Введение к работе
Актуальность темы. Одной из основных задач качественной теории дифференциальных уравнений является доказательство существования или отсутствия периодических движений в данном подмногообразии фазового пространства динамической системы. Существенные результаты в этом направлении для различных классов динамических систем были получены А.Пуанкаре, Дж.Биркгофом, Х.Кнезером, Г.Дюлаком, И.Бен-диксоном, А.А.Андроновым и его нижегородской школой, и многими другими математиками.
Естественным обобщением динамических систем с непрерывным временем (однопараметрических групп преобразований) являются слоения коразмерности один. Возникновение качественной теории слоений восходит к работам G.Reeb, A.Heafliger, С.П.Новикова.
Особый интерес к теории слоений возник в связи с изучением У-потоков и У-диффеоморфизмов, введенных Д.В.Аносовым. Применение "хирургической операции" к диффеоморфизмам Аносова коразмерности один приводит к нетривиальным базисным множествам коразмерности один, классифицированных в окончательном виде в многомерном случае Р.В.Плыкиным (ориентируемые базисные множества коразмерности один на n-мерном, п > 3, торе были классифицированы В.З.Гринесом и Е.В.Жужомой).
Единственными замкнутыми двумерными многообразиями, допускающими слоения без особенностей, являются тор и бутылка Клейна. Эти же многообразия являются единственными замкнутыми 2-многообразиями,
допускающими риманову метрику нулевой кривизны (т.е. являются плоскими многообразиями). На двумерном торе существуют слоения без компактных слоев. Что касается бутылки Клейна, то как показал Х.Кнезер, на ней любое слоение без особенностей имеет компактный слой (го-меоморфный окружности). С.Х.Арансон и N.Markley обобщили теорему Х.Кнезера на ориентируемые слоения с особенностями. Именно, ими показано, что на бутылке Клейна у любого ориентируемого слоения (может быть с особенностями) не существует незамкнутых самопредельных слоев (то есть нетривиальных рекуррентных слоев).
Первый существенный результат о существовании компактного слоя для слоений на 3-многообразиях был получен в 60-ых годах С.П.Новиковым. Он доказал, что любое слоение коразмерности один на 3-мерной сфере или 3-многообразии с конечной фундаментальной группой имеет компактный слой, гомеоморфный 2-мерному тору. Метод доказательства, используемый в доказательстве основной теоремы в работе С.Х.Арансона, и работа С.П.Новикова послужили отправной точкой для исследований главы 1 диссертации.
Одной из основных задач качественной теории слоений является исследование асимптотичских свойств слоев слоений (то есть, поведения слоев "в бесконечности"), а одним из основных методов такого исследования является "сравнение" слоев с какими-либо геометрическими объектами, например, с вполне геодезическими подмногообразиями или со слоями соответствующих вполне геодезических слоений. В наиболее четкой форме этот подход нашел свое отражение в работах А.Вейля и Д.В.Аносова, который в 60-ых годах сформулировал ряд вопросов (эти вопросы в последнее, время стали называть проблемой Аносова-Вейля) по данной тематике.
Один из поставленных вопросов относился к существованию у данного слоя асимптотического направления и нахождению "геометрического" объекта (вполне геодезического подмогообразия) с тем же самым асимптотическим направлением. Следующий естественный вопрос относился к тому, насколько "далеко" данный слой может отклоняться от соответ-
ствующего вполне геодезического подмогообразия.
Во второй главе диссертации решается проблема Аносова-Вейля об ограниченном отклонении накрывающих слоев от их асимпотического направления для слоений коразмерности один с тривиальной группой голономии на плоских замкнутых 3-многообразиях. А именно, доказыва-еся, что любой слой слоения коразмерности один с тривиальной группой голономии на плоском замкнутом 3-многообразии обладает свойством ограниченного отклонения от вполне геодезического подмогообразия коразмерности один с тем же самым асимптотическим направлением.
Установление топологической классификации слоений является одной из основных задач качественной теории. При решении этой задачи выделяются определенные классы слоений, внутри которых решается задача топологической эквивалентности (нахождение эффективных топологических инвариантов, позволяющих установить необходимые и достаточные условия существования гомеоморфизма многообразия на себя, переводящего слои одного слоения в слои другого слоения) и задача реализации (выделение допустимых значений топологических инвариантов и построение слоений с данным инвариантом).
Существенные результаты в этом направлении для потоков на плоскости и сфере получены в работах А.А.Андронова и Л.С.Понтрягина, и, Е. А. Леонтович и А.Г.Майера. Для потоков на двумерном торе топологическая классификация для различных классов потоков была получена А.Пуанкаре, А.Данжуа, Л.Э.Рейзинем, С.Х.Арансоном и Е.В.Жужомой.
На двумерных многообразиях большего рода динамические системы с этой точки зрения рассматривались С.Х.Арансоном и В.З.Гринесом. М.М.Пейксото, и другими.
Для слоений коразмерности один на re-мерных, п > 3. многообразиях задачу топологической классификации решали в своих работах G.Reeb, H.Rosenberg, R.Roussarie, Локоть Т.В., Palmeira C.F.B., E.Ghys. V.Sergiescu, и С.Х.Арансоном, Е.В.Жужома. Коротко коснемся содержания этих работ.
Один из основателей теории слоений G.Reeb рассматривал с точки
зрения топологической классификации специальный класс С-слоений (г > 2) коразмерности один на трехмерном многообразии, который является прямым произведением двумерного тора на замкнутый отрезок (G.Reeb рассматривал слоения, трансверсальные второму множителю).
H.Rosenberg, R.Roussarie классифицировали С-слоения (г > 2) Рчба (то есть слоения, все слои которых гомеоморфны либо двумерным цилиндрам, либо двумерным плоскостям) на трехмерном торе. В дальнейшем эта классификация была продолжена С.Х.Арансоном и Е.В.Жужомой до С'-слоений, которые включают в себя слоения Данжуа с исключительными минимальными множествами (которые не существуют в классе гладкости С. г > 2. Отметим, что С-слоения, г > 2, Рэба необходимо транзитивны и даже минимальны).
Локоть Т.В. построила топологический инвариант для С-слоений (г > 2) коразмерности один с тривиальной группой голономии на п-мерных, п > 3, замкнутых многообразиях. Ею было доказано, что построенный инвариант является полным для многих классов слоений на трехмерных многообразиях (в частности, для слоений, состоящих из компактных слоев).
Palmeira C.F.B. доказап, что пространство слоев слоения из плоскостей коразмерности один на отрытом n-мерном, п > 3, многообразии является полным топологическим инвариантом.
E.Ghys, V.Sergiescu рассматривали гладкую эквивалентность для слоений из цилиндров и плоскостей на трехмерных замкнутых многообразиях, которые являются расслоениями над окружностью со слоем, гомео-морфным двумерному тору.
Е.В.Жужома классифицировал специальный класс С'-слоений коразмерности один с тривиально группой голономии на n-мерном, п > 3. торе (если тор представить как прямое произведение п окружностей, то от рассматриваемых слоений требовалось, чтобы они были трансверсальны одной из окружностей).
Нахождение эффективных топологических характеристик еще более усложняется при переходе от слоений к дискретным динамическим сй-
стемам - каскадам. Одним из основных эффектов, возникающих здесь уже для диффеоморфизмов двумерной сферы является существование счетного множества периодических точек в структурно-устойчивых системах. Важным классом структурно-устойчивых диффеоморфизмов, содержащих счетное множество периодических точек, являются диффеоморфизмы Аносова, которые в двумерном случае могут существовать только на торе. Обобщением диффеоморфизмов Аносова являются диффеоморфизмы, удовлетворяющие аксиоме А (А-диффеоморфизмы) Стефана Смейла.
Методы исследования. Основной метод, идея которого восходит к А.Данжуа и А.Вейлю, состоит в исследовании накрывающих слоений на универсальной накрывающей. Основные свойства исходного слоения выявляются при анализе свойств накрывающих слоений, которые инвариантны относительно группы накрывающих преобразований.
При построении трансверсальных к слоению поверхностей используются методы дифференциальной топологии.
Научная новизна. Основные результаты диссертации новые. Именно
-
Перечисляются все плоские компактные 3-многообразия, на которых существуют слоения коразмерности один без компактных слоев (такие слоения могут быть даже вполне геодезическими), и перечисляются все плоские компактные 3-многообразия, на которых любое слоение коразмерности один имеет компактный слой (двумерный тор или бутылка Клейна).
-
Решена проблема Аносова-Вейля об ограниченном отклонении накрывающих слоев от их асимпотического направления для слоений коразмерности один с тривиальной группой голономии на плоских замкнутых 3-многообразиях (доказывается, что любой слой слоения коразмерности один с тривиальной группой голономии на плоском замкнутом 3-многообразии обладает свойством ограниченного отклонения от вполне геодезического подмогообразия коразмерности один с тем же самым асимптотическим направлением).
-
Получена топологическая классификация слоений коразмерности один с тривиальной группой голономии на плоских замкнутых 3-многообразиях, которые допускают слоения без компактных слоев.
-
Доказано, что многообразие, на котором задан А-диффеоморфизм, неблуждающее множество которого состоит лишь из ориентируемых аттракторов и репеллеров коразмерности один, является связной суммой конечного числа n-мерных торов.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в теоретических исследованиях, связанных с изучением предельных множеств и компактных слоев динамических систем с многомерным временем, аттракторов и репеллеров диффеоморфизмов, а также прикладных задач физики, механики, приводящих к качественному исследованию дифференциальных уравнений Пфаффа.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международном симпозиуме по геометрическому изучению слоений (Токио, 1993), на научном семинаре кафедры физико-математических дисциплин Обнинского института атомной энергетики, на научном семинаре кафедры высшей математики теоретической механики Нижегородской государственной сельскохозяйственной академии и на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем работы - 94 страницы, список литературы включает 95 наименований, в диссертации имеется 2 рисунка.
