Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 3
1.1 Нейтрино в современной физике элементарных частиц . 3
1.2 История развития идеи об осцилляциях нейтрино 5
1.3 Осцилляции нейтрино (современное состояние проблемы) . 8
1.3.1 Экспериментальное исследование нейтринных осцилляции 8
1.3.2 Экспериментальные ограничения на массу и параметры смешивания нейтрино 14
1.3.3 Теория осцилляции нейтрино 17
1.3.4 Новейшее развитие теории осцилляции нейтрино
в среде и во внешних полях 20
1.4 Основные результаты диссертации 23
2 Флейворные осцилляции нейтрино в движущейся и поляризованной среде 26
2.1 Характеристики движущейся и поляризованной среды . 27
2.2 Эффективный гамильтониан нейтрино 30
2.3 Осцилляции нейтрино в однородной среде 33
2.4 Осцилляции нейтрино в неоднородной среде 38
2.5 Обобщенное уравнение Дирака для нейтрино в среде . 41
2.5.1 Дираковское нейтрино 43
2.5.2 Майорановское нейтрино 44
3 Спиновый свет нейтрино в гравитационном поле 48
3.1 Уравнение эволюции спина нейтрино 51
3.2 Спиновые осцилляции 56
3.3 Спиновый свет нейтрино в гравитационном поле 60
4 Квантовая теория спинового света нейтрино в среде 66
4.1 Решение обобщенного уравнения Дирака для нейтрино в среде 67
4.2 Амплитуда процесса 68
4.3 Энергетический спектр фотонов 70
4.4 Условия применимости квазиклассического подхода 74
4.5 Вероятность и мощность излучения 76
4.6 Угловое распределение 82
4.7 Поляризация спинового излучения нейтрино 91
5 Заключение
- История развития идеи об осцилляциях нейтрино
- Эффективный гамильтониан нейтрино
- Спиновые осцилляции
- Условия применимости квазиклассического подхода
Введение к работе
1.1 Нейтрино в современной физике элементарных частиц
Нейтрино с самого момента его предсказания Паули в 1929 году занимает особое место в физике элементарных частиц. Эта частица сыграла ключевую роль в развитии теорий слабого взаимодействия, явившись необходимым элементом первой теоретической модели слабых взаимодействий, которая была иредложенна Ферми в начале 30-х годов. Более глубокое понимание свойств нейтрино позволило затем сформулировать V — Л теорию слабых взаимодействий, что последовало за открытием несохранения четности в 1956 году By и др. и измерением спиралыюсти нейтрино в эксперименте Голдхабера в 1958 году. Следующим этапом развития физики слабого взаимодействия стало объединение слабых и электромагнитных взаимодействий в единую схему - стандартную модель электрослабых взаимодействий Вайнберга-Салама-Глешоу (ВСГ), структура которой также существенным образом зависит от свойств нейтрино. Первым экспериментальным указанием на справедливость этого объединения стало открытие в 1973 году нейтральных токов в нейтринном эксперименте на ускорителе CERN. С нейтрино также связан и завершающий этап в построении стандартной
модели - установление количества кварк-лептонных поколений, что было сделано путем измерения числа легких флейворных нейтрино в экспериментах на LEP в 90-х годах. Нейтрино также занимает важное место в структуре теорий Великого объединения, являясь с позиций этих теорий существенным элементом физической картины мира.
В настоящее время нейтрино еще в большей степени, чем раньше, находится в центре внимания ученых-теоретиков и экспериментаторов. Это связано с существованием ряда парадоксов или «загадок» таких, например, как обнаружение отклонений результатов атмосферных и солнечных нейтринных экспериментов от теоретических предсказаний, основанных на стандартной модели. В рамках современных представлений решения указанных парадоксов основаны на идее об осцилляциях нейтрино. Доказательство существования осцилляции и наличия ненулевой массы у нейтрино с теоретической точки зрения означает выход за рамки стандартной модели, а измерение масштаба массы определяет возможные пути дальнейшего ее обобщения.
Теоретические исследования, связанные с нейтрино, стимулированы, кроме того, его важной ролью в ядерной физике, а также в астрофизике и космологии. В ядерной физике нейтришю-ядерные реакции являются эффективным методом исследования структуры ядер и нуклонов. Сечения реакций нейтрино с ядрами, необходимые для экспериментального исследования нейтринных потоков от различных источников, также определяются в рамках ядерной физики. Говоря об астрофизическом аспекте физики нейтрино отметим, прежде всего, важную роль этой частицы при взрывах сверхновых и в эволюции нейтронных звезд, а также вклад в темную материю, образование реликтового фона и др. В космологии нуклеосинтез Большого взрыва в значительной степени определяется характером нейтринных взаимодействий и числом легких нейтрино, а распад тяжелого майорановского нейтрино, возможно,
играет важную роль в механизме образования избытка барионов над антибарионами.
Несмотря на достигнутые успехи в физике нейтрино и то, что эта область является одной из самых динамично развивающихся разделов физики, в ней до сих пор не решен ряд принципиальных вопросов, как то: наличие смешивания лептонных поколений, величина массы нейтрино, существование ненулевого магнитного момента, принадлежность нейтрино к частице дираковского или майорановского типа и др.. И хотя в настоящее время считается практически доказанным существование смешивания и осцилляции, полной ясности в вопросе о свойствах нейтрино достичь не удалось. Сложившаяся ситуация связана с уникальными свойствами нейтрино: данная частица обладает нулевым зарядом, малыми величинами массы и магнитного момента и имеет чрезвычайно «слабое» взаимодействие с другими частицами. Сечение слабого взаимодействия нейтрино при энергии Еи ~ 50 МэВ по порядку величины для упругого рассеяния на нуклонах оценивается как oVe^ ~ Ю-39 см2, для обратного /3-распада - как oVeV ~ Ю-40 см2 и для упругого рассеяния на электронах - как сг„еЄ ~ 10~43 см2. Данные свойства нейтрино делают весьма затруднительным его экспериментальное исследование и являются причиной возникающих в нейтринных экспериментах неопределенностей, связанных как с измерением значения какой-либо характеристики нейтрино, так и со статистическим анализом событий.
1.2 История развития идеи об осцилляциях нейтрино
Гипотеза о возможности смешивания нейтрино впервые была выдвинута Б.М. Понтекорво в 1957 году в работе [1] после открытия несохранения четности в /3-распаде [2] и появления двухкомпонентной теории нейтрино Ландау [3], Ли и Янга [4] и Салама [5]. К тому времени был известен лишь
один тип нейтрино и Понтекорво предположил возможность нейтрино-антинейтринных осцилляции в вакууме, следуя аналогии осцилляции частиц К0 и К .
Указание на несохранение лептонного числа в эксперименте Дэвиса по поиску
Ъ7Аг
в процессе
ие + 37С1 -> е~ + 37Лг,
заставило Понтекорво рассмотреть свое предположение более подробно в статье [6]. В данной работе было отмечено, что в осцилляциях между нейтрино и антинейтрино не сохраняется лептонное число, а также был предложен возможный эксперимент по лабораторному исследованию эффекта (который, однако, как было указано самим автором, не мог быть в то время осуществлен в силу большой длины осцилляции). Далее существенный шаг вперед был сделан в 1962 году Маки и др. [7], которые предложили смешивание двух типов майорановских нейтрино и рассмотрели связанные с ним различные эффекты. Однако явление осцилляции нейтрино, как эффект, основанный на квантовомеханическом описании системы со смешиванием, ими изучен не был. Отметим, что к моменту появления указанной работы существование мюонного нейтрино еще не было экспериментально подтверждено. В свете готовящегося Брукенхеванского эксперимента [8], призванного зарегистрировать мюонное нейтрино, авторы также рассмотрели возможность экспериментального обнаружения перехода ^е -* vfl и оценки массы «истинных» нейтрино.
В 1967 году Понтекорво рассмотрел [9] осцилляции частиц ve и vfl при выполнении различных законов сохранения леитонных зарядов и сформулировал условия их возникновения, эквивалентные с точки зрения современной терминологии существованию недиагональных элементов в массовой матрице нейтрино. В связи с возможностью осцилляции v <-> v в данной работе было впервые введено понятие стерильного
нейтрино (как флейворного нейтрино с определенной спиралыюстыо). Также в работе изучались осцилляции солнечных нейтрино и обсуждалась сезонная вариация потока нейтрино от солнца. Примечательно, что еще до публикации первых результатов экспериментов Дэвиса по солнечным нейтрино Понтекорво сделал вывод о двукратном подавлении потока нейтрино от солнца, таким образом предвосхитив экспериментальное обнаружение «проблемы солнечных нейтрино».
Первая феноменологическая теория смешивания двух поколений нейтрино была развита в 19G9 году Грибовым и Понтекорво в их статье [10], где впервые был записан майорановский массовый член для флейворных нейтрино, в который входили поля только левой киралыюсти. В рамках данной теории Грибов и Понтекорво получили выражение для вероятности осцилляции активных нейтрино в вакууме в форме, которая в настоящее время считается стандартной. Далее на основе кварк-лептонной аналогии в работах [11, 12] были изучены осцилляции четырехкомпонентных дираковских нейтрино, а в работе [13] рассмотрены вакуумные осцилляции нейтрино, индуцированные массовым членом общего дираковского и майорановского типа. В семидесятых годах была окончательно сформирована феноменологическая теория вакуумных осцилляции нейтрино в том виде, в котором она существует сейчас.
Следующий важный этап в развитии теории нейтринных осцилляции берет свое начало в работе Вольфенштейна [14], в которой рассматривались осцилляции нейтрино в веществе. Вольфенштейном было показано, что в среде изменяются параметры осцилляции - угол смешивания и длина осцилляции. Один из основных результатов в данной области был получен Михеевым и Смирновым [15]. В этой работе указано на возможность резонансного усиления амплитуды осцилляции при прохождении нейтрино области вещества с определенной плотностью. Данный эффект получил название эффекта Михеева-Смирнова-Вольфенштейна (МСВ), и именно на
его основе дается современное объяснение дефицита солнечных нейтрино. Если нейтрино обладает ненулевым магнитным моментом [16,17], то, как показали в 1968 году Высоцкий, Волошин и Окунь в серии работ [18-21], решение проблемы солнечных нейтрино может быть дано на базе прецессии спина нейтрино в веществе в присутствии поперечного магнитного поля. Необходимо отметить, что спиновые осцилляции нейтрино в поперечном магнитном иоле также исследовались ранее в работах [17,22,23]. Лимом и Марчиано [24] и независимо Ахмедовым [25] была указана возможность резонансного усиления спип-флейворных осцилляции нейтрино в среде (аналог эффекта МСВ для флейворных осцилляции).
1.3 Осцилляции нейтрино (современное состояние проблемы)
1.3.1 Экспериментальное исследование нейтринных осцилляции
Солнечные нейтрино
Проблема солнечных нейтрино возникла сразу после обработки первых результатов эксперимента Homestake (см, например, [26]), в ходе которого был впервые измерен поток нейтрино, идущий от солнца. В данном эксперименте главным образом регистрировались нейтрино, рожденные в реакции 7Ве + р —> ^В + 7 (так называемые 8В-нейтрино), а сама регистрация происходила за счет реакции Понтекорво-Девиса: vc + 37С1 —> е~+ 37Аг. Итогом эксперимента стало получение потока нейтрино, который оказался примерно в три раза меньше предсказаний стандартной модели солнца (СНС) (отношение измеренного потока нейтрино к предсказанному R = 0.34 ± 0.03). Через год после опубликования данных результатов Грибовым и Понтекорво было предложено решение возникшей проблемы на основе вакуумных осцилляции нейтрино. Суть решения состояла в
том, что на пути распространения нейтрино от Солнца к Земле часть электронных нейтрино переходит в мюонные, которые не детектируются.
Дефицит солнечных нейтрино был подтвержден в ходе последующих галлиевых (SAGE, GALLEX/GNO) и черепковских (Kamiokande, Super-Kamiokande) экспериментов. Галлиевые эксперименты, как и эксперимент Homestake принадлежат к группе так называемых радиохимических экспериментов. Нейтрино в них детектируется посредством реакции ие + 71Ga —> е~ + 71Ge, которая имеет низкий энергетический порог, позволяющий измерять полный спектр солнечных нейтрино (даже низкоэнергетичные рр-нейтрино с энергией менее 0.42 МэВ). Черепковские эксперименты в качестве рабочего вещества используют воду, регистрация нейтрино в них идет за счет упругого рассеяния нейтрино на электронах ve + е~ —-> ve + е~ по черепковскому излучению, испускаемому электроном отдачи.
Описанные типы экспериментов дают довольно подробную и взаимодополняющую информацию. Черепковские детекторы оказались способными регистрировать нейтрино в реальном времени, определять их энергию и направление движения до регистрации. При помощи них впервые была проведена корреляция направления приходящего потока солнечных нейтрино с положением солнца. С другой стороны, черепковские детекторы чувствительны только к нейтрино больших энергий, рожденных в Солнце. Радиохимические же эксперименты, наоборот, не обладают таким набором достоинств, однако они, как уже упоминалось, имеют значительно более низкий порог регистрации.
Хотя во всех указанных экспериментах был обнаружен дефицит солнечных нейтрино, их результаты разнятся между собой и с результатами эксперимента Homestake. Так, отношение числа зарегистрированных событий к ожидаемому числу для галлиевых экспериментов (суммарный результат) ifca = 0.56 ± 0.03 [27,28], а для
черепковского эксперимента Super-Kamiokande R$-k = 0.465 ± 0.015 [29]. Объяснение полученных результатов снова может быть дано на основе теории осцилляции нейтрино с учетом того факта, что нейтрино рождается внутри Солнца и затем некоторое время движется внутри него (т.е. необходим учет осцилляции нейтрино в солнечной среде) , что приводит к двум возможным вариантам решения: случай малого угла смешивания (SMA, Small Miximg Angle solution) и случай большого угла смешивания (LMA, Large Mixing Angle solution). При этом предполагается, что в солнце высокоэнергетичные 8В нейтрино испытывают резонансный переход Михеева-Смирнова-Вольфенштейна (МСВ-эффект - см. далее в Разделе ). Для выбора между этими двумя вариантами потребовалось проведение еще одного черепковского эксперимента - SNO (Sudbury Neutrino Observatory).
Эксперимент SNO [30] использовал в качестве рабочего вещества тяжелую воду (D2O) и регистрировал 8В-нейтрино посредством трех различных процессов:
ve + d^e~ +р + р, (1.3.1)
v + d-> v + n + p, (1.3.2)
v + e^v + e. (1.3.3)
В первой реакции, идущей за счет заряженных токов, участвует только электронное нейтрино, во второй, идущей за счет нейтральных токов - все типы, третья реакция представляет собой упругое рассеяние, в которой также участвуют все типы нейтрино (с основным вкладом электронного нейтрино). Тем самым в ходе эксперимента был измерен как поток нейтрино электронного типа, так и суммарный поток активных нейтрино всех типов [31, 32]. Результатом стало измерение их отношения, которое оказалось равным
-^ = 0.306 ± 0.035, (1.3.4)
а также подтверждение значения величины потока электронных нейтрино, измеренного коллаборацией Super-Kamiokande. Получение соотношения (1.3.4) стало доказательством существования осцилляции солнечных нейтрино независимо от выбора какой-либо модели Солнца. Результаты данного эксперимента также позволили сделать вывод о реализации сценария, в котором доминирующим является переход ve —* vfl при большом угле смешивания (LMA). В настоящее время угол смешивания солнечных нейтрино оценивается как #0 ~ 34.
Справедливость LMA-решения была подтверждена в конце 2002 года, когда в ходе длиннобазового реакторного эксперимента KamLAND [33] было обнаружено исчезновение части анти-электронных нейтрино, идущих от 26 реакторов, расположенных на среднем расстоянии 180 км от детектора. Подавление потока оказалось равным
фКатЬАШ
v.
= 0.611 ±0.094. (1.3.5)
фКатЬАШ
Совместное использование результатов экспериментов Super-Kamiokande, SNO и KamLAND позволяет существенно более точно определить ограничения на параметры смешивания солнечных нейтрино (см. далее в разделе 1.3.2), а также подтвердить предположение о том, что при движении нейтрино в солнце оно испытывает резонанс МСВ.
Атмосферные нейтрино
В 80-х годах началось экспериментальное изучение атмосферных нейтрино. Атмосферные нейтрино - это нейтрино, рождаемые при взаимодействии космических лучей с атмосферой. Основной составляющей космических лучей, ответственных за данные реакции, являются протоны, которые при соударении с частицами атмосферы рождают потоки (чаще называемые ливнями) вторичных частиц, главным образом пионов. Далее
следует цепочка распадов
77і ^/^ + ^(^),
| (1.3.С)
Є± + Ve{ve) + йціУц).
Для достаточно низких энергий мюонов (< 1 ГэВ) отношение числа мюонных и электронных нейтрино, регистрируемых на земле, должно быть
Rn/e = 2
Измерение потока атмосферных нейтрино на земле было выполнено несколькими различными экспериментальными коллаборациями. Среди них NUSSEX, Frejus, Soudan/Soudan-2 и MARCO были калориметрическими экспериментами, а 1MB, Kamiokande и Super-Kamiokande - черепковскими на воде. В детекторах обоих типов нейтрино регистрируется по его взаимодействию через заряженные токи, что позволяет классифицировать события по флейвору. В 1988 году обработка результатов Kamiokande [34] и 1MB [35] дала отношение R^/e, значительно меньшее двух. В то же время, ранними калориметрическими детекторами NUSSEX [36] и Frejus [37] было получено согласие с теоретическими предсказаниями. Ситуация разрешилась в конце 90-х годов, когда коллаборацией Super-Kamiokande [38-40] и калориметрическими (что очень важно) экспериментами Soudan [41] и MARCO [42] нехватка мюонных нейтрино подтвердилась.
В связи с возможностью детектирорвания атмосферных нейтрино следует отметить, что, в отличие от случая солнечных нейтрино, точность теоретического вычисления величины потока атмосферных нейтрино невысока (порядка 20 - 30 процентов). Это обусловлено имеющимися погрешностями в определении величины первичного потока космических лучей и неточностями в расчетах сечений взаимодействия космических
'При больших энергиях, данное отношение предсказывается большим, чем 2.
лучей с ядрами в атмосфере. Поэтому результаты экспериментов но атмосферным нейтрино обычно представляют в виде отношения измеренного отношения потоков ve и Vp к предсказываемому
г> _ l-*V/e)measured , .
h=Tr—ї ' (L3-7)
І, Іхц/е ) predicted
которое, в случае справедливости стандартной модели (без учета возможности осцилляции нейтрино) должно быть R = 1. Значения R, полученные в ходе некоторых экспериментов, приведены в Таблице 1.1.
Таблица 1.1: Сводка значений R.
Эксперимент R
1MB 0.54 ± 0.05
Kamiokandc 0.G0 ± 0.05
Super-Kamiokande 0.G4 ± 0.05
Soudan-2 0.61 ±0.15
Среди описанных выше экспериментальных проектов более других по значимости результатов выделяется проект Super-Kamiokande. Данные этого эксперимента убедительно убедительно свидетельствуют в пользу существования осцилляции. Это было достигнуто не только за счет повышения точности и большей статистики, но также за счет исследования зависимости величин потоков электронного и мюонного нейтрино от азимутального угла. В частности, было получено, что распределение электронных нейтрино от азимутального угла не зависит, в то время как мюоиные нейтрино обнаруживали явную по отношению к нему асимметрию. Поток последних, идущий непосредственно из атмосферы оказался больше, чем идущий сквозь Землю (в английской терминологии название данного эффекта звучит как «Up-Down asymmetry»). Последнее полученное в эксперименте интегральное значение этой асимметрии равно
[43]
дгиР
^Up-Down = _^_ = 0551 ± Q 035 (1 з gx
Из ее существования делается вывод о зависимости числа мюоиных нейтрино от расстояния между точкой их рождения и детектором. Данный результат интерпретируется в пользу наличия осцилляции нейтрино, которые приводят к переходу v^ —> VT.
В конце 2002 года осцилляциоиная интерпретация проблемы атмосферных нейтрино была подтверждена в длиннобазовом ускорительном эксперименте К2К [44], в котором наблюдалось подавление пучка мюоиных нейтрино со средней энергией Е ~ 1.3 ГэВ на расстоянии 250 км. Из объединения результатов Super-Kamiokande в области атмосферных нейтрино и К2К был сделан вывод о реализации варианта максимального смешивания для атмосферных нейтрино, при котором
0atm ^ 45.
1.3.2 Экспериментальные ограничения на массу и параметры смешивания нейтрино
Целью работающих в настоящее время осцилляционных экспериментов является измерение параметров смешивания нейтрино и разностей квадратов их масс (абсолютные величины масс нейтрино в данных экспериментах недоступны). Параметры смешивания входят в унитарную матрицу смешивания нейтрино U, которая определяется соотношением
з
VaL = ^2 U<*ML' а = е,ц, г, (1.3.9)
г=1
где уц - левые компоненты массивных нейтринных полей, a vni -соответствующие левые компоненты флейвориых полей. Матрица U часто называется матрицей Понтекорво-Маки-Накагавы-Сакаты (ПМНС). Она содержит 9 элементов, и может быть параметризована 3 углами
смешивания и б фазами, из которых только 3 являются физическими. Нефизические фазы всегда могут быть удалены из матрицы смешивания должным переопределением фазы массивных полей. В стандартной параметризации [45,46]
U = (
-iS\
С12С23 - 5i2S23-5l3el" S23C13
С\2С\Ъ
512С13
-S12C23 - С12523^13Є
С12С23Й13Є \ /
\
S12S23
/
I Си 512 0^
О С23 S23
О -S23 с2зу
1 О
О 1
І5 Q
/
D(aha2)
где
-512 Си О
О 0 1
С12523 - Si2C23Sl3e С23С13 ] О 8ХЪе~^\
\
0 сіз J
/і О
О еіаі
D(ai,a2) =
-D(ai,a2),
(1.3.10)
(1.3.11)
/
О 0 е
и Cij = cosOfj, Cij = sniOij. В приведенных формулах вц - углы смешивания, 5 - дираковсквая, а а.\ и а2 - майорановские фазы. Присутствие комплексных фаз означает нарушение СР-симметрии, которое в принципе может быть обнаружено. Однако, следует отметить, что в осцилляционных экспериментах измерению доступна только дираковская фаза 6.
Представление матрицы смешивания в виде произведения четырех матриц в формуле (1.3.10) (третья строка) очень удобно с точки зрения ее анализа на основе данных осцилляторных экспериментов. Первая матрица в данном выражении приближенно описывает осцилляции атмосферных нейтрино, а третья - солнечных. При этом углы смешивания 6 и #12 приблизительно равны, соответственно, углам смешивания атмосферных $atm и солнечных 0Q нейтрино. Вторая, перекрестная, матрица содержит угол смешивания #із и СР-нарушающую фазу S.
Таблица 1.2: Сводка значений осцилляционных параметров (взято из [47]).
Данные экспериментов но солнечным нейтрино совместно с данными реакторного эксперимента KamLAND позволяют определить области наиболее вероятных значений угла смешивания 0Q « О12 и разности квадратов масс первого массивного нейтрино и второго Дт| = Ат\2-Текущие измеренные значения этих величин приведены в Таблице 1.2, где сведены все последние результаты по определению осцилляционных параметров нейтрино. Как уже было отмечено выше, для солнечных нейтрино реализуется сценарий большого угла смешивания.
Результаты экспериментов но исследованию атмосферных нейтрино вместе с результатами ускорительного эксперимента К2К определяют допустимые значения параметров #atm ~ #23 и |Дт^т| = ІДтгУ- Для атмосферных нейтрино реализуется сценарий максимального смешивания.
Оставшиеся фазовые параметры 5, а\, а\ и параметр 6\з представляют для экспериментаторов в настоящее время наибольшую проблему. На фазовые параметры пока не получено никаких данных. Для 0^ существует лишь ограничение сверху, которое указывает на то, что этот параметр мал. Это ограничение следует в основном из эксперимента CHOOZ в комбинации с атмосферными экспериментами, а также из К2К и KamLAND. CHOOZ [48] представлял из себя длиннобазовый реакторный эксперимент, целью которого было обнаружение убытка электронных антинейтрино. Детектор находился на расстоянии 1 км от реактора и
состоял из жидкого сцинтиллятора, в котором нейтрино регистрировались посредством реакции обратного /3-распада: ve + р —> п + е+. Хотя в ходе эксперимента никаких отклонений от предсказанной величины потока нейтрино выявлено не было, данный результат имел важное значение, поскольку он позволил сделать вывод о том, что осцилляции электронных нейтрино на масштабах Am2, соответствующих атмосферным экспериментам, весьма незначительны или отсутствуют. Отсюда следовало, что угол #13 должен иметь малую величину.
1.3.3 Теория осцилляции нейтрино
В данном разделе кратко изложены основные моменты теории осцилляции нейтрино в вакууме и в покоящейся однородной среде на примере двух поколений нейтрино.
Рассмотрим две частицы v$, f = е, ц (флейворные нейтрино), связанные с массовыми состояниями vp, р = 1, 2 (истинные нейтрино) ортогональным преобразованием U
"'WM' (1-3-12)
Vp ) \ "і )
где матрица смешивания
/ cos# sin# \
а=\ й * (1313)
у — sin в COS в J
элементы которой определяются углом смешивания 0. Уравнение эволюции нейтрино в базисе vv имеет вид
г^-1/W = #*>}, (1.3.14)
где Н - диагональный в данном базисе гамильтониан:
Еі ' (1.3.15)
Для массовых состояний v\ и vi соотношение между энергией и импульсом берется в обычном виде:
Ei = yp2 + m?, і =1,2. (1.3.16)
Переходя к флейворпому базису с учетом малости массы нейтрино по сравнению с энергией для соответствующего гамильтониана в флейворном базисе Н' получим
„, тЪ + т2 д/-cos20 sin20 \
Н' = р+-2-А 1 + -ї\ , 1.3.17
4р 2 ^ Sin 20 cos 20 J
где А = 5т1/2р, 8т2, = т2 — m\. Диагональные элементы матрицы Н' суть энергии флейворных нейтрино.
Наибольший интерес представляют осцилляции релятивистских нейтрино, поэтому, заменяя производную но времени d/dt производной по координате d/dx (разница между tux более высокого порядка малости, чем отношение т/Е), запишем уравнение эволюции в базисе и^:
i±-vU) = H'vM. (1.3.18)
KJLv
Отсюда можно получить решение осцилляционной задачи в вакууме, т.е. выражение для вероятности обнаружения мюонного нейтрино в пучке, исходно состоявшем из электронных нейтрино:
Pv^Vll(x) = sin2 29sin2 ^, (1.3.19)
где длина осцилляции L = 27г/Д, а х - пройденное нейтрино расстояние.
В случае распространения нейтрино в покоящейся электроиейтралыюй среде, составленной из протонов, нейтронов и электронов (который впервые был рассмотрен Л. Вольфенштейном [14]) эффективная энергия нейтрино сдвигается. Например, для ие она равна:
Eeff = vV + т2 + А. (1.3.20)
Здесь величина A = \f2GFne {Gf - константа Ферми, пе - концентрация электронов) выступает в роли эффективного потенциала и характеризует взаимодействие нейтрино со средой. При этом эффективный угол смешивания нейтрино в среде Oeff также зависит от А:
Формула для вероятности осцилляции в среде PVe-*v имеет тот же вид (см. (1.3.19)) что и в вакуумном случае, но с заменой,
О -> 0effl
S —> 5' = т\ — гп\, где
~2 1
1,2 2
(т\ + т\ + А) ^ у/{A cos 20 - A)2 + A2sin220
(1.3.22)
Если расстояние, пройденное нейтрино, от точки рождения до точки детектирования неизвестно, то для вероятности осцилляции (после усреднения по х) имеем:
P^=l-mi22eeff. (1.3.23)
Используя формулу (1.3.21) представим sin22#ey/ в виде:
A2 sin2 2в (A cos 26» - А)2 + Д2 sin2 26»
Отсюда следует, что при выполнении условия
,4 = Acos20 (1.3.25)
усредненная вероятность перехода ре —» ^ достигает максимальній значения. Это явление впервые было рассмотрено в [15] и в последствии получило название резонанса Михеева-Смирнова-Вольфеиштейна.
1.3.4 Новейшее развитие теории осцилляции нейтрино в среде и во внешних ПОЛЯХ
В восьмидесятых годах была осознана важность изучения осцилляции нейтрино во внешних условиях и необходимость учета в осцилляциях нейтрино его взаимодействий. Произошло это благодаря появлению ряда работ, в которых были предложены пути решения загадки солнечных нейтрино основе спиновых и флейворных осцилляции нейтрино в среде и в магнитном поле [15, 18-21, 24, 25]. Кроме того, данные эффекты также нашли свое приложение в астрофизике при исследовании широкого круга задач, таких как взрыв сверхновой, эволюция нейтронных звезд и физика квазаров, где могут существовать поля достаточно больших наиряженностей (см., например, [49-53]). Отметим, что возможное влияние эффектов поляризации среды на флейворные осцилляции нейтрино было рассмотрено в [G7].
Спиновые и сиин-флейворные осцилляции обусловлены, соответственно, взаимодействием обычного и так называемого переходного магнитных моментов и связанного с ними спина нейтрино с внешним электромагнитным нолем. Данные эффекты состоят в конверсии только спина в случае спиновых осцилляции и в одновременной конверсии спина и флейвора нейтрино в случае спин-флейворных осцилляции. В рамках стандартной модели нейтрино является безмассовой частицей и, следовательно, все его статические электромагнитные характеристики, в частности магнитный момент, равны нулю. Магнитный момент нейтрино появляется уже в минимально расширенной стандартной модели, где он обусловлен радиационными поправками и в одноиетлевом приближении равен [16,17]
^ = ш^еСр7Пи = 3 х 10_19/i0 {ш)' (1,3,26)
где /io = е/2те - магнетон Бора. Лабораторные ограничения на магнитный
момент нейтрино следуют из экспериментов по солнечным нейтрино (/i„e ^ 1.5 х Ю-10) [5G, 57] и из реакторных экспериментов (/^е ^ 0.9 х Ю-10) [58,59]. Более жесткое ограничение может быть получено в астрофизике (цие ^ 3 х Ю-12) [60]. Укажем здесь также на работы [54,55] в которых подробно изучены электромагнитные свойства нейтрино в рамках расширений стандартной модели.
В основополагающих работах по спиновым осцилляциям, указанных выше, исследовались осцилляции нейтрино в покоящейся среде при действии поперечного магнитного поля. Рассмотрение велось в рамках описанного в разделе 1.2 феноменологического подхода, основанного на использовании уравнения эволюции шредингеровского типа для двух-(в случае одного флейвора нейтрино) или четырех-(в случае двух флейворов нейтрино) уровневой квантовомеханической системы при описании динамики спиральных переходов нейтрино. Ограничение случаем поперечного магнитного поля В± оправдывалось тем, что в системе покоя частицы продольная компонента 2?ц сильно подавлена но сравнению с поперечной (фактор подавления "у2 = 1/(1 — (З2)). С этих позиций в работах [61-63] (см. также [51]) были также исследованы спиновые осцилляции нейтрино в среде в присутствии вращающегося поперечного магнитного поля (предполагается, что поля такого типа существуют в конвективной зоне Солнца). Отметим, что спиновые осцилляции нейтрино в произвольном магнитном поле и в электромагнитных полях специальных конфигураций были исследованы в [64-66], где динамика спина частицы описывалась уравнением Баргмана-Мишеля-Телегди (БМТ).
Помимо взаимодействия с электромагнитным полем, существенным также может быть взаимодействие нейтрино с другими типами полей, описываемыми как в рамках стандартной модели, так и различными ее расширениями. Большое внимание уделяется смежной проблеме распространения нейтрино в среде, состоящей из фермионов,
взаимодействие которых с нейтрино описывается подобными теориями (см., например, [67, 68]). Основанный на обобщении квазиклассического уравнения БМТ, лоренц-инвариантный подход к описанию эволюции спина нейтрино в произвольно движущейся и поляризованной среде в случае векторного и аксиально-векторного взаимодействий (что соответствует стандартной модели) был предложен в [64, 69]. Полученное в рамках данного подхода уравнение эволюции спина нейтрино позволяло исследовать спиновые осцилляции нейтрино в среде указанного типа в присутствии электромагнитных полей. Универсальный формализм, учитывающий более широкий класс взаимодействий нейтрино (включающий также скалярное, псевдоскалярное, тензорное и псевдотензорное) был развит в работе [80], в которой было получено уравнение для эволюции спина нейтрино, обобщенное на указанные типы взаимодействий. На основе данного подхода было показано (см. также [68]), что скалярное, псевдоскалярное и векторное взаимодействия не влияют на эволюцию спина нейтрино.
Кроме спиновых и спин-флейворных осцилляции в ряде работ рассматривался другой эффект - электромагнитное излучение нейтрино за счет его магнитного момента [82-88]. Природа данного явления может быть разной. В работах [82, 83] - это излучение нейтрино в постоянном магнитном иоле и в поле плоской электромагнитной волны, в работах [84, 85] - это черепковское излучение в гомогенной среде, в [86-88] -излучение, получаемое при прохождении нейтрино поверхности раздела двух сред с разными показателями преломления.
Недавно в работе [89] был предсказан новый тип электромагнитного излучения массивного нейтрино за счет прецессии его магнитного момента при движении в веществе, взаимодействующем с ним электрослабым образом. Данный тип излучения получил название «спиновый свет нейтрино». Описание явления дано в Главе 3. Отметим также работы
[90-93], в которых обсуждается новейшее развитие исследований по теории движения и осцилляции нейтрино во внешних полях и веществе. Отметим, что подобный механизм излучения при движении нейтрино в постоянном магнитном иоле ранее рассматривался в работе [82].
1.4 Основные результаты диссертации
Диссертация посвящена развитию теории осцилляции и теории спинового света нейтрино в движущейся и поляризованной среде в присутствии различных внешних полей. В качестве возможных астрофизических приложений полученных результатов рассмотрены спиновые осцилляции нейтрино в гравитационном поле, описываемом метрикой Керра, и спиновый свет нейтрино при его движении в иоле массивных астрофизических объектов в присутствии плотной среды.
В главе 2 построена теория флейворных осцилляции нейтрино в произвольно движущейся и поляризованной среде [129-131]. Получены выражения для энергии и эффективного потенциала нейтрино, зависящие от трех величин: скорости нейтрино /3, скорости среды v и вектора поляризации частиц среды . В адиабатическом приближении найдено выражение для вероятности нейтринных осцилляции, при этом определены эффективный угол смешивания и эффективная длина осцилляции в среде. Исследуется МСВ-эффект резонансного усиления амплитуды вероятности нейтринных осцилляции при различной величине и относительной ориентации указанных трех векторов. Под влиянием движения и поляризации среды может происходить существенное смещение резонансного условия МСВ. Показано, что наиболее явно указанные эффекты проявляются при релятивистском движении и полной поляризации среды ( —» 1). В частности, для неполяризованной среды в случае ее релятивистского движения вдоль
(против) направления распространения нейтрино наступление резонанса предсказывается при значительно больших (меньших) по отношению к нерелятивистскому случаю плотностях среды. Рассмотрены осцилляции нейтрино в неоднородной среде. Для данного случая исследовано условие, определяющее возможность применения адиабатического приближения, при котором реализуется стационарное распространение массовых нейтрино. Показано, что релятивистское движение среды вдоль направления распространения нейтрино существенно улучшает условие адиабатичности. В заключительном параграфе главы выводится обобщенное уравнение Дирака для майорановского нейтрино, распространяющегося в плотной движущейся и поляризованной среде [9G]. Глава 3 посвящена изучению спиновых осцилляции и эффекта спинового света нейтрино в гравитационном поле в присутствии вещества [132, 133]. В данной главе получено квазиклассическое уравнение эволюции вектора спина нейтрино в слабом гравитационном и электромагнитном нолях в присутствии вещества. Показано, что спиновая прецессия в слабом гравитационном поле возможна только при отличных от нуля компонентах д0{ (г = 1,2,3) метрического тензора, что соответствует полям вращающихся объектов. Для случая движения нейтрино в поле, описываемом метрикой Керра, находится решение полученного уравнения, с использованием которого затем выводится формула для вероятности спиновых осцилляции в указанном случае. В рамках квазиклассического подхода к описанию спинового света нейтрино на основе уравнения для эволюции спина нейтрино находится выражение для мощности спинового света нейтрино в гравитационном поле и в движущейся поляризованной среде. В качестве приложения полученных результатов рассматривается спиновый свет нейтрино, движущегося в аккреционном диске черной дыры и в релятивистской струе плазмы (например, в джете, идущем от квазара), идущей от квазара. Для первого случая показано, что на малых
расстояниях от черной дыры основной вклад в спиновый свет может давать взаимодействие с гравитационным нолем. Во втором случае вклад среды может быть значительно подавлен за счет ее релятивистского движения, что может иметь место и на больших расстояниях от источника.
В главе 4 на основе точных решений обобщенного уравнения Дирака для нейтрино в среде развивается последовательная квантовая теория спинового света нейтрино в веществе [96, 134-138]. При этом найдены угловые распределения вероятности в единицу времени и мощности излучения, а также впервые найден энергетический спектр излучаемых фотонов. Проводится анализ полученного спектра фотонов для различных значений спиральпостей начального и конечного нейтрино. Также проводится детальное исследование углового распределения мощности спинового света. Найдены его полная вероятность и мощность для различных предельных соотношений между массой т и импульсом р нейтрино и параметром плотности среды а. Исследуются поляризационные свойства спинового света [136, 137]. Получены угловые распределения излучения при линейной и круговой поляризации фотонов и на их основе сделан вывод о практически полной круговой поляризации фотонов в плотной среде при больших значениях импульса нейтрино.
История развития идеи об осцилляциях нейтрино
В данной работе было отмечено, что в осцилляциях между нейтрино и антинейтрино не сохраняется лептонное число, а также был предложен возможный эксперимент по лабораторному исследованию эффекта (который, однако, как было указано самим автором, не мог быть в то время осуществлен в силу большой длины осцилляции). Далее существенный шаг вперед был сделан в 1962 году Маки и др. [7], которые предложили смешивание двух типов майорановских нейтрино и рассмотрели связанные с ним различные эффекты. Однако явление осцилляции нейтрино, как эффект, основанный на квантовомеханическом описании системы со смешиванием, ими изучен не был. Отметим, что к моменту появления указанной работы существование мюонного нейтрино еще не было экспериментально подтверждено. В свете готовящегося Брукенхеванского эксперимента [8], призванного зарегистрировать мюонное нейтрино, авторы также рассмотрели возможность экспериментального обнаружения перехода е - vfl и оценки массы «истинных» нейтрино.
В 1967 году Понтекорво рассмотрел [9] осцилляции частиц ve и vfl при выполнении различных законов сохранения леитонных зарядов и сформулировал условия их возникновения, эквивалентные с точки зрения современной терминологии существованию недиагональных элементов в массовой матрице нейтрино. В связи с возможностью осцилляции v - v в данной работе было впервые введено понятие стерильного нейтрино (как флейворного нейтрино с определенной спиралыюстыо). Также в работе изучались осцилляции солнечных нейтрино и обсуждалась сезонная вариация потока нейтрино от солнца. Примечательно, что еще до публикации первых результатов экспериментов Дэвиса по солнечным нейтрино Понтекорво сделал вывод о двукратном подавлении потока нейтрино от солнца, таким образом предвосхитив экспериментальное обнаружение «проблемы солнечных нейтрино».
Первая феноменологическая теория смешивания двух поколений нейтрино была развита в 19G9 году Грибовым и Понтекорво в их статье [10], где впервые был записан майорановский массовый член для флейворных нейтрино, в который входили поля только левой киралыюсти. В рамках данной теории Грибов и Понтекорво получили выражение для вероятности осцилляции активных нейтрино в вакууме в форме, которая в настоящее время считается стандартной. Далее на основе кварк-лептонной аналогии в работах [11, 12] были изучены осцилляции четырехкомпонентных дираковских нейтрино, а в работе [13] рассмотрены вакуумные осцилляции нейтрино, индуцированные массовым членом общего дираковского и майорановского типа. В семидесятых годах была окончательно сформирована феноменологическая теория вакуумных осцилляции нейтрино в том виде, в котором она существует сейчас.
Следующий важный этап в развитии теории нейтринных осцилляции берет свое начало в работе Вольфенштейна [14], в которой рассматривались осцилляции нейтрино в веществе. Вольфенштейном было показано, что в среде изменяются параметры осцилляции - угол смешивания и длина осцилляции. Один из основных результатов в данной области был получен Михеевым и Смирновым [15]. В этой работе указано на возможность резонансного усиления амплитуды осцилляции при прохождении нейтрино области вещества с определенной плотностью. Данный эффект получил название эффекта Михеева-Смирнова-Вольфенштейна (МСВ), и именно на его основе дается современное объяснение дефицита солнечных нейтрино. Если нейтрино обладает ненулевым магнитным моментом [16,17], то, как показали в 1968 году Высоцкий, Волошин и Окунь в серии работ [18-21], решение проблемы солнечных нейтрино может быть дано на базе прецессии спина нейтрино в веществе в присутствии поперечного магнитного поля. Необходимо отметить, что спиновые осцилляции нейтрино в поперечном магнитном иоле также исследовались ранее в работах [17,22,23]. Лимом и Марчиано [24] и независимо Ахмедовым [25] была указана возможность резонансного усиления спип-флейворных осцилляции нейтрино в среде (аналог эффекта МСВ для флейворных осцилляции).
Эффективный гамильтониан нейтрино
Возвращаясь к эффективному лагранжиану взимодействия заряженных токов, будем иметь следующий добавочный член в эффективный лагранжиан нейтрино: jfy? - к) шР)ъ"еь(р)}.. (2.2.1) Рассмотрим теперь вклады нейтральных токов. Соответствующий эффективный лагранжиан имеет вид: Ceff = ё(Р1)7Л (/3L ( ) - Qsin2 е(р2) X (2.2.2) { гі(Рз)7А і(Р4), г = Є,/і, где hb - третья компонента слабого изоспина электрона, Q - его заряд. С учетом того, что для электрона 1 ь = —1/2 и Q = — 1, для добавочного члена в эффективный лагранжиан получаем: (#(4 sin2 0„г - 1) + А?) {щьъчь} , i = e,fi. (2.2.3)
Таким образом, взятые вместе вклады токов обоих типов дадут следующую поправку к эффективному лагранжиану: eff = /eQ (velJ-Y v)) + /; (іуУа-Цр ) , (2.2.4) где /са = ((4sin2 + 1)# - A»), /« = ((4sin20„, - 1)# + A"). Из (2.2.4) следует, что эффективное уравнение Дирака для нейтрино, движущегося в среде, будет выглядеть следующим образом: (ЪЕ - 7Р - т)ф = Ш,1)Фі (2-2.5) где Г = V2GFUS - A?). (2.2.G) Перегруппируем члены в уравнении (2.2.5): (Ъ(Е - /о) - 7(Р - f) - т) ф = 0. (2.2.7) Отсюда очевидно, что эффективная энергия нейтрино в однородном веществе (закон дисперсии):
Eeff = /(р - f)2 + m2 + /0. (2.2.8) Используя упрощающее предположение, соответствующее условию малости слабых взаимодействий, f «С Ро = \/р2 + га2, получаем выражение для эффективной энергии электронного нейтрино в движущейся поляризованной среде в виде: VP1 + тг VP2 + 2 + UU1- Ceve)(l - (3ve)+ (/3ve)(Ceve) (2.2.9) Ce/3 \П-У\ + 0(7-1). 1 + Х/Г _
Здесь /3- скорость нейтрино, 7i/ = (1—/З2)-1/2, / = \/2Gjrne. Из выражения (2.2.9) видно, что эффективная энергия в дополнение к вакуумной части Е = ур2 + га2 содержит доилнительный член, пропорциональный плотности среды и зависящий от взаимной ориентации трех векторов: /3, ve и Се. Если вещество пеполяризовано и движется медленно или покоится, ve ) 0, то выражение (2.2.9) дает хорошо известный результат для вольфеннітейновского члена в эффективной энергии нейтрино в покоящейся среде: Eeff = vV + 2 + V2GFn0. (2.2.10) Найдем теперь вероятность перехода Рие- и основные характеристики осцилляции. Запишем уравнение эволюции нейтрино: llxuU) = Яе//г/Ш (2-2Л1) где v fi - флейворные нейтринные состояния (/ = е, //), связь которых с массовыми состояниями и (р = 1,2) осуществляется при помощи унитарной 2x2 матрицы смешивания: (2.2.12) (2.2.13) u = cos 9ejf sin 6eff — sin Ocff cos Oeff Oeff - угол смешивавпия нейтрино в веіцестве, Hejj - гамильтониан в флейворном базисе: (2.2.14) Heff = Н + , , V2GF ( Раї? О № \ 0 patf Здесь Н - вакуумная часть гамильтониана (см. (1.3.17)). Выделяя в Heff член, пропорциональный единичной матрице, имеем: _ т\ + т\ г ра eff Р+ Ар +V F p J 1 + 1 / -A cos 20 + 2Л Д sin 20 2\ Д sin 20 Д cos (2.2.15) щ где A = s/2Gi \А (l-/3ve)(l-Ceve) + (2.2.16) +\/Г Се/з (/ЗУе)(СеУе) 1 + х/г 2 Теперь из полученного выражения (2.2.15) можно найти эффективный угол смешивания нейтрино в среде #е// 2.3 Осцилляции нейтрино в однородной среде
Для того, чтобы найти #е//, необходимо диагонализовать гамильтониан (2.2.15), т.е. перейти к физическому базису. Собственные значения гамильтониана (2.2.15) есть: E?f = p + V2GAf + f, і = 1,2, (2.3.1) Ро лр где эффективные массы fh\ , выражаются соотношением (1.3.22), в котором теперь следует взять эффективный потенциал Л, определенный в (2.2.16). Эффективный угол смешивания 0еу/ выражается через элементы матрицы Heff. tan20e// = 2Heff . (2.3.2) Heff22 - Heff ц Отсюда для sin 26eff получаем выражение (1.3.24), в котором эффективный потенциал опять берется из (2.2.1G). Эффективная длина осцилляции представится в виде Leff = і =, (2.3.3) (A COS 20 -A) + A2 sin2 20 где А = 5т1/2р, 5т2и = т2 — т\.
В силу того, что вся схема описания осцилляции имеет тот же вид, что и для случая отсутствия среды, вероятность превращения исходно электронного нейтрино в мюонное опять можно найти из выражения для вероятности вакуумных осцилляции Pi,e- ii (1.3.19), заменяя в нем вакуумные величины эффективными: 0 «- Oeff, L - Leff. В результате для вероятности осцилляции нейтрино в движущейся и поляризованной однородной среде получаем 7Г0С Р„е_„м(аО = sin2 20е// sin2 -—, (2.3.4) Leff где х - расстояние, пройденное частицей.
Таким образом, характеристики нейтринных осцилляции - вероятность PVe- v {х), угол смешивания 9eff и длина осцилляции Le// - зависят от скорости и поляризации среды,причем вся эта зависимость содержится в величине А. Из проведенного рассмотрения следует, что движение и поляризация среды могут приводить к существенному изменению резонансного условия Михеева-Смирнова-Вольфенштейна [15], которое имеет вид Р cos 20 = Л, (2.3.5) 2р где A = \/2GFTIO В случае неподвижной и иеполяризованной среды.
Обсудим более подробно эффекты влияния движения и поляризации среды на резонансное условие (2.3.5) [129-131]. Рассмотрим сначала случай, когда вещество неиоляризовано, е = 0. Тогда выражение в правой части уравнения (2.3.5) равно разнице векторных частей эффективных потенциалов электронного и мюошюго нейтрино Vу = V2GF ==(1 - /3ve). (2.3.G) Подставим это выражение в резонансное условие (2.3.5): 6 cos29 = V2GF-7 =(l-(3ve). (2.3.7) Видно, что в этом случае влияние движения среды на осцилляциии описывается фактором а = -Ц . (2.3.8) Для ультрарелятивистских нейтрино, /3 « 1, и среды, движущейся вдоль направления распространения нейтрино со скоростью vc, фактор а есть: Tr TViTv (2-3-9) Здесь мы положили, что выполнено условие 7е "С 7ь" Например, для нейтрино массы mv 2 эВ и энергии Ev 10 МэВ это условие устанавливает ограничение на предельную энергию электронов Ес 2.5 ТэУ.
Спиновые осцилляции
Если известен закон эволюции спина нейтрино, то соответствующая вероятность спиновых осцилляции релятивистского нейтрино определяется формулой П дй = і[і + (СдО], (3-2.1) где С/ является решением уравнения тина (3.1.14). Отметим, что для релятивистского нейтрино спиральные и киральные состояния совпадают с точностью т„/Е, а эффект же осцилляции состоит в переходе «активного» нейтрино VL В «стерильное» VR. Рассмотрим модельную задачу [132], в которой нейтрино движется у поверхности вращающейся нейтронной звезды в радиальном направлении в предположении присутствия только гравитационного поля звезды, и найдем решение соответствующего уравнения для эволюции спина нейтрино (3.1.10). С учетом (3.1.13) имеем выражение для вектора G в метрике Керра G = JL -(1 + 27)Lncos6 }. (3.2.2)
Введем единичный вектор п__, ортогональный п и лежащий с ним и с вектором полного момента L в одной плоскости. Разложим теперь G на продольную и поперечную составляющие по полученному базису : G = G+G_L, (3.2.3) где G - -7— n cos 0, (3.2.4) rpO и Отсюда _ 1 GML G± = --4-nj_sin0. 3.2.5) 2 r6 G = - 4 cos2 0 +sin2 в. (3.2.6) Вводя единичный вектор вдоль направления вектора G, k=-, (3.2.7) перепишем уравнение эволюции спина нейтрино в виде = [С X к], (3.2.8) где, в соответствии с (3.2.6), а = 9 к J 2 cos2 0 + sin2 в. (3.2.9) 7 v Если мы теперь введем локальную декартову систему координат с осью г, направленной но к, то общее решение уравнения (3.2.8) запишется как C -vT coe ( + ), Су = VI-С sin ( + ф) , (3.2.10) Cz = C. Константы С и ф определяется начальными условиями и зависят от фиксации осей х и у системы координат.
Найдем явный вид выражения для вероятности спиновых осцилляции в данном случае. Обозначим как р угол между векторами Сипи выберем ось х лежащей с ними в одной плоскости и направленной по увеличению угла в. Предположим далее, что нейтрино родилось вблизи от поверхности нейтронной звезды и что вектор спина частицы при этом был направлен против импульса (что в релятивистском случае соответствует левому нейтрино Vi). Тогда в начальный момент времени вектор спина в выбранном базисе равен
Таким образом, в поле вращающегося гравитирующего объекта вектор спина нейтрино, движущегося радиально, прецессирует вдоль направления вектора G. В отличие от ранее рассмотренных задач об эволюции спина нейтрино в электромагнитных нолях различных конфигураций и в движущейся и поляризованной среде, в данном случае эта прецессия происходит но довольно сложному закону, а не представляет собой вращение с определенной частотой. Из-за того, что направление G не совпадает с направлением п, при этом будут возникать спиновые осцилляции нейтрино.
Выражение для вероятности осцилляции следует из общей формулы (3.2.1) и из (3.2.14) с учетом n= (sin у?, О, cos /?): P„L R(r) =sinVin2 (1 - ) (3-2.15) sin26 . 2 Д R2\ sirr —-г 1 . 472 cos2 в + sin2 9 " 4І?2 \ r2 Вспоминая вид стандартной формулы для вероятности осцилляции, приходим к заключению, что роль угла смешивания в данной ситуации играет половина угла ср. Из полученной формулы (3.2.15) также следует, что амплитуда осцилляции (множитель sin2 ф) обращается в нуль в случае движения нейтрино по оси вращения звезды, а эффект «резонанса», при котором амплитуда достигает максимального значения, равного единице, реализуется при радиальном движении в плоскости экватора. Таким образом, в первом случае киралыюсть нейтрино будет оставаться неизменной (что естественно, в силу того, что при данном условии h = 0), а в другом случае вероятность конверсии vi — VR будет принимать максимальное значение.
Оценка величины вероятности конверсии на больших расстояниях для параметров нейтронных звезд, указанных в разделе 3.1, дает очень малое значение, поскольку стоящее в аргументе синуса выражение a/4R2 2kh - суть величина, малая по условию: Р{г — оо) Ю-4. Отметим также, что в силу малости аргумента синуса, процесс перехода нейтрино из левого состояния в правое в данном случае по существу не похож на осцилляции, а носит скорее затухающий характер.
Условия применимости квазиклассического подхода
С помощью полученного выражения для частоты фотона можно исследовать границы применимости квазиклассического подхода вытекающие из третьего условия на квазиклассичность - малость энергии излученного фотона по сравнению с энергией нейтрино (см. главу 3): ш/Е \. (4.4.1)
Будем рассматривать это неравенство при максимальных значениях энергии фотона. Беря производную от ш но 9, находим, что экстремумы ш Ер-am могут достигаться при cost/ = — и cosfl = ±1, а соответствующие РР значения ш равны: Используя закон сохранения энергии представим частоту фотона как: ш = Е-Е = у/[р + am)2 + m2 - у/{р - am)2 + m2, (4.4.3) откуда видно, что неравенство (4.4.1) будет удовлетворятся в трех случаях: a) am С р — р , б) р р «С am, в) р = р 4- 2am. Последний случай, однако, несовместим с законами сохранения при р am, а при am s р он совпадает со случаем а).
Рассмотрим отдельно случаи а) и б). В случае а) из трех значений энергий фотона (4.4.2) наибольшим является и2 и поэтому именно его следует подставлять в неравенство (4.4.1), которое тогда примет вид
Соотношение будет иметь место при выполнении дополнительного условия С л/l + ( )2 — 1 из которого следует, что а С —. Условие а), кроме того, дает a С . Приведем оценку плотности среды, положив массу нейтрино равной современному экспериментальному ограничению на уровне 1 эВ. Вытекающий при этом из полученных ограничений диапазон плотностей, для иерелятивистского нейтрино с импульсом р m имеет верхнюю границу на уровне п 1037 см-3, что соответствует веществу во внутренних областях нейтронных звезд. В остальных же случаях плотность должна быть еще меньше. Например, для характерных значений энергии нейтрино 1 МэВ, рассматриваемых в астрофизике, плотность среды должна быть не выше величины порядка 1028 — 1031 см-3, что уже не позволяет использовать квазиклассический подход для изучения спинового света нейтрино в нейтронных звездах. Однако, этого предела достаточно для возможности использования квазиклассического подхода при рассмотрении нейтрино, движущегося в солнце, аккреционных дисках и джетах нейтронных звезд, черных дгяр и квазаров.
В случае б) наибольшим значением из предполагаемых максимумов (4.4.2) обладает ш . Неравенство (4.4.1) при этом представится как Для его выполнения необходимо, чтобы а С —. Таким образом, мы имеем следующее условие на плотность среды: (-) \пг/ а (-), (4.4.6) из которого следует, что 1, то есть данный случай соответствует как нерелятивистскому нейтрино, Щ 1 при а 1, так и релятивистскому, С 1 при а 3 1. Полученный результат, казалось бы, позволяет рассматривать в рамках квазиклассического подхода весьма большие плотности, имеющие место, например, в нейтронных звездах. Однако здесь следует учесть то обстоятельство, что в реальности условие а %-практически не может реализоваться, так как при этом условии плотностей астрофизических объектов недостаточно, чтобы дать необходимый вклад в энергию нейтрино даже на уровне 1 КэВ. Например, родившееся в нейтронной звезде с плотностью n 1033 см-3 нейтрино с энергией Е 1 ГэВ в силу связи энергии с импульсом (4.1.3) с необходимостью обладает импульсом того же порядка, что и Е. Тем не менее квазиклассический подход может найти свое применение при изучении свойств нейтрино на ранних стадиях эволюции Вселенной, когда вещество находилось в сверхплотном состоянии.
