Содержание к диссертации
Введение
1 Введение множества топологических инвариантов 26
1.1 Основные определения 26
1.2 Вспомогательные факты 29
1.3 Определение схемы диффеоморфизма / Є G 34
1.4 Совершенная схема 39
1.4.1 Вспомогательные определения 39
1.4.2 Операции разрезания и склеивания на многообразии Af 49
1.5 Структура схемы диффеоморфизма f Є G 56
1.5.1 Допустимая система окрестностей 56
1.5.2 Связь динамики диффеоморфизма / Є G со схемой S(f) 57
2 Необходимые и достаточные условия топологической сопряженности диффеоморфизмов класса G 67
2.1 Вспомогательные леммы 67
2.2 Доказательство теоремы 2.1 74
2.2.1 Построение сопрягающего гомеоморфизма на множестве W1(Sn) 75
2.2.2 Построение сопрягающего гомеоморфизма на множестве W1(SP) 78
3 Построение диффеоморфизма fs Є G, реализующего совершенную схему S Є S 82
3.1 Присоединение седловых точек 83
3.1.1 Присоединение седловых точек, двумерные инвариантные многообразия которых не содержат гетероклинических точек 83
3.1.2 Присоединение седловых точек, двумерные инвариантные многообразия которых содержат гетероклинические точки 86
3.2 Присоединение узловых точек 89
Заключение 95
Список литературы 99
- Вспомогательные факты
- Структура схемы диффеоморфизма f Є G
- Построение сопрягающего гомеоморфизма на множестве W1(Sn)
- Присоединение седловых точек, двумерные инвариантные многообразия которых содержат гетероклинические точки
Введение к работе
Предмет исследования. Настоящая диссертация посвящена топологической классификации структурно устойчивых дискретных динамических систем (каскадов), заданных на замкнутых трехмерных ориентируемых многообразиях, и охватывает исследования автора начиная с года.
Актуальность темы. Данная работа относится к одному из основных разделов качественной теории динамических систем — нахождению топологических инвариантов, определяющих разбиение многообразия на траектории с точностью до топологической эквивалентности.
Топологическая классификация динамических систем включает в себя следующие аспекты:
• нахождение топологических инвариантов для класса рассматриваемых динамических систем;
• доказательство полноты множества найденных инвариантов, то есть доказательство того, что совпадение множеств топологических инвариантов является необходимым и достаточным условием топологической эквивалентности (сопряженности) двух динамических систем;
• реализация, то есть построение по заданному множеству топологических инвариантов стандартного представителя в каждом классе топологически эквивалентных систем.
Приведем краткую информацию о результатах по топологической классификации структурно устойчивых потоков (динамических систем с непрерывным временем) и каскадов (динамических систем с дискретным временем), заданных на замкнутых многообразиях. Более подробную информацию об этом можно найти в книгах [ ], [ ], а также в обзорных статьях [5], [б], [2], [3], [ ], [ ], [ ].
В размерности 1 классификация структурно устойчивых потоков на оружности тривиальна. Классификация структурно устойчивых каскадов на окружности была получена Майером в работе [ ]г.
На двумерной сфере задача топологической классификации структурно устойчивых потоков была полностью решена в работах А. А. Андронова, Е. А. Леонтович, А. Г. Майера, Л. С. Понтрягина ([8], [ ], [ ]). Фундаментом для этого явились идеи Пуанкаре-Бендиксона, связанные с выделением тех траекторий, знание и взаимное расположение которых однозначно задает качественную структуру разбиения фазового пространства динамической системы на траектории, а также идея грубости, принадлежащая А. А. Андронову и Л. С. Понтрягину ([8]).
Обобщением этих результатов явилась топологическая классификация структурно устойчивых потоков на поверхностях, полученная М. Пейксото ([ ], [ ]). Полным топологическим инвариантом в этом случае явился некоторый граф, обобщающий понятие схемы потока на сфере, введенной Е. А. Леонтович и А. Г. Майером. Согласно работам [8], [ ], [ ] грубые потоки на двумерных поверхностях характеризуются тем, что они имеют конечное число гиперболических состояний равновесия, конечное число замкнутых гиперболических траекторий и не содержат незамкнутых устойчивых по Пуассону траекторий, а также траекторий, соединяющих два седловых состояния равновесия. В силу этого такие потоки представляют класс динамических систем, для которого получена исчерпывающая топологическая классификация.
При переходе к каскадам (динамическим системам с дискретным временем) на многообразиях размерности большей единицы или к потокам на многообразиях размерности большей двух становится возможным существование гомоклинических траекторий у структурно устойчивых систем, что приводит к существованию счетного множества периодических траекторий.
Этот феномен, обнаруженный в работах Д. В. Аносова и С. Смейла в -х годах ([4], [ ]), послужил толчком к выделению и интенсивному изучению важного класса систем — динамических систем с гиперболической структурой. Хорошо известными представителями таких систем стали У-системы Д. В. Аносова и системы, удовлетворяющие аксиоме А С. Смейла. Параллельно изучались топологические и метрические свойства систем, исследовались различные аспекты, связанные с понятиями структурной устойчивости и типичности, нахождением необходимых и достаточных условий структурной устойчивости, различными модификациями гиперболичности и теории бифуркаций. Одновременно активно изучались динамические системы, не являющиеся гиперболическими в строгом смысле, но обладающие предельными притягивающими множествами (странными аттракторами) состоящими из траекторий с хаотическим поведением.
Всеми этими вопросами занимались ведущие отечественные и зарубежные математики такие, как Д. В. Аносов, В. М. Алексеев, B. И. Арнольд, С. X. Арансон, В. Н. Белых, В. 3. Гринес, Ю. C. Ильяшенко, Л. М. Лерман, Ю. И. Неймарк, В. А. Плисе, Р. В. Плыкин, Я. Г. Синай, А. М. Степин, А. Н. Шарковский, Л. П. Шильников, Хр. Бонатти, Р. Боуэн, А. Каток, Р. Мане, Ш. Ньюхаус, Д. Орнстейн, Дж. Пали, Я. Песин, Р. Робинсон, Д. Рюэль, А. Санами, С. Смейл, Д. Сулливан, Ф. Такенс, У. Терстен, Дж. Френке, М. Шуб и многие другие (см., например, [5], [6], [7], [ ], [2], [3], [1], [ ], [ ], [ ], [ ], где содержится обширная библиография по данной тематике).
Принципиальное отличие в топологической классификации многомерных структурно устойчивых систем по сравнению с классификацией грубых потоков на поверхностях заключается в том, что топологический тип как самих систем, так и их сложных предельных инвариантных множеств, уже не определяется конечным числом траекторий, и для нахождения топологических инвариантов приходится привлекать разнообразные методы символической динамики, теории групп, топологии и геометрии.
Так как конечное число периодических движений не является необходимым условием грубости для многомерных систем, то класс грубых систем, имеющих конечное число периодических движений, был введен специальным образом по аналогии с грубыми потоками на поверхностях. Это было сделано С. Смейлом, и такие динамические системы получили название систем Морса-Смейла ([ ]). Причем вначале был введен класс систем Морса-Смейла, а затем было установлено, что этот класс состоит из структурно устойчивых систем ([ ], [ ]).
Согласно теореме С. Смейла о спектральном разложении, множество неблуждающих точек динамической системы, удовлетворяющей аксиоме А С. Смейла, представляется в виде конечного объединения попарно непересекающихся замкнутых инвариантных множеств, каждое из которых содержит всюду плотную траекторию и называется базисным множеством ([ ]). Базисное множество, являющееся периодической траекторией, называется тривиальным, а базисное множество не совпадающее с периодической траекторией называется нетривиальным. В частности, неблуждающее множество динамической системы Морса-Смейла состоит из тривиальных базисных множеств.
Хотя усилия по классификации систем Морса-Смейла и не сравнимы с усилиями, затраченными на классификацию систем со счетным множеством периодических движений, тем не менее, интерес к изучению систем Морса-Смейла остается достаточно велик. Это объясняется по крайней мере двумя причинами. Во-первых, после того, как удается получить законченные классификационные результаты для нетривиальных базисных множеств некоторого типа, появляется возможность получения полного инварианта для классов систем, неблуждающие множества которых содержат такие базисные множества. Примерами таких результатов являются работы [ ], [ ], [ ]. В этих работах удалось объединить информацию о поведении ограничения системы на базисные множества с информацией о поведении системы на дополнении к объединению всех нетривиальных базисных множеств, на котором система является, в некотором смысле, системой Морса-Смейла. Во-вторых, задача топологической классификации систем Морса-Смейла представляет и самостоятельный интерес, так как такие системы являются адекватным описанием процессов, в которых отсутствуют эффекты, связанные с хаотическим поведением на неблуждающем множестве, и также требуют математического описания.
Сразу следует отметить, что хотя неблуждающее множество систем Морса-Смейла состоит из конечного множества периодических траекторий, блуждающее множество потока (каскада) на многообразии размерности большей двух (большей единицы) устроено, вообще говоря, значительно сложнее, чем в соответствующих динамических системах на многообразиях меньшей размерности. Это связано с возможностью существования особых блуждающих траекторий, принадлежащих пересечению устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических траекторий и называемых гетероклиническими траекториями.
Для потоков Морса-Смейла с бесконечным множеством гетероклинических траекторий не существует полных классификационных результатов. В связи с этим отметим, что в работе [ ] доказано, что ограничение потоков Морса-Смейла на многообразиях размерности большей двух на замыкание множества гетероклинических траекторий сопряжено с надстройкой над марковской цепью.
Весьма законченные результаты имеются по топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла на двумерных многообразиях. Простейшими представителями таких диффеоморфизмов являются введенные С. Смейлом градиентноподобные диффеоморфизмы, они не содержат гетероклинических траекторий и наиболее похожи на грубые потоки на поверхностях без замкнутых траекторий. Оказалось, что топологическая классификация градиентноподобных диффеоморфизмов тесно связана с топологической классификацией периодических отображений поверхностей. Используя этот факт в работах [ ], [ ], [ ] была получена топологическая классификация ориентируемых градиентноподобных диффеоморфизмов поверхностей вместе с реализацией классов топологической сопряженности.
В том случае, когда диффеоморфизм Морса-Смейла обладает гетероклиническими траекториями, вопрос о топологической классификации значительно усложняется. В [ ], [ ] были найдены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности диффеоморфизмов Морса-Смейла с ориентируемыми гетероклиническими множествами на языке различающих графов. При этом оказалось, что множество гетероклинических точек распадается на подмножества, каждое из которых принадлежит области гомеоморфной кольцу (гетероклиническому кольцу), граница которого есть одномерный комплекс состоящий из замыканий устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических точек. Диффеоморфизм в этом случае гомотопен гомеоморфизму алгебраически конечного типа по терминологии Я. Нильсена ([ ]) (то есть на М существует конечное инвариантное семейство вложенных в М непересекающихся между собой областей o"i,..., о , гомеоморфных замкнутому кольцу и таких, что ограничение гомеоморфизма к f на множество А = М \ U int ст,- является периодическим »=1 гомеоморфизмом).
В работе [ ] получены полные топологические инварианты для диффеоморфизмов Морса-Смейла на двумерных замкнутых ориентируемых многообразиях с конечным множеством гетероклинических траекторий. Новый топологический инвариант в духе работ М. Шуба и Д. Сулливана, найден в работе [ ] для сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на ориентируемых поверхностях в случае, когда все периодические точки неподвижны и седловые неподвижные точки имеют отрицательный индекс. Вопрос о достаточных условиях топологической сопряженности в этой работе не затрагивался, однако именно этот подход получил свое развитие при классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3-многообразиях.
Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла на поверхностях при наличии счетного множества гетероклитнических орбит получена в работе [ ] с привлечением аппарата топологических цепей Маркова.
Что касается вопроса топологической классификации потоков Морса-Смейла многообразиях размерности большей двух, то здесь имеется очень небольшое число законченных результатов. Среди них отметим работу [ ] Ж. Флейтаса, в которой получена классификация полярных потоков на замкнутых 3-многообразиях,
то есть потоков Морса-Смейла, неблуждающее множество которых состоит в точности из одной стоковой, одной источниковой и 2k, к 2 седловых особенностей. В работе Я. Л. Уманского найдены необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности потоков Морса-Смейла с конечным множеством особых траекторий на трехмерных ориентируемых многообразиях ([ ]). В работе [ ] для потоков Морса-Смейла без особенностей получены неравенства, подобные неравенствам Морса из работы [ ] (см. также [ ]). В работе [ ] найдены необходимые и достаточные условия, позволяющие определить, когда данное п-многообразие, п 4, допускает такие потоки. Для случая п = 3 в работе [ ] была изучена топологическая структура трехмерных многообразий, допускающих потоки без особенностей.
Следует также отметить, что в неавтономном случае системы типа Морса-Смейла изучались в работе Л. М. Лермана и Л.П. Шильникова ([ ]), в которой были построены инварианты равномерной сопряженности таких систем и доказана теорема о грубости относительно неавтономных возмущений класса неавтономных систем градиентноподобного типа. Вопросы равномерной геометризации пространств — неавтономных надстроек над диффеоморфизмами в связи с вопросом о возможности построения неавтономного векторного поля со структурой траекторий, аналогичной данному диффеоморфизму изучались в работах Л. М. Лермана и А. Г. Вайнштейна ([ ]).
Принципиальное отличие в топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на трехмерных многообразиях по сравнению с классификацией аналогичных потоков или диффеоморфизмов на двумерных многообразиях обусловлено возможностью дикого вложения сепаратрис седловых точек в окрестности стока или источника. Примеры такого нетривиального вложения были построены в работах [ ], [ ] (см.
В работе [ ] получена топологическая классификация диффеоморфизмов трехмерных многообразий, неблуждающее множество которых состоит ровно из четырех неподвижных точек: двух стоков, одного источника и одного седла. Каждому диффеоморфизму рассмотренного класса ставится в соответствие узел вложенный в многообразие S2 х S1 (см. рис. 2) и классификация таких диффеоморфизмов эквивалентна классификации соответствующих узлов.
Следующим принципиальным шагом стала работа [ ], в которой установлено, что замкнутое трехмерное ориентируемое многообразие допускает диффеоморфизм Морса-Смейла без гетероклинических кривых (условие отсутствия гетероклинических кривых эквивалентно отсутствию пересечений двумерных устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических точек) тогда и только тогда, когда оно является либо сферой , либо связной суммой конечного числа копий S2 х S1.
Идеи работы [ ] получили развитие в работах [ ], [ ], [ ], в которых была получена топологическая классификация градиентноподобных диффеоморфизмов, допускающих пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических точек по конечному множеству гетероклинических кривых.
Первым шагом в изучении диффеоморфизмов Морса-Смейла с гетероклиническими орбитами на 3-многообразиях (то есть не являющихся градиентноподобными) стали работы [ ] и [ ], в которых получены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности диффеоморфизмов, заданных на 3-многообразии, неблуждающее множество которых состоит в точности из шести точек и блуждающее множество не содержит гетероклинических кривых. Объемлющим многообразием для таких диффеоморфизмов может быть только одно из следующих многообразий: S3, S2 х , S2 х S S2 х S1.
В настоящей диссертации рассматривается класс G сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на трехмерном гладком замкнутом ориентируемом многоообразии М и удовлетворяющих следующим условиям:
1) множество гетероклинических орбит диффеоморфизма / Є G конечно;
2) блуждающее множество диффеоморфизма / Є G не содержит гетероклинических кривых.
Автором получена полная топологическая классификация диффеоморфизмов из класса G. Изложению этих результатов посвящена диссертация.
Цель работы состоит в разработке топологических и геометрических методов исследования нелокальных свойств каскадов из класса G и применении этих методов для их топологической классификации.
Методы исследования. В диссертации использованы методы качественной теории динамических систем, топологии и геометрии.
Научная новизна. Диссертация посвящена развитию важного направления в теории динамических систем на многообразиях — получение и изучение топологических инвариантов, определяющих глобальное поведение траекторий каскадов на гладких замкнутых ориентируемых 3-многообразиях и применение этих инвариантов к топологической классификации каскадов на них.
Автором решены следующие задачи, определяющие новизну работы:
1) Найден новый топологический инвариант каскадов на М, названный гетероклинической -ламинацией определяющий топологию пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических точек, пересекающихся по конечному множеству гетероклинических траекторий и несущий информацию о вложении сепаратрис седловых точек в объемлющее многообразие.
2) Для каждого диффеоморфизма / из класса G диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических траекторий и без гетероклинических кривых на 3-многообразии М сконструировано связное замкнутое ориентируемое 3-многообразие ЛІ/, представляющее из себя прстранство орбит ограничения диффеоморфизма / на многообразие ЛІ, получающееся из объемлющего многообразия путем удаления одномерных сепаратрис седловых точек и узловых точек диффеоморфизма /. Установлено, что фундаментальная группа многообразия ЛІ/ допускает нетривиальный эпиморфизм
3) Каждому диффеоморфизму f Є G поставлен в соответствие топологический инвариант — схема диффеоморфизма S(f) = (MftaMt,A4f),A (f)), где А»(/) (Лв(/)) - проекция двумерных неустойчивых (устойчивых) многообразий седловых точек на многообразие Л4/. Введено понятие эквивалентности схем и установлено, что необходимым и достаточным условием топологической сопряженности двух диффеоморфизмов из класса G является эквивалентность их схем. Для построения гомеоморфизмов, сопрягающих два диффеоморфизма, из исследуемых в работе классов, был развит метод продолжения гомеоморфизмов путем введения слоений. Исследована связь схемы диффеоморфизма со структурой пересечений устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических точек и заузленностью сепаратрис.
4) Введено понятие проколотых, не проколотых поверхностей и гетероклинических -ламинаций на произвольном замкнутом ориентируемом 3-многообразии ЛГ, фундаментальная группа которого допускает эпиморфизм в группу Z. Определена операция разрезания и склеивания на многообразии Af вдоль множества Л , состоящего из попарно не пересекающихся не проколотых поверхностей и гетероклинических 5-ламинаций. Описана структура фундаментальной группы многообразия Af\s, являющегося результатом этой операции.
5) Введено понятие совершенной схемы, представляющей из себя набор S = (Л/ , а, Ли, Лв), где АГ — связное замкнутое ориентируемое 3-многообразие, а : ігі(АГ) —»• Z — эпиморфизм и Л", А — непересекающиеся подмножества многообразия Af такие, что для каждого 5 Є {и, s} множество Л либо пусто, либо является объединением попарно не пересекающихся гетероклинических 5-ламинаций и не проколотых поверхностей таких, что каждая компонента связности многообразий Л/д« и Л/л» диффеоморфна многообразию S2 х S1. Установлено, что схема любого диффеоморфизма / G G является совершенной.
6) Построены модели инвариантных слоений в окрестностях седловых точек, представляющие из себя расслоенные 3- многообразия F(T0), V{KQ) И V 1), где V(T0) (У (Ко)) — трубчатая окрестность тора (бутылки Клейна), VIS1) — заполненный тор. Установлены топологические факты, связанные с возмоясностью построения на этих многообразиях гомеоморфизма на себя, совпадающего на некотором подмножестве с заданным и сохраняющего слои введенных слоений.
7) Решена проблема реализации, то есть по каждой совершенной схеме S построен диффеоморфизм fs Є б?, схема которого эквивалентна данной.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы могут быть применены в теории гладких динамических систем при исследовании конкретных трехмерных неавтономных периодических по времени систем дифференциальных уравнений, а также четырехмерных потоков, с помощью изучения отображения последования на секущей к траекториям потока.
Апробация работы. По теме диссертации были сделаны следующие доклады на отечественных конференциях:
— на международной конференции, посвященной столетию А. Н. Колмогорова (Москва );
— на объединенной международной научной конференции "Новая геометрия природы" (Казань );
— на международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль , );
— на международной конфереции, посвященной столетию А. А. Андронова (Нижний Новгород );
— на международных конферециях "Дифференциальные
уравнения и их приложения"(Саранск , ).
По теме диссертации были также сделаны следующие доклады:
— на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений МГУ ( , руководитель проф. Ю. С. Ильяшенко);
— на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений и динамических систем при МГУ ( , руководители акад. Д. В. Аносов и проф. А. М. Степин);
— на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений НИИ прикладной математики и кибернетики при Нижегородском государственном университете ( , руководитель проф. Л. П. Шильников);
— на семинарах кафедры высшей математики Нижегородской Сельско-хозяйственной академии ( , , руководитель проф. В. 3. Гринес).
Публикации. Всего по теме диссертации автором опубликовано работ (смотри список литературы). Все основные результаты диссертации являются новыми и принадлежат автору. В работах, выполненных совместно, автору диссертации принадлежат доказательства всех основных результатов, В. 3. Гринесу принадлежит постановка задачи и общее руководство, Хр. Бонатти являлся консультантом по вопросам трехмерной топологии и теории слоений.
Структура диссертации: оглавление, введение и история вопроса, формулировка результатов, три главы, заключение, список литературы. Объем диссертации стр. , рис. , наименований литературы . Основные утверждения диссертации составляют теоремы 1.1, 2.1 и 3.1.
Вспомогательные факты
Пусть X — гладкое локально-компактное2 многообразие и / : X — X — диффеоморфизм. Введем на многообразии X отношение эквивалентности условием: точки х,у Є X — эквивалентны, если и только если существует число п Є Z такое, что у = /п(ж). Будем обозначать через X/ множество классов эквивалентности и через рх :Х — X/ естественную проекцию, ставящую в соответствие любой точке х Є X ее класс эквивалентности. Множество X/, оснащенное фактортопологией называется пространством орбит действия f на X (факторпространством). Положим F = {/",п Є Z}. Говорят, что группа F действует свободно на X, если д{х) ф х для любого х Є X и любого д Є Ft кроме д = id. Говорят, что группа F действует разрывно на Х если для каждого компактного подмножества К С. X множество элементов g Є F таких, что g{K) ПК фЪ — конечно. Предложение 1.2.1 ([58], предложение 3.5.7) Пусть X — локально компактное многообразие и f X — X — диффеоморфизм. Факторпространство Xf является гладким многообразием и проекция рх : X — Xf является накрытием, если и только если группа F действует свободно и разрывно на X. Пусть X — линейно связное локально компактное многообразие и F = {/", n Z} действует свободно и разрывно на X. Заметим, что F — циклическая группа. Если группа F конечна, тогда мы обозначим через р/ ее порядок. Положим Zf = Ър = {0,1,... ,pf — 1}, если F конечена и Zf = Z, если F бесконечна. Пусть фг : F —f Zf — изоморфизм такой, что f f(f) = 1. Накрытие рх определяет отображение ах : iri(Xf) —ї Zf следующим образом. Обозначим через р г(х) полный прообраз точки х Є Xf. Из определения проекции рх следует, что р г{х) — орбита некоторой точки х Є р г(х). Пусть [с] Є 7Гі(Лу, х) кс — некоторая петля, принадлежащая классу [с]. Тогда существует единственный путь с(і) с началом в точке х (с(0) = х), накрывающий петлю с (рх (с) = с). Таким образом, с(1) = fn{x). Определим ах ([с]) = f f(fn). Предложение 1.2.2 ([32], теорема 19.1, лемма 19.2) Отобраоюение ах : wi(Xf) — Zf является эпиморфизмом (сюрьективным гомоморфизмом) и его ядро совпадает с подгруппой рх (жі(X)). Предложение 1.2.3 Пусть X, Y — линейно связные локально компактные гладкие многообразия uf:X— X,g:Y-+Y — диффеоморфизмы такие, что группы F = {/", п Є Z}, G = { 7П, п Z} действуют свободно и разрывно на X, Y, соответственно.
Пусть ф : X — Y — гомеоморфизм (диффеоморфизм) такой, что ф(/(х)) = д(ф(Х)) для любой точки х Є X. Тогда отобраоюение р : Xf — Yg, заданное формулой р(х) = pY {Фір іх))) является гомеоморфизмом (диффеоморфизмом). Кроме того, ах = otY о (р+. Доказательство: Факт, что (р является гомеоморфизмом (диффеоморфизмом) — есть классический факт топологии (см., например [32], теорема 5.5). Покажем, что ах = otY о р,. Пусть сj Є Xf — замкнутая в некоторой точке х петля такая, что ах ([с/]) = п Є Zj и cf — ее единственное поднятие с началом в точке х Є Рх1{х) на многообразии X. Из определения эпиморфизма ах следует, что кривая cf заканчивается в точке fn(x). Так как &(/{&)) = 9(Ф(в)) ТО кривая с9 = ф(с;) соединяет точку у = ф(х) с точкой дп(у) на многообразии Y. Таким образом, сд = pY (сд) — замкнутая петля на многообразии Yg такая, что aY ([сд]) = п. С другой стороны, из определения отображения (р следует, что (p{cf) = сд и, следовательно, «([cj) = [сд]. Таким образом, ах {[cf]) = xYg([cg]) = aYg([4 m([cf])]). о Предложение 1.2.4 Пусть X, Y — линейно связные локально компактные гладкие многообразия uf:X—X,g:Y—t Y — диффеоморфизмы такие, что группы F = {/п,п Є Z}, G = { 7n,n Є Z} действуют свободно и разрывно на X, Y, соответственно. Пусть х Є X, у Є Y, у Є Yg и имеется гомеоморфизм (диффеоморфизм) ip : Xf —» Yg такой, что pY (у) = (р(рх (х)) — у. Кроме того, ах = aY о (р+. Тогда существует единственный гомеоморфизм (диффеоморфизм) ф : X — У такой, что Py.fl о р = (р о р гг (ж) = у. Кроме того, ф(/(х)) = д(ф(х)) для любой точки х Є X. Доказательство: Существование и единственность отображения ф, удовлетворяющего условиям pY о ф = р о рх и (ж) = з/ — известный факт топологии (см. например [32], теорема 21.7). Покажем, что это отображение удовлетворяет условию ф{/(х)) = д(ф(х)) для любой точки х X. Пусть с, — кривая с началом в точке х и концом в точке f(x) на многообразии X. Положим сд = ф{сг), cf = рх {cf) и сд = pY {сд). Из условий pY о ф = ip о рх и ф{х) = у следует, что ( ) = сд. Тогда УФЦС,]) = [сд] и, следовательно, ахA[cf]) = ctYg([cg])- Так как ах {[cf]) — 1, то кривая сд начинается в точке у = ф{х) и заканчивается в точке д(у) на многообразии У. Таким образом, ф(/(х)) = д(ф(х)) для любой точки х Є X. о Следующая лемма описывает структуру группы, допускающей эпиморфизм в циклическую группу Z. Лемма 1.2.1 Группа Н допускает эпиморфизм в циклическую группу Z тогда и только тогда, когда у группы Н существуют нормальная подгруппа К и циклическая подгруппа А того же порядка, что и Z такие, что АП К = е и любой элемент h Є Н записывается в виде h = ak, где а Є А, к Є К. Доказательство: Необходимость. Пусть а : Н —v Z — эпиморфизм из группы Н в группу Z и К — ядро гомоморфизма а. Тогда К является нормальной подгруппой группы Н и, следовательно, группа Н представляется в виде объединения смежных классов по подгруппе К : Н = U hK. При этом, otihK) = Лея a(h). По основной теореме о гомоморфизмах факторгруппа Н/К изоморфна группе а(Н) = Z. Тогда существует элемент а Є Н такой, что класс &К является образующим элементом группы Н/К. Следовательно, любой смежный класс по подгруппе К записывается в виде (аК)п = аРК, п Є Z и для і ф j элементы а , а7 принадлежат различным смежным классам по подгруппе К. Тогда А = {ап,та є Z} — циклическая подгуппа группы Н того же порядка, что и и anfc пробегает вместе с п Є Z,k К все элементы группы Н. Таким образом, любой элемент h Н записывается в виде h = ak, где а Є А, кєКиАпК = е. Достаточность. Пусть у группы Н существуют нормальная подгруппа К и циклическая подгруппа А того же порядка, что и Z такие, что А П К = е и любой элемент h Н записывается в виде h = ak, где а Є А, к Є К. Покажем, что любой элемент h Є Н единственным образом записывается в виде h = ak, а Є А, к Є К. Предположим противное. Пусть существует еще одно представление h = a\k\, a\ Є А, к\ Є К, тогда ak = a\k\ = a 1akk 1 = a 1a\k\k 1 = kk 1 = a xa\ Є АП К = є =Ф- a = a\,k = k\. Пусть a — образующий элемент группы А. Тогда любой элемент h Є Н единственным образом записывается в виде h = anAr, п Є Z,k Є К. Определим отображение a : Н — Z следующим образом: а(апАг) = п. Нетрудно убедиться, что а является эпиморфизмом на группу Z. Действительно, пусть aLniki,8Lrklk2 Е Н. Так как левый и правый смежные классы по подгруппе К совпадают, то А а1 2 = aJ k для некоторого к Є К. Тогда а(аПікі&П2к2) = a(a"1an2A:fc2) = а(аПі+П2АЖ2) = Щ + n2 = а(аПі&і) + afa"2 ). Следовательно, а — гомоморфизм. Сюрьективность отображения а очевидна. о
Структура схемы диффеоморфизма f Є G
В этой части мы используем обозначения параграфов 1.3 и 1.4.1. Пусть 5 Є {s, и}. Напомним, что — множество периодических седловых точек т диффеоморфизма f G, для которых dim Ws(o ) = 2. Обозначим через + (Si) — подмножество множества , состоящее из седловых точек а таких, что ограничение диффеоморфизма fper на W8{CT) сохраняет (меняет) ориентацию. Положим 8 = s, если 5 = щ 6 = и, если S = s и є {+, -}. Определение 1.5.1 Пусть а Sf. Адаптированной окрестностью седловой периодической точки а назовем / )-инвариантную окрестность Ua, удовлетворяющую следующим условиям: 1) Ua оснащена парой fper -инвариантных трансверсальных слоений ЭР ,, Т ; 2) существует гомеоморфизм р.а : U — U„, сопрягающий ограничение диффеоморфизма а$е на U с ограничением диффеоморфизма /Р6 ) на Ua и переводящий слои слоений F2 и Т1 в слои слоений 7 и 7, соответственно. Определим проекции 7г : Ua — WS(a) ( : Ua —У Ws(a)) вдоль слоев слоения F% ( J) следующим образом: п%(х) = 5 П Ws(a) (, І(Х) = - П W ( x)), где .7 ( ж) единственный слой слоения а С т)) ПРОХОДЯЩИЙ ЧЄрЄЗ ТОЧКу Ж. Определение 1.5.2 Допустимой системой окрестностей будем называть объединение l/ц = U СЛг адаптированных окрестностей такое, что: І множество UJ: является f -инвариантным; 2) если WnWyjf 0 « W nWio ) = 0 ЛЛЛ некоторых точек о, о7 Є Е, то Ї7а П С/ = 0; 5j если Ws(cr\ П W ( 7 ) 0 Л»я розличныж точек ff/eS, то А : , ,j Є : Є $ , ї . Є ,), еслиfynJij ф 0 (ЇІ,і П j 0Л : С :7 ( С 5Ъ4) или наоборот. Существование допустимой системы окрестностей у диффеоморфизма Морса-Смейла следует из работы [46]. В дальнейшем под окрестностью седловой точки о Є S мы будем понимать адаптированную окрестность Ua из допустимой системы окрестностей C/j;, под окрестностью множества ЛсЕ- окрестность #А= U U . В этой части мы используем обозначения параграфов 1.4.1 и 1.4.2. Положим a G Sf и Р С (И (о-) \ а) — множество, состоящее из конечного числа т О орбит диффеоморфизма /Р И. Пусть Тр С Uа — множество слоев слоения 5, проходящих через точки множества Р. Пусть X С М — /-инвариантное линейно связное локально компактное подмногообразие и группа F — {/ п Є Z} действует свободно и разрывно на X. Кроме того: 1) множество Ua \ (Тр U Ws{p)) принадлежит Х\ 2) ( и ))П = 0. Положим 0Гт = рХ/ (Ws(a) \ (Р U т)) и V(%) = pXf (Ua \ (Ц U Предложение 1.5.1 Если є = 4- (є = — j, mo мнооюество Qam является тором (бутылкой Клейна) с т выколотыми точками и множество V(Q?n) является трубчатой окрестностью поверхности Q на многообразии Xf. Кроме того, аХ/(тп(%)) =per(o-)Z. Доказательство: Из определения допустимой системы окрестностей следует, что гомеоморфизм Да о (f jг сопрягает диффеоморфизм he с ограничением диффеоморфизма /Р М на Ua \ Ws(a). Положим B = Ua\ (Э& у W (a)) и Q означает либо Т, если є — +, либо К, если є = —. Тогда по построению р (Д г(В)) = V(Qm).
Без ограничения общности мы можем считать, что кривые aQ и bQ не принадлежат множеству V(Qm) (этого всегда можно достигнуть, выбирая подходящим образом допустимую систему окрестностей). Заметим, что множества Вр оо и V(Qfy совпадают. Положим Mgg, = PBfPer(ir) Да о Pie : V(Qm) -» V{Q ). Тогда согласно предложению 1.2.3 отображение Цц, является гомеоморфизмом и ась =ав (- Кроме того, по построению AV (Qm) = %. Из определения эпиморфизмов ав и ах следует, что jper(tr) f xf(M) = гИ«в/рег( г)(М) А любого [с] Є i(V(%)). Тогда «хД К)])) = p W B U flbWD) = РегИасЬс(К]) = рег(&) и aX/([M (bQ)])) = PerHaB/perW( (6Q)])) per( r)ac ([bQ]) = 0. Таким образом, множество Q является поверхностью с т выколотыми точками на многообразии X/, V(Qm) его трубчатая окрестность и ахДя1( Йп)) — per(cr)Z. о Следующий факт следует из определения допустимой системы окрестностей. Замечание 1.5.1 Если рег{о) 1 и а — / ( т) для некоторого і Є {l,...)Per( T)-l} тогдаСК, =PXf(Wl(a)\(P(P)Ua)) и V(C&) = PXt(Us\(f{ff)UWs(c))). Для седловой точки а Є Sf обозначим через (а) компоненту связности множества И д(о-) \ а. Положим ЬГа — компонента связности множества Ua \ W8(a), содержащая сепаратрису С(о ). Пусть X С М — /-инвариантное линейно связное локально компактное подмногообразие, группа F = {/ ,»! Є Z} действует свободно и разрывно на X и Ua С X. Положим 7а = Px,(W) и V(-f) = j X/( 7a). Предложение 1.5.2 Мнооюество f является узлом и мнооюество V T 7) является его трубчатой окрестностью на многообразии Xf. Кроме того, ахf{ i{"f)) = кЪ, где k = per (а), если є = + и к = 2рег(ог), если є = —. Доказательство: Положим В = йа. Из определения допустимой системы окрестностей следует, что гомеоморфизм freroxj1 сопрягает диффеоморфизм g с ограничением диффеоморфизма / на В. По построению д (Д 1(В)) = V S1). Заметим, что множества Bfk и V(Y0 совпадают. Положим ц — Рв М о Qj1 V{Sl) У(ГҐ) Согласно предложению 1.2.3 отображение ц г является гомеоморфизмом и а = ав fc о /л . Кроме того, по построению (S1) = У7 Из определения эпиморфизмов ав к и ах следует, что ах ([с]) = «в , ЛИ) Для любого [с] Є v VW)). Тогда «ХДЯІОУ )) = kaBfk (тпСт-)) = ka iViS1))) = fcZ. о Аналогично замечанию 1.5.1 справедливо следующее замечание. Замечание 1.5.2 Если а Є Е ( а Є EfJ, рег( т) 1 и сг = / ( т) длл некоторого і Є {1,..., рег( г) — 1} (г Є {1,..., 2per(a) — 1}) тогда Y = Px,(A ))) A ) = Г(И) и V lT) = РХ,(Я»), e fo = РФ ) Обозначим через E (Ej) подмножество множества состоящее из всех седловых точек, двумерные инвариантные многообразия которых не содержат (содержат) гетероклинические точки. Положим En = EJJ U Е (Е„ = EJJ U EJ). Пусть 5 С Е„ — /-инвариантное множество. Обозначим через W2(S) (WX(«S)) объединение двумерных (одномерных) инвариантных многообразий седловых точек из множества S. Пусть X С М — /-инвариантное линейно связное подмногообразие такое, что: 1) множество Us \ W1(S) принадлежит Х\ 2)W\S)ViX = b 3) Xf — замкнутое 3-многообразие. Положим Sn = PXf(W2(S)\S). Из предложения 1.5.1 следует, что множество Sn является объединением попарно непересекающихся не проколотых поверхностей на многообразии Xf. Положим Xs = X U W\ r) \ Уґ {а). Предложение 1.5.3 Факторпространство Х — есть результат операции разрезания и склеивания на многообразии Xf вдоль множества Sn
Построение сопрягающего гомеоморфизма на множестве W1(Sn)
Является не проколотой поверхностью на многообразии ЛІ/ {Лір) и множество V(QQ) = PMf(P \W l )) ( v(Qo) = РМ ФЛ І ))) является ее трубчатой окрестностью. Заметим, что QQ = y (Qo) Обозначим через Hsa, ПІ (71 , НІ ) — слоения на V(QS) {V(Q$))f индуцированные слоениями F , 7 (Р% , Т%) посредством проекции Рм, (PJMJ,) Предложение 2.2.1 Существует гомеоморфизм ра : ЛІ/ -» ЛИр со следующими свойствами: 1) (ра осуществляет эквивалентность схем Sf и Sf ; 2) (р„ совпадает с ip вне V(QQ); 3) (ра переводит слои слоениіҐН . и И6а в некоторой окрестности QQ в слои слоений И , и H i, соответственно, в некоторой окрестности QQ . Доказательство: Положим для определенности S = и. Не ограничивая общности будем считать, что (V(Qo)) С V(QQ) (этого всегда можно добиться, выбирая подходящим образом допустимые системы окрестностей). Выберем фундаментальную область В8 ограничения диффеоморфизма р Ю на WB{a) \ а, гомеоморфную двум отрезкам, если QQ — тор и одному отрезку, если QQ — бутылка Клейна. Если Е8, ф { т}, то пронумеруем точки множества В6 П WU(E8) : xi,...jXm (без ограничения общности можно считать, что a?i,...,хт Є int В8). Для каждого г = 1,т положим х\ = 7Г ,(Ф(ТГ ) 1(ХІ)). Выберем фундаментальную область В 8 ограничения диффеоморфизма /Р"1" ) на W8{oJ) \ о1 так, чтобы выполнялись следующие условия: 1) int В 8 содержит точки х ц ..., х т\ 2) существует гомеоморфизм ф8 : В8 — В 8, удовлетворяющий условию ф8{хі) = х\ ( і = 1,тп) и сопрягающий ограничение диффеоморфизма /Р 9" ) на В8 с ограничением диффеоморфизма угрег(а ) на В,8 Если Е% = {о-}, то выберем В 8 так, чтобы существовал сопрягающий гомеоморфизм ф8 : В8 —у В 8. Определим гомеоморфизм ф8 : W8{&) — W8{a) следующим образом: для любого х ф а, ф8{х) = / " " о ф8 о f- r n(x), где ф8(а) = а . Выберем значение % Є (0,1) так, чтобы на множестве РМ/(Ро (У о(Лд)) ПС/а было корректно определено отображение ф, ставящее в соответствие точке х точку х Є Ua такую, что 7г/(х)) = ф(х) и Tt%,{x) — ф?{х). Тогда отображение уэст : ( (Qo)) - Ai f,, ставящее в соответствие точке х точку рм, №a(pMf(x) nUa)) является гомеоморфизмом из множества At yr(V (Qo)) на его образ и у? совпадает с гомеоморфизмом (р на QQ. По построению отображение rjQ = fi l О р г о (ра о fJ Qor\Vt,{Qo) Уц (Оо) — V"(Qo) является гомеоморфизмом из множества V (Qo) на его образ.
Если Е а = {о-}, то »7Q удовлетворяет всем условиям леммы 2.1.1 (если Qg — тор), либо леммы 2.1.2 (если Qo — бутылка Клейна). Если Е% ф {а}, то положим Kt = / (р ДЮ-1 )), і = 1Ут-По построению КІ является слоем слоения HQ И rjQ Ki nV (Qo)) С КІ, і = l,m. Таким образом, гомеоморфизм TJQ удовлетворяет всем условиям леммы 2.1.3 (если QQ — тор) или леммы 2.1.4 (если QQ — бутылка Клейна). Пусть 0Q: V(Qo) — V"(Qo) — гомеоморфизм, удовлетворяющий заключению соответствующей леммы. Тогда гомеоморфизм р„ : M.f — Ai fi, совпадающий с гомеоморфизмом (р о ц о 0Q о HQI : V(Qo) — V(QQ) на V(QQ) и совпадающий с гомеоморфизмом (р вне V(Qo) удовлетворяет всем условиям предложения. о Замечание 2.2.1 Мы предполагаем, что гомеоморфизмы ipai и (р„й совпадают, если точки J\ и т2 принадлежат одной и той же орбите диффеоморфизма /. Положим Vn — U V(QQ). Обозначим через рп : ЛІ/ — Мр гомеоморфизм, совпадающий с ра на V(Qo) для каждой точки а Є Еп и совпадающий с (р вне Vn. Согласно предложению 2.2.1, гомеоморфизм рп осуществляет эквивалентность схем «S(/) и S(f ). Пусть фп : Л4/ — Ai fi — поднятие отображения ipn о рм такое, что фп совпадает с ф на Л4 \ Uj:n. По построению фп переводит слои слоения У в некоторой окрестности Ws(cr) в слои слоения f i в некоторой окрестности Ws(a/) для каждой точки т Є Е„. Тогда гомеоморфизм фп может быть продолжен на Иг1(Еп) следующим образом. Пусть седловая точка а Є , х Є Ws(a) и jji — единственный слой слоения J%, проходящий через точку X. Положим фп{х) — х , где х — точка множества такая, что единственный слой T t слоения %,, проходящий через точку х удовлетворяет условию: фп{ ) С &# в некоторой окрестности И ( /) Положим Мп = М U (ГЮ U И (Е)) \ (W (E") U We(E)) (М = Л U (W(?) U И (Е?)) \ (W E?) U W"(EJ))). Согласно предложению 1.5.3 факторпространство МП/ (М ,) является замкнутым 3-многообразием. Кроме того, по предложению 1.2.3 отображение ф = рм, о фп о р г : МП/ — Мп , является гомеоморфизмом. Пусть а Є Е И а = у п(0")- Согласно предложению 1.5.1 множество QS = ft, (И И \ ) (Qg = Рмк № \ О) является не проколотой поверхностью на многообразии МП/ {Мп ,) и множество V(Q5) = PUn , Ф \ W\ T)) ( V(Qg) = р„, ( \Ж V))) — ее трубчатая окрестность. Заметим, что QQ = ф{0о). Обозначим через #, ПІ (JHi.jH ) слоения на V(Q%) {V(Qf )), индуцированные слоениями Р%,Ц », ) посредством проекции Рмп, (P v). Согласно определению допустимой системы окрестностей множество Г- = pUnf(W (E \ аг)) ( Г- = p W E , \ а ))) является объединением слоев слоения 11% ( ). При этом Предложение 2.2.2 Существует гомеоморфизм фс : Mnj — М п / со следующими свойствами: 1) фа совпадает с ф на QQ и вне V(QQ); 2) фа переводит слои слоения И . в некоторой окрестности Га в слои слоения H j, в некоторой окрестности 3)фа переводит слои слоенийИ и Н а в некоторой окрестности QQ в слои слоений Tij и 71 , соответственно, в некоторой окрестности QQ. Доказательство: Положим для определенности S = и. Не ограничивая общности будем считать, что ФіУ(Оь)) С V(QQ) (этого всегда можно добиться, выбирая подходящим образом допустимые системы окрестностей). Выберем фундаментальную область В8 (В 8) ограничения диффеоморфизма р ) (/"" ) на W8(a)\a (W8(a )\oJ), гомеоморфную двум отрезкам, если Qo " Р и одному отрезку, если С% — бутылка Клейна. Положим ф8 : В8 — В 8 — гомеоморфизм, сопрягающий ограничение диффеоморфизма / на В8 с ограничением диффеоморфизма /; на В 8 и ф8 : W8(a) — W8(a) — гомеоморфизм, определенный следующим образом: для любого х ф а, ф8\х) = / г п о ф8 о /- "(х), где ф (а) = J. Выберем значение tg Є (0,1) так, чтобы на множестве р (ііф (1 (Qo)))ПUa было корректно определено отображение ф, ставящее в соответствие точке х точку х Є Uа1 такую, ЧТО 7Їі(х)) = фп(х) и т {х) = ф8(х). Тогда отображение фа : v(V%(Qo)) М п f, ставящее в соответствие точке х точку рм, {$Р{рмп (Х) П Ua))
Присоединение седловых точек, двумерные инвариантные многообразия которых содержат гетероклинические точки
Положим Л/"2 = A/i \ (W EJJ) U W ()) Согласно предложению 1.5.3 многообразие Л/г = Л/2/х является результатом операции разрезания и склеивания на многообрази ЛГ вдоль множества Sn. Для каждой компоненты связности X многообразия Л/г обозначим через ах : тг\(Х) Z гомоморфизм, индуцированный этой операцией. Положим рг = JV2 ./ А/г и X = р21{Х). Из предложения 1.4.4 следует, что ограничение диффеоморфизма Д на # является положительной образующей в группе преобразований ограничения накрытия 2 на X. Положим D8 = рг( U МАз))- По построению множество непересекающихся не проколотых поверхностей. Положим Sn = S%U 5 . Согласно предложению 1.4.4 для каждой поверхности Q Є Sn П А существует окрестность V(Q) = fQ(V(Qo)), удовлетворяющая условию ( ) относительно гомоморфизма осх. Без ограничения общности можно считать, что множество V(Sn) = _U_ V{Q) является объединением попарно непересекающихся окрестностей. Пусть S„+ (-) — подмножество множества S%, состоящее из торов (бутылок Клейна). Пусть Q Є S П X для некоторой компоненты связности X многообразия А/"г и ax(ni{Q)) = JCQTJ. Аналогично предложению 3.1.1 можно показать, что существует диффеоморфизм p,Q : U х Z P21( r(Q)) сопрягающий ограничение диффеоморфизма asejeq на Z7x Zjt с ограничением диффеоморфизма /і на р 1 {V(Q)). Для каждой поверхности Q Sn положим UQ = U х Z , C/g = U х Zfca) Лі = Лі U U_ ї/л и введем на множестве Лі отношение эквивалентности следующим образом: х у, если у — JJL1Q{X) для некоторого Q Є Sn и некоторого Z Є {—1,0,1}. Обозначим через Лз множество классов эквивалентности и через 7 : Лі — Лз естественную проекцию, ставящую в соответствие точке х Є Лг ее класс эквивалентности. Доказательство: Структура гладкого связного ориентируемого 3-многообразия на пространстве А/з определяется склеиванием гладких ориентируемых 3-многообразий по инвариантным множествам посредством диффеоморфизмов сопрягающих динамику. Для доказательства хаусдорфовости многообразия А/з достаточно показать, что множество Е\ = {{х,у) Є Лі х J\\\x у} замкнуто. Рассмотрим пару последовательностей {хп},{Уп} Є Лі, сходящихся к точкам х,у Є Лі, соответственно, и таких, что хп jfo для любого п Є N. С точностью до рассмотрения подпоследовательности можно считать, что все члены последовательности {хпу ({уп}) принадлежат одной компоненте связности множества Лі.
Очевидно, что если {жп}, {уп} Є Лі, то xn = yn для любого п Є N и, следовательно, х = у. В противном случае мы имеем единственную, с точностью до обмена ролей {хп} и {уп} возможность: {хп} Є V, где V" компонента связности множества/ (V Q)) для некоторого Q Є Sn и {#„} = { (xn)} Є t/. Положим для определенности 5 = и, є = + и /„ Є U. Так как Cl(U) = U в Л/Ї, то iy = Ищ Є 17 и возможны следующие варианты: 1) у OZ; 2) у Є OZ. В случае 1) в силу непрерывности отображени Дд выполняются следующие равенства: у = Ит уп = nlim Дд(ж„) = До(п1]т ж") = Д д(х). Таким образом, а: з/ и, следовательно, ii замкнуто. Рассмотрим случай 2). По построению (Cl(V) \ V) С WU(EJ) в Л/і, тогда х = Jjijn х„ Є Wu( r) для некоторой седловой точки а Є . Локальная динамика в окрестности седловой точки сг такова, что существует последовательность {кп} С Z и точка х Є И в(сг) П V такие, что lim кп = 4-оо и lim xn = lim (/ie) "(«n) = х. Так как х„ Є V и х Є V", то уп = іл {хп) Є U и у = /1 ) Є Z7. Из непрерывности отображения /1 следует, что у = Д 1(х) = Так как диффеоморфизм Дф сопрягает ограничение диффеоморфизма а„+ на С/0 с ограничеием диффеоморфизма fiQ на a +n(j/n). Поскольку последовательность {уп} = {ай+"(ї/п)} не имеет предела в U0 мы получили противоречие. Следовательно, случай 2) невозможен. о Определим диффеоморфизм /з : Л/з — -Мз следующим образом: /з совпадает с диффеоморфизмом з /і з-1 на M-A/i \ p2X( n ()) и /з совпадает с диффеоморфизмом Рз afe, з-1 на РзС Тф) Для каждого Q Є 5 є. Обозначим через Е" (Ея) множество всех седловых точек диффеоморфизма /з, двумерное инвариантное многообразие которых неустойчиво (устойчиво). Положим Е = EUU Ев. Положим ЛГ6 = Л/з \ W5(E). Тогда многообразие J\fs = Л/у3 является результатом операции разрезания и склеивания многообразия J\f вдоль множества Л . Для каждой компоненты связности Xs многообразия ЛҐ5 обозначим через ах6 : іг\(Х6) —ї Z гомоморфизм, индуцированный этой операцией. Положим ps = р. и Xs = р (Х3). Согласно предложению 1.4.4 ограничение /з диффеоморфизма /з на Xs является положительной образующей в группе скольжений ограничения накрытия р$ на Xs. Заметим, что точка О(0,0,0, г), г = О, А:—1 является источниковой (стоковой) точкой периода к для диффеоморфизма 6«,fe (be,jt) и ограничения диффеоморфизмов b fc, Ь к и b на R3 совпадают. Из совершеннности схемы S следует, что каждая компонента связности многообразия Afs диффеоморфна S2 х S1. Пусть Xs — компонента связности многообразия jfs и OCXS(TCI(XS)) = kxsZ. Тогда множество Xs = pjг(Х6) состоит из kxS компонент связности.
