Задача Коши для уравнений соболевского типа на римановых многообразиях Шафранов Дмитрий Евгеньевич

Содержание к диссертации

Введение

1. Вспомогательные сведения 30

1.1. Относительно ограниченные операторы 30

1.2. Вырожденные разрешающие группы и инвариантные пространства 35

1.3. Квазистационарные траектории и инвариантные многообразия 39

1.4. Дифференциальные операторы на римаиовых многообразиях 44

2. Линейные уравнения и системы Соболевского типа 47

2.1. Задача Коши для уравнения Баренблатта-Желтова- Кочиной 47

2.2. Устойчивость решений уравнения Баренблатта- Желтова-Кочи ной 53

2.3. Задача Коши для линейного уравнения Осколкова 55

2.4. Задача Коши для линейной системы Осколкова . G1

2.5. Устойчивость решений линейной системы Осколкова 67

3. Полулинейная система уравнений Соболевского типа 70

3.1. Задача Коши для системы Осколкова 70

3.2, Устойчивость решений системы Осколкова 76

Список литературы 78

• Относительно ограниченные операторы
• Задача Коши для уравнения Баренблатта-Желтова- Кочиной
• Задача Коши для системы Осколкова

Введение к работе

Постановка задачи

Пусть U_n n-мерное риманово компактное ориентированное связное многообразие без края. В пространстве гладких fc-форм, определенных на її_л, рассмотрим уравнение Баренблатта-Желтова-Кочиной [2] (А-Д)й = аДр, (0.0.1) моделирующее динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещи нновато-пористой среде; - линейное уравнение Осколкова [50], [57] (Д - А)Д^ = vA²tp, (0.0.2) моделирующее в линейном приближении функцию тока вязко-упругой несжимаемой жидкости Кельвин а-Фойгта пулевого порядка; - систему уравнений Осколкова [38] (А - V>₍ = uV²v - {v V)v - Vp, V v = 0 (0.0.3) моделирующее динамику скорости и давления вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта нулевого порядка; - линейную систему уравнений Осколкова (А - V²)v_t - vV²v - Vp. V v = 0 (0.0.4) моделирующее динамику скорости и давления вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта нулевого порядка в линейном приближении и полученную отбрасыванием конвективного члена (v V)u в системе (0.0.3).

С подходящим образом подобранных функциональных пространствах U, 5" уравнения (0.0.1), (0.0.2), (0.0.4) редуцируются к линейному Lu = Ми, (0.0.5) а уравнение (0.0.3) к полулинейному Lu = Mu + N(u) (0.0.6) уравнениям Соболевского типа. Еще в пионерских работах были отмечены два характерных именно для уравнений (0.0.5), (0.0.G) феномена - принципиальная неразрешимость задачи Коши «(0) = щ (0.0.7) для них при произвольных начальных данных щ пусть даже из плотного в it множества, и сильная неустойчивость их решений. Если П_л - область вЕ"с границей дО,_п класса С⁰⁰, то феномены несуществования и неустойчивости решений для уравнений вида (0.0.5) были объяснены в [108], а для уравнений вида (0.0.6) феномен несуществования решений объяснен в [46], [49]. Объяснение феномена несуществования для уравнений (0.0.5), (0.0.6) заключается в описании множества допустимых начальных значений, которое понимается как фазовое пространство данных уравнений. Объяснение феномена неустойчивости для уравнения (0.0.5) заключается в выделении и изучении инвариантных пространств и экспоненциальных дихотомий. Для уравнения (0.0.б) исследование неустойчивости приводит к изучению инвариантных многообразий. Нашей целью является объяснение обоих феноменов для уравнений (0.0.1)-(0.0.4) в случае, когда 0,_п - римапово компактное ориентированное многообразие без края.

Актуальность темы диссертации

Первым уравнения неразрешенные относительно выделенной производной начал изучать А. Пуанкаре в начале прошлого века. Систематическое их изучение началось с работ С.Л. Соболева [59], выполненных в середине прошлого века (см. прекрасный обзор в [11]). С тех пор возникла традиция [27], [39], [40], [48], [50], [55], [81], [105], [106], [108] называть как абстрактные уравнения вида (0.0.5), (0.0.6), так и их конкретные интерпретации, например (0.0.1)-(0.0.4), уравнениями Соболевского типа И.Г. Петровский [44] и Ж.Л. Лионе [33] указывали на необходимость создания общей теории уравнений вида (0.0.5), (0.0.6). К настоящему времени уравнения Соболевского типа составля- ют обширную область неклассических уравнений математической (ризики и привлекают внимание все большего числа исследователей. Об интересе к данным уравнениям свидетельствует большое число вышедших за последнее время монографий, целиком или частично посвященных этим уравнениям. Так монография В.И. Врагова [8] посвящена исследованию разрешимости начально-краевых задач для неклассических уравнений в частных производных, в том числе и для линейных уравнений Соболевского типа.

Исследуя некоторые аспекты построения теории краевых задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных нечетного порядка А.И. Кожанов [23], в частности рассматривает уравнения вида (l-A)ut = Bu + f(x,t), где Л, В - дифференциальные по пространственным переменным операторы четного (второго) порядка. Для линейных уравнений решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных производных в операторах А, В.

Работы Г.В. Демиденко и СВ. Успенского [11], [81] посвящены теории линейных дифференциальных уравнений и систем, не разрешенных относительно старшей производной, имеющих в операторной форме вид эволюционных уравнений где Ао, А\ ..., А{ - линейные дифференциальные операторы по переменным х = (xi,... ,х_п), причем символы операторов Л₀, в основном, не удовлетворяют условию невырожденности. В [11] проведена классификация уравнений Соболевского типа- уравнения простого Соболевского типа, псевдопараболические уравнения и поевдогиперболические уравнения. Там же, из систем дифференциальных уравнений не разрешенных относительно старшей производной по времени, выделены системы Соболевского типа и псевдопараболические системы. В ней рассматривались задачи Коти и общие смешанные задачи в четверти пространства для этих классов уравнений и систем вида (0.0.8), а также исследовались асимптотические свойства при t —+ со решений некоторых краевых задач уравнений Соболевского типа в цилиндрических областях. В работах установлены условия разрешимости рассматриваемых задач, получены Lp-оценки решений, доказаны теоремы единственности в весовых соболсвских пространствах.

Монография А. Фавини и А. Яги [86] посвящена исследованию задачи ~Lv^Mv + f(t),00 10 с замкнутыми линейными операторами L, М действующими в банаховом пространстве X, непрерывной на [О, Г] функцией f(t) со значениями в X и заданным элементом г'о Є X. Оператор L ² в общем случае не является непрерывным, поэтому авторы, используя метод полугрупп и операционный метод, редуцируют исходную задачу к многозначному дифференциальному включению — Au + f(t),0l и и = Lv. В терминах оператора M(fiL — М)'¹ сформулированы теоремы существования и единственности решения задачи при некоторых условиях на начальное значение i>o и гладкость функции f(t),

В монографии И.В.Мельниковой, А.И. Филинкова [100], в частности, рассмотрено дифференциальное включение с многозначным линейным оператором А ju(t) Au(t), к которому можно редуцировать уравнение (0.0.6). В работе были найдены условия в терминах оценок на резольвенты оператора А и расщепления банахова пространства в прямую сумму domAⁿ ф Л^я0, необходимые и достаточные для (га, ^-корректности и n-корректности задачи Коши для включения. При зтом речь идет о существовании решения задачи па полупрямой или, во втором случае, локальной задачи Кош и, экспоненциально устойчивого относительно изменения начального значения в смысле более сильной нормы. Доказательства упомянутых результатов основаны на использовании понятий вырожденных п раз интегрированных полугрупп и их генераторов.

В монографии И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, СВ. Попова [13] описан математический аппарат, который может быть использован при постановке и исследовании краевых задач, а также приведены ряд результатов о разрешимости краевых задач для операторио-диффереициальиых уравнений вида

Вщ + Lu ~ /, где L, В-самосопряженные (или диссипативные) операторы в заданном гильбертовом пространстве Е. В общем случае не предполагается обратимость оператора В, в частности он может иметь нетривиальное ядро. Для уравнений соболевского типа часто корректна обычная задача Коши или близкая к ней, но если оператор В не знакоопределен может возникнуть иная ситуация. В работе исследуются спектральные задачи для линейных пучков вида Lu = ХВи, где L, ^-самосопряженные операторы. Рассматриваются вопросы базисности собственных и присоединенных элементов этой задачи в пространстве с нормой ||м||₀ = |J|Bj ' u||, где || ||- норма в исходном гильбертовом пространстве Е. Затем аналогичные вопросы рассматриваются для эллиптических задач с иезнакоо пределен ной весовой функцией и псе это применяется к решению граничных задач для укапанных классов операторно-дифференциальных уравнений. В монографии Ю.Е. Бояринцева и В.Ф. Чистякова [5] рассматриваются алгебро-дифференциальные системы (АДС) вида где A(t) и B(t) прямоугольные матрицы зависящие от f Є [0,Т], в том числе и для матрицы A(t) вырожденной при всех t из этого отрезка Авторы приводят классификацию таких систем, определяют вид решения для некоторых случаев и исследуют локальные свойства систем с конечномерным пространством решений, а также приводятся условия бесконечномерности пространства решений.

Монография В.Ф. Чистякова и А.А. Щегловой [73] посвящена системам обыкновенных дифференциальных уравнений с тождественно-вырожденной в области определения матрицей Якоби по х'. Изложены результаты исследований о существовании решений начальных и краевых задач для АДС в классическом и обобщенном смысле Соболева - Шварца. Обоснованы конструктивные критерии управляемости и наблюдаемости. Доказан аналог теоремы дуальности Калмана. Рассмотрены ли- пейиые АДС с отклоняющимся аргументом, разрешимость их в классическом и обобщенном смысле.

В монографии Н.А. Сидорова, В.И. Логинова, А.А. Синици-на, М В. Фалалеева [99] рассмотрена задача B(t)xW(t) = A(t,x) + f{t) х^{г}(0) =x_t,i^ 0,1,...,N -\, гдр операторы /?(/), A(t,x) определены в некоторой окрестности 9. = {(t,x) : || < p. \\х\\ < R} и действуют из Е\ в Еч (Ei, ^-банаховы пространства), /() Є Еч и В(0)-фредгольмов оператор. В работе построены непрерывные и обобщенные решения таких задач на основе метода Некрасов а-Назарова неопределенных коэффициентов и топологических методов.

Для исследования устойчивости решений уравнений и систем в настоящее время широко используется теория инвариантных многообразий. Понятие инвариантного многообразия ввел А. Пуанкаре, изучая отображения, порождаемые решениями обыкновенных дифференциальных уравнений. Он же и получил первые результаты в аналитическом случае. Для дифференцируемых отображений первые результаты принадлежат Ж. Адамару. Они рассматривали двумерные отображения. На случай произвольной размерности, но лишь в случае, когда линеаризованные в нуле отображения записываются в виде матриц, имеющих элементарные делители, эти результаты были обобщены Д. Льюисом [97]. Некоторые вопросы, относящиеся к этой тематике, были рассмотрены A.M. Ляпуновым [34], хотя само понятие инвариантного многообразия не вводилось.

В монографии Н.Н. Красовского [28] для исследования поведения решений нелинейных динамических систем применяется метод функций Ляпунова, что позволило установить асимптотическую устойчивость пулевого положения равновесия и получить оценки его области асимптотической устойчивости.

Дальнейшее развитие теория инвариантных многообразий (существование, гладкость, устойчивость и т.д.) систем обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности критической точки получила в работах Д.В. Аносова [1], С. Стернберга [107], Ф. Хартмана [90]. Подробнее эти вопросы были рассмотрены в статье А. Келли [94].

В монографии Д. Хенри [72] осуществлен перенос конечномерной теории инвариантных многообразий для нелинейных эволюционных уравнений ^ = A(t)u + B(t_lU) в абстрактное банахово пространство. Ряд результатов теории устойчивости для уравнений такого типа в банаховом пространстве с ограниченными операторами А, В изложен в работе Ю.Л. Далецкого и М.Г. Крейна [9].

Необходимо сказать также о решении дифференциальных уравнений в пространствах дифференциальных fc-форм на многообразиях. Для корректной постановки начально-краевых задач необходимо было определить обобщение дифференциальных операторов в этих пространствах. Используя теории В. Ходжа [95] и К. Кодаиры [91] в серии статей в середине 50-х годов прошлого века Ж.Д. Дафф, Д.К. Спенсер, К. Фред-рикс и другие [82], [S3], [87] провели исследование fc-форм на многообразиях с краем, а также изучали оператор Лапласа-Бельтрами и уравнение теплопроводности в пространствах &-форм. В частности была показана самосопряженность оператора Лапласа-Бельтрами в заданных областях. В работах В.И. Арнольда, Д. Илса, X. Элайсона [77], [84], [85] было показано, что группы диффеоморфизмов компактного многообразия, сохраняющих объем, являются подходящим конфигурационным пространством для гидродинамики несжимаемой жидкости и к ним можно применять методы глобального анализа и бесконечномерной геометрии. После этого вышел целый ряд статей и монографий содержащий результаты исследований дифференциальных уравнений на многообразии Д.Дж. Эбина и Д. Марсдена [75], А.А. Дезина [10] и других авторов [67]. Список работ по этим темам пополнялся по мере развития техники функционального анализа [93], [104] работами по исследованию дифференциальных уравнений на многообразиях в различных аспектах [92], [101).

Наша диссертация лежит в русле научного направления, разрабатываемого Г.А. Свиридюком и ого учениками. Линейные и полулинейные исследования, в рамках этого направления, осуществлялись параллельно по времени.

К линейным исследованиям относится кандидатская диссертация Т.А. Бокаревой [3] в которой, сделано обобщение результатов по аналитическим полугруппам с ядрами для уравнений (0.0.5) в случае 1,-секториальноети оператора М и получены необходимые и достаточные условия существования фазового пространства в случае (,, ^-ограниченности оператора М. В диссертации Л.Л. Дудко [12] сделано обобщение на случай (Ь.р)-секториалыюго оператора и рассмотрен случай L-радиа-льного оператора. В кандидатской диссертации В.Е. Федоров [68] обобщил ранние исследования, введя понятие (, ^-радиального оператора и доказал аналог теоремы Хилле-Иосиды-Фи-ллипса-Феллера-Миядеры для уравнений Соболевского типа. В этих диссертациях уравнения Соболевского типа исследовались в банаховых пространствах. В докторской диссертации В.Е. Федорова [71] линейная теория уравнений Соболевского типа распространялась на случай локально-выпуклых пространств. Исследовалась разрешимость начально-краевых задач для уравнений (0.0.5), когда операторы L и М представляют из себя многочлен или даже трансцендентную функцию от некоторого линейного оператора Л. В диссертации А.А. Ефремова [14] при решении задачи Коши для уравнений Соболевского типа с (.р)-ограничеными и (,р)-секториальными операторами исследуются задачи оптимального управления. Г.А. Кузнецов [30] продолжил поиск достаточных условий (L_} ^-ограниченности и (Ь.р)-секториальности операторам. В диссертации А.В. Келлер [21] изучены инвариантные многообразия и экспоненциальные дихотомии линейного уравнения Соболевского типа, в случае /,-секториальности оператора М. Диссертация С.А. Загре-биной [15] посвящена исследованию однозначной разрешимости задачи Веригина

Р-и(0)=и₀,Р₊и(Т) = и_т для уравнений (0.0.5) и (0.0.6). Здесь Р-(+) некоторые спектральные проекторы. В своей диссертации СВ. Брычев [6] построил численный алгоритм решения задачи Коши для линейного уравнения соболевского типа (0.0.5), где L и М квадратные матрицы (det L — 0) и применил его к расчету экономики городского коммунального хозяйства. В диссертации А.А. Замышля-евой [16] получены достаточные условия однозначной разрешимости задачи Коши для уравнений соболевского типа высокого порядка

Ли^{п) = B_n_i«⁽ⁿ~^1J + - + В₀и + /, п > 1.

В диссертации И.В. Бурлачко [7] был построен численный алгоритм для задачи оптимального управления для системы Lu = Mu + f + Ви где L и М квадратные матрицы, а вектор функция Ви — Bu(t) задает управление.

Полулинейный случай рассматривается в кандидатской диссертации Т.Г. Сукачевой [GO], в которой линейный метод СВ. Зубовой и К.И, Чернышева [18] был обобщен на полулинейную ситуацию исчерпывающим образом. В докторской диссертации Т.Г. Сукачевой [63] сведены в единую теорию ее исследования задачи Коши для неавтономных полулинейных уравнений Соболевского типа [61]. Следующим нелинейным исследованием стала диссертация М.М. Якупова [76], в которой установлена простота фазового пространства уравнения Осколкова и различных его модификации. Выявлению достаточных условий существования простых фазовых пространств полулинейных уравнений Соболевского типа посвящена диссертация В.О. Казака [19]. В диссертации Н.А. Манаковой [35] исследовались достаточные условия разрешимости задачи Шоуолтера-Сидорова

Цх{0) - то) - О оптимального управления для некоторых полулинейных уравнений Соболевского типа. Посредством метода Галеркина-Пет- рова-Фаэдо в ней построены приближенные решения задач оптимального управления. В диссертации В.В. Шеметовой [74] исследовалась разрешимость линейных и полулинейных уравнений Соболевского типа, заданных на конечных ориентированных графах. Диссертация О.Г. Китаевой [22| посвящена обобщению теоремы Адам ара-Перрон а для полулинейных уравнений Соболевского типа.

Из всего списка работ необходимо выделить диссертацию А.В. Келлер [21] в той ее части, где рассматриваются инвариантные пространства и дихотомии решений линейного уравнения (0.0.5), и диссертацию О.Г. Китаевой [22], в которой исследуются инвариантные многообразия уравнения (0.0.6). Эти результаты используются в нашей диссертации.

Методы исследования

Основным методом доказательств существования решений является метод фазового пространства, разработанный Г.А. Сви-ридюком и Т.Г. Сукачевой. Метод заключается в том, что начально-краевые задачи для конкретных уравнений (0.0.1)-(0.0.4) без потери общности сводятся к задаче Коши (0,0.7) для линейного (0.0.5), либо полулинейного (0.0.6) уравнения Соболевского типа. Следующим шагом становится редукция уравнения (0.0.6) к паре эквивалентных уравнений ffu = « + A/₀-¹(I-Q)JV(u). и¹ = Su^l + Ly^lQN{u), соответственно, определенных, возможно, не в исходном пространстве, а на его взаимно дополняющих подпространствах (и¹ = Ри, и^[) — и — и¹), одно из которых является фазовым пространством для исходного уравнения (0.0.G). Для уравнения (0.0.5) редуцируется аналогичным образом, но в отсутствии оператора N. Далее изучается фазовое пространство. При этом использую классические методы нелинейного анализа. В итоге описывается морфология фазового пространства начально-краевой задачи для конкретного уравнения (0.0.1)-(0.0.4).

В основе наших исследований устойчивости решений лежат методы теории инвариантных многообразий и экспоненциальных дихотомий. Для случая линейного уравнения (0.0.5) мы можем выделить устойчивое и неустойчивое инвариантные пространства. Устойчивость решения не изменится, если возмущать инвариантные пространства фазового пространства линейного (или линеаризованного) уравнения не слишком сильно до инвариантных многообразий нелинейного уравнения (0.0.6).

Теоретическая и практическая значимость

Результаты диссертации могут быть использованы для исследований имеющих как теоретический, так и практический характер. В диссертации исследуется задача Копій для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной (0.0.1), линейного уравнения Осколкова (0.0.2), линейной (0.0.4) и полулинейной (0.0.3) систем уравнений Осколкова в пространствах гладких fr-форм, определенных на компактном римановом ориентированном мно-гообразих без края, что позволяет получать решения инвариантные относительно выбора локальных координат.

Проведено исследование устойчивости решений задачи Коши для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной (0.0.1), линейной (0.0.4) и полулинейной (0.0.3) систем уравнений Осколкова в пространствах гладких &-форм на компактных римановых многообразиях без края. Результаты исследования устойчивости могут быть использованы при исследовании качественного поведения рассмотренных уравнений и систем. Практическая значимость состоит в том, что полученные результаты по морфологии фазовых пространств могут быть использованы при численном решении начально-краевых задач для этих уравнений и систем.

Новизна полученных результатов

В работе получены следующие результаты: изучена морфология фазового пространства задачи Коши для уравнения Барен-блатта-Жслтова-Кочиной, линейного уравнения Осколкова и линейной системы уравнений Осколкова в пространствах гладких fc-форм на римановых многообразиях без края; исследованы морфология фазового пространства и квазистационарные траектории полулинейной системы уравнений Осколкова; исследованы инвариантные пространства и устойчивость решений задачи Коши для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной, линейного уравнения Осколкова, а также инвариантные многообразия и устойчивость решений задачи Коши для полулинейной системы уравнений Осколкова в пространствах гладких Аьформ на римановых многообразиях без края. Все задачи рассматривались впервые и полученные результаты являются новыми.

Апробация работы

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" и Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" (Понтрягинские чтения XIV, Воронеж, 2003г.),

Тринадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2003г.), Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2004г), Международном семинаре "Неклассические уравнения математической физики" посвященном 60-летию проф. В.Н. Врагова (Новосибирск, 2005г.), Международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения" (Воронеж, 2005г.), Четвертой всероссийской конференции "Математика, информатика, управление" (Иркутск, 2005г.), Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач "(Понтрягинские чтения XVII, Воронеж, 2006г.), Всероссийской научной конференции "Математика. Механика. Информатика", посвященной 30-летию Челябинского государственного университета (Челябинск, 2006г.), на семинаре по уравнениям Соболевского типа проф. Г.А. Свиридю-ка в Челябинском государственном университете, па семинаре под руководством проф. СВ. Хабирова в Институте механики Уфимского научного центра РАН и на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством проф. К.Б. Сабитова в Стерлитамакской государственной педагогической академии..

Краткое содержание диссертации

Диссертация помимо Введения содержит три главы и Список литературы. Сразу отметим, что Список литературы не может претендовать на полноту и соответствует только вкусам и предпочтениям автора.

Первая глава носит пропедевтический характер и содержит, соответствующим образом переработанные, формулировки теорем и определения, которые используются для получения основных результатов диссертации. Первый параграф содержит определения и теоремы об относительно р-ограничеииых операторах, а также теорему Атьи-Зингера об индексе. Во втором параграфе вводятся определения решения, фазового пространства, разрешающих групп операторов, устойчивых и неустойчивых инвариантных пространств и формулируются теоремы о существовании разрешающих групп операторов и экспоненциальных дихотомий для линейных уравнений или систем Соболевского типа (0.0.5). В третьем параграфе содержаться определения: решений, фазового пространства, квазистационарных траекторий, устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий, простого банахового многообразия и сформулированы теоремы о существовании единственного решения в классе квазистационарных траекторий и инвариантных многообразий для полулинейных уравнений Соболевского типа (0.0.6). В чет- вортом параграфе вводятся формулы используемых скалярных произведений и соответствующих норм; сформулированы теорема Ходжа-Кодаиры, теорема о расщеплении пространства &-форм.

Вторая глава посвящена исследованию линейных уравнений и систем Соболевского типа в пространстве гладких Амрорм заданных на компактном ориентированном связном римановом многообразии без края. В первом параграфе задача Копій для линейного уравнения Барепблатта-Желтова-Кочиной (0.0.1) редуцируется к задаче Коши для уравнения Соболевского типа (0.0.5). Далее показана фредгольмовость оператора при производной L и (L, 0)-ограниченность оператора М. Там же дано описание стуктуры фазового пространства и доказана теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для любого начального значения из фазового пространства. Во втором параграфе описывается структура устойчивого и неустойчивого инвариантных подпространств уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной (0.0.1) и доказывается теорема о существовании экспоненциальной дихотомии решений этого уравнения. Третий параграф содержит редукцию задачи Коши для линеаризации уравнения Осколкова (0.0.2) к задаче Коши для уравнения Соболевского типа (0.0.5). Показана фредгольмовость оператора при производной L и (,0)-ограниченность оператора

М. Описана структура фазового пространства и доказана теорема о существовании и единственности решения задачи Копій для любого начального значения из фазового пространства. В четвертом параграфе задача Коши для линейной системы Осколкова (0.0.4), редуцируется к задаче Коши для уравнения Соболевского типа (0.0.5). Показано что оператор при производной L является бирасщепляющим, а оператор М (L, 1)-ограниченным. Делается описание фазового пространство и доказывается теорема о существовании и единственности решения задачи Коши (0.0.7) для любого начального значения из фазового пространства. В пятом параграфе описывается структура устойчивого и неустойчивого инвариантных подпространств линейной системы Осколкова и доказывается теорема о существовании экспоненциальной дихотомии решений этого уравнения. Третья глава содержит исследование полулинейной системы Осколкова (0.0.3) в пространстве гладких fc-форм заданных на компактном ориентированном связном римаиовом многообразии без края. В первом параграфе задача Коши для полулинейной системы Осколкова (0.0.3), редуцируется к задаче Коши для полулинейного уравнения Соболевского типа (0.0.6). В леммах указывается вид операторов, входящих в матричную запись операторов L и М. Показано что оператор М является (L. 1)-ограниченным. Проведено исследование морфологии фанового пространства и приведено замечание о существовании единственного решения задачи Коши, в классе квазистационарных траекторий, для системы (0.0.3). Во втором параграфе исследуется устойчивость решений полулинейной системы Осколкоиа (0.0.3), в окрестности точки нуль. Доказывается теорема о существовании устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий полулинейной системы Осколкова (0.0.3), в окрестности точки нуль.

Результаты, выдвигаемые на защиту

На защиту выдвигаются следующие результаты: теоремы о существовании и единственности решений задачи Коши уравнения Варенблатта-Желтова-Кочиной, линейного уравнения Осколкова и линейной системы Осколкова в пространстве гладких /г-форм на компактном ориентированном связном римановом многообразии без края; теорема о морфологии фазового пространства задачи Коши для полулинейной системы уравнений Осколкова в пространстве гладких fc-форм на компактном ориентированном связном римановом многообразии без края; теоремы о существовании инвариантных пространств и экспоненциальных дихотомий решений задачи Коши для уравнения Варенблатта-Желтова-Кочиной и линейной системы Оскол- кова, заданных в пространствах fe-форм на компактном ориентированном связном римановом многообразии без края; - теорема о существовании устойчивого и неустойчивого инвариантных многообрапий полулинейной системы уравнений Осколкова, заданной в пространстве fc-форм на компактном ориентированном связном римановом многообразии без края.

Благодарности

Выражаю огромную благодарность научному руководителю-профессору Георгию Анатольевичу Свиридюку за постановку задачи и консультации в процессе работы над диссертацией; коллективу кафедры математического анализа за доброе отношение и участие в обсуждении результатов диссертации; а также моим родителям Евгению Васильевичу и Надежде Ивановне за понимание и поддержку.

1. Вспомогательные сведения

1.1. Относительно ^-ограниченные операторы

Пусть Н и # - банаховы пространства, операторы L Є (U; 3% М Є (U;5). Множество P^L(A/) = {/і Є С : {fib - M) ^l Є Щ;ІІ)} называется /л-рр.зольйентнъи* лшожестеом оператора Л/. Множество 7^(М) = С \p^L(M) называется L-спектром оператора М.

Если p^L{M) ф 0, то можно определить оператор-функции {fiL - М)-\ Rf_t{M) = (jib - M)-^ll_t Lfi{M) = L{ftL - M)"¹, которые называются соответственно L-резолъвентой, правой L-резольвентой, левой L-резолъвентой оператора М. В случае, когда существует оператор L~^l Є С(Ъ\Щ, L-резольвента, правая //-резольвента и левая /"^-резольвента оператора М совпадают с резольвентами операторов М, L~^lM и ML"¹ соответственно.

Для резольвенты выполняются тривиальные тождества (XL - M){fiL - М)-¹ = І + (А - fi)L{tiL - M)"\ (pi - M)-\XL - M) = I + (A - ц)(рЬ - M)~^lL, из которых легко получить аналог резольвентного mootcdecmea

Гильберта {XL - Л/)^-1 - (/і/, - Л/)^-1 - (/г - A)(/*L - A/)^_1L(AL - Л/)"¹, ит которого в свою очередь следуют правое и леоое L-резолъ-вентиые тождества Ri(M) - й(Л/) = (/і - А)Я(М )R*(A/), ІЇ(М) - Lfa'I) -(/і- A)LJ(A/)lJ(A/).

В случае, когда L, М Є (U; J) L-резольвента, правая L-резолъ-вента и левая L-резольвспта оператора М аналитичиы в p^L(M).

Определение 1.1.1. Оператор М называется (L, ^-ограниченным, если

З а Є Е₊ V/i С ((|/і| >с)^(дЄ /(М)) .

Замечание 1.1.1. Если существует оператор L"¹ Є C($;Ul), то оператор М (L, <т)-ограничен. Если оператор і компактен, то оператор Л/ ие будет (, <т)-ограничен.

Лемма 1.1.1. Пусть оператор М (L, а)-ограничен, а контур Г — {/г Є С : \ц\ = г > а}. Тогда операторы Р : ІХ —* Я и Q : ^ —^ ^ определяемые через интегралы типа Ф. Рисса _P = ±]_R^Q=±J_Lidli, (1.1.1) являются проекторами.

Положим V? = keYP,tt^l = \mP, $> = kerQ,$^l=\mQ.

Обозначим через Lk (Л4) сужение оператора L (Л/) па Я\ it = 0,1.

Теорема 1.1.1. Пусть М (L. а)-ограничен. Тогда (г) операторы L&, Мк ' ІІ* —> $*, к = 0,1. (и) существует оператор М₀^_1 Є ЦЗ;Я); fitij существует оператор L\^l б ЦЗ^Я¹); fu'J оператор М\ Є ЦЯ¹;^¹).'

Если оператор A/ (L, о")-ограничен, то в силу теоремы 1.1.1 существуют оператор я = м₀-%, Я Є ЦЯ"), и оператор S=L?M_hS ЦЯ¹). посредством которых і-резольвента оператора М раскладывается в кольце \[л\ > а в ряд Лорана (liL-Му¹ = -^^^Mo-^I-Qj+^/i^^L^Q (1.1.2)

Здесь Я⁰ = І, если Я ф. О, и S = І, если S = О, где тождественные операторы определены на пространствах Я⁰ и Я¹ соответственно.

Определение 1.1.2. Пусть оператор Л/ (Ь.сг)-ограничен. Точка со называется (і) устранимой особой точкой L-резольвенты оператора М, если II = О; (іі) полюсом порядка р L-резольвенты оператора Л/, если IF ф О, IP^+l = О; (Ш) существенно особой точкой L-резольвенты оператора Л/, если II^k фО при любом к Є {0} UN.

Условимся в дальнейшем устранимую особую точку называть полюсом порядка пуль.

Определение 1.1.3. Оператор М называется {Ь,р)-ограни-ченным, если оператор М (L, а)-ограничен и со является полюсом порядка р {0} U N.

Определение 1.1.4. Пусть kerb ф {0}. Условимся векторы ір Є ker L\{0} называть собственными. Упорядоченное множество {ipi, tf2: } называется цепочкой М-присоединенных векторов собственного вектора y>Q_% если

Ьірк+і = Mtp_k, k = Q,l,... ; ^ ker L \ {0}, k = 1,2,... .

Порядковый номер М-присоединенного вектора называется его высотой. Линейная оболочка всех собственных и А/-присоеди-ненных векторов оператора М называется М-корневым линеалом оператора L. Если М-корневоЙ линеал замкнут, то он на- зывается М-корневым пространством оператора L.

Цепочка М-присоединенных векторов может быть бесконечной. В частности, она может быть "заполнена нулями, если множество kerL П кегЛ/ ф {0}. Однако она обязательно конечна, если существует число р Є N такое, что М<р_Р ф. im L \ {0}.

Теорема 1.1.2. Пусть оператор L-фредгольмов. Тогда следующие условия эквивалентны (і) Оператор М (L^p)-ограничен, р {0} UN. (И) Длина любой и,епочки М-присоединенных векторов оператора L не превосходит р.

Напомним, что фредгольмовым называется операторі, если его индекс indL = 0.

Теорема 1.1.3. (теорема Атьи-Зннгера об индексе ) Пусть С(0 ^и 0{ri) - пространства бесконечно дифференцируемых сечений векторгтх расслоений и г\ над дифференцируемым замкнутым n-мерным многообразием Q._n uL : С{) —> С⁰⁰^) (псевдодифференциалъный) эллиптический оператор. Тогда его аналитический индекс ігк1_п равен топологическому индексу ind(L.

Оператор L называется бирасщепляющим [4], если его ядро и образ дополняемы в пространствах И и J соответственно. Сформулируем условия (A1) Любая цепочка Л/-присоединенных векторов имеет длину, равную р Є {0} U N.

Обозначим через coim L — U0ker L - некоторое алгебраическое и топологическое дополнение к ядру kcr L. Пусть L сужение оператора L на coim L. В силу теоремы Банаха существует оператор L ¹ Є C(im L\ coim L). В силу условия (АХ) существуют линеалы U^0? = L-^lM[№-¹], it⁰⁰ = kerZ, g = 1,2, .p. (A2) M[UP]eimL-3.

Теорема 1.1.4. Пусть оператор L бирасщепляющий, и выполнены условия (А1) и (А2). Тогда оператор М (Ь,р)-ограпи-чеп, р Є {0} U N.

1.2. Вырожденные разрешающие группы и инвариантные пространства

Пусть ІІ и JJ банаховы пространства, операторы L Є (il; #), М Є {!!;#) Пусть p^L(M) ф 0, тогда уравнение Ьй — Ми можно редуцировать к паре эквивалентных ему уравнений R^L_a(M)ii = {aL - М)-^{Мщ (1.2.1) L^L_a{M)j = M(aL - МУ¹/, (1.2.2) где а Є p^L{M). Оба эти уравнения являются конкретными интерпретациями уравнения Av = Bv. (1.2.3) операторы Л, В Є (93), а 03 - некоторое банахово пространство. Решением уравнения (1.2,3) называется вектор-функция v Є С^рЕ^ЯЗ), удовлетворяющая этому уравнению.

Определение 1.2.1. Отображение V* є C(R;2J) называется группой разрешающих операторов уравнения (1.2.3), если (\)У³У*=.У*+* Vs,tR; (ii) при любом щ Є 23 вектор-функция v{t) — У*Уо есть решение уравнения (1.2.3),

Группу У* С(Ж;93) назовем аналитической, если она имеет аналитическое продолжение во всю комплексную плоскость с сохранением свойств (і) и (И).

Отождествим группу с ее множеством значений [У^ь: і є Е}.

Определение 1.2.2. Множество ker У* = {v Ю : V^і v = 0 для некоторого t еЩ называется ядром, а множество imV = {v ЄЮ : v = Vv] -образом аналитической группы {У¹ : t Щ.

Очевидно, что ker У* = ker V^і, [тУ* ~ ітУ'при любом t Є М. Теорема 1.2.1. Пусть операторы (L, р)-ограничен, тогда ker U* = il, imtr = Я¹, ker F' = S⁰, imF" = 3^і.

Определение 1.2.3. Множество ф Є QJ называется фазовым пространством уравнения (1.2,3), если (і) любое решение v = v(t) уравнения 1.2,3), лежит в *р, т.е. v(t) Є ф при любом t Є R. (ii) при любом vq Є ty существует единственное решение v Є С(К;ф) задачи Коши и(0) = vq для уравнения (1.2,3).

Определение 1.2,4. Группа разрешающих операторов называется разрешающей группой уравнения (1.2.3), если ее образ совпадает с фазовым пространством уравнения (1.2.3).

Теорема 1.2.2. Пусть оператор М [L,p)-ограничен. Тогда су-ществуют единственные разрешающие группы уравнений (1.2.1) и (1.2.2), которые к тому же представимы интегралами типа Данфорда- Тейлора U^l = -L / Я(Л/)Лр, І Є R, (1.2.4)

2т J ' г F^b = -L [ ШмуЧц, і Є U, (1.2.5) соответственно.

Как нетрудно заметить, единицами групп (1.2.4), (1.2.5) являются проекторы F и Q из (1.1.1) соответсвенно.

Пусть оператор М (,р)-ограничен р {0}UN. Тогда группа (1.2.4) является разрешающей группой уравнения Lit = Ми. (1.2.6)

Для этого уравнения рассмотрим задачу Коти н(0) = «о- (1.2.7)

Согласно теоремам 1.2.1 и 1.2.2 задача (1.2.6), (1.2.7) имеет единственное решение и Є C^lRjil¹) только если щ il¹. Другими словами, і^-фазовое пространство уравнения (1.2.6).

Определение 1.2.5. Подпространство *Р С U¹ называется инвариантным пространством уравнения (1.2.6), если для любого и_а Є ф решение и = и{1) задачи (1.2.6), (1.2.7) лежит в ^3 поточечно.

Теорема 1.2.3. Пусть оператор М (L,p)-ограничен, a L-спектр оператора М a^L(M) — <х[{М) U а^{М) и существует контур 7 Є С, ограничивающий область 1 такую, что ІІ Э of (А/) и U П g%{M) = 0. Тогда существуют инвариантные пространства уравнения (1.2.6).

Определение 1.2.6. Пусть К'^-инвариантные пространства уравнения (1.2.6), причемН¹ — II^і ФІГ. Решения и = u(t) уравнения (1.2.6) имеют экспоненциальную дихотомию, если существуют константы Ni, N_r, vi. v_r > 0 такие, что (і) ||«4<)Hu||«'(*o)llu tге-^*-«||«^г(«о)І1іі t > t₀.

Наличие экспоненциальной дихотомии решений уравнения (1.2.G) означает, что фазовое пространство уравнения (1.2.G) распадается на прямую сумму инвариантных пространств, причем решения начинающиеся в il^r экспоненциально убывают и остаются в ІГ, а решения начинающиеся в U' экспоненциально растут остаются в il'. Инвариантное пространство ІГ^ уравнения (1.2.6), называется устойчивым (неустойчивым).

Теорема 1.2.4. Пусть оператор М (L,p)-ограничен и выполнено условие cr^L(M)n{i]R} = 0. (1.2.8)

Тогда решения уравнения (1.2.6) имеют экспоненциальную дихотомию.

1.3. Квазистационарные траектории и инвариантные многообразия

Пусть ІІ и # - банаховы пространства; операторы L Є (il, #), М Є (11,. N C^fc(il,#), jfc Є N, причем оператор М (L,p)-ограничен, р Є {0} U N. Рассмотрим задачу Копій u(0) = u_o. (1.3.1) для полулинейного уравнения соболевского типа Lu = Mu + N{u). (1.3.2)

Вектор функцию и Є C^k{(-T,T);iX) назовем решением уравнения (1.3.2), если она при некотором Т Є К₊ удовлетворяет этому уравнению. Решение и — u(t) уравнения (1.3.2) назовем решением задачи (1.3.1), (1.3.2), если оно удовлетворяет условию (1.3.1).

Определение 1.3.1. Множество ф Є U называется фазовым пространством уравнения (1.3.2), если (і) любое решение и = u(t) уравнения (1.3.2), лежит в *, т.е. u{t) Є *Р при любых t Є (~Т,Т); (іі) для любого ко Є ф существует единственное решение и Є С((-Т,Т);ЭД задачи Коши и(0) = щ для уравнения (1.3.2).

Используя теорему 1,1.1 можем редуцировать уравнение (1.3.2) к эквивалентной системе

Ни⁰ = и + М₀^_1(Я - Q)N{u) (1.3.3) и¹ = Su¹ + L^QNiu) (1.3.4) где и¹ = Р% и⁰ = и — и¹.

Определение 1.3.2. Решение и = u(t) задачи (1.3.1), (1.3.2) называется квазистациопарпой траекторией уравнения (1.3.2), проходящей через точку щ, если в Hu(t) = 0 при всех t<~(-T,T).

Замечание 1.3.1. Очевидно, что любое стационарное решение задачи (1.3.1), (1.3.2) является квазистационарной траекторией, российская госуддрстсєішм библиотека однако обратное неверно.

Замечание 1.3.2. Если оператор N = О, то в силу теоремы 1.2.2 любое решение уравнения (1.3.2) является квазистацио-парной траекторией.

Введем в рассмотрение множество

Ш = {и И : (Я - Q){Mu + N{u)) = 0} (1.3.5)

В силу теоремы 1.1.1 и уравнения (1.3.3) любая квазистацио-иарная траектория и = u(t) лежит в ШТ поточечно.

Определение 1.3.3. Пусть щ Є ЙЯ, положим uj = Рщ Є Я¹. Будем говорить, что множество Ш в точке щ является банаховым С^к-многообразием, если существуют окрестности 53₀ С ЗЇЇ и ) С U¹ точек щ и Uq соответственно и С^к-диффеоморфизм 5 : J — о такой, что 5^-1 равен сужению проектора Р на %)$. Множество 9Л называется банаховым С^к-многообразием, моделируемым пространством И¹, если оно является банаховым С^к-многообразием в каждой своей точке. Банахово С^к-многообразие 9Я называется простым, если Dg — il¹.

Теорема 1.3.1. Пусть в точке щ множество Ш является банаховым С^к-многообразием. Тогда существует единственная квазистационарная траектория уравнения (1.3.2) проходящая через точку щ.

Пусть множество 9#, определенное формулой (1.3.5), является простым банаховым С*-многообразием, к Є N U {со} и служит фачовым пространством уравнения (1.3.2). Тогда любое решение и = u(t), t Є (-Т,Т) уравнения (1.3.2) имеет вид и = 5(и¹), где и^[ = u^l(t), t Є (-7,7¹) - решение уравнения u¹ = Su^l + F{u^l), (1.3.6) а 5 : И¹ —> ЯТ С^'-диффеоморфизм, оператор причем по построению F Є С^к{іі¹),кЄ NU {со}.

Пусть выполнено условие (1.2.8). Тогда можно построить проекторы где контур Г;(_г) лежит в левой (правой) полуплоскости и ограничивает область, содержащую ту часть L-спектра оператора М, которая расположена в данной полуплоскости.

Пусть P,Q - проекторы определяемые по формуле (1.1.1). Тогда Р_[{Г]Р = РР_К._г) = Р_/(г) и Q_l{r]Q = QQ_l{r) = Q_l{r).

Следовательно Я^^г' = imPj(_r) являются инвариантными пространствами оператора

5 = 1Г¹ЛА Є ДЯ¹).

Определение 1.3.4. Множество

Ж = {н„ Є Ш : ПЯноІІі, < R_h \\и{і,щ)\\ц < R_3lt Є M₊} такое, что (і) 9Я⁵ диффеоморфно замкнутому шару вії' с центром в начале координат радиуса #і; (іі) W⁵ касается it' в начале координат; (ііі) при любом и₀ ПЯ³ \\u(t, uo)||u -* О ^ПР^И ' -* +о называется устойчивым инвариантным многообразиемущъ-нения (1.3.2); а множество

Ж¹ = {щ Ш1: ||Я_ги₀|!и < Я_ь ||u(i,u₀)||u < Я₂.і Є К_} такое, что (і) 9Я" диффеоморфно замкнутому шару в її' с центром в начале координат радиуса /?і; (іі) ШТ" касается іі' в начале координат; (ііі) при любом Uq Є Ш³ \\и{Ь,щ)\\& ~~* 0 ^ПР^И ^ —+ — оо называется неустойчивым инвариантным многообразиемур&ъ-нения (1.3.2).

Здесь через и{1,щ) обозначена квазистационарная траектория уравнения (1.3.2), проходящая через точку щ 971.

Теорема 1.3.2. Пусть выполнено условие (1.2.8), и пусть оператор N таков, что N(Q) = Q,Nq = О. Тогда при некоторых Rk,k = 1,2, существуют устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия уравнения (1.3.2).

1.4. Дифференциальные операторы на римановых многообразиях

На дифференцируемом многообразии il_n можно задать ри-манову структуру выбрать скалярное произведение (,)„, на каждом касательном пространстве il_n (для всех точек т Є П„), таким образом, что если X и У - гладкие векторные поля на !1„, то {X,Y) - гладкая функция на il_n. Римановым многообразием называется дифференцируемое многообразие, вместе с римановой структурой.

Пусть Vt_n - n-мерное ориентированное гладкое (т.е. класса С⁰⁰) компактное связное риманово многообразие без края. Через Ш^к = Н*(П„), JHT¹ = H"⁺¹ = {0} обозначим линейное пространство гладких fc-форм на многообразии il_n.

Формулой (а,/?)₀ = /аЛ*А а,веШ^к (1.4.1) где * - оператор Ходжа ( сопоставляет каждой /j-форме на П„ (га—&)-форму и удовлетворяет равенству** = (—1)"'^п~^), определим скалярное произведение на Ж^к, к — 0,1,..., га, а соответствующую норму обозначим через || -||о Продолжим скалярное произведение на прямую сумму ф Н , требуя чтобы различные пространства H^fc были ортогональны. Пополнение пространства Ш^к по норме || ||о обозначим через jjjjj.

Теорема 1.4.1. (теорема Ходжа-Кодаиры) Для произвольного к — О,1,..., п существует расщепление проапранетва $)% в пряліую ортогональную сумму ^- = 4ф4ф^д (1-4.2) причем пространство 5}&д конечномерно.

Здесь оператор d:S)U-^S)l (1.4-3) определенный как замыкание в норме || |jo, продолженной на ф H^fc, т.е. как сильное расширение операции +1*d*:J5j₊₁->^ (1.4.4) а V² = Д — ~Sd~d5 - оператор Лапласа-Бельтрами. Пространство , (S)l_s) является пополнением линеала Нд~[Ш^к\ — d[H^fc_1] (5(f[IH^fc] = 5р*⁺¹]) по соответствующей норме, а пространство $)к& содержит только гармонические fc-формы (т.е. такие а ЄН*, что Да = 0). Из равенства (duj.x)o = (u,5x)a справедливого для гладких fc-форм, следует, что на гладком многообразии без края №^к = У_ы<П_к5 (1-4-5) tf=*4 (1-4.6} где 9tj?._d. 9 ядра операторов с/ и 5. И*з равенств немедленно следуют включения * С ЯМ, С 9&. (1-4.7)

Через Р^д обозначим ортопроектор на,%д. Формулами (а,/3)! - (-Да, До + («д,/3д)₀, (1.4.8) (^^-(Д^ДДо + КДі. (1.4.9) введем скалярные произведение наН* , гдешд = Льда;. Пополнения линеала Ш^к по соответствующим нормам j|-jji и [[-[[а обозначим через $ъ\ и $1 соответственно. Пространства S)^l_k, I ~ 1.2 -банаховы (их гильбертова структура нас в дальнейшем не интересует), причем имеем непрерывные и плотные вложения S&CS>ICS)1 (1.4.10)

Справедливо следующее

Следствие 1.4.1. Для любого к = 0,1,...,п существуют расщепления пространств fy^l_k — 5э^_д ф нд, где

2. Линейные уравнения и системы Соболевского типа

2.1. Задача Коши для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной

Пусть П_п - n-мерное риманово компактное ориентированное многообразие без края. Рассмотрим пространства 5^, к = 0,1,...,п- линейных гладких fc-форм, пополненных по норме, соответствующей скалярному произведению (1.4.1). Рас смотрим также пространства $j{ и S^l, где к = 0,1, п по полненных по нормам, соответствующим скалярным произве дениям (1.4.8) и (1.4.9). Расмотрим задачу Коши для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной (\-А)щ = аАи (2.1.1) и редуцируем ее, используя теорию гармонических полей Ходжа-Кодаиры [36], к задаче Коши u(0) = wo (2.1.2) для линейного уравнения Соболевского типа Lu = Ми. (2.1.3)

Для этого определим операторы L, М : 5г>\ —* $)\ для некоторого фиксированного к — 0.1,..., п следующим образом

Ь = Л-Д, А Є Ж, (2.1.4)

М = аА, аЄМ\{0}, (2.1.5) причем в качестве А = — 5d — dS выступает оператор Лапласа-Бел ьт рам и действующий на fc-формах (см. п.1.1.).

Теорема 2.1.1. Для любых АєИиаЄІ\ {0} операторы t,jWe№l;5j),ft = 0,l....,n.

Доказательство. Утверждение следует из линейности и непрерывности оператора Лапласа-Бельтрами Д определенного на пространстве гладких &-форм [66] и формул (2.1.4), (2.1.5) определяющих операторы L и М. >

Лемма 2.1.1. Для любых А Є R оператор L Є (J);i)J), fc = 0,1, п является фредгольмовым оператором.

Доказательство. Так как операторы L и М определенные формулами (2.1.4), (2.1.5) являются эллиптическими и самосопряженными, то в силу равенства пулю индекса соответствующих операторов и теоремы 1.1.3 следует утверждение леммы. >

Обозначим пространства 5$_к = it, a fi'j. = # для некоторого фиксированного к — 0,1,..., п соответственно. Спектр оператора Лапласа-Бельтрами обозначим а(А).

Лемма 2.1.2. Для любого А ф с(Д) существует оператор /Г¹ Є ($&$),*: = 0,1,....п.

Доказательство. Утверждение следует из формулы определе- ния оператора і = А - Д и свойств спектра оператора. >

Лемма 2.1.3. Спектр а (А) дискретен, неположителен, ко-нечпократеи и сгущается только к —со.

Доказательство. Нуль может лежать в спектре, и в зтом случае его собственное подпространство содержит гармонические формы. Остальное следует в силу соответствующего свойства для эллиптического самосопряженного оператора в банаховом пространстве. >

Обозначим через {А_г} последовательность собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами на многообразии П_п, занумерованную по невозрастанию с учетом кратности. Через {ip_t} обозначим ортонормированную ( в смысле (1.4.1)) последовательность собственных функций, {(ft} С Н*, Д^>, = Х_гір_г; если Х_г = 0. то ip_t S)kA из (1.4.2) при некотором фиксированном к = 0,1, — п.

Теорема 2.1.2. Для любых А Є Ш\ {0} и а Є R+ оператор М (L.0)- ограничен.

Доказательство. Если A . (T^L(M), то утверждение следует из леммы 2.1.2, замечания 1.1.1 и формулы (1.1.2).

Пусть А о"(Д) \ {0} , положим kerL = span{tp_l}\ = А,}.

Тогда для любого вектора ф ker L \ {0}, ^ = ^ад,^|с,|>0

А=А, А=А, имеем Мір — аХф 0 imL \ {0}.

Отсюда в силу леммы 2.1.1 и теоремы 1.1.2 следует утверждение теоремы. >

В случае А ф 0 L-спектр оператора М имеет вид

В случае А = О L-спектр оператора М a^L(M) = С.

Пусть А ф 0, найдем фазовое пространство уравнения (2.1.3). Для этого уравнения L-резольвента и правая L-резольвента имеют вид (lib - М)-¹ - У ,_х ^{'\ , & i# = &L - M)~^lL - -L_ (aX Y -тг—Г—г^г + Я) соответственно, а ряды в правой части сходятся равномерно и абсолютно по норме пространства ІІ. Тогда по формуле (1.1.1) построим проектор

Р = І-(-,<л)о<Л,АЄ<т(Д)\{0};

Р = 1,А<т(Д). 50

Поэтому фазовым пространством уравнения (2.1.3) в нашем случае является подпространство ІХ^ІиеїХ: {и, рОо = 0. Л = AJ, если А сг(Д)\{0}; (2.1.6)

It¹ = U, если А<т(Д). (2.1.7)

Теорема 2.1.3. При любых А Ф 0, к = 0,1,...,п и щ Є it¹ существует единственное решение и Є G'^fRjU¹) задачи (2.1.2), (2.1.3) которое к тому же имеет вид u(t) = ]rV<'⁽(_Uo,^)oV (2-1.8)

Здесь fi_t = аА₍/(А ~ А_г) из L-спектра оператора М, а штрих у знака суммы означает отсутствие слагаемых с номерами і такими, что А = А_г.

Доказательство. Возьмем отрезок [а, Ь] С R, и докажем равномерную сходимость ряда (2.1.8) на [а,Ь]. Поскольку L-спектр оператора М ограничен, то положим а = тах{|//| : (х Є a^L(M)}. <]Г^|^(_ио,^Ы1₂<

Далее, пусть і Є [a,6], тогда d^ku

2 ,=1 ^{<аке^"'\\(щ,^)}₀^{^\\}₂^< c'||(uo,^)o. [78] Carroll, R.W. Singular and degenerate Cauchy problems // R.W. Carroll, R.E. Showalter.- New York etc.: Academic Press- 1976. [79] Chon, R.l. On a theoiy of heat conduction involving two temperatures / P.J. Chen, M.E. Gurtin // Z. Angew. Math. Phys. 1968. Vol. 19. C.614-627. [80] Coleman, B.D. Instability, uniqness and nonexistance theorems for the equation щ = u_xx — u_Xt on a strip / B.D. Coleman, R J. Duffin, V.J. Mizel // Arch. Rat. Modi. Anal.-1965.- Vol.19. C.100-116. [81] Demidenko, G.V. /^-theory of boundary value problems for Sobolev type equations / G.V. Demidenko // Part. Diff. Eq. Banah Center Publ. Warsava- 1992.- Vol. 27.- C.101-109. [82] Duff, G. Differential forms in manifolds with boundary / G. Duff // Anal, of Math.- 1952.- Vol.56, № 1.- С.П5-127 [83] Duff, G. Harmonic tensors on Riemannian manifolds with boundary / G. Duff, D. Spenser // Anal, of Math- 1952.-Vol.56,№ 1.- C.128-156 [84] Eells, J. A setting for global analysis / J. Eells // Bull. Amer. Math. Society.- 1966.- Vol.72, № 5.- C.751-807. [85] Eliasson, H. Geometry of manifolds of maps/ H. Eliasson // J. Diff. Geom.- 1967.- Vol.1.- C.169-194. [86] Favini, A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi- New York etc.; Marcel Dekker, Inc-1999.- 324 с [87] Frirdrirhs, К. Differential forms on Riemannian manifolds / K. Friedrichs // Conimun. Pure AppL Math. 1955. Vol.8.- C.551-530. [88] Gorban, A.N. The construction of the invariant manifolds for Boltzmann equation / A.N. Gorban, I.V. Karlin // Adv. Model, and Analysis. 1992. Vol.33, № 3. - C.39-54. [89] Hallaire, M. On a theory of moisture-transfer / M. Hallaire // Inst. Rerh. Agronom. 1964. № 3.- C.60-72. [90] Hartman, P. On local homeomorphisms of Euclidean space / P. Hartman//Bol. Soc. Mat. Mexicana- 1960- № 5. C.224-241. [91] Hodge, W. The theory and applications of harmonic integrals // W. Hodge - Cambridge: Cambr. Univ. Press, 1952 - 282 с [92] Iwaniec, T. Nonlinear Hodge theory on manifolds with boundary, И T. Iwaniec, C. Scott, B. Stroffolini // Annali di Matematica pura ed applicata.- 1999 - Vol.177. C.37-115. [93] Kato, T. On classical solutions of the two dimensial non stationary Euler equation /T. Kato // Arch, for Rat. Mech. and Analysis.- 1967 - Vol. 25, №3.- C.188-200 [94] Kelley, A. The stable, center-stable, center-instable, instable manifolds / A. Kelley // J. Diff. Equat- 1967- Vol.3-C.546-570. [95] Kodaira, К. Harmonic fields in Riemanniaii manifolds ** (generalized potential theory) / K. Kodaira //Ann. of Math.

1949. Vol.50, № 2. C.587-6G5. [96] Levine, H. A. Some nonexistance and instability theorems for solutions of formally parabolic equations of the form Du_t = -Ли + F{u) I H. A. Levine // Arch. Rat. Mech. Anal. 1973.- Vol.51, № 5. - C.371-386. [97] Lewis, D.C. Invariant manifolds near an invariant point of instable type / D.C. Lewis // Amer. J, Math. -1938.- Vol.60 - C.577-587. [98] Lighthourne, J.H.A. Partial functional equations of Sobolev type / J.H.A. Lightbourne // J. Math. Anal. Appl- 1983.-Vol.93, № 2.- C.328-337. [99] Lyapunov-Schmidt method in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov, B. Loginov, A, Sinitsyn, M. Falaleev- Dordrecht- Harbound: Kluwer Academic publishers, 2002- 548 с [100] Melnikova, I.V. Abstract Cauchy problems: three approaches / I.V. Melnikova, A. Filinkov.- : Chapman and Hall/CRC, Boca Rator, Fl, 2001 - 236 с [101] Mitrea, D. Layer potentials, the Hodge Liiplacian, and global boundary problems in nonsmooth Ricmannian manifolds /D. Mitrea, M. Mitrea, M. Taylor // Mem. Amer. Math. Soc. 2001.-Vol.150, №713. [102] Peter, B.W. Existence and persistence of invariant manifolds for semiflows in Banach space / B.W. Peter, L. Kening, Z. Chonghun // Met. Amer. Math. Soc 1998.- Vol.135, J4* 645.-C.l-129. [103] Pyatkov, S.G. Operator theory. Nonclassical problems // S.G. Pyatkov- Utrecht etc.: VSP, 2002.- 348 c. [104] Schwarz, G. Hodge Decomposition - A Method for Solving Boundary Value Problems / G. Schwarz // Lecture Notes in Math. 1607, Springer, Berlin, 1995- 155 с [105] Showalter, R.E. The Sobolev type equations. I / R.E. Showalter // Appl. Anal- 1975- Vol.5, № 1.-C.15-22 [106] Showalter, R.E. The Sobolev type equations. II / R.E. Showalter // Appl. Anal. 1975. - Vol.5, № 2.- C.81-99. [107] Sternberg, S. Local constructions and a theorem of Poincare I S. Sternberg // Amer. J. Math.- 1957. - Vol.79. C.809-S24. [108] Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov.- Utrecht etc.: VSP, 2003.- 268 с [109] Свиридіок, Г.А. Об одтюй задаче фильтрации жидкости % на гладком многообразии / Г.А. Свиридіок, Д.Е. Шафра- нов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы междун. конференции. Воронеж: Воронежский государственный университет, 2003- С.222-223. [110] Свиридюк, Г.А. О задаче Коши для линейного уравнения Осколкова на гладком многообразии / Г.А. Свиридюк, Д.Е. Шафранов // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские течения XIV".- Воронеж: Воронежский государственный университет, 2003.- С.127-128. [lllj Свиридюк, Г.А. О задаче Коши для линейного уравнения Осколкова / Г.А. Свиридюк, Д.Е. Шафранов // Тр. 13 межвузовской конф. "Математическое моделирование и краевые задачи". Часть 3. Секция "Дифференциальные уравнения и краевые задачи":- Самара, СамГТУ, 2003-С Л 48-149. [112] Свиридюк, Г.А. Задача Коши для линейного уравнения Осколкова на гладком многообразии / Г.А. Свиридюк, Д.Е. Шафранов // Вести. Челяб. ун-та. Сер. мат., мех., информатика.- 2003.- № 1. С.146-153. [ИЗ] Свиридюк, Г.А. Задача Коши для уравнения Бареиблатта-Желтова-Кочиной на гладком многообразии / Г.А. Свиридюк, Д.Е. Шафранов // Вести. Челяб. ун-та. Сер. мат., мех., информатика.- 2003.- № 3.- С.171-177. [114] Свиридюк, Г.А. О задаче Коиш для линейного уравнения Осколкова на многообразии без края / Г.А. Свиридюк, Д.Е. Шафранов // "Алгоритмический анализ неустойчивых задач": Тез. докл. Всерос. науч. коиф. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун та, 2004.- С.219. [115] Свиридюк, Г.А. Квазистационарные траектории уравнения Осколкова на многообразии без края / Г.А. Свиридюк, Д.Е. Шафранов // Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения: Материалы междунар. научной конф. ТВМНА-2005.- Воронеж: Воронежский государственный университет, 2005.- С.100. [116] Свиридюк, Г.А. Уравнения Осколкова на многообразии без края / Г.А. Свиридюк, Д.Е. Шафранов // Неклассические уравнения математической физики: Тр. междунар. семинара посвященного 60-летию профессора В.Н. Врагова.- Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2005.-С.263-267. [117] Шафрапов, Д.Е. Инвариантные пространства и дихотомии для одного уравнения Соболевского типа / Д.Е. Ша-франов // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XVII".- Воронеж: Воронежский государственный университет, 2006.- С.106. [118] Шафрапов, Д.Е. Об инвариантных пространствах линейной системы Осколкова на римановом многообразии без края / Д.Е. Шафранов // "Математика. Механика. Информатика": Тез. докл. Всерос. науч. конф./Отв. ред. А.М.Ильин - Челябинск: Чсляб. гос. ун-т, 2006,- С.153 [119] Шафранов, Д.Е. Фазовое пространство и устойчивость системы Осколкова на римановом многообразии / Д.Е. Шафранов // Вестник МаГУ. Математика.- Вып. 9- Магнитогорск: МаГУ, 2006.- С.97-106.

Относительно ограниченные операторы

Цепочка М-присоединенных векторов может быть бесконечной. В частности, она может быть "заполнена нулями, если множество kerL П кегЛ/ ф {0}. Однако она обязательно конечна, если существует число р Є N такое, что М рР ф. im L \ {0}.

Теорема 1.1.2. Пусть оператор L-фредгольмов. Тогда следующие условия эквивалентны

(і) Оператор М (L p)-ограничен, р {0} UN.

(И) Длина любой и,епочки М-присоединенных векторов оператора L не превосходит р.

Напомним, что фредгольмовым называется операторі, если его индекс indL = 0.

Теорема 1.1.3. (теорема Атьи-Зннгера об индексе ) Пусть С(0 и 0{ri) - пространства бесконечно дифференцируемых сечений векторгтх расслоений и г\ над дифференцируемым замкнутым n-мерным многообразием Q.n uL : С{) — С00 ) (псевдодифференциалъный) эллиптический оператор. Тогда его аналитический индекс ігк1п равен топологическому индексу ind(L.

Оператор L называется бирасщепляющим [4], если его ядро и образ дополняемы в пространствах И и J соответственно.

Задача Коши для уравнения Баренблатта-Желтова- Кочиной

Теорема 2.1.1. Для любых АєИиаЄІ\ {0} операторы t,jWe№l;5j),ft = 0,l....,n.

Доказательство. Утверждение следует из линейности и непрерывности оператора Лапласа-Бельтрами Д определенного на пространстве гладких &-форм [66] и формул (2.1.4), (2.1.5) определяющих операторы L и М.

Лемма 2.1.1. Для любых А Є R оператор L Є (J);i)J), fc = 0,1, п является фредгольмовым оператором.

Доказательство. Так как операторы L и М определенные формулами (2.1.4), (2.1.5) являются эллиптическими и самосопряженными, то в силу равенства пулю индекса соответствующих операторов и теоремы 1.1.3 следует утверждение леммы.

Обозначим пространства 5$к = it, a fi j. = # для некоторого фиксированного к — 0,1,..., п соответственно. Спектр оператора Лапласа-Бельтрами обозначим а(А).

Лемма 2.1.2. ДЛЯ любого А ф с(Д) существует оператор /Г1 Є ($&$), : = 0,1,....п.

Доказательство. Утверждение следует из формулы определения оператора і = А - Д и свойств спектра оператора. Лемма 2.1.3. Спектр а (А) дискретен, неположителен, ко-нечпократеи и сгущается только ксо.

Доказательство. Нуль может лежать в спектре, и в зтом случае его собственное подпространство содержит гармонические формы. Остальное следует в силу соответствующего свойства для эллиптического самосопряженного оператора в банаховом пространстве.

Обозначим через {Аг} последовательность собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами на многообразии Пп, занумерованную по невозрастанию с учетом кратности. Через {ipt} обозначим ортонормированную ( в смысле (1.4.1)) последовательность собственных функций, {(ft} С Н , Д , = Хгірг; если Хг = 0. то ipt S)kA из (1.4.2) при некотором фиксированном к = 0,1, — п.

Задача Коши для системы Осколкова

Теорема 3.2.1. Для п = 2,3 и Л Є R\ff(4),v Є R+, в окрестности точки нуль, существуют устойчивое инвариантное многообразие 2Ж и неустойчивое инвариантное многообразие ffl? уравнения (3.1.1), причемд 1 если не пусто, то конечномерно и сНтЭЯ" = max{i : Л А,}, а Ж3 бесконечномерно и codimSUT = dim ЙЯ" + dim ker L.

Доказательство. В теореме 3.1.2. доказана простота фазового пространства уравнения (3.1.1), а L-спектр оператора М в (3.2.2) удовлетворяет условию (1.2.8). В п.3.1. построен оператор N = сЫ(ЩПС,0) Є C(U;5) таков, что iV(0) =Ои NQ О. Из теоремы 1.3.2 следует существование устойчивого инвариантного многообразия 97ts и неустойчивого инвариантного многообразия ЯЯ" уравнения (3.1.1). Размерность инвариантных многообразий определяется по тах{г : А Аг}, где \ из спектра, если воспользоваться леммой 3.1.1. о

Похожие диссертации на Задача Коши для уравнений соболевского типа на римановых многообразиях

Исследования многообразий решений и краевых задач для некоторых многомерных вырождающихся (сингулярных) уравнений в частных производных эллиптического типаМухсинов Абдулкосим

Об оценках решений задачи Коши для уравнений типа Шредингера в пространствах Lp и BpqШлекис, Пятрас Пятрович

Осилляционные интегралы и их приложения к решению задачи Коши для уравнений типа ШредингераКуркиев, Ахмет Бесланович

Задача Коши для вырождающегося уравнения гиперболического типа в гильбертовом пространстве Семенов Сергей Митрофанович

Задача Коши для параболических псевдодифференциальных уравнений с начальными условиями в пространствах обощенных функций типа распределенийЛитовченко, Владислав Антонович

Исследование устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий полулинейных уравнений соболевского типаКитаева Ольга Геннадьевна

Асимптотическое поведение решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в пространствах постоянной отрицательной кривизны Погорелов Юрий Владимирович

Задача Коши для эллиптических уравнений, порождаемых оператором Лапласа в комплексном пространствеШалагинов Сергей Дмитриевич

Задача Коши для параболических уравнений с некоторыми вырождениями в пространствах обобщенных функцийЖитарюк, Иван Васильевич

Теоремы единственности решения задачи Коши для эволюционных уравнений и систем с растущими коэффициентамиТуртин, Дмитрий Витальевич