодействия, то есть конфайнмент. Критерий (10 б) можно обосновать, рассмотрев нерелятивистскую пару тяжелых кварков.
Туннельные переходы из одного вакуумного состояния в другое, естественно, сказываются на (10), но, как оказалось,{41], ине-тантонный газ не может привести к ассимптотике (10 б).
Если считать, что справедлива аналогия с (Z+i) -мерной моделью Джордки-Глэшоу, рассмотренной в [ЗЗ], то причина проста: хотя потенциал -"ц инстантонного поля (В. -15) убывает медленно (как Vr ), напряженность Fw убывает очень быстро (как уН ). Поэтому инстантоны, находящиеся в глубине контура интегрирования, мало влияют на величину интеграла в (10). С этой точки зрения ответственные за конфайнмент поля должны иметь Ay j; , F " %г В теории Янга-Миллса решение уравнений движения с такими свойствами было получено в [62].
При подстановке (II) в действие (ь, t) , оно, очевидно, логарифмически разойдется при зе- О и ] я? I— " . Тем не менее, поле (II) может дать вклад в функциональный интеграл [_4l]. Действительно, введя какую-либо регуляризацию при « t , l clvP» , и учитывая трансляционную инвариантность (II), получим, что вклад решения (II) в функциональный интеграл при пропорционален Это выражение исчезает в пределе Д -» при малых ? , но 4- 3 то (12) уже неограниченно растет.
Топологический заряд поля (II) сосредоточен в нуле и на бесконечности (по 1/2), чем собственно, и вызвана расходимость действия. Поэтому при регуляризации естественно "размазать" топологический заряд по областям \х.\ R. , \xj fc , после чего возникает двухмеронная конфигурация [41]: (xl)-\ б5- Мо±иОв} (із) При R = t (ІЗ) превращается в инстантонное поле, которое можно рассматривать как молекулу из двух меронов. Конформным преобразованием области С и Qg можно перевести в шары одинакового радиуса Rb . Расстояние ь между центрами шаров при этом определяется из соотношения
В принципе можно представить конфигурацию, - меронный газ, состоящую из произвольного числа таких шаров с различными ради усами, но точное ее построение невозможно, так как решение типа (II) для топологического заряда больше единицы не известно. Ис следования [41], [55] инстантонного газа привели к выводу о фазо вом переходе при /Xfiz - SZ , который был ин терпретирован как диссоциация инстантона при $ /RJI7" Z- "% » то есть именно при тех $/1 , когда начинают давать вклад мероны. Очень приближенный расчет петли Вильсона (10) в меронном газе (фактически использовалось приближение бесконечно разреженного газа) показал возникновение в энергии взаимодейст вия кварков слагаемого которое при Q /&К У растет линейно и гарантирует (10 б).
С современной точки зрения [57], [58] эти результаты не вызывают доверия. Тем не менее, интересно выяснить, к чему приведет точный учет деформации (13) инстантонного решения. Сдалать это можно при помощи метода, развитого в предыдущем параграфе. Применение его оправдано, поскольку действие для поля (13) « = iil + a L R с ростом t /l растет только логарифмически. Условия же, превращающие (14) в условный экстремум подобрать не трудно.
Последующие параграфы будут посвящены исследованию устойчивости поля (13) при различных % = &и -/ч и обсуждению дополнительных условий (I). Так как Т0 , согласно (14), связано с параметром &0/- » определяющим в случае меронного газа степень его разреженности, то одновременно будет получена оценка минимальной концентрации меронного газа.
В этом параграфе будет выведена формула, позволяющая исследовать флуктуации около конфигураций, "склеенных" из различных решений уравнений движения (как, например, (ІЗ)). В результате оказывается возможным независимое изучение флуктуации, меняющих значение поля на поверхности склеевания и оставляющих его неизменным. Для простоты будем рассматривать скалярное вещественное поле.
Нулевые моды
Параметры ZG » имеют, соответственно, смысл центра и радиуса инстантона. Формулы (В.17) и (5) тождественны по своей структуре, отличаясь, разве, некоторыми степенями -результат изменения размерности пространства. Как и в теории Янга-Миллса вознникает потребность в обрезании интеграла по на верхнем пределе (более того, теперь нужно вводить обрезание и на нижнем пределе). Но, оказывается, такие "одноинстантонные неприятности" не мешают вычислять функции Грина, если пользоваться точными решениями.
Перечисленные здесь работы позволили понять физику инстан-тонного газа в о -модели, но главную проблему -учет инстан-тон-антиинстантонных вкладов, - они не затрагивают. Этим вопросам посвящены работы 83],]89], 90j, но использованные в них приближения либо сводили вычисления к одноинстантонным, либо были просто очень грубы. Поэтому по достоверности результатов они не выше работ, выполненных в рамках теории Янга4!иллса.
Критической проблемой квазиклассического подхода в теории калибровочных полей является обоснование стабильности инстан-тон-антиинстантонного газа, поскольку по наивным топологическим соображениям такая система должна быстро аннигилировать, а вакуум превратиться в топологически тривиальный вакуум теории возмущений. Трудно расчитывать найти такое обоснование, не вводя в теорию каких-либо новых ингредиентов (например, жесткого ядра у инстантона 58]). Следует также вспомнить, что экспериментальные значения конденсатов JJ9I] характеризуют реальный мир, в котором существуют легкие кварки. Естественно попытаться найти механизм, стабилизирующий инстантон-антиинстантонный газ, во взаимодействии квазичастиц с фермионами. К этой задаче непосредственно примыкают и T7(v -проблема, и нарушение ки-ральной симметрии, и объяснение спектра масс элементарных частиц.
Для начала было бы полезно рассмотреть эти вопросы в сигма-модели, которая в бозонном варианте уже оказалась во многом аналогичной теории Янга-Миллса. При построении фермионной сигма-модели желательно, конечно, воспроизвести такие свойства как аналогия аксиального тока и возникновение нулевых фермионных мод в инстантонном поле. Последнее обстоятельство помогает выбрать взаимодействие бозонных и фермионных полей. Действительно, происхождение нулевых мод у второй вариации действия (I) на классическом инстантонном решении СР0 во многом обязано наложенному на вариации условию
Возникает мысль ввести аналогичным образом взаимодействие с изовекторным спинорным полем Ф , потребовав В действие же вводится член, описывающий свободное фермионное поле: (Пространство евклидово). Формулы (7), (6), (1а) определяют нашу модель. Удовлетворяет ли она всем возложенным на нее надеждам, или нет, будет выяснено в последующих параграфах, сейчас же отметим, что впервые похожая модель была представлена в работах [92],[93], где она возникла как суперсимметричное расширение 0(І) -сигма-модели. При этом естественно возникает связь (6), но в действии появляется еще четырехфермионный член, а спиноры из-за необходимости баланса бозонных и фермион-ных компонент суперполя должны быть майорановскими. В настоящее время суперсимметричные сигма- и С г /_ -модели интенсивно исследуются. Интерес к ним объясняется сокращением вкладов фермионных и бозонных петель, что позволило получить точную & -функцию Гелл-Манна-Лоу 94]. л /- разложение для этих моделей можно найти в работах [75],]95]. Обзор полученных результатов и обсуждение возможностей моделирования непертурба-тивных эффектов квантовой хромодинамики в суперсимметричных моделях изложен в препринтах [96} , [97].
Предложенная здесь модель не суперсимметричиа, и спиноры в (7) комплексны. Но нет суперсимметрии и в теории Янга-Миллса, как нет там и характерного для суперсимметричной теории четы-рехфермионного взаимодействия. Далее будут доказаны следующие свойства модели: а) евклидовы уравнения движения поля имеют норми руемые решения в инстантонном поле g4 ; б) из полей ч можно построить аксиальный ток, дивер генция которого пропорциональна плотности топологического заря да поля (f0 (аномалия аксиального тока); в) асимптотическая свобода модели (I) сохраняется и в мо дели (7). В целом эти свойства позволяют продолжать аналогию с теорией Янга-Миллса и на фермионный сектор.
Фермионные детерминанты. Случай малой массы
Вычисление однопетлевого вклада квантовых флуктуации около конфигурации (3) в функциональный интеграл сводится к вычислению детерминантов операторов, определенных в (8). Вклад бозонных флуктуации был вычислен в [60 3 и дан формулой (I). С введением в теорию фермионов, этот результат модифицируется следующим образом: к — 2, Детерминант свободного оператора Дирака введен для нормировки. Вычислим величину . Будем считать массу rvi малой по сравнению с А :
Тогда при вычислении детерминантов ею можно пренебречь всюду, кроме подпространства нулевых мод операторов К+_ , К_ JI0I]. Эти моды имеют вид
Таким образом, не имеет ультрафиолетовых расходимостей. Это согласуется с общим утверждением из второй главы об отсутствии фермионного вклада в бесконечную перенормировку константы взаимодействия в рассматриваемой модели. При выбранной схеме регуляризации (12) отсутствует и конечная перенормировка.
Заметим, что коэффициенты cL , cL0 не зависят от ин-стантонных параметров GL ,ь 9С (П.4), вся зависимость от которых сосредоточена в функции р . Воспользуемся этим фактом (такой способ вычисления детерминантов был предложен в [84]) и вычислим вариацию \(а)ё,С} м ) по Р . G помощью очевидных соотношений
Обе формулы указывают на кулоновский характер взаимодействия частиц, но в первом случае частицы заряжены разноименно, а во втором - одноименно. Таким образом, при попытке сближения ка ких-либо двух инстантонных компонент будут возникать силы от талкивания. Коллективное взаимодействие, описываемое потенци алом - -fa. $(&$,) , ослабляет кулоновское отталкивание (простой подсчет размерностей в (25) показывает, что это сла гаемое в энергии порождает силы притяжения), но, в силу свойств функции /V(ft f,cy , его влияние на малых расстояниях незна чительно. Такое поведение эффективной энергии, в частности, ре шает проблему малых инстантонов в сигма-модели: теперь их вклад сильно подавлен. (Тем самым, заметим, возросла аналогия с теорией Янга-Миллса). Переходя к большим расстояниям между компонентами, не трудно увидеть (опять-таки из подсчета раз мерностей), что системе (26) выгодно расширяться. Этот процесс идет до тех пор, пока расстояние между компонентами не станет порядка радиуса сферы гч t зависимость от которого можно сохранить только в матричном элементе ро А » так как все остальные матричные элементы имеют конечный предел при К . Происходящий эффект удобно рассмотреть на примере конфигурации % тогда г - Ы J 4(tel la ;20+ 1г%0 \dl ас \ лл\ cL Если cL близко к нулю, то влияние этого матричного элемента на взаимодействие инстантонных компонент мало.
Если же d 1 , то есть \й-г R , то KJ . /\о.\ и формула (25) принимает вид что означает восстановление нейтральности системы частиц на больших расстояниях. С точки зрения сферической геометрии это факт тривиальный, поскольку, если І&І ( и l l R. , то обе эти точки близки к полюсу сферы, и между ними начинают действовать силы отталкивания.
Приведенное рассуждение справедливо при , и в этом случае переход к К-- = не совсем корректен.Поэтому, для выяснения характера взаимодействия инстантонных компонент на больших расстояниях, рассчитаем величину і О / /0 / в случае d »4_ .
Теперь, когда масса фермионов учитывается точно, при вычислении детерминантов не возникает инфракрасных расходимос-тей. Поэтому в (8) можно сразу положить R = , 4 = і Операторы К + _ , К_+ , теперь будет удобно представить в виде
Мера интегрирования на инстантон-антиинстантонном многообразии
Отметим, что именно это решение при л -» 0 (то есть при отбрасывании квантовых поправок) переходит в инстантонное решение бозонной сигма-модели, тогда как (14 ж) в том же пределе переходит в аналог решения (І.ІІ) в теории Янга-Миллса. В рамках сигма-модели они рассматривались в l07]. Далее будем рассматривать только решения (16).
В окрестностях полюсов Ь поле f почти инс тантонное, а в окрестностях нулей &U. - почти антиинстантон ное. Если константа оі мала, то почти всюду поле W близко к нулю, а поле Ф к тривиальному срл = as .
Так что топологически нетривиальные участки в этом случае хорошо разделены. Плотность топологического заряда отрицательна в областях u ; j_ , а топологический заряд какой-либо из них равен минус числу нулей &/ ей принадлежащих. Если же \А 1_ , то Оґ(х-) 0 , и топологический заряд любой из таких областей определяется числом принадлежащих ей полюсов о . Полный топологический заряд, конечно, равен нулю.
Наконец заметим, что первое слагаемое в действии (15) - "стандартное" действие для И инстантон-анти-инстантонных пар, а второе слагаемое порядка оі = 0[п-) , и может рассматриваться как квантовая поправка. Таким образом, возникает естественная трактовка решений (16) как инстантон-антиинстантонных. Существует, однако, отличие компонент полученного решения от стандартного инстантона в сигма-модели, которому соответствовала пара ноль-полюс функции KwsU2 = е I z ak) (г Н.) Теперь же инстантону (анти-инстантону) соответствует одна точка - полюс (ноль) функции М-(ї) . Функция W[z,Z) в обеих точках имеет полюса. Тем самым инстантон как бы потерял внутренний размерный параметр ІбЦ- І , и теперь его размер определяется только расстоянием до ближайших соседей. Этот эффект согласуется с обнаруженными в предыдущей главе разбуханием и отталкиванием инстан-тонов при подключении легких фермионов. Тем не менее, естественно ожидать сохранения числа параметров, приходящихся на каждую квазичастицу. Возможно, уравнения (II) имеют более общие решения, которые не вмещаются в анзац (12). Анализ этого вопроса сильно затруднен по сравнению с инстантонным случаем из-за отсутствия какого-либо аналога уравнений дуальности (П.З). Заметим, что при подстановке в (10) инстантонной функции H/ Kjt интеграл разойдется в окрестностях точек Л . Эта расходимость соответствует существованию нулевых фермион-ных мод в инетантонном поле (ШЛО).
Наконец, возвращаясь к решениям (14 а) - (14 в), (14 е), (14 ж), которые сами по себе бесполезны для квазиклассического подхода, отметим возможность построения из них конфигураций ме-ронного типа, рассмотренных в Главе I.
Мера интегрирования на инстантон-антиинстантонном многообразии Величина эффективного действия (10) на решениях (16) не зависит от их параметров, и его вторая вариация, поэтому, долж на иметь нулевых мод. При вычислении функциональ ного интеграла квазиклассическим методом их вклад заменяется на интегрирование по соответствующим параметрам решения 22-31] Квадратичная форма д0 » конечно, не отрицательна, ее нулевые моды (они же - нулевые моды формы о ) = 0 } гг= Г\2 2 (22) соответствуют параметрам решения (16), Но слагаемое Ао приводит к возникновению у 0 отрицательных мод, что не позволяет использовать полученные решения для построения стандартного квазиклассического разложения. Как и при рассмотрении ме-ронной конфигурации в первой главе, здесь можно было бы ввести дополнительные условия, замораживающие отрицательные моды, с последующим интегрированием по параметрам условий (І.І). Возможность такого пути можно увидеть, анализируя вторую вариацию действия при Ж - V2, .В этом случае поля , , расцепляются и вклад вариации в (21) имеет вид Поэтому вместо точного вычисления однопетлевого вклада попробуем получить оценку функционального интеграла с помощью вариационного принципа Фейнмана (такой подход к инстантон-ан-тиинетантонным конфигурациям был предложен в [59]): Z И. e p(- s-s0 ) При этом Зо Должно быть выбрано так, чтобы, во-первых, можно было вычислить /j0 , и, во-вторых, перенормировка правой и левой части неравенства (24) была одинаковой. Положим \ = 0 ?л Тіґ, ІУ] % ] то гарантирует быстрое убывание экспоненты на подпространстве, ортогональном нулевым модам (22), и, как окажется, такой выбор удовлетворяет приведенным выше требованиям. Тогда
Препятствие, встречающееся на этом пути, связано с неполиномиальной зависимостью , что, конечно, сильно затрудняет вычисление среднего \о -S & Поэтому сохраним в этой разности только первые, отличные от нуля члены разложения по полям (то есть квадратичные).
