Содержание к диссертации
Введение
1 Инвариантные пространства и экспоненциальные дихотомии 27
1.1 Относительные резольвенты 27
1.2 Относительно спектральные проекторы 30
1.3 Относительный спектр и аналитические группы операторов 35
1.4 Относительно сг-ограниченные операторы 41
1.5 Фазовые пространства 45
1.6 Инвариантные пространства и экспоненциальные дихотомии 48
2 Инвариантные многообразия 53
2.1 Банаховы многообразия и векторные поля 53
2.2 Квазистационарные траектории 56
2.3 Теорема Адамара-Перрона 60
2.4 Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия 66
3 Приложения 71
3.1 Функциональные пространства и дифференциальные операторы 71
3.2 Уравнение Осколкова нелинейной фильтрации . 75
3.2.1 Постановка задачи
3.2.2 Инвариантные многообразия 78
3.3 Уравнение Осколкова 80
3.3.1 Постановка задачи 80
3.3.2 Инвариантные многообразия 83
3.4 Уравнение Бенжамина-Бона-Махони 84
3.4.1 Постановка задачи 84
3.4.2 Инвариантные многообразия 86
3.5 Уравнение Хоффа 87
3.5.1 Постановка задачи 87
3.5.2 Инвариантные многообразия 91
Список литературы 94
- Относительно спектральные проекторы
- Инвариантные пространства и экспоненциальные дихотомии
- Квазистационарные траектории
- Уравнение Осколкова нелинейной фильтрации
Введение к работе
Постановка задачи
Пусть it и #- банаховы пространства, операторы L,M Є Cl(ii; $) а оператор N Є Cfc(H;ff), А; Є NU{oo}. Рассмотрим полулинейное операторно-дифференциальное уравнение Lu = Mu + N(u). (0.1)
Пусть оператор L-1 Є (#;Н), тогда уравнение (0.1) можно редуцировать к одному из эквивалентных ему уравнений = Su + F{u)J=Tf + P{f), (0.2) где операторы S = L~lM, Т = ML'1, F = L~lN, Р = NL~l. Введем в рассмотрение банахово пространство ЯЗ. Уравнения (0.2) можно рассматривать как конкретные интерпретации уравнения v = Rv + G(v), (0.3) где операторы R Є С1(Ю), G Є Ск(Я), к Є N U {со}. Пусть спектр cr(R) оператора R таков, что a(R) = ar{R)\Jal(R),<тг(Д) С {А Є С : Re А > 0}, > (0-4) ai(R) С {А е С : Re А < 0}, ^ тогда при довольно широких предположениях (см. например, [13]) линепное уравнение v = Rv (0.5) имеет 23' устойчивое и Q37' неустойчивое инвариантные пространства (рис. 1). причем 53 = Ю1 фШг. Если же оператор G таков, что <3(0) = 0, G'0 = О, (0.С) где через G'{) обозначена производная Фреше оператора G в точке; нуль, то в окрестности точки нуль существуют устойчивое 01s и неустойчивое 07" многообразия уравнения (0.3) (рис. 2). касающиеся в точке нуль подпространств Ю1 и 23г соответственно (см. например, [G4]). Первые результаты в этом направлении были получены Ж. Адам аром и О. Перроном (см. [4]), и потому результаты такого вида по традиции называются теоремой Адамара-Перрона. N:
Рис. 1. Устойчивое и неустойчивое инвариантные пространства уравнения (0.5).
Рис. 2. Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия уравнения (0.3).
Нашей задачей является распространение теоремы Адамара-Перрона на уравнение (0.1) в случае необратимости оператора L, в частности, когда его ядро kerL = {0}. На важность этой задачи указывает широкий класс уравнений в частных производных неразрешенных относительно старшей производной по времени, которые появились в последнее время в приложениях. К ним относятся - уравнение Осколкова [41] нелинейной фильтрации (I - aA)gt = vl\g - \gf~lg, (0.7) моделирующее давление фильтрующейся вязкоупругой несжимаемой жидкости; - уравнение Осколкова [38] моделирующее плоскопараллельную динамику вязкоупругой несжимаемой жидкости; - уравнение Бенжамина-Бона-Махони [66] AZt — zxxt = pzxx — zzx, (0-9) моделирующее длинные волны в нелинейных дисперсных средах с диссипацией; - уравнение Хоффа [73] (\ + A)yt = ay + ру\ (0.10) моделирующее динамику выпучивания двутавровой балки. Все уравнения (0.7) - (0.9) в подходящих функциональных пространствах могут быть представлены уравнением (0.1).
Но прежде чем приступить к решению этой задачи, необходимо распространить результаты [23] линейного (т.е. оператор JV = О) уравнения (0.1) в случае, когда оба оператора L и М линейны и замкнуты. (В [23] рассмотрен случай, когда замкнут и линеен только оператор М, а оператор L линеен и непрерывен). Описание инвариантных устойчивого и неустойчивого пространств линейного (т.е. оператор N = О) уравнения (0.1) - первый шаг к изучению инвариантных устойчивого и неустойчивого многообразий полулинейного уравнения (0.1).
Терминология
Впервые уравнения в частных производных неразрешенные относительно старшей производной по времени начал изучать А. Пуанкаре в 1885 году. Затем такие уравнения появились в работах Дж. Буссинеска, С. Дж. Россби, СВ. Озена, Ф.К. Дж. Одквиста и многих других (см. прекрасный обзор в [70]). Однако систематическое изучение таких уравнений началось со знаменитой работы С.Л. Соболева [57], которая ознаменовала собой открытие нового научного направления, развиваемого первоначально учениками С.Л. Соболева - Р.А. Александряном [1], Т.И. Зеленяком [19], С.А. Гальперном [12] и многими другими. На важность создания общей теории уравнений вида (0.1) указывали И.Г. Петровский [43] и Ж.-Л. Лионе [33].
Одновременно с этим направлением в работах С.Г. Крейна [28] с учениками [29], [21] и независимо в работах М.И. Вишика [9] появились результаты о разрешимости задачи Коши для вырожденного (т.е. ker L = {0}) линейного (т.е. N = О) уравнения вида (0.1). Эти работы имели теоретический характер и потому не содержали приложений. Впервые абстрактные уравнения вида (0.1) в связи с их конкретными интерпретациями появились в работах Н.А. Сидорова с учениками [55], [56] и в работах Р.Е. Шоуолтера [84] - [86]. Начиная с работ Р.Е. Шоуолтера стало принято как абстрактные уравнения вида (0.1), так и их конкретные интерпретации (0.6) - (0.10) называть уравнениями Соболевского типа. Мы будем использовать этот термин, предпочитая его терминам "вырожденные дифференциальные уравнния" [71], "неклассические дифференциальные уравнения" [15], "псевдопараболические уравнения" [71], или "псевдогиперболические уравнения" [70], и "уравнения не типа Коши-Ковалевской" [32], [41], [33], [43].
Актуальность темы диссертации
Понятие инвариантного многообразия ввел А. Пуанкаре в 1899 году, изучая отображения, порождаемые решениями обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти исследования были продолжены в работах Ж. Адамара, Д. Льюиса, О. Перрона выпол- ненными в конце позапрошлого и в начале прошлого веков. Некоторые вопросы относящиеся к этой тематике, были рассмотрены A.M. Ляпуновым [33], хотя само понятие инвариантного многообразия им не вводилось. Его исследования легли в основу работ Н.Н. Красовского, В.М. Матросова, В.И. Зубова и других. Так в монографии [27] при исследовании поведения решений нелинейных динамических систем применяется метод функций Ляпунова, позволяющий установить асимптотическую устойчивость в большом нулевого положения равновесия и получить оценки его области асимптотической устойчивости - области притяжения. Работа [20] содержит методы для решения проблемы устойчивости многообразий, проблемы управления вращательным движением и задачи динамики встречи. Эти методы основаны на использовании динамических и кинематических характеристик управляемых механических систем. В монографии [36] рассматриваются вопросы притяжения для автономных механических систем. Исследования основаны на принципе инвариантности с использованием функций Ляпунова. Дальнейшее развитие теория инвариантных многообразий (существование, гладкость, устойчивость и т.д.) систем дифференциальных уравнений в окрестности стационарной точки получила в работах Д.В. Аносова [3], А. Келли [75], С. Стенберга [88], В.А. Плисса [42] и других. С большей степенью полноты эти вопросы были рассмотрены в монографиях Е. Коддинктона и Н.
Левинсона [78], Ф. Хартмана [63] и Дж. К. Хейла [72], в которых уравнение (0.3) рассматривалось в конечномерном пространстве при условиях (0.4) и (0.6). Эти монографии легли в основу фундаментального труда Д. Хенри [64], в котором сделан тщательный перенос конечномерной теории инвариантных многообразий на банаховы пространства. Монография Д. Хенри является одной из отправных точек данной диссертации.
Другая отправная точка лежит в области уравнений Соболевского типа. О прогрессе в этой области можно судить по колли-честву монографий, опубликованных в последний годы. Так в монографии В.Н. Врагова [10] рассматриваются начально-краевые задачи для линейных (т.е. N — О) уравнений вида (0.1) и выделяется класс неклассических уравнений математической физики. В работах А.И. Кожанова [25], [26] изучаются уравнения составного типа, которые имеют вид (0.1).
В монографии А. Фавини и А. Яги [71] основным объектом исследования является задача с начальными условиями
4-Mv = Lv + f(t), 0
В монографии И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова и СВ. Попова [15] описан математический аппарат, который использован при постановке и исследовании краевых задач для неклассических дифференциально-операторных уравнений и приведен ряд результатов о разрешимости краевых задач для таких уравнений. Здесь изучались уравнения, в которых оператор при старшей производной не знакоопределен, т.е. его спектр, в случае вещественности, содержит неограниченные подмножества положительной и отрицательной полуосей одновременно, или оператор необратим. Рассматривались уравнения вида
Вщ + Lu = f, где L, В - самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве Е (оператор В может быть необратимым, например, он может иметь ненулевое ядро). В этой монографии исследуются спектральные задачи для линейных пучков вида Lu = ХВи, где L, В - самосопряженные операторы. Были рассмотрены вопросы базисности собственных и присоединенных элементов этой задачи в пространстве с нормой ||ii|jo = ЩВ^иЦ, где || || - норма в исходном гильбертовом пространстве Е. Здесь же рассмотрены аналогичные вопросы для эллиптических спектральных задач с незна-коопределенной весовой функцией, приведены также результаты по интерполяции весовых пространств Соболева. Все результаты получены на основе теории интерполяции. Задача B(t)xW(t)=A(t,x) + f(t), х(0) = х{, і = 0,1,...,JV- 1, где операторы B(t): A(t, х) определены в некоторой окрестности Q — {t,x\ \t\ < р, ||ж|| < R} и действуют из Е\ в Е2, Е\,Е2 -банаховы пространства, В(0) - фредгольмов оператор, f(t) Є Е2, была рассмотрена в монографии Н.А. Сидорова, В.И. Логинова, А.А. Синицина, М.В. Фалалеева [80]. В ней были получены результаты, связанные с построением непрерывных и обобщенных решений таких задач на основе метода Некрасова-Назарова неопределенных коэффициентов и топологических методов.
Монография Г.В. Демиденко, СВ. Успенского [70] посвящена изучению линейных уравнений Соболевского типа вида
1-і AqD\u + J2 Ai-kD^u = /, к=0 14 где Aq,Ai,...,Ai - линейные дифференциальные операторы относительно х = (xi,..., хп), причем Ао не удовлетворяет условию невырожденности. Используя метод, основанный на построении последовательностей приближенных решений и получении оценок в соответствующих нормах, изучаются краевые задачи для такого вида уравнений.
Изложению основных фактов теории монотонных операторов и ее применению к исследованию нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными посвящена монография X. Гаевского, К. Грегера и К. Захариаса [11]. В ней дается функционально-аналитическая формулировка различных краевых задач для эллиптических и параболических дифференциальных уравнений, а именно они формулируются в виде операторных уравнений
Аи = /, и Є V, f Є V\ с оператором А, действующим из рефлексивного банахова пространства V в сопряженное пространство V*. Здесь подробно описывается связь между эллиптическими и параболическими краевыми задачами и операторными уравнениями в рефлексивных банаховых пространствах. Рассматриваются уравнения Соболевского типа, названные здесь псевдоиараболическими уравнениями. В монографии речь идет о теоремах существования, обосновываются различные методы, например метод Галеркина.
Предметом изучения в монографии Ю.Е. Бояринцева и В.Ф.
Чистякова [6] являются алгебро-дифференциальные системы (АДС) т.е. системы вида ^Ш. = B(t)x{t) + т о < t < Т, с прямоугольной или вырожденной при всех t Є [О, Т] матрицей A(t). Авторы вводят классификацию АДС, выясняют структуру решения АДС определенного вида, изучают локальные свойства АДС с конечномерным пространством решений и доказывают утверждение о достаточном условии бесконечномерности. В монографии дается определение особой точки АДС, обобщающее определение особой точки, известное из стандартных курсов дифференциальных уравнений, вводится их классификация, получены критерии наличия или отсутствия на отрезке [О, Т] особых точек. Здесь получен результат о том, что размерность пространства решений суперпозиции двух операторов АДС равна сумме размерностей пространств исходных операторов. В своей моногорафии Ю.Е. Бояринцев и В.Ф. Чистяков изучают возможность применения метода наименьших квадратов и модифицированного метода Ньютона для решения АДС.
Данная диссертация выполнена в рамках направления, развиваемого Г.А. Свиридюком и его учениками. Основы этого направления заложены в докторской диссертации [45], которая легла в основу многих исследований как линейных, так и нелинейных. К линейным относится диссертация Т.А. Бокаревой [5], в которой развита теория (L, ^-ограниченных и L-секториальных операторов. В диссертации Л.Л. Дудко [14] сделано обобщение на случай (L, р)-секториального оператора и рассмотрены L-радиаль-ные операторы. В.Е. Федоров [62] обобщил приведенные раненеє исследования, введя понятие (,_р)-радиального оператора, и доказал аналог теоремы Хилле-Иосиды-Филлипса-Феллера-Мия-деры для уравнений Соболевского типа. В диссертации А.А. Ефремова [16] на решениях задачи Коши для уравнений Соболевского типа с относитено р-ограниченными и р-секториальными операторами исследуются задачи оптимального управления. Г.А. Кузнецов [30] продолжил нахождение достаточных условий (.^^-ограниченности и (L, р)-секториальности оператора М. Инвариантные многообразия и экспоненциальные дихотомии линейного уравнения соболевского типа, в случае L-секториалыюсти оператора М, были изучены в диссертации А.В. Келлер [23]. Исследованию задачи Веригина посвящена работа С.А. Загребиной [17]. В своей диссертации СВ. Брычев [7] построил численный алгоритм решения задачи Коши для линейного операторного уравнения соболевского типа, который был применен к расчету экономики коммунального хозяйства г. Еманжелинска. В диссертации А.А. Замышляевой [18] получены достаточные условия однозначной разрешимости задачи Коши для уравнений соболевского типа высокого порядка. В диссертации О.А. Рузаковой [44] исследуется управляемость ли- ценного уравнения Соболевского типа, то есть возможность приведения траекторий его решения в наперед заданную точку или в є-окрестность заданной точки в случае, когда существует сильно непрерывная полугруппа этого уравнения.
Исторически первой диссертацией, защищенной под руководством Г.А. Свиридюка, была диссертация Т.Г. Сукачевой [58], в которой линейный метод СВ. Зубовой и К.И. Чернышева [21] был обобщен на полулинейную ситуацию исчерпывающим образом. В дальнейшем Т.Г. Сукачева сосредоточилась на исследовании задачи Коши для неавтономных полулинейных уравнений Соболевского типа [51], [53], [59], [60]. Следующим нелинейным исследованием стала диссертация М.М. Якупова [65], в которой установлена простота фазового пространства уравнения Осколкова (0.8) и различных его модификации. Выявлению достаточных условий существования простых фазовых пространств полулинейных уравнений Соболевского типа посвящена диссертация В.О. Казака [23].
Из всего списка работ необходимо выделить диссертацию А.В. Келлер [23] в той ее части, где рассматриваются инвариантные пространства и дихотомии решений линейного (т.е. оператор N = О) уравнения (0.1) (см. также [49]); диссертацию М.М. Якупова [65] в той ее части, где рассматривается фазовое пространство уравнения Осколкова (см. также [54]); и диссертацию В.О. Казака [23], в той ее части, где рассматриваются фазовые пространства уравнений Хоффа и Осколкова нелинейной фильтрации. Работы [49], [54] вместе с работами [47] - [50] составляют базу данной диссертации в области уравнений Соболевского типа. На основании сказанного следует сказать, что тема диссертации является актуальной как с точки зрения теории инвариантных многообразий, так и точки зрения уравнений Соболевского типа.
Методы исследования
Основным методом исследования для нас является теорема Ада-мара-Перрона в приложении к уравнениям вида (0.1). Для ее получения мы редуцируем сингулярное (т.е. кет L — {0}) уравнение (0.1) к регулярному и =Su + F(u), (0.12) определенному однако не на всем пространстве 11, а на некотором его подмножестве, понимаемом как фазовое пространство уравнения (0.1). При редукции используется метод фазового пространства, основы которого заложили Г.А. Свиридюк и Т.Г. Сукачева [53], [52], и который базируется на теории относительно р-ограни-ченных операторов и порождаемых ими вырожденных групп операторов. Считая фазовое пространство уравнения (0.1) гладким банаховым многообразием, мы распространяем теорему Адамара-Перрона на уравнение (0.12), определенное на таком многообразии. При доказательстве теоремы используются методы нелинейного функционального анализа, такие как, теорема о сжимающих операторах.
При редукции абстрактных результатов к конкретным уравнениям (0.10) - (0.9) мы используем стандартную технику, возникшую на стыке функционального анализа и теории уравнений в частных производных, основы которой заложены С.Л. Соболевым, К.О. Фридрихсом и Ж. Лере. Заметим еще, функциональные пространства подбираются таким образом, чтобы можно было удовлетворить достаточным требованиям теоремы Адамара-Перрона для уравнения (0.12).
Теоретическая и практическая значимость
Теоретическая значимость диссертации заключается в доказательстве теоремы Адамара-Перрона для полулинейного уравнения Соболевского типа вида (0.1) с необратимым оператором L, определенного в банаховых пространствах. Теорема содержит достаточные условия существования устойчивого и неустойчивого инвариантных могообразий уравнения (0.1) в окрестности точки нуль
Практическая значимость диссертации заключается в адекватности полученных абстрактных результатов широкому диапазону прикладных задач. В частности, на качественном уровне объяснена неустойчивость нулевого решения уравнений Хоффа, Бенжа-мина-Бона-Махони и Осколкова. Данная неустойчивость обязательно проявится при численных расчетах.
Результаты выдвигаемы на защиту
На защиту выдвигаются следующие результаты: докательство теоремы Адамара-Перрона для полулинейного уравнения Соболевского типа с необратимым оператором при производной по времени, определенного в банаховых пространствах; приложения теоремы Адамара-Перрона с целью описания устойчивого и/или неустойчивого инвариантных многообразий в окрестности нулевого решения к - уравнению Осколкова плоскопараллелыюй динамики вязкоупругой несжимающей жидкости; уравнению Осколкова нелинейной фильтрации; уравнению Бенжамина-Бона-Махони, моделирующему длинные волны в нелинейных дисперсных средах; уравнению Хоффа, моделирующему динамику выпучивания двутавровой балки.
Новизна полученных результатов
Все результаты, выдвигаемые на защиту, являются новыми. Они снабжены полными доказательствами, удовлетворяющими современному уровню математической строгости. Впервые доказана теорема Адамара-Перрона для уравнения Соболевского типа вида (0.1), и впервые описаны устойчивые и/или неустойчивые инвариантные многообразия для уравнений Бенжамина-Бона-Махони, Хоффа и Осколкова.
Апробация полученных результатов
Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2003), Международной конференции "Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики" (Тамбов, 2003), Тринадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2003), Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004), семинаре профессора А.И. Прилепко кафедры математического анализа в Московском государственном уни-версите (Москва, 2005), на международной конференции посвященной 105-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева "Лаврентьевские чтения но математике, механике и физике" (Новосибирск, 2005), наХЫП внутривузовской научной конференции преподавателей МаГУ "Современные проблемы науки и образования" (Магнитогорск, 2005), на IV Всероссийской конференции "Математика, информатика, управление" (Иркутск, 2005); на кафедре математического анализа Магнитогорского государственного университета и семинаре профессора Г.А. Свиридюка в Челябинском государственном университете.
Краткое содержание диссертации
Диссертация, кроме Введения и Списка литературы, содержит три главы. Список литературы не претендует на полноту, в нем содержатся 89 наименований отечественных и зарубежных авторов, отражающих положение дел в узкой области на стыке теории уравнений Соболевского типа и теории инвариантных многообразий.
В первой главе приводятся сведения об инвариантных пространствах и экспоненциальных дихотомиях линейных уравнений Соболевского типа. В ней обобщаются некоторые результаты [23], на случай, когда оба оператора L и М являются замкнутыми. В первом параграфе приводятся определения L-резольвеитного множества и L-спектра оператора М, их свойства и определение понятий, связанных с указанными множествами. Во втором формулируются условия, при которых существуют относительно спектральные проекторы, а также рассматриваются относительно присоединенные векторы. В третьем параграфе доказывается обобщение теоремы об относительном спектре и строятся аналитические группы операторов в случае, когда относительный спектр представим в виде двух непересекающихся частей. В четвертом параграфе обобщаются результаты для (L, сг)-ограниченных операторов. В пятом рассматриваются фазовые пространства в случае, когда Х-спектр оператора М ограничен. Шестой параграф является естественным продолжением третьего. Здесь рассматриваются инвариантные пространства и дихотомии однородных уравнений Соболевского типа.
Вторая глава содержит один из основных результатов - доказательство теоремы Адамара-Перрона для полулинейных уравнений Соболевского типа вида (0.1) с необратимым оператором при производной по времени, определяемых в банаховых пространствах. Первый параграф носит пропедевтический характер. В нем собраны факты теории гладких многообразий, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации. Доказательства этих фактов можно найти в фундаментальной монографии С. Ленга [31]. Во втором параграфе определяются квазистационарные траектории уравнения (0.1) и описываются множества, в которых лежат эти траектории. Эти понятия были впервые введены Г.А. Свиридюком [46], а затем развиты в совместных работах с его учениками [47], [48], [50], [54]. Оказывается, что во всех рассматриваемых здесь моделях решения являются в точности квазистационарными траекториями, а множества, на которых они лежат, оказываются фазовыми пространствами. В третьем параграфе содержится доказательство теоремы Адамара-Перрона для уравнения (0.4), взятое из [64] и адаптированное к нашей ситуации. Четвертый параграф содержит обобщение теоремы Адамара-Перрона на случай уравнения (0.1).
Третья глава посвящена приложениям полученных абстрактных результатов к конкретным уравнениям математической физики. В первом параграфе представлены основные результаты по теории функциональных пространств и дифференциальных операторов. В основном все результаты взяты из монографии X. Три-беля [61]. Во втором параграфе проводится редукция уравнения (0.7) к уравнению (0.1) и доказывается сущетвование бесконечномерного неустойчивого и конечномерного устойчивого многообразий уравнения Осколкова нелинейной фильтрации. Исследованию инвариантных многообразий уравнения Осколкова плос-копараллелыюй динамики вязкоупругой несжимаемой жидкости посвящен третий параграф. В четвертом параграфе изучаются устойчивое и неустойчивое многообразия уравнения Бенжамина-Бона-Махони. В пятом параграфе рассмотрено приложение теоремы Адамара-Перрона к уравнению Хоффа для описания инвариантных неустойчивого инвариантного многообразия в окрестности нулевого решения.
Благодарности
Автор диссертации выражает искреннюю благодарность научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Георгию Анатольевичу Свиридюку за постановку задачи, конструктивные замечания в процессе работы над диссертацией, заинтересованное обсуждение научных результатов. Особая признательность автора своим родителям Геннадию Павловичу и Любови Степановне за терпение и понимание. Глубокая благодарность ректорату, кафедре математического анализа, кафедре прикладной математики и вычислительной техники Магнитогорского государственного университета за поддержку и доброе отношение к диссертанту; кафедре математического анализа Челябинского государственного университета за плодотворные дискуссии.
Относительно спектральные проекторы
Но прежде чем приступить к решению этой задачи, необходимо распространить результаты [23] линейного (т.е. оператор JV = О) уравнения (0.1) в случае, когда оба оператора L и М линейны и замкнуты. (В [23] рассмотрен случай, когда замкнут и линеен только оператор М, а оператор L линеен и непрерывен). Описание инвариантных устойчивого и неустойчивого пространств линейного (т.е. оператор N = О) уравнения (0.1) - первый шаг к изучению инвариантных устойчивого и неустойчивого многообразий полулинейного уравнения (0.1).
Впервые уравнения в частных производных неразрешенные относительно старшей производной по времени начал изучать А. Пуанкаре в 1885 году. Затем такие уравнения появились в работах Дж. Буссинеска, С. Дж. Россби, СВ. Озена, Ф.К. Дж. Одквиста и многих других (см. прекрасный обзор в [70]). Однако систематическое изучение таких уравнений началось со знаменитой работы С.Л. Соболева [57], которая ознаменовала собой открытие нового научного направления, развиваемого первоначально учениками С.Л. Соболева - Р.А. Александряном [1], Т.И. Зеленяком [19], С.А. Гальперном [12] и многими другими. На важность создания общей теории уравнений вида (0.1) указывали И.Г. Петровский [43] и Ж.-Л. Лионе [33].
Одновременно с этим направлением в работах С.Г. Крейна [28] с учениками [29], [21] и независимо в работах М.И. Вишика [9] появились результаты о разрешимости задачи Коши для вырожденного (т.е. ker L = {0}) линейного (т.е. N = О) уравнения вида (0.1). Эти работы имели теоретический характер и потому не содержали приложений. Впервые абстрактные уравнения вида (0.1) в связи с их конкретными интерпретациями появились в работах Н.А. Сидорова с учениками [55], [56] и в работах Р.Е. Шоуолтера [84] - [86]. Начиная с работ Р.Е. Шоуолтера стало принято как абстрактные уравнения вида (0.1), так и их конкретные интерпретации (0.6) - (0.10) называть уравнениями Соболевского типа. Мы будем использовать этот термин, предпочитая его терминам "вырожденные дифференциальные уравнния" [71], "неклассические дифференциальные уравнения" [15], "псевдопараболические уравнения" [71], или "псевдогиперболические уравнения" [70], и "уравнения не типа Коши-Ковалевской" [32], [41], [33], [43].
Понятие инвариантного многообразия ввел А. Пуанкаре в 1899 году, изучая отображения, порождаемые решениями обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти исследования были продолжены в работах Ж. Адамара, Д. Льюиса, О. Перрона выпол ненными в конце позапрошлого и в начале прошлого веков. Некоторые вопросы относящиеся к этой тематике, были рассмотрены A.M. Ляпуновым [33], хотя само понятие инвариантного многообразия им не вводилось. Его исследования легли в основу работ Н.Н. Красовского, В.М. Матросова, В.И. Зубова и других. Так в монографии [27] при исследовании поведения решений нелинейных динамических систем применяется метод функций Ляпунова, позволяющий установить асимптотическую устойчивость в большом нулевого положения равновесия и получить оценки его области асимптотической устойчивости - области притяжения. Работа [20] содержит методы для решения проблемы устойчивости многообразий, проблемы управления вращательным движением и задачи динамики встречи. Эти методы основаны на использовании динамических и кинематических характеристик управляемых механических систем. В монографии [36] рассматриваются вопросы притяжения для автономных механических систем. Исследования основаны на принципе инвариантности с использованием функций Ляпунова. Дальнейшее развитие теория инвариантных многообразий (существование, гладкость, устойчивость и т.д.) систем дифференциальных уравнений в окрестности стационарной точки получила в работах Д.В. Аносова [3], А. Келли [75], С. Стенберга [88], В.А. Плисса [42] и других. С большей степенью полноты эти вопросы были рассмотрены в монографиях Е. Коддинктона и Н. Левинсона [78], Ф. Хартмана [63] и Дж. К. Хейла [72], в которых уравнение (0.3) рассматривалось в конечномерном пространстве при условиях (0.4) и (0.6). Эти монографии легли в основу фундаментального труда Д. Хенри [64], в котором сделан тщательный перенос конечномерной теории инвариантных многообразий на банаховы пространства. Монография Д. Хенри является одной из отправных точек данной диссертации.
Инвариантные пространства и экспоненциальные дихотомии
Другая отправная точка лежит в области уравнений Соболевского типа. О прогрессе в этой области можно судить по колли-честву монографий, опубликованных в последний годы. Так в монографии В.Н. Врагова [10] рассматриваются начально-краевые задачи для линейных (т.е. N — О) уравнений вида (0.1) и выделяется класс неклассических уравнений математической физики. В работах А.И. Кожанова [25], [26] изучаются уравнения составного типа, которые имеют вид (0.1).
В монографии А. Фавини и А. Яги [71] основным объектом исследования является задача с начальными условиями 4-Mv = Lv + f(t), 0 t T, Mv(0) = v0 (0.11) at в банаховом пространстве X, где М и L замкнутые линейные операторы в X, /() - непрерывная на [О, Т] функция со значениями в X, a VQ - заданный элемент из X. В общем случае оператор М-1 не является непрерывным, поэтому авторы используют два основных метода исследования уравнения вида (0.11) - метод полугрупп и операционный метод. Этод подход заключается в редукции исходной задачи к многозначному дифференциальному уравнению Є А«+ /( ), 0 t T, и(0) = щ, где A = LM l, a u(t) = Mv(t). В работе А. Фавини и А. Яги абстрактная теория проиллюстрирована различными примерами и приложениями к уравнениям с частными производными. В монографии И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова и СВ. Попова [15] описан математический аппарат, который использован при постановке и исследовании краевых задач для неклассических дифференциально-операторных уравнений и приведен ряд результатов о разрешимости краевых задач для таких уравнений. Здесь изучались уравнения, в которых оператор при старшей производной не знакоопределен, т.е. его спектр, в случае вещественности, содержит неограниченные подмножества положительной и отрицательной полуосей одновременно, или оператор необратим. Рассматривались уравнения вида Вщ + Lu = f, где L, В - самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве Е (оператор В может быть необратимым, например, он может иметь ненулевое ядро). В этой монографии исследуются спектральные задачи для линейных пучков вида Lu = ХВи, где L, В - самосопряженные операторы. Были рассмотрены вопросы базисности собственных и присоединенных элементов этой задачи в пространстве с нормой iijo = ЩВ иЦ, где - норма в исходном гильбертовом пространстве Е. Здесь же рассмотрены аналогичные вопросы для эллиптических спектральных задач с незна-коопределенной весовой функцией, приведены также результаты по интерполяции весовых пространств Соболева. Все результаты получены на основе теории интерполяции.
Изложению основных фактов теории монотонных операторов и ее применению к исследованию нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными посвящена монография X. Гаевского, К. Грегера и К. Захариаса [11]. В ней дается функционально-аналитическая формулировка различных краевых задач для эллиптических и параболических дифференциальных уравнений, а именно они формулируются в виде операторных уравнений Аи = /, и Є V, f Є V\ с оператором А, действующим из рефлексивного банахова пространства V в сопряженное пространство V . Здесь подробно описывается связь между эллиптическими и параболическими краевыми задачами и операторными уравнениями в рефлексивных банаховых пространствах. Рассматриваются уравнения Соболевского типа, названные здесь псевдоиараболическими уравнениями. В монографии речь идет о теоремах существования, обосновываются различные методы, например метод Галеркина.
Данная диссертация выполнена в рамках направления, развиваемого Г.А. Свиридюком и его учениками. Основы этого направления заложены в докторской диссертации [45], которая легла в основу многих исследований как линейных, так и нелинейных. К линейным относится диссертация Т.А. Бокаревой [5], в которой развита теория (L, -ограниченных и L-секториальных операторов. В диссертации Л.Л. Дудко [14] сделано обобщение на случай (L, р)-секториального оператора и рассмотрены L-радиаль-ные операторы. В.Е. Федоров [62] обобщил приведенные раненеє исследования, введя понятие (,_р)-радиального оператора, и доказал аналог теоремы Хилле-Иосиды-Филлипса-Феллера-Мия-деры для уравнений Соболевского типа.
Квазистационарные траектории
В диссертации А.А. Ефремова [16] на решениях задачи Коши для уравнений Соболевского типа с относитено р-ограниченными и р-секториальными операторами исследуются задачи оптимального управления. Г.А. Кузнецов [30] продолжил нахождение достаточных условий (. -ограниченности и (L, р)-секториальности оператора М. Инвариантные многообразия и экспоненциальные дихотомии линейного уравнения соболевского типа, в случае L-секториалыюсти оператора М, были изучены в диссертации А.В. Келлер [23]. Исследованию задачи Веригина посвящена работа С.А. Загребиной [17]. В своей диссертации СВ. Брычев [7] построил численный алгоритм решения задачи Коши для линейного операторного уравнения соболевского типа, который был применен к расчету экономики коммунального хозяйства г. Еманжелинска. В диссертации А.А. Замышляевой [18] получены достаточные условия однозначной разрешимости задачи Коши для уравнений соболевского типа высокого порядка. В диссертации О.А. Рузаковой [44] исследуется управляемость ли ценного уравнения Соболевского типа, то есть возможность приведения траекторий его решения в наперед заданную точку или в є-окрестность заданной точки в случае, когда существует сильно непрерывная полугруппа этого уравнения.
Исторически первой диссертацией, защищенной под руководством Г.А. Свиридюка, была диссертация Т.Г. Сукачевой [58], в которой линейный метод СВ. Зубовой и К.И. Чернышева [21] был обобщен на полулинейную ситуацию исчерпывающим образом. В дальнейшем Т.Г. Сукачева сосредоточилась на исследовании задачи Коши для неавтономных полулинейных уравнений Соболевского типа [51], [53], [59], [60]. Следующим нелинейным исследованием стала диссертация М.М. Якупова [65], в которой установлена простота фазового пространства уравнения Осколкова (0.8) и различных его модификации. Выявлению достаточных условий существования простых фазовых пространств полулинейных уравнений Соболевского типа посвящена диссертация В.О. Казака [23].
Из всего списка работ необходимо выделить диссертацию А.В. Келлер [23] в той ее части, где рассматриваются инвариантные пространства и дихотомии решений линейного (т.е. оператор N = О) уравнения (0.1) (см. также [49]); диссертацию М.М. Якупова [65] в той ее части, где рассматривается фазовое пространство уравнения Осколкова (см. также [54]); и диссертацию В.О. Казака [23], в той ее части, где рассматриваются фазовые пространства уравнений Хоффа и Осколкова нелинейной фильтрации. Работы [49], [54] вместе с работами [47] - [50] составляют базу данной диссертации в области уравнений Соболевского типа. На основании сказанного следует сказать, что тема диссертации является актуальной как с точки зрения теории инвариантных многообразий, так и точки зрения уравнений Соболевского типа. Методы исследования Основным методом исследования для нас является теорема Ада-мара-Перрона в приложении к уравнениям вида (0.1). Для ее получения мы редуцируем сингулярное (т.е. кет L — {0}) уравнение (0.1) к регулярному и =Su + F(u), (0.12) определенному однако не на всем пространстве 11, а на некотором его подмножестве, понимаемом как фазовое пространство уравнения (0.1). При редукции используется метод фазового пространства, основы которого заложили Г.А. Свиридюк и Т.Г. Сукачева [53], [52], и который базируется на теории относительно р-ограни-ченных операторов и порождаемых ими вырожденных групп операторов. Считая фазовое пространство уравнения (0.1) гладким банаховым многообразием, мы распространяем теорему Адамара-Перрона на уравнение (0.12), определенное на таком многообразии. При доказательстве теоремы используются методы нелинейного функционального анализа, такие как, теорема о сжимающих операторах.
При редукции абстрактных результатов к конкретным уравнениям (0.10) - (0.9) мы используем стандартную технику, возникшую на стыке функционального анализа и теории уравнений в частных производных, основы которой заложены С.Л. Соболевым, К.О. Фридрихсом и Ж. Лере. Заметим еще, функциональные пространства подбираются таким образом, чтобы можно было удовлетворить достаточным требованиям теоремы Адамара-Перрона для уравнения (0.12).
Уравнение Осколкова нелинейной фильтрации
Теоретическая значимость диссертации заключается в доказательстве теоремы Адамара-Перрона для полулинейного уравнения Соболевского типа вида (0.1) с необратимым оператором L, определенного в банаховых пространствах. Теорема содержит достаточные условия существования устойчивого и неустойчивого инвариантных могообразий уравнения (0.1) в окрестности точки нуль Практическая значимость диссертации заключается в адекватности полученных абстрактных результатов широкому диапазону прикладных задач. В частности, на качественном уровне объяснена неустойчивость нулевого решения уравнений Хоффа, Бенжа-мина-Бона-Махони и Осколкова. Данная неустойчивость обязательно проявится при численных расчетах. Результаты выдвигаемы на защиту На защиту выдвигаются следующие результаты: - докательство теоремы Адамара-Перрона для полулинейного уравнения Соболевского типа с необратимым оператором при производной по времени, определенного в банаховых пространствах; - приложения теоремы Адамара-Перрона с целью описания устойчивого и/или неустойчивого инвариантных многообразий в окрестности нулевого решения к - уравнению Осколкова плоскопараллелыюй динамики вязкоупругой несжимающей жидкости; - уравнению Осколкова нелинейной фильтрации; - уравнению Бенжамина-Бона-Махони, моделирующему длинные волны в нелинейных дисперсных средах; - уравнению Хоффа, моделирующему динамику выпучивания двутавровой балки. Новизна полученных результатов
Все результаты, выдвигаемые на защиту, являются новыми. Они снабжены полными доказательствами, удовлетворяющими современному уровню математической строгости. Впервые доказана теорема Адамара-Перрона для уравнения Соболевского типа вида (0.1), и впервые описаны устойчивые и/или неустойчивые инвариантные многообразия для уравнений Бенжамина-Бона-Махони, Хоффа и Осколкова. Апробация полученных результатов
Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2003), Международной конференции "Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики" (Тамбов, 2003), Тринадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2003), Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004), семинаре профессора А.И. Прилепко кафедры математического анализа в Московском государственном уни-версите (Москва, 2005), на международной конференции посвященной 105-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева "Лаврентьевские чтения но математике, механике и физике" (Новосибирск, 2005), наХЫП внутривузовской научной конференции преподавателей МаГУ "Современные проблемы науки и образования" (Магнитогорск, 2005), на IV Всероссийской конференции "Математика, информатика, управление" (Иркутск, 2005); на кафедре математического анализа Магнитогорского государственного университета и семинаре профессора Г.А. Свиридюка в Челябинском государственном университете. Краткое содержание диссертации
Диссертация, кроме Введения и Списка литературы, содержит три главы. Список литературы не претендует на полноту, в нем содержатся 89 наименований отечественных и зарубежных авторов, отражающих положение дел в узкой области на стыке теории уравнений Соболевского типа и теории инвариантных многообразий.
В первой главе приводятся сведения об инвариантных пространствах и экспоненциальных дихотомиях линейных уравнений Соболевского типа. В ней обобщаются некоторые результаты [23], на случай, когда оба оператора L и М являются замкнутыми. В первом параграфе приводятся определения L-резольвеитного множества и L-спектра оператора М, их свойства и определение понятий, связанных с указанными множествами. Во втором формулируются условия, при которых существуют относительно спектральные проекторы, а также рассматриваются относительно присоединенные векторы. В третьем параграфе доказывается обобщение теоремы об относительном спектре и строятся аналитические группы операторов в случае, когда относительный спектр представим в виде двух непересекающихся частей. В четвертом параграфе обобщаются результаты для (L, сг)-ограниченных операторов. В пятом рассматриваются фазовые пространства в случае, когда Х-спектр оператора М ограничен. Шестой параграф является естественным продолжением третьего. Здесь рассматриваются инвариантные пространства и дихотомии однородных уравнений Соболевского типа.
Вторая глава содержит один из основных результатов - доказательство теоремы Адамара-Перрона для полулинейных уравнений Соболевского типа вида (0.1) с необратимым оператором при производной по времени, определяемых в банаховых пространствах. Первый параграф носит пропедевтический характер. В нем собраны факты теории гладких многообразий, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации. Доказательства этих фактов можно найти в фундаментальной монографии С. Ленга [31]. Во втором параграфе определяются квазистационарные траектории уравнения (0.1) и описываются множества, в которых лежат эти траектории. Эти понятия были впервые введены Г.А. Свиридюком [46], а затем развиты в совместных работах с его учениками [47], [48], [50], [54]. Оказывается, что во всех рассматриваемых здесь моделях решения являются в точности квазистационарными траекториями, а множества, на которых они лежат, оказываются фазовыми пространствами. В третьем параграфе содержится доказательство теоремы Адамара-Перрона для уравнения (0.4), взятое из [64] и адаптированное к нашей ситуации. Четвертый параграф содержит обобщение теоремы Адамара-Перрона на случай уравнения (0.1). Третья глава посвящена приложениям полученных абстрактных результатов к конкретным уравнениям математической физики. В первом параграфе представлены основные результаты по теории функциональных пространств и дифференциальных операторов. В основном все результаты взяты из монографии X. Три-беля [61]. Во втором параграфе проводится редукция уравнения (0.7) к уравнению (0.1) и доказывается сущетвование бесконечномерного неустойчивого и конечномерного устойчивого многообразий уравнения Осколкова нелинейной фильтрации. Исследованию инвариантных многообразий уравнения Осколкова плос-копараллелыюй динамики вязкоупругой несжимаемой жидкости посвящен третий параграф. В четвертом параграфе изучаются устойчивое и неустойчивое многообразия уравнения Бенжамина-Бона-Махони. В пятом параграфе рассмотрено приложение теоремы Адамара-Перрона к уравнению Хоффа для описания инвариантных неустойчивого инвариантного многообразия в окрестности нулевого решения.
Автор диссертации выражает искреннюю благодарность научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Георгию Анатольевичу Свиридюку за постановку задачи, конструктивные замечания в процессе работы над диссертацией, заинтересованное обсуждение научных результатов. Особая признательность автора своим родителям Геннадию Павловичу и Любови Степановне за терпение и понимание. Глубокая благодарность ректорату, кафедре математического анализа, кафедре прикладной математики и вычислительной техники Магнитогорского государственного университета за поддержку и доброе отношение к диссертанту; кафедре математического анализа Челябинского государственного университета за плодотворные дискуссии.
