Введение к работе
Актуальность темы.
Развитие теории уравнений математической физики, приемов и методов построения их решений, анализа свойств известных решений насчитывает богатую историю: отправляясь от законов динамики Ньютона, включая теорию статических электрических полей, развитую Максвеллом до теории электромагнитного поля, а также теорию теплопроводности, развитую в трудах Фурье, а затем доведенную в работах Планка, Фоккера, А.Н. Колмогорова до теории стохастической диффузии и, наконец, уравнение Шредингера в квантовой механике (появление формализма Гейзенберга, вторичного квантования по Фоку) -вот далеко не полный перечень этапов этой истории.
Бурный прогресс наукоемких высоких технологий последней четверти ХХ-го столетия, обусловленный указанным выше развитием, настоятельно требует разработки на первый взгляд противоречивых направлений:
повышение производительности и миниатюризация информационных технологий требуют рассмотрения быстрых (на сегодня порядка 10"13 — 10"15 сек) переходных процессов и разреженных ансамблей частиц (порядка 10й - 1013 электронов);
наряду с этим задачи макроэкологии, космологии требуют прогнозов антропоморфных процессов на периодах от 1 до 106 лет и выше.
Таким образом, обнаруживается необходимость предъявления новых решений уравнений математической физики, позволяющих описывать и предсказывать феномены в указанных выше проблемах.
Существует порядка десяти основных уравнений математической физики, описывающих с принципиальной точки зрения все известные на сегодня физические процессы. Наряду с этим существует практически необозримое количество публикаций, посвященных построению и исследованию их решений, а также описанию экспериментальных данных на их основе. В этом списке уравнений основных уравнений особое место занимают нелинейные гидродинамические уравнения Эйлера и Навье -Стокса, кинетические уравнения Больцмана, уравнение Колмогорова -Петровского - Пискунова и др.
В настоящей работе предлагаются подходы к построению решений
уравнений математической физики, а также к исследованию устойчивости их решений, основанные на погружении пространства состояний описываемого физического объекта (конфигурационного пространства) в бесконечномерную группу Ли. В качестве ключевого метода исследования уравнений предлагается использовать дифференциально-геометрические инварианты бесконечномерных групп Ли, а также их структурно-алгебраические свойства. В ряде случаев приходится прибегать к теории линейных представлений полупростых групп Ли, спектральной теории линейных операторов, теории G-структур.
Цель работы.
Исследование структурно-геометрических свойств бесконечномерных групп Ли и получение на этой основе значимых результатов в теории нелинейных уравнений математической физики. Использование групп Ли для реализации конфигурационных пространств изучаемых динамических систем.
Изучение структурно-геометрических свойств бесконечномерных групп Ли, представляющих конфигурационные пространства физических задач. Введение римановых метрик на получающихся бесконечномерных многообразиях так, чтобы решения уравнений математической физики были геодезическими этих метрик, т.е. геометрическая интерпретация классических уравнений математической физики. Вычисление тензоров кривизны и связанных с ними геометрических инвариантов (например, кривизны Риччи) полученных бесконечномерных римановых многообразий. Анализ поведения решений уравнений математической физики в терминах геометрических инвариантов : устойчивость решений эволюционных уравнений, численные оценки величин нарастания ошибок в начальных условиях по мере эволюции состояния физической системы, существование глобальных решений (в частности, для уравнений несжимаемой жидкости).
Структура и объем диссертации.
