Введение к работе
Диссертация посвящена изучению конформных, некоммутативных и калибровочных симметрии в квантовой теории поля. Реализация таких симметрии в теории струн дает систематический и эффективный подход к решению поставленной задачи и позволяет не только по-новому взлянуть на известные проблемы, но и упростить их решение.
Актуальность темы.
Роль симметрии в современной теоретической физике трудно переоценить. Классический пример среди теорий, построеных на основе принципа симметрии - это теория гравитации Эйнштейна, инвариантная относительно локальных преобразований координат. В квантовой теории поля симметрия лагранжиана диктует вид взаимодействий, определеляет типы элементарных частиц и их заряды. Фундаментальную роль при описании взаимодействий элементарных частиц играют калибровочные симметрии, например, калибровочная группа U(l) в КЭД и SU(3) в КХД. Однако, стандартные методы квантовой теории поля, такие как теория возмущений, зачастую оказываются недостаточными для описания наиболее интересных, непертурба-тивных эффектов в калибровочных теориях, которые требуют знания поведения теории в режиме сильной связи. Здесь на помощь приходит терия струн, предоставляющая целый арсенал новых методов для исследования калибровочных теорий.
Теория струн (суперструн) является самосогласованной квантовой теорией, естественным образом объединяющей терию поля и гравитацию, и в настоящий момент насчитывает более чем тридцатипятилетнюю историю. В 1995 году, после появления работы Польчинского [1], произошла так называния вторая струнная революция. В результате был достигнут впечатляющий прогресс в понимании непертурбативных явлений и поведения теории струн в области сильной связи, основанный на внутренних симметриях, так
РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА _
называемых дуальностях, теории струн. При этом после работы Виттена [2] калибровочные терии получили простое геометрическое представление в виде конфигураций D-бран разных размерностей. В частности, калибровочной группе U(N) в 4 измерениях соответствует стопка из N параллельных БЗ-бран. Правильность такого подхода была продемонстрирована в работах Мальдасены [3], Губсера, Клебанова и Полякова [4], и Виттена [5] на примере так называемого AdS/CFT соответствия, позволяющего описывать четырехмерную Л/" = 4 суперсимметричную теорию Янга-Миллса при помощи теории струн типа ПВ на фоне метрики AdSs X S . Естественно, эти примеры - только первые шаги на пути к полной картине, описывающей физику калибровочных теорий на языке теории струн. Таким образом, развитие струнного подхода к калибровочным теориям представляет актуальную и многообещающую проблему для исследования.
Помимо прогресса в описании калибровочных теорий, теория струн возродила интерес к конформным и некоммутативным симметриям. Напомним, что действие теории струн - это двумерная сигма-модель, описывающая отображения римановых поверхностей в й?-мерное пространство-время. Среди симметрии этого действия есть и инвариантность относительно конформных преобразований. Группа конформных симметрии в двух измерениях бесконечномерна, и это накладывает очень сильные ограничения на теории с такой симметрией. Воспользовавшись этим, в 1984 году Белавин, Поляков и Замолодчиков [6] сформулировали новый подход к конформным теориям, в котором точные ответы, например, корреляционные функции, получаются как решения специальных уравнений, следующих из конформной симметрии. В физике конформная симметрия часто проявляется в точках фазового перехода термодинамических систем, например, в критической точке ферромагнитных систем и более общих спиновых систем на решетках. Огромный интерес конформные теории вызывают у математиков, поскольку приводят к интересным бесконечномерным алгебрам: алгебрам Каца-Муди,
вершинным алгебрам и др. Методы конформной теории поля, разработанные в контексте теории струн, находят здесь обширное применение.
В 1999 году, благодаря работе Зайберга и Виттена [7], стали активно изучаться некоммутативные симметрии в теории поля. Такие симметрии возникают при рассмотрении пространств, координаты на которых не коммутируют. Классической пример некоммутативного пространства - фазовое пространство квантовой механики: обобщенные координаты подчиняются соотношению неопределенности \p,q] = ih. С точки зрения теории струн квантовые теории поля на таких пространствах возникают при выборе специальной регуляризации. Помимо новых нетривиальных свойств теорий с некоммутативной симметрией, представляет непосредственный интерес вопрос об их связи с обычными калибровочными теориями, которые можно получить из теории струн при стандартной регуляризации струнной сигма-модели. Действительно, физические свойства теории не должны зависеть от выбора регуляризации, поэтому можно ожидать, что есть соответствие между некоммутативными и обычными калибровочными симметриями. Оказывается, что в некоторых случаях (например, для квазипериодических граничных условий) можно предъявить примеры, когда такое соответствие удается построить явно. Кроме того, интересно проследить эту связь и на уровне действия струнной сигма-модели.
Целью работы являлось:
-
Изучение корреляционых функций в модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена и вычисление конформых блоков - голоморфных составляющих корреляционых функций, при помощи бозонизации.
-
Исследование процессов Швингеровского типа в калибровочных теориях с точки зрения теории струн и представление непетурбативных процессов рождения частиц во внешних полях при помощи конфигураций бран.
3. Изучение связи между регуляризацией сигма модели для открытых
струн и калибровочной симметрией ее эффективного низкоэнергетического
лагранжиана.
4. Исследование некоммутативной теории Янга-Миллса на торе. Построение явного преобразования, переводящего поля и наблюдаемые некоммутативной теории в соответствующие поля и наблюдаемые обычной калибровочной теории Янга-Миллса с группой симметрии U(N).
Научная новизна работы заключается в следующих оригинальных результатах, которые выносятся на защиту:
-
Описана двумерная конформная теория поля, позволяющая эффективно вычислять корреляционные функции в модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена на сфере. При этом корреляционные функции автоматически представляются в виде комбинаций голоморфных составляющих - конформных блоков, удовлетворяющих уравнениям Книжника-Замолодчикова. Выдвинута гипотеза о виде корреляторов на римановых поверхностях старших родов.
-
Разработано описание непертурбативных процессов рождения частиц во внешних полях в калибровочных теориях поля с точки зрения бранных конфигураций в теории струн.
-
Найдено двухпараметрическое семейство регуляризации струнной сигма-модели, позволяющее интеполировать между абелевой и некоммутативной калибровочной симметрией в эффективном действии для тахионного и векторного полей.
-
Построено явное преобразование (отображение Мориты), переводящее поля и наблюдаемые некоммутативной теории Янга-Миллса на торе в соответствующие поля и наблюдаемые обычной калибровочной теории на дуальном торе с подкрученными граничными условиями и обратно. Показано, что при этом поляковские петли переходят в некоммутативные вильсонов-ские открытые петли ИИКК [8].
Научная и практическая ценность. Полученные новые результаты и
методы повозволяют эффективно решать уравнения Книжника-Замолодчи-
кова для конформных блоков и строить из них корреляционные функции в модели ВЗНВ, позволяют лучше понять физику непертурбативных процессов рождения частиц во внешних полях в калибровочных теориях с точки зрения теории струн, а также устанавливают связь между некоммутативными и неабелевыми калибровочными теориями.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, хорошо известны и неоднократно докладывались на на ученом совете ИТФ им. Л.Д. Ландау, на семинарах теоретических отделов ИТЭФ, ФИАН и ИЯИ; международной школе "Симметрии и интегрируемые системы" (Дубна, 1999), Международной летней школе-семинаре по современым проблемам теоретической и математической физики (Казань, 1999), Бретанской конференции по физике высоких энергий (Гидель, Франция 2000).
Публикации. По теме диссертации опубликовано три научных работы, список которых приведен в конце реферата.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
