Введение к работе
Актуальность работы
На протяжении нескольких десятилетий квантовомеханическая задача о блохов-ском электроне в постоянном магнитном поле неизменно привлекает внимание физиков [1-8]. Дело в том, что действие магнитного поля и периодического потенциала на электрон существенно различаются по своей природе. Магнитное поле формирует дискретные уровни Ландау, в то время как периодический потенциал приводит к образованию энергетических зон. С того момента, как Ландау решил квантовую задачу о движении электрона в магнитном поле, в основу расчетов электронных состояний было положено представление о дискретных уровнях энергии. Так, в металлах эти дискретные уровни можно получить в приближении Лифшица-Онзагера, а в полупроводниках
— в приближении эффективной массы (при этом не учитывается расщепление уровней
Ландау периодическим полем кристаллической решетки). На основе этих подходов
было проведено изучение осцилляционных кинетических и термодинамических эффек
тов в твердых телах, исследование магнитооптических, магнитоакустических и транс
портных явлений.
Впервые эффект уширения уровней Ландау в периодическом потенциале был рассмотрен в работах [6,7]. Было показано, что уже в приближении слабого по сравнению с энергией Ландау периодического потенциала происходит снятие вырождения по центру орбиты, и каждый уровень Ландау расщепляется на магнитные подзоны. Позже была исследована симметрия состояний электрона в двумерном периодическом потенциале и в перпендикулярном магнитном поле [5], рассмотрено приближение сильной [1,2,4] связи электрона с решеткой, помещенной в магнитное поле. В этом случае внешнее магнитное поле изменяет структуру энергетической зоны и формирует спектры типа "бабочек" Ховпгтадтера [4].
Несмотря на стремительное развитие теории, вплоть до настоящего времени экспериментальное наблюдение эффектов, связанных с перестройкой спектра блоховско-го электрона в магнитном поле не проводилось. Это связано с тем, что для регистрации магнитных подзон типа "бабочки" Ховштадтера в реальных кристаллах с постоянной
решетки порядка U.3 ПШ необходимы магнитные поля порядка . Такие
магнитные поля еще не доступны экспериментаторам. Однако, в настоящее время, благодаря достижениям в наноэлектронной технологии, стало возможным создание искусственных кристаллов — поверхностных сверхрешеток с периодами 20 — 600 ҐІЇҐІ
— значительно меньшими длины свободного пробега электрона [9,10]. В таких систе
мах для наблюдения расщепленной структуры уровней Ландау необходимы доступные
в настоящее время магнитные поля. В частности, для решеток с периодами порядка
сотен нанометров, полученных методами электронной литографии [8,10], для экспери
ментальной регистрации магнитных подзон необходимы магнитные поля, не превы
шающие . Подобные сверхрешетки являются удобными и практически цен
ными объектами для экспериментального изучения квантовых состояний блоховского
электрона в магнитном поле [8].
В последнее время появился ряд работ, посвященных экспериментальному изучению искусственных поверхностных кристаллов в магнитном поле. "Охота" за "бабочкой" Ховштадтера началась. Так, в работе [8] по результатам измерений продольного магнетосопротивления р^ было найдено положение магнитных подзон в "бабочке" Ховштадтера при числе квантов потока через элементарную ячейку, равном
2/3 и при высоких концентрациях носителей. Имеются сообщения об исследовании внутренней структуры уровней энергии в квантовых точках по результатам спектров фотолюминисценции [11].
В рамках решения фундаментальной проблемы физики твердого тела — задачи о квантовых состояниях электронов в кристалле, помещенном в сильное магнитное поле, — в диссертации развит новый численный метод расчета энергетического спектра и волновых функций электрона. Предложенный метод позволяет проводить расчеты квантовых состояний электрона вне рамок приближений сильной или слабой связи. Также в диссертации проведено теоретическое изучение оптических свойств двумерных сверхрешеток квантовых точек и антиточек в магнитном поле. Построена теория прямых межзонных переходов между магнитными подзонами Ландау, проведены исследования поглощения электромагнитных волн различной поляризации в решетках квантовых точек в магнитном поле. Конечным результатом работы являются спектры оптических переходов, по которым можно количественно судить о параметрах электронной системы. Поскольку необходимые методики оптических измерений в настоящее время достаточно хорошо развиты, в диссертации определены необходимые параметры полупроводниковых сверхрешеток (период, амплитуда потенциала) и области магнитных полей, при которых возможно экспериментальное наблюдение квантовых состояний блоховских электронов в магнитном поле. Вероятно, в будущем это позволит построить целую серию полупроводниковых приборов на квантовых точках, таких как детекторы электромагнитного излучения, фильтры, перестраиваемые полупроводниковые лазеры.
Цели работы
-
разработка численного метода исследования квантовых состояний блоховского электрона в магнитном поле на основе решения стационарного уравнения Шредин-гера в применении к 2D решеткам квантовых точек и антиточек в перпендикулярном магнитном поле;
-
исследование структуры энергетического спектра электрона в 2D решетках квантовых точек и антиточек, помещенных в перпендикулярное магнитное поле;
-
теоретико-групповой анализ симметрии волновых функций электрона в магнитном поле и в поле периодического потенциала;
-
формулировка правил отбора при переходах между магнитными подзонами Ландау для электромагнитных волн различной поляризации;
-
аналитические и численные расчеты спектров поглощения электромагнитных волн для прямых дипольньгх переходов между магнитными подзонами.
Методы исследования
При решении поставленных задач использовались методы теории групп, теории возмущений, а іакже численные ыетоды-решения-уравнения Шредингера с комплскс-ной матрицей гамильтониана, содержащей большое число элементов (порядка
1200 х 1200).
Научная новизна
1. Впервые разработан численный метод исследования структуры квантовых состояний электрона в решетках квантовых точек и антиточек в магнитных полях, позволяющий проводить расчеты спектра и волновых функций вне рамок приближений сильной или слабой связи электрона с узлом решетки. Матрица гамильтониана записывается в представлении симметризованных комбинаций функций Ландау, удовлетворяющих обобщенным условиям Блоха в магнитном поле. Численный метод характеризуется устойчивостью и дает возможность рассчитывать спектр и волновые функ-
ции электрона в решетках различной симметрии в широком интервале магнитных полей и параметров периодического потенциала.
-
Впервые проведен теоретико-групповой анализ симметрии состояний электрона в рассматриваемой системе и установлены правила отбора в дипольном приближении для прямых оптических переходов между состояниями магнитных подзон Ландау в сильных магнитных полях.
-
Впервые аналитически и численно рассчитаны спектры поглощения электромагнитных волн в решетках квантовых точек в магнитном поле, изготовленных с помощью методов электронной литографии высокого разрешения. Установлен различный характер спектров поглощения лево- и правополяризованных электромагнитных волн в рассматриваемой системе.
Положения, выносимые на защиту
-
Разработанный численный метод расчета квантовых состояний блоховского электрона в магнитном поле позволяет проводить вычисления волновых функций, энергетического спектра и плотности состояний вне рамок приближений сильной или слабой связи.
-
Оптимальным является построение волновой функции электрона в магнитных подзонах как суперпозиции невозмущенных состояний Ландау. При этом ЦІ — функция удовлетворяет обобщенным условиям Блоха в магнитном поле. Такой подход существенно упрощает матрицу гамильтониана.
-
Энергетический спектр электрона в 2D периодическом потенциале квантовых точек (антиточек) в перпендикулярном магнитном поле представляет собой узкие подзоны, группирующиеся вблизи невозмущенных уровней Ландау (область сильных магнитных полей: VQ «hcoc, Ін « й ), (рис.1) и структуры типа "бабочки" Хов-штадтера в области слабых магнитных полей ( У0 » h(0 с , 1ц » О) (рис.2). Здесь к 0 — амплитуда периодического потенциала, Iн — магнитная длина, О —
период потенциала, СО с — циклотронная частота.
-
Магнитные подзоны, отщепившиеся от уровней Ландау, не одинаковы по ширине (рис.3). Наиболее узкие подзоны располагаются по краям расщепленной структуры уровня Ландау. Магнитные подзоны для системы квантовых точек ( у0 < 0) группируются под невозмущенными уровнями Ландау, а для системы квантовых антиточек ( У0 > 0)— над уровнями Ландау (рис.4).
-
В слабых магнитных полях "бабочки" Ховштадтера образуются из дискретных уровней отдельных квантовых точек. Их форма определяется кратностью вырождения соответствующего дискретного уровня ямы (см. рис.2).
-
Найден явный вид lj/ — функций в различных точках магнитной зоны Бриллюэна. В центре магнитной зоны Бриллюэна комплексные волновые функции электрона преобразуются по различным неприводимым представлениям точечной группы гамильтониана системы С2. Плотность вероятности К|/ обладает симметрией группы Cw (рис.5).
7. Плотность квантовых состояний блоховского электрона в магнитном поле [Е)
имеет особенность (пагодообразную форму), что связано с существованием особенностей Ван Хова в середине магнитных подзон.
-
Аналитически и численно исследовано поглощение электромагнитных волн 2D решеткой квантовых точек в перпендикулярном магнитном поле.
-
В дипольном приближении прямые переходы между состояниями, лежащими в центре магнитной зоны Бриллюэна, подчиняются следующим правилам отбора для волн линейной и циркулярной поляризации (вектор поляризации лежит в плоскости решетки): переход разрешен, если номер начального состояния в / -ой магнитной подзоне и номер конечного состояния в J -ой магнитной подзоне связаны соотношением J — 1 + (2у + 1), где J — целое число. В точках магнитной зоны Бриллюэна более низкой симметрии разрешены все переходы.
-
Вблизи центра магнитной зоны Бриллюэна коэффициент поглощения разрешенных прямых дипольных переходов носит пороговый характер и не зависит от частоты внешнего электромагнитного поля, что связано со ступенчатым поведением плотности состояний вблизи краев 2D энергетической зоны. Коэффициент поглощения для запрещенных переходов вблизи края поглощения линейно зависит от частоты электромагнитной волны. В центре каждой линии поглощения имеется особенность (в форме пагоды), связанная с особенностями плотности состояний (рис.6).
-
Спектры поглощения электромагнитных волн левой (рис.7) и правой поляризации (рис.8) носят различный характер. Наиболее интенсивно поглощаются электронами левополяризованные электромагнитные волны. Для правополяризованных волн в отсутствие периодического потенциала переходы вверх по номеру уровня Ландау запрещены. Они становятся возможными благодаря тому, что в присутствии периодического потенциала волновые функции в каждой подзоне содержат примеси всех состояний Ландау. Слабая интенсивность переходов из магнитных подзон нулевого уровня связана с малой примесью первого состояния Ландау в волновых функциях подзон нулевого уровня и примесью нулевого состояния в волновых функциях подзон первого уровня.
40 Е. meV
Рис.1 Энергетический спектр решетки квантовых точек в магнитном поле
К0 — —2U ТПЄг , Q = oU ПЇҐІ. По вертикальной оси отложено число квантов
магнитного потока через элементарную ячейку решетки p/q = \e\Ha2/2nhc , где р и (J — целые числа. Жирными точками показано положение уровней Ландау.
Р/Ч
E.meV
-ЗО
ШЯІ
II- 0.5 0
Уровни параболической ямы
Рис.2 Энергетический спектр решетки квантовых точек в слабом магнитном поле. Параметры потенциала: Kg = —30 ШвУ, Q — oU ПГП. Показано положение уровней отдельной ямы потенциала и ширина энергетических зон в приближении сичьной связи.
Е, meV
-* -12 -20
tl»c/2
V0,meV
Рис.4 Зависимость положения магнитных подзон под нулевым и первым уровнями Ландау от величины и знака амплитуды периодического потенциала V0. Период потенциала решетки й = OU ПШ, магнитное поле соответствует числу квантов магнитного потока через
элементарную ячейку решетки р/д = 15/1 (Я* 105 Ое)
(а) (Ь)
(с)
Г: Re V
Рис.5 Реальные и мнимые части \|/ - функций электрона и электронная плотность в решетке квантовых точек в магнитном поле для состояний подзон Ландау (О,1) — а), (1,1) — Ь), (1,10) — с) в центре магнитной зоны Бриллюэна К = [). Волновые функции подзон (0,1) и (1,10) преобразуются по симметричному неприводимому представлению группы Сj', волновая
функция в подзоне (1,1) — по антисимметричному представлению группы K^j- Магнитное
поле соответствует числу квантов потока P/Q ~ 1-5/1. период решетки
а = 80 ПУП, амплитуда потенциала V0 - -20 meV. a(v), orb. unite
V'10'12,sJ
iliL
Рис.6 Спектр поглощения линейно поляризованной электромагнитной волны. Показана тонкая структура линий поглощения разрешенных (вставка 1) и запрещенных (вставка 2) переходов. Параметры потенциала: VQ — —20 ШвУ, О — 80 ПТП, магнитное поле соответствует числу квантов потока р/ ц = 15/1. Заполнена полностью низшая подзона
Ландау (ОД).
+
1.0
0.8-
0.6
0.4
0.2-
0.0
a(v), orb. units
>J.uL J,.J. I ilL
6.767
v-10
-12 _
Рис.7 Спектр поглощения левополяризованных электромагнитных волн в решетке квантовых точек к 0 = —20 ТПВг , О = 80 ПТП в магнитном поле, соответствующем
Р/Ц = 15/1. Заполнено девять нижних подзон Ландау нулевого уровня (0,1 К. (0,9). Стрелками отмечены линии поглощения для переходов из девяти заполненных подзон в подзону (1Д)- Знаком "+" обозначены линии спектра, отвечающие переходам между подзонами
(0,11 —> (1, It), где И — 1. . р. В области низких частот слабоинтенсивные линии спектра соответствуют перехода» между подзонами нулевого уровня Ландау.
a(v)3 orb. units
0.752
2.25В
3.759
,S
Рис.8 Коэффициент поглощения электромагнитных волн правой поляризации в решетке квантовых точек Уп = -~2\) ЇҐІЄ У, О — 80 ЇІЇҐІ в магнитном поле, соответствующем .~Р1(1 = 1 J/1. Заполнено девять нижних подзон Ландау нулевого уровня (0,1 К. (0,У . Характер спектра поглощения существенно отличается от спектра, представленного на рис. 7, как в области низких частот (I), соответствующих переходам между подзонами нулевого уровня, так и в области высоких частот (II), отвечающих переходам в состояния подзон первого уровня Ландау.
Практическая ценность работы
Рассчитанные спектры поглощения электромагнитных волн в 2D решетках квантовых точек, помещенных в перпендикулярное магнитное поле, необходимы для экспериментального решения одной из фундаментальных задач физики твердого тела о структуре квантовых состояний блоховского электрона в однородном магнитном поле. Расчеты энергетического спектра и коэффициента поглощения проведены для реальных параметров сверхрешеток с периодами порядка 1 (JI) ПІП в магнитных полях до
В работе определены области магнитных полей и параметров двумерных сверхрешеток, для которых возможно экспериментальное обнаружение расщепления уровнен Ландау на магнитные подзоны в поле периодического потенциала решетки квантовых точек. В будущем это позволит построить целую серию полупроводниковых приборов на квантовых точках, таких как детекторы электромагнитного излучения, фильтры, перестраиваемые полупроводниковые лазеры.
Достоверность результатов
обеспечена оптимальным выбором физической модели, учитывающей основные свойства рассматриваемой системы; экспериментальными данными, согласующимися с расчетами в рамках одноэлектронной модели [8]; выбором методов численного решения уравнения Шредингера с комплексной матрицей гамильтониана, содержащей большое число элементов (метод Хаусхолдера, QR.QL — методы).
Апробация работы
По результатам исследований, вошедших в диссертацию, опубликовано 13 научных работ. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
-
Седьмая международная конференция по генерации мегагауссных магнитных полей и родственным экспериментам "МЕГАГАУСС-VII". Сэров, ВНИИЭФ, 1996.
-
Research Workshop on Condensed Matter Physics. Trieste, ITALY, 1997.
-
Третья Всероссийская конференция по физике полупроводников. Москва, ФИАН, 1997.
-
Третья Российская университетско - академическая научно - практическая конференция. Ижевск, УдГУ, 1997.
-
Всероссийское научное совещание "Капица". Саров, ВНИИЭФ, 1997.
-
Всероссийское совещание "Наноструктуры на основе кремния и германия". Нижний Новгород, ИФМ РАН, 1998.
-
Вторая Нижегородская сессия молодых ученых. Нижний Новгород, ННГУ, 1997.
8 Tl'''lhu Iі" ^1М1|)|||ДГ>'^»-Аолди<1-цпцг«пчууч|-Ч1.ту НИЖНИЙ Нпигррод. ИНГУ, 1998.
9. The 50th Scottish Universities Summer School in Physics: Optoelectronics and Smart Devices, University of St.Andrews, Scotland, United Kindom, 1998.
Похожие диссертации на Квантовые состояния и оптика блоховских электронов в магнитном поле
