Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Интегрируемые нелинейные .модели 15
1.1. Примеры нелинейных моделей и физике 15
1.2. Методы решения проблемы интегрируемости 18
1.2.1. Метод Уолквиста-Эстабрука 18
1.2.2. Обобщенные симметрии интегрируемых уравнений 20
1.2.3. Метод Копал опекой - Пен лене - Вейса как метод проверки интегрируемости 27
Глава 2. Процедура размножения нелинейных уравнений 33
2.1. Преобразования Дарбу и одевающие цепочки, метод факторизации и квантовой механике 31
2.2. Процедура одевания уравнений на примере уравнения Кортсисга - де Фриза 39
2.3. Одевающая цепочка и размножение уравнения sin-Гордон 41
2.4. Выводы 19
Глава 3. Применение схемы размножения к системам уравнений 51
3.1. Размножение уравнения Каупа-Буссинеска 52
3.2. Новые интегрируемые системы уравнений как замыкания модифицированных 2D цепочек Тоды 59
3.3. Модифицированные уравнения Цицейки 6 і
3.1. Выводы 72
Глава 4. Исследования систем, близких к интегрируемым 75
4.1. Безотражательные потенциалы sin-Гордон уравнения с бесконечным спектром 75
4.2. Вихри и магнитные структуры типа „мишени" в двумерном ферромагнетике с неоднородным параметром анизотропии 83
4.3.Выводы 90
Заключение 93
Литература 95
- Метод Копал опекой - Пен лене - Вейса как метод проверки интегрируемости
- Преобразования Дарбу и одевающие цепочки, метод факторизации и квантовой механике
- Новые интегрируемые системы уравнений как замыкания модифицированных 2D цепочек Тоды
- Вихри и магнитные структуры типа „мишени" в двумерном ферромагнетике с неоднородным параметром анизотропии
Введение к работе
Практически всякая .модель теоретической физики представляет результат некоторого приближенного описания реальных физических явлений. Цель приближений заключается в изучении основных взаимодействий, определяющих главный и клал в физику процесса, в выяснении основополагающих связей между явлениями.
В то же время, ограничения на модель накладываются, как правило, такие, чтобы для нее можно было найти решения в явном виде или достаточно полно их исследовать.
Интегрируемые нелинейные уравнения теоретической физики не являются 11 этом смысле исключением. Они учитывают не только линейную дисперсию системы, но и основной etwiad нелинейного взаимодействия. У самых различных процессов нелинейное взаимодействие имеет в первом приближении похожий вид и часто определяется геометрией задачи. Поэтому интегрируемые уравнения, как правило, настолько универсальны, что одно и то же уравнение описывает самые разнообразные физические процессы в гидродинамике, оптике и физике конденсированного состояния.
С другой стороны, для ряда нелинейных моделей разработаны глубокие и конструктивные аналитические методы, такие как метод обратной задачи рассеяния [1] и метод "одевания'1, направленный, в частности, на построение многосолитонмых решений посредством применения преобразования Дарбу [2].
Для применимости как первого, так и второго метода нелинейное уравнение для поля и должно быть представлено в виде условия совместности (i>r)t = ($t)x линейной системы дифференциальных уравнений
/ (dx-U)$ = О _ д _ д m
\ M-V)* = 0 ' д* = ТхЛ~ы 0)
- /ФА
для вспомогательной функции ф = I 1.
Подход к интегрированию уравнения, основанный на его представлении в виде условия совместности системы (1), был предложен П.Лаксом в работе |3|, а систему (1) называют U-V парой Лакса, ассоциированной с соответствующим уравнением. Для уравнений теоретической физики, ассоциированных с некоторой парой Лакса, можно соответствующими методами решать начальную задачу Коти и находить обширный класс явных решений.
Например для уравнения sin-Гордон
= sinu, (2)
дхді для которого матрицы U и Уимеют вид
f,_i(-*«і М v__±( 0 ехр(ш)\
Ч A mj' 2Л \ехр(-ш) 0 /'
по начальной функции u(x,0), достаточно быстро убывающей при |х| —+ оо, строятся данные рассеяния для первого уравнения системы (1) [1]. Вследствие второго уравнения системы (1) динамика данных рассеяния сводится к системе линейных дифференциальных уравнений, которая легко интегрируется. Возвращаясь к прежним нолям с помощью обратного спектрального преобразования, получаем точное решение начальной задачи для уравнения (2) [2[.
Уравнения, интегрируемые методом обратной задачи рассеяния, как правило, настолько универсальны, что одно уравнение описывает самые разнообразные физические процессы. Например, уравнение sin-Гордон используется для теоретического описания доменных границ в магнетиках, перегибов на дислокациях в кристалле, флгаксопов в джозефсоновских контактах и др.
Метод обратной задачи рассеяния аналогичным образом применим к широкому классу нелинейных моделей, таких как уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ)
0tu = dlu + 6udxu, (3)
нелинейное уравнение Шредингера (НУШ)
idtu^dlu + lufu, (4)
уравнение Буссинеска, уравнение Каупа-Буссипеска, уравнение Ландау-Лифшица (одномерного магнетика), цепочка Тоды и др.
Подход к интегрированию уравнения, основанный на его представлении и виде уело-лия совместности системы (1), был предложен П.Лаксом в работе [3], а систему (1) называют U-V парой Лакса, нссошшропшнюй с соответствующим уравнением. Основы применяющихся в настоящее время методов интегрирования нелинейных урапнений были Зсіложеньї в пионерских работах Гарднера, Грина, Крускала, Миуры, Кауиа, Ньюела, Ссгура, Абловица |2, 4, 5, 6], Захарова, Новикова, Шабата, Фаддссва и др. [7, 8, 9, 10]. В этих работах было показано, что для уравнения КдФ и нелинейного уравнения Шредингера переход к данным рассеяния является переходом к переменным действие-угол, построен гамильтопон формализм и доказано, что эти системы имеют бесконечный па-бор законов сохранения в инволюции. Оказалось возможным развить теорию возмущений, позволяющую описать динамику систем, близких к интегрируемым |11|. Такая теория возмущений учитывает характерные черты нелинейной среды уже в основном приближении.
Одно из замечательных явлений, наблюдаемых в нелинейной физике - это соли-тоны, распределения и волны, которые представляют собой локализованные в пространстве решения нелинейных моделей. Солитонам соответствует дискретный спектр в данных рассеяния, вследствие чего оми обладают частицеподобными свойствами и играют в нелинейной физике такую же роль, какая отводится квазичастицам в линейной теории.
Точные решения интегрируемых уравнений (солитоны, кноидалыше волны, иистан-тоны) соответствуют существенно нелинейным возбуждениям в конденсированных средах, которые нельзя описать ни в каком конечном порядке линейной теории возмущений.
Позднее был предложен простой и эффективный метод построения солитонных решений [12J - преобразование Дарбу, который аналогично оператору рождения в квантовой механике преобразует N-солитоиное решение и0(х, t) в N+1-солитонное решение tii(x,t). В терминах метода обратной задачи рассеяния это преобразование добавляет собственное значение в спектр оператора и носит название «одевания» солИтоном. Преобразование Дарбу [13] использует решение t/> вспомогательной задачи (1):
щ =F{u0,xp).
Например, для уравнения sin-Гордон связь между "одетым" ui и не "одетым" ко решениями имеет вид
Щ = Щ -2ІІП—, (5)
где р — I I - некоторое решение системы (1) при и — щ. \Tfc/
В данной работе под термином „интегрируемость" будем понимать уравнения, которые имеют пару Лакса U-V в системе (1). С другой стороны, нахождение пары Лакса -нетривиальная, актуальная задача, решение которой содержит сложности даже для систем, полностью исследованных с точки зрения симметрийного подхода |14] (см. также [151).
Таким образом, одной из важных и актуальних задач физики нелинейных явлений и теоретической физики является нахождение новых интегрируемых моделей, ассоциированных с ними пар Лакса и преобразований Дарбу - Беклунда.
Для решения этой задачи за последние тридцать лет были предложены глубокие методы классификации интегрируемых уравнений, найдены конструктивные тесты проверки на интегрируемость нелинейных физических моделей. Все эти методы совершенно различны, и каждый из них имеет свои положительные и отрицательные стороны [16].
Широкий класс физически содержательных нелинейных моделей был построен перебором возможных представлений для операторов U[u] и V[u]1 |2]; однако этот подход требует некоторого анзатца для U-V пары.
Метод обобщенных симметрии, предложенный в работах J14], [17], [IS], [19j, позволил проклассифицировать и составить полные списки интегрируемых скалярных уравнении вида
dtu = F(u, дхи,..., д%и) и двухкомпонентных систем типа нелинейного уравнения Шредингсра
с:
div = J 0%v + F(v,dxv), J =
Тем не менее, симметрийный подход не даст представлений Лакса для найденных интегрируемых моделей.
Метод Уолквиста - Эстабрука |20] не позволяет регулярным образом строить новые интегрируемые системы, по для заданного нелинейного уравнения сводит задачу нахождения U-V пары к вопросу о конечномерном представлении алгебры операторов Каца-Муди.
С помощью теста Пенлепе часто удается проверить на интегрируемость имеющееся нелинейное уравнение, построить пару Лакса [21, 23) или найти широкие классы решений для уравнений, близких к интегрируемым [24, 25, 26]. Однако, этот метод требует большого искусства, поскольку успешность его применения зависит от формы записи уравнения, а порядок матриц U и V, даже если они существуют, заранее неизвестен.
Цель работы состояла в том, чтобы
развить методы регулярного построения интегрируемых моделей и ассоциированных с ними пар Лакса,
найти ранее не известные нелинейные интегрируемые системы,
изучить решения нелинейной системы, близкой к интегрируемой, которая описывает новые типы нелинейных структур в магнетиках.
В диссертационной работе предложен новый метод регулярного построения интегрируемых моделей и ассоциированных с ними пар Лакса. Метод позволяет построить
'Здесь и далее /[и] обозначает зависимость / от ноля и и его производных.
серию интегрируелтх уравнений на основе одного известного интегрируемого уравнения.
В главах 1-3 диссертации развиваются аналитические методы построения новых интегрируемых моделей. В главе 4 привлекаются численные методы для анализа существенно нелинейных структур в магнетиках.
Первая глава диссертации носит обзорный характер. В ней подробно изложены известные ранее методы построения интегрируемых уравнений и ассоциированных с ними пар Лакса. Продемонстрированы достоинства и недостатки существовавших к настоящему моменту методов их построения.
Во второй главе предложена новая схема размножения интегрируемых уравнений и продемонстрировано ее применение на примере уравнения Кортевега-де Фриза. Отправной точкой для процедуры служит некоторая нелинейная модель математической физики, которая имеет представление Лакса (1). Из нее строятся новые интегрируемые системы с той же линейной дисперсией, что и п исходной модели, но с другой нелинейностью. Алгоритм, на примере уравнения sin-Гордон, состоит в следующем.
* Исходное уравнение (2) представимо в виде условия совместности {tyx)t — ("Фі)х Д-"111
/ Єч \
О — I в системе (1). На первом шаге новая интегрируемая модель полу-
чается как условие совместности для поля u(x,t) в виде уравнении на функцию / — —iln^1. Прежде, нем выписать это уравнение, запишем систему уравнений для функции f{x,t) и покажем, как по решениям этой системы восстанавливать вектор-функцию 0.
Пусть существует решение ф системы (1). Тогда легко проверить, что функция / — — Пп^1 удовлетворяет системе уравнений2
/х = Asm/-
Л = -sin(u + /). (6)
Обратно, если система (С) совместна и f[x,t) - ее решение, то найдутся Фі{х,і)>0г(х>^)і удовлетворяющие системе (1). Для проверки этого утверждения, используя (6) и определение /, можно выписать равенства 1
П.
Ь-и (Фг\ Фи ,,02 *:„/.. п^
01 \Фі/ 02 01 Л Фі
2їА V 0і ї>г) 0і 2А \фх) 2А '
г3дссі> и далее нижние буквенные индексы обозначают частные производные
и аналогично
$2* (Фг\2^их ..Фг .,. . , ,Ф? A fifoV іих(ф2\2фх іихф2
Приравнивая коэффициенты при степенях ^, получаем систему (1). Таким образом, система (1) и система (6) имеют одно и то же условие совместности - уравнение
(2):
(Л)і = A/(Cos/-uT( = Ajsin(u + /)cos/ - uxt
t/()* = j(«r + Л) cas(u +/) = ^Asm/cos(u + /)
Далее будем систему (б) также называть парой Лакса уравнения sin-Гордоп, имея
шіиду, что
г) Условием совместности дли системы (6) является то же уравнение, что и для U-V
пары Лакса.
И) Линейную систему (1) можно восстановить по системе (6). Итак, па примере
sin-Гордоп модифицированное интегрируемое урашісние на функцию / как условие
совместности системы (6) для поля и имеет вид
(и)х = их => — (-/ + arcsinA/() = A sin/ - fx, откуда получаем модифицированное уравнение sin-Гордон (tnSG)
fzt = xmfy/l-\4?, (7)
где А - параметр уравнения.
Таким образом, из уравнения (2) для функции и получается повое нелинейное уравнение для функции /. Далее показывается, что оно интегрируемо - находится ас-социированая с ним пара Лакса.
На втором шаге для полученной модели (7) строится преобразование Беклупда, которое связывает различные решения этой модели.
Как видно из схемы на рис.1, преобразование Дарбу (5), связывающее некоторые два решения уравнения sin-Гордоп, индуцирует дифференциальную связь между решениями модифицированной системы. А именно, из второго уравнения системы (б) следует, что поля uq,U\ уравнения sin-Гордоп выражаются через поля /о,/і модифицированного уравнения sin-Гордон
и* = -/* + arcsin Xkfk,u (8)
где Ajt - соответствующие собственные знамения спектральной задами (1). Суметом этих подстановок и полагая /о = /, имеем из (о)
-/і,* + Ai sin /і = fo,x + A0 sin /o
-/i + arcsin Лі/1>( = /o + arcsinA0/o,(- (9)
Преобразование Миуры
u, = -f і + arcsin Af, #t
+-
Преобразование Миуры Uo = - f 0 + a res 1 n Л f0.,
fi .xt = sin Г, л/і -A,zf,.t2
(!) О
XI CD Ы
го to
X 5
fo.xt = sin f0 л/1 - Ao2 fo.t2
Рис. І: Преобразования Дарбу шідупируют преобразовании Бсклунда для модифициронаїпюй системы.
Дифференциальная связь типа (9) носит и теории интегрируемых систем название преобразований Бекдунда и часто позволяет получать "одетое" решение /; но не "одетому" /о и благодаря следующему свойству. Условие совместности системи (9) для поля /о - уравнение модифицированного sin-Гордон на поле /ь а условие совместности для поля /і - то же уравнение на поле /о.
На третьем шаге путем подходящей замены вводится нопые вспомогательные поля, так чтобы преобразование Бсклунда трансформировалось в представление Лакса, но уже для вновь построенной, модифицированной интегрируемой модели. Например, для преобразований Беклупда (9) таким полем является
Л = /о + /і, (Ю)
производную от которого нетрудно выделить в первом уравнении системы (9). Производя замену /i = h — /о в системе (9), получаем пару Лакса в виде системы
hx = — Aosin/o + Ai sin(/( — /о)
Л( = /o,t+ — sin{arcsin(A0/o,t) + h). (11)
Здесь Aq - параметр модифицированного уравнения, a Ai имеет смысл спектрального параметра в паре Лакса. Чтобы привести систему (11) к линейному виду, можно сделать подстановку h = —і In ^-. Тогда равенство {10) позволяет строить N-солитонные решения модифицированного уравнения (7).
Во второй главе также показано, что исходное и построенное интегрируемые уравнения связаны некоторым дифференциальным оператором, Для уравнения КдФ (3), на примере которого проиллюстрирована схема, связь между двумя нелинейными уравнениями соответствует преобразованию Миуры [4]. Для приведенного выше примера уравнения sin-Гордон (SG) эта связь выражается соотношением
SG[u = -/ + arcsin (A/,)] = M[f\ mSG[/],
где M[f\ - оператор, сопряженный производной Фрсшс от замены (8): M[f] = ^Ml _
Далее изложенную процедуру можно повторить, и она приводит к „размножению" интегрируемых моделей и связанных с ними U-V нар. Кроме серии уравнений типа КдФ {раздел 2.2), в этой главе найдена последовательность интегрируемых моделей, снязапных с уравнением sin-Гордон (2) (раздел 2.3). Одна из них - дважды модифицированное уравнение sin-Гордон
vxt = sn(v, к) \J\ - vj i/l — vf,
{где к - произвольный параметр модели) - получена впервые.
Если продолжить аналогию между операторами рождения в квантовой механике и преобразованиями Дарбу типа (5), "одевающими" решение уравнения солитоном, то переход к модифицированному уравнению аналогичен изменению зонной структуры квантовой системы вследствие включения некоторого взаимодействия. Причем наша процедура позволяет рекуррентным образом построить "одевающие" преобразования для модифицированной системы (см.рис.2).
В третьей главе диссертации процедура „размножения" обобщается на двухком-понептпые нелинейные системы па примере уравнений Каупа-Буссинсска и Додда-Буллафа. Рассмотрены серии интегрируемых моделей (раздел 3.1), связанных с уравнениями Каупа-Буссинеска
{
Vt=dz(vv-42VzX)
*=*(*+*) ' {)
где ?), v - поля системы, имеющие смысл отклонения жидкости от равновесного уровня в узком глубоком канале и ее скорость соответственно, а у - параметр системы [6|.
У
Рис. 2: Преобразования Дарбу переносится на модифнциропашюс уравнение
Для днухкомпонс-птных систем выделены следующие особенности применения схемы размножения интегрируемых ypatmenuu.
На первом шаге можно исключить из пары Лакса только одно из полей - v или 7). Получающиеся таким образом системы содержат поля v и р = ~~ или, соответ-
ственно, г/ и р = ^71 '"Де 0 - поле пары Лакса
(13)
ассоциированной с уравнением Каупа-Буссинсека (12). Нетрудно показать, что получающиеся таким образом системы связаны обратимыми дифференциальными подстановками. Эти связи после N-кратпого применения процедуры размножения позволяют построить обратимые дифференциальные подстановки N-ro порядка для всех уравнений одного уровня (см. схему 3.1 в главе 3).
На втором шаге при построении преобразований Беклунда для модифицированных систем необходимо использовать вспомогательные функции пары Лакса с двумя различными параметрами А - At и А2.
Другая модель, рассмотренная в третьей главе - система Додда-Буллафа (раздел 3.2) замыкание двумерной цепочки Тоды
Посредством применения процедуры размножения получена ранее неизвестная интегрируемая система
«..х, = д^х: (^::;;:^ (о - <>,„) (а - ^ - йизг* А)
«2ді = jx; [С^хГЛ (9 + aaj) (ft + о») - g^ff ft) ,
где Аі,Аг - произвольные параметры системы, а j, ft обозначают алгебраические выражения - корни уравнений
9(9- Qi,x) (9 + 0.2,*) = ( А2е-'-"г ~Х1)(Х2е« - АО ( А2еп* - А,),
ft(/i-Qi,() (ft + Q2|t) = -(Af1e-Q,-QJ-A21) (Af'c01 -А^1) {Af1e03-A21).
соответственно.
В четвертой главе диссертации для ассоциированной с моделью sin-Гордон дискретной системы (одевающей цепочки) численно исследованы новые типы решений. В методе обратной задачи рассеяния этим решениям соответствует бесконечное число дискретных собственных значений. Такой спектр приводит к слабому - медленнее экспоненциального - спаданию потенциала на бесконечности.
Кроме того, в четвертой главе проанализированы новые существенно нелинейные решения в модели магнетика, близкой к интегрируемой -„мишени" из кольцевых доменов. Среди уравнений математической физики, интегрируемых методом обратной задачи рассеянии, одним из наиболее интересных и содержательных является одномерное (двумерное изотропного) уравнение Лапдау-Лифшица, которое представляет хорошую модель для одномерного (двумерного без учета анизотропии) магнетика. Тем не менее, к настоящему времени методом одевания не удалось получить ряд решений этой модели; в том числе наблюдающиеся n 2D магнетиках квазистационарные структуры типа наборов кольцевых доменов - магнитных "мишеней". Поэтому мы использовали другие методы, основанные на анализе решений на фазовой плоскости, для анализа возможных решений двумерного уравнения Ландау-Лифшица (учитывалось влияние одноосной анизотропии на уравнение магнетика в обменном приближении)
Л? х (я - аДЛ? - 0(r)n(nA?))l = О,
где Л/ - распределение намагниченности в плоскости {х, у} = {rcos^rsint^}, г - расстояние до центра мишени, а - параметр обменного взаимодействия, а /3 - параметр одноосной анизотропии. В четвертой главе найдены условия зависимости параметра анизотропии /? от расстояния до центра мишени г, при которых могут существовать стационарные структуры типа «мишеней»; приведены примеры функций Д(г), для которых численными методами найдены распределения намагниченности Л/(г,<р).
Таким образом, решение рассмотренных в диссертации задач представляется весьма актуальным, как в силу важности объектов исследования, так и ввиду перспективности теоретических методов.
Научная новизна диссертации определяется следующими положениями
Впервые предложена процедура построения не только серий интегрируемых моделей, но и ассоциированных с ними пар Лакса.
Найдены новые нелинейные интегрируемые системы и связанные с ними преобразования Беклунда.
Для модифицированной модели sin-Гордон найден новый тип 2л"-кипка, представляющий „связанное" состояние из двух 7Г-кннков. Для дискретной цепочки, связанной с моделью sin-Гордон, найдены новые решения, которые отвечают бесконечному дискретному спектру в терминах метода обратной задачи рассеяния.
Численными и аналитическими методами исследованы существенно нелинейные структуры типа магнитных вихрей и „мишеней" из кольцевых доменов и магнетиках.
Научная и практическая ценность. Развитый в работе метод размножения нелинейных уравнений позволил дополнить списки ранее известных интегрируемых моделей. В отличие от других методов, он также даст представление Лакса для получаемых уравнений. Это открывает перспективу применения метода обратной задачи рассеяния для новых нелинейных уравнений. Поскольку интегрируемые уравнения, как правило, универсальны, они могут найти практическое применение при анализе нелинейных явлений и процессов в разных областях физики конденсированного состояния. Отличительная черта моделей, построенных впервые - наличие специфических нелинейных членов, которые содержат высшие градиенты и „неустранимые" радикалы. Такие интегрируемые уравнения ранее не поддавались классификации. По-видимому, они описывают новые физические объекты.
Найденные в работе решения типа „мишеней" из кольцевых доменов могут быть использованы для интерпретации экспериментально наблюдаемых квазистатических структур в магнитных пленках.
На защиту выносятся
метод „размножения" нелинейных интегрируемых уравнений,
новые интегрируемые модели: „дважды модифицированные" уравнение sin-Гордон и система Додда-Буллафа,
новые тины решений в модели Ландау-Лифшица - статические „мишени" из кольцевых домен он.
Достоверность и обоснованность полученных результатов подтверждается их сон-падением с ранее известными [27], когда они имеются. В частности, для уравнения Кортсиега - де Фриза процедура размножения интегрируемых уравнений приводит к модифицированному уравнению Кортевега - де Фриза. Повторное применение процедуры приводит к экспоненциальному уравнению Калоджеро - Дегаспериса, а следующее - к эллиптическому уравнению Калоджеро. В этом и других примерах для реализации громоздких аналитических вычислений были использованы программы компьютерной алгебры, результаты работы которых контролировались известными примерами интегрируемых систем и их решений.
Достоверность численных расчетов подтверждается аналитическими результатами, полученными в работе для тех же решений. В частности, при построении решений, описывающих распределения намагниченности, использовался метод анализа на фазовой плоскости соответствующей механической задачи (математического маятника).
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [28, 29, 30, 31, 32] и докладывались па международном семинаре „Day on Diffraction" (С.Петербург, 1997), Зимней школе физиков-теоретиков „Коуровка" (Кыштым - 1998 и 2000, Купгур - 2002), Второй международной конференции „Nonlinear models in mathematical physics" (Челябинск, 1998), Международной конференции „Nonlinear science festival" (Copenhagen, 1998), Тринадцатом симпозиуме по нелинейным явлениям „Nonlinear Evolutional Equations and Dynamical Systems" (Creet, 1999), Первом евро-азиатском симпозиуме „Прогресс в магнетизме" (Екатеринбург, 2001) и др.
Метод Копал опекой - Пен лене - Вейса как метод проверки интегрируемости
В четвертой главе диссертации для ассоциированной с моделью sin-Гордон дискретной системы (одевающей цепочки) численно исследованы новые типы решений. В методе обратной задачи рассеяния этим решениям соответствует бесконечное число дискретных собственных значений. Такой спектр приводит к слабому - медленнее экспоненциального - спаданию потенциала на бесконечности.
Кроме того, в четвертой главе проанализированы новые существенно нелинейные решения в модели магнетика, близкой к интегрируемой -„мишени" из кольцевых доменов. Среди уравнений математической физики, интегрируемых методом обратной задачи рассеянии, одним из наиболее интересных и содержательных является одномерное (двумерное изотропного) уравнение Лапдау-Лифшица, которое представляет хорошую модель для одномерного (двумерного без учета анизотропии) магнетика. Тем не менее, к настоящему времени методом одевания не удалось получить ряд решений этой модели; в том числе наблюдающиеся n 2D магнетиках квазистационарные структуры типа наборов кольцевых доменов - магнитных "мишеней". Поэтому мы использовали другие методы, основанные на анализе решений на фазовой плоскости, для анализа возможных решений двумерного уравнения Ландау-Лифшица (учитывалось влияние одноосной анизотропии на уравнение магнетика в обменном приближении) где Л/ - распределение намагниченности в плоскости {х, у} = {rcos rsint }, г - расстояние до центра мишени, а - параметр обменного взаимодействия, а /3 - параметр одноосной анизотропии. В четвертой главе найдены условия зависимости параметра анизотропии /? от расстояния до центра мишени г, при которых могут существовать стационарные структуры типа «мишеней»; приведены примеры функций Д(г), для которых численными методами найдены распределения намагниченности Л/(г, р). Таким образом, решение рассмотренных в диссертации задач представляется весьма актуальным, как в силу важности объектов исследования, так и ввиду перспективности теоретических методов.
Научная новизна диссертации определяется следующими положениями 1. Впервые предложена процедура построения не только серий интегрируемых моделей, но и ассоциированных с ними пар Лакса. 2. Найдены новые нелинейные интегрируемые системы и связанные с ними преобразования Беклунда. 3. Для модифицированной модели sin-Гордон найден новый тип 2л"-кипка, представляющий „связанное" состояние из двух 7Г-кннков. Для дискретной цепочки, связанной с моделью sin-Гордон, найдены новые решения, которые отвечают бесконечному дискретному спектру в терминах метода обратной задачи рассеяния. 4. Численными и аналитическими методами исследованы существенно нелинейные структуры типа магнитных вихрей и „мишеней" из кольцевых доменов и магнетиках. Научная и практическая ценность. Развитый в работе метод размножения нелинейных уравнений позволил дополнить списки ранее известных интегрируемых моделей. В отличие от других методов, он также даст представление Лакса для получаемых уравнений. Это открывает перспективу применения метода обратной задачи рассеяния для новых нелинейных уравнений. Поскольку интегрируемые уравнения, как правило, универсальны, они могут найти практическое применение при анализе нелинейных явлений и процессов в разных областях физики конденсированного состояния. Отличительная черта моделей, построенных впервые - наличие специфических нелинейных членов, которые содержат высшие градиенты и „неустранимые" радикалы. Такие интегрируемые уравнения ранее не поддавались классификации. По-видимому, они описывают новые физические объекты. Найденные в работе решения типа „мишеней" из кольцевых доменов могут быть использованы для интерпретации экспериментально наблюдаемых квазистатических структур в магнитных пленках. На защиту выносятся метод „размножения" нелинейных интегрируемых уравнений, новые интегрируемые модели: „дважды модифицированные" уравнение sin-Гордон и система Додда-Буллафа, новые тины решений в модели Ландау-Лифшица - статические „мишени" из кольцевых домен он. Достоверность и обоснованность полученных результатов подтверждается их сон-падением с ранее известными [27], когда они имеются. В частности, для уравнения Кортсиега - де Фриза процедура размножения интегрируемых уравнений приводит к модифицированному уравнению Кортевега - де Фриза. Повторное применение процедуры приводит к экспоненциальному уравнению Калоджеро - Дегаспериса, а следующее - к эллиптическому уравнению Калоджеро. В этом и других примерах для реализации громоздких аналитических вычислений были использованы программы компьютерной алгебры, результаты работы которых контролировались известными примерами интегрируемых систем и их решений.
Достоверность численных расчетов подтверждается аналитическими результатами, полученными в работе для тех же решений. В частности, при построении решений, описывающих распределения намагниченности, использовался метод анализа на фазовой плоскости соответствующей механической задачи (математического маятника).
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [28, 29, 30, 31, 32] и докладывались па международном семинаре „Day on Diffraction" (С.Петербург, 1997), Зимней школе физиков-теоретиков „Коуровка" (Кыштым - 1998 и 2000, Купгур - 2002), Второй международной конференции „Nonlinear models in mathematical physics" (Челябинск, 1998), Международной конференции „Nonlinear science festival" (Copenhagen, 1998), Тринадцатом симпозиуме по нелинейным явлениям „Nonlinear Evolutional Equations and Dynamical Systems" (Creet, 1999), Первом евро-азиатском симпозиуме „Прогресс в магнетизме" (Екатеринбург, 2001) и др.
Преобразования Дарбу и одевающие цепочки, метод факторизации и квантовой механике
Классификация интегрируемых гамильтоновых моделей ]36 основана на понятии г— матрицы, которая определяется решением функционального уравнения Янга - Бакстера и допускает эффективное квантовое обобщение. Метод Захарова - Шульмана [1], [37] показывает, что существование бесконечного числа интегралов движения связано со свойствами коэффициентов Фурье разложения гамильтониана по нормальным модам линейной системы на резонансной поверхности и даёт эффективный способ определения существования дополнительных (помимо классических) интегралов движения.
Простой и математически строгий тест определения класса интегрируемых уравнений, основывающийся на необходимости существования высших симметрии, был предложен в работах [14]. Этот метод позволяет получить полные списки интегрируемых уравнений сравнительно простого вида.
Метод одевания оказывается не только эффективным при построении точных решений с помощью матричной задачи Римана, но и приводит к широкому классу нелинейных моделей. Необходимыми ингредиентами метода является или линейное дифференциальное уравнение, или переопределенная система линейных дифференциальных уравнений с общей зависимостью от спектрального параметра. Наконец, и последнее время для проверки конкретной нелинейной классической системы активно используется тест Пенлеве. Предполагается, что нелинейная система интегрируема, если её решение lt{!?, t) допускает разложение в ряд Лорана в окрестности многообразия особенностей Ф ("г , t) — 0. Этот метод естественно приводит к преобразованию Беклуида, представлению Хироты и переопределенной системе дифференциальных уравнений (паре Лакса) для вспомогательных функций, которые выражаются в терминах Ф (7 , t) [22], [25].
Наиболее интересные с физической точки зрения солитонные и конечнозонные решения интегрируемых систем тесно связаны со спектральными свойствами соответствующих операторов Лакса: в их спектре имеется конечное число дискретных собственных значений или конечное число запрещенных зон.
Для каждого из определений интегрируемости соответствующие методы с той или иной степенью эффективности определяют, „интегрируемо" ли данное уравнение или пет, или даже, как метод Пенлеве, его „степень интегрируемости". Рассмотрим подробнее этот метод.
Одним из современных и простых в применении методов и, по-видимому, одним из наиболее интенсивно развивающихся, является так называемый тест Псплеве. Этот метод берет начало с задачи об интегрируемых случаях вращения твердого тела. В работах С.Ковалевской в качестве теста на интегрируемость (обыкновенных дифференциальных уравнений) было предложено считать уравнение интегрируемым, если его общее решение не имеет подвижных критических особых точек, т.е. все особые точки любого решения, положение которых зависит от констант интегрирования, являются полюсами . Для определения этим методом интегрируемости обыкновенного дифференциального уравнения нужно представить его общее решение в виде ряда Лорана Подстановка ряда Лорана в уравнение должна позволить рекуррентно получить зависимость коэффициентов ип от произвольных констант - констант интегрирования уравнения, число которых должно равняться порядку уравнения. Если рекуррентные вычисления приводят к противоречию или число произвольных констант меньше порядка уравнения, то уравнение не интегрируемо, поскольку в этом случае не всякое его решение может быть представлено разложением (1.38). Впоследствии Пенлсве [38] и Шази (СЬаяу) [39] были получены этим методом и проклассифицированы все интегрируемые уравнения пторого порядка (шесть ранее неизвестных уравнений были названы именем Пей леве). В 1977г. было предложено [2] считать уравнение в частных производных интегрируемым, если всякая его редукция по размерности (редукции независимых переменных) приводит к интегрируемому обыкновенному дифференциальному уравнению. Эта идея была практически реализована Всйсом и проверена на ряде примеров в 1982-1983г. в работах [781,(21 [. Рассмотрим более подробно метод Вейса [21] на примере уравнения КдФ (3). Важную роль в методе Вейса играет многообразие Ф(х,() = 0, па котором решение u{x,t) сингулярно. Для того, чтобы можно было по этому многообразию построить решение уравнения, необходимо, чтобы ни Фх, ни Ф( не обращались в пуль на множестве Ф = 0. Случай подвижных точек ветвления Сыл рассмотрен А.Пуанкаре (18Э0) м Бюро (1039) Аналогично представлению решений обыкновенных дифференциальных уравнений в виде рядов Лорана представим поле КдФ в виде Ведущий порядок —г, который должен быть равен целому числу, и младший коэффициент и-т определяются подстановкой в уравнение первого члена разложения и = ц-г(-і і)/Ф[х,і)г. Как правило, раывенство нулю коэффициентов перед с наибольшими степенями 1/Ф соответствует равновесию между дисперсией высшего порядка и нелинейными слагаемыми уравнения наибольшей степени. Так в рассматриваемом примере КдФ слагаемые 6ихи и иххх дают соответственно 6rulr fe+i и г(г + l)(r + 2)и_г з, откуда сразу получаем г = 2 и младший коэффициент и_2 = — 2ФХ2. В следующем (в данном примере - 4-м) порядке определяется следующее иоле и-г+\ Таким образом рекуррентные вычисления позволяют (формально построить решение уравнения КдФ в виде разложения по „многообразию особенностей" Ф, рекуррентно разрешая линейные по щ[х ) уравнения, возникающие при коэффициенте Фк 3 (здесь 3 - порядок линейной дисперсии уравнения КдФ): где St - функции от уже найденных коэффициентов. Однако при этом (формальном) построении может проявиться несогласование решения в виде формального ряда Лорана (1.39) и начальных данных задачи, проявляющееся следующим образом.
Новые интегрируемые системы уравнений как замыкания модифицированных 2D цепочек Тоды
В предыдущей главе была предложена прямая процедура размиооїсемія интегрируемых уравнений. На примерах уравнений sin-Гордона и КдФ было продемонстрировано действие схемы , Это позволило построить попую интегрируемую систему и ее U — К-пару из известной U — V-нары и одевающей цепочки (дискретной симметрии). Дифференциальные уравнения и частных производных, полученные с помощью схемы размножения снизаны некоторым дифференциальным оператором Л/„: где ,,(() обозначают дифференциально-разностное урашіенис "„(«„) = 0.
В этой главе схема размножении интегрируемых уравнений применена к системам Каупа-Буссинеска и Додда-Буллафа. Уравнение Каупа-Буссинеска использовалось впервые Каупом в работе [6] для теоретического исследования динамики нелинейных волн на поверхности жидкости в узком глубоком канале. В той же работе было показано, что метод обратной задачи рассеяния может быть применен к рассматриваемому уравнению, записанному в виде системы (для полей горизонтальной составляющей скорости на поверхности жидкости и величины отклонения поверхности от равновесного состояния).
В первом параграфе будет построена серия модифицированных систем Каупа-Буссинеска и ассоциированные с ними пары Лакса. На этом примере показаны особенности применения процедуры размножения к интегрируемым системам уравнений - уравнение Каупа-Буссинеска представляет пример систем, в которых число независимых полей преносходит число вспомогательных нолей в ассоциированной спектральной задаче. Кроме того, исследуется трансформация гамильтоновых структур системы Каупа-Буссинеска под действием преобразований Миуры, связывающих модифицированные уравнения.
Во втором параграфе рассмотрена другая - двумерная - система Додда-Буллафа. Эта система может быть получена, как редукция двумерной решетки Тоды [1С]. Другими известными интегрируемыми уравнениями, связанными с решеткой Тоды являются уравнение sin-Гордон, рассмотренное в первой главе, уравнение Цицейки [47] и система Годо [48]. Поэтому в начале второго параграфа процедура размножения применена к незамкнутой цепочке Тоды, а затем модифицированные системы Додда-Буллафа и их U — V-пары получены, как замыкания модифицированных цепочек Тоды.
В последнем, третьем параграфе, получено модифицированное уравнение Цицейки. Это уравнение, возникшее впервые в теории поверхностей, представляет для пас интерес, как более сильная редакция решетки Тоды: в противоположность к примеру, рассмотренному и первом параграфе, чисто независимых вспомогательных полей в спектральной задаче для уравнения Цицейки больше числа независимых полей уравнения.
Схема размножения [30J дает прямой путь для построения U — V- пар получаемых интегрируемых систем. Многие из модифицированных уравнений Каупа-Буссинеска были ранее исследованы [14], но регулярного метода построения пар Лакса вместе с ними не было известно.
Уравнения получаемые нами из замыканий цепочек Тоды -системы Додда-Буллафа и уравнения Цицейки - получены впервые процедурой размножения. Цель этого параграфа состоит в том, чтобы продемонстрировать возможность и особенности применения схемы размножения к системам интегрируемых уравнений на примере системы Каупа-Буссинеска (КБ). Будет показано, что из каждой интегрируемой системы при применении процедуры размножения получается целый класс интегрируемых систем, связанных обратимыми дифференциальными подстановками. Уравнение КБ для глубокой воды [6] имеет вид где Ф - гидродинамический потенциал скоростей и 7 - постоянная. Это уравпение можно представить как систему двух эволюционных уравнений для полей v = Фх,г} = Ф( — Ф Уравнения (3.2) можно представить как условие совместимости для матриц UQ И U\ где Л - спектральный параметр. Метод обратной задачи рассеяния можно примпенить к системе Каупа-Буссинеска (3.2), используя это представление [6]. Прежде, чем получать следующее интегрируемое уравнение, построим преобразования Дарбу (одевающего преобразования) для нары Лакса (3.3) в следующей форме: где матрица ТУ удовлетворяет уравнению и матрицы Up зависят от „новых" полей 0 = U v — и, ц — fj). Ясно, что det И7 является независимым от (х, t), так как tr Ufi = 0. Мы предполагаем, что IV - матричный многочлен от А" второго порядка, det И7 — {к — кг)(к — Аг) и ищем матриц} Дарбу в форме Уравнения для / = Ф, (г = 1,2) совпадают с (З.П), (3.12) после замены v на и, ц -на У} и pi - на р,-. Легко показать, что уравнения для полей ф2І"Фі \к=кі совпадают с (3.11) и (3.12). Ниже мы представим пару Лакса для модифицированных уравнений ц форме Риккатн, Подставляя (3.8) и (3.7) мы можем найти матрицы А, \\\ и преобразование Дарбу v,T) полей в форме:
Вихри и магнитные структуры типа „мишени" в двумерном ферромагнетике с неоднородным параметром анизотропии
В разделе 3.2 (см. также [103]) была описана подобная процедура для оператора третьего порядка, который ассоциирован с системой Додда-Буллафа. Редукция этой системы, приводящая к уравнению Цицейки, не может быть наложена на рассмотренные в том же разделе преобразования Дарбу: симметрия и„ -» ип+і вырождается при этой редукции. Поэтому мы использовали преобразование Мутара в форме Обобщением метода факторизации является метод одевающих цепочек, который позволяет получать не только потенциалы с бесконечным числом связанных состояний [ 15], которые не укладываются в рамки традиционные схемы обратной задачи рассеяния, но и исследовать классы солитоипых решений с нетривиальным асимптотическим поведением на бесконечности. В работе [28] предложена процедура размножения интегрируемых уравнений, которая с помощью преобразований Дарбу и метода одевающих цепочек была позволяет по известному интегрируемому уравнению и его U — F-nape получить не только повое интегрируемое уравнение, ло и U — V-napy, ассоциируемую с ним.
В этой работе мы применяем процедуру размножения [28] к уравнению Цицейки с произвольным параметром т для веществе иного поля в(х, t). Многочисленные приложения этого уравнения в различных областях математики и физики, его были суммированы в недавней работе [25] и здесь мы упомянем некоторые из них. Уравнение (3.54) было первоначально найдено в геометрии Г. Цицейкой в 1907 году [47], который исследовал поверхности, где общая кривизна пропорциональна четвертой степени расстояния от фиксироиапіюй точки в касательной плоскости. Оно появляется также в одномерной газовой динамике, когда уравнение Эйлера редуцируется к уравнению (1) при определенном уравнении состояния. Кроме того, уравнение Цицейки является редукцией двумерной решетки Тоды, уравнений Хнроты-Сатцумы и нелинейной SL(3, Я)-модели. Уравнение (1) было псрсоткрыто в теории солитонов в конце семидесятых годов. Додд и Буллаф [49] исследовали уравнения типа которые допускают бесконечный набор интегралов движения. Они показали, что с точностью до точечных преобразований функция f(u) может быть равной и (уравнение Даламбсра), ехри (Лиувилль), sin и (синус-Гордон) и exp(2u) + ехр(—и) (Цицсйка). Эти и более полные результаты были независимо получены Жибером и Шабатом 51], которые предъявили в явном виде высшие симметрии этих уравнений. U — V-napa Лакса для уравнения Цицсйки была найдена Михайловым [52].
Далее, в подразделе 2 предъявлена процедура одевания дли уравнения Цицсйки н найдено преобразование Дарбу, связывающее два решения (и и v) уравнения Цицейки. Оно зависит от двух полей а и 7) удовлетворяющих уравнениям тина Риккати с коэффициентами, зависящими от поля v и его производных. Показано, что уравнения одевания наиболее просты п терминах полей, определяющих проекционную матрицу в методе одевания (1). Кроме того мы показываем, что преобразование Мутара для спектральной задачи второго порядка, связанной с уравнениями Цицейки, следует из композиции преобразований Дарбу в методе одевания. В конце раздела мы получаем для уравнения Цицейки преобразования Бэклупда в удобной для пас ниде. Процедура получения модифицированного уравнения Цицсйки описана в подразделе 3. Исключая ноле v и вспомогательное поле 7 из уравнения одевания мы получаем модифицированное урап-непи Цицсйки для полей и (см. уравнение (3.89)) и находим преобразование Миуры (см. (3.92)), связывающее поля и и и. В конце параграфа мы обсуждаем преобразования Беклунда для модифицированного уравнения.
В этом параграфе мы представим последовательное одевание уравнений Цицейки, которое позволит, в частности, по известному частному решению этого уравнения получить новый класс точных решений. Для удобства запишем уравнение Цицсйки в переменных v = схр( — в):
С уравнением (3.55) .ассоциированы две 3x3 матричные спектральные задачи [50] для трехмерного вектора Ф: (С - спектральный параметр) условие совместности которых Ф1( = Ф(т эквивалентно уравнению (3.55). При известном частном решении v определим "новое"решение v уравнения Цицсйки и вспомогательное поле Ф, удовлетворяющее системе уравнении где матрицы О, V зависят от полей Ф. В случае, когда поля ФиФ связаны линейным преобразованием Ф = ТФ, матрица Г удовлетворяет линейным дифференциальным уравнениям Для оператора Шрсдингера, ассоциированного с уравнением Кортсвега де Фриза, такое преобразование называется преобразованием Дарбу. Аналогичные преобразования, включающие преобразования полей нелинейных интегрируемых уравнений и вспомогательных нолей, ассоциированных с этими уравнениями вспомогательных спектральных задач, найдены рядом исследователей для многих интегрируемых уравнений (см. например монографию [12)). Однако в общем случае нахождение таких преобразований для интегрируемых уравнений затруднено. В этой работе для нахождения матрицы Т мы используем метод "одевания"(1), который позволяет по заданному, в явном виде, частному решению интегрируемых уравнений получить новое решение {"поместить"солитоп па частное решение). Здесь мы не конкретизируем явный вид полей и с помощью матричной задачи Римана с пулями находим матрицу Т. Согласно этому методу мы ищем решение для Т в виде мероморфпой матричной функции и для простоты мы рассмотрим полиномиальное ее представление. Прямыми вычислениями можно показать при одевании простейшего v — 1 решения уравнения (3.55) (при т — 1) до солитона v = 1 т г матрица Т является полиномом второго порядка по спектраль ному параметру. Тем не менее непосредственные вычисления показывают, такой вид матрицы не удовлетворяет уравнению (3.61) для произвольных полей v и v.
