Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Особенности амплитуд потенциального рассеяния 11
1. Сингулярности амплитуды рассеяния вперед
2. Рассеяние при низких энергиях 27
3. Рассеяние на системе нескольких кулоновских центров 54
4. Потенциалы с дальнодействием вида 59
5. Дальнодействующие потенциалы, убывающие быстрее кулоновского 72
ГЛАВА II. Рассеяние при низких энергиях в системах заряженных частиц 83
1. Особенности амплитуд упругого рассеяния и перестройки в задаче трех тел 83
2. Системы частиц 99
3. Длина рассеяния протона на дейтроне 105
4. Поляризационный потенциал и низко энергетические характеристики рассеяния 111
Приложение І 121
- Рассеяние на системе нескольких кулоновских центров
- Дальнодействующие потенциалы, убывающие быстрее кулоновского
- Особенности амплитуд упругого рассеяния и перестройки в задаче трех тел
- Поляризационный потенциал и низко энергетические характеристики рассеяния
Введение к работе
Одной из важнейших задач нерелятивистской квантовой теории рассеяния является изучение процессов столкновений частиц при низких энергиях (так называемое пороговое рассеяние). Анализ таких реакций позволяет получать богатую информацию о структуре вещества и строении ядерных сил из небольшого числа характеристик низкоэнергетического рассеяния /1-3/.
Вплоть до настоящего времени в основном рассматривалось пороговое поведение характеристик рассеяния в задаче двух тел с центральным, быстро убывающим взаимодействием. Таким взаимодействиям отвечают потенциалы типа финитных или экспоненциально убывающих, либо потенциалы, убывающие степенным образом, но с достаточно высоким показателем:
Рассматривались также потенциалы, равные сумме кулоновской и экспоненциально убывающей частей. Для всех этих взаимодействий достаточно полно исследованы низкоэнергетические разложения амплитуд и фаз рассеяния по степеням энергии в задаче двух тел. На основе таких разложений развиты эффективные методы расчета фундаментальных низкоэнергетических характеристик процессов ядерных и атомных столкновений - длин рассеяния, эффективных радиусов и т.п. Обзор этих результатов содержится в многочисленных монографиях (см.,например, /2-5/).
Некоторые пороговые эффекты исследовались и в системах нескольких частиц с быстро убывающим взаимодействием /1,6,7/.
4. Проводились также и численные расчеты основных низкоэнергетических характеристик таких систем. Например, были вычислены длины п.- cL рассеяния для различных межнуклонных потенциалов /8-Ю/.
В последнее время интенсивно развивалась теория систем нескольких заряженных частиц. В связи с этим особую актуальность приобрела задача изучения пороговых эффектов в У-час-тичных системах с кулоновским дальнодействием. Один из ее главных аспектов состоит в создании эффективных численных методов расчета низкоэнергетических параметров таких систем. Основными из этих параметров являются так называемые кулонов-ские длины рассеяния.
Конкретизируем задачи, которые возникают при исследовании перечисленных выше вопросов.
Первая из них связана с существованием особенностей у амплитуд упругого рассеяния при нулевой энергии. Причиной возникновения таких особенностей является дальнодействие ку-лоновского потенциала. В задаче двух тел эта особенность известна явно и описывается чисто кулоновской амплитудой рассеяния /2/. Однако в системах л/ 3 частиц низкоэнергетические особенности амплитуд рассеяния не исчерпываются чисто кулонов-скими. Они содержат дополнительные сингулярности, обусловленные мультипольним характером эффективного взаимодействия сталкивающихся комплексов. Эти сингулярности, в частности, делают невозможным стандартное /II/ определение длин рассеяния в процессах с участием нескольких заряженных частиц. Они также порождают быстро осциллирующие расходимости в сечениях соответствующих реакций. Поэтому, чтобы сделать возможным
5. теоретических расчет и экспериментальный анализ процессов рассеяния вблизи порога, необходимо явно описать такие особенности. Таким образом, первая задача заключается в аналитическом исследовании пороговых особенностей амплитуды упругого рассеяния. Решение этой задачи позволяет, в частности, модифицировать определение длин рассеяния для hi -частичных заряженных систем.
Кроме пороговых особенностей,'амплитуда рассеяния в таких системах имеет сингулярности в направлении рассеяния вперед. Это обстоятельство также следует учитывать при численном решении задачи рассеяния. Дело в том, что методы расчета //-частичных столкновений основаны, как правило, на разложении волновых функций или их компонент по различным системам базисных функций (биеферических /12/, гиперсферических /13/, двух-центровых /14/). Угловые особенности амплитуд рассеяния приводят к медленной сходимости таких парциальных разложений. Это обстоятельство вынуждает учитывать в них большое число членов, т.е. решать большие системы уравнений. В результате такие методы становятся неэффективными. Однако, если явно выделить часть волновой функции, содержащую основные особенности, то в уравнениях для остатка уже можно ограничиться малым числом парциальных членов. Поэтому следующей актуальной задачей является изучение угловых особенностей амплитуды упругого рассеяния.
Описанные выше вопросы теории рассеяния //-частичных кулоновских систем тесно связаны с исследованием пороговых эффектов в задаче потенциального рассеяния на медленно убывающих потенциалах. Дело в том, что все основные особенности
6.
амплитуд упругого рассеяния нескольких заряженных частиц совпадают с сингулярностями амплитуды рассеяния на потенциале, который эффективно описывает взаимодействие сталкивающихся комплексов. Такой потенциал на больших расстояниях равен сумме кулоновской части и мультипольных членов:
- ос
уЧ^С^)
, 2с--^г- (B.I)
эс-* сх=> |0с| ,
|эс|* + 1 ' /осі
і* Л
Коэффициенты >и. * в (В.І) выражаются через статические муль-типольные моменты мишени и налетающего кластера. Потенциалы типа (В.І) возникают и в задаче рассеяния на системе нескольких фиксированных кулоновских центров /14/.
Представляют интерес также центральные потенциалы, которые асимптотически содержат произвольные степенные поправки к кулоновскому взаимодействию:
VOO ~ -^- + -^- ^ ed>-r (в.2)
Из них наиболее важны для физических приложений потенщалы с показателем ы. = 4. Они эффективно описывают взаимодействие сферически-симметричных заряженных систем, которые не имеют статических мультипольных моментов /15/. Второй член в (В.2) называют в этом случае поляризационным потенциалом.
Мы исследуем пороговое поведение и угловые особенности амплитуд рассеяния на потенциалах (B.I), (В.2). Наряду с этой задачей мы изучим также низкоэнергетическое рассеяние на даль-нодействующих потенциалах, убывающих быстрее кулоновского:
7.
V^^- аІасІ^ссеО^Л (B<3)
Опишем кратко основные результаты настоящей работы.
Содержание работы. Диссертация состоит из двух глав и трех приложений.
В первой главе изучаются угловые и низкоэнергетические особенности амплитуд рассеяния на потенциалах вида (В.І)-(В.З). В главе П исследуются пороговые эффекты в системах л/ї-3 заряженных частиц. В приложениях доказываются вспомогательные асимптотические оценки, которые используются в первой главе.
Рассеяние на системе нескольких кулоновских центров
Здесь функция А содержит все угловые и низкоэнергетические особенности амплитуды упругого рассеяния. Она совпадает с амплитудой двухчастичного рассеяния на дальнодействущем эффек -тивном потенциале V0 . Последний равен сумме кулоновского, мультипольних и поляризационного членов: Этот потенциал имеет простой физический смысл. В нем функции JJLZ суть статические мультипольные моменты мишени, а последний член в (В.б) возникает в результате поляризации мишени ку-лоновским полем налетающей частицы. В зависимости от геометрической формы мишени старшим (после кулоновского) членом потенциала (В.б) является либо дипольный, либо поляризационный потенциалы. Тем самым все сингулярности функции As непосредственно описываются результатами 1,2,4 главы I.
Второй член в (В.5) отвечает короткодействующей части взаимодействия. При этом предел при нулевой энергии гладкой функции А имеет смысл длины рассеяния в системах трех заряженных частиц. Таким образом, представление (В.5) решает задачу об определении длины рассеяния в таких системах.
В 2 результаты первого параграфа обобщаются на случай двухкластерного рассеяния в системах произвольного числа заряженных частиц. В остальной части этой главы изучается низкоэнергетическое рассеяние в эталонной трехчастичной кулоновской задаче ядерной физики - протон-дейтронного рассеяния. В 3 развит метод расчета длин р - d рассеяния, основанный на исходной динамической формулировке задачи. В нем используется численный алгоритм расчета характеристик Р-ОС рассеяния, предложенный в работах /16-19/. Вычислены длины квартетного и дублетного р- Л рассеяния для ядерных потенциалов типа МТ І-Ш. Они оказались равными: А = 11,98 Фм, гА = 1,03 Фм. В 4 анализируется влияние поляризации дейтрона на низкоэнергетические характеристики о-Л рассеяния. Выяснено, что поляризационный потенциал существенно искажает пороговое поведение .S -фазы рассеяния при сверхнизких в ядерном масштабе энергиях Е я - Ю КэВ. При более высоких энергиях поляризационные эффекты незначительны.
Автор приносит глубокую благодарность С.П.Меркурьеву за руководство работой, внимание и поддержку; И.В.Комарову - за ценные замечания; Ю.А.Куперину - за обсуждение вопросов физики малонуклонных систем где 5с = ос / ос , a у » - гладкие ограниченные функции на единичной сфере. Такие потенциалы возникают, например, в задаче рассеяния кулоновской частицы на не сферически-симметричной заряженной мишени. В этом случае член потенциала (I.I) с - = 1(- = 2) порождается дипольним (квадрупольным) моментом мишени. Поэтому ниже мы будем называть эти члены соответственно дипольным и квадрупольным потенциалами.
Известно /11,24/, что амплитуда рассеяния на дальнодей-ствующих потенциалах имеет особенности в направлении рассеяния вперед. При этом, если потенциал V удовлетворяет условию где ,то вся сингулярность исчерпывается одной (двумя) итерациями уравнения Липпмана-Швингера /24/. Для потенциалов вида (І.І), содержащих несколь ко медленно убывающих слагаемых, известна лишь старшая чисто кулоновская особенность. Мы изучим вклад мультипольной части взаимодействия. Основным математическим аппаратом для изучения задачи рассеяния заряженных частиц является модифицированное уравнение Липпмана-Швингера: где У и 1 - кулоновские волновая функция и функция Грина. Для этих функций известны /3/ явные выражения в терминах вырожденных гипергеометрических функций. Оператор возмущения Vs в (1.2) порождается короткодействующей частью потенциала: Известно, что если потенциал убывает быстрее кулоновско-го, то при итерировании уравнения Липпмана-Швингера особенности амплитуды рассеяния сглаживаются. Таким же свойством в случае заряженных частиц обладает и модифицированное уравнение Липпмана-Швингера. Действуя по схеме, применяемой в случае нейтральных частиц /25/, можно показать, что все итерации уравнения (1.2), начиная с достаточно большого номера, являются гладкими функциями. Отсюда вытекает, что вся сингулярность амплитуды рассеяния содержится в нескольких первых итерациях уравнения (1.2).
Дальнодействующие потенциалы, убывающие быстрее кулоновского
Доказательство асимптотических представлений (2.13) и (2.15) дано в Приложении П. Отметим, что асимптотики при нулевой энергии (2.13) функций ЧІ и Re аналогичны таковым для кулоновских волновой функции Vc и функции Грина Гс (см., например, /2/), а представление (2.15) выражает обычную связь между ядром резольвенты какого-либо гамильтониана, содержащего кулоновское дальнодействие, и решением связанной с ним задачи рассеяния.
Теперь, имея все необходимое для анализа уравнения (2.3), перейдем непосредственно к исследованию особенностей при нулевой энергии амплитуды рассеяния на мультипольних потенциалах (І.І).
Совершим в (2.3) предельный переход )ос/ - = = t используя при этом асимптотики (2.6), (2.15) и разложение (2.12). В результате получим представление амплитуды рассеяния в виде суммы описанных выше слагаемых -f-e » «f о » -р и функции Jf. , которая порождена оператором возмущения в уравнении (2.3):
Здесь V - решение зфавнения (2.3), т.е. собственная функция непрерывного спектра полного гамильтониана Н -Д + 4( ) Особенности амплитуды рассеяния при нулевой энергии распределены по функциям f и -р , k = 0,1,2. Напомним, что член выражает вклад в амплитуду рассеяния от дипольного потенциала и определен равенством (2.II), а функция Jf. -от короткодействующей части и высших мультипольних моментов взаимодействия (І.І). Асимптотика функции при к2- 0 описывается представлением (2.13). Следующая задача заключается в исследовании поведения функций -ро и f при к2- - 0. Начнем с функции X . Предположим сначала, что потен циал V в (2.3) не содержит мультипольних слагаемых и убывает достаточно быстро: \УСъо\ С Є , loc Q , 0. В этом случае можно совершить предельный переход к - О под знаком интеграла (2.17). Для этого достаточно знать асимптотики функций Ц 0 и У при 1 г —» 0. Первая из них дается представлением (2.13). Покажем теперь, что это же представление справедливо и для функции f . Введем линейное пространство С , элементами которого являются функции Q(x, к) с фиксированной асимптотикой при вида (2.13). В частности, % Є Q . Далее, из представле л ния (2.136) вытекает, что оператор K0V отображает пространство С в себя. Поэтому все итерации Ч CR0Y) Уо уравнения (2.3) также принадлежат С Следовательно, и решение этого уравнения У есть элемент Q , т.е. Ч имеет асимптотику (2.13а) при к2 — 0. Совершив теперь предельный переход к2 - - 0 в интеграле (2.17), получим представление для функции -f"? : где функция - имеет конечный предел при нулевой энергии. Таким образом, если потенциал V не содержит мультипольних членов, то асимптотика функции 2 при к - 0 имеет вид (2.18). Рассмотрим теперь общий случай, когда в V присутствуют мультипольные слагаемые. Разобьем пространство интегрирования в (2.17) на две области ТЪо и ТЬ , где ТЬ0= эс /эс/ -оСІИ" )] - /R \Тв Выделим затем из оператора V его короткодействующую часть V » и дальнодействующую часть V ? , Vjf » = ox) v с помощью гладкой срезающей функции где » - окрестность границы области Tb . Интеграл в (2,17) по области Т 0 выражает вклад в функцию -р2 от короткодействующей части потенциала V . Как было показано выше, он описывается представлением (2.18). Оставшийся интеграл по области Т),, обозначим X . Эта функция определяет вклад в амплитуду рассеяния высших мультипольних моментов потенциала V Ее асимптотика при \ z— О , вообще говоря, не имеет вида (2.18), так как при эс ТЪ,, неверны представления (2.13) для функций Ц о и Ro . Однако детально исследовать асимптотику функции JL необязательно. А 2" Достаточно заметить, что потенциал \Л при к2- О мал по 38. сравнению с дипольным потенциалом:
Особенности амплитуд упругого рассеяния и перестройки в задаче трех тел
С другой стороны, 4 о по своему определению есть амплитуда рассеяния на потенциале V - У\ I ос -+ В м л С 0 \ эс! за вычетом ее чисто кулоновской части. Следовательно, старший член функции при - О дается первой итерацией соответствующего модифицированного уравнения Липпмана-Швингера: где функция f1 f определена в (1.6).
Из представлений (2.37) и (2.38) следует, что старший член асимптотики функции Х0 при Е - О содержится в первой итерации уравнения Липпмана-Швингера (1.2), т.е. для J -Q справедливы представление (1.6) и эквивалентное ему интегральное представление (1.9). Подчеркнем, что этот несколько неожиданный результат справедлив несмотря на то, что модифицированное уравнение Липпмана-Швингера (1.2) не является уравнением типа Фредгольма при Е -» О . Таким образом, для функции 0 при к - 0 доказано представление (1.9) - (I.II), с помощью которого можно найти асимптотику функции -f 0 для дипольных потенциалов с произ вольной угловой частью. При этом нужно учесть следующее обсто ятельство. Из приведенного выше доказательства вытекает, что в случае кулоновского отталкивания первая итерация уравнения (1.2) содержит, вообще говоря, лишние особенности, которых функция -f0 не имеет. Причина этого в том, что для произ вольной функции J4A функция s не равна нулю в точке перевала -ъ = е " интеграла (2.23), тогда как g ( J-О« Следовательно, заменяя в этом интеграле функцию Q, на 3-s , мы сохраняем асимптотику функции -f-0 , порожденную особыми точками функции Q, , но зарабатываем при этом дополнительную сингулярность вида I И воср с cur XsCk2)i , которая порож дается точкой перевала Q, . Поэтому в асимптотике выраже ния (1.9) мы должны отбросить все особенности такого вида. Исследуем теперь асимптотику интеграла (I.II) при \ г- 0. Для этого воспользуемся представлением для функции F в (I.I2) при 1 : 2 Кг-» о-в . Представление (2.39) доказано в Приложении Ш. В нашем случае 2- U( )/U () (см. (1.12)), и асимптотика (2.39) неверна в малой окрестности -Q направ ct2 суть интегралы в (I.II) по областям 2 и .О., = S \.Q2 соответственно. Рассмотрим вначале интеграл по области -Q . Заменим в нем функцию р ее асимптотикой (2.39) и введем локальные координаты на сфере S " ос (Gt if) , где со-ъ G- (cj,, ), Scn.cob f (эс р) (Напомним, что а - k-W p = U+ U ). При этом функции U (± эс ) принимают вид а функция о. дается интегралом от быстро осциллирующей функции при "р - : где а 60 - функция Хевисайда, 2 ) - -f + s %b 6). Как видно из выражения (2.40), в интеграле (2.41) по углу f существует четыре точки стационарной фазы -- - » - = 0,1,2,3. Вклад точек "f, и 41 в интеграл (2.41) порождает факторизованную особенность функции «-ро виДа IWj"1 ОСР i cu»oL Jf С U .) 1 «По указанным выше причинам такие члены нужно исключать из асимптотики функции о. . Поэтому достаточно учесть только вклад точек fи .В результате применения метода стационарной фазы к интегралу по f получим асимптотику функции л при Е- О : которая порождает член -f асимптотики функции .f вида где о&ьО = CV j к) » а функция (S g определена в (2.31). Таким образом, нам осталось определить часть X особенности функции -f- , которая возникает из интегралов в (I.II) по малым окрестностям направлений ос- = + fc , ос ± V .В этих интегралах можно заменить функцию улл(й") ее значения-ми в точках ас = ) , ос = ± w . Используя затем инвариантность подынтегральной функции при зеркальном отражении аргу ставим функцию -f02 e -f о -f о в виДе мента относительно плоскости, ортогональной вектору р , пред-вим сг) Здесь функции -f+ уже не зависят от вида функции улл, а вся зависимость функции X от уч факторизована. Поэтому достаточно найти функцию X для сферически симметричного дипольного потенциала. Она равна разности выражений (2.30) и (2.42).
Поляризационный потенциал и низко энергетические характеристики рассеяния
Таким образом, поведение фаз рассеяния при низких энерги-ях определяется асимптотикой интегралов (4.4) при {р -» о » . Ясно, что эта асимптотика существенно зависит от положения точек поворота при низких энергиях, т.е. от величины орбитального момента Z по отношению к параметру {? . В соответствии с этим разобьем множество всех орбитальных моментов на две части Т) и Ъ . В "D,, включим достаточно малые -i : - { $ при І . Множество Т) образуют оставшиеся орбитальные моменты -І. , ipl . Отметим, что такое разбиение характеризуется различной асимптотикой параметра Я из (4.6) при к- 0 :
Рассмотрим вначале фазы рассеяния с большими номерами - ТЬд . В этом случае, как следует из (4.7), точка поворота эсс в пределе U - О отделена от нуля: Поэтому в выражении (4.4) можно заменить потенциал т его асимптотикой (4.1): После такой замены становится ясно, что вклад потенциала l в квазиимпульс р при ос ,эсс можно рассматривать как малое при к - О возмущение функции рс , так как он имеет по рядок . Поэтому старший член фазы рассеяния при О дается первым порядком теории возмущений по потенци Интеграл в этом выражении можно записать в терминах функций Лежандра pv /26/ с помощью подстановки 2 ос = \ п 1 х Л (, )с\г4. + s nda)). В результате получим искомую низкоэнергетическую асимптотику фаз & при - j? : где функция „Я определена в (4.5), а коэффициент ТЬ равен Опишем теперь асимптотику фаз с малыми орбитальными моментами є Т Рассмотрим вначале случай кулоновского отталкивания, ҐІ О . Как следует из (4.5) и (4.7), точка поворота осс в этом случае также отделена от нуля в пределе U - О . Поэтому при vi О все аргументы, приведенные выше при доказательстве представления (4.9) остаются в силе. Другими словами, при п О асимптотика (4.9) является равномерной по при всех - ь 0. Чтобы получить асимптотику фаз с і є ТХ » достаточно перейти в (4.9) к пределу Л - і в соответствии с равенством (4.7). В результате получим следующее представление:
Наконец, рассмотрим случай кулоновского притяжения, п 0. Заметим, что вследствие асимптотики (4.7) кулоновская точка поворота xt (4.5) стремится к нулю при U - 0 , і ТЬ, , vx 0. Поэтому в квазиимпульсе (4.3) нельзя равномерно по ос заменить потенциал іГ его асимптотикой (4.8). В результате представление (4.9) в этом случае не описывает асимптотики фаз с г 6 rbi . Более детальный анализ выражения (4.4) показывает, что для потенциалов с oL Ъ/z фазы рассеяния имеют конечный предел при нулевой энергии, а при oL 1/2 они сингулярны при k Отметим, что в случае о(. . 3 аналогичное (4.II) представление для фаз рассеяния получено впервые другим методом
Таким образом, низкоэнергетическая асимптотика фаз рассеяния на потенциалах (4.1) в зависимости от величины -Z и знака кулоновского взаимодействия описывается представлениями (4.9) - (4.12). Обратим здесь внимание на существенное отличие порогового поведения фаз рассеяния при п 0 и любом о при h О , оС : И от соответствующей асимптотики фаз в случае экспоненциально убывающего потенциала г /II/.
Перейдем теперь к анализу низкоэнергетической асимптотики функции X. , заданной парциальным рядом (4.2). Ряды та-кого типа плохо приспособлены для изучения асимптотик по тем же причинам, что и в случае дипольных потенциалов (см.2). Поэтому удобно перейти от ряда (4.2) к интегральному представлению для функции
С этой целью введем функцию Я ( j ) , которая равна члену парциального ряда (4.2) с произвольным вещественным орбитальным моментом 4. "& О 9
