О дискретности спектра некоторых эллиптических операторов на некомпактных римановых многообразиях Светлов Андрей Владимирович

Дискретность спектра операторов Лапласа — Бельтрами и Шрёдингера на искривленных римановых произведениях

Рассмотрим сначала риманово многообразие Z, изометричное произведению X х Y (где X и У— произвольные многообразия размерностей пит, соответственно) с метрикой где 7(1) — С1-гладкая положительная функция, dx2 и dy2 метрики на X и У соответственно, то есть Следовательно, метрический тензор на Z имеет вид: соответственно, обратный ему: а определитель Q — detail = det Ив !!"1 = rr2m(x)A(x)B{y), где мы обозначили А(х) = det яу , Такие многообразия Z называются искривленными римановыми произведениями (см., например, [18]). Пусть на Z задана борелевская мера /І. Как мы заметили выше, это не обязательно риманов объём. Будем предполагать, что /а имеет плотность a{z), где a(z) — т(х)г}(у), т{х) и г)(у) — С -тладкие положительные функции. (Очевидно, что если ц - риманов объём на Z, то a(z) = 1.) Рассмотрим весовое многообразие (Z,ft) и операторы Лапласа — Бельтрами и Шрёдингера на описанном многообразии. Заметим, что обычно, при рассмотрении операторов на весовых многообразиях, принято к обозначению оператора добавлять меру многообразия в качестве нижнего индекса. В частности, оператор Лапласа — Бельтрами на весовом многообразии (2,/І) следовало бы обозначить -Дд. Но, поскольку везде далее мы будем рассматривать лишь весовые многообразия и только операторы, ассоциированные с мерой многообразия, мы не станем акцентировать на этом внимание еще раз в обозначении операторов. Для существования расширения по Фридрихсу у оператора Шрё-дингера, нам необходимо, чтобы он был полуограниченным; поэтому будем везде считать, что с(х) — К, (К — const). В конечном итоге нас будет интересовать зависимость структуры спектра операторов Лапласа — Бельтрами и Шрёдингера от метрики многообразия. Докажем следующую лемму о представлении оператора Лапласа — Бельтрами на таких многообразиях. Лемма 1.

Оператор Лапласа — Бельтрами на многообразии (Z, и) имеет вид где AQ - оператор Лапласа — Бельтрами на многообразии X с мерой плотности -ут(х)т(х): а -Ду - оператор Лапласа — Бельтрами на многообразии У с мерой, обладающей плотностью Доказательство, В соответствие с (1.3), оператор Лапласа — Бельтрами на многообразии {Z,p,) в локальных координатах имеет вид: В силу того, что матрица Jgsf[[ диагональная, можем переписать последнее как Теперь замечаем, что Qst = а1- , если s,t — 1,...,п, (i = $, j = t) и $st = bkl, если 5, t = n + 1,... ,n + m, (A; = s — n, I = t — n). Таким образом, Учитывая, что в первой сумме дифференцирование идет лишь по х, а во второй — по у, выносим соответствующие множители из производных и из сумм: Сравнивая эти суммы с выражением оператора Лапласа — Бельтрами в локальных координатах (1.3) на многообразиях X и У (с соответствующими мерами), имеем Лемма доказана. Из представления (1.15) лапласиана на многообразии Z легко получаем лемму о представлении оператора Шрёдингера на рассматриваемом многообразии. Лемма 2. Оператор Шрёдингера на многообразии (Z,ii) имеет вид LZ = A0 + 7"2(-Ду) + с{х) = где До и BQ — операторы Лапласа — Бельтрами и Шрёдингера, соответственно, на многообразии X с весовой функцией ,угп(х)т(х): a —Ay - оператор Лапласа — Бельтрами на многообразии Y с мерой плотности ц{у): Далее полагаем, что спектр оператора Лапласа — Бельтрами —Ау на многообразии Y дискретен. Наряду с оператором Во будем рассматривать операторы где Xi{Y) — собственные значения —Ду, причем т. е. все Xi{Y) упорядочены по возрастанию, причем каждое повторено согласно его кратности. При этом заметим, что АДУ) — оо при і — оо (см., например, [1] — это следует, в частности, из неограниченности оператора Лапласа — Бельтрами). Для формулировки обозначим v -меру с весом -ут(х)т(х) на многообразии X. Теорема 8. Оператор Шрёдингера на многообразии (Z,n) имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда спектр оператора BQ + Аі(У)7-2 на многообразии (Х,Р) дискретен. Доказательство. Выберем в 2(У) ортонормированный базис {щ} из собственных функций оператора — Ау, соответствующих собственным значениям Xi(Y) (такой базис существует, см., например, [3, Chapitre VII] — это следует, в частности, из вариационного определения собственных чисел оператора). Определим теперь оператор В — ф?і. Считаем, что областью определения оператора / является некоторая область Д, которая, по сути, есть Со(Х), порожденная соответствующим щ. Другими словами, каждый оператор В{ определен на тех функциях из &2(Z), которые представимы в виде щ(у)у(х), где v(x) Є CQ (X). Тогда область определения оператора В — прямая сумма фД — плотна в 2(Z), причем из определения прямой суммы операторов замечаем, что В действует на каждую область / как оператор ВІ. Далее заметим, что на CQ(Z) оператор В совпадает с оператором L z. Для того, чтобы показать это, разложим произвольную функцию w(z) є CQ(Z) по функциям щ и подействуем на неё оператором Lz, учитывая предыдущую лемму: Напомним здесь (см., например, [1]), что указанный ряд по собственным функциям оператора Лапласа — Бельтрами сходится равномерно.

Тогда (фД) является расширением оператора Шрёдингера Lz Г CQ(Z). НО из определения квадратичной формы, соответствующей оператору, немедленно следует, что область определения формы, соответствующей оператору Шрёдингера содержится в области определения формы оператора расширение по Фридрихсу оператора В — является расширением LF — расширения по Фридрихсу оператора Шрёдингера L. Но LF, по определению, есть самосопряженный оператор, следовательно, он является максимально симметричным (см. [27, с.127-128]), то есть не имеет симметрического расширения, отличного от самого оператора. 8 то же время, LF С BF, a BF — также самосопряжённый (и, тем более, симметрический); следовательно, во избежание противоречия, LF — BF. Таким образом показали, что операторы L и В имеют од но и тоже раширение по Фридрихсу, и, следовательно, исследование спектра оператора L сводится к исследованию спектра оператора В. Исследуем спектр оператора В. По следствию 2.1 достаточно доказать, что из дискретности спектра оператора В\ можно заключить то же о всех операторах Bi и что наименьшие собственные числа операторов ВІ \\(ВІ) — оо при г — оо. Дискретность спектра Bi при условии дискретности спектра В\ очевидно вытекает из следствия 4.2. Рассмотрим \\{ВІ). Покажем, что если Ло — произвольное действительное число, то \\{ВІ) Ао при достаточно больших г. Исследуя В\ по следствию 4.1, получаем, что существуют компакт К с X и функция / Возьмем теперь произвольный компакт К\ ЭГ5 К и будем рассматривать функцию д Є COD{X \К), д О, которая совпадает с f(x) на дополнении К\. Заметим, что Так как ХІ{У) — оо, мы можем найти го такое, что на К\ g lBig Ао при г г о- Вне К\ неравенство будет верно в силу выбора 9 \кх / ку Таким образом, из теоремы 3 заключаем, что если г го, то Ai(?j) Ао, то есть получили, что спектр оператора Шрёдингера БІ-БО + АЦ "2 на многообразии X. Теорема доказана. Следствие 8.1. Оператор Лапласа — Бельтрами на многообразии (Z,p.) имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда спектр оператора A$-\-\\(Y)r) 2 на многообразии {X,v) дискретен. Доказательство. Это утверждение сразу следует из теоремы 8, если положить с{х) = 0. Далее мы отметим ещё ряд следствий этой теоремы, но, заметим, что мы будем называть их теоремами ввиду важной роли, которую они играют в дальнейшем изложении. Рассмотрим теперь риманово многообразие Z1, изометричное произведению X х У (где X — произвольное многообразие размерности л, a Y — компактное многообразие размерности т) с метрикой где -у(х) — С -гладкая положительная функция, dx2 и dy2 метрики на X и Vі соответственно. Также, как и выше считаем, что на Z1 задана борелевская мера с плотностью o(z), где a{z) = т(х)т](у), т(х) и г}{у) — С -гладкие положительные функции. Заметим, что на всяком компактном многообразии У спектр оператора Лапласа — Бельтрами —Д дискретен, и первое собственное число \\{Y) = 0. Таким образом, теорема 8 справедлива для операторов Лапласа — Бельтрами и Шрёдингера на многообразии X х Y . Обозначаем через v — меру с весом т{х)т{х) на многообразии X. Теорема 9. Оператор Лапласа — Бельтрами на многообразии (X х Yf,fi) имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда спектр оператора AQ на многообразии (Л", v) дискретен.

Дискретность спектра оператора Лапласа — Бельтрами на квазимодельных многообразиях. Примеры

Рассмотрим теперь квазимодельное многообразие М, то есть многообразие представимое в виде объединения В и D\ и U Dp — компактного множества В и конечного числа непересекающихся концов Д, каждый из которых есть простое искривленное произведение. Критерий дискретности спектра на таких многообразиях является главной целью работы. Везде далее будем обозначать ВІ{Г) = {{р,0г) є Di: р г} — шар с центром в начале координат на многообразии DL. Теорема 13. Оператор Лапласа — Бельтрами —А на квазимодельном многообразии М имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда на каждом его конце конечного объёма выполнено условие а на всех концах бесконечного объёма — условия Доказательство. Из теоремы 5 (принцип декомпозиции) следует, что спектр оператора Лапласа — Бельтрами на многообразии с концами дискретен тогда и только тогда, когда он дискретен на каждом конце, так как на М \ В лапласиан распадается на прямую сумму лапласианов, каждый из которых определён на Dj. Но каждый конец Di является простым искривленным произведением, следовательно, к нему применима теорема 11. Отсюда получаем утверждение теоремы 13. Замечание. Очевидно, что подобное обобщение справедливо и для многообразий М = В U D[ U U Drp, где концы D[ такие же, как в теореме 12. Приведём несколько примеров использования полученного результата. Так как исследование дискретности спектра на квазимодельных многообразиях сводится к исследованию его концов, приведём примеры только для простых искривленных произведений. Кроме того, для простоты и большей наглядности ограничимся их простейшим случаем - модельными многообразиями. Везде далее будем обозначать через ип - объём единичного шара в R71. Пример 4. Е2 (то есть q{r) = г, Si = ). Очевидно, V(R2) = u2Jtdt = оо и cap B(l) = u2(J f )_1 = 0. Следо- вательно, ни одно из условий теоремы 11 заведомо не выполнено, то есть в спектре оператора Лапласа присутствует непрерывная часть. Пример 5. W1, п 2 (то есть q(r) = г, Si = Su_1). Покажем теперь, что такие поверхности существуют. Для это найдем функцию /(г), удовлетворяющую (2.11). Более того, покажем, что такую функцию можно найти среди функций, монотонно стремящихся к нулю на бесконечности. Тогда и производная этой функции / (г) также стремится к нулю при г — оо. Учитывая, что V{D) = f f(t)y/l + f 2(t)dt оо, применим в (2.11) о правило Лопиталя; но последнее равенство может быть выполнено, только если Еще раз применяя к этому пределу правило Лопиталя, получаем Но в силу того, что lim j (r) — О, последнее равенство справедливо тогда и только тогда, когда lim ШХ = 0.

Таким образом, при предъяв- ленных условиях на функцию /(г), условие (2.11) дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на поверхности вращения графика функции /(г) эквивалентно условию Этому условию удовлетворяет, например, функция f(r) = e r . Предъявленная функция подтверждает существование поверхностей вращения, на которых спектр оператора Лапласа — Бельтрами дискретен. Пример 8. Рассмотрим такое многообразие D, что q(r) = er , Si = S. Проверяем последнее требование из второй группы условий теоремы 11, применяя правило Лопиталя: Таким образом, по теореме 11 получаем, что спектр оператора Лапласа — Бельтрами на многообразии D дискретен. Пример 9. Рассмотрим многообразие D, такое что q(r) = r2er , Si = 8. На этом многообразии объём шара растет еще быстрее, чем в предыдущем примере, поэтому можно утверждать, что спектр оператора Лапласа — Бельтрами на этом многообразии также будет дискретен. Покажем это непосредственными вычислениями. Применяя правило Лопиталя, вычисляем предел: и, следовательно, по теореме 11 получаем, что спектр оператора Лапласа — Бельтрами на многообразии D дискретен. Пример 10. Покажем теперь, что многообразие, приведенное в примере 8 стохастически полно, в то время как многообразие примера 9 стохастически неполно. Многообразие называют стохастически полным, если стохастический процесс на нем имеет бесконечное время жизни. Известно (см. [14]), что стохастическая неполнота многообразия эквивалентна существованию ненулевого ограниченного решения уравнения где /і = const 0. В [20] показано, что простое искривленное произведение порядка к стохастически неполно, если выполнено условие: в силу расходимости первого слагаемого. Отсюда, в соответствии с (2.12), следует стохастическая полнота многообразия, исследованного в примере 8. Таким образом, мы показали, что существуют и стохастически полные, и стохастически неполные многообразия с дискретным спектром лапласиана. Ниже мы покажем, что, фактически, для стохастической неполноты простого искривленного произведения требуется более высокая скорость роста объёма шара, чем для дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на этом многообразии. Пример 11. Возьмём теперь многообразие D — простое искривленное произведение порядка 2, то есть D изометрично произведению I х Si х S2 (где I = (го,+оо), a Sj - компактные римановы многообразия без края, dimS; = 2) с метрикой где d62 метрика на S», а &(г) — С1-гладкие положительные на I функции.

Обозначаем s(r) = Кроме того, рассмотрим обычное модельное многообразие Df, то есть D изометрично произведению IxSi (повторяющиеся обозначения имеют тот же смысл, что и выше) с метрикой Очевидно, что спектры операторов Лапласа — Бельтрами на многообразиях D и D дискретны или нет одновременно. При этом квазимодельные многообразия впервые были построены А.Г. Лосевым, как многообразия со свойствами, существенно отличными от модельных многообразий. А именно, был предъявлен пример стохастически неполного квазимодельного многообразия, на котором выполнена теорема Лиувилля (всякая ограниченная на всем многообразии гармоническая функция является тождественной постоянной), в то время как всякое модельное многообразие с лиувиллевым свойством стохастически полно. Выше мы уже упоминали, что стохастическая неполнота простого искривленного произведения эквивалентна выполнению условия (2.12). Кроме того, в [20] показано, что описанное многообразие D обладает лиувиллевым свойством, если выполнены следующие условия: Это неравенство гарантированно выполнено, если s(r) г1+єе 2+ . Но, очевидно, всякая такая функция s(r) имеет скорость роста, сравнимую со случаем, рассмотренным в примере 9. Следовательно, проверяя условия теоремы 11 так же, как и выше, получаем, что спектр оператора Лапласа — Бельтрами на построенном многообразии D дискретен. Подбирая теперь q\{r) и q2{r) специальным образом (процесс их построения описан в [20]), можем добиться расходимости интегралов 1\ и h, то есть выполнения лиувиллева свойства на многообразии D. Но при этом и стохастически неполным, и многообразием с дискретным спектром оператора Лапласа — Бельтрами будет и модельное многообразие Df, которое (в следствие стохастической неполноты) заведомо не обладает лиувиллевым свойством. В результате мы показали, что стохастически неполные многообразия обладают дискретным спектром и при выполнении теоремы Лиувилля на этих многообразиях, и при её невыполнении. Таким образом подчеркнем важную особенность представленного критерия дискретности — дискретность или недискретность спектра лапласиана не зависит от выбора отдельно взятых коэффициентов метрики qi{r)t а только лишь от их произведения. С другой стороны, из (2.13) и (2.14) видно, что если исследуется лиувиллево свойство на многообразии, то важно значение каждого из коэффициентов.

Условия дискретности спектра оператора Шрёдингера

Исследуем сначала вопрос дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на весовых простых искривленных произведениях порядка к. Пусть D — такое же, как в 2.1, простое искривленное произведение. Зададим на нем борелевскую меру ц с весом, предста-вимым как т(г)т]і($і) -%(0jt). При формулировке следующей теоремы используем весовые объём и ёмкость, введённые в 1.1. Теорема 14. Спектр оператора Лапласа — Бельтрами -А на многообразии (D, /л) дискретен тогда и только тогда, когда выполне- но одно из условий: Доказательство. Доказывать будем тем же способом, что и теорему 11. Рассмотрим многообразия X = R+ х Si х S2 х х Sjt_i, Y — St, и многообразие Z = X х Y с метрикой Борелевская мера на этом многообразии есть ті(х)щ(вь), где мы обозначили п(х) = т(г)гц($і)---щ-і(вк-і), то есть многообразие Z совпадает с многообразием D. Тогда по теореме 9 оператор Лапласа — Бельтрами на многообразии D имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда дискретен спектр оператора Лапласа — Бельтрами на многообразии X с весом gfc(r)n(a:) = Рассмотрим многообразия Х\ = R+ х Si х Зг х х Sfc_2, Y\ = Sjt_i, и многообразие Z\ = Х\ х Y\ с метрикой и весовой функцией g]J (r)T2(xi)%_i(0;t-i), гДе мы обозначили Т2{х\) = т(г)г}і(ві)--- -2( -2). то есть оператор Лапласа — Бельтрами на многообразии Z\ совпадает с оператором, дискретность спектра которого мы исследуем. Опять применяем теорему 9 и получаем: оператор Лапласа — Бельтрами на многообразии X с указанным весом имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда дискретен спектр оператора Лапласа — Бельтрами на могообразии Х\ с весом Повторяя то же самое ещё к - 2 раза, в итоге получим, что дискретность спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразии D эквивалентна дискретности спектра оператора Лапласа с весом r(r)q {r) --qk{r) на Ш+ . Обозначим s{r) = r(r)q {r)"-q k(r). Тогда оператор имеет вид: Спектр этого оператора был рассмотрен при доказательстве теоремы 11. Используя полученные там результаты, получаем утверждение теоремы. Наконец, рассмотрим весовое квазимодельное многообразие М. Будем предполагать, что борелевская мера р на нём такова, что на каждом конце D\ её плотность имеет вид тг{г)г}\{в\) -rfk(ek).

Из предыдущей теоремы, следует, что на таких многообразиях теорема 12 остаётся верной без каких-либо изменений, только объёмы и ёмкости заменяются своими весовыми аналогами. В формулировке опять предполагаем, что Bi{r) с Д. Теорема 15. Оператор Лапласа — Бельтрами —Д на квазимодель-ном весовом многообразии (М, р) имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда на каждом его конце конечного весового объёма выполнено условие г оосар {ВІ{1),ВІ(Г)) а на всех концах бесконечного весового объёма — условия 2.4. Условия дискретности спектра оператора Шрёдингера Получим теперь критерий дискретности спектра оператора Шрёдингера на квазимодельных многообразиях, наложив некоторые условия на потенциал и метрику многообразия. Как мы уже упоминали выше, для полуограниченности оператора L везде считаем, что существует некоторая К = const, такая что c(r) —Л". Кроме того, потребуем, чтобы функция с(г) была абсолютно интегрируемой в любом конечном интервале на R+. Пусть сначала D — простое искривленное произведение порядка к, то есть изометрично произведению R+ х Si х S2 х х S (где R+ — (0,+оо), a Si - компактные римановы многообразия без края) с метрикой где dOf метрика на Sj, a qi(r) є С1 1(М+) положительные на К+ функции (С1,1 здесь обозначаем класс непрерывно дифференцируемых функций с локально-липшицевой производной). Заметим, что более строгие требования гладкости, по сравнению с предыдущими результатами, здесь существенно необходимы. Как обычно, считаем, что dim Si = щ и обозначаем s(r) = (г) 9fc Cr)- Для формулировки следующего результата нам потребуется еще одно обозначение: где производные в возможных точках разрыва понимаем в смысле предела функции справа в этой точке. Теорема 16. Если F(r) -С (С = const 0), то для дискретности спектра оператора Шрёдингера L на многообразии D необходимо и достаточно, чтобы для произолъного и 0 было выполнено Доказательство. Рассмотрим сначала многообразие Z = X х У (где Борелевская мера на этом многообразии есть просто риманов объём, то есть многообразие Z совпадает с многообразием D. Тогда по теореме 10 оператор Шрёдингера на многообразии D имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда дискретен спектр оператора Шрёдингера на многообразии X с весом q%k(r). Рассмотрим многообразия Х\ — Ш+ х Si х S2 х х S _2, У\ = S _i, и многообразие Z\ = Х\ х Y\ с метрикой и весовой функцией qk(r), то есть оператор Шрёдингера на многообразии Z\ совпадает с оператором, дискретность спектра которого мы исследуем. Применяем теорему 10 и получаем: оператор Шрёдингера на многообразии X с указанным весом имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда дискретен спектр оператора Шрёдингера на могообразии Х\ с весом Повторяя это процесс ещё к — 2 раза, в итоге получим, что дискретность спектра оператора Шрёдингера на многообразии D эквивалентна дискретности спектра оператора Штурма — Лиувилля на R+ с весом Яі1(г) "Якк{г)- В соответствии с обозначением s(r) = g (г) /JJ (r), оператор имеет вид: После преобразования получаем: Сделаем замену переменных: -q{r) = s?(r)y{r)t то есть у — s 2(r)r}(r). Подставляя в выражение для оператора AQ, получаем: и, таким образом, получаем оператор Поскольку функция F(r) локально интегрируема (в силу условий, наложенных выше на с(г) и s(r)), то к последнему оператору применим критерий дискретности спектра A.M. Молчанова (теорема 7).

Получаем, что если функция F(r) ограничена снизу, то спектр этого оператора, а, следовательно, и спектр исследуемого оператора Шрёдингера, дискретен тогда и только тогда, когда среднее значение функции F(r) на бесконечности стремится к бесконечности, то есть что и утверждает доказываемая теорема. Далее рассмотрим квазимодельное многообразие М, то есть многообразие представимое в виде объединения В и D\ U U Dp, где В — некоторый компакт, а Д - простые искривленные произведения, как были рассмотрены выше. Теорема 17. Если F(r) -С (С = const 0), то для дискретности спектра оператора Шрёдингера L на многообразии М необходимо и достаточно, чтобы на каждом из концов Di для произолъного и) 0 было выполнено Доказательство. Аналогично всем вышеприведенным доказательствам критериев на квазимодельных многообразиях, применяем теорему 5 (принцип декомпозиции) и получаем, что дискретность спектра оператора Шрёдингера на квазимодельном многообразии эквивалентна дискретности спектров операторов Шрёдингера на каждом из концов многообразия. Применяя теорему 16, получаем требуемое. Пример 13. Рассмотрим в качестве примера простейшие модельные многообразия — W1. Они, очевидно, представимы в виде М+ х -1 с метрикой dz2 = dr2 + r2d(p2. В соответствие с введенными выше обозначениями, имеем функцию s(r) = г"-1. Дискретность спектра оператора Шрёдингера на этих многообразиях зависит от среднего значения на бесконечности функции F(r) = c(r)+ 2rl, j +\-2Г) = С(Г) + 4r Положив здесь, например, c(r) = 0, нетрудно получить известный факт (в частности, это было показано выше), что спектр оператора Лапласа — Бельтрами в Еп недискретен: в этом случае lim F(r) = 0 и, следовательно, среднее значение этой функции на бесконечности не может стремиться к бесконечности. Аналогично, выбирая в качестве функции с(г) функцию, имеющую на бесконечности конечный предел или просто ограниченную, будем получать операторы Шрёдингера, в спектре которых присутствует непрерывная часть. Наоборот, выбирая в качестве с(г) любую функцию такую, что lim c(r) = +00, мы немедленно получаем выполнение условия тео- ремы 16 и, следовательно, дискретность спектра такого оператора Шрёдингера. Пример 14. Обратимся теперь к вопросу сравнения представленного результата с критерием Ж. Шена, о котором мы упоминали во введении. Опишем этот критерий подробнее. Пусть М — некомпактное полное риманово многообразие. Предположим, что существует такое го 0, что для всех г го и всех х є М с некоторыми константами с\ и С2 выполняются неравенства: Кроме того, существуют константы сз,С4,С5 0 и р 1 такие, что для всех х М и всех 0 г R го потенциал с(х) оператора Шрёдингера удовлетворяет условиям: где 77 — положительная функция на [0,1], такая что 77(f) — 0 при t —» 0.

Дискретность спектра оператора Лапласа — Бельтрами и преобразование метрики

Очевидно, что классы исследуемых нами и Ж. Шеном многообразий существенно отличаются, также, как и классы потенциалов, для которых критерии справедливы, поэтому не представляется возможным провести точное сравнение результатов. Сделаем здесь лишь небольшое замечание. Нетрудно видеть, что в обоих критериях, не зависимо от структуры многообразия, дискретность спектра оператора Шрёдингера может обеспечить достаточно быстрый рост потенциала с. При этом интересно заметить, что на многообразиях, исследуемых критерием Ж. Шена для дискретности спектра нельзя, например, брать потенциал, тождественно равный какой-либо постоянной — в этом случае (х) также окажется тождественной константой и не будет удовлетворять условию критерия. Более того, во всём классе многообразий, удовлетворяющих критерию Ж. Шена, дискретность или недискретность спектра оператора Шрёдингера не зависит от структуры многообразия. В случае квазимодельных многообразий, которые исследуются посредством нашего критерия, структура многообразия наравне с потенциалом является определяющей в вопросе дискретности или недискретности спектра оператора Шрёдингера. Ещё раз это демонстрирует приводимый ниже результат. Заметим, что исходя из теоремы 13 и следствия 4.2, можно получить достаточное условие дискретности спектра оператора Шрёдингера, область применения которого шире (в некоторых аспектах), чем у доказанного ранее критерия (теорема 16). Рассмотрим на квазимодельном многообразии М оператор Шрёдингера Коэффициенты метрики qi(r) на каждом из концов Д здесь будем считать С1-гладкими. Теорема 18. Пусть с(г, 0) 0. Тогда спектр оператора Шрёдингера L на многообразии М дискретен, если на каждом из его концов выполнено одно из условий: Доказательство, Выполнение одного из указанных в теореме условий, как было показано выше (теорема 13), является необходимым и достаточным для дискретности спектра оператора Лапласа — Бель-трами на квазимодельных многообразиях. Вопользуемся теперь следствием 4.2. Учитывая неотрицательность потенциала с(г,&), можем заключить, что эти условия являются достаточными для дискретности спектра оператора Шрёдингера на рассматриваемых многообразиях.

Пример 15. Рассмотрим многообразие D = Ш+ х S1 с метрикой Выше было показано, что спектр оператора Лапласа — Бельтрами на этом многообразии дискретен; из вышесказанного, очевидно, следует, что спектр оператора Шрёдингера -L = -А + с(г,в), где с(г,9) 0, также дискретен. С другой стороны, если с(г,в) = с{г), то применима также и теорема 16. На этом многообразии s(r) = er , и, значит, Учитывая неотрицательность функции с(г), немедленно получаем, что lim F(r) — +0О и, следовательно, по теореме 16 также Прихотиюо дим к выводу о дискретности спектра рассматриваемого оператора Шрёдингера. 2.5. Дискретность спектра оператора Лапласа — Бельтрами и преобразование метрики Рассмотрим риманово многообразие Z, изометричное произведению X х У (где X — произвольное многообразие размерности п, а У — компактное размерности т) с метрикой где (х) — С1 гладкая положительная функция, dx2 и dy2 метрики на X и У соответственно, то dy2 = bki{y)dykdyi. Следовательно, метрический тензор на Z имеет вид: а определитель Q — dctj[gst = dct 0 -1 = j2m(x)A(x)B(y), где мы обозначили Л(х) = det ayj, Будем предполагать, что метрика \\gst\\ многообразия Z претерпевает изменения, описываемые матрицей a{x)t у которой все отличные от нуля элементы стоят на главной диагонали и она имеет вид где ai(rc) — тоже диагональная матрица с С -гладкими коэффициентами, ег2(я) = 022(х)Ет (здесь (Т22{х) — С -гладкая положительная функция, а Ет — единичная матрица m х т). Обозначим через И(х) = dct сг(ж) = det t Ji(a;) f227n(a;), через р = о% — произведение матриц а(х) и д(х), соответственно, определитель этой матрицы V = dct Круп = 12m{x)A{x)B{y)Tt{x). Оператор Лапласа — Бельтрами при таком изменении метрики преобразуется следующим образом: Докажем следующую лемму о его представлении на таких многообразиях. Введем для этого еще одно обозначение х = о-!а — произведение матриц (ті(х) и а(х) и его определитель V,. Доказательство. Заметим, что, поскольку речь в данной теореме идет об изменении метрики, нам будет удобнее обозначать многообра зие полностью, как мы упоминали во введении — тройкой {X х y,g,v), где v — мера на многообразии, совпадающая с рима- новым объёмом. Тогда после изменения метрики матрицей [ т(:с), объектом рассмотрения становится многообразие (Хх Y,p,v). Отно сительно этого многообразия справедлива теорема 9, в соответствие с которой дискретность спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразии (X х Y,p,v) эквивалентна дискретности спектра опера тора Лапласа — Бельтрами на многообразии (X, г,/І), где р — мера на ф многообразии X плотности 02m{%)lm{x). Заметим, что этот оператор есть оператор Ло, описанный предыдущей леммой, а само такое многообразие можно рассматривать как многообразие (X, а,/л), метрика которого преобразована матрицей ті(:г)ІІ- Так как а — исходная метрика многообразия X, опуская её, получаем утверждение теоремы.

Далее снова рассматриваем полное риманово многообразие D — щ простое искривленное произведение порядка ку то есть многообразие изометричное произведению R+ х Si х S2 х х Sfc (где Ш± (0, +оо), a Si - компактные римановы многообразия без края, dim Si = щ) с метрикой где d92 метрика на S», a #(r) — С -гладкие положительные на R+ функции. Обозначим s(r) — «j"1 )" ? (г)- Пусть преобразование мет- рики на этом многообразии задается матрицей а(г) следующего вида: Все коэффициенты этой матрицы полагаем С1-гладкими, а её определитель будем обозначать, как и выше, (г). Для описанной матрицы его, очевидно, нетрудно вычислить: Оператор Лапласа — Бельтрами при таком изменении метрики преобразуется следующим образом: Теорема 20. Спектр оператора —Д дискретен тогда и только тогда, когда выполнена одна из групп условий: Доказательство. Обозначим, как и выше, g — метрику на многообразии D. Тогда после преобразования этой метрики матрицей a(i) мы получим на многообразии D новую метрику р = erg. Учитывая, что матрица ст(х) — диагональная, эту метрику легко записать в дифференциальной форме: Но тогда -Д — обычный оператор Лапласа — Бельтрами на многообразии D с описанной метрикой р, и для него справедлива теорема 12. В соответствие с этой теоремой и введёнными выше обозначениями имеем, что спектр оператора -Д на многообразии D дискретен тогда и только тогда, когда выполнена одна из групп условий: Что и утверждает теорема. Заметим теперь, что для того чтобы матрица а (г) описывала ква-зиизометричное преобразование метрики, нужно потребовать (см., например, [34]), чтобы она удовлетворяла следующим условиям для некоторой константы а 1: Если теперь в условии (2.16) мы будем выбирать векторы такие, у которых лишь одна координата ненулевая, то из него мы немедленно получим, что А из этого условия неравенство (2.17) следует автоматически. Следствие 20.1. Если на многообразии D оператор Лапласа — Бельтрами —А имел дискретный спектр, то при квазиизомет-ричном изменении метрики многообразия D диагональной матрицей \\о{т)\\ спектр оператора Лапласа — Бельтрами — Д останется дискретным. Аналогично, недискретный спектр останется недискретным. Доказательство. Обозначим, как в теореме 11, Из условия (2.18) имеем следующие оценки: Из этих оценок, очевидно, следует, что если на многообразии D было выполнено какое-то из условий теоремы 11, то непременно будет выполнено и соответствующее условие теоремы 20. Обратно, если ни одна из групп условий теоремы 11 не была справедлива на многообразии D, то не будут выполнены и условия теоремы 20. Таким образом заключаем, что свойство дискретности спектра не изменяется при специального вида квазиизометричном преобразовании метрики, описанным матрицей т(:с).

Похожие диссертации на О дискретности спектра некоторых эллиптических операторов на некомпактных римановых многообразиях

Операторы и уравнения на функциональном многообразии диффеоморфизмов, связанные с геометрическими методами в механике Баранов Юрий Станиславович

Формулы следов для возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях с замкнутым геодезическим потокомЗыкова Татьяна Валерьевна

Формулы следов для возмущённого оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях с замкнутым геодезическим потокомЗыкова Татьяна Валерьевна

Об спектре оператора Паули с периодическими коэффициентамиМехрабов, Вугар Абдулла оглы

Спектр компактных операторов взвешенной композиции в некоторых пространствах аналитических функций Шахбазов Айдын Исрафил оглы

Спектр резонансов одномерного оператора ШредингераТарасов, Алексей Геннадьевич

Треугольные представления операторов с унитарным спектром Баранов Николай Иванович

Спектр и рассеяние для оператора Шредингера в магнитном полеГалимов Артур Нилович

Асимптотика спектра сингулярных обыкновенных дифференциальных операторовИшкин, Хабир Кабирович

Несамосопряженный сингулярный оператор Дирака с дискретным спектромКулиев, Намик Гусейн оглы