Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Дифракция на областях, с бесконечно узкими щелями и теория расширений 12
I. Описание расширений 12
2. Решение задачи рассеяния 22
3. Дифракция на областях с плоскими границами 24
3.1. Два полупространства 24
3.2. Два двугранных угла 26
3.3. Два плоских волновода 27
3.4. Модель дифракционной решетки 29
4. Дифракция на цилиндрических и областях со щелями 30
4.1. Цилиндр с продольной щелью 30
4.2. Цилиндр с поперечной щелью 33
4.3. Шар со щелью 34 5. Описание резонансов 35 6. Модель кольцевого с бегущей
волной 39
Глава 2. Сравнение модельной задачи с задачами рассеяния на областях со щелями
конечной ширины 51
I. "Излучающие" ребра 51
2. Задачи рассеяния на областях с малым и точечным отверстиями 61
3. Выбор параметров расширений 70
Глава 3. Рассеяние на потенциалах нулевого радиуса 80
I . Построение расширений 80
2. Вычисление амплитуды рассеяния 88
3. Вычисление резонансов 93
4. Описание корневых векторов 103
Литература 108
Введение к работе
Задачи рассеяния, как классические, так и квантовомехани-ческие, обычно трудны и не допускают точного решения. Поэтому представляет интерес рассмотрение явно решаемых моделей соответствующих процессов. В тридцатых годах Э.Ферми ввел потенциалы нулевого радиуса [28, 293, которые позволили точно решить ряд физических задач. Но интенсивное применение метода потенциалов нулевого радиуса началось в шестидесятых годах. В 1975 г. вышла монография Ю.Н.Демкова, В.Н.Островского L93, в которой сведаны воедино различные приложения указанного метода к задачам атомной физики, известные к середине семидесятых годов. Там же сформулирован ряд новых задач, из которых к настоящему времени решена только часть.
Введение потенциала нулевого радиуса сводится к заданию "граничного условия" на волновую функцию т в точке: ъ^ Э "С где. Ъ - расстояние от "центра потенциальной ямы"- точки, где находится потенциал нулевого радиуса, оС - вещественное число. В 1961 г. Ф.А.Березин и Л.Д.Фаддеев [3J показали, что с математической точки зрения задание логарифмической производной определяет самосопряженное расширение некоторого симметрического оператора.
В конце семидесятых годов появились работы А.С.Благовещенского, К.К.Лаврентьева, Я.В.Курылева [6, ІП о "граничном" условии на кривой для трехмерного оператора Лапласа где уР - расстояние до кривой, И (^)- некоторая вещественная функция на этой кривой, которое приводит к построению самосопряженного расширения некоторого симметрического оператора в
Дальнейшее- развитие указанного метода в данном направлении связано с работами Б.С.Павлова, М.Д.Фаддеева и автора [17, 18, 19, 21, 22І. Исходным пунктом при этом является то, что исследование процесса рассеяния в простых областях может быть продвинуто достаточно далеко, а затем средствами теории расширений операторов строится модель, в которой данные области соединены каналом связи. Полученные данным образом задачи решаются "точно" в терминах уже построенных решений частичных задач. С другой стороны данные решения служат достаточно хорошим приближением для решения реальных задач, причем они обладают важным свойством: будучи сами решениями идеализированной задачи, они аналитичны по спектральному параметру в естественных областях. Более того, S -матрица в идеализированной задаче обладает свойством унитарности. Таким образом, данные приближения наиболее, "физичны", ибо обладают такими же свойствами аналитичности и унитарности, как и решения полной задачи. В 1191 рассмотрены модели с оператором с конечным индексом дефекта. Мы далее исследуем случаи, в которых индекс дефекта бесконечен. Так мы рассматриваем модель резонатора, соединенного с окружающим пространством через узкую щель.
Опишем, каким образом вводится понятие ,5 -матрицы в подходе Лакса- Филлипса применительно к нашей ситуации. Пусть 2 - огра- ничейная область ъ IR с гладкой границей, - некоторая кривая на 2>2 t ъ2 ~1К \с . Рассмотрим оператор -Д0=~(&сУ1 Де*) в Lz(Q.Lv[e> Qex), где Д^'е*- операторы Лапласа в ^ J с условием Неймана на 3Q , на множестве гладких функций, обращающихся в нуль на ї . Для данного симметрического оператора можно построить самосопряженное расширение ~ А , которое и задает нашу модель.. Теперь рассмотрим уравнение = А6/ где Л - построенное расширение. Действуя в духе теории Лакса-Филлипса CI2J, введем в энергетическом пространстве tf данных Коши (Ы} Ы^) = (моj Уі) - 24 с нормой унитарную группу разрешающих операторов U^_ : (ио(р)} L/jfo))-[Ы0 (&)> Uj ()) Эта группа обладает ортогональными приходящими и уходящими подпространствами о& ± , состоящими из данных Коши решений, равных нулю в усеченных световых конусах будущего и прошлого: причем шар І2с\ ^ ОІ содержит О. . Рассмотрим операторы =РК Ub\K t>o, к7Є&іг>?з)?]
Они образуют сильно непрерывную сжимающую полугруппу. Ее генератор В^, 5:^ -Є-Хр((- 8а), является максимальным дисси-пативным оператором, характеристическая функция которого а совпадает с точностью до множителя BXp(Zika) с матрицей рассеяния оператора Л . Корни субоператора рассеяния (физические резонансы) совпадают с комплексными нулями характеристической функции- собственными числами оператора В^ . ^% <зех
Построенная модель позволяет, в сущности, свести вычисление резонансов к отысканию корней скалярной аналитической функции. Следует заметить, что для резонаторов со щелями конечной ширины задача нахождения резонансов или их мнимых частей, которые характеризуют времена жизни, чрезвычайно трудна (см. [7, 27]). Наша модель позволяет строить точные решения идеализированной задачи рассеяния в тех случаях, когда задача в без щели допускает разделение переменных. Заметим, что если $>< и ъс соединены щелью конечной ширины, то задача уже разделения переменных, вообще говоря, не допускает.
Перейдем к краткому изложению содержания работы. В первой главе с помощью теории расширений построена модельная задача рассеяния и рассмотрен ряд конкретных случаев.
Первый параграф содержит описание построения самосопряженных расширений, приведена классификация "локальных" расширений. В следующем параграфе мы переходим к разысканию решения т(х) задачи.рассеяния. Оно имеет вид: " Г GCk"(X,x(s)) c6L\s)ds, ~ е&» ^(х) -) где Ь l. - функции Грина задач Неймана в ьг , <р9- решение "невозмущенной" (без щели) задачи рассеяния в *<- ,
, Су), &х о^ ' - некоторые функции, для которых выведено интегральное уравнение. Хотя это уравнение в общем виде решить не удается, для большого числа интересных частных случаев можно построить его явные решения.
Так, в третьем параграфе рассмотрены задачи, в которых области Ъс ' ограничены плоскостями, а дС - прямая: два полупространства, разделенные плоскостью со щелью (соответствующая задача со щелью конечной ширины также допускает явное решение, что позволяет в дальнейшем (глава 2) научиться правильным образом выбирать подходящее расширение), два двугранных утла с общей гранью, два соединенных щелью плоских волновода, два полупространства, разделенных плоскостью с системой параллельных щелей.
В четвертом параграфе разобраны задачи о цилиндрических и сферических областях: цилиндр с продольной и поперечной щелями, сфера, рассеченная плоскостью. Соответствующие задачи со щелями конечной ширины уже не допускают явного решения. Поэтому здесь проведено сравнение качественных выводов из модели с приближенными результатами, полученными в реальных физических задачах С 262. В пятом параграфе на примере сферы со щелью показано, как находить приближенные значения резонансов. Шестой параграф посвящен рассмотрению бегущих волн в кольцевом резонаторе.
Важным является вопрос о реальности построенной модели, который разбирается во второй главе. В первом параграфе построено семейство "реальных" задач дифракции на областях с малыми, но конечными отверстиями, решения которых при ширине щели стремя- _ Q _ щейся к нулю переходят в решения, полученные в рамках нашей модели. Задачи, о которых идет речь, сами по себе решаются методами теории расширений и представляют собой задачи об областях с "излучающими" кромками. Реальные объекты такого сорта могут быть получены путем локализации на контуре отверстия достаточно сильного тока.
Решения обычных задач дифракции (с "неизлучающими" кромками) в пределе при стремлении к нулю ширины щели переходят в решения соответствующих задач дифракции на замкнутом теле. Связь решений задачи со щелью конечной ширины (или отверстием конечного диаметра) с описанной моделью установлена во втором параграфе. Выяснен физическийсмысл параметров расширения.
В третьем параграфе на конкретных примерах разобран вопрос о выборе параметра расширения, при котором наша модель дает приближенное с точностью до О(Ы)^ где а - ширина щели, решение задачи рассеяния на области со щелью конечной ширины. Рассмотрены двумерные задачи о прямой с конечным отверстием и о резонаторе в форме половины эллипса, открытом в полуплоскость. Проведено сравнение с результатами, полученными в "физических" работах С8, 24J.
В третьей главе исследуется задача о структуре резонансов при рассеянии на системе потенциалов нулевого радиуса.
В первом параграфе построены расширения оператора, связанного с системой, состоящей из У) потенциалов нулевого радиуса. Следующий параграф посвящен вычислению амплитуды рассеяния и исследованию ее поведения в комплексной плоскости спектрального параметра, проведено сравнение с результатом [31], полученным для гладкого рассеивателя.
В третьем параграфе выяснена серийная структура резонансов для данной задачи. Приближенно вычислены вещественные и мнимые части резонансов в случае двух и трех центров, четырех центров в одной плоскости, центров в вершинах правильного тетраэдра, центров на одной прямой.
В четвертом параграфе рассматривается поведение корневых векторов Є , то есть нетривиальных решений уравнения $(к)Є.~ - О , где к - резонанс, р (к) - матрица рассеяния, преобразованная путем умножения слева и справа на некоторые операторы с тривиальным ядром. Здесь рассмотрены случаи двух и трех центров.
Результаты диссертации докладывались на 4 школе по теории операторов в функциональных пространствах в Минске в 1978 г., на Всесоюзной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" в Черноголовке в IS83 г., на заседании Харьковского Математического Общества в 1984 г., на семинарах в Ленинградском университете в 1980, 1982 гг., на "Дне дифракции" в ЛГУ в 1984 г., на научных конференциях в Ленинградском институте точной механики и оптики в 1979, 1980, 1983 гг. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [17, 18, 20, 21]. - II -
Автор искренне благодарен Борису Сергеевичу Павлову за руководство работой.
Автор признателен М.Д.Фаддееву за полезные обсуждения, В.Ф.Лазуткину за указание на идею примера в 3 главы 2, В.Ю. Готлибу, Н.Я.Кирпичниковой и другим сотрудникам лаборатории В.М.Бабича ЛОМИ, В.А.Марченко, Л.А.Пастуру, Ф.С.Рофе-Бекетову и другим участникам семинара кафедры вычислительной математики Харьковского университета за ценные обсуждения.
Описание расширений
Решения обычных задач дифракции (с "неизлучающими" кромками) в пределе при стремлении к нулю ширины щели переходят в решения соответствующих задач дифракции на замкнутом теле. Связь решений задачи со щелью конечной ширины (или отверстием конечного диаметра) с описанной моделью установлена во втором параграфе. Выяснен физическийсмысл параметров расширения.
В третьем параграфе на конкретных примерах разобран вопрос о выборе параметра расширения, при котором наша модель дает приближенное с точностью до О(Ы) где а - ширина щели, решение задачи рассеяния на области со щелью конечной ширины. Рассмотрены двумерные задачи о прямой с конечным отверстием и о резонаторе в форме половины эллипса, открытом в полуплоскость. Проведено сравнение с результатами, полученными в "физических" работах С8, 24J.
В третьей главе исследуется задача о структуре резонансов при рассеянии на системе потенциалов нулевого радиуса.
В первом параграфе построены расширения оператора, связанного с системой, состоящей из У) потенциалов нулевого радиуса. Следующий параграф посвящен вычислению амплитуды рассеяния и исследованию ее поведения в комплексной плоскости спектрального параметра, проведено сравнение с результатом [31], полученным для гладкого рассеивателя.
В третьем параграфе выяснена серийная структура резонансов для данной задачи. Приближенно вычислены вещественные и мнимые части резонансов в случае двух и трех центров, четырех центров в одной плоскости, центров в вершинах правильного тетраэдра, центров на одной прямой.
В четвертом параграфе рассматривается поведение корневых векторов Є , то есть нетривиальных решений уравнения $(к)Є. - О , где к - резонанс, р (к) - матрица рассеяния, преобразованная путем умножения слева и справа на некоторые операторы с тривиальным ядром. Здесь рассмотрены случаи двух и трех центров.
Результаты диссертации докладывались на 4 школе по теории операторов в функциональных пространствах в Минске в 1978 г., на Всесоюзной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" в Черноголовке в IS83 г., на заседании Харьковского Математического Общества в 1984 г., на семинарах в Ленинградском университете в 1980, 1982 гг., на "Дне дифракции" в ЛГУ в 1984 г., на научных конференциях в Ленинградском институте точной механики и оптики в 1979, 1980, 1983 гг. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [17, 18, 20, 21].
class2 Сравнение модельной задачи с задачами рассеяния на областях со щелями
конечной ширины class2
"Излучающие" ребра
В этой главе описано построение модели теории расширений. Решен ряд конкретных модельных задач.
Описание расширений.
Пусть - область в с гладкой границей внутри Пусть, далее, дС - какая-либо гладкая кривая без самопересече-ний на &Q . Рассмотрим оператор где
А , А - операторы Лапласа в fifc , й с условиями Неймана на границе определенные на множестве функций из С , обращающихся в нуль на Э52 вблизи С . Опишем специальный класс расширений опера-тора А . Для этого нам понадобится следующая Лемма I.I. Функции Грина G fag), Q ( j ) задач Неймана в и и Ьг соответственно в окрестности точки имеют асимптотики допускает представление
где /c - фиксированное регулярное значение спектрального пара-метра, Piyj - собственные числа -А } , /? отвечающие им нормированные собственные функции- в случае, когда -Л имеет дискретный спектр, и где т( /эе1;Уу- нормированные на S -функцию рассеянные волны, отвечающие точке абсолютно непрерывного спектра \ ЗС\ оператора А (интегрирование ведется по всем в случае, когда -А ; имеет непрерывный спектр. При наличии кроме непрерывного спектра собственных чисел в формуле (1.3) возникнет сумма, аналогичная (1.2).
Цитированное утверждение доказано в 19 1. Замечание I. Асимптотики (I.l) допускают дифференцирование по
X, (см. [22"]). Замечание 2. Главные члены асимптотик (1.3) вещественны и не зависят от спектрального параметра К .
- 14 Параметризуем кривую Z дайной ее дуги S , отсчитываемой от некоторой точки. Рассмотршл симметрический положительно определенный оператор -Л Г - к-о , Кр - некоторое мнимое число. Область определения сопряженного к нему есть прямая сумма области определения расширения по Фридрихсу жесткого расширения и ядра сопряженного оператора (см. C5U). В нашем случае жесткое расширение имеет область определения И (0. j&H CQ )
с условием ф \ bQL ex = О). Определение. С253. Обозначим Не множество тех обобщенных функ-ций U , для которых преобразование Фурье U есть функция и
Построение расширений
Пусть - фиксированный набор точек из - замыкание оператора Лапласа в , определенного на множестве функций из С (R3) , обращающихся в нуль в точках - - О? . Оператор А# является симметрическим. Необходимым и достаточным условием существования у него самосопряженных расширений является равенство его индексов дефекта. Лемма 3.1. Оператор " о шееУ индексы дефекта (И , Ґ))
Рассмотрим дефектные подпространства )П- \ и )TL \ , \ - точка верхней полуплоскости (L
Область определения сопряженного оператора J& (&& ) состоит из функций, принадлежащих L-z(/R ) и локально Hz -гладких всюду, кроме, быть может, точек .Я: ... . Дефектные подпространства поисываются явно:
к изометрическому оператору TJ , а затем его расширяют, за-давая изометрический оператор U , действующий из одного дефектного подпространства в другое. Затем, возвращаясь к рассмотрению симметрического оператора с помощью обратного преобразования Кэли, получают его расширение.
Рассмотрим резольвенту расширенного оператора, соответ ствующую точке А . на она совпадает с резольвентой исходного, а на XL д строится с помощью опера тора U . Положив -1-- -4-- Р-у 4- » где /д - проек тор на YL\, и пользуясь явньгм видом резольвенты оператора Лапласа, запишем резольвенту расширения в виде: где С J [4-) - некоторые коэф фициенты, которые следует выбирать из условия принадлешюсти U области определения расширения. В свою очередь, конкретное расширение из семейства выбирается заданием подходящих "граничных условий" в точках. Разумеется, в формуле, задающей резольвенту, можно писать не -f д (х,) , а 4 &) так как дефект будет учитываться при выборе С j ( 4-) .
