Введение к работе
Предмет исследования. Настоящая диссертация лежит в русле современных проблем качественной теории динамических систем, восходящих к классическим работам А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, И. Бендиксона, Дж. Биркгофа и ее тематика является традиционной для Нижегородской школы теории нелинейных колебаний, основанной академиком А.А. Андроновым. Диссертация посвящена актуальным вопросам исследования структурно устойчивых динамических систем с конечным неблуж- даюшим множеством на 3-многообразиях. Среди решаемых в диссертации проблем первостепенное место занимает топологическая классификация таких каскадов и, тесно связанные с ней проблемы глобальной динамики, среди которых основное место занимает проблема существования гладкой (глобальной) функции Ляпунова, свойства которой наиболее тесно связаны с динамикой системы и проблема включения каскада в топологический поток. Содержание диссертации охватывает исследования автора, начатые в 1999 году.
Актуальность темы. Динамические системы, исследуемые в диссертации являются моделями, адекватно описывающими многочисленные процессы с регулярным поведением в естествознании и технике. Как оказалось, несмотря на отсутствие хаотического поведения траекторий, динамика блуждающих траекторий таких систем может быть весьма сложной, что связано как с возможностью существования гетеро- клинических пересечений инвариантных многообразий, так и с возможностью дикого вложения последних в несущее пространство. Это приводит к необходимости введения принципиально новых типов топологических инвариантов, контролирующих тонкие свойства систем, которые различают классы топологической сопряженности. На пути построения таких инвариантов возникают актуальные проблемы глобальной динамики, тесно связанные с существованием глобальных функций Ляпунова с прогнозируемыми свойствами и условиями включения каскада в топологический поток.
Диссертация является логическим продолжением результатов выдающихся математиков Нижегородской школы динамических систем, основанной А.А. Андроновым. Отправной точкой исследований диссертации является понятие грубой системы (системы дифференциальных уравнений в ограниченной части плоскости, не меняющей своих качественных свойств при малых изменениях правых частей), введенное в 1937 году А.А. Андроновым и Л.С. Понтрягиным в работе "Грубые системы // Докл. АН СССР. 1937. Т. 14. № 5. 247-250.", где они также указали необходимые и достаточные условия для того, чтобы система была грубой. В этом же году Е.А. Леонтович и А.Г. Майер сформулировали утверждение о том, что для некоторого класса дифференциальных уравнений, по аналогии с грубыми системами, существует конечное число траекторий, полностью определяющих качественную структуру разбиения фазового пространства на траектории. В 1939 году А.Г. Майер ввел понятие грубого преобразования окружности в окружность и установил возможные типы таких преобразова- ний. В 1955 году в работе Е.А. Леонтович и А.Г. Майера были найдены необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности потоков с конечным числом особых траекторий на плоскости и двумерной сфере. Обобщением этих результатов явилась топологическая классификация грубых потоков на поверхностях, полученная M. Пейкшото.
Фундаментом для этого явились идеи А. Пуанкаpе и И. Бендиксона, связанные с выделением тех тpаектоpий, взаимное расположение которых однозначно задает качественную структуру разбиения фазового пространства динамической системы на траектории. Тот факт, что грубые потоки имеют лишь конечное число гиперболических состояний равновесия, конечное число замкнутых гиперболических траекторий и не содержат сепаратрис, соединяющих седловые состояния равновесия, а также незамкнутых устойчивых по Пуассону траекторий позволил свести задачу топологической классификации грубых потоков на поверхностях к комбинаторной проблеме. Утверждение об отсутствии сепаратрис, соединяющих седловые состояния равновесия, было доказано в основополагающей работе Андронова и Понтрягина, отсутствие же незамкнутых устойчивых по Пуассону траекторий у грубых потоков на плоскости и сфере непосредственно следует из топологии этих многообразий, а для потоков на ориентируемых поверхностях большего рода этот нетривиальный факт был доказан вначале А.Г. Майером для грубых потоков без состояния равновесия на двумерном торе, а затем — М. Пейкшото для грубых потоков на ориентируемых поверхностях любого рода.
У потоков (каскадов) на многообразиях размерности большей двух (соответственно, большей единицы) возможно наличие гомоклинических траекторий. А. Пуанкаре обнаружил сложную структуру множества траекторий, принадлежащих ее окрестности, затем Д. Биркгоф исследовал двумерные сохраняющие площадь отображения и доказал наличие бесконечного множества периодических орбит в окрестности гомоклинической точки. Принципиальным примером, пролившим свет на отличие структурно устойчивых потоков (каскадов) на многообразиях размерности большей двух (большей единицы) от структурно устойчивых потоков на поверхностях, явился структурно устойчивый диффеоморфизм двумерной сферы, обладающий бесконечным множеством периодических орбит. Этот пример был построен С. Смейломв 1961 году и получил название "подкова Смейла". Второе важнейшее открытие сделал Д.В. Аносов в 1962 году, установив структурную устойчивость геодезического потока на римановом многообразии отрицательной кривизны. Затем он ввел и доказал структурную устойчивость чрезвычайно важного класса систем, названных им У-системами и получивших позднее название потоков и диффеоморфизмов Аносова.
Обобщая это понятие, С. Смейл ввел в рассмотрение класс систем (систем, удовлетворяющих аксиоме А) с гиперболической структурой неблуждающего множества, являющегося замыканием множества периодических точек. Неблуждающее множество систем из этого класса допускает разложение на конечное число замкнутых инвариантных базисных множеств, на каждом из которых система действует транзитивно. Динамика системы на нетривиальном базисном множестве (не являющемся периодической орбитой или неподвижной точкой) сходна с поведением диффеоморфизма на неблуждающем множестве в примере "подкова Смейла".
Следует отметить, что первоначально, по аналогии с двумерной ситуацией, С. Смейл в 1960 году выделил в качестве претендента на множество всех структурно устойчивых потоков на многообразиях размерности большей двух класс потоков с конечным множеством гиперболических состояний равновесия, замкнутых траекторий и трансверсальным пересечением устойчивых и неустойчивых многообразий этих траекторий. Позже С. Смейлом и Ж. Палисом было доказано, что эти потоки действительно являются структурно устойчивыми, но уже в 1962 году сам же С. Смейл понял, что они не исчерпывают множества всех структурно устойчивых потоков (достаточно рассмотреть поток, являющийся надстройкой над диффеоморфизмом "подкова Смейла", который является структурно устойчивым потоком со счетным множеством периодических движений). Однако, в силу важности таких потоков, как с точки зрения приложений так и в силу того, что эти потоки обладают свойствами глубокой взаимосвязи динамики с топологией фазового пространства (в частности, для них имеют место неравенства Морса, установленные С. Смейлом) класс таких потоков подвергся весьма пристальному изучению, получив специальное название потоков Морса-Смейла. Чуть позже по аналогии с потоками был выделен класс дискретных динамических систем Морса-Смейла, для которых неблуждающее множество гиперболично и конечно, а устойчивые и неустойчивые многообразия различных периодических точек пересекаются трансверсально.
Основной результат диссертации состоит в нахождении полной системы топологических инвариантов для сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса- Смейла, заданных на гладких замкнутых ориентируемых 3-многообразиях. Как уже было упомянуто это направление имеет большую предысторию, которую идейно можно описать следующим образом.
Класс эквивалентности потока Морса-Смейла на окружности однозначно определяется числом его неподвижных точек. Для каскадов на окружности полный топологический инвариант содержится в работе А.Г. Майера 1939 года и состоит из числа периодических орбит и числа вращения Пуанкаре. В 1955 году Е.А. Леонто- вич и А.Г. Майер в качестве полного топологического инварианта ввели схему потока с конечным числом особых траекторий на двумерной сфере. В 1971 году М. Пейк- шото формализовал понятие схемы Леонтович-Майера и доказал, что для потока на произвольной поверхности полным топологическим инвариантом является класс изоморфности ориентируемого графа, вершины которого находятся во взаимно однозначном соответствии с состояниями равновесия и замкнутыми траекториями, а ребра соответствуют некоторым компонентами связности инвариантных многообразий состояний равновесия и замкнутых траекторий, при этом изоморфность графов включает в себя сохранение выделенных специальным образом подграфов.
Хотя неблуждающее множество систем Моpса-Смейла состоит из конечного множества периодических траекторий, блуждающее множество потока (каскада) на многообразии размерности большей двух (большей единицы) устроено, вообще говоря, значительно сложнее, чем в соответствующих динамических системах на многообразиях меньшей размерности. Это связано с возможностью пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических тpаектоpий. Так в работе В. Афраймовича и Л. П. Шильникова доказано, что ограничение потоков Моpса- Смейла на замыкание множества гетероклинических траекторий сопряжено с надстройкой над топологической марковской цепью. Однако, для диффеоморфизмов поверхностей с конечным числом гетероклинических орбит, инварианта, подобного графу Пейкшото и оснащенного информацией о гетероклинических пересечениях, оказалось достаточно для описания полного топологического инварианта (А.Н. Безденежных, В.З. Гринес). Аналогично для потоков с конечным числом особых траекторий на 3-многообразиях в качестве полного топологического инварианта вновь использовались конструкции, подобные схеме Леонтович-Майера и фазовой диаграмме С. Смейла (С.Ю. Пилюгин, Я.Л. Уманский). Классификационные результаты на языке графов Пейкшото и диаграмм Смейла имеются и в размерности n > 3: для потоков на сфере Sn, в предположении, что эти потоки не имеют замкнутых траекторий и гетероклинических пересечений (С.Ю. Пилюгин); для градиентно-подобных диффеоморфизмов на Mn, все седловые точки которого имеют индекс Морса, равный единице (Гринес В.З., Гуревич Б.Я., Медведев В.С.).
Таким образом, для всех упомянутых выше систем Морса-Смейла основным моментом для выделения класса топологической сопряженности (эквивалентности) являлось указание асимптотического направления инвариантных многообразий неподвижных точек и периодических орбит. Благодаря работам Д. Пикстона, Х. Бонат- ти и В.З. Гринеса стало ясно, что этой информации недостаточно для классификации каскадов Морса-Смейла на 3-многообразиях. Причиной столь неожиданного эффекта оказалась возможность "дикого" поведения сепаратрис седловых точек. А именно, как выяснилось, замыкание сепаратрисы может отличаться от самой сепаратрисы всего одной точкой, но не являться при этом даже топологическим подмногообразием. Впервые диффеоморфизм с дикими сепаратрисами был построен Д. Пикстоном в 1977 году. Он использовал кривую Артина-Фокса для реализации инвариантных многообразий седловой неподвижной точки. Как показали Х. Бонат- ти и В.З. Гринес, в классе диффеоморфизмов Морса-Смейла трехмерной сферы с неблуждающим множеством, состоящим из четырех неподвижных точек: седла, одного источника и двух стоков, существует счетное множество топологически несопряженных. При этом полным топологическим инвариантом является тип вложения сепаратрис седловой неподвижной точки.
Эффективным инструментом, позволяющим различать тип вложения сепаратрисы является переход к пространству орбит части блуждающего множества, содержащего эту сепаратрису. При этом структура пространства блуждающих орбит является необходимой информацией в топологическом инварианте наряду с информацией об асимптотическом направлении инвариантных многообразий седловых периодических точек. Этой идеей связан цикл работ по топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3-многообразиях российских и французских математиков Х. Бонатти, В.З. Гринеса, В.С. Медведева, Е. Пеку, О.В. Починки. В упомянутой серии работ была решена задача топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3-многообразиях, не имеющих либо гетероклини- ческих точек, либо гетероклинических орбит. Основным результатом настоящей диссертации является полная топологическая классификация произвольных сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла на замкнутых ориентируемых 3-многообразиях.
Дикое вложение сепаратрис седловых точек создает препятствие к включению диффеоморфизма Морса-Смейла f Є MS(Mn) в поток, то есть к существованию топологического потока X1 на Mn такого, что f является сдвигом на единицу времени вдоль траекторий потока X1. Из работ Ж. Палиса и С. Смейла, в которых доказана структурная устойчивость диффеоморфизмов Морса-Смейла, следует, что для любого многообразия Mn существует открытое в Diff l(Mn) множество диффеоморфизмов Морса-Смейла, включающихся в топологический поток. В работе Ж. Палиса также найдены необходимые условия включения диффеоморфизма f Морса-Смейла в топологических поток. Там же показано, что при n = 2 эти условия являются достаточными и поставлена задача обобщения этого результата на случай большей размерности. В настоящей диссертации разработана методика построения каскадов Морса-Смейла на 3-многообразиях, удовлетворяющих всем условиям Палиса, но не включающихся ни в какой топологический поток.
Эффект дикого заузливания сепаратрис был использован Д. Пикстоном в качестве контраргумента к утверждению о существовании энергетической функции Морса у любого каскада Морса-Смейла. Энергетическая функция динамической системы — это гладкая функция Ляпунова (функция, убывающая вдоль траекторий системы вне цепно рекуррентного множества и постоянная на цепных компонентах), не имеющая критических точек, отличных от цепно рекуррентного множества. К. Кон- ли в 1978 году доказал существование непрерывной функции Ляпунова у любой динамической системы и этот результат получил название фундаментальной теоремы динамических систем. В основе теоремы К. Конли лежит теория глобальных аттракторов и репеллеров, последовательное выделение которых позволяет построить непрерывную функцию Ляпунова. В настоящей диссертации для произвольных каскадов Морса-Смейла на n-многообразиях (n > 1) построена гладкая функция Ляпунова. Построенная функция является функцией Морса и ее регулярные линии уровня трансверсальны инвариантным многообразиям периодической точки в некоторой ее окрестности. Автором доказано, что такие функции, названные функциями Морса-Ляпунова, являются типичными среди гладких функций Ляпунова для диффеоморфизма Морса-Смейла f : Mn ^ Mn.
Первые результаты по построению энергетической функции принадлежат С. Смейлу, который в 1961 году доказал существование энергетической функции Морса у градиентно-подобного потока (потока Морса-Смейла без замкнутых траекторий). К. Мейер в 1968 году обобщил этот результат и построил энергетическую функцию Морса-Ботта для потока Морса-Смейла. Работа К. Мейера индуцировала M. Шуба и Ф. Такенса на выдвижение гипотезы о том, что энергетической функцией Морса обладают любые диффеоморфизмы Морса-Смейла. Первый результат в этом направлении принадлежит Д. Пикстону, который в 1977 году построил энергетическую функцию Морса для диффеоморфизмов Морса-Смейла на поверхностях. Там же он сконструировал, упоминавшийся выше как пример Пикстона, диффеоморфизм на 3-сфере, не обладающий энергетической функцией, и доказал, что такой эффект в этом примере связан с диким вложением сепаратрис седловых точек.
В настоящей диссертации найдены условия существования энергетической функции у любого диффеоморфизма Морса-Смейла f : M3 ^ M3. Оказалось, что эти условия связаны с типом вложения одномерных аттракторов и репеллеров, состоящих из замыканий инвариантных многообразий седловых периодических точек. Факт существования функции Ляпунова и отсутствия энергетической функции приводит к понятию функции Ляпунова с минимальным числом критических точек, которая в диссертации названа квази-энергетической. Выделен содержательный класс каскадов Морса-Смейла на 3-многообразиях, не обладающих энергетической функцией, для которых построена квази-энергетическая функция.
Цель работы. Работа направлена на решение актуальных проблем, связанных с глобальным исследованием важного класса структурно устойчивых дискретных динамических систем на 3-многообразиях с конечным неблуждаюшим множеством. Приоритетной целью работы является получение полной системы топологических инвариантов, которые однозначно определяют класс топологической сопряженности и допускают реализацию, позволяющую моделировать системы с прогнозируемыми свойствами. Топологическая классификация неразрывно связана с исследованием глобальной динамики системы и вложения в объемлющее многообразие сепаратрис ее седловых периодических точек. Поэтому целью диссертации является также каноническое описание глобальной динамики произвольного каскада Морса-Смейла, нахождение критериев ручного вложения сепаратрис, а также выявление препятствий включению каскадов в поток. Одним из эффективных инструментов исследования глобальной динамики динамической системы является функция Ляпунова.
Целью диссертации является построение гладкой функции Ляпунова для каскадов Морса-Смейла, свойства которой тесно связаны с динамикой системы. А именно, нахождение необходимых и достаточных условий существования и построение энергетической функции, то есть функции Ляпунова, множество критических точек которой совпадает с неблуждающим множеством диффеоморфизма, а также построение квази-энергетической функции, то есть функций Ляпунова с минимальным числом критических точек.
Методы исследования. В диссертации разработаны новые методы исследования динамических систем Морса-Смейла, основанные на применении классических методов качественной теории, алгебраической топологии и дифференциальной геометрии. Они позволяют описать топологические инварианты, появляющиеся в результате представления динамики произвольного диффеоморфизма Морса-Смейла в виде аттрактор-репеллер и исследовать характеристическое пространство блуждающих орбит, вместе с вложенными в него проекциями двумерных сепаратрис седло- вых периодических точек, образующими нетривиальные геометрические объекты — гетероклинические ламинации. Для решения проблемы реализации каскадов Морса- Смейла эффективно используется, разработанный в диссертации метод перестройки замкнутых 3-многообразий вдоль существенно вложенных подмногообразий. При построении гладких функций Ляпунова существенно применяется теория Морса и методы сферических перестроек.
Научная новизна. Диссертация посвящена развитию важного направления в теории динамических систем на многообразиях — нахождению и исследованию топологических инвариантов, определяющих глобальное поведение траекторий каскадов на гладких замкнутых ориентируемых 3-многообразиях. Все полученные в диссертации результаты являются новыми и коротко могут быть сформулированы следующим образом:
-
Введены и изучены новые топологические инварианты диффеоморфизмов, принадлежащих классу MS(M) сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на замкнутых ориентируемых 3-многообразиях M3. Построение инвариантов основано на представлении глобальной динамики диффеоморфизма f Є MS(M3) в виде "источник - сток", где под источником и стоком понимаются дуальные репеллер и аттрактор. Предъявлены все возможные такие представления и связанные с ними пространства орбит (характеристические пространства), принадлежащих дополнению к аттрактору и репеллеру, вместе с вложенными в них образами сепаратрис седловых периодических точек в силу естественной проекции.
-
Для диффеоморфизмов класса MS(M3) получены критерии ручного вложения сепаратрис седловых точек в окрестности узловой точки. Введена операция перестройки характеристических пространств вдоль тора и бутылки Клейна, с помощью которой изучается топология трехмерных характеристических пространств, в частности доказано, что каждая компонента связности такого пространства является простым многообразием, фундаментальная группа которого допускает эпиморфизм в группу Z. Исследованы препятствия включению таких диффеоморфизмов в топологический поток. Разработана методика построения каскадов Морса-Смейла на 3-многообразиях, удовлетворяющих необходимым условиям Палиса включения в топологический поток, но не включающихся ни в какой топологический поток.
окрестностей, являющейся одним из основных технических инструментов топологической классификации. Построение такой системы использует структуру изученных в диссертации характеристических пространств. Свойства построенной в диссертации системы принципиально отличаются в окрестности гетеро- клинических кривых от свойств трубчатых семейств Ж. Палиса и С. Смейла, используемых ими при доказательстве структурной устойчивости диффеоморфизмов Морса-Смейла.
-
-
Найдены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности каскадов класса MS(M3). А именно, введено понятие схемы Sf диффеоморфизма f Є MS(M3), которая содержит информацию о периодических данных каскада, топологии вложения и пересечения в фазовом пространстве двумерных инвариантных многообразий седловых периодических точек. Для этого использовано характеристическое пространство, соответствующее одномерному аттрактору-репеллеру и введенное в диссертации понятие гетероклинической ламинации, являющейся компактным объединением попарно непересекающихся торов и бутылок Клейна с конечным, пустым или счетным множеством выколотых точек. Доказано, что диффеоморфизмы f, f' Є MS(M3) топологически сопряжены тогда и только тогда, когда их схемы Sf, Sf' эквивалентны.
-
Решена проблема реализации. На основе свойств схемы Sf выделено множество S абстрактных схем, содержащее схемы всех диффеоморфизмов из MS(M3). По каждой абстрактной схеме S Є S построен диффеоморфизм fS Є MS(M3), схема которого эквивалентна данной. Решение этой проблемы позволяет моделировать структурно устойчивые динамические системы с прогнозируемыми свойствами.
-
Для произвольного диффеоморфизма из класса MS(Mn) построена гладкая функция Ляпунова, являющаяся функцией Морса, что явлется существенным усилением фундаментальной теоремы динамических систем для каскадов Морса-Смейла.
-
Доказано, что необходимые и достаточные условия существования энергетической функции (функции Ляпунова, не имеющей критических точек, отличных от периодических) у диффеоморфизма f Є MS (M3) связаны с типом вложения одномерных аттракторов и репеллеров. Получен критерий существования динамически упорядоченной энергетической функции для диффеоморфизмов класса MS (S3), не имеющих гетероклинических кривых. Выделен содержательный класс каскадов Морса-Смейла на 3-многообразиях, не обладающих энергетической функцией, для которых построена квази-энергетическая функция (функция Ляпунова с минимальным числом критических точек).
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и разработанные методы могут быть применены в теории гладких динамических систем при исследовании конкретных трехмерных неавтономных периодических по времени систем дифференциальных уравнений, а также четырехмерных потоков, с помощью изучения отображения последования на секущей к траекториям потока. В частности, эти результаты могут найти применение в исследованиях, проводимых в Математическом Институте им. В,А. Стеклова РАН, Петербургском отделении Математического Института РАН, Московском Государственном Университете им М.В. Ломоносова, Нижегородском Государственном
Университете им. Н.И. Лобачевского, НИИ прикладной математики и кибернетики ННГУ, других высших учебных заведениях и научных центрах.
Апробация работы. По теме диссертации были сделаны следующие доклады на международных конференциях:
на международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль 2000, 2002, 2004, 2008, 2010);
на международной конференции, посвященной столетию А. А. Андронова (Нижний Новгород 2001);
на международных конференциях "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск 2002 - 2010);
на международной конференции, посвященной столетию А. Н. Колмогорова (Москва 2003);
на объединенной международной научной конференции "Новая геометрия природы" (Казань 2003);
на международной конференции "Динамика, бифуркация и хаос" (Н. Новгород 2005);
на международной конференции "Тихонов-100" (Москва 2006);
на международной конференции "Dynamics, Topology and Computations" (Bedlewo (Poland) 2006);
на международной конференции, посвященной И.Г. Петровскому (Москва 2006, 2007, 2011);
на интернациональном конгрессе "Nonlinear Dynamical Analysis-2007" (Санкт- Питербург 2007);
на международной конференции "Laminations and Group Actions in Dynamics" (Москва 2007);
на международной конференции "Differential Equations and Topology", посвященной Л.С. Понтрягину (Москва 2009).
По теме диссертации были также сделаны следующие доклады:
на семинарах кафедры высшей математики Нижегородской Сельскохозяйственной академии (2002 - 2011 руководитель проф. В. З. Гринес);
на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений МИАН (2003, 2008, 2011, руководитель акад. Д. В. Аносов и проф. Ю. С. Ильяшенко);
на научном семинаре МГУ по теории динамических систем (2003, руководители акад. Д. В. Аносов и проф. А. М. Степин);
на научном семинаpе отдела дифференциальных уравнений НИИ прикладной математики и кибернетики при Нижегородском государственном университете (2003, 2008, руководитель проф. Л. П. Шильников);
на научном семинаре МГУ по динамическим системам (2004, руководитель проф. Ю. С. Ильяшенко);
на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений механико- математического факультета ННГУ (2009 - 2011, pуководители проф. Л. М. Лерман и проф. А. Д. Морозов);
на научном семинаре кафедры теории функций механико-математического факультета ННГУ (2008 - 2011, руководитель проф. М. О. Сумин).
Структура и объем диссертации. Основные главы диссертации предваряются введением, общей характеристикой работы и заканчиваются списком литературы. Содержание диссертации изложено в четырех главах. Первая глава диссертации посвящена детальному изучению свойств диффеоморфизмов из класса MS(Mn), состоящего из сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла f, заданных на замкнутых ориентируемых n-многообразиях Mn, n > 1. Изучается вложение и асимптотическое поведение инвариантных многообразий периодических точек и структура их пространств орбит. Описывается общая концепция изучения динамики диффеоморфизмов Морса-Смейла, которая во многих случаях позволяет решить проблему топологической классификации и реализации диффеоморфизмов Морса- Смейла. Во второй главе диссертации сформулированы и доказаны критерии ручного вложения как одномерных так и двумерных сепаратрис седловых точек диффеоморфизма f Є MS(M3) в бассейн стока (источника). Введено понятие перестройки трехмерных характеристических пространств вдоль гладко вложенных в нее торов и бутылок Клейна, позволяющее изучать топологию трехмерных характеристических пространств. Разработана методика построения каскадов Морса-Смейла на 3- многообразиях, удовлетворяющих всем условиям Палиса, но не включающихся ни в какой топологический поток. В третьей главе приводится полная топологическая классификация (включая реализацию) каскадов Морса-Смейла на 3-многообразиях. Значительная часть третьей главы посвящена построению согласованной системы окрестностей, являющейся существенным техническим моментом при построении сопрягающего гомеоморфизма и реализации. В четвертой главе для диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3-многообразиях вводится понятие функции Ляпунова, энергетической и квази-энергетической функции. Устанавливается факт существования функции Морса-Ляпунова для любого диффеоморфизма f Є MS(Mn) и типичность в пространстве функций Ляпунова для f. Доказываются необходимые и достаточные условия существования динамически упорядоченной энергетической функции для диффеоморфизмов класса MS(M3). Для содержательного класса каскадов Морса-Смейла на 3-многообразиях, не обладающих энергетической функцией, строится квази-энергетическая функция.
Похожие диссертации на Глобальная динамика каскадов Морса-Смейла на 3-многообразиях
-
