Содержание к диссертации
Введение
1 Основные результаты для локальных псевдодифференциальных операторов 8
1.1 Необходимые определения 8
1.2 Основные результаты 13
2 Доказательства теорем 18
2.1 Общая структура редукции 18
2.2 Расширение редукции на пространства обобщенных функций 28
2.3 Псевдодифференциальные операторы 31
2.4 Фредгольмовость и вычисление индекса 39
3 Применение редукции к случаю нелокальных ПДО 44
3.1 Расширение класса ПДО в пространстве M(R2n) 44
3.2 Нелокальные ПДО в пространстве S(Rn) 47
3.3 Сравнение нелокальных ПДО и ПДО в пространстве M(R2n) 49
4 Примеры 52
4.1 Операторы Грушина 52
4.2 Биградуированные операторы 53
4.3 Случай целых биградуировок 53
Список литературы
- Основные результаты
- Псевдодифференциальные операторы
- Нелокальные ПДО в пространстве S(Rn)
- Биградуированные операторы
Введение к работе
Задача вычисления индекса эллиптических псевдодифференциальных операторов была поставлена И.М. Гельфандом в 1960 году. В 1962 году была опубликована известная теорема Атьи-Зингера (см. [15]), позволяющая вычислять индекс эллиптического псевдодифференциального оператора на компактном многообразии через гомотопические инварианты. В тоже время вычисление индекса эллиптического оператора на некомпактном многообразии до сих пор является открытой задачей даже в случае, когда в роли многообразия выступает пространство Rn.
Еще одним направлением развития проблемы изучения индекса эллиптических операторов, является изучение нелокальных псевдодифференциальных операторов. Как и в случае обычных псевдодифференциальных операторов, есть большое количество весьма общих работ в которых вычисляется индекс для нелокальных псевдодифференциальных операторов на компактных многообразиях. Так в работе М.С. Аграновича ([12], 1990) получена формула для вычисления индекса нелокальных псевдодифференциальных операторов с конечной группой сдвигов. Для случая более сложных групп отметим монографию В.Е. Назайкинского, А.Ю. Савина, Б.Ю. Стернина ([7], 2008) в которой получены результаты для случая групп, сохраняющий некоторую метрику на компактном многообразии.
Имеются работы, в которых описаны достаточно узкие классы операторов, действующих в пространстве Шварца
Класс биградуированных псевдодифференциальных операторов рассматривался в монографии F. Nicola, L. Rodino ([16], 2010). В монографии изучены различные классы символов исевдодифференциальных
операторов, действующих в пространстве Шварца. Изучается вопрос фредгольмовости операторов, однако явной формулы для индекса также не получено.
Для построения отождествления псевдодифференциальных операторов на некомпактном многообразии и псевдодифференциальных операторов на компактном многообразии, строится редукция, впервые предложенная для изучения псевдодифференциальных операторов СП. Новиковым. Ранее данное отображание использовалось также в работе И.М. Гельфанда ([14], 1950) при доказательстве теоремы о разложении в интеграл фурье по собственным функциям. Указанная редукция используется также в задачах усреднения (во всем пространстве), см. например работу В.В. Жикова ([13], 2005).
Цель работы. Цель настоящей работы состоит в построении редукции псевдодифференциальных операторов с биградуированными символами, действующих над пространством Rn, к псевдодифференциальным операторам, действующим в пространстве гладких сечений некоторого расслоения тора удвоенной размерности Т2п, а также при получении формулы для индекса широкого класса классических и нелокальных псевдодифференциальных операторов.
Методы работы. В работе применяются методы функционального анализа (преобразование Фурье), алгебраической топологии (формула Атьи-Зингера, векторные расслоения) и теории псевдодифференциальных операторов (общие свойства классических и нелокальных ИДО).
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:
Построена редукция между пространством Шварца
Построена редукция биградуированных псевдодифференциальных операторов, действующих в пространстве Шварца, к псевдодифференциальным операторам в пространстве гладких сечений расслоения тора.
Получена формула для индекса биградуированных псевдодиф-фернциальных операторов в пространстве Шварца.
Построена редукция нелокальных псевдодифференциальных операторов с целочисленными сдвигами в пространстве Шварца, к псевдодифференциальным операторам без сдвигов в пространстве гладких сечений расслоения тора. Получена формула для вычисления индекса таких операторов.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к теории псевдодифференциальных операторов и могут применяться для изучения псевдодифференциальных операторов (локальных и нелокальных) на некомпактных многообразиях, а также для переноса топологических инвариантов со случая компактных многообразий на некомпактные.
Аппробация работы
На семинаре "Некоммутативная геометрия и топология "механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством проф. А.С. Мищенко. (2012 год).
На топологическом семинаре имени В. А. Рохлина петербужского отделения математического института РАН имени В. А. Стеклова. под руководством проф. Нецветаева (2013 год).
На семинаре отдела дифференциальных уравнений математического института РАН имени В. А. Стеклова. под руководством академика Д.В. Аносова (2013 год).
На семинаре кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством проф. Е.В. Радкевича. (2013 год).
На семинаре кафедры общих проблем механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством проф. В. М. Тихомирова (2012 год).
На международной молодежной конференции Ломоносов-2013 (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 2013 год).
Структура работы. Работа создает из введения, четырех глав, разбитых на параграфы и списка литературы, включающего в себя 20 наименований. Общий объем диссертации - 58 страниц.
Публикации. По теме диссертации опубликовано три печатные работы.
Основные результаты
Для отождествления псевдодифференциальных операторов на некомпактном многообразии и псевдодифференциальных операторов на компактном многообразии, отображения такого типа были впервые предложены для редукции операторных пространств СП Новиковым (1960-е года, неопубликованное приватное сообщение). Ранее данное отобража-ние использовалось также в работе И.М. Гельфанда ([15], 1950) для доказательства теоремы о разложении в интеграл Фурье по собственным функциям. Также данное отображение используется в задачах усреднения (во всем пространстве), см. например работу ([14], 2005). В данных работах преобразование используется для редукции исходной задачи к более удобному виду, как в выражении (8) работы [14].
Теорема 1 позволяет отождествить классы псевдодифференциальных операторов. Пусть оператор А явлется ПДО с символом о"(ж,) обобщенного порядка (777-1,777-2). Рассмотрим оператор А = ЛАД.-1, действующий в прострнастве M(R2n).
Теорема 2. Оператор А является псевдодифференциальным оператором в пространстве M(R2n) с символом сг( + v, )- Для любых Химерных мультииндексов о = (0:1,0:2) и [5 = (/ 1,/ найдется такая неотрицательная констаната Саф, что имеет место неравенство
Формулу (0.4) следует понимать в следующем смысле. Если взять функцию h Є M(R2n) и применить к ней, как к обобщенной функции, оператор А, определенный в формуле (0.4) и действующий, вообще говоря, в пространстве обобщенных функций P (R2n), то, как будет показано при доказательстве теоремы 2, получится регулярная функция, лежащая в пространстве M(R2n).
Поскольку пространство M(R2n) отождествлено с пространством гладких сечений расслоения тора, к оператору А в случае, если он является эллиптическим псевдодифференциальным оператором, можно применять формулу Атьи-Зингера. Напомним, что символ оператора называется эллиптическим если он обратим. Псевдодифференциальный оператор называется эллиптическим, если его символ эллиптический ([16], 1968, стр. 130).
Теорема 3. Если А и А - операторы из условия теоремы 2 обобщенного порядка (777,1,777-2). Если оператор А является эллиптическим, то для любых вещественных параметров S\, S2 операторы А и А продолжаются до фредгольмовых операторов
В формуле (0.6) мы обозначаем через ch[a] характер Черна (см. [7] стр. 81) расслоения, задаваемого символом [а], приведенным к базе Т2п при помощи изоморфизма Тома ([8], 2008, стр. 141).
Множество псевдодифференциальных операторов действующих в пространстве M(R2n) с символами вида a ( J + v, 2 ), не исчерпывает всех псевдодифференциальных операторов, действующих в нем.
Отметим, что в отличии от классического определения, отсутствует падение порядка роста при дифференцировании по первым переменным. Взамен этого имеет место периодиочность. Если функция 0"( 2, 6, С, (Ї) из этого определения не зависит от периодических переменных а, 6, то мы получаем биградуированные символы, рассмотренные выше.
Пару (7711,77) мы будем называть обобщенным порядком символа а. Если рассмотривать в качестве символа оператора А такие биградуированные функции, то после подстановки ее в формулу (0.4), определяемый ей оператор А будет псевдодифференциальным.
Если функция а обладает обобщенным порядком (7771,7772), то в силу периодичности по первым двум группам переменных она разложима в ряд Фурье Такое естественное расширение класса рассматриваемых ПДО в пространстве M(R2n) за счет умножения символов на периодические ко-эфиценты, дает нам действующие в пространстве Шварца нелокальные ПДО с целочисленными сдвигами в следующем смысле.
Класс нелокальных псевдодифференциальных операторов (ПДО со сдвигом) определяется следующим образом (см. например [13], 1973). Обозначим через Тд паралельный перенос на вектор д Є Zn. То есть Пусть Aik - псевдодифференциальные операторы обобщенного порядка (mi, тг), для всех /, к Є Zn. Рассмотрим действующий в пространстве Шварца S(Rn) оператор A : S(Rn) — S(Rn). Если оператор А представим в виде абсолютно сходящегося ряда то будем говорить, что оператор А является нелокальным псевдодифференциальным оператором обобщенного порядка (7771,7772).
В работах ([8], 2008), ([13], 1973) рассматривается более узкий класс операторов у которых отличны от нуля только слагаемые А/;о, то есть рассматривается ряд (3.9) без умножения на периодические функции.
Пусть оператор А псевдодифференциальный оператор, обобщенного порядка (7771,7772), действующий в пространстве M(R2n). Рассмотрим оператор А = Л_1У1Л, замыкающий коммутативную диаграмму где операторы A lk псевдодифференциальные операторы с символами
Данная редукция позволяет расширить область применения теоремы 3 на нелокальные операторы с целочисленными сдвигами, действующие в пространстве Шварца.
Теорема 5. Пусть операторы А и А - операторы из теоремы 4- Тогда, если символ оператора А эллиптический, то операторы А и А фредгольмовы в соответствующих нормах, то есть для любых вещественных параметров S\, S2 Є R фредгольмовы операторы
Для построения редукции нам потребуется два функциональных пространства. В качестве первого функционального пространства мы рассматриваем классическое пространства Шварца S = S(Rn). Пусть функция / = f(x) = f(x\}..., хп) принадлежит пространству S, f Є S. Это значит, что функция f(x) является бесконечно-дифференцируемой и для всяких мультииндексов а =
п Вторым функциональным пространством, которое будет участвовать в сравнении, служит пространство бесконечно-дифференцируемых функций M(R2n) С C(R2n), удовлетворяющих условиям типа периодичности. Именно, пусть в пространстве R2n « Rn х Rn заданы декартовы координаты (t,v) = (t\,..., tn, г»і,... , vn). Предполагается, что пространство M(R2n) состоит из всех функций h Є C(R2n), удовлетворяющих условиям
Псевдодифференциальные операторы
В силу компактно вложения ( и показанного выше свойства (2.65) для коммутаторов, покажем, что из эллиптичности символа оператора А следует существование правого и левого параметрикса у оператора А и, значит, у оператора А. Правым параметриксом псевдодифференциального оператора А мы называем ([6], стр. 57 формула (5.7)) такой псевдодифференциальный оператор В, что где / - тождественный оператор, a R - бесконечно сглаживающий оператор (то есть с бесконечно-дифференцируемым ядром). Аналогично опредляется левый параметрикс. Для построения параметрикса приведем конструкцию аналогичную, приведенной в работе [9] (см. стр. 44, теорема 3.4). Пусть сг(х, ) - эллиптический символ, то есть существуют такие (т1, т2) и неотрицательная константа С, что при некотором р 0 выполняется условие Рассмотрим бесконечно-диффиренцируюмую функцию ф(х,) такую, что ф(х,) = 0 для всех ж, таких, что \х\2 + 2 р, и ф(х,) = 1 при всех \х\2 + 2 2р. Тогда определим функцию
Тогда функция ті обладает обобщенным порядком (—mi, -77). Проверим, что она будет правым и левым параметриксом. Коммутатор операторов [сг ] = [ArjArJ В силу доказанного свойства (2.65) и свойства компактности, при всех Si,S2 продолжим до компактного оператора 4[о-;(71] : HSl,S2 —HSl l,S2 l. Следовательно, в силу определения функции ф(х,) композиции операторов принимают вид где Ті, Т2 - компактные операторы. Так как Л осуществляет изоморфизм и по теореме 4 двусторонним параметриксом оператора Аа = ААаА 1 будет оператор Aai = AAaiA l. Как доказано в монографии [6] (предложени 8.2, стр. 85) из суще ствования у оператора А параметрикса, следует его фредгольмовость. В силу работы [16] к оператору А можно применить формулу Атьи Зингера, так как символ эллиптического оператора обратим. Далее, пусть ch[a] - характер Черна расслоения, задаваемого эллиптическим символом 0-( + , 2) псевдодифференциального оператора А) приве денным к базе Т2п при помощи изоморфизма Тома. Тогда из формулы Атьи-Зингера (см. например [7], стр. 171, формула (6)) окончательно получаем формулу для индекса (1.24). 3 Применение редукции к случаю нелокальных ПДО
Построенная редукция Л пространства псевдодифференциальных операторов, действующих в пространстве Шварца S(Rn) к псевдодиффе-ренциальынм операторам, действующим в пространстве M(R2n) не исчерпывает всех действующих в нем псевдодифференциальных операторов. Это позволяет расширить класс изучаемых нами ПДО, дополнив их так называемыми нелокальными псевдодифференциальными операторами.
Определение 10. Будем говорить, что бесконечно-дифференцируемая функция a(a,b,c,d) Є C(R4n) лежит в классе функций S 1 2, если она периодична по первым двум переменным
Доказательство. Бесконечная-дифференцируемость функций а/ следует из теорем о непрерывности и гладкости интегралов зависящих от параметра. Значит для доказательства предложения, остается проверить, что функция 7/;& удовлетворяет неравенству (1.9). То есть покажем, что для всяких мультииндексов а, /3, найдется такая неотрицательная константа Саф, что Vc, d выполняется неравенство
Значит для любой функции h(t,v), лежащей в пространстве M(R2n) и для всякой пары мультииндексов а,(3 согласно теореме 4 значение \d d Ah(t,v)\ ограничено сверху значением псевдодифференциального оператора с символом 0 (1 + і)Ші а (1 + 2І)Ш2_ - Значит в каждой точке (t,v) определено значение функции \d d Ah(t,v)\.
Непрерывность и дифференцируемость этой функции следует из теорем о непрерывности и дифференцируемости функций, зависящих от параметра ([5], том II стр. 480, утверждение 1, стра. 482 утверждение 2). Периодичность следует из периодичности функции 0"(,г ,і,2), косопериодичность из теоремы 4. Остается проверить псевдодифференциальность оператора А. В карте U из доказательства теоремы 4 определим символ оператора Ац из формулы (2.48) следующим образом, аналогичном теореме 4
Нелокальные ПДО в пространстве S(H Определим теперь класс нелокальных псевдодифференциальных операторов (ПДО со сдвигом). Обозначим через Тд иаралельный перенос на вектор д Є Zn. То есть Пусть Aik - псевдодифференциальные операторы обобщенного порядка (mi, тг), для всех /, к Є Zn. И рассмотрим линейный непрерывный оператор Л, действующий в пространстве Шварца As(Hn) — S{Rn). Определение 11. Если оператор А представим в виде mo будем называть такой оператор нелокальными псевдодифференциальным операторам обобщенного порядка (7771,7772).
Обычно в литературе (см. например [8], [13]) рассматривают более узкий класс операторов у которых отличны от нуля только слагаемые А/;о, то есть рассматривается ряд (3.9) без умножения на периодические функции.
Нелокальные ПДО в пространстве S(Rn)
В силу неотрицательности всех слагаемых, достаточно доказать эквивалентность слагаемых с одинаковыми индексами, то есть доказать, что существуют такие неотрицательные константы Ci, ( что выполняются неравенства
Разберем сначала случай различных і и j. В повторном интеграле можно менять порядок интегрирования. Значит можно применить лемму 2 сначала к внутренней производной, а затем к внешнему умножению на моном. То есть существуют такие неотрицательные константы Ci,C2, что
Перейдем теперь к слагаемым с одинаковыми номерами і = j. Зафиксируем параметры /,ш: Для простоты обозначений, индексы г, j опустим. Пусть сначала / т. Интегрируя по частям и применяя лемму 1, получаем
Следовательно, по лемме 2 получаем эквивалентность Соболевских норм в пространствах S(Rn) и M(R2n).
Вторая часть утверждения теоремы 2 о совпадении скалярных произведений следует из леммы 2 и формулы, выражающей скалярное произведение через норму следующим образом. Зафиксируем произвольные лежащие в пространстве M(R2n) функции hi Є M(R2n). И пусть j\ = Л-1 hi, /2 = Л-1/І2. Тогда выпишем скалярное произведение, выраженное через нормы, отвечающие индексам р = к = 0:
Расширение редукции на пространства обобщенных функций Выясним, как устроено пространство пробных функций DM. Напом 00 ним, что ряд 2 gi называется локально-конечным, если на всяком ком г=0 пакте К лишь конечное число слагаемых ряда отлично от нуля, то есть ді\к = 0 для всех достаточно больших і. Предложение 1. Функция h(t,v) Є M(R2n) принадлежит пространству DM(R2n) тогда и только тогда, когда локально конечен ряд Доказательство. Докажем сначала, что h(t, v) Є DM(R2n) равносильно тому, что найдется такое конечное множество (7 с Zn, что при всех v Є Р, для h(t,v) имеет место представление:
Поскольку функция f(x) обладает компактным носителем, то множество U конечно. Следовательно, при v Є Р функция Л/ представима следующим образом (л/)(м) = Е e27riu7(« + o) = 5 27( + , (2.30) что и является искомым представлением для функции h(t,v) в виде локально конечного ряда при -и Є Р. В силу условия косой периодич ности, ряд (2.30) продолжается на все точки (t,v) Є R2n с сохранением локальной конечности ряда в любом единичном кубе. Поскольку любой компакт К С Rn может быть покрыт конечным числом таких кубов, то окончательно получаем локальную конечность ряда (2.30). Для краткости изложения доказательства теоремы 3 зафиксируем размерность п и введем следующие обозначения S := S(Rn),M := M(R2n), D := (Rn), DM := DM(R2n), D := D {Rn), DM := DM (R2n;
Доказательство теоремы 3. В силу изоморфности пространств S и М изоморфными являются пространства D и DM . Зафиксируем произвольную пробную функцию ф(х) Є D. Обозначим через ф образ функции ф(х): то есть положим ф = Кф Є DM.
Действительно, каждый член указанного ряда имеет вид h(u + v)e2niu\]A4 )(t,vj\ = Y If e2nMf(u + v)e-2nikt 4 (k + v)dtdv. (2.33) Если k и u различны, подынтегральная функция нечетна, следовательно соответствующие слагаемые нулевые. Значит единственный отличный от нуля член соответствуюет номеру k = и. Следовательно, этот ряд составлен из слагаемых вида
Далее по аналогии с регулярным случаем будем писать просто Л вместо Л_р, понимая Aj) как расширение преобразования Л на пространство обобщенных функций DM (R2").
Доказательство теоремы 4- Рассмотрим псевдодифференциальный оператор А = т(ж, Л), обладающий символом о-(х ) Є Smi m2(Rn х Rn). Требуется доказать, что оператор А = ААА 1, действующий в M(R2n) и замыкающий коммутативную диаграмму
Определим оператор А: действующий, вообще говоря, в простран стве D (R2n), следующим образом А = Tg\vTg\tcj ( + ,&) ЪУ ЪУ , (2-38) где J- - соответствующие преобразования Фурье. Или более подробно, формально определим действие на функцию h(t, v) Є M(R2n) в интегральном виде Ah(t,v) = - ЛЛе - е - (7 (j± + о,2) h{tyivy)dtydvyd db. R4n (2.39) Докажем сначала, что пространство M(R2n) является инвариантным относиительно преобразования (2.39). Для этого необходимо проверить, что функция Ah регулярна и коммутативна диаграмма (2.37).
Любая функция косопериодическая функция h(t,v) Є M(R2n) пред-ставима в виде абсолютно сходящегося локально-конечного функционального ряда составленного из пробных функций, лежащих в DM(R2n). Значит утверждение достаточно проверить для пробных функций.
Зафиксируем произвольную пробную функцию h(ty,vy) Є DM(R2n) и возьмем соответствующую ей финитную функцию f{x) = A.-lh{ty)vy). Перепишем в эквивалентном виде Af(x) = J2 e2 iut f(u + vy) = h(ty,vy). ueZn В силу предложения 1 этот ряд локально конечен. Обозначим через If куб в Rn с единичными ребрами, параллельными осям, у которого вершина, имеющая наименьшие координаты, находится в точке / Є Zn. Вычислим AAf\ последовательно применяя операторы из формулы (2.38). Последовательно применим преобразования Фурье к функции h Є M(R2n), получаем
Биградуированные операторы
При условии (к, І) — оо правая часть выражения (2.71) стремится к нулю, следовательно вложение ( компактно. Значит компактным является также и вложение (j : HSuS2 — HSl lrS2 l.
В силу компактно вложения ( и показанного выше свойства (2.65) для коммутаторов, покажем, что из эллиптичности символа оператора А следует существование правого и левого параметрикса у оператора А и, значит, у оператора А. Правым параметриксом псевдодифференциального оператора А мы называем ([6], стр. 57 формула (5.7)) такой псевдодифференциальный оператор В, что где / - тождественный оператор, a R - бесконечно сглаживающий оператор (то есть с бесконечно-дифференцируемым ядром). Аналогично опредляется левый параметрикс.
Для построения параметрикса приведем конструкцию аналогичную, приведенной в работе [9] (см. стр. 44, теорема 3.4). Пусть сг(х, ) - эллиптический символ, то есть существуют такие (т1, т2) и неотрицательная константа С, что при некотором р 0 выполняется условие
Тогда функция ті обладает обобщенным порядком (—mi, -77). Проверим, что она будет правым и левым параметриксом. Коммутатор операторов [сг ] = [ArjArJ В силу доказанного свойства (2.65) и свойства компактности, при всех Si,S2 продолжим до компактного оператора 4[о-;(71] : HSl,S2 — HSl l,S2 l. Следовательно, в силу определения функции ф(х,) композиции операторов принимают вид где Ті, Т2 - компактные операторы. Так как Л осуществляет изоморфизм и по теореме 4 двусторонним параметриксом оператора Аа = ААаА 1 будет оператор Aai = AAaiA l.
Как доказано в монографии [6] (предложени 8.2, стр. 85) из суще ствования у оператора А параметрикса, следует его фредгольмовость. В силу работы [16] к оператору А можно применить формулу Атьи Зингера, так как символ эллиптического оператора обратим. Далее, пусть ch[a] - характер Черна расслоения, задаваемого эллиптическим символом 0-( + , 2) псевдодифференциального оператора А) приве денным к базе Т2п при помощи изоморфизма Тома. Тогда из формулы Атьи-Зингера (см. например [7], стр. 171, формула (6)) окончательно получаем формулу для индекса (1.24). 3 Применение редукции к случаю нелокальных ПДО
Построенная редукция Л пространства псевдодифференциальных операторов, действующих в пространстве Шварца S(Rn) к псевдодиффе-ренциальынм операторам, действующим в пространстве M(R2n) не исчерпывает всех действующих в нем псевдодифференциальных операторов. Это позволяет расширить класс изучаемых нами ПДО, дополнив их так называемыми нелокальными псевдодифференциальными операторами.
Определение 10. Будем говорить, что бесконечно-дифференцируемая функция a(a,b,c,d) Є C(R4n) лежит в классе функций S 1 2, если она периодична по первым двум переменным и кроме того для всяких n-мерных мулътииндексов а,/3 существует такая неотрицательная константа Са$, что выполняется неравенство
Пусть функция а обладает обобщенным порядком (ші,Ш2), т Є S 1,m2. Тогда в силу периодичности по первым двум группам переменных она разложима в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье
Доказательство. Бесконечная-дифференцируемость функций а/ следует из теорем о непрерывности и гладкости интегралов зависящих от параметра. Значит для доказательства предложения, остается проверить, что функция 7/;& удовлетворяет неравенству (1.9). То есть покажем, что для всяких мультииндексов а, /3, найдется такая неотрицательная константа Саф, что Vc, d выполняется неравенство
Значит для любой функции h(t,v), лежащей в пространстве M(R2n) и для всякой пары мультииндексов а,(3 согласно теореме 4 значение \d d Ah(t,v)\ ограничено сверху значением псевдодифференциального оператора с символом 0 (1 + і)Ші а (1 + 2І)Ш2_ - Значит в каждой точке (t,v) определено значение функции \d d Ah(t,v)\.
Непрерывность и дифференцируемость этой функции следует из теорем о непрерывности и дифференцируемости функций, зависящих от параметра ([5], том II стр. 480, утверждение 1, стра. 482 утверждение 2). Периодичность следует из периодичности функции 0"(,г ,і,2), косопериодичность из теоремы 4. Остается проверить псевдодифференциальность оператора А. В карте U из доказательства теоремы 4 определим символ оператора Ац из формулы (2.48) следующим образом, аналогичном теореме 4
ММ,б,Ы = (х1( Х2( ), + Ы Ш Здесь мы пользуемся обозначениями из доказательства теоремы 4. Ра венство (2.56) снова имеет место для такого символа в силу определения диффеоморфизма х, значит оператор А является псевдодифференци альным оператором, действующим в пространстве M(R2n).
Определим теперь класс нелокальных псевдодифференциальных операторов (ПДО со сдвигом). Обозначим через Тд иаралельный перенос на вектор д Є Zn. То есть Пусть Aik - псевдодифференциальные операторы обобщенного порядка (mi, тг), для всех /, к Є Zn. И рассмотрим линейный непрерывный оператор Л, действующий в пространстве Шварца As(Hn) —S{Rn). mo будем называть такой оператор нелокальными псевдодифференциальным операторам обобщенного порядка (7771,7772). Обычно в литературе (см. например [8], [13]) рассматривают более узкий класс операторов у которых отличны от нуля только слагаемые А/;о, то есть рассматривается ряд (3.9) без умножения на периодические функции. п
Ниже будут указаны условия при которых операторный ряд (3.9) из определения 11 является оператором, действующим в пространстве Шварца.
Пусть оператор А псевдодифференциальный оператор из формулировки предложения 4, обобщенного порядка (7774,7772), действующий в пространстве M(R2n). Рассмотрим оператор А = Л-1 АЛ., замыкающий коммутативную диаграмму
Похожие диссертации на Редукция псевдодифференциальных операторов на некомпактном многообразии к псевдодифференциальным операторам на компактном многообразии удвоенной размерности
