Содержание к диссертации
Введение
1 Линейные сингулярно возмущенные системы 15
1.1 Основные понятия теории оптимального управления для линейных систем 15
1.1.1 Задача оптимального быстродействия для линейного управляемого процесса 19
1.1.2 Регулярно возмущенные дифференциальные уравнения 31
1.1.3 Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения 34
1.2 Оптимальное быстродействие для линейных сингулярно возмущенных систем 37
1.2.1 Точки переключения 37
1.2.2 Декомпозиция сингулярно возмущенных систем управления 41
1.2.3 Асимптотика точек переключения 49
1.2.4 Задача быстродействия для системы с одной медленной переменной 62
1.3 Модифицированные задачи оптимального управления 66
1.3.1 Управление медленной подсистемой 67
1.3.2 Случай непрерывного управления 70
1.3.3 Задача быстродействия с непрерывным управлением 75
2 Нелинейные сингулярно возмущенные системы 80
2.1 Расщепление нелинейных управляемых систем 80
2.1.1 Декомпозиция нелинейных систем 80
2.1.2 Декомпозиция сингулярно возмущенных управляемых систем 86
2.2 Задача оптимального быстродействия для системы свя занных маятников 89
3 Некоторые задачи оптимального быстродействия 101
3.1 Задача оптимального быстродействия для магнитоэлектрического силового привода 101
3.2 Оптимальное управление температурным полем 108
Библиография 119
- Задача оптимального быстродействия для линейного управляемого процесса
- Оптимальное быстродействие для линейных сингулярно возмущенных систем
- Задача быстродействия для системы с одной медленной переменной
- Задача оптимального быстродействия для системы свя занных маятников
Введение к работе
Актуальность работы. Теория сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений, традиционно связываемая с проблемами аэрогидродинамики и нелинейной механики, интенсивно развивается и ее методы активно применяются для решения широкого круга задач из других областей естествознания и техники. Это объясняется тем, что такие системы естественным образом возникают при моделировании и исследовании объектов различной природы, характерной особенностью которых является способность совершать одновременно быстрые и медленные движения.
Сложную композицию из медленных и быстрых движений представляет собой движение систем твердых тел. В задачах динамики спутников это может быть связано с наличием демпфирующих устройств или упругих элементов малой массы. Для гироскопических приборов и систем наличие быстрых - нутационных и медленных -прецессионных колебаний хорошо известно и наблюдается практически всегда.
В теории автоматического управления модели, описываемые сингулярно возмущенными дифференциальными уравнениями, возникают по целому ряду причин. Во-первых, такая ситуация естественна для задач управления системами, динамика которых объективно складывается из разнотемповых движений: гироскопические, электромехани ческие и другие системы. Во-вторых, появление сингулярных возмущений может быть связано со спецификой применяемых методов управления и для однотемповых систем. Примерами могут служить задачи с использованием метода штрафа при малом коэффициенте штрафа за управление ("дешевое" управление) или задачи стохастической фильтрации при вырождении шума в канале наблюдений.
Задача оптимального быстродействия для линейного управляемого процесса
Линейной задачей оптимального управления мы будем называть задачу об отыскании оптимальных быстродействий в случае, когда выполнены следующие три условия: 1) уравнения движения объекта линейны, то есть х = Ах + Ви, где А - матрица размера (n х п) имеет действительные постоянные коэффициенты и В - (п X т) матрица; 2) предписанное конечное состояние совпадает с началом координат п -мерного фазового пространства переменных i,2, ---, . 3) область управления Cl = Rm . Начало координат х = 0 является положением равновесия системы, для которой и = 0. Данная задача - перевести систему из произвольной точки в произвольную желаемую точку за конечный промежуток времени - была впервые изучена Гамкрелидзе Р. В. [25]. Перейдем теперь к формулировке утверждения, дающего решение задачи оптимального быстродействия [6]. Для формулировки, кроме основной системы уравнений: рассмотрим еще одну систему уравнений относительно вспомогательных (дополнительно рассматриваемых) переменных фо,ф\,...,фп: Если мы выбрали некоторое допустимое управление u(t), и имеем соответствующую фазовую траекторию x(t) системы (1.1.2) с начальным условием x(to) = XQ, ТО система (1.1.3) примет вид: Эта система линейна и однородна; поэтому при любых начальных условиях для фі она допускает единственное решение ф = (фо,фі,ф2, ...,фп) (определенное на отрезке to t t\, на котором определены управление u(t) и траектория x(t)).
Как и решение x(t) системы (1.1.2), решение системы (1.1.4) состоит из непрерывных функций фі(і), имеющих всюду, кроме конечного числа точек (а именно, точек разрыва управления u(t)), непрерывные производные по t. Всякое решение системы (1.1.4) (при любых начальных условиях) мы будем называть решением системы (1.1.3), соответствующим выбранному управлению u(t) и фазовой траектории x(t). Теперь объединим системы (1.1.2) и (1.1.3) одной записью, для чего рассмотрим следующую функцию % переменных Хі, Непосредственно проверяется, что написанные выше системы (1.1.2) и (1.1.3) могут быть с помощью этой функции записаны в виде следую- щей гамильтоновои системы: Итак, взяв произвольное допустимое (т. е. кусочно-непрерывное) управление u(t),to t ti и начальное условие x(to) = XQ, МЫ можем найти соответствующую траекторию x(t) = (x(t),x1(t),..., xn(t)). После этого мы можем находить соответствующие функциям u(t) и x(t) решеНИЯ ф{ї) = (фо(і),фі(і),ф2(і),--;Фп{і) СИСТвМЫ (1.1.6). При фиксированных (постоянных) значениях фих функция % становится функцией параметра uGfi, точную верхнюю грань значений этой функции обозначим через Ж(ф, х): Если точная верхняя грань значений непрерывной функции % достигается в некоторой точке области управления Q, то Ж(ф, х) максимум значений функции К при фиксированных ф и х.
Поэтому нижеследующее утверждение (необходимое условие оптимальности), главным содержанием которой является равенство (1.1.7) мы называем принципом максимума [6]. Утверждение 6. ITijcmb u(t),to t t\- такое допустимое управление, что соответствующая ему траектория x(t), исходящая в момент to из точки хо, проходит в момент t\ через некоторую точку прямой П. Для оптимальности управления u(t) и траектории x(t) необходимо существование такой непулевой непрерывной вектор-функции ф(і), соответствующей функциям u(i), x(t), что:
Оптимальное быстродействие для линейных сингулярно возмущенных систем
В классе скалярных кусочно-непрерывных управляющих воздействий рассмотрим следующую задачу оптимального управления линейной системой: где є - малый положительный параметр, х - m-вектор, у - п-вектор, а остальные элементы задачи имеют соответствующие размеры. Предполагается, что матрица Ац устойчивая (все ее собственные значения вещественны, различны и отрицательны). Заметим, что это предположение есть ни что иное как условие г ) из 1.1.3, наложенное на рассматриваемую сингулярно возмущенную систему. Задаче (1.2.1) и ее обобщениям посвящено значительное число работ (см., например, [27, 36, 37, 88, 90, 97, 98]). В рамках теории сингулярных возмущений этой задаче оптимального управления уделялось наибольшее внимание. Впервые она была рассмотрена в работе Collins W. D. [8S], где установлено, что момент оптимального быстродействия Т(є) в задаче (1.2.1) при є - 0 стремится к моменту оптимального быстродействия То в вырожденной задаче
Что касается точек переключения оптимального управления в исходной задаче, то они при достаточно малом є делятся на три группы. К первой группе относятся точки, сосредоточенные вблизи начального момента. Множество таких точек переключения, как отмечается в [88], может быть и пустым. Вторая группа состоит из точек, близких к соответствующим точкам переключения вырожденной задачи. Наконец, третьей группе принадлежат точки, отстоящие от момента оптимального быстродействия на величины порядка є.
Исследования, начатые в [88], были продолжены П. Кокотовичем и А. Хаддадом [97, 98]. Ими, в частности, было показано, что существует такое положительное 9, что на промежутке [0,Т(є) — 6(e)] оптимальное управление в невырожденной задаче (1.2.1) совпадает с решением регулярно возмущенной задачи в которой Аг(є) — Ло,Ьг(є) — бо при є - 0. Это позволяет уточнить результаты, полученные в [88]. Оптимальное управление в регулярно возмущенной задаче (1.2.3) может иметь точки переключения, близкие к начальному моменту, лишь в том случае, когда управление базовой задачи (1.2.2) обращается в начальный момент в нуль. Поэтому появление у оптимального управления в сингулярно возмущенной задаче первой группы точек переключения, скорее исключение, чем правило. Совсем иначе обстоит дело с третьей группой точек переключения, то есть точек, близких к моменту оптимального быстродействия. Множество таких точек быть пустым не может. Для того, чтобы выяснить их роль, проанализируем поведение решения сингулярно возмущенной системы при фиксированном релейном управлении u(t),t [0,Т]. Пусть x (t),y (t),t Є [0,Т], x {t) - соответствующее решение вырожденной системы, то есть #0 удовлетворяет уравнению
Тогда, как следует из теоремы Тихонова (см. 1.1.3), при выполнении предположения (1.2.1) траектория x(t,e),y(t,),t Є [0,Т], сингулярно возмущенной системы, порожденная управлением u(t), t 6 [0,Т], и начальным состоянием х(0) = х , у(0) = у , обладает при є - 0 следующим свойством: x(t, є) ч- x (t) равномерно на [0, Т], a y(t,e) - y (t) всюду на (0,Т] за исключением точек переключения управления. Если х,у - скаляры, то управление и имеет две точки переключения t\,t2, а х (Т) = 0. Тогда в силу (1.2.4) у (Т) = -А Ь2и. Поскольку y (t) - разрывная функция, а у(, є) - непрерывная, то справа от каждой точки переключения, как и в начале промежутка [0,Т], возникает пограничный слой, в котором быстрая переменная изменяется с большой скоростью, оправдывая свое название.
На первый взгляд может показаться, что при малом є, перевести одновременно медленную и быструю переменные в нуль с помощью релейных управлений невозможно. Если медленная переменная при некотором Т станет равной нулю, то быстрая, должна оказаться в малой окрестности точки — А± 2 , а вместе с тем, для релейных управлений w = 1. Однако, если при переходе медленной переменной к нулю переключить управление, то у быстрой переменной возникает пограничный слой, и она, изменяясь с большой скоростью, может попасть в нуль одновременно с медленной переменной [36].
Таким образом, появление у оптимального управления в сингулярно возмущенной задаче пограничных точек переключения, отстоящих от конечного момента на величины порядка є, вызвано не столько оптимальностью, сколько допустимостью этого управления.
Из приведенных рассуждений также следует, что невозможно построить асимптотические приближения к оптимальному управлению в задаче (1.2.1), опираясь лишь на вырожденную задачу. Решение задачи (1.2.2) таким приближением не является, поскольку не обеспечивает попадание быстрой переменной у в малую окрестность нуля. Вырожденная задача не несет в себе никакой информации о пограничных точках переключения, между тем, игнорирование этих точек приводит к отклонению быстрой переменной от нуля [36].
Задача быстродействия для системы с одной медленной переменной
Таким образом, из последнего равенства видно, что при управлении только медленной подсистемой, мы можем попасть в достаточно малую (заданную) окрестность начала координат - -окрестность {у = є,є2,...), при этом время перехода увеличивается незначительно.
Пример 1.7. Рассмотрим управляемый процесс из примера 1.3. Точки переключения оптимального управления нам известны (см. пример 1.3). Таким образом, в момент времени t2 получаем v\{i 2) = 0, 2( 2) = 0, zfo) = 0.67. Теперь выключаем управление і і(з) = 0, v2{h) = 0, Разность tz — 2 берем равной j— — и v = є. Таким образом z(h) = є стремится к нулю при є стремящемся к нулю, где з = 2.044. То есть время, за которое система приводится из начального положения (vi,V2,z) в начало координат, увеличилось.
Причем, с уменьшением є, мы оказываемся все ближе к началу координат по быстрым переменным. Для сравнения приведем значения zfo) в задаче оптимального быстродействия и в данном случае: в задаче быстродействия zfo) = —0.0003, а в задаче управления медленной подсистемой z(tz) = 0.000995. Во втором случае хорошо видно, что мы попадаем в є окрестность (є — 0.001) начала координат. На рис.1.7.1 изображены графики решений системы на [О, ], а на рис.1.7.2 - решение z(t) на отрезке [0, з] в задаче быстродействия (слева) и в задаче управления медленной подсистемой (правый рисунок). Считаем, что точки переключения t\,t2, ...,tm,tm+i, ...,tm+n-i нам известны из задачи оптимального быстродействия (1.2.27). Заменим управление на непрерывное управление вида (1.2.38) и посмотрим, куда попадем за время tm+n. Проводим те же рассуждения, что и для случая скалярного управления, тогда система (1.2.30) запишется в виде Величины (z +J-)e Wn и e- tm+"- при fc = 1,..., m-1 в (1.2.41) стремятся к нулю при є стремящемся к нулю. Поэтому (1.2.41) можно переписать в виде Первые три слагаемых в выражении для медленных переменных и первые два слагаемых для быстрых переменных обращаются в нуль, так как t\,t2, ...,tm+n-i - точки переключения для задачи оптимального быстродействия; следовательно Таким образом, из (1.2.42), (1.2.43) видно, что за время tm+n система (1.2.27) с управлением (1.2.38) приводится из начального положения (v, z) в є окрестность начала координат.
Пример 1.8. Рассмотрим модель управления из примера 1.4, где управление u(t) имеет вид є = -1 ,t2 + » t t3. Точки переключения и время перехода системы из начального положения в начало координат задачи быстродействия известны: t\ = 0.0989, 2 = 0,1031, із = 0.1038. В какую точку приходят решения системы, если управление будет непрерывное? Вычисляя значения переменных в момент времени ts, получаем: vfo) = 0.3 10 7, z\(t$) = 0.6 Ю-6, Z2{h) = 0,2 10 5. Таким образом, видно, что за время tz система приводится в є-окрестность начала координат. Решения системы представлены на рис. 1.8.1. и 1.8.2. Точки переключения и время перехода системы из начального положения в начало координат задачи быстродействия известны: t\ = 1.095, 2 = 1.380, із = 1.383, 4 — 1-384. Вычисляя значения переменных в момент времени t\, получаем: vifa) = —0.25 Ю-8, vi(ti) = 0.5-Ю-8, zi(U) = -0.3-Ю-3, z2(U) = 0,5-Ю-3. Таким образом, видно, что за время 4 система приводится в є-окрестность начала координат. Решения системы представлены на рис. 1.9.1. - 1.9.3. Заменим управление на непрерывное (1.2.38) и попытаемся привести систему (1.2.27) в начало координат. Насколько изменится время быстродействия по сравнению со случаем, когда управление скалярное? Система (1.2.30) с учетом того, что управление непрерывное, выглядит следующим образом (т. к. /х є, то пусть \i = є2): для медленных переменных Разложим эти выражения в ряд по степеням малого параметра, ограничиваясь в разложении слагаемыми порядка О (є2) включительно. В результате получим следующие системы для нахождения асимптотического разложения точек переключения Пример 1.10. Рассмотрим сингулярно возмущенную систему из примера 1.2., где управление имеет вид (1.2.38). Решим задачу оптимального быстродействия для этой системы и посмотрим намного ли изменилось время перехода системы из начального положения (1, —2,1, —8) в начало координат. В данном случае управление имеет следующий вид:
Задача оптимального быстродействия для системы свя занных маятников
Рассматривается задача оптимального быстродействия для п связанных маятников где Ci,Di,bi — коэффициенты отличные от нуля, Х{ — угол отклонения маятника от вертикали, и — скалярное управление, переводящее систему из начального положения в начало координат за минимальное время, и 1. В качестве механической модели системы (2.2.1) может служить система математических маятников, подвешенных к несущему телу G, перемещающемуся горизонтально с ускорением и (рис. 2.1). Другая модель системы представляет собой совокупность масс, присоединенных к несущему телу G. Вся система перемещается поступательно и горизонтально, и — ускорение тела G (рис. 2.2) [2], В результате получим следующую систему (ограничиваясь в разложении членами порядка є включительно) По теореме о количестве точек переключения имеем п — 1 точку „ — минимальное время, за которое система (2.2,2) приводится из начального положения (vf, zf) в начало координат: Опишем метод, позволяющий найти асимптотику точек переключения для нелинейной задачи оптимального быстродействия.
В идейном плане он мало чем отличается от алгоритма асимптотического решения линейной задачи. Оба алгоритма представляют собой реализацию одной и той же схемы. Вместе с тем их вычислительные процедуры имеют существенные различия, поскольку алгоритм, предложенный в первой главе диссертации, в полной мере использует линейность системы управления. Займемся рассмотрением медленной подсистемы. Решение для нее будем искать методом малого параметра, описанным в (1.1.2): Щ = Фю + ефа Н , і = 1,..., п. Для фа, фц справедлива система Запишем решение медленной подсистемы на каждом временном интервале: 1) и = — 1 и в момент времени tk (к - нечетное): Раскладываем данные равенства в ряд по степеням малого параметра и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях є (ограничимся членами порядка є). Все выкладки для быстрой подсистемы, которые проводились для линейной задачи оптимального быстродействия, верны и в данном случае: Равенства (2.2.3), (2.2.6)-(2.2.8) дают возможность найти точки переключения оптимального управления и минимальное время перехода системы из заданного начального положения в начало координат. Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 3. Пусть задан нелинейный управляемый процесс (2.2.2), тогда асимптотическое разложение для точек переключения оптимального управления и, \и\ 1, переводящего данную систему из начального положения (и0, z) в начало координат можно найти из (2.2.3), (2.2.6)-(2.2.8). Равенства, аналогичные (2.2.6)-(2.2.8), получаются и для последующих приближений в асимптотическом разложении точек переключения оптимального управления и. Рассмотрим полученные результаты на примерах.
