Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Коммутаторные свойства полной линейной группы над телом 10
1.1. Случай тела вещественных кватернионов... 10
1.2. Пример тела со специальным свойством множества коммутаторов 18
1.3. Коммутаторная длина полной линейной груп пы над телом 25
ГЛАВА II. Коммутаторные свойства груш шевалле над полем 34
2.1. Коммутаторные свойства группы Н 34
2.2. О группах Вейля классических типов 41
2.3. Доказательство основной теоремы о комму таторной длине групп Шевалле над бесконечным полем 66
Литература
- Пример тела со специальным свойством множества коммутаторов
- Коммутаторная длина полной линейной груп пы над телом
- О группах Вейля классических типов
- Доказательство основной теоремы о комму таторной длине групп Шевалле над бесконечным полем
Введение к работе
Основным содержанием настоящей работы является исследование коммутаторных свойств некоторых классов линейных групп.
Пусть G - группа с коммутантом G . Хорошо известно, что в общем случае не всякий элемент из О является коммутатором в О , Примеры такого сорта существуют как для конечных групп, так и для бесконечных. Поэтому естественным образом возникает задача об исследовании коммутаторной длины для G , т.е. требуется определять минимальное число коммутаторов, необходи -мых для представления произвольного элемента из С в виде произведения коммутаторов из G . Если такое число существует, то, следуя работе [25] , мы будем обозначать егоЯ(З), Если группа совершенна, т.в.в-Є , то мы просто говорим о коммутаторной длине G
Не вызывает сомнений то обстоятельство, что для произволь -ной группы (з вопрос о существовании и точном вычислении^С6) является малореальной задачей. Неудивительно поэтому, что результаты в этом направлении относятся в первую очередь к определен -ным классам групп.
Прежде всего отметим, что наибольшее количество работ по коммутаторной длине имеет отношение либо к случаю конечных групп, либо к тем группам, коммутант которых обладает специфи -ческим свойствам: конечен, цикличен и т.д. Обзоры результа -тов, полученных в этом направлении, содержатся в [23] , [25], [28]. Несмотря на то, что конечное число возможностей упрощает до некоторой степени задачу вычисления коммутаторной длины, тем не менее в каждом конкретном случае приходится сталкиваться с немалыми трудностями. Для конечных групп исследование коммута - торной длины облегчается в определенном смысле тем обстоятельством, что для них существуют критерии представимости произ -вольного элемента группы в виде произведения любого заданного числа коммутаторов. Эти критерии формулируются в терминах теории характеров (см. [21], [22], [26]).
При переходе к бесконечным группам совершенно ясно, что в общем случае подобных критериев представимости быть не гложет и поневоле приходится конкретизировать исследование коммутатор -ной длины, рассматривая определенные классы групп. Одним из важнейших классов является класс линейных групп. Интерес к указанной тематике здесь связан с более глубоким изучением алге -браических групп с абстрактно-групповой точки зрения. Исследование коммутаторной длины линейных групп начато еще в конце ПХ века. Вскоре были получены первые результаты о простых линейных группах над конечными полями. Затем в ряде случаев удалось установить коммутаторную длину для некоторых симплектиче-ских, ортогональных и проективных групп (см. [27], [32] , [37]). Гото в работе [24] показал, что в связной полупростой компактной группе Ли всякий элемент есть коммутатор. Далее, если G -связная полупростая комплексная группа Ли, то X(.G)~1 (см. [31]). Томпсон в работе [36] вычисляет точное значение комму -таторной длины полной и специальной линейных групп над произ -вольным полем. Наконец, наиболее общим результатом в этом ряду, по-видимому, следует признать утверждение, доказанное Ри: если G - связная полупростая алгебраическая группа, определенная над алгебраически замкнутым полем, то X{G)~i (см. [33] ). При переходе к группам над незамкнутыми полями указанное выше равенство перестает быть справедливым и исследование коммута -торной длины осложняется тем обстоятельством, что оно в значи- тельной степени зависит от свойств исходного поля.
Шея в качестве отправного пункта указанный ранее результат Томпсона о коммутаторной длине специальной линейной группы над полем, в настоящей работе проводится исследование коммутаторных свойств линейных групп в двух резко отличающихся друг от друга направлениях. Первое связано с рассмотрением полной линейной группы над телом. Главный результат здесь состоит в том, что показана почти полная определяемость коммутаторной длины свойствами исходного тела (теорема 3). В рамках второго направления изучаются коммутаторные свойства групп Шевалле над произвольным бесконечным полем. Основной результат заключается в следующем.
Теорема 5 . Если G - группа Шевалле над произвольным бесконечным полем, тоЛ(О) ~4*.
Эти различающиеся между собой направления естественно опираются на разную технику исследования. С одной стороны используются результаты и методы структурной теории матриц над телом, критерии подобия таких матриц и т.д., с другой - разложение Брюа в группах Шевалле, вычисления в группах Вейля, корневая техника.
После формулировки этих основных результатов диссертации перейдем к изложению ее содержания по главам и параграфам.
Диссертация состоит из двух глав. Глава I содержит три параграфа. В I.I рассматривается специальная линейная группа степени Н- >i над телом вещественных кватернионов Н . Относительно нее доказывается следующее утверждение.
Теорема I. Для любого іг > і произвольный элемент из SL(^jH) есть коммутатор элементов из SL(/t,H). Целью 1.2 является доказательство того факта, что утвержде - ниє теоремы І перестает быть справедливым вообще говоря при переходе к полной линейной группе над произвольным телом. Это нарушение наблюдается уже в случае тел, т.е. при п~ .
Теорема 2 . Существует тело индекса 4 над своим центром, коммутант которого обладает бесконечным множеством элементов, каждый из которых не является коммутатором.
Построенный пример является минимальным в том смысле, что для тел индексов 2 и 3 хорошо известным является тот факт, что произвольный элемент коммутанта есть коммутатор. В общем случае результаты по коммутаторной длине немногочисленны, наи -более важные из них мы сейчас приведем. Пусть > обозначает коммутант мультипликативной группы тела Ф . В работе [30] показано, что всякий элемент из » для конечномерного цент -рального тела над -адическим полем представим в виде произведения не более, чем трех коммутаторов. Из результатов, уста -новленных В.П.Енатоновым и В.И.Янчевским для тел над полным дискретно нормировэнным полем с коммутативным телом вычетов, следует, что для таких тел ЯС& ) ^& (см. [із] ). В работе [20] для некоторых тел анонсировано существование оценок коммутаторной длины, являющихся функциями индекса, причем ин -деке предполагается свободным от квадратов. Особое место заяи -мает результат, принадлежащий В.П.Платонову (см [12] ). Пусть А - простая конечномерная центральная алгебра с центром К и SL(i,A) - подгруппа мультипликативной группы А , состоя -щая из элементов единичной приведенной нормы. В.П.Платонов доказывает следующее утверждение, которое вскрывает удивитель -ную связь между алгебраическими и геометрическими свойствами группы SL(i7A) .
Теорема. Пусть GK = L(4,A) определяет рациональное многообразие. Тогда существует такое т> ,что каждый элемент $L(ixA) является произведением не более, чем иь коммутаторов из А* , в частности SK^iA)-^
Возможно анализ этого явления будет способствовать новому подходу к проблеме рациональности групповых алгебраических многообразий.
Заметим, что все вышеприведенные результаты относятся к случаю тел с тривиальной приведенной группой Уайтхеда. Это неудивительно, потому что при таком условии абстрактно - групповое образование 0 приобретает довольно определенную алге -браическую характеризанию и исследование коммутаторных свойств в значительной степени облегчается.
В 1.3 рассматривается полная линейная группа Ьк = = GL(n.,(D) над телом 0 таким, что существует Л CD') . В этом случае показывается, что коммутаторная длина группы G^ не зависит от степени п> и почти полностью определяется свойствами тела *D
Теорема 3. Для любого и,>1 Я(О^) ^/LCD ) +І. Другими средствами эту же проблему изучал Рехман (см. [34] ). Из его результатов, основанных на дополнительном предположении о центре рассматриваемого тела, следует несколько более слабое утверждение чем то, которое содержится в приведенной теореме.
Пример тела со специальным свойством множества коммутаторов
Целью этого параграфа является доказательство того факта, что утверждение теоремы I перестает быть справедливым вообще говоря при переходе к полной линейной группе над произвольным телом. Это нарушение наблюдается уже в случае тел, то есть для
Именно, в этом параграфе мы строим тело, мультиплика -тивная группа которого обладает тем свойством, что множество коммутаторов не совпадает с коммутантом. Построение указанного тела существенным образом опирается на результаты о телах не -коммутативных рациональных функций, содержащиеся в важной ра -боте [14].
Относительно тела кватернионов А над центром Z сформулируем следующие условия: 1) на А существует автоморфизм второго порядка & , нетривиальный на Z , причем, если Z r обозначает подполе неподвижных элементов Г в Z , то мы предполагаем, что Для любого целого обозначает сь-ю группу когомологий Тэйта (см. [і]); 3) в А не существует максимального подполя, которое бы было циклическим расширением поля Z(j- ; 4) множество } бесконечно. Конструкция нециклических тел, описанная в работе [29], обеспечивает существование тела кватернионов, удовлетворяющего всем приведенным выше условиям. Лемма 2.1. Тело А , удовлетворяющее условиям I) - 4), существует.
Доказательство . Пусть ас - независимая пе -ременная над алгебраически загжнутым полем К , характеристика которого отлична от Ъ . Обозначим =К(Х)поле функций с группой К -автоморфизмов поля Л/ , которую мы обозначим через . Тогда в существует абелева подгруппа G типа. Действительно, если мы определим элементы 61,6 єАиі.кс) по правилу GlCX x CX) - -X то будут выполнены, очевидно, следующие соотношения
Поэтому можно определить . Пусть далее K0=v - подполе неподвижных элементов в V относительно элементов G і то есть мы имеем башню расширений полей К OR ctr » где v/K - чисто трансцендентное расширение, а vlk0 - абелево с группой G
Теперь рассмотрим чисто трансцендентное расширение K0(ILI,ILI) поля к0 , причем независимые переменные Щ (L i,Z) переставляются с элементами из поля v по следующему правилу Ні/І Л НІ для любого
Тогда, если обозначить коль цо некоммутативных полиномов будет согла сно результатам из [29] телом индекса 4 над своим центром, который равен КоСЗі а) причем в не существует макси мальных циклических подполей.
Далее, по построению имеем, что V—к0(\/&, )гдеа,оЄ ,сх.Д к0 и 6 (\/а) = -\[а, 61С [6) =.\fF, G( Га) \/а, (\Гб) - lf". Рассмотрим подтело кватернионов в D следующего вида A = \& 5v,g уЛ) » которое порождено над $0($4.)(V6) элементагли і/а. и 1 4. Проверим, что таким образом выбранное тело удовлетворяет всем свойствам I) - 4). I) По определению Z. = R0(3iX"J ") и в качестве автоморфизма 6 полагаем 6% , продолженный на KQC XVU ) по правилу
Степень трансцендентности поля Z над К равна Z , следовательно Я является Сг - полем (см. [15]). С^- поля обладают тем свойством, что приведенная норма конечномерных центральных тел над нигж сюръективна (см. JI5J). Это обстоятельство вместе с теоремой 90 Гильберта приводит к следующему
Предположим противное, то есть пусть цикличе ское расширение 4 -ой степени. Тогда L-R(iC^±)Cm) , где ttl удовлетворяет некоторому двучленному уравнению 4 -ой сте -пени над к0(3і) . Элемент Иг содержится в некотором макси -мальном подполе тела w , которое, очевидно, содержит композит полей К0(&0(мі) и КоСЗ^ба,) , который равен к^ (^,3^)( иО . В силу линейной разделенности К0С^І. ДО(М-) есть циклическое расширение поля КОС&І,^) степени 4- , что противоречит тому, что тело О не является циклическим.
Для тела кватернионов А » удовлетворяющего условиям I) - 4)и независимой переменной над образуем тело некоммутатив ных рациональных функций Пусть центр тела AOt,<ґ)
Коммутаторная длина полной линейной груп пы над телом
Основным содержанием настоящей работы является исследование коммутаторных свойств некоторых классов линейных групп. Пусть G - группа с коммутантом G . Хорошо известно, что в общем случае не всякий элемент из О является коммутатором в О , Примеры такого сорта существуют как для конечных групп, так и для бесконечных. Поэтому естественным образом возникает задача об исследовании коммутаторной длины для G , т.е. требуется определять минимальное число коммутаторов, необходи -мых для представления произвольного элемента из С в виде произведения коммутаторов из G . Если такое число существует, то, следуя работе [25] , мы будем обозначать егоЯ(З), Если группа совершенна, , то мы просто говорим о коммутаторной длине G
Не вызывает сомнений то обстоятельство, что для произволь -ной группы (з вопрос о существовании и точном вычислении С6) является малореальной задачей. Неудивительно поэтому, что результаты в этом направлении относятся в первую очередь к определен -ным классам групп.
Прежде всего отметим, что наибольшее количество работ по коммутаторной длине имеет отношение либо к случаю конечных групп, либо к тем группам, коммутант которых обладает специфи -ческим свойствам: конечен, цикличен и т.д. Обзоры результа -тов, полученных в этом направлении, содержатся в [23] , [25], [28]. Несмотря на то, что конечное число возможностей упрощает до некоторой степени задачу вычисления коммутаторной длины, тем не менее в каждом конкретном случае приходится сталкиваться с немалыми трудностями. Для конечных групп исследование коммута - 4 торной длины облегчается в определенном смысле тем обстоятельством, что для них существуют критерии представимости произ -вольного элемента группы в виде произведения любого заданного числа коммутаторов. Эти критерии формулируются в терминах теории характеров (см. [21], [22], [26]).
При переходе к бесконечным группам совершенно ясно, что в общем случае подобных критериев представимости быть не гложет и поневоле приходится конкретизировать исследование коммутатор -ной длины, рассматривая определенные классы групп. Одним из важнейших классов является класс линейных групп. Интерес к указанной тематике здесь связан с более глубоким изучением алге -браических групп с абстрактно-групповой точки зрения. Исследование коммутаторной длины линейных групп начато еще в конце ПХ века. Вскоре были получены первые результаты о простых линейных группах над конечными полями. Затем в ряде случаев удалось установить коммутаторную длину для некоторых симплектиче-ских, ортогональных и проективных групп (см. [27], [32] , [37]). Гото в работе [24] показал, что в связной полупростой компактной группе Ли всякий элемент есть коммутатор. Далее, если G -связная полупростая комплексная группа Ли, то X(.G) 1 (см. [31]). Томпсон в работе [36] вычисляет точное значение комму -таторной длины полной и специальной линейных групп над произ -вольным полем. Наконец, наиболее общим результатом в этом ряду, по-видимому, следует признать утверждение, доказанное Ри: если G - связная полупростая алгебраическая группа, определенная над алгебраически замкнутым полем, то X{G) i (см. [33] ). При переходе к группам над незамкнутыми полями указанное выше равенство перестает быть справедливым и исследование коммута -торной длины осложняется тем обстоятельством, что оно в значи тельной степени зависит от свойств исходного поля.
О группах Вейля классических типов
Шея в качестве отправного пункта указанный ранее результат Томпсона о коммутаторной длине специальной линейной группы над полем, в настоящей работе проводится исследование коммутаторных свойств линейных групп в двух резко отличающихся друг от друга направлениях. Первое связано с рассмотрением полной линейной группы над телом. Главный результат здесь состоит в том, что показана почти полная определяемость коммутаторной длины свойствами исходного тела (теорема 3). В рамках второго направления изучаются коммутаторные свойства групп Шевалле над произвольным бесконечным полем. Основной результат заключается в следующем.
Теорема 5 . Если G - группа Шевалле над произвольным бесконечным полем, тоЛ(О) 4 .
Эти различающиеся между собой направления естественно опираются на разную технику исследования. С одной стороны используются результаты и методы структурной теории матриц над телом, критерии подобия таких матриц и т.д., с другой - разложение Брюа в группах Шевалле, вычисления в группах Вейля, корневая техника.
После формулировки этих основных результатов диссертации перейдем к изложению ее содержания по главам и параграфам.
Диссертация состоит из двух глав. Глава I содержит три параграфа. В I.I рассматривается специальная линейная группа степени Н- i над телом вещественных кватернионов Н . Относительно нее доказывается следующее утверждение.
Теорема I. Для любого іг і произвольный элемент из SL( jH) есть коммутатор элементов из SL(/t,H). Целью 1.2 является доказательство того факта, что утвержде - 6 ниє теоремы І перестает быть справедливым вообще говоря при переходе к полной линейной группе над произвольным телом. Это нарушение наблюдается уже в случае тел, т.е. при п .
Теорема 2 . Существует тело индекса 4 над своим центром, коммутант которого обладает бесконечным множеством элементов, каждый из которых не является коммутатором.
Построенный пример является минимальным в том смысле, что для тел индексов 2 и 3 хорошо известным является тот факт, что произвольный элемент коммутанта есть коммутатор. В общем случае результаты по коммутаторной длине немногочисленны, наи -более важные из них мы сейчас приведем. Пусть обозначает коммутант мультипликативной группы тела Ф . В работе [30] показано, что всякий элемент из » для конечномерного цент -рального тела над -адическим полем представим в виде произведения не более, чем трех коммутаторов. Из результатов, уста -новленных В.П.Енатоновым и В.И.Янчевским для тел над полным дискретно нормировэнным полем с коммутативным телом вычетов, следует, что для таких тел ЯС& ) & (см. [із] ). В работе [20] для некоторых тел анонсировано существование оценок коммутаторной длины, являющихся функциями индекса, причем ин -деке предполагается свободным от квадратов. Особое место заяи -мает результат, принадлежащий В.П.Платонову (см [12] ). Пусть А - простая конечномерная центральная алгебра с центром К и SL(i,A) - подгруппа мультипликативной группы А , состоя -щая из элементов единичной приведенной нормы. В.П.Платонов доказывает следующее утверждение, которое вскрывает удивитель -ную связь между алгебраическими и геометрическими свойствами группы SL(i7A) .
Доказательство основной теоремы о комму таторной длине групп Шевалле над бесконечным полем
Теорема. Пусть GK = L(4,A) определяет рациональное многообразие. Тогда существует такое т ,что каждый элемент $L(ixA) является произведением не более, чем иь коммутаторов из А , в частности SK iA)- Возможно анализ этого явления будет способствовать новому подходу к проблеме рациональности групповых алгебраических многообразий.
Заметим, что все вышеприведенные результаты относятся к случаю тел с тривиальной приведенной группой Уайтхеда. Это неудивительно, потому что при таком условии абстрактно - групповое образование 0 приобретает довольно определенную алге -браическую характеризанию и исследование коммутаторных свойств в значительной степени облегчается.
В 1.3 рассматривается полная линейная группа Ьк = = GL(n.,(D) над телом 0 таким, что существует Л CD ) . В этом случае показывается, что коммутаторная длина группы G не зависит от степени п и почти полностью определяется свойствами тела D
Теорема 3. Для любого и, 1 Я(О ) /LCD ) +І. Другими средствами эту же проблему изучал Рехман (см. [34] ). Из его результатов, основанных на дополнительном предположении о центре рассматриваемого тела, следует несколько более слабое утверждение чем то, которое содержится в приведенной теореме.
Глава П также состоит из трех параграфов. В 2.1 приво -дятся некоторые известные факты о группах Шевалле над произ -вольным полем, которые затем используются в остальной части главы. Здесь также устанавливаются условия, при которых полу-простой элемент группы Шевалле является коммутатором (предло -жение 2). Разложение Брюа в группе Шевалле указывает на ту важную роль в структуре этой группы, которую играет группа Вейля. В 2.2 устанавливается некоторая редукция групп Вейля класси -веских типов к типу Д (теорема 4). Это утверждение используется при доказательстве основной теоремы главы, оно представляет и самостоятельный интерес.
В 2.3 доказывается основное утверждение о коммутатор -ной длине групп Шевалле над бесконечным полем.
Теорема 5. Если G - группа Шевалле над произвольным бесконечным полем, то J CG") 4 Доказательство этой теоремы разбивается на две части: для групп классических типов используется только что упомянутая теорема, исключительные типы разбираются особым образом.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю В.П.Платонову за постоянное внимание к работе и советы, он также признателен В.И.Янчевскому за обсуждение результатов первой главы.
Определения. Как уже отмечалось во введении, мы используем обозначение коммутаторной длины коммутанта G группы G , которое было введено в [26] для случая конечных групп. В общем случае понятие коммутаторной длины определяет-ся следующим образом. На 6 существует функция Я: G — N ( N - совокупность натуральных чисел): для любого равно минимальному числу коммутаторов в G , произведение которых равно . Если существует конечное число $iLp/L(Q) , то мы обозначаем его через jL(G) и называем коммутаторной длиной G . Если рассматриваемая группа совершенна, т.е. , то мы говорим просто о коммутаторной длине группы
Обозначения. Объекты, рассматриваемые в главе I, обозначены более или менее общепринятым образом. Основные определения и факты, относящиеся к ним, можно найти в [2],[3], [5]. В главе П используются обозначения и определения, принятые в книге [17]. Ссылки. В диссертации принята сквозная нумерация основных утверждений (теорем и предложений), нумерация вспо -могательных утверждений в каждом параграфе своя.
