Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Многофотонное брегговское рассеяние атомов в поле стоячей световой волны
1.1. Введение 12
1.2. Постановка задачи. Адиабатическое приближение 18
1.3. Квазиклассическое решение уравнения (1.8) в координатном представлении 21
1.3.1. Случай малых амплитуд потенциала 21
1.3.2. Рассеяние в интенсивном световом поле 25
1.4. Квазиклассическое решение уравнения (1.8) в дискретном импульсном представлении 29
1.4.1. ВIСБ-приближение для трехчленных рекуррентных соотношений 30
1.4.2. Расщепление энергии в ВКБ-приближении 34
1.4.3. Режим сильного поля 36
1.5. Анализ полученных результатов. Учет спонтанной релаксации атомов 38
Глава 2. Формирование одно- и двухмерных атомных нерасплывающихся волновых пакетов
2.1. Введение 47
2.2. Основные уравнения и приближения 52
2.3. Импульсное распределение 59
2.4. Двухмерные нерасплывающиеся волновые пакеты 64
Глава 3. Перепутывание состояний двухатомной системы в резонаторе
3.1. Введение 71
3.2. Модель и основные уравнения 76
3.3. Интерференция квантовых осцилляции Раби и обмена возбуждением между атомами 79
3.4. Приближенное аналитическое решение 82
Заключение 89
Приложение 1. Функция Грина уравнения (2.9) в импульсном представлении 91
Литература
- Постановка задачи. Адиабатическое приближение
- Квазиклассическое решение уравнения (1.8) в дискретном импульсном представлении
- Основные уравнения и приближения
- Модель и основные уравнения
Введение к работе
Данная диссертация посвящена теоретическому анализу эффектов резонансного взаимодействия атомов с классическими и квантованными электромагнитными полями, протекающих, в том числе, в условиях спонтанной релаксации частиц.
Актуальность темы.
Резонансное взаимодействие атомов с внешним электромагнитным излучением сопровождается обменом энергией и импульсом между частицами и полем. Это обстоятельство позволяет влиять на внутренние и поступательные степени свободы нейтральных атомов, причем для резонансных частиц это влияние сказывается уже в слабых полях. Важно, что степень воздействия на атомы можно легко регулировать, изменяя интенсивность внешнего излучения, его частоту, поляризацию и т.д. Многообразие эффектов, наблюдаемых в рамках резонансного атомно-полевого взаимодействия, доступность и непрерывное совершенствование экспериментальных методов, возможность точного либо приближенного описания явлений в этой области, наконец, практические приложения - все эти факторы способствуют неугасающему интересу к данному разделу физики.
Резонансное лазерное излучение давно и успешно используется для управления пространственным движением атомов. С его помощью можно ускорять и тормозить нейтральные частицы, создавать оптические ловушки, охлаждать атомы до сверхнизких температур [17]. Внешнее поле может выполнять функцию дифракционной решетки, что позволяет изучать интерференцию и дифракцию световых волн [1]. Повышенный интерес вызывает существенно квантовый - брегговский - режим дифракции, когда пучок атомов падает под определенным углом на стоячую световую волну и расщепляется на две пространственно разнесенные компоненты [2-4]. Практические приложения этого явления весьма разнообразны — от создания высокоточных атомных интерфе-
рометров, способных регистрировать тонкие гравитационные эффекты [16], до так называемого атомного лазера — источника когерентных атомных волн [10].
При этом значительные экспериментальные усилия направлены на реализацию брегговской дифракции высших порядков, обеспечивающую макроскопическое расщепление между дифрагирующими пучками. Однако имеющиеся в литературе аналитические выражения для расчета вероятности такого процесса получены в неоправданных приближениях и неадекватно воспроизводят экспериментальные данные.
Другим важным примером управления движением атомов посредством лазерного излучения является формирование сверхузких атомных пучков с помощью поглощающих световых масок [38]. Осознанный недавно факт того, что образующиеся при этом атомные волновые пакеты эволюционируют в пространстве не расплываясь [36], имеет непосредственное практическое значение с точки зрения предельно достижимых размеров фокусировки атомных пучков. Последнее обстоятельство особенно важно в атомной литографии — перспективном аналоге одноименной оптической технологии [39]. Однако существующая теория формирования атомных нерасплывающихся волновых пакетов базируется на открытой модели двухуровневого атома, игнорирующей факт спонтанного распада в нижнее резонансное состояние, что не позволяет оценить влияние этого фактора на характеристики образующихся пакетов и полным образом описать экспериментально наблюдаемую картину.
Наконец, резонансное взаимодействие атомов, помещенных в резонатор, с квантованным электромагнитным полем представляет большой интерес для физики квантовой информации. С помощью этой физической системы успешно продемонстрированы основные особенности манипулирования квантовой информацией [45]. Важная роль в этих исследованиях отводится генерации перепутанных состояний системы "атом + поле" [46]. Высокая степень корреляции таких состояний необходима для функционирования алгоритмов квантовой обработки информации.
В большинстве реализованных схем перепутывание формируется под влиянием единственного фактора - взаимодействия с внешним полем. Вместе с тем современный эксперимент позволяет запускать в резонатор требуемое число атомов с достаточно точным контролем расстояния между частицами. Если межчастичные расстояния малы (меньше длины волны внешнего поля), то заметное влияние на динамику системы оказывает обмен возбуждением между атомами за счет резонансного диполь-дипольного взаимодействия [57]. При этом интерференция двух элементарных типов взаимодействия — с внешним полем и межчастичного - может существенно модифицировать конечные перепутанные состояния. Исследование этого вопроса, а также построение адекватного теоретического описания других перечисленных выше явлений составляет актуальную задачу современной физики взаимодействия электромагнитного излучения с веществом.
Структура и объем диссертации:
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и одного приложения. Общий объем - 99 страниц, включая 21 рисунок и список цитируемой литературы из 63 наименований.
В первых двух главах диссертации исследуются различные аспекты пространственного движения атомов в поле стоячей световой волны. Общим моментом является необходимость учета спонтанной релаксации частиц в нижнее резонансное состояние. Этот вопрос решается как наиболее последовательным образом - в рамках формализма атомной матрицы плотности (глава 2), так и приближенно, с помощью комплексного оптического потенциала (глава 1).
В первой главе рассматривается задача о многофотонном брегговском рассеянии атомов в поле стоячей световой волны. Обсуждаются качественные аспекты, касающиеся брегговского рассеяния, и его возможные приложения; приводится нестационарный гамильтониан, определяющий динамику частиц. Отмечается, что имеющиеся аналитические результаты получены в приближении малой населенности нерезонансных импульсных состояний, что заведомо
6 неверно в случае дифракции высших порядков, протекающей в интенсивных световых полях.
Вместо этого предлагается воспользоваться плавностью продольного профиля поля и адиабатически отделить время в исходном нестационарном уравнении Шредингера. При этом задача сводится к уравнению Матье (по пространственной переменной), зависящему от времени лишь параметрически. Дальнейший анализ этого уравнения проводится в квазиклассическом приближении, причем как в координатном, так и дискретном импульсном представлении. В последнем случае используется ВКБ-метод решения рекуррентного соотношения для амплитуд импульсных состояний.
В квазиклассическом приближении найден спектр адиабатических энергий и волновая функция, отвечающая требуемому начальному условию. При вычислении в дискретном импульсном представлении дополнительно получены формулы, определяющие эволюцию амплитуд импульсных состояний; при этом промежуточные выкладки интерпретируются в духе известной задачи о двухъямном потенциале. Отмечается, что вероятность рассеяния явно зависит от величины расщепления энергетического уровня, увеличивающегося с ростом амплитуды светового поля.
Полученные результаты сравниваются с численным интегрированием исходного уравнения. Констатируется, что излагаемый подход справедлив в достаточно широком диапазоне амплитуд светового поля. Расхождение теории с численным решением при дальнейшем росте амплитуды поля объясняется нарушением адиабатического приближения.
Сравнение с реальным экспериментом требует учета эффектов, связанных со спонтанной релаксацией в нижнее резонансное состояние. Показано, что главные особенности этого явления можно описать с помощью комплексного оптического потенциала. Демонстрируется согласие теоретических и экспериментальных результатов в практически важном диапазоне амплитуд внешнего поля.
Во второй главе приводится теория формирования нерасплывающихся волновых пакетов, образующихся при резонансном взаимодействии плоской атомной волны со стоячей световой волной. Несмотря на то, что эффект возникает за счет спонтанных переходов в нерезонансные состояния, в реальном эксперименте часть атомов (до 32%) релаксирует в нижнее резонансное состояние. Имеющиеся аналитические результаты принципиально не способны учесть это обстоятельство и оценить его влияние на обсуждаемый эффект.
Излагаемый подход основан на решении обобщенных оптических уравнений Блоха для атомной матрицы плотности, описывающих всю гамму оптических и механических свойств атомов во внешнем поле. При этом известные ранее результаты являются частным случаем полученных решений.
Подробно обсуждаются приближения, позволяющие адиабатически исключить возбужденный уровень из системы уравнений для атомной матрицы плотности и свести ее к одному уравнению, определяющему динамику частиц в нижнем резонансном состоянии. Обосновывается возможность локального описания обсуждаемого явления, то есть решения эволюционного уравнения в окрестности узлов стоячей волны.
Свойства нерасплывающихся атомных пакетов, полученные в рамках излагаемого подхода, сравниваются со случаем полностью открытой двухуровневой системы, пренебрегающим спонтанными переходами в нижнее резонансное состояние. Рассчитывается импульсное распределение атомов, результаты сопоставляются с экспериментальными данными. Указывается роль эффекта отдачи при спонтанном излучении фотона в формировании структуры импульсного распределения.
Обсуждается метод формирования двухмерных нерасплывающихся атомных пакетов при помощи двух стоячих световых волн, поляризованных в одной плоскости. Показывается, что обобщение на двухмерный случай особенно очевидно при специальном выборе атомного перехода. Выявлены механизмы управления формой образующихся пакетов.
Для ясности изложения двухмерная задача формулируется в приближении открытой двухуровневой системы (то есть в терминах уравнения Шредингера); обобщение на реалистичный случай полуоткрытой системы проводится аналогично одномерной постановке.
В третьей главе акцент исследования смещается с пространственного движения частиц на динамику внутриатомных и полевых состояний. Изучается перепутывание квантовых состояний системы, состоящей из двух атомов, взаимодействующих с однофотонным электромагнитным полем. Особенностью предлагаемой схемы является учет резонансного диполь-дипольного взаимодействия между частицами.
Формулируется постановка задачи, приводится нестационарный гамильтониан, определяющий динамику системы. Обсуждается численное решение уравнения Шредингера для амплитуд возможных состояний. Показывается, что интерференция двух элементарных типов взаимодействия — с внешним полем и межчастичного - существенно модифицирует результирующее перепутывание по сравнению со случаем невзаимодействующих между собой частиц. В частности, демонстрируется асимметрия между двумя возможными способами поглощения фотона, указывается непосредственная причина такого поведения. Приводится приближенное аналитическое решение, хорошо согласующееся с численными расчетами.
В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.
Для удобства чтения работы каждый параграф снабжен краткой аннотацией. Кроме того, используется система единиц, где h — 1.
Цель и задачи работы.
Целью диссертации является разработка и развитие аналитического описания эффектов распространения атомных волн в поглощающих световых средах, а также исследование процесса перепутывания атомно-полевых состояний. В частности, в работе предполагается
Получить адекватные реальному эксперименту аналитические выражения для расчета вероятности многофотонной брегговской дифракции атомов.
Дать количественную оценку влиянию спонтанных переходов в нижнее резонансное состояние на пространственные и импульсные характеристики атомных нерасплываюпщхся волновых пакетов. Обобщить метод формирования нерасплывающихся пакетов на двухмерный случай.
Исследовать процесс перепутывания квантовых состояний двухатомной системы под воздействием двух конкурирующих процессов — взаимодействия с внешним квантованным полем и резонансного диполь-дипольного взаимодействия между атомами.
Научная новизна результатов работы.
В адиабатическом и квазиклассическом приближении получена формула для расчета вероятности многофотонного брегговского рассеяния атомов, а также более общие выражения, определяющие эволюцию атомного импульсного распределения. В отличие от известных ранее результатов, предложенное аналитическое описание справедливо в практически важном диапазоне амплитуд светового поля, который, в том числе, включает значение, отвечающее первому максимуму вероятности рассеяния.
В приложении к задаче о брегтовском рассеянии метод комплексного оптического потенциала использован для учета явлений, связанных со спонтанной релаксацией в нижнее резонансное состояние. Корректно описан эффект затухания вероятности брегговского рассеяния в интенсивных световых полях.
Теория формирования нерасплывающихся атомных волновых пакетов в поле стоячей световой волны обобщена на реалистичный случай полуоткрытой двухуровневой системы. В рамках формализма обобщенных оптических уравнений Блоха получена количественная оценка степени уширения стационарного пространственного распределения частиц за счет спонтанных переходов в нижнее резонансное состояние. По сравне-
нию с известными ранее результатами уточнена структура импульсного распределения атомов — теоретически описан фон, связанный с некогерентным перемешиванием атомных импульсов при спонтанном излучении фотона. Предложен метод формирования двухмерных нерасплываю-щихся пакетов и способы управления их формой. 4) Исследован процесс перепутывания квантовых состояний системы "два атома + однофотонное электромагнитное поле". Особенностью рассматриваемой модели является учет резонансного диполь-дипольного взаимодействия между атомами. Показано, что интерференция двух элементарных процессов - взаимодействия с внешним полем и обмена возбуждением за счет диполь-дипольного взаимодействия - существенно модифицирует конечные состояния системы по сравнению со стандартными схемами перепутывания. На масштабах, меньших длины волны внешнего поля, конечные состояния системы резко зависят от расстояния между траекториями взаимодействующих атомов. Демонстрируется чувствительность перепутанных состояний к разности фаз внешнего поля, действующего на атомы.
На защиту выносятся следующие основные положения:
Результаты расчета вероятности многофотонного брегговского рассеяния атомов в интенсивных световых полях.
Развитие метода комплексного оптического потенциала применительно к задачам распространения атомных волн в поглощающих световых средах.
Метод формирования двухмерных атомных нерасплывающихся волновых пакетов и способы управления их формой.
Эффект перепутывания состояний двухатомной системы в резонаторе с учетом резонансного диполь-дипольного взаимодействия между атомами.
11 Практическая ценность полученных результатов.
Аналитические выражения, полученные в первой главе диссертации, позволяют рассчитывать вероятность многофотонного брегговского рассеяния атомов - явления, широко используемого в приложениях (атомная интерферометрия, оптика бозе-конденсатов и т.д.). Полученные результаты учитывают реальные экспериментальные условия (продольная огибающая светового поля, спонтанная релаксация атомов) и справедливы в практически важном диапазоне амплитуд светового поля.
Установленные свойства нерасплывающихся атомных волновых пакетов (вторая глава) представляют интерес для целей атомной литографии - нового метода формирования наноструктур. С этой же точки зрения важен предложенный метод формирования двухмерных нерасплывающихся пакетов.
Излагаемая в третьей главе схема перепутывания квантовых состояний принципиально реализуема на практике. Обнаруженные дополнительные эффекты, связанные с диполь-дипольным взаимодействием атомов, могут быть полезны для будущих экспериментов по многочастичному перепутыванию, направленных, в конечном счете, на поиск новых механизмов по управлению и обработке квантовой информации.
Апробация диссертационной работы:
Изложенные в диссертации результаты докладывались на Научной сессии МИФИ (2003, 2006); на международных конференциях 11th International Laser Physics Workshop (Bratislava, Slovak Republic, July 2002), 12th International Laser Physics Workshop (Hamburg, Germany, August 2003), XXIII Съезде по спектроскопии (Звенигород, Россия, октябрь 2005), Четвертом семинаре памяти Д.Н. Клышко в Московском университете (май 2005).
По теме диссертации опубликовано 10 работ. Основные результаты, изложенные в диссертации, содержатся в [20,21,40-43, 54-56].
Постановка задачи. Адиабатическое приближение
Рассмотрим пучок двухуровневых атомов, распространяющийся вдоль оси z и взаимодействующий со стоячей световой волной E{z) cos he sin cot (рис. 1, случай а). Угол в определяет начальный импульс налетающих атомов. Частота света а) = кс = со0 + А отстроена от частоты й)0 атомного перехода \g) - \е) на величину А. Амплитуда E{z) характеризует продольный профиль стоячей волны и имеет вид гауссовской огибающей. Продольная (тепловая) скорость частиц vz. велика, и ее изменением в процессе взаимодействия можно пренебречь; таким образом, можно положить z /vz, = t. Взаимодействие атомов и светового поля учитывается в дипольном приближении и определяется величиной матричного элемента дипольного момента атома d на переходе \g) \e). Динамика двухуровневого атома во внешнем поле определяется уравнением Шредингера для волновых функций 4?e(x,t), 4 ( ,/), описывающих движение частицы в возбужденном \е) и основном \g) состоянии д Л„ р2 І— + А е g dt ) 2т 4 e=- 4 e-dEcoskx4 l!, (1.1) V-dEcosfoW,. (1.2) dt 2т g е В эксперименте [14], обсуждаемом в данной главе, отстройка от резонанса А существенно превышает частоту индуцированных переходов dE между основным и возбужденным состоянием, dE zA. Кроме того, величина А много больше приобретенной в процессе взаимодействия поперечной кинетической энергии, A rN2 В этих условиях можно пренебречь временной и пространственной производной в (1.1) (процедура адиабатического исключения верхнего уровня [17]). При этом плавное включение внешнего поля обеспечивает адиабатическую эволюцию атомов в состоянии \g)+- 1 ) w \s)
Таким образом, в основном атомы находятся в нижнем состоянии, и их пространственная динамика определяется нестационарным гамильтонианом л2 H=-?- + V(x,t) (1.3) 2т с эффективным оптическим потенциалом [17] V(x,t) = ±—t-exv{ t2/T2 }cos2 he. (1.4) В отличие от режима Рамана-Ната, когда поперечным смещением частиц за время взаимодействия Т можно пренебречь, в брегговском режиме атом успевает пересечь несколько пространственных периодов стоячей волны. Действительно, для импульсов рх к поперечное смещение в единицах длины волны поля kvxT єгТ 1. В этих условиях оператор кинетической энергии должен быть сохранен в гамильтониане (1.3), что с учетом нестационарности потенциала (1.4) не оставляет надежд на точное решение временного уравнения Шредингера. Тем не менее в случае брегговского рассеяния высших порядков можно привести приближенное аналитическое описание. Введем безразмерные переменные кх- х, ert tn новую волновую функцию -/ -00 F(jc,0- exp« I $V(t )dt 4!{х,і). При этом уравнение Шредингера с гамильтонианом (1.3) принимает вид Ш д2у dt дх2 где + V(t)cos2x (1.5) V(t) = V0exp(2/T2), П=Щ-. (1.6) Начальным условием (при t -» -оо) для уравнения (1.5) является плоская волна с импульсом р s рх/к = N, где N- порядок брегговского рассеяния. Уравнение (1.5) не меняется при трансляциях х - х + тг. С учетом начального условия его решение периодично при четных N и антипериодично, если N нечетно. Нестационарный характер гамильтониана (1.3) требует разумного приближения для отделения времени в уравнении (1.5). Продольный профиль светового поля определяется плавной гауссовской огибающей с шириной Т. Поэтому волновую функцию можно искать в адиабатическом приближении, то есть (p(x,t), (1.7) 4t(x,t) = expl-ijs(t )dt где функция (p(x,t) медленно меняется со временем (по сравнению с экспоненциальным множителем) и подчиняется стационарному уравнению Шредингера d2cp + ((0-F(0cos2x)p = 0. (1.8) dx В параграфе 1.5 будет дано условие применимости приближения (1.7). Начиная с этого момента все величины (волновая функция, адиабатические энергии, по 21 тенциал) зависят от времени как от параметра. Отметим, что функция (p(x,t) квазипериодична по пространственной переменной, то есть (р{х + 7r,t) = einq(p{x,t), (1.9) причем квазиимпульс q = О, если порядок брегговского рассеяния N— четное число и q = 1, если N нечетно. Формальные решения уравнения Матье (1.8) хорошо известны. Однако их использование требует численных вычислений, эквивалентных по трудоемкости прямому численному интегрированию исходного уравнения. Заметим, что многофотонное брегговское рассеяние сопровождается передачей атому значительного поперечного импульса. Поэтому в следующих параграфах уравнение (1.8) будет проанализировано в квазиклассическом приближении, причем как в координатном, так и в дискретном импульсном представлении.
При значениях потенциала, малых по сравнению с начальной кинетической энергией атома, квазиклассическое решение уравнения (1.8) будет построено с помощью функции, описывающей процесс высоконадбарьерного отражения. Условие квазипериодичности позволит получить дисперсионное уравнение для адиабатических энергий. Каждый энергетический уровень отвечает определенному порядку брегговского рассеяния и состоит из двух расщепленных термов. Расщепление уровня происходит в меру отличия от нуля коэффициента над-барьерного отражения. Вероятность рассеяния явно зависит от величины расщепления и, ввиду его квазиклассической малости, невелика.
Рассмотрим случай, когда амплитуда потенциала V0 настолько мала по сравнению с энергией частицы s(t) N2, что импульс vl/2 P(x) - (є(0 - V{i)oos2x) велик всюду на оси х, и с хорошей точностью можно воспользоваться квазиклассическим приближением (рис. 1.2, случай а). V(t)cos2x (а) (б) Рис. 1.2. Область применимости квазиклассического приближения в зависимости от амплитуды потенциала, (а) — в слабых полях квазиклассическое приближение справедливо всюду на оси х; (б) — при больших амплитудах поля квазиклассическое приближение нарушается в окрестности максимумов потенциала. ВКБ-функции сшиваются здесь с помощью точного решения в параболическом потенциале. Общее решение уравнения (1.8) на интервале -л х ж запишем в виде суперпозиции комплексно сопряженных (и, следовательно, линейно независимых) функций (р{х) = Сх% (х) + С2ф0(х). Квазиклассическая функция р0(х) где [M,(JC), JC 0, Фо(х) = \ , [7і + Д2м,(х) + Де-,ж/2и2(л;), х 0, (1.10) ииг(х)= . ехр yjp(x) ±i\p{xx)dx о (1.11) R = exp-j-]yJe-VcoshgdgL cosh0=/F, (1.12) описывает процесс высоконадбарьерного отражения. Коэффициент отражения R в формуле (1.10) определяется методом Ландау-Дыхне, то есть с помощью обхода комплексной точки поворота р(хо) = 0 в комплексной плоскости. Коэффициент при падающей волне подправляется из условия сохранения плотности потока вероятности. Условие квазипериодичности (1.9), примененное к решению (1.10) на интервалах -7г х 0 и 0 х яг, приводит к дисперсионному уравнению для адиабатических энергий e(t) Vl+ 2cos5 = ±l, (1.13) где S= \ 4s — Vcos2xdx есть квазиклассическая фаза, набираемая на периоде поля. Для брегговского рассеяния четного (нечетного) порядка в правой части (1.13) берется положительный (отрицательный) знак.
Зависимость адиабатических энергий от времени. Изображенные уровни извлекаются из дисперсионного уравнения (1.13) и отвечают пятому порядку рассеяния. Площадь между ветвями графика определяет фазу синуса в формуле (1.14) для вероятности рассеяния, (а) — амплитуда потенциала невелика, V0 = 10, и расщепление уровней квазиклассически мало, (б) — при большей амплитуде поля расщепление заметно увеличивается.
Квазиклассическое решение уравнения (1.8) в дискретном импульсном представлении
Рассмотрим, для определенности, случай многофотонного брегговского рассеяния четного порядка N = 2n0 »1. При этом ряд Фурье функции (p(x,t), удовлетворяющей уравнению Матье (1.8), содержит лишь четные гармоники p(x,t) = C„(0exp(/2m:), (1.25) причем до взаимодействия С„(-оо) = 0, если пФщ и С„(-оо) = 1, если п = п0. Подставляя разложение (1.25) в уравнение (1.8), получаем трехчленное рекуррентное соотношение для амплитуд вероятности дискретных импульсных состояний 2В(п)С„ = С„_х+Сп+1, (1.26) где V Соотношение (1.26) и его формальные решения хорошо известны в теории уравнения Матье. Практическое использование этих решений требует значи зо тельных численных усилий, эквивалентных прямому численному интегрированию исходного уравнения. Многофотонная брегговская дифракция подразумевает большие значения дискретной переменной и»1, поэтому соотношение (1.26) будет проанализировано в ВКБ-приближении, предложенном в работах [22,23]. Результаты параграфов 1.4 и 1.5 опубликованы в [20,21].
В данном пункте приводится краткий качественный вывод ВКБ-решений рекуррентного соотношения (1.26) и обсуждаются их свойства. В рамках имеющихся в оригинальной работе [22] результатов спектр адиабатических энергий состоит из нерасщепленных уровней, что недостаточно для расчета вероятности рассеяния. Будем искать решение соотношения (1.26) в виде С„ =exp{S(ri)}, где S(n) большая квазиклассическая фаза, зависящая от дискретной переменной и»1 (см. [24]). Такая подстановка сводит (1.26) к виду 2В(п) = exp {S(n -1)- S(n)} + exp {S(n + 1)- S(n)}. (1.27) Заметим, что S n в то время как dS/dn \, d2S/dn2 1/«. Пользуясь этим, разложим показатели экспонент в выражении (1.27) „. , .. _, ч , dS 1 d S S(n±\)-S(n) = ±— + -—T. dn 2 dn Получающееся уравнение решается последовательными приближениями: S = S0 + S}, S0:» 5,. Пренебрегая членами порядка \jn, в нулевом порядке имеем 2В(п) = exp (S 0 ) + exp (So). Отсюда S0 = ± Jarccosh \B(ri)\ dn ± inn, B(ri) -1, ± J arccosh B(n)dn, B(ri) 1, ±i Jarccos B{n)dn, #(w) 1. Следующая итерация приводит к уравнению для поправки Sx s;(exP( ) - exp(-,s;))=-B(n)s; с решением 1 4 і Таким образом, два линейно независимых решения соотношения (1.26) для различных п можно представить в виде 1 ( " Л С= . exp ±/farccosff()/A: , Я(и) 1, (L28) і ( п Л С„= , 2 exp +Jarccosh() / , 5(и) 1. (1.29)
Эти выражения по структуре напоминают стандартные квазиклассические функции в координатном представлении. Большая фаза в (1.28) порождает быстрые осцилляции решения, а предэкспоненциальный множитель меняется медленно везде кроме окрестностей точек поворота п)а, определяемых условием В2{п) 2)-\. Поэтому в соответствии с обычной терминологией область I на рис. 1.5 (случай а), где 5(«) 1, называется классически разрешенной. В классически запрещенных на оси п областях II и III, где \В(п)\ 1, решение (1.29) экспоненциально возрастает или убывает. На рис. 1.5 классически разрешенные и запрещенные области отделены друг от друга линиями (2ri)2±V. До и после взаимодействия (при f-»+oo), когда F(0 0, классически разрешенная область I становится чрезвычайно узкой, и все нерезонансные состояния /? ±2я0) находятся в классически запрещенной области. Поэтому вероятность их заселения до и после взаимодействия стремится к нулю по экспоненциальному закону. Напротив, резонансные состояния \р = 2п0) локализованы в разрешенной области при любом значении потенциала и "выживают" после пролета атома через стоячую волну.
Сшивка ВКБ-решений (1.28) и (1.29) осуществляется в работе [22] путем сравнения асимптотик ВКБ-функций и точного решения соотношения (1.26) с коэффициентом B(ri), линеаризованным в окрестности точки поворота. Выпишем требуемые нам в дальнейшем правила соответствия между ВКБ-решениями на различных участках оси п.
Предположение о непроницаемости барьера между классически разрешенными областями приводит к двукратному вырождению энергии, соответствующему локализации решения в правой или левой разрешенной области.
Правило квантования (1.32) получено в оригинальной работе [22] и подразумевает, что вероятность туннелирования сквозь барьер (или, что то же, вероятность рассеяния р = 2п0 - р = -2 ) равна нулю. Чтобы получить ненулевую вероятность рассеяния в ВКБ-приближении, в следующем пункте мы найдем расщепление энергетического уровня. По аналогии с известной задачей о двухъямном потенциале, для этой цели будут использованы симметричные и антисимметричные комбинации решения, локализованного в одной из разрешенных областей. Подобная техника работы с ВКБ-решениями рекуррентных соотношений использовалась также для исследования спектра в квадратичном эффекте Зеемана и Зеемана-Штарка (см. обзор [23]).
Ее значение выражается через эллиптический интеграл первого рода К(к). Во избежание недоразумений отметим, что обращение нормировки (1.34) в ноль при V — О связано с заменой суммирования интегрированием конечной функции по бесконечно узкой разрешенной зоне. Результат (1.34) можно использовать при достаточно широкой разрешенной зоне, п2-п) \, что в терминах потенциала и энергий эквивалентно условию e V y/s. В противном случае следует ограничиться простейшей нормировкой ІЯ = F2.
До и после взаимодействия (при /- ±оо) все нерезонансные состояния \рфійп0) находятся в запрещенной зоне, следовательно Д ±/% - 0. Напротив, предельный переход при V -» 0 в амплитудах резонансных состояний приводит к ненулевым значениям (с точностью до общего фазового множителя): /- 1/2 ,_%- ±1/2. В каждый момент времени квадрат модуля коэффициента в разложении (1.36) с точностью до нормировочного множителя определяет вероятность заселения конкретного импульсного состояния. Нетрудно убедиться, что вероятность рассеяния при f-»+oo по-прежнему определяется выражением (1.14) и незначительна по величине ввиду экспоненциально малого расщепления уровней. В случае большой амплитуды поля, VQ N2, результаты данного пункта позволяют вычислить заселенность импульсных состояний лишь на начальном и конечном этапе пролета атома через область взаимодействия. Следующий пункт содержит описание промежуточной стадии эволюции, когда адиабатические энергии близки к значению потенциала, а вероятность туннелирования через барьер в импульсном пространстве велика.
Основные уравнения и приближения
В данном пункте формулируются основные приближения, позволяющие найти аналитическое решение обобщенных оптических уравнений Блоха для атомной матрицы плотности. Приводится решение для диагонального (по пространственным переменным) элемента, определяющего пространственное распределение частиц в нижнем резонансном состоянии. Показано, что процесс формирования НВП затягивается во времени, а их стационарная ширина увеличивается по сравнению с моделью открытого двухуровневого атома. Результаты параграфов 2.2 и 2.3 опубликованы в [40,42].
Рассмотрим пучок двухуровневых атомов, распространяющихся вдоль оси у и взаимодействующих со стоячей световой волной EsinAxcosfitf, настроенной в резонанс с частотой атомного перехода соа=Ее-Ет = со, где со - частота лазерного излучения, к = со/с и й = 1. Даже в случае медленных атомов, использованных в эксперименте [36], продольная скорость vy достаточно велика, чтобы пренебречь ее изменением в процессе атомно-полевого взаимодействия. При этом условии поведение двухуровневого атома описывается матрицей плотности py(xltx2,y) = Pq(xl9x29t = y/vy}, i,j = m,e, где индексы т и е обозначают, соответственно, нижнее и верхнее состояние атома. Двухточечная матрица плотности р0(х х2 ) определяется из решения обобщенных оптических уравнений Блоха (см., например, [17]) дГ+iypee=$ " f Pee" VxPme+V2pem +i\pem = {Tx2)pem-V,Pmm+V2pa (2.1) (2.2) (2.3) Здесь fl2 = -(\/2M)d2/dxf2 - операторы поперечной кинетической энергии атома с массой М; Vl2 =Q0sinfo;I2; Q0 = d E - частота Раби с дипольным матричным элементом dme = (wde). Недиагональные (по атомным состояниям) элементы матрицы плотности связаны между собой соотношением
Ширина верхнего рабочего уровня y = y0+yg определяется спонтанными переходами в нерезонансное состояние \g) (основное состояние аргона) со скоростью ив нижнее (метастабильное) резонансное состояние \т) со скоростью у0 (рис. 2.2). Будем называть такую двухуровневую систему полуоткрытой. Излагаемые ниже результаты верны при условии, что величина yg не слишком мала, или, что то же, отношение у J у не слишком близко к единице.
Полуоткрытая двухуровневая система. Ширина верхнего уровня y = y0+yg определяет спонтанные переходы в нижнее резонансное состояние \т) со скоростью у0 и в нерезонансные состояния \g) со скоростью yg. Член у0рее в правой части уравнения (2.1) отвечает за накачку нижнего состояния \т) вследствие спонтанных переходов из верхнего состояния \е). Он содержит зависящую от координат функцию у0 = у0 р(х1 х2), описывающую эффект отдачи вдоль оси дг при спонтанном переходе в нижнее состояние. Из общих соображений известно [17], что (р(0) = \ и р{х) убывает с ростом х.
Например, для линейно поляризованного внешнего поля Е и перехода jm = 0 - je = 1 значения функции ф(х) в узлах поля равны (р(яп/к) = \3/27Г2)гі 2, где я = ±1,±2,... Как будет видно ниже, для излагаемого подхода можно ограничиться простейшей аппроксимацией: д)(х1 -х2) = 1 при хх=х2 и р(х1 -х2) = 0при ДГ, Ф х2. В достаточно сильных полях, когда Q0 у, локальный параметр насыщения (Q0 /у) sin far, 2 , а следовательно, и населенность верхнего уровня рее порядка единицы при условии, что д:, и дг2 не слишком близки к узлам поля. В результате атомная матрица плотности р.} убывает со скоростью порядка yg почти всюду в плоскости дг,д:2 за исключением малых окрестностей дг, 2 У к узлов стоячей волны {«,#/&,w /A;}, где и, 2 целые числа. В этих окрестностях населенность верхнего уровня мала, рее «: 1, и, следовательно, необратимые потери вследствие спонтанной релаксации сильно подавлены.
Обсудим приближения, в которых решается система (2.1)-(2.3). 1) В окрестностях кдхх J sc 1 в уравнениях (2.2), (2.3) можно опустить производные по времени. Действительно, в указанных областях характерные частотные масштабы задачи - скорость спонтанной релаксации ( урее) и локальная частота индуцированных переходов Q0 sin for, 2 - много меньше величины /: урее zy, Q0sinfoc,2 є.у (при Q0 у). 2) Далее, частота отдачи а)г = к2/2М мала по сравнению с у, обычно й)г 10 3у [17]. Поэтому существует область времен \/y g.t z.(\j у)yjfy/a)r, для которых (при умеренных полях Сї0 у) приобретенная в процессе взаимодействия поперечная кинетическая энергия много меньше ширины верхнего уровня у. Действительно, р2 (№0t)2 к2(П0)\ Ч2 17 Г =17 О") у (2-4) м М Му у ) Следовательно, в уравнениях (2.2), (2.3) можно также опустить пространственные производные. При этом верхний уровень адиабатически исключается из системы (2.1)-(2.3). В самом деле, уравнения (2.2), (2.3) приобретают вид 2/ V Рет& Ъ ) = A fo l»0 = —(VxPmm Рее) 2І Ртт (2 5) у у і VV Pee(xvx2,t) -{Vxpme - V2pem) 4- -pmm, (2.6) у у причем потенциалы Vh2 рассматриваются вблизи узлов поля, где их можно линеаризовать.
3) Оценка, аналогичная (2.4), показывает, что значительное поперечное смещение атома (порядка пространственного периода поля) происходит за время, много большее величины \jyg \/у, когда вне малых окрестностей узлов стоячей волны матрица плотности обращается в ноль. В силу этого весь процесс формирования нерасплывающихся волновых пакетов из плоской атомной волны можно описать локально, решая систему (2.1)-(2.3) вблизи узлов поля с момента t = 0. Подстановка выражений (2.5), (2.6) в (2.1) приводит к уравнению для функции p{x\-,x2,i) = pmm{xx,x2,t), где переменные х, и х2 рассматриваются вблизи узлов. Важно, что в уравнении (2.1) удерживается не только временная, но и пространственные производные. Последние отвечают за процесс квантового рас-плывания, препятствующий бесконечному сужению волнового пакета.
До сих пор поведение матрицы плотности p{xvx2,t) рассматривалось в тех областях, где х1 и х2 лежат вблизи одного и того же узла поля, то есть хх «х2. Этого достаточно, чтобы найти диагональный матричный элемент p(x,x,t), то есть пространственное распределение. Недиагональные элементы p(x],x2,t), ххФх2, несут в себе фазовую информацию. Их вычисление еще менее сложно, так как в случае, когда х, и х2 меняются в окрестностях различных узлов, зависящее от у0 слагаемое в уравнении (2.7) можно опустить ввиду бы 59 строго убывания функции ф(хх -х2), участвующей в определении оператора отдачи. Отметим, что в эксперименте [36] непосредственно измеряется не координатное, а импульсное распределение частиц. Поэтому в следующем параграфе будет рассчитано импульсное распределение атомов в реалистичных условиях полуоткрытой двухуровневой системы.
Модель и основные уравнения
В данном параграфе формулируется схема перепутывания состояний двухатомной системы и однофотонного поля. Приводится вектор состояния и уравнения, определяющие динамику системы. Результаты параграфов 3.2-3.4 опубликованы в [54-56]. Рассмотрим два летящих навстречу друг другу атома (рис. 3.1), одновременно пересекающих высокодобротный резонатор, где они взаимодействуют с модой квантованного электромагнитного поля. Оператор напряженности электрического поля имеет вид Ё(г,0 = ]—е2(сеікг ш +с е-ікг+ш) Здесь V - это объем резонатора, ez - вектор поляризации поля, с и с - операторы рождения и уничтожения фотона. Частота поля со = кс настроена в резонанс с частотой атомного перехода между основным \g) и возбужденным \е) состоянием двух идентичных атомов. Мы рассматриваем случай, когда элементарным возбуждением является бегущая волна, что реализуется в резонаторах кольцевого типа. Поле в резонаторе изначально приготовлено в однофотонном состоянии.
Во время пролета первоначально невозбужденных атомов единственный фотон может поглотиться любым из двух атомов, что приводит к перепутыва-нию внутренних атомных состояний. Кроме того, процесс поглощения фотона инициирует резонансное диполь-дипольное взаимодействие между частицами. Безызлучательный обмен возбуждением между атомами приводит к дополнительному перемешиванию атомных состояний и существенно изменяет их пе-репутывание с полем. Таким образом, совместное действие двух элементарных процессов формирует конечные перепутанные состояния.
Рассмотрим нашу модель в простейшей геометрии, показанной на рис. 3.1. Атомы движутся в плоскости ху вдоль прямолинейных классических траекторий, находящихся на расстоянии а. Предполагается, что в процессе взаимодействия скорость частиц v не изменяется, поэтому можно положить y/v = t. Это допущение справедливо, если энергия отдачи при излучении фотона и величина диполь-дипольного взаимодействия d2/a3 много меньше продольной кинетической энергии частиц. Эти условия легко выполнимы даже для сильно охлажденных атомов. Волновой вектор поля к направлен вдоль оси х, а атомные диполи, а также вектор поляризации е2 ориентированы по нормали к плоскости движения атомов. В такой ситуации вектор состояния системы атомы+поле имеет вид С (0е- Ъ )0) + С (/ (3.2) где 0) и l) - фоковские состояния поля, а фазовые множители exp{±ika/2} введены для удобства изложения. Динамика рассматриваемой системы определяется нестационарным гамильтонианом вида d,d2 R\t) Н = -c Efo,/) - d2E(r2,0 + - -. (3.3) Первые два члена в (3.3) описывают резонансное взаимодействие атомов и поля и будут учитываться, как обычно, в приближении вращающейся волны. Ди-поль-дипольное взаимодействие определяется третьим слагаемым, с зависящим от времени межчастичным расстоянием R(t) = yja2 +v2(T-2t) и пролетным временем Т. Предполагается, что атомы влетают в резонатор одновременно. Уравнение Шредингера для амплитуд вероятности С№, Cge и Ceg имеет следующий вид dt СІ Qл/2 es Ті " дСі ge -.dt Q С \ d eikaC 4l a R\t) eg ідС«-dt П С l d% e ikaC 4laR\t) ge ЯГ о п (3.4) (3.5) (3.6) где Q. = 2dyJ7ro)/V - частота Раби, а амплитуды вероятности удовлетворяют начальным условиям и требованию нормировки: С (0) = 1, Ceg(0) = Cge(0) = 0, К + С,ш +к 1. 3.3. Интерференция квантовых осцилляции Раби и обмена возбуждением мемеду атомами В данном параграфе обсуждается численное решение системы (3.4)-(3.6). Атомы, движущиеся по пространственно разнесенным траекториям, "чувствуют" разность фаз поля, что в присутствии диполь-дипольного взаимодействия приводит к асимметрии между двумя возможными способами поглощения фотона. В отсутствие диполь-дипольного взаимодействия решение системы (3.4)-(3.6) Ce(0 = cosQf, C„(/) = - sinQf (3.7) описывает хорошо известные квантовые осцилляции Раби [50]. В таком случае единственное отличие от схемы, предложенной в работе [50], заключается в том, что теперь в перепутывании участвует двухатомная система. Каждый из двух атомов может поглотить фотон с одинаковой вероятностью, Cge(0 = Q (0 =0.5sin2Qf. В частности, если пролетное время Т подчиняется условию Q.T = я/2, то фотон с единичной вероятностью поглощается каким-либо из атомов: \Ceg (Г)2 + \Cge (Т)\2 = 1. Результаты численного интегрирования системы (3.4)-(3.6) представлены на рис. 3.2 и соответствуют следующим значениям параметров задачи: ОТ = 0.45л- - фаза осцилляции Раби, близкая к условию 100% поглощения фотона (см. выше); kvT = 20я - продольный размер резонатора в единицах длины волны, k d2/0, = 0.55 - отношение межчастичного взаимодействия на длине волны поля к частоте Раби . Построенные графики отвечают разным значениям параметра ка. В отличие от случая невзаимодействующих частиц, изображенного на рис. 3.2 точечными линиями, диполь-дипольное взаимодействие нарушает симметрию между двумя возможными способами поглощения фотона, то есть Cge(t)\ НСед(0 Этот факт легко осознать. л = 0.061 (є) 0.5 г 0.4 0.3 0.2 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t/T (г) Рис. 3.2. Эволюция вероятностей С Д ) (сплошная линия) и С Д ) (штрихованная линия) для различных расстояний между атомными траекториями. Параметры задачи: ОГ = 0.45лг, kvT = 20x, k3d2/Q = 0.55. Точечная линия соответствует случаю невзаимодействующих частиц (3.7). На вставке к случаю (б) показана окрестность точки t=T/2, где диполь-дипольное взаимодействие имеет острый максимум. Штрихпунктирная линия является аналитическим результатом (3.10), практически совпадающим с численным интегрированием системы (3.4)-(3.6) вне этой окрестности. Разрыв в аналитических решениях является следствием аппроксимации диполь-диполъного взаимодействия дельта-функцией.
В самом деле, атомы, двигающиеся вдоль пространственно разнесенных траекторий, находятся под влиянием квантованного электромагнитного поля с разной фазой. Для невзаимодействующих частиц эти различные фазовые множи і . і2 тели не влияют на вероятности C J и могут быть включены в определение вектора состояния системы, как это и сделано в выражении (3.2). В случае взаимодействующих атомов члены, ответственные за диполь-дипольное взаимодействие, приобретают разные фазовые множители, exp{±ika], что приводит к потере симметрии системы (3.4)-(3.6) и различию функций Cge(0 и C (f) В области времен t T/2 величины Cge(/) и Ceg(/) практически совпадают. Существенная модификация этих функций происходит при временах t T/2. Это объясняется тем, что диполь-дипольное взаимодействие d2/R (t) достигает своего пика в момент / = Г/2, соответствующий максимальному сближению частиц, и быстро убывает вне малой окрестности этой точки. Заметим, что именно в этот момент наличие различных фазовых множителей становится особенно важным, так как члены, ответственные за взаимодействие в уравнениях (3.5)-(3.6), одинаковы по модулю.
Как уже отмечалось, два типа элементарных процессов - поглощение (излучение) фотона и безызлучательный обмен возбуждением между атомами -определяют поведение рассматриваемой системы. Как правило, когда разные механизмы могут влиять на амплитуду вероятности какого-либо процесса, это приводит к явлению интерференции. Интерференционный эффект четко прослеживается, например, на рис. 3.2, случай в, где величина Cge(0 - Ceg(r) осциллирует и меняет знак. Окончательные вероятности \Cge(Т)\ и Ceg(r) зависят от параметра ка. Поэтому эту величину можно использовать для контроля над перепутыванием, меняя расстояние между атомными траекториями. Дополнительным механизмом регулирования асимметрии между функциями Cge(/) и Ceg(0 может служить угол между волновым вектором к и плоскостью движения атомов. В следующем параграфе излагается приближенное аналитическое решение рассматриваемой модели. 3.4. Приближенное аналитическое решение Резкая зависимость диполь-дипольного взаимодействия от межчастичного расстояния позволяет заменить его дельта-функционным встряхиванием в момент наибольшего сближения частиц.
Похожие диссертации на Брегговское рассеяние, комплексный потенциал и перепутывание состояний в атомной оптике
