Содержание к диссертации
Введение 6
1 Частицы со спином во внешнем поле: способы математи
ческого описания и исторические сведения 17
1.1 Частица со спином во внешнем поле . . 17
-
Классическая теория спина в рамках специальной и общей теории относительности 17
-
Связь классической и квантовой теории спина ..... 19
-
Классическая теория спина в рамках общей теории относительности 20
1.2 Девиация мировых линий частиц во внешнем поле 23
-
Уравнение геодезического отклонения для свободных бесструктурных частиц 23
-
Обобщение уравнения геодезического отклонения на случай заряженных частиц в электромагнитном поле 25
1.3 Кинетическое описание системы релятивистских частиц с
дополнительными степенями свободы 25
1.3.1 Релятивистское кинетическое уравнение 26
1.3.2 Релятивистское кинетическое уравнение на расширен
ном фазовом пространстве 27
1.4 Поле гравитационного излучения и электромагнитное поле,
наследующее его симметрию 31
1.4.1 Нелинейная плоская гравитационная волна 31
1.4.2 Примеры точных решений уравнений электродинамики
на фоне нелинейной плоской гравитационной волны . 34
Частицы со спином в электромагнитном поле, наследую
щем симметрию гравитационно-волнового фона 36
2.1 Динамика отдельно взятой частицы со спином и ее вектора
поляризации во внешних гравитационно-волновом и электро
магнитном полях 36
-
Эволюционные уравнения частицы со спином во внешних гравитационном и электромагнитном полях в терминах 4-векторов скорости и поляризации 36
-
Точные решения уравнений Баргманна-Мишеля-Телегди для плосковолновых гравитационного и электромагнитного полей 41
-
Точные решения уравнений Баргманна-Мишеля-Телегди в продольном магнитном поле на плосковолновом гравитационном фоне 50
2.2 Девиация мировых линий частиц со спином и отклонение
вектора поляризации во внешних гравитационно-волновом и
электромагнитном полях 57
2.2.1 Обобщение теории девиации на случай частиц с до
полнительной векторной степенью свободы во внеш
них гравитационном и электромагнитном полях ... 57
2.2.2 Точные решения обобщенных уравнений девиации в
плосковолновых гравитационном и электромагнитном
полях 59
2.2.3 Точные решения обобщенных уравнений девиации в
продольном магнитном поле на плосковолновом гра
витационном фоне 66
2.3 Кинетика системы частиц со спином во внешних электромагнитном и гравитационном плосковолновых полях .... 69
-
Решение уравнений характеристик 69
-
Преобразование элемента объема расширенного фазового пространства 70
-
Модельная функция распределения 72
-
Макроскопические моменты функции распределения . 73
-
Обсуждение результатов 76
3 Частицы со спином в гравитационно-волновом поле 78
3.1 Уравнения эволюции частицы со спином в гравитационном
поле 78
-
Уравнения эволюции массивной частицы со спином в гравитационном поле 78
-
Уравнения эволюции фотона в гравитационном поле 79
3.2 Точные решения уравнений эволюции частицы со спином в
гравитационно-волновом поле 80
-
Ключевая система уравнений 80
-
Точные решения ключевой системы уравнений .... 82
-
Анализ точных решений полной системы эволюционных уравнений 84
-
Модель со стохастической константой аномального взаимодействия спина с кривизной 88
-
Обсуждевие результатов 90
3.3 Девиация мировых линий фотонов и отклонение вектора по
ляризации в поле гравитационного излучения 94
3.3.1 Обобщенные уравнения отклонения мировых линий фотонов и уравнения отклонения поляризации в отсутствие аномального взаимодействия спина с кривизной 94
-
Точные решения обобщенных уравнений девиации . . 95
-
Обсуждение результатов 98
3.4 Кинетическое описание системы частиц со спином во внеш
нем гравитационно-волновом поле 99
-
Решение уравнений характеристик 99
-
Преобразование элемента объема расширенного фазового пространства 100
-
Модельная функция распределения 102
-
Макроскопические моменты функции распределения . 102
-
Обсуждение результатов 105
3.5 Кинетическое описание системы фотонов во внешнем поле
гравитационной волны 106
-
Решение уравнений характеристик 106
-
Преобразование элемента объема расширенного фазового пространства 107
-
Модельная функция распределения 108
-
Моменты функции распределения 109
-
Обсуждение результатов 113
Заключение 117
Приложения 121
Список литературы 126
Введение к работе
Гравитационное излучение, теоретическое предсказание существования которого пока не нашло прямого экспериментального подтверждения, является перспективным объектом теоретических исследований. Интерес к гравитационным волнам вызван, во-первых, тем, что пространства-времена плосковолнового типа представляют один из типов физического вакуума, и поэтому часто используются в качестве фонового поля при решении различных задач как в классической (см., например, [1-4] так и в квантовой теории [5, 6]. Во-вторых, по гравитационному излучению сложных астрофизических объектов можно реконструировать гравитационные поля, создаваемые этими объектами и, следовательно, структуру самих источников излучения [7, 8]. В-третьих, теоретические исследования взаимодействия гравитационных волн с материальными средами и полями как на самой Земле, так и на всем пути их распространения от источника до земной поверхности чрезвычайно важны для обоснования экспериментов по обнаружению гравитационного излучения [9, 10]. Положительный результат таких экспериментов станет еще одним подтверждением правильности общей теории относительности и откроет новый канал получения информации об удаленных участках Вселенной [8]. На данный момент главным источником информации об объектах за пределами Солнечной системы являются электромагнитные волны различного диапазона. Согласно теоретическим предсказаниям, гравитационное излучение оказывает влияние и на них, изменяя как поляризацию, так и энергию фотонов, причем под воздействием гравитационного излучения энергия начинает зависеть от поляризации фотонов. Такое явление получило названия двойного лучепреломления, индуцированного кривизной [11, 12]. Оно является примером того, что неста- ционарные гравитационные поля вообще и поле гравитационного излучения в частности индуцируют неравновесные явления в системах частиц, снимая вырождение по скрытым параметрам взаимодействий, присутствующим в системе изначально [13-16]. К скрытым параметрам относится и спин. Учет спиновых степеней свободы в динамике частицы в гравитационном поле приводит к неминимальному обобщению уравнений движения частицы, т.е. вовлекает в рассмотрение тензор кривизны, его свертки и производные. Неминимальное описание спин-гравитационного взаимодействия элементарных частиц, вообще говоря, противоречит принципу эквивалентности Эйнштейна [17, 18]. Поэтому экспериментальное исследование поведения элементарных частиц со спином в гравитационно-волновых полях явилось бы одновременно и проверкой принципа эквивалентности [19, 20]. В связи с вышесказанным исследование эволюции частиц со спином в гравитационно-волновом поле является актуальной задачей.
Спин - это собственный момент количества движения элементарных частиц, не связанный с перемещением частицы как целого [21]. Спином называют также собственный момент количества движения составной частицы, ведущей себя в том или ином рассматриваемом круге явлений как элементарная. Это может быть, например, атомное ядро или атом - в этом случае спин определяется как векторная сумма спинов элементарных частиц, образующих систему, и орбитальных моментов этих частиц, обусловленных их движением внутри системы [21]. Проекция спина на любое фиксированное направление в пространстве может принимать дискретный ряд значений, который задается спиновым квантовым числом s, которое часто называют просто спином. Частица со спином s может находиться в 2s + 1 спиновых состояниях, что эквивалентно наличию у нее дополнительных внутренних степеней свободы [21]. Спиновое квантовое число может принимать положительные целые и полуцепые значения, включая 0. Оно является неизменным для каждой частицы. Частицы со спином, равным нулю, называют скалярными, со спином 1/2 - спинорными, со спшгом 1 - векторными, со спином 3/2 - спин-векторными, со спином 2 - тензорными [22].
Собственному моменту количества движения пропорционален собственный магнитный момент частицы, являющийся измеряемой величиной [21]. Со спином частицы и его направлением в пространстве связано и понятие поляризации частиц и ансамблей частиц, которую также можно измерить. Поляризация фотонов, например, измеряется с помощью различных поляризационных приборов, простейшими из которых являются оптические призмы, а для измерения поляризации электронов используются метод вну-трипучкового рассеяния, метод аннигиляции, метод комптоновского рассеяния и др. [23, 24].
Спин элементарных частиц имеет квантовую природу и измеряется в единицах постоянной Планка h. Существует, тем не менее, классическая теория спина, которая является пределом квантовой теории при h —» О [25]. Классическая теория спина стала развиваться около века назад, примерно в одно время с квантовой теорией, но долгое время - независимо от последней. Несмотря на быстрое и успешное развитие квантовой теории спина, классическая теория спина оказалась не менее востребованной в связи с удобством в интерпретации поляризационных эффектов и определении фундаментальных постоянных [25].
Как отметил Л.Г.Томас в работе [26], впервые движение электрона "с осью" рассматривал подробно М.Абрагам [27]. Сам Л.Г.Томас был первым, кто применил элементы специальной теории относительности к классической теории спина [26]. Однако систематические основы релятивистской классической теории спина были заложены советскими физиками Я.И.Френкелем и И.Е.Таммом. Теория Я.Й.Френкеля [28] была построена на основе тензора магнитного момента, пропорционального тензору спина. Тремя годами позже И.Е.Тамм [29] построил классическую теорию спина, основываясь на векторе спина. Впоследствии было показано, что теории, построенные на основе вектора спина и тензора спина, эквивалентны [25].
После открытия аномального магнитного момента уравнение, полученное Я.И.Френкелем для спина, было обобщено Г.К.Корбеном [30]. Однако само понятие аномального магнитного момента в классическую теорию спина впервые было введено В.Баргманном, Л.Мишелем и В.Л.Телегди [31], исследовавшими прецессию спина в однородном стационарном магнитном поле, для которого уравнения Френкеля-Корбена и уравнения Баргманна-Мишеля-Телегди совпадают.
Уравнения Баргманна-Мишеля-Телегди представляют собой наиболее простые уравнения динамики частицы и ее вектора поляризации, учитывающие аномальный магнитный момент. Изучение спиновой прецессии на основе классического уравнения Баргманна-Мишеля-Телегди позволило с большой точностью измерить аномальный магнитный момент электрона и других легких частиц [25].
Хорошее соответствие теории в приближении Баргманна-Мишеля-Телегди и эксперимента привело к тому, что эти уравнения приобрели статус "тестовых" уравнений. Уравнения Баргманна-Мишеля-Телегди стали использоваться в качестве одного из критериев правильности того или иного подхода к получению уравнений динамики частицы со спином. Неоднократно предлагались различные лагранжевы и гамильтоновы подходы (см., например, [32-41]) к получению уравнений динамики пробных частиц со спином и аномальным магнитным моментом во внешних полях, авторы которых стремились к тому, чтобы дать наиболее полное описание динамики частицы со спином и ее поляризации в различных внешних полях. Обобщенные уравнения Баргманна-Мишеля-Телегди строились, например, для того, чтобы учесть силу реакции излучения реальных фотонов при исследовании явления радиационной поляризации электронов [24].
В уравнениях, полученных Я.И.Френкелем, [28], учитывалось, в принципе, и гравитационное поле. Однако Френкель считал, что добавочный член, связанный с гравитационным полем, есть бесконечно малая величина по сравнению с членом, описывающем электромагнитное поле, и даже не упоминал о том факте, что его уравнения отличаются от первого закона Ньютона для свободной частицы. По сути, динамика релятивистской частицы, обладающей внутренним моментом количества движения, во внешнем гравитационном поле впервые рассматривалась в 1937 году выдаю- щимся польским ученым Мироном Матиссоном [42, 43], работавшем в Казанском университете конце 30-х годов. После Второй Мировой войны работы Матиссона были развиты А.Раабе и Яном Вейсенхофом [44-48] (о Ма-тиссоне, Раабе и Вейсенхофе, а также их исследовании динамики частиц со спином можно прочитать в работе П.А.Хорвати [49]). А в 1951г. А. Папапе-тру [50], используя метод Фока для вывода уравнений движения, показал, что релятивистская частица с внутренним моментом движется не по геодезической, и в результате переоткрыл уравнения Матиссона, которые с тех пор получили большую известность под названием "уравнения Папа-петру", хотя последнее время их все чаще называют уравнениями "Матиссона, Папапетру и других" [51], или "Матиссона-Папапетру-Диксона" [52]. В.Г.Диксон [53-56] разрабатывал концепцию мультипольних моментов, являющуюся естественным обобщением концепции "частица+вектор", которая использовалась для описания частицы со спином в рамках классической теории. Следует отметить, что понятие о "мультипольных частицах", аналогичное концепции мультипольных моментов, было введено ранее В.Тульчиевым [57]. Концепция мультипольных моментов применялась, например, для исследования движения пробных заряженных частиц со спином во внешнем поле Рейснера-Нордстрема [58] и при обсуждении движения протяженных объектов в гравитационном поле, создаваемом самими мультипольными объектами [59].
Уравнения, аналогичные уравнениям Матиссона-Папапетру, были получены А.Бардуччи, Р.Касалбуони, Л.Люсанной [60] и Ф.Равндалом [61] с помощью грассмановых переменных. И.Б. Хриплович [62] дал один из самых простых и общих выводов уравнений движения релятивистской частицы, обладающей внутренним моментом количества движения, во внешнем гравитационном поле. Он показал, что добавочная сила, делающая движение частицы негеодезическим, является гравитационным аналогом силы Лоренца. Свой вклад в изучение динамики спина в рамках общей теории относительности внес французский математик Ж.-М.Сурьо [63-66]. Он вывел уравнения динамики частицы со спином во внешних полях на основе вари- ационного принципа. В отличие от уравнений Матиссона-Папапетру, изначально полученных в терминах вектора скорости, Ж.-М.Сурьо получил уравнения в терминах вектора обобщенного импульса, который в общем случае мультипольных частиц не коллинеарен вектору скорости [63].
В последнее время широкий интерес вызывают исследования динамики частиц со спином в поле гравитационного излучения [67-76]. К.Клейдис, Х.Варвоглис, Д.Пападопулос и А.Анастасиадис [67, 68], изучая резонансное взаимодействие заряженных частиц, движущихся в однородном магнитном поле, с плоской поляризованной гравитационной волной, показали, что компоненты четырехмерных векторов скорости и спина подвержены резонансу, который перестает иметь место в отсутствие гравитационной волны. Это явление было подтверждено результатами исследования взаимодействия гравитационных волн со спин-частицами в присутствие однородного магнитного поля, сделанного позднее Д.Пападопулосом [76]. Изучая рассеяние частиц обычными [70] и ударными [71] гравитационными волнами, Дж.Джемелли показал, в частности, что в движении дипольной частицы, т.е. частицы со спином, в поле гравитационной волны, имеется неустранимая особенность [70]. Изучением рассеяния незаряженных частиц со спином плоскими гравитационными и электромагнитными волнами занимались С.Кессари, Д.Сингх, Р.Такер и Ч.Вонг [52]. Они брали в качестве фоновой метрики общее волновое решение уравнений Эйнштейна-Максвелла и нашли точные решения уравнений динамики. Также М.Мох-сени, Р.Такер и Ч.Вонг [73] исследовали динамику частиц со спином на фоне гравитационной волны произвольной поляризации. Им удалось свести систему уравнений динамики к одному уравнению типа Матье-Хилла. Они показали, что частицы со спином могут испытывать параметрическое возбуждение в ноле гравитационной волны.
Наряду с исследованиями частиц со спином в рамках классической теории гравитации, в ряде работ используется описание частицы со спином в поле гравитационной волны в рамках квантовой теории [77-79]. Такое описание строится на основе решений уравнений релятивистской кванто- вой теории на заданном фоне, в качестве которого расматривается фоновое гравитационно-волновое поле. Квантовая теория поля на искривленном пространстве-времени представляет собой некоторое приближение пока не существующей строгой квантовой теории гравитации [80]. Применение этой теории к исследованию частиц со спином и спинорных полей, можно найти во множестве работ (см., например, [81-93]). Ряд работ В.А.Фока и Д.Д.Иваненко [81-85], опубликованных в различных журналах в 1929г., посвящен геометризации квантовой теории и, в частности, уравнению Дирака в рамках общей теории относительности [85]. В работах А.А. Соколова и Д.В.Гальцова с соавторами [86, 87] расматривается излучение релятивистских частиц в гравитационных полях. Разделению переменных в уравнении Дирака в пространствах Штеккеля посвящен ряд работ В.Г.Багрова, А.В.Шаповалова и А.А.Евсеевича [89-91].
При движении двух и более частиц, оказавшихся по соседству в искривленном пространстве-времени, возникает девиация (отклонение) их мировых линий [94]. Уравнения девиации частиц на фоне гравитационно-волнового поля также, как и динамика отдельных частиц, являются сейчас объектом пристального внимания [95-100]. С одной стороны, они представляют собой способ описания систем частиц во внешнем гравитационном поле [100], с другой стороны - являются инструментом для изучения геометрии внешнего гравитационного-волнового поля [95-99]. Поскольку отклик системы частиц на внешнее воздействие сложнее и многообразнее, чем отклик отдельно взятой частицы, то и девиация мировых линий системы частиц в гравитационно-волновом поле дает больше информации об этом поле, чем динамика отдельно взятой частицы. Дополнительные внутренние степени свободы также расширяют круг явлений, возникающих в системе частиц в поле гравитационной волны [3], вследствие чего исследование девиации частиц с дополнительными степенями свободы, к которым относится и спин, являются перспективными в плане применения их к детектированию гравитационных волн [101]. Об экспериментах по измерению параметров гравитационного взаимодействия пуем точного слежения за относительным движением двух пробных тел см., например, работы [102, 103].
Следуя логике "чем сложнее система, тем сложнее и многообразнее ее отклик на внешнее воздействие", получаем, что наиболее перспективными с точки зрения изучения воздействия гравитационно-волнового поля являются многочастичные системы. Чем сложнее структура этих систем и входящих в нее частиц, тем больше различных явлений возникает в таких системах под воздействием гравитационно-волнового поля. Соответственно, поведение таких систем в поле гравитационного излучения может дать нам наиболее полную информацию об этом излучении. В Казани на кафедре теории относительности и гравитации КГУ в начале 80-х годов стало развиваться новое направление по изучению эволюции релятивистской плазмы на фоне нелинейной плоской гравитационной волны, инициаторами которого стали сотрудники кафедры Ю.Г. Игнатьев и Г.Г.Иванов. Этой теме посвящен ряд работ [104-123] Ю.Г.Игнатьева, Г.Г.Иванова, А.Б.Балакина, В.Ю.Шуликовского, А.А.Попова, Н.Р.Хуснутдинова и других. Эти работы в совокупности дают всесторонний анализ эволюции релятивистских плаз-моподобных систем в поле нелинейной плоской гравитационной волны. В последние годы тема эволюции релятивистской плазмы в поле гравитационной волны стала разрабатываться и за рубежом [124-126]. Общие закономерности формирования отклика релятивистских иерархических систем, в том числе и с дополнительными степенями свободы, на воздействие поля гравитационного излучения были сформулированы А.Б.Балакиным в его докторской диссертации [127].
Целью диссертационной работы является исследование динамики релятивистских частиц со спином и их поляризационных свойств в поле нелинейной плоской гравитационной волны. Исследование заключается в решении следующих трех задач:
Найти точные решения модельных уравнений динамики релятивистской частицы со спином и эволюции ее вектора поляризации в поле нелинейной плоской гравитационной волны.
Построить обобщение теории геодезического отклонения для двух частиц со спином во внешнем поле и найти точные решения обобщенных уравнений девиации на фоне нелинейной плоской гравитационной волны.
В рамках кинетической теории на расширенном фазовом пространстве построить одночастинную функцию распределения как решение релятивистского кинетического уравнения, обобщенного на случай частиц со спином во внешнем поле, а также найти ее макроскопические моменты.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, трех приложений и списка литературы.
Первая глава носит справочный характер. В ней дается описания динамики частицы со спином и ее поляризации во внешних электромагнитном и гравитационном полях в рамках классической теории спина и общей теории относительности, кратко обсуждается связь классической и квантовой теории спина. Здесь же приводятся сведения из теории девиации мировых линий и ее обобщение на случай динамики заряженных частиц во внешних гравитационном и электромагнитном полях и дается описание системы частиц с дополнительными степенями свободы в рамках кинетической теории на расширенном фазовом пространстве. В разделе 1.4 приводится метрика нелинейной плоской гравитационной волны, используемая в работе в качестве фоновой. Там же приведены примеры электромагнитных полей, наследующих симметрию гравитационно-волнового поля.
Во второй главе рассматривается эволюция частиц со спином во внешнем поле гравитационного излучения и электромагнитном поле, наследующем его симметрию. В качестве модельных уравнений динамики частицы и ее вектора поляризации используется минимальное обобщение уравнений Баргманна-Мишеля-Телегди на случай динамики частицы со спином и аномальным магнитным моментом во внешних электромагнитном и гра- витационном полях.
В третьей главе рассматривается эволюция частиц со спином во внешнем поле гравитационного излучения в отсутствие электромагнитного поля. В качестве модельных уравнений динамики частицы и ее вектора поляризации рассматривается не-минимальное обобщение уравнений Баргманна-Мишеля-Телег ди, динамика частицы в котором описывается уравнением Матиссона-П апапетру.
В Заключении обсуждаются выявленные в ходе исследования особенности динамики частиц со спином и их поляризационные свойства в поле нелинейной гравитационной волны, формулируются основные результаты исследований и положения, выносимые на защиту.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях, семинарах и школах: X-XV Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики "Волга" (Казань, 1998-2003); Украинско-российская конференция по гравитации, космологии и релятивистской астрофизике (Харьков, Украина, 2000, 2003); Геометризадия физики (Казань, 2001); Международная конференция по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона ICGA (Москва, 2001); Аспекты квантовой гравитации (Вад Хоннеф, ФРГ, 2002); Математика гравитации II (Варшава, Польша, 2003); Российско-украинская школа ИТФ-ИТЭФ по теоретической и математической физике (Киев, Украина, 2002, 2003); Пятая российская конференция по атмосферному электричеству (Владимир, 2003); V Всероссийская Научная Конференция студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-5 (Екатеринбург; 1999); II зимняя школа по теоретической физике (Дубна, 2004); Итоговая научная студенческая конференция КГУ (1998-2000); Итоговая конференция Республиканского конкурса научных работ среди студентов и аспирантов на соискание премии им. Н.И. Лобачевского (Казань, 2002); Научный семинар кафедры теории относительности и гравитации КГУ (2003, 2004).
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 21 печатном труде [174-194] из которых 5 статей в международных зарубежных и российских журналах, 2 статьи в сборниках трудов международных конференций, 1 статья в сборнике трудов Российской конференции, 2 статьи в сборниках студенческих конференций и 11 тезисов докладов.
Автор выражает глубокую благодарность за постановку задачи и помощь в работе над диссертацией научному руководителю, доктору физико-математических наук профессору Балакину Александру Борисовичу.
