Содержание к диссертации
Введение
1 Вспомогательные сведения 30
1.1 Динамические факты 30
1.2 Топологические факты 49
1.2.1 Накрытия. Поднятия 49
1.2.2 Универсальное накрытие поверхности с отрицательной эйлеровой характеристикой 52
1.2.3 О вложении поверхности в трехмерное многообразие. 56
1.2.4 Локально тривиальные расслоения 59
2 О структуре 3-многообразия, допускающего А- диффеоморфизм с двумерным поверхностным неблуждающим множеством . 62
2.1 Формулировка результата 62
2.2 Существование структуры докально тривиального расслоения доказательство леммы 63
2.3 Доказательство классификационной теоремы (теорема
3 О топологической классификации диффеоморфизмов на 3-многообразиях с поверхностными двумерными базис ными множествами 68
3.1 Класс Ф модельных диффеоморфизмов и алгебраический критерий топологической сопряженности двух диффеоморфизмов из класса Ф 68
3.2 Инварианты объемлющей П-сопряженности диффеоморфизмов класса G 74
3.3 Топологически когерентные диффеоморфизмы 79
3.4 Существование одномерного слоения структурно устойчивого диффеоморфизма / из класса G 83
3.5 Построение диффеоморфизма из класса G, который не является структурно устойчивым 88
4 Диффеоморфизмы трехмерного многообразия с одномер ными поверхностными базисными множествами 90
4.1 Схема постороения структурно устойчивого диффеоморфизма с одномерным поверхностным базисным множеством. 90
4.2 О существовании граничных периодических точек одномерных поверхностных аттракторов 91
4.3 Условия топологической сопряженности ограничений А-диффеоморфизмов на носители одномерных базисных множеств 96
4.4 О топологической классификации диффеоморфизмов трехмерной сферы с одномерными поверхностными базисными множествами 107
4.5 О структуре трехмерного многообразия, допускающего диффеоморфизмы с одномерными базисными множествами. 111
Список литературы 114
- Накрытия. Поднятия
- Существование структуры докально тривиального расслоения доказательство леммы
- Инварианты объемлющей П-сопряженности диффеоморфизмов класса G
- О существовании граничных периодических точек одномерных поверхностных аттракторов
Накрытия. Поднятия
Если базисное множество диффеоморфизма трехмерного многообразия является двумерным, то в силу [51] оно является аттрактором (репеллером) и содержит неустойчивые (устойчивые) многообразия своих точек. В работе Гринеса В.З. и Жужомы Е.В. ([25])1 получена топологическая классификация структурно устойчивых диффеоморфизмов / ж М3 я М3 в предположении, что их неблуждающее множество содержит двумерный растягивающийся аттрактор (сжимающийся репеллер), то есть размерность такого аттрактора (репеллера) совпадает с размерностью неустойчивых (устойчивых) многообразий его точек. Ими было доказано, что в этом случае несущее многообразие диффеоморф-но трехмерному тору и неблуждающее множество содержит в точности одно нетривиальное (отличное от периодической орбиты) базисное множество. Примером базисного множества, не являющимся растягивающимся аттрактором (сжимающимся репеллером), является двумерный аттрактор (репеллер) диффеоморфизма трехмерного многообразия, принадлежащий замкнутой инвариантной поверхности, называемый, соответственно, поверхностным аттрактором (репеллером). Важные резуль таты для для таких диффеоморфизмов были получены в работе Грине-са В.З., Медведева B.C. и Жужомы Е.В. ([23]). А именно доказано, что любое поверхностное двумерное базисное множество совпадает со своим носителем, являющимся объединением конечного числа многообразий, каждое из которых ручно вложено в М3 и гомеоморфно двумерному тору. Кроме того, ограничение некоторой степени диффеоморфизма / на носитель сопряжено с гиперболическим автоморфизмом тора2. Следует подчеркнуть, что носитель двумерного поверхностного множества диффеоморфизма / может быть не гладким в каждой своей точке (соответ-свующий пример имеется в [34]). Долгое время был открытым следующий вопрос: существует ли диффеоморфизм трехмерного многообразия с двумерным базисным множеством, отличным от растягивающегося аттрактора (сжимающегося репеллера) и поверхностного базисного множества? Отрицательный ответ на этот вопрос недавно был дан А. Брауном в [11], где доказано, что если неблуждающее множество диффеоморфизма / ж М3 - М3 содержит двумерный аттрактор (репеллер), то он является либо растягивающимся аттрактором (сжимающимся репеллером), либо поверхностным аттрактором (поверхностным репеллером).
Будем говорить, что Л-диффеоморфизм замкнутого трехмерного многообразия принадлежит классу G, если его неблуждающее множество состоит только из двумерных поверхностных базисных множеств. Главы 2, 3 настоящей диссертации посвящены изучению диффеоморфизмов из класса G. В главе 2 обнаружена взаимосвязь между динамикой диффеоморфизма / Є G и топологией несущего многообразия. А именно, доказано следующее: если неблуждающее множество Л-диффеоморфизма / ж М3 — М3 состоит только из двумерных поверхностных базисных множеств, то многообразие М3 является локально тривиальным расслоением над окружностью со слоем гомеоморфным двумерному тору. А также получена топологическая классификация таких многообразий. Если говорить более точно, то (см. теорема 3.1, 3 глава), для того, чтобы многообразие н допускало диффеоморфизм из класса G необходимо и достаточно, чтобы н было диффеоморфно многообразию Mj, полученному из Мо х [0,1] отождествлением точек (z, 1) и (J(z), 0), где J алгебраический автоморфизм тора, заданный матрицей J, которая либо являет
В главе 3 получена полная топологическая классификация диффеоморфизмов класса G. Построен класс модельных диффеоморфизмов и найден алгебраический критерий топологической сопряженности двух модельных диффеоморфизмов (теорема 3.2, глава 3). Доказано, что если диффеоморфизм / принадлежит классу G, то он является объемлюще П-сопряженным некоторому модельному диффеоморфизму (теорема 3.3, глава 3), более того, введено понятие топологически когерентного диффеоморфизма (определение 3.3, глава 3) и доказано, что каждый топологически когерентный диффеоморфизм сопряжен некоторому модельному диффеоморфизму (теорема 3.4, глава 3). Установлено, что если / является структурно устойчивым, то он является и топологически когерентным (теорема 3.5, глава 3) и, следовательно, сопряжен модельному диффеоморфизму (теорема 3.6,глава 3).
Четвертая глава диссертации посвящена изучению А-диффеоморфизмов трехмерного многообразия с одномерными поверхностными базисными множествами. В случае, если неблуждающее множество Л-диффеоморфизма содержит одномерный поверхностный канонически вложенный (определение 4.1, глава 4), совершенный (определение 4.2, глава 4) аттрактор (репеллер), решена задача о топологической сопряженности ограничений А-диффеоморфизмов на одномерные базисные множества (теорема 4.3, глава 4). В главе 4 (раздел 4.4) рассматривается класс G\, состоящий из сохраняющих ориентацию структурно устойчивых диффеоморфизмов / ж S3 я S3 трехмерной сферы 53, неблуждающее множество Nшfч которых состоит в точности из связного одномерного просторно расположенного канонически вложенного (определение 4.1, глава 4) поверхностного аттрактора Л, принадлежащего гладкому совершенному (определение 4.2, глава 4) и трансверсально притягивающему (определение 4.5, глава 4) носителю S, гомеоморфному двумерной сфере, двух источников аи а2 И КОНеЧНОГО ЧИСЛа СеДЛОВЫХ ПерИОДИЧеСКИХ ТОЧеК (Ті,...,СГп ((Ті о Aj, At С S І Л). Для двух диффеоморфизмов из класса Gx найдены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности двух диффеоморфизмов (теорема 4.4, глава 4). В разделе 4.5 главы 4 уточняется структура неприводимого трехмерного многообразия, допускающего диффеоморфизм с просторно расположенным базисным множеством на торе (теорема 4.6).
Существование структуры докально тривиального расслоения (доказательство леммы
Обозначим через Jsom(U) группу изометрий плоскости Лобачевского, относительно гиперболической метрики. Чтобы описать группу Isom(V), напомним, что инверсией относительно окружности С С Мо с центром в точке А и радиуса г называется отображение г : Шо Е MоЕп, переводящее точку Р (МоІА) в единственную точку р = тп я на луче АР такую, что АР о = го и меняющее местами Л с п. Инверсия сохраняет углы (но меняет ориентацию) и переводит окружности в Rо Е п в окружности. Если С Д U есть геодезическая в U, то инверсия относительно С определяет инволюцию U, называемую отражением относительно CДU.
Любая изометрия плоскости Лобачевского является композицией отражений. Любое отражение, а, следовательно, и любая изометрия единственным образом продолжается на абсолют Е. Поэтому далее, говоря об изометрий, мы будем подразумевать, что она определена на абсолюте.
Утверждение 1.5 Пусть f : U U есть сохраняющая ориентацию изометрия, причем f не есть тожяественное отображение idv. Тогда справедливо в точности одно из следующих утверждений: 1) f имеет единственную неподвижную точку eUune имеет неподвижных точек в Е. Такая изометрия называется эллиптической; 2) f имеет единственную неподвижную точку вЕине имеет неподвижных точек в U. Такая изометрия называется параболической; 3) f имеет ровно две неподвижные точки вЕине имеет неподвижных точек в U. Такая изометрия называется гиперболической. В случае 1, если неподвижная точка есть центр U, то / есть поворот.
В случае 2, если / оставляет неподвижной единственную точку Р на окружности Е, то / сохраняет инвариантными все окружности в U, касающиеся Е в точке Р. Свойства гиперболической изометрии мы сформулируем в следующем предложении. Утверждение 1.6 Пусть / ж U я U - гиперболическая изометрия, оставляющая неподвижными две точки Р и Q на окружности Е. Тогда
1) оставляет инвариантной единственную геодезическую lf, однозначно определяемую точками Р uQ. Геодезическую называют осью гиперболической изометрии f и обозначают lf. Ограничение отображения / на его ось есть сдвиг, то есть ш,ш чч г df для любой точки xоlf. Так как f есть изометрия, она переводит геодезические, перпендикулярные оси, друг в друга, не оставляя ни одной из них инвариантной;
2) различные гиперболические изометрии /ь/2 имеют общую неподвижную точку тогда и только тогда, когда существует гиперболическая изометрия 7 и целые числа к\, к такие, что f\ г 7fп и /2 г 7о-Откуда следует, что у гиперболических изометрии /ь /2 либо нет общих неподвижных точек, либо общими являются сразу обе неподвижные точки.
Для каждой ориентируемой поверхности S (без края) рода q о существует группа GSl состоящая из гиперболических изометрии U и тождественного отображения, действующая свободно и разрывно на U так, что фундаментальная область этого действия является правильным геодезическим м -угольником с суммой углов оГ и отождествлениями в силу действия группы Gs. Таким образом, V/Gs г S и естественная проекция ps ж U я S является универсальным накрытием (по теореме 1.11), благодаря чему поверхность S называют гиперболической. В силу следствия 1.2 площадь 4#-угольника, а, следовательно, и площадь поверхности вычисляется по следующей формуле:
Геодезической на гиперболической поверхности S является образ относительно проекции ps геодезической в U.
Утверждение 1.7 Каждая негомотопная нулю замкнутая кривая на гиперболической поверхности S гомотопна единственной замкнутой геодезической.
Пусть SQ ориентируемая поверхность отрицательной эйлеровой характеристики с краем Q. Склеив две копии поверхности SQ ПО граничным компонентам, мы получим поверхность F без края, для которой склеенные кривые являются существенными и, следовательно, их можно считать геодезическими в силу предложения 1.7. Тогда существует подгруппа GSQ группы GF, изоморфная фундаментальной группе многообразия SQ И связное множество UsQ С U, на котором эта группа действует свободно и разрывно так, что 1]SQ/GSQ = SQnps : VSQ я SQ универсальное накрытие.
Далее мы будем понимать под SQ поверхность отрицательной эйлеровой характеристики с возможно пустым краем Q. Положим EsQ = FT USQ И ESQ = EsQ Д E (в случае пустого края UsQ = U и EsQ = EsQ = Е). Будем называть неподвижные точки нетождественного элемента g группы GsQ рациональными. Из определения группы GsQ следует, что все рациональные точки принадлежат Е# . Точки множества Ед , не являющиеся рациональными, будем называть иррациональными точками.
Инварианты объемлющей П-сопряженности диффеоморфизмов класса G
Построим пример структурно устойчивого диффеоморфизма, неблуждающее множество которого содержит нетривиальное одномерное поверхностное базисное множество. Рассмотрим DA-диффеоморфизм /0 : Г2 я Г2 на двумерном торе Г2. Напомним, что DА-диффеоморфизмом называется структурно устойчивый диффеоморфизм тора Г2, неблуждающее множество которого состоит из неподвижного источника и гиперболического одномерного аттрактора, полученного, так называемой, хирургической операцией Смейла [61] из диффеоморфизма Аносова 2-тора Т2. Представим трехмерный тор Г3 как прямое произведение Г2 х S1 тора Т2 на окружность S1 и зададим на пространстве Г3 = Г2 х S1 отображение F(x, t) = (/о(ж), ВД) {х оT2,tо S1), где Ф() : S1 я S1 - диффеоморфизм окружности с двумя неподвижными точками: источником а0 и стоком щ. В силу описанной конструкции полученный диффеомор зр физм F удовлетворяет аксиоме А С. Смейла. Неблуждающее множество диффеоморфизма F состоит из двух нетривиальных одномерных просторно расположенных базисных множества, каждое из которых принадлежит поверхности гомеоморфной двумерному тору, а также одного неподвижного источника а Є Т2 х {с о} и одного неподвижного седла а Є Т2 х {и0} (схема построения диффеоморфизма F показана на рисунке 4.1). Базисное множество принадлежащее поверхности Т2 х {UJQ} является одномерным аттрактором, а базисное множество, лежащее на поверхности Т2 х {cto} является седловым. Кроме того, в построенном примере двумерные устойчивые (неустойчивые) многообразия точек базисных множеств пересекаются с поверхностями Т2 х {о;о}, Т2 х {ао} по единственной кривой, при этом аттрактор, принадлежащий поверхности Г2 х {и0} является объединением одномерных неустойчивых многообразий, а седловое базисное множество, принадлежащее поверхности Г2 х {а0}, является пересечением двумерных неустойчивых многообразий с поверхностью Т2 х {а?о}- Из построения также следует, что устойчивые и неустойчивые многообразия точек неблуждающего множества пересекаются трансверсально и, следовательно, диффеоморфизм F является структурно устойчивым.
О существовании граничных периодических точек одномерных поверхностных аттракторов
Пусть / : М3 - М3 диффеоморфизм, удовлетворяющий аксиоме А С. Смейла. Предположим, что неблуждающее множество диффеоморфизма / : М3 — М3 содержит одномерное поверхностное базисное множество В с носителем MQ. Поскольку В нетривиальное базисное множество, то оно имеет тип (1, 2) или (2,1). Для базисного множества В типа (1, 2) существуют следующие возможности: І) В = (J W%;
Рисунок 4.1: Построение структурно устойчивого диффеоморфизма с нетривиальным одномерным базисным множеством.
Согласно [50], в случае і) базисное множество В является аттрактором, а в случае и) не является ни аттрактором, ни репеллером и мы называем его седловым.
Определение 4.1 Будем называть одномерное поверхностное базисное множество В типа шп, оч канонически вложенным в М\, если в случае г), W , х Є В пересекается с поверхностью М по единственной кривой; в случае гг), W% С М, хЄ В.
Одномерное поверхностное базисное множество В типа шо,пч называется канонически вложенным в М; если оно является таковым для диффеоморфизма f l.
Пуств базисное множество В канонически вложено в поверхноств М. Положим В г WxsnM и В% г WnM% для х Є В. Следуя [50], множество В назовем просторно расположенным на М, если для различнвіх точек х,у Є В любая замкнутая кривая, составленная из дуг Е, yГs С В зо и Е, Г С В% не гомотопна нулю на Ю.
Следуя [51] и [14] назовем периодическую точку р о В граничной периодической точкой базисного множества Ю, если одна из компонент связности хотя бы одного из множеств Вsш чІ, Вuш чІ не пересекается с Ю. Эту компоненту связности обозначим В ш ч или Wgш
Теорема 4.1 Пусть Ю одномерное нетривиальное канонически вложенное в поверхность Mg просторно расположенное базисное множество, принадлежащее носителю М%, ручно вложенному в М3. Тогда В обладает конечным (не равным нулю) числом граничных периодических точек.
Для определенности будем считать, что В является связным одномерным аттрактором и положим Л = В. Тогда для любой точки х о А одномерные неустойчивые многообразия принадлежат Л. Следующие леммы описывают асимптотические свойства устойчивых и неустойчивых многообразий точек базисных множеств диффеоморфизма из рассматриваемого класса. Доказательство аналогично доказательству лемм 1.1-1.3 из [14]. Лемма 4.1 Для любой точки х о А по крайней мере одна из компонент связности каждого множества WuшчІ, ВsшчІ содержит множество, плотное в А. Лемма 4.2 Пусть точка х о А такая, что для любой точки у Wuшч (Вsшч)o6e компоненты связности множества Wuш чІy (о шч І у) пересекаются с А, тогда обе компоненты связности множества WuшчІ (Вsшч Іх) содержат множества, плотные в А. Лемма 4.3 Пусть х - непериодическая точка множества А. Тогда обе компоненты связности множества ВsшчІ пересекаются с А.
О существовании граничных периодических точек одномерных поверхностных аттракторов
Обозначим Кг = Вг \ int ВЪК2 = В2\ int В2 {Кг cRhK2C R2). Для любой точки х Є Кг U К2 обозначим пх Є Fs слой проходящий через точку х и положим zx Є nxnS,yj = nxnSj, j = 1,2, уj = пжП5 ,где j = 1 в случае, если х Є Кг и j = 2 в случае, если х Є К2. Пусть теперь S - трансверсально притягивающая поверхность диффеоморфизма / . Проведем те же построения и снабдим обозначения объектов, аналогичных объектам, построенным для диффеоморфизма / штрихами, сохранив прежние индексы. Пусть К = Кги К2, К = K[U К2. Структура построенных областей гомеоморфных кольцу КиК2 и К[,К 2 позволяет задать гомеоморфизм /гь такой что гомеоморфизм /ц отображает множество К на множество К следующим образом: пусть х- любая точка из К, для определенности пусть х Є Кг (случай х Є К2 аналогично), и х = h(x). Тогда существуют слои пХ:пр слоений Fs, F s соответственно и точки уг Є Si, у\ Є S i, такие что х Є [yi,zx], х [y i,zр]i [yi,zx] С пх, [y i,zр] С nр, причем zр = g{zx). Построим гомеоморфизм h2, который отображает множество S3 \ S на множество 5/3 \ S следующим образом пусть х Є S3\S тогда h2(x) = f \hi(f\x))), где число І Є Z такое, что f\x) Є К. Непосредственно проверяется, что гомеоморфизм h2 удовлетворяет следующему условию 109 /V\р = h2fh21\р3\р Для любого X Є S3. Положим jh2(x),xeS3\S \g{x),xES По построению H : S3 — S 3 удовлетворяет условию / = HfH l покажем, что Н является гомеоморфизмом. Достаточно показать, что Я непрерывно в любой точке х принадлежащей Ns. Зафиксируем номер N: у = fN(x), у Є К. Пусть {хк} последовательность точек из S3, сходящаяся к х. y=fN(x),yk = fN(xk) Для каждой точки ук существует точка yjk Є Sj (j = 1,2) такая, что ук Є (zyk,yjk) С пУк. Положим у = Н(у),у к = Н{ук). Из непрерывной зависимости устойчивых многообразий точек из множества Л на компактных многообразиях следует, что последовательность точек {yjk} сходится к точке Уу y j = H(yj),y Jk = H(yJk) Из конструкции гомеоморфизма hi следует, что у к Є (z yр,y jk) С п ур. Так как h\ - гомеоморфизм, то последовательность {у А сходится к точке у7 и из близости устойчивых многообразий точек из множества Л на компактных многообразиях следует, что последовательность \z р} схо дится к z р. Но тогда последовательность {у к} сходится к у . Так как Н(хк) = H(f N(y)) = //_ (Н(ук)), то последовательность {Н(хк)} схо дится к f -N{H{y)) = H{f N{y)) = Н{х). Таким образом, Н непрерывно всюду на S3. о 110 4.5 О структуре трехмерного многообразия, допускающего диффеоморфизмы с одномерными базисными множествами.
Пусть / : М3 - М3 диффеоморфизм, удовлетворяющий аксиоме А С. Смейла. Предположим, что неблуждающее множество диффеоморфизма / : М3 — М3 содержит одномерное канонически вложенное и просторно расположенное базисное множество Б, периодическая компонента В которого имеет период к и принадлежит поверхности Т, гомеоморф-ной двумерному тору. Тогда справедливо следующее предложение.
Теорема 4.5 Ограничение диффеоморфизма fk\Ю2 индуцирует гипербо-лический автоморфизм фундаментальной группы тора 1% (то есть матрица, индуцирующая этот автоморфизм, является гиперболической, то есть не имеет собственных значений, по модулю равных единице).
Доказательство теоремы 4.5 Пусть В - периодическая компонента некоторого базисного множества В периода к диффеоморфизма /, принадлежащая поверхности Г, гомеоморфной двумерному тору. Положим
Представим тор Т% как фактор-группу группы R2 по целочисленной решетке Г = Z Є Z : Г = В2/Г. Обозначим через 7Г естественную проекцию группы R2 на фактор группу Т, через g : R2 — R2 -диффеоморфизм, накрывающий gU и через д - автоморфизм группы Г : 9 (l) = 9(і) 9І9)і гДе 0 " начало координат на R2, 7 Є Г.
Предположим для определенности, что В содержит устойчивые многообразия своих точек. Пусть тг"1 ) = В - полный прообраз базисного множества ВнаД2и х - точка из В. Обозначим через w, w% прообразы устойчивого и неустойчивого многообразий Wxs, W точки х = тг(ж), проходящие через точку X. Введем на кривой iu (w) параметр t Є R так, что гу(0) = х (w)jj(O) = ж). Обозначим через wх,w (wх,w ) компоненты связности множества w \x (w%\x), соответствующие значениям t О, t 0 и через xs(t),ys(t) (xu(t),u(t)) эвклидовы координаты на о точки ги() ( (0)-Тогда согласно [15] справедливо следующее утверждение.
Лемма 4.5 Пусть существует последовательность tk - +оо tk 0 fc = 1,2,... тотсоя, шо wsх(tk) Є В. Тогда л ч wх /2;oo um па о є бесконечность и имеет иррациональное асимптотическое направление.
Утверждение аналогичное утверждению леммы 4.5 имеет место и для прообразов неустойчивых многообразии точек из В.
Следствие 4.1 Пусть х, у - любые точки из В, которых кривые w, w% уходят на о в бесконечность в обоих возможных на них направлениях. Тогда ws nw 0.
Достаточно показать, что утверждение теоремы выполняется для некоторой степени диффеоморфизма д. Пусть р - внутренняя периодическая точка множества В и т - такое натуральное число, что дт(р) = р. Не уменьшая общности, можно считать, что один из прообразов р точки р является началом координат на плоскости о. Пусть дт - накрывающий дт диффеоморфизм, для которого точка р является неподвижной и п - любая точка решетки Г, отличная от р. Так как р и п - прообразы внутренней периодической точки р, то в силу леммы 4.5 кривые уходят на о в бесконечность в обоих возможных на них направлениях. Применяя следствие 4.1, получаем wп C\Wp 0, Wп C\wp ф 0. Отсюда, используя ориентируемость базисного множества Б, нетрудно получить, что орбита точки п в силу действия диффеоморфизма дт покидает любую компактную часть плоскости о. Предположим теперь, что матрица д не является гиперболической. Тогда существуют точки решетки Г, отличные от начала координат, орбиты которых в силу действия д остаются в компактной части плоскости. Так как #г = 9т\т, т0 эт0 невозможно. Теорема 4.5 доказана.
Предположим теперь, что М3 замкнутое, неприводимое, ориентируемое многообразие и Г2 - двумерный тор вложенный в М3. Согласно [32] будем называть Г2 аносовским тором, если существует диффеоморфизм / : М3 я М3 такой, что / индуцирует гиперболический автоморфизм фундаментальной группы тора.
Напомним, что через Mj было обозначено фактор-пространство, по-лученноое из М2 х [0,1] отождествлением точек (z,l) и (J(z),0), где J : М2 я М2 автоморфизм тора, определенный матрицей J о Ц. Согласно [32] справедливо следующее предложение.
Предложение 4.1 Замкнутое, неприводимое, ориентируемое многообразие М3 допускает существование аносовского тора тогда и только тогда, когда многообразие М3 гомеоморфно Mj. Следствием теоремы 4.5, и предложения 4.1 является следующий результат.
Теорема 4.6 Пусть f : М3 я М3 диффеоморфизм, удовлетворяющий аксиоме А, заданный на замкнутом, неприводимом, ориентируемом трехмерном многообразии М3, неблуждающее множество которого содержит одномерное канонически вложенное просторно расположенное базисное множество Ю. Тогда если носитель периодической компоненты В базисного множества Ю гомеоморфен двумерному тору, то многообразие М3 гомеоморфно многообразию М?, где J о Ц.
