Введение к работе
Актуальность темы. Уравнения на стратифицированных множествах моделируют целый ряд физических процессов таких как, например, диффузия в сильно неоднородных средах или средах со сложным геометрическим устройством, малые перемещения точек механических систем, составленных из упругих континуумов (мембран, струн и т.п.) разных размерностей.
К настоящему времени достаточно развитая теория дифференциальных уравнений на стратифицированных множествах имеется только в одномерном случае, на так называемых графах. Прогресс в этом направлении обеспечен работами Ю.В. Покорного, G.Lumer’a, S.Nicaise, J.von Belov и др. Успехи теории уравнений на произвольных стратифицированных множествах значительно скромнее, хотя первая из известных работ, которую можно отнести к этой тематике, опубликована Р. Курантом еще в 1926г. В ней он изучает колебания мембраны, к которой прикреплена струна. В конце 60-х годов М. Шехтер рассматривает задачу о трансмиссии, которую также можно отнести к данной тематике. В 90-е годы появляются эпизодические работы G. Lumer’a, а позднее работы S.Nicase и J.von Belov. Однако, состояние этой области к настоящему моменту далеко от того, чтобы говорить о сложившейся теории уравнений на стратифицированных множествах. Например, вопрос о классической разрешимости задачи Дирихле в общей постановке не решен. Имеется только достаточно общий результат, принадлежащий А.А. Гаврилову и О.М. Пенкину о слабой разрешимости задачи Дирихле для эллиптических уравнений на стратифицированных множествах. Классическая разрешимость была доказана в работах О.М. Пенкина и S.Nicase при некоторых ограничениях на геометрическую структуру множества. В частности, в работах Ковалевой Л.А. была доказана разрешимость модифицированной задачи Бицадзе - Самарского на двумерном стратифицированном множестве. Таким образом, постановка краевых задач для эллиптических уравнений на стратифицированных множествах размерности больше единицы и разработка техники доказательства их разрешимости представляется весьма актуальной.
Целью данной работы является доказательство разрешимости задачи Дирихле на двумерных стратифицированных множествах в весовых пространствах. Выявление степенно-логарифмической асимптотики решения задачи вблизи вершин комплекса.
Методы исследования. В работе использованы методы теории аналитических функций и функционального анализа, а также методы линейной алгебры.
Научная новизна. Результаты, полученные в диссертации являются новыми.
Среди наиболее важных отметим следующие:
-
Доказана фредгольмова разрешимость задачи Дирихле на двумерном комплексе в пространствах Гельдера с весом.
-
Найдена формула индекса для задачи Дирихле на двумерном комплексе в весовых пространствах с положительными и отрицательными весам.
-
Получена степенно-логарифмическая асимптотика решения вблизи вершин комплекса.
4) Установлен характер зависимости гладкости решения от данных Дирихле.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический
характер. Результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории эллиптических уравнений на стратифицированных множествах.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научных семинарах под руководством А.П. Солдатова и А.М. Мейрманова при ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный университет» (2008-2013гг.), на Воронежских зимних и весенних школах «Современные методы в теории краевых задач» и «Понтрягинские чтения» (Воронеж 2004, 2008), на международной конференции им. И.Г. Петровского (МГУ 2004), на международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики"( Нальчик, 2010), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Белгород 2013).
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[12]. Из них первые 5 опубликованы в рецензируемых журналах.
В совместных работах постановка и идея доказательства принадлежит научному руководителю А.П. Солдатову.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 62 наименования. Общий объем диссертации - 114 страниц.
