Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор экспериментальных и теоретических работ по осцилляциям фотосопротивления двумерного электронного газа 13
1.1. Экспериментальные данные по осцилляциям магнетосо-противления двумерного электронного газа в присутствии микроволнового излучения 13
1.2. Влияние микроволнового излучения на процесс рассеяния электронов 24
1.3. Влияние микроволнового излучения на функцию распределения электронов 29
1.4. Неустойчивость однородного состояния двумерного электронного газа 32
Постановка задачи 36
Глава 2. Двумерный электронный газ без спин-орбитального взаимодействия в переменном электрическом поле 39
2.1. Гамильтониан системы 40
2.2. Каноническое преобразование гамильтониана 42
2.3. Уравнения движения. Состояния Флоке 48
2.4. Преобразование гамильтониана электрон-примесного взаимодействия 52
2.5. Неравновесный статистический оператор 53
2.6. Время релаксации импульса 60
2.7. Численный анализ 65
2.8. Выводы 68
Глава 3. Двумерный электронный газ со спин-орбитальным взаимодействием в переменном магнитном поле 69
3.1. Спин-орбитальное взаимодействие 70
3.2. Эффективный гамильтониан 77
3.3. Обратное время релаксации импульса 83
3.4. Численный анализ 90
3.5. Выводы 91
Основные выводы диссертации 94
Публикации по теме диссертации 96
Литература 98
- Влияние микроволнового излучения на процесс рассеяния электронов
- Неустойчивость однородного состояния двумерного электронного газа
- Каноническое преобразование гамильтониана
- Эффективный гамильтониан
Введение к работе
Актуальность темы. Двумерный электронный газ — это система электронов, движение которых ограничено по одному из направлений, причем характерный размер по этому направлению сравним с деброй-левской длиной волны электрона. У таких частиц при низкой температуре сохраняются лишь две поступательные степени свободы, так как под уровнем Ферми оказывается только одна подзона размерного квантования. Двумерный электронный газ существует в таких объектах, как тонкие металлические пленки, инверсионные каналы МДП-тран-зисторов, границы раздела гетеропереходов с модулированным легированием.
Необходимость более детального изучения и более глубокого понимания физических явлений, происходящих на поверхности и на границах раздела полупроводников, исторически возникла в связи с увеличением плотности упаковки элементов в больших интегральных схемах. Основные рабочие характеристики (предельная рабочая частота, потребляемая мощность) микроэлектронных приборов, которые изготавливаются с помощью эпитаксиально-планариой технологии, определяются именно процессами вблизи поверхности, так что дальнейший прогресс микроэлектроники в значительной мере зависит от развития физических представлений о свойствах двумерного электронного газа с пониженной размерностью.
Современная полупроводниковая микроэлектроника основана только на трансляционных степенях свободы электронов. Перспективное направление развития полупроводниковой микроэлектроники (спин-троника [1]) связано с использованием единственной внутренней сте-
пени свободы электрона — его спина. Ожидается, что задействование спина даст электронным устройствам будущего новую функциональность. Реализация квантовых вычислений с помощью электронных спинов в квантовых точках (системах нулевой размерности) является одной из наиболее важных задач спинтроники.
Отметим еще одно важное применение двумерных электронных систем: открытие в таких структурах целочисленного квантового эффекта Холла позволило создать воспроизводимый эталон сопротивления. Это явление, как теперь стало понятно, имеет фундаментальный характер и затрагивает глубинные основы физики.
Таким образом, свойства двумерного электронного газа, связанные с явлениями переноса в полупроводниковых гетероструктурах, имеют важное значение как для приложений, так и для фундаментальной науки.
Исследования нелинейных явлений переноса в двумерных электронных системах приобрели большую актуальность в связи с появлением новых экспериментальных результатов, полученных на образцах с очень высокой (~ 107 cm2/Vs) подвижностью электронов. В экспериментах, выполненных независимо тремя экспериментальными группами [2-4], было обнаружено, что сопротивление двумерного электронного газа с высокой подвижностью в гетероструктурах GaAs/AlGaAs под действием микроволнового излучения проявляет целый ряд новых закономерностей в зависимости от температуры, частоты и мощности излучения, напряженности магнитного поля и т.д. В присутствии микроволнового излучения в двумерных системах при большом числе заполнения появляются особые осцилляции продольного магнетосопро-
тивления. В отличие от известных осцилляции Шубникова — де Гааза, которые зависят от отношения химического потенциала к циклотронной частоте, вызванные излучением осцилляции зависят от отношения частоты излучения к циклотронной частоте. С увеличением интенсивности излучения минимальные значения сопротивления приближаются к нулю.
Отметим наиболее важные особенности указанных выше экспериментов. Эффект наблюдается при условиях h/т <Т~ Ншс < Ни -С из которых следует, что он имеет квазиклассическую природу. Здесь г — время релаксации импульса, ш > шс — частота излучения и циклотронная частота, — энергия Ферми, Т — температура, выраженная в энергетических единицах. Для объяснения нового типа осцилляции были предложены различные теоретические модели ([5-10], см. также [11] и ссылки там), однако однозначного выбора между ними провести в настоящее время невозможно.
Структура диссертации. Содержание первой главы настоящей диссертации составляет обзор теоретических моделей осцилляции фотосопротивления двумерной электронной системы и существующих экспериментальных результатов.
Некоторые из предложенных моделей основаны только на действии микроволнового излучения на процессы рассеяния электронов вдоль или против направления слабого постоянного поля. Однако заметим, что существуют и альтернативные объяснения, связывающие наблюдаемые эффекты с нетривиальной зависимостью неравновесной функции распределения от энергии, которая под действием внешнего микроволнового излучения приобретает осциллирующий характер. Существуют
и иные модели. Так сценарий, предложенный в [7] предполагает, что за наблюдаемые эффекты ответственны два механизма. Один из них, приводящий к возникновению резонанса на магнитоплазменной частоте, имеет «объемную» природу, а второй связан с развитием дрейфовой неустойчивости плазмы, происходящей на границе под влиянием микроволнового излучения.
Содержание второй главы составляет построение модели, которая включает вклады от квантования Ландау и от микроволнового излучения (в длинноволновом пределе) точным образом, без использования теории возмущений. Влияние примесных центров, которые выступают в качестве рассеивателей, учитывается по теории возмущений. По отношению к состояниям Ландау — Флоке, примесные центры действуют как когерентное осциллирующее поле, которое вызывает переходы, являющиеся существенными для воспроизведения осциллирующего характера магнетосопротивления.
Таким образом, рассматриваемая задача представляет собой классический вариант теории отклика неравновесной системы на слабое измерительное поле. Действительно, под действием СВЧ излучения в рассматриваемой системе формируется неравновесное состояние. Нахождение отклика такой, в принципе сильно неравновесной, системы, на слабое измерительное поле является предметом исследования.
В третьей главе представлена новая модель, которая включает квантование Ландау, зеемановское расщепление, спин-орбитальное взаимодействие и микроволновое излучение (в длинноволновом пределе). Целесообразность рассмотрения такой модели обусловлена тем, что в настоящее время существенно возрос интерес к влиянию спин-орби-
тального взаимодействия на процессы переноса в двумерных системах. Однако, в подавляющем большинстве теоретических статей, в которых рассмотрены различные аспекты наблюдаемых осцилляции магнето-сопротивления, спин-орбитальное взаимодействие не принималось во внимание, что было правомочно, поскольку исследовались эффекты, связанные с электрической компонентой микроволнового излучения. В то же время, переменное магнитное поле излучения способно вызывать переходы между спиновыми подуровнями электронов и, за счет спин-орбитального взаимодействия, влиять на кинетические степени свободы электронов. В двумерной системе со спин-орбитальным взаимодействием, которое играет роль канала передачи энергии между кинетической и спиновой подсистемами, реализуется новый класс резонансных переходов на целочисленных линейных комбинациях циклотронной и зеемановской частот (комбинированный резонанс). Естественно предположить, что эти переходы в сочетании с процессами рассеяния электронов могут привести к новому типу осцилляции фотопроводимости двумерного электронного газа.
Целью настоящей работы является теоретическое исследование влияния:
а) электрической компоненты микроволнового излучения на прово
димость двумерного электронного газа с высокой подвижностью, по
мещенного в постоянное, перпендикулярное его плоскости магнитное
поле;
б) магнитной компоненты микроволнового излучения на проводи
мость двумерного электронного газа со спин-орбитальным взаимодей-
стаием.
Практическая ценность работы состоит в том, что она расширяет существующие представления о влиянии микроволнового излучения на кинетические коэффициенты двумерного электронного газа. Рассмотренный в данной работе способ управления проводимостью двумерного электронного газа со спин-орбитальным взаимодействием путем воздействия микроволнового излучения на спиновые степени свободы электронов и передачи энергии от них кинетическим степеням свободы может найти применение в спинтронике.
Научная новизна работы заключается в следующем:
Развита теория теория линейного отклика неравновесного двумерного электронного газа на слабое измерительное электрическое поле. В основе построенной теории лежат метод канонических преобразований и метод неравновесного статистического оператора. Теория методически строго учитывает неравновесность двумерного электронного газа,- вызванную переменным электромагнитным полем.
Теоретически исследовано влияние спин-орбитального взаимодействия как канала передачи энергии между кинетической и спиновой подсистемами, приводящего к резонансным переходам на целочисленных линейных комбинациях циклотронной и зееманов-ской частот (т.е. к комбинированному резонансу), на возникновение осцилляции диагональных компонент тензора проводимости двумерного электронного газа.
На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:
Построена теория линейного отклика двумерного электронного газа на слабое измерительное электрическое поле, объясняющая осциллирующую зависимость магнетосопротивления двумерного электронного газа от отношения частоты излучения к циклотронной частоте. Показано, что осцилляции магнетосопротивления двумерного электронного газа вызваны переходами электронов проводимости между уровнями Ландау с одновременным их рассеянием, которое ведет к смещению центров циклотронных орбит.
В рамках развитой теории осцилляции фотопроводимости двумерного электронного газа, вызванных электрической компонентой микроволнового излучения, получены следующие выводы, согласующиеся с экспериментом:
продемонстрирована осциллирующая зависимость фотосопротивления двумерного электронного газа с достаточно высокой подвижностью электронов (2.5 107 cm2/Vs) от обратного магнитного поля при частоте микроволнового излучения 50 GHz и отсутствие осцилляции фотосопротивления при меньшей подвижности (106 cm2/Vs);
показано, что подвижность двумерных электронов менее 106 cm2/Vs не является препятствием для наблюдения осцилляции сопротивления двумерного электронного газа при более высокой частоте излучения (150 GHz);
найдено, что знак фототока противоположен знаку отклонения частоты излучения от ближайшей гармоники циклотронной частоты.
3. Показано, что осцилляции фотосопротивления двумерного электронного газа со спин-орбитальным взаимодействием могут быть вызваны не только электрической, но и магнитной компонентой микроволнового излучения. Знак фототока в этом случае также противоположен знаку отклонения частоты излучения от ближайшей гармоники циклотронной частоты.
Достоверность полученных результатов и обоснованность выводов диссертации обеспечивается применением метода неравновесного статистического оператора, который является стандартным методом для нахождения линейного отклика неравновесной системы на внешнее возмущение.
Личный вклад автора. Диссертант участвовал вместе с научным руководителем в постановке задач, выборе методов их решения, в обсуждении и интерпретации полученных результатов.
В представляемой научно-исследовательской квалификационной работе лично диссертантом проведены канонические преобразования гамильтониана, применен метод неравновесного статистического оператора и проведены численные расчеты по полученным формулам.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях: XV Уральская зимняя школа по физике полупроводников (Екатеринбург, 2004), XXX Международная зимняя школа физиков-теоретиков (Екатеринбург, 2004), Nanoscale properties of condensed matter probed by resonance phenomena (Казань, 2004),
VII Российская конференция по физике полупроводников (Звенигород, 2005), VI Молодежный семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2005), XXXI Международная зимняя школа физиков-теоретиков (Екатеринбург, 2005), 34 совещание по физике низких температур (НТ-34, Ростов на Дону, 2006), Научная сессия Института физики металлов УрО РАН по итогам 2005 года (Екатеринбург, 2006), Научная сессия Института физики металлов УрО РАН по итогам 2006 года (Екатеринбург, 2007), VIII Российская конференция по физике полупроводников (Екатеринбург, 2007).
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 7 работах: в 4 статьях в ведущих рецензируемых научных журналах, входящих в перечень ВАК, в 2 статьях в журнале «Физика низких температур» и в трудах конференции.
Влияние микроволнового излучения на процесс рассеяния электронов
Влияние высокочастотного поля на проводимость двумерного электронного газа в квантующем магнитном поле при низких температурах рассматривалось В. И. Рыжием в 1986 г. в работе [13]. За предлагаемый в работе [13] механизм возникновения фототока отвечают процессы перехода электронов между уровнями Ландау с последующим рассеянием, которое изменяет координаты центра циклотронной орбиты электрона.
Простая картина вызванного излучением тока. Электроны поглощают фотоны и получают энергию hw. Возбужденные фотонами электроны рассеиваются на беспорядке и смещаются вправо или влево на расстояние ±Ах. Если конечная плотность состояний слева превосходит плотность состояний справа, постоянный ток увеличивается. В противном случае он уменьшается. (Рисунок взят из работы [5]) порядке теории возмущений), авторы [13] получили формулу для зависимости фототока от частоты излучения в окрестности гармоник циклотронной частоты. Было найдено, что знак фототока противоположен знаку отклонения До; частоты излучения от ближайшей гармоники циклотронной частоты, т. е. зависимость фотопроводимости от частоты микроволнового излучения имеет осциллирующий характер.
Поправка к холловской компоненте тока, вызванная высокочастотным полем, в приближении, используемом в работе [13], равна нулю. Авторы [13] отмечают, что около циклотронного резонанса может реализоваться абсолютная отрицательная проводимость и ссылаются на работы [14, 15], где описаны эксперименты, способные, в принципе, ее обнаружить.
Аналогичная простая модель, описывающая осцилляции фотопроводимости двумерного электронного газа в магнитном поле, была предложена в работе [5] в 2003 г. Электронные состояния двумерного электронного газа без беспорядка в перпендикулярном магнитном поле В являются уровнями Ландау еп = (n + 1/2)Нсис, где п — неотрицательные целые числа, а т — эффективная масса электрона в полупроводнике. В присутствии беспорядка уровни Ландау уширены. Обозначим нормализованные собственные состояния в присутствие беспорядка через ipa{r), с собственными энергиями еа. Когда электрон поглощает фотон, он получает энергию huo. При наличии беспорядка эти возбужденные электроны могут быть рассеяны примесями.
Чтобы вычислить проводимость в теории линейного отклика, авторы [5] рассматривают действие на систему слабого электрического поля Edc в направлении оси х. Это поле наклоняет энергетический спектр, как изображено на рис. 1.8. В [5] предполагается, что элек трическое поле входит в уравнение (1.6) только через плотность состояний p(r,e) = р(е — eEdcx). Для нахождения линейного отклика следует провести разложение плотности тока до первого порядка по Edc и разделить результат на Еас, чтобы найти продольную проводимость, ахх. Вызванное излучением изменение продольной проводимости пропорционально интегралу по энергии от частной производной (d(p(r,e + hw)p(r ,e))/d(Ax))R.
Плотность состояний может быть грубо промоделирована выражением р(е) = po + pi cos(27Ye/(hwc)) [16]. Последний интеграл по є теперь можно взять, и по крайней мере для ш/шс, больших по сравнению с Ро/рі, результат такой: Аахх ос —sm(27ruj/ujc) (1.7) с положительным коэффициентом. Эта форма, которая напоминает производную от плотности состояний (5р/(9б)= , возникает потому, что основной вклад дают начальные состояния около центра уширенных уровней Ландау, которые рассеиваются в пустые уширенные уровни, и доступное фазовое пространство увеличивается или уменьшается для положительных или отрицательных Ах, в зависимости от изменения энергии и по модулю шс (см. рис. 1.8). Из эксперимента следует, что аху почти в сто раз больше, чем ахх, и не меняется заметным образом под действием излучения. Поэтому обращение тензора проводимости дает рхх рху тхх. Полученный результат имеет период и фазу осцилляции, совпадающие с наблюдаемыми экспериментально.
Рассмотрение выше показывает, что беспорядок играет центральную роль и его может быть достаточно для получения осцилляции, вызванных излучением. Вычисление проводимости с применением диа граммной техники (формула Кубо), включающее излучение и беспорядок, но пренебрегающее электрон-электронными взаимодействиями, будет достаточно для воспроизведения эффекта. Вычисления Durst дают рхх 0 в той области магнитных полей, где наблюдается состояние с нулевым сопротивлением.
Неустойчивость однородного состояния двумерного электронного газа
Один из результатов в предыдущих рассмотрениях состоит в существовании режимов магнитного поля и мощности микроволнового излучения, для которых диагональная компонента тензора проводимости, вычисленная в теории линейного отклика, отрицательна: (Ут.т. (1.17) Однако при тех значениях циклотронной частоты и частоты микроволнового излучения, при которых рассмотренные выше модели дают ахх 0, экспериментально наблюдается состояние с нулевым сопротивлением или нулевой проводимостью. і о Jx-1 -2 -З О 2 4 6 р Рис. 1.10. Вольт-амперные характеристики (безразмерный ток jx = ((Tph/o dc)dc в зависимости от безразмерного поля 8dc = QJc ] в точках минимумов, отмеченных на рис. 1.9. Стрелки показывают постоянное поле Е\\ в спонтанно образующихся доменах. (Рисунок взят из работы [9])
В работе [18] показано, что формула (1.17) сама по себе достаточна для объяснения состояния с нулевым сопротивлением постоянному току, наблюдаемого в [2, 3], независимо от деталей микроскопического механизма, приводящего к справедливости этой формулы. Andreev в [18] исходит из следующего соотношения между локальным постоянным электрическим полем Е и локальной плотностью постоянного тока j: E = jPd(j2) + [jxz]ph (1.18) где z — вектор единичной нормали к плоскости системы. Предполагается, что pd(j2) — вещественная непрерывная однозначная функция j2 и что существует диапазон В, и и Vac, в котором пространственно однородное состояние с нулевым током характеризуется отрицательным диссипативным удельным сопротивлением Pdti2 - 0) 0 (1.19)
Однако, при достаточно больших значениях постоянного тока Pd(j2) должно вернуться к своему значению без излучения, поскольку в этом Рис. 1.11. Предполагаемый вид зависимости диссипативной компоненты локального электрического поля Ех от плотности тока jx. На вставке показана зависимость диссипативного удельного сопротивления от плотности тока. (Рисунок взят из работы [18]) пределе микроволновое излучение будет малым возмущением электронной функции распределения стационарного состояния. Таким образом, из соображений непрерывности следует, что существует значение j — jo, при котором Pd(fo) = 0 (1.20) Примем, что вольт-амперная характеристика двумерного электронного газа имеет N-образный вид, показанный на вставке на рис. 1.11. Используя уравнение непрерывности (1.21) и уравнение Пуассона Е = -VUn, (1.22) авторы [18] рассматривают эволюцию малых флуктуации плотности тока 5j на фоне однородного независящего от времени состояния с плотностью тока ji- Здесь п — плотность заряда электронов и (7 — Рис. 1.12. Простейшая возможная картина распределения плотности тока — доменная стенка. Под полный ток І" система подстраивается за счет сдвига положения доменной стенки на расстояние d, см. текст. (Рисунок взят из работы [18]) оператор нелокального взаимодействия, который может быть выражен через функцию Грина уравнения Лапласа с подходящими граничными условиями; U имеет неотрицательные собственные значения.
Авторы [18] приходят к выводу, что если хотя бы одна из величин Pd или pd + 2d{pd{j2))/ d(j2) отрицательна, состояние с однородным распределением тока неустойчиво. Кроме того, показано, что в независящих от времени состояниях либо j = 0, либо Pd{j2) = 0, т. е. j = j0.
Итак, из рассмотрения Andreev и соавторов следует, что почти везде в образце плотность тока имеет величину jo, при которой дис-сипативное удельное сопротивление исчезает, но направление плотности тока должно изменяться так, что полный ток согласуется с граничными условиями. Распределение плотности тока должно содержать области особых точек, занимающие пренебрежимо малую долю объема, где плотность тока принимает значения, отличные от JQ. Простейший возможный вид особенности (доменная стенка) изображен на рис. 1.12. Из рис. 1.12 видно, что любое значение полного тока 7, соответствующее плотности тока, меньшей, чем jo, может быть получено простым изменением высоты доменной стенки: если d — положение доменной стенки относительно центра , то 7 = 2ф о при Vx = 0. Аналогично, полное холловское сопротивление определяет ся суммой положительного напряжения в верхней половине образца и отрицательного напряжения в нижней половине, что приводит к Vy = ph jo f-rf — d) — jo (-jf + d) — —рні, что совпадает с результатом без излучения, если переменное поле не влияет на рн Постановка задачи
Из приведенного выше обзора видно, что исследованию влияния микроволнового излучения на проводимость двумерного электронного газа посвящено большое количество экспериментальных и теоретических работ. В обзоре указывается, что электрическая компонента микроволнового излучения влияет на процессы рассеяния электронов и их функцию распределения по энергии. Оба этих фактора приводят к осциллирующей зависимости проводимости электронного газа от напряженности внешнего постоянного магнитного поля.
Однако в настоящее время в работах, посвященных влиянию микроволнового излучения на процессы рассеяния электронов, полностью игнорируется тот факт, что двумерная электронная система является принципиально неравновесной, так как ее гамильтониан зависит от времени. Строгое описание неравновесного отклика двумерной элек-тронной системы на измерительное электрическое поле требует дополнительного рассмотрения.
Кроме того, не исследовано влияние магнитной компоненты микроволнового излучения на кинетические коэффициенты двумерного электронного газа. Действительно, при наличии спин-орбитального взаимодействия поглощение энергии электромагнитного излучения может осуществляться не только трансляционными, но и спиновыми сте пенями свободы электронов за счет целого класса новых резонансных переходов. Можно ожидать, что эти переходы в сочетании с процессами рассеяния электронов приведут к новому типу осцилляции фотопроводимости двумерного электронного газа.
В связи с вышеизложенным, были поставлены следующие задачи: 1. На основе метода неравновесного статистического оператора построить модель, описывающую кинетику двумерных электронов в скрещенных электрическом и магнитном полях в присутствии СВЧ излучения. Описать состояния Ландау — Флоке, соответствующие точному учету квантования Ландау и микроволнового излучения. Рассмотреть отклик системы на слабое измерительное электрическое поле в случае, когда неравновесное состояние носителей можно описать средними значениями полной энергии, полного импульса и числа частиц. 2. Изучить зависимость фотопроводимости неравновесного двумерного электронного газа без спин-орбитального взаимодействия от частоты и поляризации микроволнового излучения, напряженности внешнего постоянного магнитного поля и подвижности электронов. 3. Исследовать влияние спин-орбитального взаимодействия на проводимость двумерного электронного газа в магнитном поле. Рассмотреть случай, когда исходная неравновесность создается переменным магнитным СВЧ полем, которое реализует в системе комбинированные переходы. Изучить возможность возникновения осцилляции проводимости двумерного электронного газа за счет таких переходов, найти их период и фазу по обратному магнитному полю.
Каноническое преобразование гамильтониана
В лабораторной системе координат эволюция состояния свободного двумерного электрона описывается уравнением Шредингера {ih- - ЯойМг, ) = ( - (Но + Яе/(і)Шг, t) = 0. (2.5) Здесь Ho(t) — гамильтониан электрона в отсутствии взаимодействия с рассеивателями, ф(г, t) — волновая функция, описывающая состояние электрона. Совершим зависящее от времени каноническое преобразование Wt, которое исключало бы из оператора Шредингера переменное электрическое поле, т.е. w}{ih- - H0(t)}wt = ih- - tf0. (2.6) Очевидно, что любое решение уравнения (2.5) можно представить как результат канонического преобразования соответствующего решения в отсутствии переменного поля, т.е. Ф(г, ) = И (г, ). (2.7) Унитарное преобразование вектора состояния (2.7) представляет собой переход из лабораторной системы координат в движущуюся относительно лабораторной системы с переменной скоростью (t) — d/dt. Поэтому оно сводится к сдвигу координат г —» г + () и импульсов р —» p + m (i). Заметим, что при наличии магнитного поля под параллельным переносом в координатном пространстве следует понимать операцию магнитной трансляции, определяемую соотношением ЦЩг) = ехр{ А«) г} ехр(- Р)Ф(г), (2.8) где А() = (JB х )/2 — векторный потенциал внешнего магнитного поля в симметричной калибровке А = ( уВ, х?,0). Оператор унитарного (канонического) преобразования Щ может быть представлен в следующем виде: Wt = ехр{ ( )} ехр{- Р] exp{ (m + Вх ). г}. (2.9) Вещественная функция 9(t) и параметры , выбираются таким образом, чтобы выполнялось равенство (2.6). Тем самым, величины = (t) являются решением классических уравнений движения т = eE(t) +-[ х В]. (2.10)
Что касается выражения для 9(t), то его достаточно положить равным классическому действию электрона в переменном электрическом поле при наличии магнитного поля t t [im2 + еЕ(т) + -А(0 ]dr. (2.11) При дальнейшем рассмотрении поставленной задачи удобно вместо декартовых координат и сопряженных им импульсов ввести новый набор переменных: координаты центра циклотронной орбиты (XO,YQ) и координаты относительного движения (С, rj): х = Хо + С, С = & (212) Удобство такой замены связано с тем, что координаты центра циклотронной орбиты являются интегралами движения в случае, когда электрическое поле отсутствует. Кроме того, в магнитном поле ток, переносимый электронами, связан с перемещением центров орбит. Новые переменные удовлетворяют известным коммутационным соотношениям: [С ] = -г2 {X0}Y0}=i2 (2.13) и [С, Х0] = [ту, У0] = [ту, Хо] = [С, Уо] = 0, (2.14) где = y/ch/(\e\B) — магнитная длина. Из приведенных выше коммутационных соотношений следует, что переход от операторов х, у, Рх, Ру к координатам центра орбиты и относительного движения Хо, т], Уо, С является каноническим преобразованием, причем С и Y0 можно считать новыми координатами, а —тшсГ) и —тсосХо — канонически сопряженными им импульсами.
Для нахождения явного вида канонического преобразования осталось выписать явный вид 9i(t). Для этого необходимо подставить равенства (2.38, 2.39, 2.43, 2.44) в уравнение (2.32). Построенное в разделе 2.2 каноническое преобразование Wt гамильтониана точным образом исключает временную зависимость из уравнения Шредингера для электрона в скрещенных постоянном магнитном и переменном электрическом полях. Применим такое же каноническое преобразование Wt к системе, содержащей электрон, постоянное магнитное и переменное электрическое поля, а также (в отличие от ситуации, рассмотренной в разделе 2.2) примеси.
В настоящее время хорошо разработана теория линейной реакции равновесной системы на внешнее возмущение механического типа. В рамках такого подхода кинетические коэффициенты выражаются через равновесные корреляционные функции. Однако ситуация меняется радикальным образом, когда требуется найти отклик системы, которая уже является неравновесной, на дополнительное слабое измерительное поле. Обычно такого рода задачи решаются с использованием метода кинетических уравнений. Однако этот метод неприменим для описания систем в квантующем магнитном поле. Описание неравновесного отклика такой квантовомеханической системы на слабое измерительное поле требует применения метода неравновесного статистического оператора. Основные положения и результаты метода изложены в данном разделе.
Описание неравновесного состояния макроскопической системы производится с помощью набора базисных операторов Рт, средние значения которых достаточно знать на данной стадии необратимой эволюции системы. Например, на кинетической стадии состояние электронного газа можно описать одночастичной матрицей плотности p \lj ;t) = {(ц,аі)ь, а на гидродинамической стадии существенными параметрами являются только средние значения энергии {Н)ь, дрейфового импульса (рУ И числа частиц (N)1.
Эффективный гамильтониан
Рассмотрим систему двумерных электронов со спин-орбитальным взаимодействием и рассеивателей (немагнитных примесей) в проводящем кристалле, помещенном в постоянное магнитное Н = (0,0, Н), постоянное электрическое Е = (Ех, 0,0) и переменное магнитное H(t) = (Hx(t), Hy(i), Hz(t)) поля. Гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид: H(t) = Hk + Hs-Y Hks + Heh(t) + Hef + Hv + Hev. (3.31).
В строгой калибровочно-инвариантной теории векторный потенциал А(х{, t) должен содержать как постоянную, так и переменную составляющую. Поскольку учет переменной составляющей векторного потенциала соответствует рассмотрению действия переменного магнитного поля на кинетические степени свободы электронов (т.е. силы Лоренца), а в данной главе интерес представляет его действие на спиновые степени свободы, далее переменная составляющая векторного потенциала не учитывается. Таким образом, будем считать, что [pa,Pj] = 5ijimhuceapz не зависит от времени. DS = д/і0Н/Н, LOC = еН/тс, /io- магнетон Бора. Н%— гамильтониан взаимодействия электронов с электрическим полем Е:
Взаимодействие электронов с переменным электрическим полем не рассматривается, так как оно приводит к результатам, уже известным из работ [5,18, 23, 24] и из второй главы настоящей диссертации. Кроме того, эффекты, связанные с переменным электрическим полем, можно подавить, поместив образец в пучность магнитного поля (т.е. в узел электрического поля) в волноводе.
Непосредственное рассмотрение системы с гамильтонианом (3.31) затруднено в связи с большим количеством взаимодействующих (и, следовательно, недостаточно хорошо определенных) подсистем.
При этом преобразуются и все остальные члены гамильтониана, описывающие взаимодействие электронов с решеткой и внешними полями, если таковые имеются. В этом случае возникает эффективное взаимодействие электронов системы с внешними полями, приводящее к резонансному поглощению энергии поля не только на частоте парамагнитного резонанса ш8 и циклотронного резонанса шс, но также и на других частотах, представляющих собой целочисленные линейные комбинации частот ш3 и шс — комбинированный резонанс. Переходы, ответственные за циклотронный, парамагнитный и комбинированный резонансы, схематически изображены на рис. 3.2. Такое каноническое преобразование применяется, например, в работе [25], где развита калибровочно-инвариантная теория комбинированного резонанса. Взаимодействия подсистем, существующие в канонически преобразованном гамильтониане, схематически представлены на рис. 3.1Ь. Полагая спин-орбитальное взаимодействие малым, выполним каноническое преобразование гамильтониана, задаваемое оператором Т(р). С точностью до линейных по Т(р) членов, имеем Я = ет Не-т{р) Н + [Т{р),П]. (3.32) Оператор канонического преобразования Т(р) определим из условия, что в результате преобразования подсистемы к и s будут независимыми, т.е. что спин-орбитальное взаимодействие не войдет в преобразованный гамильтониан системы без внешних полей и примесей. Вытекающее из этого условия уравнение для Т(р) имеет вид: Hksip) + [Т(р),Нк + На] = 0. (3.33) Как нетрудно проверить путем сравнения матричных элементов левой и правой частей в базисе собственных функций HQ, решением уравнения (3.33) является оператор о Т{р) = %- [ dteteiH hHks(p)e-iHot/h, Щ = Нк + Hs (3.34) —оо Вычисляя интеграл в (3.34) в случае, если Hks — взаимодействие Дрессельхауза, имеем: ЗД = -етЕК-ад. (3-35)
Удобство такого представления оператора Т(р) состоит в том, что коммутаторы в (3.32) и уравнениях движения можно вычислять в общем виде, не переходя к матричным элементам, структура которых зависит от конкретного выбора волновых функций. Критерий применимости теории состоит в том, что для характерных значений электронного импульса р должно быть ар С h{uc — UJS).
Переходы, которые происходят в двумерном электронном газе под действием переменного электромагнитного поля: (а) циклотронный резонанс под действием переменного электрического поля, (Ь) парамагнитный резонанс под действием переменного магнитного поля, (с) комбинированный резонанс под действием переменного электрического поля, (d) комбинированный резонанс под действием переменного магнитного поля. неравновесной системы на измерительное электрическое поле, в котором определяющим является вклад, обусловленный кинетическими степенями свободы, то при дальнейшем рассмотрении мы ограничимся учетом только эффективного взаимодействия.
Полагаем, что исходная неравновесность системы создана вследствие поглощения СВЧ излучения и может быть описана распределением p{t). Если на рассматриваемую систему действует дополнительное возмущение, то в системе будет сформировано новое неравновесное состояние, для описания которого необходим расширенный набор базисных операторов. Новое неравновесное распределение определим неравновесным статистическим оператором p(t). Задача заключается в нахождении отклика неравновесной системы на слабое измерительное поле.
При вычислении неравновесного отклика электронной системы на измерительное электрическое поле зависимость эффективного взаимодействия Hefhi(t) от времени приводит к «техническим» трудностям.
Похожие диссертации на Кинетика двумерных электронов в постоянном магнитном поле в присутствии микроволнового излучения
