Содержание к диссертации
Введение
1 Конусная формулировка теории полей вьіспіих спинов в пространстве Минковского 17
1.0.1 Безмассовое скалярное поле 19
1.0.2 Безмассовое поле спина 1 - поле Максвелла 22
1.1 Вершины взаимодействия полей высших спинов 25
1.1.1 n-точечные вершины взаимодействия 28
1.1.2 Уравнения для кубических вершин взаимодействия 29
1.1.3 Вершины взаимодействия трех безмассовых полей 32
1.1.4 Вершины взаимодействия одного массивного поля и двух безмассовых полей 35
1.1.5 Вершины взаимодействия одного безмассового и двух массивных полей с неравными массами 37
1.1.6 Вершины взаимодействия одного безмассового и двух массивных полей с одинаковыми массами 39
1.1.7 Вершины взаимодействия трех массивных полей 40
1.2 Конусный формализм с so(d-4) х so(2) симметрией 41
1.3 Суперполевая формулировка 11-мерной супергравитации 50
1.3.1 Кубические вершины взаимодействия 52
1.3.2 4-ех точечные вершины взаимодействия 57
2 Конусная форма релятивистской динамики в пространстве анти-де Ситтера 63
2.1 Обозначения и различные базисы алгебры so(d— 1,2) 65
2.2 Теоретико полевой подход 68
2.2.1 Безмассовое поле спина 1. Конусные уравнения движения . 69
2.2.2 Конусные преобразования безмассового поля спина 1 71
2.2.3 Антисимметричные поля. Уравнения движения 73
2.2.4 Конусные преобразования полностью антисимметричного поля . 76
2.2.5 Симметричные безмассовые поля. Калибровочно-инвариантные уравнения движения 79
2.2.6 Симметричные поля. Конусные уравнения движения 81
2.2.7 Конусные преобразования симметричных полей 83
2.2.8 Конусная форма генераторов АдС-алгебры 86
2.3 Общий конусный формализм в пространстве АдС 88
2.4 Теоретико-групповой подход 96
2.4.1 Генераторы АдС-алгебры для произвольных полей 97
2.4.2 Связь между полевым и теоретико-групповым подходами 100
2.5 Конусная форма конформной теории поля 107
2.5.1 Лоренц-ковариантная форма конформной теории поля 108
2.5.2 Конусная форма конформной теории поля 109
2.6 Конусная форма АдС/КТП соответствия 111
Различные динамические системы в конусной формулировке 116
3.1 Суперполевая конусная формулировка ПВ супергравитации в пространстве АдС(5)х S(5) 117
3.1.1 Суперполевая формулировка граничной конформной теории поля 124
3.1.2 Суперполевая форма АдС/КТП соответствия 125
3.2 Массивные самодуальные и безмассовые поля в пространстве АдС(5) 128
3.2.1 Конусное действие 130
3.2.2 Бозонные поля 131
3.2.3 Фермионные поля 132
3.2.4 Релятивистские симметрии конусного действия 134
3.2.5 Основное состояние для полей в пространстве АдС(5) 135
3.2.6 АдС/КТП соответствие 138
3.3 Самодуальные поля в пространстве АдС 141
ПВ суперструна в пространстве АдС(5)х S(5)c зарядами Рамон- Рамона 144
4.1 Супералгебра psu(2,2|4) 146
4.1.1 Коммутационные соотношения супералгебры р$и(2,2|4) 148
4.1.2 1-формы Картана 149
4.2 Суперструна как soui)so(b) сУпеРпРстРанственная а- модель 151
4.2.1 Общая структура действия 152
4.2.2 Симметрия и уравнения движения 154
4.2.3 Явная 2-мерная форма действия суперструны 156
4.3 Суперструна в конусной калибровке 158
4.3.1 Наложение фермионной конусной калибровки на к - симметрии суперструны в плоском пространстве 161
4.3.2 Супералгебра psu(2,214) в конусном базисе 164
4.3.3 Действие суперструны в конусном базисе 166
4.3.4 Координатная параметризация форм Картана и их вид в фермионной конусной калибровке 167
4.3.5 Действие суперструны в фермионной конусной калибровке 170
4.3.6 Приложение 1. Косетное суперпространство 175
4.3.7 Приложение 2. Супералгебра psu(2,2|4) в различных базисах 177
4.3.8 Приложение 3. Формы Картана в конусном базисе 181
ПВ суперструна в плосковолновом пространстве с полями Рамон-Рамона 185
5.1 Ковариантное действие суперструны 187
5.1.1 Супералгебра симметрии и формы Картана 187
5.1.2 Действие суперструны как сигма-модель на суперкосете G/H 191
5.1.3 /«-инвариантность 193
5.1.4 Явная 2d форма действия суперструны 194
5.2 Конусное действие суперструны 197
5.2.1 Калибровка 1-форм Картана в параметризации Весса-Зумино 198
5.2.2 Калибровка /«-симметрией в параметризации Весса - Зумино 199
5.2.3 "2d спинорная"форма действия суперструны 200
5.2.4 Суперструна в параметризации Киллинга суперпространства 202
5.3 Конусный гамильтонов подход 203
5.3.1 Лагранжиан суперструны в фазовом пространстве 204
5.3.2 Заряды Нетер как генераторы алгебры базисной суперсимметрии207
5.3.3 Заряды конусного действия суперструны с фиксированной бо-зонной и симметриями 209
5.4 Каноническое квантование суперструны 210
5.4.1 Решение классических уравнений движения 211
5.4.2 Квантование и пространство состояний 214
5.4.3 Конусная реализация алгебры симметрии суперструны 217
5.4.4 Выбор вакуума для фермионных нулевых мод 219
5.5 Спектр возбуждений ІІВ супергравитации в плосковолновом пространстве с полями Рамон-Рамона 222
5.5.1 Уравнения движения для безмассовых полей в плосковолновом пространстве 224
5.5.2 Бозонные поля 225
5.5.3 Фермионные поля 230
5.5.4 Конусная суперполевая формулировка ИВ супергравитации в плосковолновом пространстве 234
5.6 Заключительные замечания 239
5.7 Приложение. Обозначения и определения 240
Заключение 243
Литература 245
- Вершины взаимодействия одного безмассового и двух массивных полей с неравными массами
- Симметричные безмассовые поля. Калибровочно-инвариантные уравнения движения
- Массивные самодуальные и безмассовые поля в пространстве АдС(5)
- Координатная параметризация форм Картана и их вид в фермионной конусной калибровке
Введение к работе
Теория струн, возникшая как квантово-полевая реализация дуально-резонансных моделей [1, 2, 3], приобрела в середине семидесятых годов прошлого столетия новое содержание. Первоначально струна рассматривалась как глюонное поле, которое концентрируется в виде одномерного объекта, и таким образом предполагалось решить проблему конфайнмента. Тогда возникла новая задача—объяснить из КХД возникновение струнных конфигураций глюонных полей. При таком подходе струна рассматривалась составным, а не фундаментальным объектом. Однако ее прямое применение к адронной физике было затруднительно в связи с появлением в ее спектре безмассовых скалярных состояний и необходимостью использовать нефизические размерности пространства-времени (d = 26 для бозе струн и d = 10 для ферми струн) для последовательного квантования. Однако эти "недостатки" теории струн были преодолены после того как было предложено натяжение струны о! выбрать порядка план-ковского, и тогда (для замкнутых струн) два источника, излучающие безмассовый спин 2 будут взаимодействовать с интенсивностью ньютоновской гравитации. Само безмассовое состояние со спином s = 2 можно при этом идентифицировать с гравитоном, и тогда струна будет описывать уже гравитационные взаимодействия. Возможность такой идентификации была впервые продемонстрирована в работах Шерка и Шварца [4], а также в работе [5], которые показали, что в низко-энергетическом пределе теория струн индуцирует для безмассового поля спина 5 = 2 действие Эйнштейна. Такая новая интерпретация теории струн позволяла в принципе наметить пути преодоления трудности с нефизическими значениями пространства-времени. Взгляд на струну как на объект, который содержит гравитон, делал естественным использование идей Калуцы-Клейна, следуя которым можно компактифицировать "лишние" 22 пространственно-подобных измерения на какие-то многообразия (выбор которых должен диктоваться динамикой теории струн) с характерным планковским масштабом.
Теория струн, включает в себя гравитацию и оказывается ультрафиолетово конечной. Хотя это продемонстрировано явно в низших порядках по струнным петлям,
однако есть весомые аргументы в пользу ультрафиолетовой конечности теории струн во всех порядках. Расходимости, имеющиеся в теории бозонных струн, связаны с наличием в спектре тахиона, и имеют природу инфракрасных расходимостей. В этом смысле плоское пространство, в котором строится теория бозонных струн не является вакуумным решением. Поиск "хорошего" вакуума остается одной из центральных проблем теории бозонных струн.
Проблема тахиона была преодолена привлечением идей суперсимметрии [6, 7, 8, 9]. В суперсимметричной струне происходит понижение критической размерности пространства-времени до d — 10, и из спектра исчезает тахион, и суперструна оказывается таким образом конечной как в ультрафиолетовой, так и в инфракрасной области. Плоское пространство-время для нее оказывается пертурбативным вакуумом. Однако суперсимметрия породила проблему аномалий. Суперсимметричные теории замкнутых струн (описывающие ПА и IIB супергравитации в низко-энергетическом пределе) были свободы от аномалий, однако они не содержали в своем спектре векторных безмассовых полей спин* 1, необходимых в единой теории всех взаимодействий. Векторные безмассовые поля спина 1 находились в спектре открытых суперструн (описывающих N=1 киральную теорию суперсимметричного Янга-Миллса в низко-энергетическом пределе), но эти теории суперструн имели аномалию группы внутренней симметрии. Прогресс (именуемый теперь первой суперструнной революцией) был достигнут в середины 80-ых годов прошлого столетия после того как было продемонстрировано сокращение аномалии для групп внутренней симметрии, если в качестве последних взять 50(32) или (для полевого предела) Е$ х Е$ [10, 11]. Позже была построена также теория гетеротических струн [12, 13], в которой есть N — 1/2 суперсимметрия и единая константа связи для гравитации и Янга-Миллса. Калибровочной группой, свободной от аномалий тут является 50(32) или Е% х Е8. На сегодняшний день гетеротические струны считаются самым вероятным кандидатом на роль единой теорий всех взаимодействий.
В результате дальнейших исследований в качестве кандидатов на роль единой теории всех взаимодействий стали рассматриваться пять версий суперструн, и следовало понять, какая из этих версий является наиболее реалистичной. Одна из точек зрения состояла в том, что в результате более тщательного изучения (внутренняя самосогласованность, соответствие с наблюдаемой феноменологией) должна остаться какая-та одна из версий суперструн. Альтернативная точка зрения была в том, что все эти теории являются значимыми, и они на самом деле связаны друг с другом. Позднее развитие пошло именно в соответствии с последней точкой зрения.
К середине 90-ых годов было осознано, что все пять версий теории суперструн,
будучи дополнены новыми состояниями (так называемые Dp-браны - протяженные объекты с р-пространственными измерениями, на которых находятся концы открытых струн), оказываются связаны друг с другом различными дуальностями - режим слабой связи одной теории струн + браны оказывается режимом сильной связи другой теории струн + браны. Одновременно возникли сценарии вовлечения в струнное рассмотрение 11-мерной супергравитации, которая долго находилась особняком. Так как теория НА супергравитации получается из 11-мерной супергравитации размерной редукцией, а ПА супергравитация является низко-энергетическим пределом ПА суперструн (и в силу внутренней эстетичности 11-мерной супергравитации) считалось, что спектр состояний 11-мерной супергравитации должен как то появляться в струнной картине мира. Это оказалось действительно возможным после того как пертурбативный спектр 11-мерной супергравитации был дополнен состояниями так называемых М2 и М5 - бран - протяженных объектов с 2-мя и 5-тью пространственными размерностями, на которых заканчиваются открытые мембраны. Были найдены различные дуальности, которые связывают систему "11-мерная супергравитация плюс М2,М5 -браны"с системой "струна плюс Dp-браны". Все теории суперструн с состояниями Dp-бран и 11-мерная супергравитация с состояниями М2,М5-бран стали рассматриваться как различные фазы одной и той же теории - М-теории.
Следует отметить, что в настоящее время все пять моделей суперструн, являющиеся претендентами на описание единой теории взаимодействия (одна из них или все вместе), допускают полевую формулировку только в калибровке светового конуса. Несмотря на значительные усилия, предпринимаемые в течение последних 25 лет, не удалось найти лоренц-ковариантное описание теории суперструн, содержащей в своем спектре гравитон. Очевидно полевой подход является наиболее последовательным и многообещающим в теории струн[14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]. Тут в качестве основного объекта мы имеем функционал от контура, для которого вводится аналог действия и т.п. Полевая формулировка обладает очевидными преимуществами. Зная полевое действие теории, можно применить стандартный аппарат квантовой теории поля к ситуации с более сложными феймановскими правилами. Полевая формулировка позволяет получать коэффициент перед диаграммами с различной топологией. Используя эту формулировку, можно было бы пытаться изучать непертурбативные эффекты в теории струн (инстантонные решения, спонтанные нарушения симметрии и т.п). Технические сложности полевого подхода не являются принципиальными. Полевая теория суперструн формулируется в калибровке светового конуса и поэтому Пуанкаре-инвариантность не очевидна. Однако это не является проблемой. Пуанкаре-инвариантность обеспечивается построением генераторов
супералгебры Пуанкаре в терминах полей суперструны. Тот факт, что полевое описание теории суперструн возможно на современном этапе только в рамках конусного формализма означает, что дальнейшее развитие, расширение области применимости и поиск новых приложений конусного формализма является актуальной задачей. Эта тема является одной им центральных в данной диссертации. В частности, в главе 1 мы развиваем конусную формулировку 11-мерной супергравитации. Причина, по которой мы интересуемся именно конусной формулировкой, связана с тем фактом, что только конусные вершины ПА и ИВ супергравитации (а не их ковариантные представления) допускают естественное вложение в теории суперструн. Мы ожидаем поэтому, что именно конусное представление для вершин 11-мерной супергравитации будет иметь вложение в М-теорию.
Тесно связанным с М-проектом теории струн является проект теории безмассовых полей высших спинов. Теория безмассовых полей спинов имеет свою давнюю историю развития. В течение долгого времени не удавалось совместить в этих теориях требования Пуанкаре-инвариантности, унитарности и причинности. Трудности построения такой теории оказались столь велики, что стали считать, что подобных теории вообще не существует. Эта точка зрения нашла подкрепление в теореме Коулмена-Мандулы, которая утверждает, что при определенных предположениях (Пуанкаре-инвариантность, конечность числа частиц с массой меньше чем любое наперед заданное число М, и определенные условия аналитичности, накладываемые на S—матрицу) не существует сохраняющихся зарядов со спином больше чем 1.
После формулировки этой теоремы поиски теории безмассовых полей высших спинов велись на путях отказа от каких-то ограничений, накладываемых в этой теореме. Вера в существование такой теории окрепла после того как в [21, 22] были построены калибровочно-инвариантные уравнения для свободного безмассового поля произвольного спина.
Позднее были построены некоторые специальные случаи кубических взаимодействий: кубическое взаимодействие безмассового поля спина три [23, 24, 25] и кубическое взаимодействие двух гравитонов и безмассового поля спина четыре [26]. Отметим, что в этих работах лоренц-инвариантность поддерживалась явно. Если отказаться от явной лоренц-инвариантности и строить теорию в калибровке светового конуса и на массовой поверхности, то можно построить все возможные кубические взаимодействия в плоском пространстве-времени: для размерности пространства времени d = 4 это было сделано в [27, 28], и для произвольного измерения пространства-времени для полностью симметричных представлений группы Лоренца в [29] (см. также [30, 31]). Обобщение этого анализа на случай 4-ех точечных вершин взаимо-
действия можно найти в [33, 32]. Во всех вышеуказанных подходах теория формулировалась на массовой оболочке, а кубические вершины взаимодействия строились из требований абелевой калибровочной инвариантности. Развитием этих исследований с их обобщением на случай произвольного числа измерений и рассмотрением массивных полей являются результаты в главе 1.
Отметим еще одну трудность теории безмассовых полей высших спинов (далее ВВС). После построения свободных уравнений для ВВС при попытках включить взаимодействие с гравитоном путем ковариантизации производных символами Кри-стоффеля нарушалась калибровочная симметрии поля высшего спина (в вариации действия появляются члены, пропорциональные тензору Римана, а они никак не могут быть сокращены поправкой законов преобразований гравитона) [34, 35]. В тех частных случаях вышеупомянутых взаимодействий поле спина 2 или входило во взаимодействие только через тензор Римана и теория обладала тривиальной абелевой калибровочной инвариантностью, или же это поле не отождествлялось с метрикой и являлось просто безмассовым динамическим полем в пространстве Минковского.
Принципиально новый этап в развитии проекта теории безмассовых высших спинов связан с работой [36] где было показано, что калибровочные теории ВВС (при d = 4) основываются на определенных бесконечноомерных супералгебрах, которые обобщают обычные конечномерные супералгебры osp(N, 4)—расширенные алгебры суперсимметрии в четырехмерном пространстве анти-де Ситтера (далее АдС). 06-щекоординатно -инвариантное кубическое взаимодействие ВВС было впервые построено в [37, 38]. Плата за преодоление теоремы Коулмена-Мандулы здесь состоит в отказе от пространства Минковского и переходе к теории в пространстве анти-де-Ситтера. При этом оказывается, что в кубические вершины взаимодействия космологическая постоянная входит в отрицательных степенях (отметим, что кубическими вершины являются по отношению к полям высших спинов, в то время как метрика учитывается точно) и как следствие нет предела к плоскому пространству-времени, что и объясняет неудачи более ранних попыток. При этом авторы надеются, [37, 38], что возможность перехода к плоскому пределу появится после какого-то специального механизма нарушения симметрии, после которого ВВС получат планковскую массу и получится теория типа теории струн и т.д и т.п. В рамках этого подхода за последнее время был достигнут существенный прогресс [39, 40].
Одним из полезных результатов всех этих исследований явилось осознание двух важных свойств теории ВВС: 1. теория безмассовых высших спинов включает высшие производные во взаимодействии; 2. невозможно построить полную теорию для одного безмассового высшего спина, следует вовлекать в рассмотрение бесконечную
цепочку безмассовых высших спинов от нуля до бесконечности. Именно по этим двум свойствам теория ВВС похожа на теорию струн, что является дополнительным аргументом в пользу того что эти теории как то связаны друг с другом.
В пользу такой связи говорят исследования высоко-энергетического режима теории струн у/а''Е —> оо (где Е характерная энергия процессов), проведенные в [41, 42, 43, 44]. Соотношение для струнного спектра масс, m ~ N/a', где N нумерует уровни, а N + 1 является старшим спином уровня, подсказывает, что в пределе о/ —) оо (это не строгое рассуждение, ибо физически корректным является предел у/а1 Е —> оо), имеем формально т^ ~ 0 для любого наперед заданного N, т.е таким образом возникает бесконечная последовательность безмассовых частиц с возрастающим спином и можно ожидать появления новых симметрии. В работе [43] было установлено существование бесконечного числа линейных соотношений между амплитудами рассеяния (по модулю общего для всех амплитуд режущего экспоненциального фактора) для различных состояний струны, которые справедливы в каждом порядке теории возмущений по отдельности в пределе а! —> оо. Автором [43], был сделан на основе этого вывод о возможном существовании гипотетической симметрии,которая имеется в теории струн и которая восстанавливается при высоких энергиях. Хотя авторы работы [42] высказали предположение, что предел а' —> оо в отличие от предела а' —> 0 является существенно "струнным" и поэтому результирующая теория не может быть мыслима как динамика точечных частиц, вопрос требует дальнейшего изучения.
Интересной особенностью теорий безмассовых полей высших спинов в пространстве АдС [36] (и их обобщений на высшие измерения [40]) является то, что в этих теориях есть аналог ведущей траектории Редже теории струн, но нет аналога состояний дочерних траекторий. Это обстоятельство может служить поводом для предположения, что эти теории в принципе могли бы быть альтернативой теории струн [36]. Наличие бесконечномерной калибровочной группы симметрии является основанием для надежды, что эти теории свободны от расходимостей и тем самым совмещают принципы квантовой механики с теорией гравитации. Эти теории после спонтанного нарушения симметрии должны обеспечить сокращение космологической постоянной и в случае успеха привести к теориям массивных полей высших спинов в плоском пространстве Минковского. Можно было бы пытаться использовать такую теорию для описания резонансов. То обстоятельство, что имеется только ведущая траектория Редже, видимо находится в хорошем согласии с феноменологическими данными. Указание на существование теорий с массивными полями высших спинов (резонансами) отличных от теории струн является основанием для поиска таких теорий мае-
сивных полей высших спинов. Наши исследования в главе 1 для кубических вершин массивных полей являются первым шагом в этом направлении. Отметим что неудача при попытке распространить эти исследования на старшие вершины означала бы, что теории безмассовых полей высших спинов в пространстве АдС не имеют решения с плоским вакуумом и массивными полями высших спинов.
До недавнего времени конусный формализм был использован в плоском пространстве Минковского (обзор дан в [45]). Главной целью главы 2 является развить конусную форму релятивистской динамики полей в пространстве АдС. Актуальность и долгосрочная мотивация такого исследования связана со следующими потенциально важными приложениями.
Одно из возможных приложений связано с теорией ПВ суперструны в пространстве АдС(5)х S(5) с конденсатом напряженности поля Рамон-Рамона. В работе [46] авторы, мотивированные гипотезой дуальности между теорией суперструн и Л/" = 4, d = 4 теорией суперсимметричного Янга-Миллса [47, 48, 49], развили формулировку Грина-Щварца для ПВ суперструны в пространстве АдС(5)х S(5) (дальнейшее развитие этой темы можно найти в работах [50, 51, 52, 53, 54]). Несмотря на значительные усилия, эта модель суперструны остается не проквантованной до сих пор (обсуждение связанных с этим проблем можно найти в [55, 56, 57]). С другой стороны, известно что квантование суперструны Грина-Щварца, распространяющейся в плоском пространстве возможно только в рамках конусного формализма. Струна в плоском пространстве имеет альтернативную формулировку Невью-Шварца-Рамона (известным несовершенством которой является скрытый характер пространственных суперсимметрий), которая допускает лоренц-ковариантное квантование. Однако неизвестна формулировка Невью-Шварца-Рамона ПВ суперструны в кривом пространстве в присутствии полей Рамон-Рамона, т.е. ПВ суперструна Грина-Щварца в пространстве АдС(5)х S(5) с конденсатом напряженности поля Рамон-Рамона является еще одним важным примером динамической системы, которая допускает рассмотрение только в конусной калибровке. Именно конусная формулировка устраняет нефизические степени свободы струны Грина-Щварца и сводит действие (в плоском пространстве) к виду квадратичному по струнным координатам. Очевидно, спектр суперструны в конусной калибровке формируется полями также рассматриваемыми в конусной калибровке. Это означает, что сначала следует понять конусную форму описания полей, распространяющихся в пространстве АдС. Это понимание, очевидно, будет полезно при попытках решить проблемы квантования суперструны в пространстве АдС. Поля в рамках конусного формализма изучены в главах 2 и 3. Исследованию же самой ПВ суперструны в пространстве АдС(5)х S(5) в рам-
ках конусного формализма посвящена глава 4. Интересным примером использования конусной формулировки для суперструны Грина-Щварца в полях Рамон-Рамона, с точки зрения конкретных приложений к изучению калибровочных теорий, оказалась так называемая плосковолновая суперструна. Этой теме посвящена глава 5.
Другое потенциально интересное приложение конусного формализма связано с теорией полей высших спинов в пространстве АдС. Как было сказано, в настоящее время известна полная система лоренц-ковариантных и калибровочно-инвариантных уравнений движения для взаимодействующих полей высших спинов в АдС (4) [39, 58, 59]. Обобщение этих уравнений на произвольные размерности АдС(сї) были найдены совсем недавно в [40](см. также [60]). Несмотря на значительные усилия, до сих пор не найдено действие которое приводит к этим уравнениям движения. Однако для квантования этих теорий и изучения их ультрафиолетового поведения было бы желательно получить соответствующее действие. Так как с квантово-механической точки зрения теории полей высших спинов соответствуют некоторым протяженным частицам в пространстве типа твисторного, ожидается что эти теории будут ультрафиолетово конечными (см. [61, 62]). Мы думаем что конусная формулировка поможет в решении этих проблем (построение действия и квантования). Можно ожидать, что здесь имеет место та же самая ситуация что и в теории струн: ковариантные формулировки или неполиномиальны (для бозе струн) и поэтому не очень полезны при практических вычислениях или не существует вообще (для суперструн). В то же самое время полевые конусные действия для замкнутых как бозе, так и суперструн являются кубическими по полям теории струн, что позволяет использовать их в конкретных расчетах.
Опишем структуру диссертации.
В 1-ой главе изучены поля высших спинов (как массивных, так и безмассовых) в плоском пространстве Минковского. В параграфе 1.1 формулируются уравнения, которым должна удовлетворять кубическая вершина взаимодействия. Эти уравнения решены для всех возможных вершин взаимодействия безмассовых и массивных полей: найдены вершины взаимодействия трех безмассовых полей, вершины взаимодействия одного массивного и двух безмассовых полей, вершины взаимодействия двух массивных и одного безмассового полей и вершины взаимодействия трех массивных полей. В параграфе 1.2 развит общий метод решения уравнений для кубических вершин, основанный на нарушении явных so(d — 2) симметрии конусного формализма до явных so(d — 4) симметрии. Этот метод использован для нахождения полного списка кубических вершин взаимодействия для полей смешанной симметрии в 6-мерном пространстве Минковского. В параграфе 1.3 развита суперполевая
формулировка 11-мерной супергравитации и использован вышеуказанный метод для нахождения кубических вершин супергравитации. В параграфе 1.3.2 найдены 4-ех точечные вершины взаимодействия 11-мерной супергравитации, инвариантные относительно линеаризованных преобразований суперсимметрии. Изложение в 1-ой главе базируется на исследованиях, проведенных в [30, 31, 63, 64, 65].
Во 2-ой главе развивается конусная форма релятивистской динамики полей в пространстве АдС. В параграфе 2.2 на примере полей спина 1, антисимметричных полей и симметричных полей развита, основываясь на калибровочно-инвариантных уравнениях движения (теоретико-полевой подход), конусная форма релятивистской динамики в пространстве АдС для этих частных случаев полей. В параграфе 2.3 развита общая форма релятивистской динамики в АдС, которая может быть использована для исследования полей произвольного типа. В параграфе 2.4, используя теоретико-групповой анализ (метод индуцированных представлений), развита конусная формулировка в АдС и проведено ее сравнение с результатами теоретико-полевого подхода.
В параграфе 2.5.1 развита конусная формулировка для операторов конформной теории поля для случая полностью симметричных по лоренцовым индексам операторов. Изучены как операторы с канонической конформной размерностью, так и их конформно дуальные партнеры (которые иногда называются призрачными операторами (shadow operators) - они же называются источниками). Исследовано соответствие между решениями волновых уравнений в пространстве АдС (с задачей Дирихле на границе АдС) и конформными операторами на границе пространства АдС. Продемонстрировано, что нормируемые моды решений уравнений движения в АдС связаны с операторами с канонической конформной размерностью, а ненорми-руемые решения уравнений движения в АдС связаны с источниками. Изложение в 2-ой главе базируется на исследованиях, проведенных в [66, 67, 68, 69].
В 3-ей главе развита конусная формулировка для следующих динамических систем, изучение которых представляется интерес в связи с различными дуальностями между теориями в пространстве АдС и соответствующими граничными теориями: а) ИВ супергравитация в пространстве АдС(5)хЗ(5) и соответствующая теория конформных операторов на границе; б) безмассовые и самодуальные массивные поля в пространстве АдС(5); с) безмассовые самодуальные поля в пространстве АдС(6). Для случая ПВ супергравитации в пространстве AflC(5)xS(5) и соответствующих ей граничным операторам результаты сформулированы в терминах суперполей. Это позволяет реализовать суперполевую форму АдС/КТП (КТП означает конформная теория поля) соответствия в параграфе 3.1.2. В качестве приложения конусного формализма в АдС продемонстрировано АдС/КТП соответствие для полей (безмассовых
и самодуальных массивных) и соответствующих операторов на границе на уровне двухточечных функций. Изложение в 3-ой главе базируется на исследованиях, проведенных в [70, 72, 71].
В 4-ой главе изучена теория суперструн в пространстве АдС(5) х S(5) с конденсатом напряженности поля Рамон-Рамона. В параграфе 4.1 дано описание структуры супералгебры psu(2,2|4) и определены 1-формы Картана на косетном суперпространстве (х, в) (мы адаптируем широко используемое в физической литературе понятие "косетное пространство "вместо используемого в математической литературе понятия "фактор пространство"). В параграфе 4.2, используя 1-формы Картана, представлено ковариантное действие суперструны в АдС(5)х S(5) в координатно-свободной форме. Как и в плоском пространстве [73, 74] действие представлено как сумма кинетической части {2d интеграл по 1-формам Картана) плюс весс-зуминовская часть (3d интеграл замкнутой 3-формы % на косетном суперпространстве) с коэффициентом весс-зуминовского вклада фиксированном однозначно требованием к-симметрии. В пределе плоского пространства наше действие будет редуцироваться к стандартному действию струны Грина-Щварца в плоском пространстве [73, 74]. Будет также найдена явная 2d форма действия суперструны в специальном выборе параметризации 1-форм Картана в терминах фермионных координат 9. Полученное действие может рассматриваться как единственное максимально суперсимметричное и к-симметричное расширение бозонной сигма-модели, взаимодействующей с фоновой метрикой пространства АдС(5)х S(5) . Оно дается ковариантизацией плоского действия Грина-Щварца плюс высшие степени по фермионным полям в.
В параграфе 4.3.4 зафиксирована конусная калибровка для /с-симметрии и найдены соответствующие 1-формы Картана. Эти формы представлены в параметризации Киллинга исходного суперпространства. В параграфе 4.3.5 найдено действие струны в фермионной конусной калибровке. Действие представлено в параметризации Киллинга и рассмотрены некоторые его свойства. Действие также преобразовано к виду, которое явно инвариантно относительно SU(4) симметрии суперконформной группы. Затем объяснено преобразование действия к весс-зуминовской параметризации суперпространства. Изложение в 4-ой главе базируется на исследованиях, проведенных в [46, 75, 76, 77, 78, 79, 80].
В 5-ой главе изучена теория суперструн в плосковолновом пространстве с конденсатом напряженности поля Рамон-Рамона. В параграфе 5.1.1 описана структура супералгебры, которая является алгеброй симметрии плосковолнового пространства с фоновыми полями Рамон-Рамона и дано описание 1-форм Картана в соответствующем суперпространстве (х, в). В параграфе 5.1.2, представлено ковариантное дей-
ствие суперструны в терминах форм Картана. В параграфе 5.1.4, найдена явная 2d форма действия суперструны с помощью специальной параметризации (так называемой параметризация Весса-Зумино) косетного суперпространства.
В параграфе 5.2, вычислены 1-формы Картана в фермионной конусной калибровке, которые используются для получения действия суперструны в фермионной конусной калибровке. После этого зафиксированы 2d локальные диффеоморфизмы с помощью выбора бозонной конусной калибровки. Полученное в результате этого действие оказывается квадратичным как по бозонным, так и по фермионным 2d струнным полям. Это позволяет решать уравнения движения явно. Действие суперструны приведено также в различных параметризациях суперпространства. В параграфе 5.3 изложен конусный подход к суперструне, сформулированной в фазовом пространстве. Зафиксирован аналог калибровки Годдарда-Голдстоуна-Ребби-Торна [81] и получен лагранжиан суперструны в фазовом пространстве а также соответствующий гамильтониан суперструны. В параграфе 5.3.2, получена реализация генераторов базисной алгебры суперсимметрии как зарядов Нетер, выраженных в терминах 2d полей, являющихся координатами суперструны в конусной калибровке.
Квантование плосковолновой суперструны проведено в параграфе 5.4. В параграфе 5.5 определен спектр флуктуации полей ПВ супергравитации, разложенных над плосковолновым решением и проведена их идентификация с "безмассовыми" состояниями (нулевыми модами) теории струн. В Приложении к 5-ой главе приведены наши соглашения, обозначения и определения. Изложение в 5-ой главе базируется на работах [82, 83, 84, 85, 86]
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.
Вершины взаимодействия одного безмассового и двух массивных полей с неравными массами
Другое потенциально интересное приложение конусного формализма связано с теорией полей высших спинов в пространстве АдС. Как было сказано, в настоящее время известна полная система лоренц-ковариантных и калибровочно-инвариантных уравнений движения для взаимодействующих полей высших спинов в АдС (4) [39, 58, 59]. Обобщение этих уравнений на произвольные размерности АдС(сї) были найдены совсем недавно в [40](см. также [60]). Несмотря на значительные усилия, до сих пор не найдено действие которое приводит к этим уравнениям движения. Однако для квантования этих теорий и изучения их ультрафиолетового поведения было бы желательно получить соответствующее действие. Так как с квантово-механической точки зрения теории полей высших спинов соответствуют некоторым протяженным частицам в пространстве типа твисторного, ожидается что эти теории будут ультрафиолетово конечными (см. [61, 62]). Мы думаем что конусная формулировка поможет в решении этих проблем (построение действия и квантования). Можно ожидать, что здесь имеет место та же самая ситуация что и в теории струн: ковариантные формулировки или неполиномиальны (для бозе струн) и поэтому не очень полезны при практических вычислениях или не существует вообще (для суперструн). В то же самое время полевые конусные действия для замкнутых как бозе, так и суперструн являются кубическими по полям теории струн, что позволяет использовать их в конкретных расчетах.
В 1-ой главе изучены поля высших спинов (как массивных, так и безмассовых) в плоском пространстве Минковского. В параграфе 1.1 формулируются уравнения, которым должна удовлетворять кубическая вершина взаимодействия. Эти уравнения решены для всех возможных вершин взаимодействия безмассовых и массивных полей: найдены вершины взаимодействия трех безмассовых полей, вершины взаимодействия одного массивного и двух безмассовых полей, вершины взаимодействия двух массивных и одного безмассового полей и вершины взаимодействия трех массивных полей. В параграфе 1.2 развит общий метод решения уравнений для кубических вершин, основанный на нарушении явных so(d — 2) симметрии конусного формализма до явных so(d — 4) симметрии. Этот метод использован для нахождения полного списка кубических вершин взаимодействия для полей смешанной симметрии в 6-мерном пространстве Минковского. В параграфе 1.3 развита суперполевая формулировка 11-мерной супергравитации и использован вышеуказанный метод для нахождения кубических вершин супергравитации. В параграфе 1.3.2 найдены 4-ех точечные вершины взаимодействия 11-мерной супергравитации, инвариантные относительно линеаризованных преобразований суперсимметрии. Изложение в 1-ой главе базируется на исследованиях, проведенных в [30, 31, 63, 64, 65].
Во 2-ой главе развивается конусная форма релятивистской динамики полей в пространстве АдС. В параграфе 2.2 на примере полей спина 1, антисимметричных полей и симметричных полей развита, основываясь на калибровочно-инвариантных уравнениях движения (теоретико-полевой подход), конусная форма релятивистской динамики в пространстве АдС для этих частных случаев полей. В параграфе 2.3 развита общая форма релятивистской динамики в АдС, которая может быть использована для исследования полей произвольного типа. В параграфе 2.4, используя теоретико-групповой анализ (метод индуцированных представлений), развита конусная формулировка в АдС и проведено ее сравнение с результатами теоретико-полевого подхода.
В параграфе 2.5.1 развита конусная формулировка для операторов конформной теории поля для случая полностью симметричных по лоренцовым индексам операторов. Изучены как операторы с канонической конформной размерностью, так и их конформно дуальные партнеры (которые иногда называются призрачными операторами (shadow operators) - они же называются источниками). Исследовано соответствие между решениями волновых уравнений в пространстве АдС (с задачей Дирихле на границе АдС) и конформными операторами на границе пространства АдС. Продемонстрировано, что нормируемые моды решений уравнений движения в АдС связаны с операторами с канонической конформной размерностью, а ненорми-руемые решения уравнений движения в АдС связаны с источниками. Изложение в 2-ой главе базируется на исследованиях, проведенных в [66, 67, 68, 69].
В 3-ей главе развита конусная формулировка для следующих динамических систем, изучение которых представляется интерес в связи с различными дуальностями между теориями в пространстве АдС и соответствующими граничными теориями: а) ИВ супергравитация в пространстве АдС(5)хЗ(5) и соответствующая теория конформных операторов на границе; б) безмассовые и самодуальные массивные поля в пространстве АдС(5); с) безмассовые самодуальные поля в пространстве АдС(6). Для случая ПВ супергравитации в пространстве AflC(5)xS(5) и соответствующих ей граничным операторам результаты сформулированы в терминах суперполей. Это позволяет реализовать суперполевую форму АдС/КТП (КТП означает конформная теория поля) соответствия в параграфе 3.1.2. В качестве приложения конусного формализма в АдС продемонстрировано АдС/КТП соответствие для полей (безмассовых и самодуальных массивных) и соответствующих операторов на границе на уровне двухточечных функций. Изложение в 3-ой главе базируется на исследованиях, проведенных в [70, 72, 71].
В 4-ой главе изучена теория суперструн в пространстве АдС(5) х S(5) с конденсатом напряженности поля Рамон-Рамона. В параграфе 4.1 дано описание структуры супералгебры psu(2,24) и определены 1-формы Картана на косетном суперпространстве (х, в) (мы адаптируем широко используемое в физической литературе понятие "косетное пространство "вместо используемого в математической литературе понятия "фактор пространство"). В параграфе 4.2, используя 1-формы Картана, представлено ковариантное действие суперструны в АдС(5)х S(5) в координатно-свободной форме. Как и в плоском пространстве [73, 74] действие представлено как сумма кинетической части {2d интеграл по 1-формам Картана) плюс весс-зуминовская часть (3d интеграл замкнутой 3-формы % на косетном суперпространстве) с коэффициентом весс-зуминовского вклада фиксированном однозначно требованием к-симметрии. В пределе плоского пространства наше действие будет редуцироваться к стандартному действию струны Грина-Щварца в плоском пространстве [73, 74]. Будет также найдена явная 2d форма действия суперструны в специальном выборе параметризации 1-форм Картана в терминах фермионных координат 9. Полученное действие может рассматриваться как единственное максимально суперсимметричное и к-симметричное расширение бозонной сигма-модели, взаимодействующей с фоновой метрикой пространства АдС(5)х S(5) . Оно дается ковариантизацией плоского действия Грина-Щварца плюс высшие степени по фермионным полям в.
Симметричные безмассовые поля. Калибровочно-инвариантные уравнения движения
Построив все генераторы алгебры Пуанкаре, мы задали исчерпывающее описание релятивистской динамики безмассового поля спина 1 в конусном формализме. Отметим, что приведенные выше выражения для поля спина 1 допускают очень простое обобщение на случай полей произвольного высшего спина. Возможность такого простого обобщения является следствием того обстоятельства, что вся зависимость генераторов от спиновых степеней свободы закодирована в спиновом операторе алгебры so(d — 2). Однако такие операторы хорошо известны для безмассовых полей любых спинов, которые, как это известно (из теории представлений группы Пуанкаре), описываются неприводимыми представлениями спиновой алгебры so(d — 2). Ниже мы будем приводить явный вид таких спиновых операторов и их обобщение на случай массивных полей. Теперь мы переходим к изучению взаимодействия для полей высших спинов, что является главной темой нашего исследования.
В этом параграфе мы рассматриваем вершины взаимодействия для полей высших спинов как безмассовых, так и массивных. Отметим что говоря о высших спинах мы включаем в рассмотрение также случаи обычных полей спина 1 и спина 2. Мы будем интересоваться в основном кубическими вершинами взаимодействия. В соответствии с подходом который мы используем (предложенный Дираком в [87]) наша задача сводится к построению реализации генераторов Пуанкаре на физических полях.
В конусном формализме генераторы алгебры Пуанкаре разбиваются на две группы. Генераторы называются кинематическими генераторами, а оставшиеся генераторы называются динамическими генераторами. Динамический генератор Р является генератором трансляций по конусному времени х+ и поэтому рассматривается как гамильтониан теории1. Так как генераторы сохраняются во времени, мы без ограничения общности рассмотрения будем реализовывать их на поверхности начальных данных х+ = 0. Важным свойством кинематических генераторов является то, что во взаимодействующей теории они являются квадратичными функционалами от физических полей. Симметрии, генерируемые кинематическими генераторами, являются явными симметриями -матрицы и они справедливы в каждом порядке по константе связи - т.е. они не перемешивают взаимодействия с разными степенями по константе (константам) связи. В теории с взаимодействием динамические генераторы, в отличие от кинематических, получают поправки, зависимые от константы связи, - т.е. поправки высшие, (кубические и т.д.) по степеням физических полей. Поиск этих поправок является главной проблемой при построении теории взаимодействующих полей. Прежде чем перейти к анализу вершин взаимодействия, мы выпишем реализацию генераторов, кинематических и динамических, в квадратичном приближении для полей высших спинов произвольной массы. Обозначим символически \ф(х)) некоторое поле (или набор полей) произвольного спина и массы - т.е. мы используем кэт-вектора для обозначения спиновых степеней свободы поля (или набора полей; см. ниже (1.1.16)). Нам удобно будет работать в импульсном пространстве. Мы делаем Фурье преобразование (только в этой формуле мы показываем зависимость от х+)Теперь в квадратичном приближении генераторы алгебры Пуанкаре имеют вид где представление для генераторов G в виде дифференциальных операторах, действующие на импульсные и спиновые переменные, имеет вид
В этих формулах m-параметр массы, М/,7-спиновые операторы алгебры so(d — 2), а спиновые операторы М1 преобразуются по векторному представлению алгебры so(d — 2). Как понятно из названия этих операторов, они действуют только на спиновые степени свободы физических полей. Спиновые операторы М1 вместе с операторами MIJ образуют коммутаторы алгебры so(d — 1) (как это должно быть для массивных полей). Операторы MIJ и М1 удовлетворяют коммутационным соотношениям Как видно из соотношений (1.1.8),(1.1.12), в пределе т - 0 генераторы перестают зависеть как от т, так и от спинового оператора М7, т.е. в генераторах алгебры Пуанкаре свободной теории мы имеем гладкий переход к случаю безмассовых полей.
Конкретный вид спиновых операторов зависит от спиновых степеней свободы поля (или набора) полей, которые мы включили в кэт-вектор \ф).
Один из простых способов, используемым для описания спиновых степеней свободы массивного поля произвольного спина и типа симметрии, состоит во введении набора операторов рождения и уничтожения (осцилляторы) а7, ап и а7, ап (n = l,2,...,N) Осцилляторы ап являются векторами относительно вращений so(d - 2), а осцилляторы ап являются скалярами относительно вращений so(d — 2). Теперь кэт-вектор \ф) может быть представлен в виде фоковского вектора Для такого способа реализации спиновых степеней свободы операторы MIJ и М1 имеют вид Индексы J у осцилляторов в (1.1.16) означают поперечные векторные индексы, а tn означает степень скалярного осциллятора ап. В дальнейших выражениях а как аргумент кэт-вектора \ф{р,ос)) означает набор осцилляторов {а ,ап}, а импульс р как аргумент поля будет означать набор импульсов {р1, /3}.
Массивные самодуальные и безмассовые поля в пространстве АдС(5)
Для того чтобы понять характерные свойства решения, достаточно рассмотреть взаимодействия для полностью симметричных по поперечным индексам полей.
Вершины взаимодействия для полностью симметричных полей. Это означает, что мы ограничиваемся осциллятором одного типа (т.е. считаем N = 1) и рассматриваем теперь вершины взаимодействия трех массивных полей, которые имеют вид указанный в (1.1.69). При рассмотрении кубической вершины осцилляторы трех массивных полей о/, а (см. (1.1.69)) снабжаются дополнительными верхними индексами 1,2,3 (т.е. используем набор а11, а1, а21, а2, а31, а3).
Вершины взаимодействия для рассматриваемых полей имеют вид В предыдущем разделе мы построили широкий класс вершин взаимодействия для массивных и безмассовых полей полей высших спинов. Мы рассмотрели вершины взаимодействия как для полей смешанного типа симметрии, так и для полностью симметричных полей. Что касается полностью симметричных полей, то мы получили полный список кубических вершин взаимодействия для таких полей. Этого нельзя сказать для случая полей смешанной симметрии. При рассмотрении вершин взаимодействия мы исключили инварианты, которые можно построить из осцилляторов и поперечных импульсов с помощью антисимметричного тензора Леви-Чевиты eIl"Jd 2. Такие инварианты не дают ничего нового для случая полностью симметричных полей, однако могут приводить к новым вершинам взаимодействия в случае полей смешанной симметрии. В теории полей высших спинов важно знать полный список вершин взаимодействия. Это связано с тем, что для построения полной динамической системы нужно вовлекать все возможные вершины взаимодействия, совместимые с требованиями релятивистской инвариантности. Новые инварианты, которые можно построить с помощью антисимметричного тензора Леви-Чевиты с неизбежность появляются в суперсимметричных теориях. Теория N = 4, d — 4 суперсимметричного Янга-Миллса, большинство (если не все) моделей супергравитации являются важными примерами таких теорий. Другой исключительно важный пример динамической системы, в которой необходимо рассматривать новые инварианты является теория суперструн. В полевых теориях суперструн вершина взаимодействия имеет в вид А ехр В и пред-экспоненциальный фактор строится с помощью новых инвариантов, включающих антисимметричный тензор Леви-Чевиты. Таким образом, с точки зрения приложений к анализу суперсимметричных теорий Янга-Миллса, моделей супергравитации, теории суперструн и суперсимметричных полей высших спинов является желательным развитие формализма, который не ограничивался бы выбором каких-либо конкретных инвариантов, а позволял провести рассмотрение со всей полнотой. Развитие такого формализма является содержанием этого параграфа. Чтобы не загромождать изложение громоздкими формулами, мы продемонстрируем наш метод (имея в виду дальнейшие приложения к 11-мерной супергравитации) на примере безмассовых полей. В этом случае представление для вершины взаимодействия имеет вид В этих формулах буква М как аргумент вершины взаимодействия используется для обозначения спиновых степеней свободы. Условие локальности, накладываемое на вершину рз состоит в том что рз должно быть выбрано так, чтобы выражение для Us1} (1-2.2) было полиномиальным по поперечным импульсам. При этом само pj не должно быть представимо в виде Р2У где V полином по Р (такие р могут быть отфакторизованы переопределением полей и поэтому не представляют физического интереса). Наш метод реализуется следующим образом. По двум координатам в (d — 2)-мерном поперечном пространстве введем комплексные координаты, т.е. представим вещественный поперечный импульс Р1, I = 1,... d — 2, (который преобразуется как вектор относительно вращений, генерируемых алгеброй so(d — 2)) следующим образом где Рг, г = l,...d — 4, вещественный вектор, (который преобразуется как вектор относительно вращений, генерируемых алгеброй so(d — 4)), а Рг, Рг - комплексные компоненты, определяемые соотношениями Теперь, вместо импульсных переменных Рг, Pz, Рг, мы вводим переменные где безразмерные переменные q\ р определяются соотношениями В новых координатах мы имеем следующее представление для генераторов вращений so(d - 2): й Теперь мы можем продемонстрировать одно из основных преимуществ перехода к новым импульсным переменным. Вершина взаимодействия являющаяся полиномом степени к по поперечным импульсам может быть представлена в терминах новых переменных в виде Используя формулу (1.2.10), легко видеть, что решение кинематического уравнения может быть записано в виде где мы используем обозначение Этой формулой мы сразу фиксируем зависимость вершины взаимодействия от переменной ql. Оставшиеся кинематические уравнения из системы (1.2.3) теперь
Координатная параметризация форм Картана и их вид в фермионной конусной калибровке
Мотивация для изучения 11-мерной супергравитации связана с несколькими гипотезами, которые высказывались в связи с этой теорией.
Во-первых, была выдвинута гипотеза, что 11-мерная супергравитация является низкоэнергетическим пределом некоторой гипотетической М-теории по аналогии с тем, как например, ПА и ПВ теории супергравитаций являются низкоэнергетическими пределами теорий ПА и ПВ суперструн. Так же как и в случае струн, ожидается, что спектр полей 11-мерной супергравитации, будучи дополненный бесконечной башней новых состояний, приведет к построению конечной теории гравитации на основе М-теории. Ожидается так же, что известные модели суперструн могли бы быть различными фазами М-теории, что дало бы единое описание моделей суперструн.
Другой сценарий, включающий в рассмотрение 11-мерную супергравитацию, возник в контексте развития теории безмассовых полей высших спинов. На основе исследований, проведенных в [88]-[90], была выдвинута гипотеза, что теория струн и теория полей высших спинов являются различными фазами одной и той же теории. Согласно этой гипотезе теория струн является нарушенной фазой теории безмассовых полей высших спинов, которые изначально строятся в пространстве АдС. В развитие этой гипотезе было предположено [66], что что теория суперструн в 10-мерном пространстве Минковского, которая рассматривается как нарушенная фаза, могла бы реализовыватъся как теория на границе 11 -мерного пространства АдС, в то время как ее ненарушенная фаза реализуется в виде теорий безмассовых полей высших спинов в 11-мерном пространстве АдС Обсуждение этой темы можно найти в [72], где было продемонстрировано, что если ограничиться рассмотрением полностью симметричных полей в пространстве АдС и сделать некоторое простое предположение о члене в гамильтониане, нарушающем симметрии АдС-алгебры, то ведущие компоненты безмассовых полей в АдС становятся массивными состояниями со спектром масс состояний ведущей траектории Редже.
Как известно, стандартная 11-мерная супергравитация [91] не допускает деформацию с космологической постоянной, т.е. нет вакуума в виде пространства АдС(П) [92](см. также [93, 94]). С другой стороны, в [95] были найдены некоторые безмассовые мультиплеты содержащие супермультиплет гравитона в АдС(Н)2. Этот новый супермультиплет содержит поля стандартной 11-супергравитации плюс некоторые дополнительные поля. Естественно ожидать, что именно эти дополнительные поля позволяют обойти теоремы запретов и построить последовательную супергравитацию допускающую вакуум в виде пространства АдС(11)3.
Первым шагом в изучении этих вопросов было бы построение теоретико-полевой реализации супермультиплета гравитона в пространстве АдС(11) и вершин взаимодействия для такого супермультиплета. Конусный подход дает возможность изучить систематически эти вопросы. Главное преимущество конусного подхода здесь проявляется в том, что он позволяет проводить исследование в терминах скалярного суперполя, которое свободно от всяких дополнительных связей. Прежде чем изучать супергравитацию в пространстве АдС(П), было бы поучительно рассмотреть обычную 11-мерную супергравитацию, которая ранее не изучалась систематически в рамках конусного подхода.
Для исследования 11-мерной супергравитации мы будем использовать метод Дирака [87], который сводит проблему к поиску решения коммутационных соотношений базисной алгебры симметрии - в данном случае супералгебры Пуанкаре, являющейся алгеброй симметрии 11-мерного суперпространства. Ранее этот метод успешно использовался для построения явно суперсимметричных формулировок различных теорий[17, 18, 19]4. Несмотря на много примеров решений для кубических вершин, приведенных в литературе, построение вершин для конкретных полевых теорий остается сложной задачей. Общий метод, существенно упрощающий процедуру построения кубических вершин был открыт в [30], развит в [63, 64] и окончательно сформулирован в [65]. Характерной чертой этого метода является нарушение явной поперечной конусной so(d — 2) симметрии (которая есть so(9) для 11-мерной супергравитации) до so(d — 4) симметрии (которая будет so(7) для рассматриваемого здесь случая)5. С другой стороны, именно so(7) симметрия является явной симметрией в конусной суперполевой формулировке 11-мерной супергравитации. Другими словами, имеет
Определенный безмассовый мультиплет гравитона в АдС(П) предсказывается также 11-мерным аналогом теории полей высших спинов, построенных в АдС(10) [60]. Так как обычно бесконечная башня безмассовых полей высших спинов содержит супергравитационный мультиплет, ожидается что 11-мерный аналог теории в [60] должен описывать некоторый мультиплет гравитона в АдС(И).
Ранее, редукция явной ao(d — 2) симметрии к so(d — 4) была использована для суперполевой формулировки теории ПА суперструн [18]. При этом главной мотивацией этой редукции было желание использовать суперполевую формулировку в терминах скалярного суперполя без связей. В [65] главной мотивацией было желание получить наиболее общее решение для кубических вершин для полей произвольного спина в (супер) Пуанкаре инвариантной теории. Обсуждение so(7) формализма в контексте М(атричных) теорий можно найти в [99]. место совпадение явных симметрии нашего метода и явных симметрии суперполевой формулировки 11-мерной супергравитации. На примере 11-мерной супергравитации мы будем демонстрировать эффективность нашего метода [65].
Суперполевая формулировка 11-мерной супергравитации основывается на конусном суперпространстве, которое включает пространственно-временные координаты х1 и грассмановы координаты 9а 6. В этом конусном суперпространстве мы вводим скалярное суперполе Ф(х ,9). В дальнейшем мы предпочитаем использовать импульсные координаты, и поэтому мы делаем Фурье преобразование по всем координатам суперпространства за исключением конусного времени х+. Это означает использование импульсов р+, pR, pL, рг и грассмановых импульсов Ла вместо координат х , xL, xR, хх и суперкоординат ва соответственно. Таким образом, мы рассматриваем скалярное суперполе Ф(х+,р+,ря,рь,рг,Х) и разлагаем его по грассмановым импульсам Л и eai"a8 антисимметричный тензор Леви-Чевиты. Суперполе Ф считается вещественным. Условие вещественности суперполя Ф записывается в виде Индексы ц — О,1,... 10 являются so(10,1) векторными индексами, индексы a = 1,...,8 являются зо(7) спинорными индексами, индексы 1,3,К = 1,...9 являются so(9) векторными индексами, индексы i,j,k = 1,...,7 являются зо(7) векторными индексами. Координаты в конусных направлениях определяются соотношениями а; = (ж10 ± х)/у/2. Оставшиеся девять пространственных координат х1 разлагаются на Xі, xR,L где xR L = (х8 ±\х9)/у/2. Скалярное произведение двух so(9) векторов имеет вид XіY1 = X YX + XRYL + XLYR. Для импульса в конусном направлении р+ мы используем упрощенное обозначение /3 = р+.
