Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Стационарные конфигурации идеальной плазмы 12
1. Инвариантные стационарные конфигурации 13
2. Инвариантные равновесные конфигурации 30
3. Произвольная равновесная конфигурация в окрестности общей точки 32
4. Потенциально - силовое магнитное поле с плоской геометрией 35
5. Специальные стационарные течения 42
Глава 2. Симметрия безмассового уравнения Дирака 47
6. Дифференциальные операторы симметрии 1-го порядка 47
7. Симметрии свободного уравнения в пространстве Е\ 60
8. Симметрия и законы сохранения 66
9. Симметрия уравнений в конформных пространствах 70
Глава 3. Интегрирование уравнения движения свободной частицы в римановом пространстве в комплексных координатах 73
10. Обобщенные пространства штеккеля 75
11. Примеры обобщенных пространств штеккеля 100
Заключение 105
Литература 107
Приложение 114
- Инвариантные равновесные конфигурации
- Потенциально - силовое магнитное поле с плоской геометрией
- Симметрия и законы сохранения
- Примеры обобщенных пространств штеккеля
Введение к работе
Известные законы сохранения и достаточно широкие классы частных решений основных уравнений физической теории представляют едва ли не основное ее достоинство. В основном такую информацию можно получить, изучая симметрию уравнений, что предполагает решение двух проблем: построение всех возможных основных уравнений данной теории, обладающих определенной симметрией, - это симметрийная классификация уравнений; определение симметрии и вычисление с ее помощью законов сохранения и частных решений заданного уравнения, - это симметрийный анализ уравнения. Основными понятиями здесь являются группа (полугруппа) операторов симметрии и алгебра допустимых операторов рассматриваемого уравнения. Т.к. допустимый оператор можно рассматривать как инфинитезимальный для некоторой, вообще говоря, формальной однопараметрической группы симметрии и инфинитезимальный оператор однопараметрической группы симметрии является допустимым, то исследования симметрии в их современном виде можно назвать с большим основанием алгебраическим анализом, чем групповым.
Алгебра дифференциального уравнения с областью определения - пространством бесконечно дифференцируемых отображений некоторой области из Еп в Ет может содержать подалгебру (лиевских) квазилинейных скалярных дифференциальных не выше 1-го порядка операторов вида aa((p)(x) = T]a(x,(p(x))-^(x,(p(x))d(pa/dxs
Группа симметрии с лиевским инфинитезимальным оператором индуци- рована естественным образом группой точечных преобразований пространства независимых и зависимых переменных, каждый элемент которой переводит всякое многообразие - решение рассматриваемого уравнения в многообразие -решение этого же уравнении. На этом основании такую симметрию называют геометрической; нелиевский допустимый оператор иногда называют высшей симметрией.
Теория геометрических симметрии была создана в основном во 2-ой половине 19-го века С.Ли и приобрела законченный вид в работах Овсянникова [1, 2], Ибрагимова [3], Олвера [4]. Хотя решению конкретных задач посвящено огромное число публикаций, симметрия многих важных уравнений исследована бесспорно недостаточно.
Теория высших симметрии и законов сохранения в настоящее время далека от совершенства. Здесь основополагающей является работа Нетер [5], в которой для произвольной лагранжевой системы дифференциальных уравнений построено определяющее уравнение специальной алгебры, вообще говоря, не-лиевских допустимых дифференциальных операторов и указана явная связь таких операторов с дифференциальными законами сохранения. Для произвольного дифференциального уравнения общие свойства алгебры допустимых дифференциальных операторов и дифференциальных законов сохранения рассматривалась в работах [4, 6-9]. Симметрия линейного уравнения общего вида и алгебры уравнений в банаховых пространствах изучались в [10, 11]. Наиболее продвинут симметричный анализ эволюционных (особенно гамильтоновых) уравнений; весьма полную информацию об этом содержит работа [12]. Опреде- ленно можно утверждать, что техника вычислений допустимых дифференциальных операторов для дифференциальных уравнений вполне разработана; именно этот элемент симметрийного анализа используется в настоящей работе. Актуальность темы. В диссертации исследуются свойства симметрии уравнений магнитной гидродинамики идеальной плазмы, безмассового уравнения Дирака-Фока и уравнений движения свободной частицы в римановых пространствах; общеизвестна роль этих уравнений в теоретической и математической физике. Геометрическая симметрия системы МГД хорошо изучена и достаточно богата; групповая классификация решений пока не проведена прежде всего из-за сложности системы, хотя широкие классы частных решений необходимы для изучения лабораторной, солнечной и космической плазмы; в определенной мере мы восполним этот пробел. Исследования симметрии уравнения Дирака находятся вообще в начальной стадии: неизвестен общий вид простейших операторов симметрии и законов сохранения, только для уравнения с богатой группой геометрических симметрии проведена классификация решений, отсутствует симметрийная классификация пространств; наши результаты отвечают на некоторые вопросы теории. Построение в конечном виде закона движения свободной частицы в римановом пространстве обусловлено существованием для уравнений геодезических интегралов конечного порядка; хотя проблема классификации пространств по этому признаку имеет полуторавековую историю и важна также для интегрирования многих уравнений теоретической физики (например, методом разделения переменных), достижения здесь весьма скромные: известна метрика пространства, допускающего произвольный интеграл 1 -го по-
6 рядка или интеграл 2-го порядка специального вида.
Сказанное выше делает актуальным симметрийный анализ выбранных нами задач.
Цель работы. Основные задачи можно сформулировать следующим образом. 1. Дать максимально полное описание стационарных, в частности равновесных конфигураций сжимаемой идеальной плазмы, инвариантных относительно группы симметрии, индуцированной естественным образом произвольной (заданной) однопараметрической группой движений пространства Е3; форма представления результатов должна быть ковариантной и не зависеть от конкретного выбора группы симметрии. Такое решение задачи охватит все ранее известные частные инвариантные стационарные течения и откроет новые типы инвариантных конфигураций. 2. Найти общий вид линейного дифференциального 1-го порядка оператора симметрии безмассового уравнения Дирака в римановом пространстве и сформулировать общие свойства таких симметрии; для произвольного линейного оператора симметрии X построить в ковариантном виде нетривиальный закон сохранения: здесь Ч' - любое решение уравнения Дирака. Решение этой задачи позволит в дальнейшем дать алгебраическую классификацию пространств, найти в явном виде симметрию уравнения в заданном пространстве и использовать метод разделения переменных для вычисления частных решений уравнения. 3. Определить метрику «-мерного риманова пространства, в котором система геодезиче- ских допускает интеграл 2-го порядка, обеспечивающий в уравнении Гамиль-тона-Якоби для свободной частицы частичное (полное) разделение переменных по Якоби в некоторой, вообще говоря, комплексной системе координат; построить соответствующий набор интегралов движения. В результате появляется класс обобщенных пространств Штеккеля с новой специфической симметрией, что заметно расширяет круг задач теоретической физики, интегрируемых методом разделения переменных.
Теоретические основы работы. Диссертационные исследования инвариантных конфигураций идеальной плазмы базируются на законах и понятиях магнитной гидродинамики [13-15] и теории С. Ли групповых свойств дифференциальных уравнений; симметрийный анализ уравнения Дирака - на квантовой релятивистской теории частиц со спином '/г, основы которой заложены в работах Дирака [16] и Фока [17], и алгебраической теории симметрии уравнений; исследования симметрии системы геодезических - на римановой геометрии [18] и теории пространств Штеккеля. Используются методы линейной алгебры (приведение к простейшему виду набора вещественных квадратичных форм) и теории дифференциальных уравнений с частными производными, в частности приведение системы уравнений к пассивному виду. В настоящей работе не ставятся принципиально новые вопросы, каждая из основных рассматриваемых задач имеет свою историю. Первые нетривиальные результаты группового анализа уравнений МГД содержат работы Шафранова [19] и Града [20], в которых задача о произвольных аксиально-симметричных равновесных конфигурациях свободной плазмы редуцирована к одному дифференциальному урав- нению с частными производными 2-го порядка на магнитный потенциал; наиболее значимой в этом плане является работа Цинганоса [21], в которой дано полное описание произвольных трансляционно-инвариантных и аксиально-симметричных стационарных, вообще говоря, неравновесных конфигураций идеальной несжимаемой плазмы во внешнем потенциальном ноле, в частности, здесь также задача редуцирована к одному уравнению на магнитный потенциал. Первые результаты об алгебре уравнения Дирака для безмассовой и массивной частиц получил В. Н. Шаповалов в работах [22,23], где вычислены все дифференциальные 1-го порядка операторы симметрии уравнения в пространстве Е\; аналогичная задача для безмассового уравнения в римановом пространстве рассмотрена Камраном [24] при дополнительных ограничениях на операторы симметрии, эти результаты использовал А. В. Шаповалов [25] для вычисления частных решений методом разделения переменных. Конструктивное определение полного разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби для свободной частицы в римановом пространстве в комплексной системе координат впервые дано в работах Багрова и Обухова [26-28]; здесь найден в привилегированных координатах общий вид метрического тензора и выявлена симметрия (специального штеккелева) пространства, в котором уравнение допускает такое разделение переменных, а также предложен определенный критерий принадлежности наперед заданного пространства классу специальных штеккелевых. Научная новизна исследования. В диссертации получены следующие новые ре- зультаты.
1. В ковариантной форме дано полное описание стационарных конфигураций идеальной сжимаемой плазмы, инвариантных относительно произвольной заданной однопараметрической группы движений евклидова пространства; в частности система МГД редуцирована к одному дифференциальному уравнению 2-го порядка на плотность (3-го порядка на магнитный потенциал). Множество инвариантных конфигураций состоит из трех классов эквивалентности: транс-ляционно-инвариантные, аксиально-симметричные состояния и ранее вообще не рассматривавшиеся состояния с винтовой симметрией; для последнего класса привилегированная система координат является неортогональной. Получены в конечном виде характеристики равновесной инвариантной конфигурации во внешнем поле.
2. Условия для произвольной равновесной конфигурации во внешнем поле редуцированы к одному уравнению на магнитные потенциалы; вычислены все равновесные состояния свободной плазмы, для которых магнитными поверхностями являются плоскости параллельные заданной.
3. Обнаружена специфическая симметрия стационарных течений несжимаемой плазмы, для которых поверхности постоянной плотности являются магнитными; равновесные конфигурации с этим свойством определяют некоторый класс стационарных течений несжимаемой плазмы.
4. Для безмассового уравнения Дирака в римановом пространстве найден общий вид дифференциального 1-го порядка оператора симметрии и сформулированы свойства этих операторов.
5. Для свободного безмассового уравнения Дирака в пространстве Е]4 найден недифференциальный оператор симметрии, который аналогичен оператору симметрии уравнения Лапласа в Е3, порождаемому преобразованием отражения относительно сферы; это позволило найти дополнительные свойства алгебры уравнения.
6. Для произвольного заданного линейного оператора симметрии уравнения Дирака в римановом пространстве построен нетривиальный закон сохранения в ковариантном виде.
7. Сформулированы в ковариантном виде условия на квадратичный интеграл системы геодезических риманова пространства, с которым уравнение Гамиль-тона-Якоби для свободной частицы допускает в некоторой комплексной системе координат частичное (полное) разделение переменных в смысле Якоби. На языке наборов квадратичных интегралов системы геодезических предложен ко-вариантный критерий принадлежности наперед заданного пространства указанному классу обобщенных штеккелевых пространств. Все утверждения доказаны.
Практическая значимость исследования. Выполненная групповая классификация стационарных конфигураций и результаты анализа произвольных равновесных конфигураций предлагают широкие новые классы состояний идеальной плазмы во внешнем поле и будут полезны при осмыслении экспериментальных данных. Результаты симметрийного анализа безмассового уравнения Дирака можно использовать в работах по космическим нейтрино для вычисления част-
11 ных решений методом разделения переменных и законов сохранения, а также для симметрийной классификации римановых пространств. Симметрийная характеристика обобщенных штеккелевых пространств и конструктивные доказательства основных теорем дают эффективный способ решения главных в теории разделения переменных вопросов о принадлежности наперед заданного пространства классу обобщенных штеккелевых и построении привилегированной системы координат; полученные результаты позволяют сформулировать общую схему разделения переменных в комплексных координатах в произвольном линейном дифференциальном уравнении с частными производными 2-го порядка с помощью наборов дифференциальных операторов симметрии не выше 2-го порядка.
Апробация работы. Результаты диссертации по групповой классификации стационарных конфигураций идеальной плазмы доложены на международной конференции «MOGRAN 2000: Современный групповой анализ для нового тысячелетия», Уфа, 2000. По теме диссертации опубликовано 14 работ. На защиту выносятся: 1. Результаты расчета стационарных и равновесных конфигураций идеальной плазмы, инвариантных относительно однопараметри-ческой группы движений евклидова пространства; структура произвольной равновесной конфигурации во внешнем потенциальном поле, общий вид равновесной конфигурации свободной плазмы в плоской геометрии. 2. Общий вид дифференциального 1-го порядка оператора симметрии и связь произвольного линейного оператора симметрии с законом сохранения безмассового уравнения Дирака в римановом пространстве; свойства алгебры свободного безмассового уравнения в пространстве Е4. 3. Результаты анализа симметрии риманова пространства, где система геодезических имеет квадратичный интеграл, с которым уравнение Гамильтона-Якоби для свободной частицы допускает частичное (полное) разделение переменных в некоторой, вообще говоря, комплексной системе координат.
Структура и объем работы с достаточной полнотой отражены в Содержании, так что на этом не останавливаемся. Отметим лишь, что формулы, теоремы, определения имеют двойную нумерацию; например, ссылка на формулу 4 из 5 имеет вид (5.4).
Инвариантные равновесные конфигурации
Запишем уравнения равновесных конфигураций в более удобном виде здесь у/ = -Алр, и = ATTU. Далее рассматриваем инвариантные конфигурации с вектором Киллинга общего вида. п.1. Равновесные конфигурации общего вида: [Н,] Ф 0. Общее выражение для напряженности поля непосредственно следует из замечания 1.1. здесь Сї(а) - произвольная функция; уравнение для вычисления а, р, у/ имеет вид Напомним, что Переходим к интегрированию уравнения (2.3); возможны три различных класса конфигураций. 1. Пусть (Н,УЫ)ФО . Это условие в силу (2.2) равносильно такому [Vtf, VM] Ф О; в самом деле с помощью (2.2) находим [",//] = Va , отсюда следует [Va,V«] = -(H,Vu); ч.т.д. Теперь от переменных х1 и х2 привилегированной системы координат переходим к переменным а и и, выбирая а произвольным образом. В таком случае из уравнения (2.3) имеем Итак, по формуле (2.2) получаем общий вид напряженности поля при произвольном выборе функций С1(а) и a : [VA,VM] 0; формула (2.4) определяет общий вид давления и плотности. 2. Пусть (//,VM) = 0, VM O. ЭТО условие равносильно такому [Va,V«] = 0; тогда а = а(и), у/ = у/(и) и из уравнения (2.3) имеем выражение для р В этом случае а{и), у/(it), Q,(a) - произвольные функции; р определяется вышеприведенным равенством. 3. и = 0; в этом случае у/ = у/(а), и для определения функции а имеем из (2.3) уравнение Итак в этом случае р(х), у/(а), Q.(a) - произвольные функции своих аргументов; функция а(х) определяется из (2.6). Последнее уравнение при =[е3,х] и q = 0 совпадает с известным уравнением для магнитного потенциала равновесной аксиально-симметричной конфигурации свободной плазмы в работах Шафранова [3] и Града[4]. п.2. Равновесные конфигурации частного вида: [Н,] = 0. В данном случае согласно (1, п.4., В.2) имеем Н - /? f, LJi = 0; функции р, у/, h связаны уравнением в дифференциалах
Чтобы получить решение этого уравнения, достаточно в соответствующих формулах (1, п.4., В.2) положить V = 0. Замечание 2.1. Частные трансляционно-инвариантные конфигурации (V2 = 0) являются частными случаями конфигураций вида Н = Не3: и Ч1 (и) - произвольные функции; при и=0 плотность p(x,y,z) -произвольная функция. В заключение параграфа отметим работу [43], в которой проведен весьма детальный анализ аксиально-симметричных и винтовых равновесных конфигураций. Здесь интегрируем систему (2.1) в окрестности общей точки магнитного поля рассматриваемой конфигурации, т.е. в такой области, где напряженность магнитного поля можно записать с помощью потенциалов Эйлера показать, что система (2.1) равносильна уравнению Рассмотрим имеющиеся возможности. Г. (НУи)фО\ сейчас в качестве независимых переменных в Е3 можно выбрать величины а, и , и. Из (3.1) следует Далее используется следующая Лемма 3.1. Пусть х есть криволинейные координаты в Е3, сейчас Доказательство. Пусть х - декартовы координаты в Еъ. Умножая равенство д I dxq = dx s I dxq д / dx s на выражение дх" І дх" дх р І дхт єтщ (х) и учитывая тензорный характер символа є : получаем Умножая это равенство на є ірг{х) и учитывая, что получаем требуемое. Замечание 3.1. Запишем в качестве примера дIдх ]: Используя эту лемму и замечание, легко получить тождества Теперь условие совместности (3.2b) можно записать в виде из этого уравнения находим а при произвольном выборе функции и. Сейчас для у/ имеем Таким образом, формулы (3.2а), (3.3), (3.4) дают решение задачи, при этом и есть произвольно заданная функция в Е3. 2. (H,Vn) = 0, Vu O; следовательно, поверхности и(х)= const являются магнитными. Теперь не уменьшая общности рассуждений, можно считать и = и; из уравнения(ЗЛ) получаем Сейчас у/(а, и) - произвольная функция своих аргументов; равенство (3.6) есть уравнение для функции а{х); формулы (3.5), (3.6) задают решение задачи. 3. и = 0; из уравнения (3.1) имеем у/ = if/(а,и) Возможны два подхода к этой системе. (а). Функции а(х) и и(х) искомые; в этом случае система (3.7) при произвольном выборе функции у/(а,и) определяет функции а, и. (в). Функция и(х) задана; теперь функцию у/(а, и) нельзя выбрать произвольно.
В данном случае приходится рассматривать условие интегрируемости уравнения (3.1) при п = 0 в виде это система уравнений 3-го порядка на функцию а(х). Мы не рассматриваем вопрос о приведении системы (3.8) к пассивному виду при произвольном выборе функции и(х); в следующем параграфе задача решена для и(х) = х3. Частные решения системы (3.7), именно бессиловые конфигурации магнитного поля описываются системой с у/ = 0: (Vu,rot[Va,Vu]) = 0, (Va,rot[Va,Vu]) = 0; хотя привести эту систему к пассивному виду при произвольно заданной функции и весьма затруднительно, для некоторых конкретных функций и система легко интегрируется [42]. Поле Н назовем потенциально-силовым, если существует скаляр ц/, с которым Таким является магнитное поле равновесной плазмы в отсутствии внешнего заданного поля; вполне вероятно и в динамических конфигурациях реализуются потенциально-силовые поля. Поэтому полезно изучение полей этого вида. В данном параграфе магнитные поверхности и(х) = const имеют вид х - const; уравнения (3.7) в декартовых координатах представим в виде Эта система равносильна следующей Замечание 4.1.
Если система (4.1) имеет решение (а,у/) с функцией /, -назовем такую функцию допустимой, - то допустимой является функция /: где s, c, q, 8,p - произвольные постоянные, причем sq Ф 0, є =\. Равенство (4.3) задает отношение эквивалентности в множестве функций /, что позволяет разбить все допустимые функции на классы эквивалентности; далее указывается простейший представитель класса допустимых функций. Замечание 4.2. Если допустимой функции отвечает решение (а,у/), то этой же функции отвечает решение (а,у/) с произвольной функцией /л(х3): a (xj, х2, /л(хъ)) = є а(х); у/(є а(х), ju(x3)) = у/(а(х), х3). К этому добавим, что магнитный потенциал а вообще определен полем с точностью до слагаемого - произвольной функции аргумента х3. Замечание 4.3. Если допустимая функция инвариантна (частично-инвариантна) относительно подгруппы группы подобий пространства Е2, то уравнение (4.1) допускает соответствующую функциональную группу симметрии; в частности: 1. f(x) - схх + F(x2); сейчас вместе с (а,у/) решением является (а,у/): Замечание 4.4. Если магнитный потенциал удовлетворяет условию то либо а = а(хх,х2) и у/ = у/(а), либо а - а(саха,х3) и / = О (с = const). В самом деле из (4.4) имеем а = а( (хьх2)5 з) а, ? 0, где (xl5x2) -нетривиальное решение (4.4); теперь система (4.2) принимает вид отсюда при V/ФО находим д2а1д(рдх3 = 0, т.е. a = а{х],х2), а из уравнения (4.1) получаем у/ = у/(а); при / = 0 находим ср = ср{саха) и а = а(саха,х3). В первом случае имеем конкретную реализацию общего плоского поля с магнитным потенциалом, определяемым вторым уравнением системы (4.1) с произвольной функцией у/(а): во втором случае поле в подходящей декартовой системе координат имеет вид Н - Н(х2,х3)ех и у/ - Н2 12. Далее не рассматриваем поля, удовлетворяющие условию (4.4).
Потенциально - силовое магнитное поле с плоской геометрией
Пусть условие (4.8) не выполнено; теперь всякое дифференциальное следствие 1-го порядка системы (4.5), (4.6) должно быть алгебраическим следствием условия (4.6); в противном случае из двух полиномиальных относительно величин av независимых уравнений с коэффициентами-функциями переменных х1 и х2 следовало бы a v - pv(x{,x2) - эта ситуация фиксирована замечанием 4.4. С учетом вышесказанного вычислены и приведены ниже все допустимые функции и соответствующие решения системы (4.1) В формулах (III) считаем ju = ju(x) - произвольной функцией, с - произвольной постоянной. Итак, любое потенциально-силовое поле с плоской геометрией является либо плоским (описание дано в замечании 4.), либо принадлежит одному из классов (I - III). В заключение отметим, что доказательства приведенных здесь результатов весьма громоздки, поэтому опущены. Здесь обсуждаются специфическая симметрия выделенного класса стационарных конфигураций и связь специального множества равновесных конфигураций со стационарными течениями. Определение 5.1. Стационарная конфигурация (и, Н, р, р) плазмы в поле U называется специальной, если
Принимая во внимание структуру инвариантной стационарной конфигурации, заключаем, что стационарная инвариантная конфигурация несжимаемой плазмы является специальной; таким образом в работе [21] рассматриваются фактически исключительно специальные трансляционно-инвариантные и аксиально-симметричные конфигурации. Теорема 5.1. Если (и, Н,р, р) есть специальная стационарная конфигурация в поле U, то конфигурация вида является специальной стационарной в поле V -U0-U; здесь р0, U0 - постоянные. Доказательство. Ясно, что величины v , Н , р удовлетворяют условиям вида (5.1); покажем, что штрихованная конфигурация является стационарной в поле U . Не требует усилий проверка условий очевидна справедливость равенства Используя (5.1) и определение штрихованных величин, непосредственными вычислениями убеждаемся в справедливости равенств p (v , V)i/ = [rotH, Н] 14л- + V#2 18л-, [rotH , # ] / 4лг = p(v, V)u - V(pu212); с помощью этих соотношений и выражений для р и U легко убеждаемся в том, что верно условие Справедливость равенств (5.2)-(5.4) означает, что штрихованная конфигурация стационарна в поле U ; ч.т.д. Так же просто можно доказать следующие утверждения. Теорема 5.2. Если (v, Н,р, р) - есть свободная (U - 0) специальная конфигурация, то конфигурация вида с любой функцией / является свободной специальной стационарной. Доказательство этого утверждения аналогично предыдущему. Теорема 5.3. Если (v, Н, р, р) есть специальная стационарная конфигурация и р = p(U): Vp Ф О, то при любой функции U = U (U) специальной стационарной в поле U является конфигурация вида (5.5) с функцией /: Далее указана связь некоторых специальных стационарных конфигураций со специальными равновесными. Теорема 5.4. Если (v, Н, р, р) есть специальная стационарная конфигурация в поле U и [v,H] = 0, то конфигурация (// , р , р ) вида является специальной равновесной в поле U = eU; здесь Доказательство. Пусть v = ИХ I Апр ; легко видеть, что \-Л2 отсюда следует Очевидно выполнено условие В данном случае справедливо тождество с учетом этого уравнение Эйлера можно записать в форме внимание (5.7) и определение вектора Н , легко получить тождество определение скаляров р и U , предыдущее уравнение запишем в виде
Равенства (5.6)-(5.8) означают, что (// , р , р ) есть специальная равновесная конфигурация в поле U ; ч.т.д. Теорема 5.5. Если (Н, р, р) - специальная равновесная конфигурация в поле U, то с любым Я: (#,VA) = 0 и Я(Я2-1) 0 конфигурация (v ,H ,p ,p ): Доказательство этого утверждения аналогично предыдущему. Замечание 5.1. Для специальной стационарной конфигурации вида [v, Н] = 0 в окрестности общей точки имеем функции а(х), р(х), Л{а,р) связаны уравнение в дифференциалах Полагая 1 = 0 в равенствах (5.9) и (5.10), получим определяющие уравнения для специальной равновесной конфигурации. Замечание 5.2. Если функции а(х), р{х), р(х), Л(а,р) задают согласно (5.9) и (5.10) специальную стационарную конфигурацию в поле U, то функции задают специальную равновесную конфигурацию в поле U = eU. С другой стороны, если функции а (х), р {х), р (х) задают специальную равновесную конфигурацию в поле U (x), то при любой функции А(а ,р ) вида Л(Л2 -1) Ф 0 магнитный потенциал а{х) соответствующий специальной неравновесной конфигурации в поле U = ell задан равенством В заключение о значимости полученных в этой главе результатов. Здесь в полной мере исследован общий вид инвариантных стационарных течений идеальной плазмы, в частности получены явные выражения для параметров инвариантных равновесных конфигураций. Задача о равновесных конфигурациях общего вида редуцирована к одному дифференциальному уравнению для эйлеровых потенциалов магнитного поля. На этом основании результаты этой главы являются естественной отправной точкой для любого конкретного исследования сформулированных вопросов.
Симметрия и законы сохранения
Найдем связь между операторами симметрии и дифференциальными законами сохранения. Легко видеть, справедлива Л е м м а 8.1. Существует матричный скаляр К вида. Доказательство. Пусть Япі{(х) - векторы ортогонального репера в пространстве V\ в системе координат х: Существует матрица С(х) вида det С = 1, с которой [44] здесь є4 = сг3 т0, ієа а2 сга, т0 - единичная матрица 2-го порядка, та -матрицы Паули. Определим матричный скаляр К(х) равенством теперь принимая во внимание равенства выполнение условий (8.1); итак утверждение доказано. Замечание 8.1. Условия (8.1) определяют К с точностью до знака. Лемма 8.2. Справедливо равенство Доказательство. Из определения матриц g (х) : следует равенство (8.1), последнее уравнение запишем в виде то из предыдущего равенства находим здесь Я - некоторые офункции. Отсюда с учетом 2-го условия (8.4) находим используя тождество и учитывая 2-е условие (8.1), из уравнения (8.6) получаем Я = О. Теперь из равенства (8.5) сразу вытекает (8.3); утверждение доказано. Теорема8.1.
Пусть Х- линейный оператор симметрии безмассового уравнения Дирака в римановом пространстве, тогда для любого решения ці рассматриваемого уравнения справедливо равенство Таким образом каждому оператору симметрии сопоставлен дифференциальный закон сохранения. Доказательство. Считаем левую часть равенства при условии, что ці -решение уравнения Дирака, а X є Х(Н): Преобразуем последнее слагаемое Из условия Ну/ = 0 получим равенство Учитывая выражение (8.1) первое слагаемое в (8.8) можно переписать так: в (8.8) и учитывая равенства (8.4) Подставляя сюда g из выражения (8.3), убеждаемся, что вычисляемая дивергенция равна нулю; ч.т.д. Замечание 8.2. Т.к. в любом пространстве безмассовое уравнение Дирака имеет по крайней мере два нетривиальных оператора симметрии Е и у, то в любом пространстве уравнение имеет два универсальных дифференциальных закона сохранения Первый закон отражает сохранение числа частиц; второй - сохранение числа частиц определенного типа. Замечание 8.3. Тривиальный оператор симметрии X - АН с произвольным линейным оператором А задает тривиальный закон сохранения с вектором тока который на любом решении обращается в нуль-вектор. Замечание 8.4. Легко показать, что равенство (8.7) задает дифференциальный закон сохранения и для уравнения Дирака с т 0 при условии, что опера тор симметрии коммутирует с Н. Замечание 8.5. При переходе к базису функция if/, операторы НиXпреобразуются очевидным образом вектора тока имеем Для доказательства этого равенства достаточно найти закон преобразования матрицы К при переходе к новому базису. Подставляя в равенства выражения у J через у:, находим отсюда следует Теперь справедливость равенства (8.9) очевидна. Пусть V\ и V\ - конформные пространства: Рассмотрим связь алгебр Х(Н) и Х(Н) безмассовых уравнений Дирака; на -ехрсг, величины ук и gk, ук и gk удовлетворяют уравнениям вида (6.1) и (8.4). п. 9.1. Связь векторов g и g . Пусть «;Ь - символ ковариантной производной по переменной хк в V\; сейчас имеем Теперь уравнение вида (8.4) для вектора g можно переписать в виде общее решение этого уравнения можно записать так здесь q - некоторый с-вектор. Принимая во внимание второе условие (8.4), из предыдущего равенства находим qk =
О; таким образом имеем п. 9.2. Связь операторов Н и Н . Используя (9.1), получаем имея это в виду, находим п. 9.3. Связь между алгебрами Х{Н) и Х(Н). Напомним, что определяющие уравнения этих алгебр имеют соответственно вид Соотношение (9.3) делает очевидным утверждение Лемма 9.1. Равенства изоморфное отображение алгебры Х(Н) на Х(Н). Если X и X - дифференциальные операторы 1-го порядка, то их структура определена соотношениями вида (6.34)-(6.36), при этом Отсюда вытекает инвариантность уравнений (6.35а) и (6.36а) относительно одновременного преобразования метрического тензора по формуле (9.1) и искомых вектора и и тензора и по формуле (9.4); это утверждение просто доказать прямыми вычислениями. Основные результаты этой главы можно сформулировать следующим образом. 1. Найден общий вид линейных дифференциальных 1-го порядка операторов симметрии безмассового уравнения Дирака в римановом пространстве V\. Получены общие свойства этих операторов. 2. Вычислены операторы симметрии свободного уравнения в псевдоевклидо вом пространстве Е\; таких линейно независимых операторов всего 52. Де тально описаны свойства этих операторов. 3. Для уравнения в Е\ построен новый линейный недифференциальный оператор симметрии - оператор инверсии, с помощью которого записаны новые свойства полученных операторов. 4. Каждому линейному оператору симметрии общего вида безмассового уравнения Дирака в римановом пространстве сопоставлен дифференциальный закон сохранения. 5. В явном виде указан изоморфизм алгебр уравнений в конформных пространствах. В заключение укажем, что общий анализ симметрии безмассовых волновых уравнений в пространстве Е\ выполнен в работе [50]; специальные классы операторов симметрии свободного уравнения Дирака в Е\ изучались в [51, 52]; в работах [53-55] рассматривались возможности построения точных решений уравнения с использованием его симметрии; связь симметрии и дифференциальных законов сохранения для уравнения Дирака в Е\ рассмотрена в [56].
Примеры обобщенных пространств штеккеля
Здесь указаны некоторые штеккелевы пространства типа («сг0 0), в которых уравнение Гамильтона-Якоби для свободной частицы не допускает разделение переменных в вещественных координатах. Предварительно отметим следующее. Пусть Vn— пространство указанного типа; в привилегированной системе координат {и ) имеем Введем новые координаты и: пусть является штеккелевои и метрический тензор в координатах и имеет вид Выберем функции и{и ) так, чтобы Далее используем привилегированную систему координат, где имеют место равенства (11.1). Рассмотрим пространство V\ типа (21); в привилегированной системе координат имеем согласно (11.1) аналитическая функция переменной и = хх + ix2, так что у/ - гармоническая функция переменных х. Теперь для метрики имеем Допустим рассматриваемое пространство имеет тип (20). В таком случае существует система координат и, где матрица Штеккеля и метрический тензор имеют вид Пусть х = х (х); переходя в (11.3) к переменным х и принимая во внимание (11.2), получаем х\ = x( (x,) и результате имеемОчевидно, это уравнение имеет решение вида а 0, /? 0, у/ - гармоническая функция; это значит, что некоторые пространства V\ типа (21) являются пространствами типа (20). Ниже даны при меры гармонических функций у/, с которыми уравнение (11.4) не имеет решений вида а 0 и /3 0. 1.
Пусть ц/ - х\ - х\ + аххх2 + Ъ. Сейчас уравнение (11.4) принимает вид Дифференцируя это равенство дважды по хх и затем дважды по х2, получаем /л - постоянные. Подставляя эти выражения в (11.5), получаем а + (3 - 0; это противоречит требованию а, (3 0. Таким образом в данном случае уравнение (11.4) не имеет подходящего решения, следовательно V2 с метрикой имеет тип (21) и не является пространством типа (20). Замечание 11.1. Легко показать, что в пространстве с метрикой (11.6) не существует вектор Киллинга; таким образом в данном случае можно разделить переменные в уравнении Гамильтона-Якоби для свободной частицы только в комплексных переменных. 2. Пусть у/(х) = х2(х][+х2) . В плане вычислений этот случай аналогичен предыдущему; здесь также получаем из уравнения (11.4) а + /? = 0. Следовательно пространство с метрикой имеет тип (21) и не имеет тип (20). Замечание 11.2. В пространстве с метрикой (11.7) нет ненулевого вектора Киллинга, так что разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби возможно только в комплексных переменных. Замечание 11.3. В случае 1 имеем Фи(и) =-(i + а/2)и -ib, в случае 2 Фи(и) = \/и. Практическая ценность результатов этой главы обусловлена следующими обстоятельствами: критерий принадлежности наперед заданного пространства классу штеккелевых записан в ковариантной форме, что позволяет проверить его в любой системе координат; если критерий выполняется, то сами доказательства основных теорем представляют собой конструктивный метод построения привилегированных систем координат.
Основные задачи и результаты, представляемые к защите, изложены во введении; кратко обсудим перспективы дальнейших исследований в этих направлениях. Проведенное в диссертации полное описание инвариантных стационарных состояний идеальной плазмы, задание в конечном виде параметров инвариантных равновесных состояний и редукция системы уравнений для произвольной равновесной конфигурации во внешнем поле к одному уравнению на магнитные потенциалы выдвигают на первый план вычисление достаточно широких классов частных решений определяющих уравнений (соответственно на плотность и магнитные потенциалы) и детальный анализ общих выражений для параметров инвариантных равновесных состояний с целью построения физически значимых моделей. Вычисление в явном виде параметров всех равновесных состояний свободной плазмы в плоской геометрии предполагает дальнейший физический анализ результатов. Полученный общий вид дифференциального 1-го порядка оператора симметрии безмассового уравнения Дирака - Фока и сформулированные свойства таких операторов позволяют перейти к решению следующих вопросов: вычислению общего вида метрики риманова пространства, в котором уравнение допускает хотя бы один нетривиальный дифференциальный оператор симметрии 1-го порядка (аналогичная задача для уравнения Дирака - Фока для массивной частицы полностью решена ); построению полных наборов операторов 1-го порядка для уравнений в пространствах, представляющих физический
