Введение к работе
Актуальность темы
В настоящей диссертации изучаются эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением. Наличие разностных операторов приводит к тому, что подобные уравнения относятся к нелокальным задачам.
Интерес к нелокальным задачам объясняется значительными теоретическими достижениями в данном направлении, а также важными приложениями, возникающими в теории плазмы1 и теории многослойных пластин и оболочек 2 3.
Нелокальные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений рассматривались в работах А. Зоммерфельда, Я.Д. Тамаркина, М. Пиконе, A.M. Кролла и др.
В 1969 году А.В. Бицадзе и А.А. Самарский1 рассмотрели возникающую в теории плазмы нелокальную задачу следующего вида: ищется гармоническая в прямоугольнике D = {х Є Е2 : —I < Х\ < I, 0 < Х2 < 1} и непрерывная в D функция и(х\, х2), удовлетворяющая условиям
и(хі, 0) =
где ifi, ip2, ifs — заданные непрерывные функции. Решение данной задачи приведено в работе1, оно основано на сведении к интегральному уравнению Фредгольма второго рода и использовании принципа максимума. Для произвольной области и общих нелокальных условий такая задача была сформулирована как нерешенная 4.
Такого типа задачи получили дальнейшее развитие в работах Н.В. Житарашу и С.Д. Эйдельмана, Я.А. Ройтберга и З.Г. Шефтеля, А.В. Бицадзе, В.А. Ильина и Е.И. Моисеева, К.Ю. Кишкиса, А.К. Гущина и В.П. Михайлова и др.
Основы общей теории для эллиптических уравнений порядка 2т с нелокальными краевыми условиями общего вида были заложены в работах А.Л. Скубачевского и его учеников 5 6 7. С нелокальными задачами для эллиптических дифференциальных уравнений тесно связаны краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений. Теория эллиптических и параболических функционально-дифференциальных уравнений впервые построена в работах А.Л. Скубачевского и его учеников в течение последних 30 лет (А.Л. Скубачевский 8, Л.Е. Россовский 9, Р.В. Шамин 10 и др.). Важность создания этой теории мотивируется принципиально новыми свойствами таких уравнений, а также важными приложениями. Применение этой теории позволило получить новый класс сек-ториальных операторов удовлетворяющих гипотезе Т. Като (Р.В. Шамин п), получить
1 Бицадзе А.В., Самарский А.А. ДАН СССР. - 1969. - Т. 185. - С. 739-740.
2 Онанов Г.Г., Скубачевский А.Л. Прикладная механика. 1979. Т. 15. Na 5. С. 39-47.
3 Skubachevskii A. Basel-Boston-Berlin: Birkhauser, 1997.
4 Самарский А.А. Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 11. С. 1925-1935.
5 Скубачевский А.Л. Современная математика. Фундамент, направления, №26, РУДН, М., 2007, 3-132
6 Скубачевский А.Л. Современная математика. Фундамент, направления, №33, РУДН, М., 2009, 3-179
7 Гуревич П.Л. Мат. заметки, 2002. Т. 72, вып. 2. С. 178-197.
8 Skubachevskii A.Basel-Boston-Berlin: Birkhauser, 1997.
9 Россовский Л.Е. Мат. заметки. - 1996. - Т. 59, № 1. - С. 103-113.
10 Скубачевский А.Л., Шамин Р.В. ДАН, 2001. - Т. 379. - №5. - С. 735-738.
11 Шамин Р.В. Мат. сб. - том 194, 2003 - вып. 9 - С. 1411-1426.
новые достаточные условия существования многолепестковых вращающихся волн в нелинейных лазерных системах 12 и др.
Параболические функционально-дифференциальные уравнения с преобразованием временной переменной рассматривались в работах В.В. Власова 13 14.
Интерес к эллиптическим уравнениям с вырождением возник после работы М.В. Келдыша 15. Эта статья стала отправной точкой для исследований многих математиков и сыграла важную роль в развитии теории вырождающихся дифференциальных уравнений. М.В. Келдыш показал, что при определенных условиях часть границы (многообразие вырождения) свободна от краевых условий. Подобными задачами занимались многие математики: О.А. Олейник 16, М.И. Вишик 17 и другие. Работы Г. Фикеры18, О.А. Олейник 19 явились началом нового этапа в развитии теории эллиптических уравнений с вырождением. Данной тематике посвящены работы Е.В. Радкевича 20, A.M. Ильина 21, в работе О.А. Олейник и Е.В. Радкевича 22 приведен подробный обзор работ посвященных уравнениям с неотрицательной характеристической формой. Статья В.П. Глушко, Ю.Б. Савчен-ко посвящена вырождающимся эллиптическим уравнениям высокого порядка.
Цель работы
Целью работы является изучение следующих взаимосвязанных вопросов:
получение априорных оценок решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением;
исследование разрешимости эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением;
исследование гладкости обобщенных решений.
Новизна результатов
Интерес к эллиптическим дифференциально-разностным уравнениям с вырождением вызван, в частности, тем, что к таким уравнениям сводятся эллиптические задачи с нелокальными условиями на компактных множествах (с непустой внутренностью), рассмотренные А.В. Бицадзе, А.А. Самарским1. В отличие от эллиптических задач с нелокальными условиями на многообразиях (упоминавшихся выше), также рассмотренных в этой
12 Skubachevskii A.L. Nonlinear Analysis- v.32, - N2, 1998. - P.261-278.
13 Власов B.B. УМН-49:3(297), 1994.-С. 175—176.
14 Власов В.В. Матем. сб.-186:8, 1995.-С. 67—92.
15 Келдыш М.В. ДАН СССР, 1951.- 77.-С. 181-183.
16 Олейник О.А. ДАН СССР-87-№6, 1952.-С. 885—888.
17 Вишик М.И. Матем. сб.-35(77):3, 1954.-С. 513—568
18 Фикера Г. Математика , 1963.-7, № 6.-С. 99-121.
19 Олейник О.А. Матем. сб.-69(111):1, 1966.-С. 111—140
20 РадкевичЕ.В. УМН-24:3(147), 1969-С. 233—234
21 Ильин A.M. Матем. сб.-50(92):4, 1960."С. 443-498
22 Олейник О.А., Радкевич Е.В. М.:ВИНИТИ, 1971.
23 Глушко В.П., Савченко Ю.Б. М.: ВИНИТИ, 1985.-С. 125-218.
работе, эллиптические задачи с нелокальными условиями на компактах не нашли дальнейшего развития в научной литературе, за исключением, работ А.Л. Скубачевского8 24 25. Таким образом, на данный момент метод сведения таких задач к эллиптическим дифференциально-разностным уравнениям с вырождением является единственным методом исследования.
В этих работах рассматривались дифференциально-разностные операторы с вырождением, являющиеся композицией сильно эллиптического дифференциального оператора и неотрицательного разностного оператора с вырождением. Были получены энергетические неравенства, построено фридрихсово расширение рассматриваемого оператора, а также изучены спектральные свойства и гладкость обобщённых решений. В частности, было показано, что решение может не принадлежать пространству Соболева даже при бесконечно гладкой правой части, однако проекция решения на образ разностного оператора обладает определённой гладкостью, но не во всей области, а в некоторых подобластях.
В настоящей работе впервые рассматриваются вырожденные дифференциально-разностные операторы второго порядка общего вида (в случае нескольких вырожденных разностных операторов и переменных коэффициентов).
Изучается уравнение вида
-Y.d^b^.Rvu = fW (xeQcM:n) (o.i)
i,j=l г д
с краевым условием
и(х) = 0 (xiQ), (0.2)
где Rij—разностные операторы, действующие в пространстве L/2(Q) и определенные по формуле
Riju(x) = ^2 aijhu(x + h), нем Ai —конечное множество векторов h из Шп с целочисленными координатами, а^ Є С, bij = bji — вещественнозначные М-периодические функции, М — аддитивная группа, порожденная множеством АІ.
Структура диссертации
