Содержание к диссертации
Введение
1 Существование и единственность сильных решений начальной задачи для системы уравнений движения нелинейной вязкоупругой среды 16
1.1 О моделях вязкоупругих сред 16
1.2 Обозначения и основной результат главы 18
1.3 Операторная трактовка задачи 22
1.4 Вспомогательная задача 24
1.5 Доказательство основных теорем главы 35
1.6 Доказательство технических лемм 41
2 Слабая разрешимость стационарной краевой задачи и эволюционной начально-краевой задачи для системы уравнений движения вязкоупругой среды 50
2.1 Модель Джеффриса вязкоупругой среды 50
2.2 Обозначения и постановка задачи о слабых решениях 52
2.3 Стационарный случай 55
2.4 Вспомогательные задачи для эволюционного случая 60
2.5 Существование слабого решения для модели Джеффриса в эволюционном случае и его оценка 72
3 Некоторые результаты о свойствах решений уравнений движения несжимаемых сред 78
3.1 Непрерывная зависимость решений от данных начальной задачи для уравнений движения нелинейной вязко-упругой среды 78
3.2 О единственности слабого решения начально-краевой задачи для уравнений движения вязкоупругой среды 81
3.3 О бифуркациях рождения цикла одного периодического течения жидкости 87
Литература 94
- Обозначения и основной результат главы
- Доказательство основных теорем главы
- Обозначения и постановка задачи о слабых решениях
- О единственности слабого решения начально-краевой задачи для уравнений движения вязкоупругой среды
Введение к работе
В окружающем мире повсеместно наблюдается движение разнообразных жидкостей и сред, во многом близких к жидкостям (газов, гелей, золей и других). Математическое описание этого движения является интересной и трудной задачей. Уже при исследовании самых простых уравнений движения жидкостей и сред, близких к жидкостям, возникло множество нерешенных до настоящего момента математических проблем.
Начала гидродинамики (науки о движении жидкостей) были заложены Блезом Паскалем, Даниилом Бернулли и Леонардом Эйлером. Развитие эта наука получила в трудах Лагранжа, Даламбера, Лапласа, Навье, Стокса и других. Обычной гидродинамической проблемой является вычисление различных характеристик жидкости( таких, как скорость, давление, плотность) как функций от времени и точки пространства.
Объектом изучения классической гидродинамики являются идеальные жидкости (жидкости, у которых отсутствуют сдвиговые напряжения) и ньютоновские жидкости (у которых сдвиговые напряжения пропорциональны скорости деформации). Основное математическое уравнение, описывающее движение идеальной жидкости, называется уравнением Эйлера, а основное математическое уравнение для ньюто-
новской жидкости называется уравнением Навье-Стокса,
Различные начальные, краевые и начально-краевые задачи для уравнений Навье-Стокса и Эйлера исследовались очень многими авторами. Наиболее известны работы Ж. Лере, О.А. Ладыженской,.Т. Като, Р. Темама, Ж. Лионса и др. Тем не менее основной вопрос: проблема глобального по времени существования гладкого решения начально-краевой задачи при гладких начальных данных остается открытым. Пока существование такого решения доказано только для случая плоскопараллельных течений. В трехмерном случае для уравнения Навье-Стокса доказано существование решения при малых данных задачи.. Одним из возможных выходов из сложившейся ситуации стало применение обобщенной постановки начально-крае вой задачи с использованием некоторого равенства функционалов. Решения такой задачи называют слабыми решениями, и любое обычное решение всегда является и слабым. Для уравнения Навье-Стокса доказано глобальное по времени существование слабого решения начально-краевой задачи. Однако проблема единственности этого решения остается открытой.
С другой стороны, давно было замечено, что многие реальные среды (битумы, кровь, полимеры, тесто, земная кора, бетон и другие) не описываются моделями классической гидродинамики, хотя по многим признакам близки к жидкостям. Такие объекты получили название "неньютоновские жидкости". Имеется большое число моделей, описывающих разные классы таких сред. Следует отметить, что эти объекты не столь подробно изучены с точки зрения математических постановок задач, в первую очередь из-за того, что они являются еще более сложными, чем задачи, порождаемые классической гидродинамикой.
Тем не менее, и здесь имеются десятки работ таких авторов, как О.А. Ладыженская, К. Гильопе, Ж. Со, М. Ренарди, ВТ. Литвинов, А.П. Осколков, П.Е. Соболевский, В.Г. Звягин, Ю.Я. Агранович, В.Т. Дмит-риенко (например, [1, 12, 13, 15, 17, 18, 25, 27, 28, 29, 34, 36]) и многих других.
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию вопросов существования, единственности и некоторых свойств решений начальных, краевых и начально-краевых задач, описывающих движение различных несжимаемых жидкостей и сред, близких к жидкостям.
Вообще говоря, движение несжимаемой среды с постоянной плотностью р = const определяется системой дифференциальных уравнений в форме Коши [11]
г\ ТІ г\
p{^ + J2u~) = DivTK + pf0, (ttx) Є [О,Г] х ІГ (0.0.1)
div и = 0, (, х) Є [0, Т] х R" (0.0.2)
Здесь и - вектор скорости точек среды, /о - плотность внешних сил, Тн - тензор напряжений (все они зависят от точки пространства х и момента времени t). Дивергенция div берется по переменной х. Дивер-генция Div от тензора это вектор с координатами (Div
Без ограничения общности будем считать в дальнейшем плотность
р равной единице. '
Тип рассматриваемой среды определяется выбором определяющего соотношения между Тн и тензором скоростей деформации (и) = (ij{u)), Eij{u) — 3(5^+а^О Так, один класс сред связан с постулатом Стокса о том, что девиатор тензора напряжения (т.е. тензор напряжений минус его изотропная компонента) в точке в данный момент вре-
мен и полностью определяется тензором скоростей деформации в этой же точке в этот момент времени. Это концепция линейно- и нелинейно-вязкой жидкости [18]. Примерами моделей нелинейно-вязких жидкостей являются модели Прандтля и Эй ринга [24]. Частным случаем этой концепции является также линейно-вязкая жидкость с определяющим соотношением
Тн = -pi + 2r)S (0.0.3)
Здесь p(t, х) — скалярная функция давления, а коэффициент т/ называется вязкостью. При г} > 0 соотношение (0.0.3) определяет ньютоновскую жидкость, и, подставляя (0.0.3) в (0.0.1), можно получить уравнение Навье-Стокса. При 7) = 0 соотношение (0.0.3) задает идеальную жидкость, и, подставляя (0.0.3) в (0.0.1), можно получить уравнение Эйлера.
Однако концепция нелинейно-вязкой жидкости не является удовлетворительной для всех сред. В частности, она не подходит для сред "с памятью": битумов, бетонов, разнообразных полимеров и растворов полимеров, земной коры и др. Один из способов учесть эффекты памяти - ввести в определяющее соотношение производные по времени. На этом пути возникли модели Максвелла, Джеффриса [20, 29], Олдрой-да [19, 33], Ларсона, Гизекуса, Фан-Тиена-Таннера [28, 29], Сприггса [3] и другие. Математическое исследование части этих моделей проводилось в [28, 34, 36]. Модели нелинейных вязкоупругих сред, т.е. сред, обладающих как нелинейной вязкостью, так и вязкоупругостью, исследовались в [1, 25].
Приведем обзор содержания диссертации по главам.
В первой главе исследуются уравнения движения для широкого
класса нелинейных вязкоупругих сред. Этот класс содержит, в частности, модели Олдройда, Ларсона, Гизекуса, Фан-Тиена-Таннера, Спригг-са, Прандтля, Эйринга, ньютоновской и идеальной жидкости и их комбинации, и их комбинации. Рассматривается начальная задача для уравнений движения этого класса нелинейных вязкоупругих сред во всем пространстве Шпуп = 2,3:
dt ^-4 дх
i=l
757 + Л Щ1Г. = Div Тн + Л» (*ж) [> ri х Rn (-0-4)
div и = 0, (t,x) Є [0,Т] х Rn (0.0.5)
Тн = crs -f
ff* = ^тА (0.0.8)
rk + Afe^- + &(r\ ) = 2% (0.0.9)
Здесь и — вектор скорости, /о — поле внешних сил, Тн — тензор напряжений (все они зависят от точки х пространства Ш.п, п = 2,3 и момента времени t), г — натуральное число, тк,сгя, <тр — составляющие тензора напряжений, {и) — |(Vu + VuT) - тензор скоростей деформации, р — давление, \к > 0 - времена релаксации, щ > 0 - вязкости, к = 1, ...,г. Выражение -^- есть объективная (олдройдовская) производная тензора. Для функции A(x,t) со значениями во множестве матриц п х п она определяется по формуле
^ = ^|>g + ^-^A-a(^ + ^) (0.0.10)
В этом выражении W — (Wy)» Wij = \{q^: ~ -^:) ~ тензор завихрен
ности, а - некоторое число. Кроме того, Ф и / в (0.0.7) и (0.0.9) это
известные нелинейные функции со значениями во множестве матриц
« пх п, которые имеют следующий вид:
У{)=(рі + <р22 (0.0.11)
&(т,) = а\1 + а\ + ак22 + а\т + ajr2 + а(т + т)+
+ак6{2т + т2) + ак7{т2 + т2) + ак8{2т2 + т22) (0.0.12)
где (pi, (р2 и а* суть произвольные скалярные функции следующих аргументов
& = ipi{Tr{2),det),i = 1,2
а) = а)(Тг2,Тгг,Тг{т),Тт{т2),Тг{тъ),Тт{т),
Тг(т2),Тг(т2),Тг(т22)\ А: = 1 r;j = 0 8
Давление р вообще может быть определено с точностью до константы. Для определенности накладывается условие
jp{t,x)dx = Q (0.0.13)
где П - фиксированная ограниченная область в Жп.
Начальные условия имеют вид:
и(0,х)=а{х), тк{0,х) = т${х), х Є Жп, к = 1,..., г (0.0.14)
Отметим, что К. Гильопе и Ж. Со [28] доказали локальное по времени существование и глобальное существование при малых данных решений начально-краевой задачи для системы уравнений движения вязкоупругой жидкости в ограниченной области в случае ip\ = const,
крч = 0,/ = 0, г = 1,..., г, а также для нескольких конкретных функций /. Р. Талук [36] обобщил их результат о локальной разрешимости (при г = l,/?i = 0) на неограниченные области.
Уравнения движения нелинейной вязкоупругой жидкости исследовались в [1, 25] при условии замены производной по времени (0.0.10) в определяющих соотношениях на частную производную :, что существенно сужает класс сред, удовлетворяющих этой модели (см. по этому поводу [19]).
Первая глава состоит из шести пунктов. В первом пункте производится описание рассматриваемого класса сред и описывающих их уравнений.
Во втором пункте вводятся основные обозначения, производится постановка задачи и формулируется основной результат главы о существовании и единственности глобального по времени решения начальной задачи (0.0.4)-(0.0.14) при малых данных (теорема 1.2.1).
В третьем пункте производится операторная трактовка рассматриваемой задачи и формулируется результат о разрешимости этой операторной задачи (теорема 1.3.1).
В четвертом пункте вводится и исследуется вспомогательная задача, зависящая от параметра. Доказывается существование и единственность решения этой задачи (теорема 1.4.1) и единая априорная оценка (лемма 1.4.5).
В пятом пункте с помощью перехода к пределу по указанному параметру доказываются теоремы 1.3.1 и 1.2.1.
В шестом пункте доказываются некоторые технические леммы.
Во второй главе исследуется разрешимость в слабом смысле на-
чально-краевой задачи в модели Джеффриса [20] движения вязко-упругой среды в произвольной области ГЇ С W1 (n = 2,3), возможно и неограниченной. Соответствующее определяющее соотношение имеет вид
Тн = -pi + <т, а + Ах— а = 2г)( + А2—) (0.0.15)
at at .
Здесь г\ - вязкость среды, Ai - время релаксации, Аг < Ai - время запаздывания, р - функция давления, <т - тензор касательных напряже-
ний. Выражение ^ = щ+ ^ Щ-&г. обозначает полную(субстанциональ-ную) производную по времени.
Пусть П - произвольная область в пространстве En, п — 2,3.
Начально-краевая задача, описывающая движение несжимаемой вяз-
коупругой среды в модели Джеффриса, имеет вид:
#f + Yl Uid^. + $rad Р ='Div a + f (0.0.16)
-+л>( а + ^) = w+*»(« + Е и^)} ((Ш17)
div и —0 (0.0.18)
и =0 (0.0.19)
u\t=o = a, ff|t=0 - сг0 (0.0.20)
Отметим, что в ряде работ (например, [1, 15, 25, 27]) начально-краевая задача изучалась при условии замены полной производной ^ на частную производную J^, что, как уже отмечалось, существенно сужает класс сред, удовлетворяющих этой модели [19]. В [13] рассматривалось соотношение Джеффриса (0.0.15) без такой линеаризации,
но при выражении тензора напряжений через тензор скоростей деформации использовалась регуляризация поля скоростей с помощью усреднения по пространственной переменной. Отличие нашего подхода состоит в том, что такой регуляризации не делается.
Для доказательства разрешимости эволюционной задачи нами используется аппроксимационно-топологический метод исследования задач гидродинамики, который описан в книге В.Г. Звягина и В.Т. Дмит-риенко [14] на примере системы Навье-Стокса.
Вторая глава состоит из пяти пунктов. В первом пункте производится описание модели и производится постановка задач.
Во втором пункте вводятся основные обозначения и вводится определение слабых решений стационарной краевой задачи и эволюционной начально-краевой задачи, описывающих движение вязкоупругой среды в модели Джеффриса. Затем формулируются теоремы существования таких решений (теоремы 2.2.1 и 2.2.2).
В третьем пункте исследуется стационарная задача. С помощью априорной оценки (лемма 2.3.1) и теории степени доказывается сначала существование решения вспомогательной задачи (теорема 2.3.1), а затем и исходной задачи.
В четвертом пункте исследуются две вспомогательные задачи для эволюционного случая, зависящие от нескольких параметров. Их разрешимость (теоремы 2.4.1 и 2.4.2) показывается с помощью априорной оценки (лемма 2.4.1), теории степени и предельного перехода по параметру.
В пятом пункте доказывается существование слабого решения эволюционной задачи для модели Джеффриса и его оценка (теоремы 2.5.1
и 2.2.2). Кроме того, здесь доказывается, что построенное решение удовлетворяет специальному энергетическому неравенству (лемма 2.5.1).
В третьей главе рассматриваются некоторые проблемы, связанные со свойствами решений уравнений движения несжимаемых сред.
В первом пункте доказывается непрерывная зависимость решений начальной задачи (0.0.4)-(0.0.14) от данных задачи (теорема 3.1.1).
Во втором пункте рассматривается проблема единственности слабых решений задачи (0.0.16)-(0.0.20).
Вопрос о единственности слабых решений для большинства уравнений гидродинамики в общем случае остается открытым. Например, для уравнений Навье-Стокса в двумерном случае слабое решение единственно, а в трехмерном имеются лишь условные результаты, например, классический результат Сезера и Серрина (см. [22]) о том, что, если слабое решение является немного более регулярным, то оно единственно в классе слабых решений, удовлетворяющих энергетическому неравенству. В этом пункте получен аналог (теорема 3.2.1) этого утверждения для задачи (0.0.16)-(0.0.20).
В третьем пункте исследуется одна проблема, связанная с бифуркациями решений уравнений гидродинамики. Рассматривается периодическое течение жидкости, возмущаемой одномерной внешней силой специального типа, в трехмерном пространстве. Периодические течения такого типа рассматривались А.Н. Колмогоровым, Л.Д. Мешал киным, Я. Г. Синаем, Ж. Ченом и другими авторами. Получены достаточные условия (теорема 3.3.1) существования точки бифуркации рождения цикла для этого течения; тем самым уточнен подобный результат Ж. Чена [26].
Суммируя вышеизложенное, отметим; что в диссертации получены следующие новые результаты:
Доказаны существование, единственность и непрерывная зависимость сильных решений от данных начальной задачи для системы уравнений движения широкого класса нелинейных вязкоупругих жидкостей и сред в всем двумерном или трехмерном пространстве при малых данных.
Получено существование слабого решения стационарной краевой задачи для системы уравнений движения для модели Джеффриса вязкоупругой среды в произвольной области двумерного или трехмерного пространства.
Доказано существование слабого решения эволюционной начально-краевой задачи для системы уравнений движения для модели Джеффри са вязкоупругой среды в произвольной области двумерного или трехмерного пространства, удовлетворяющего энергетическому неравенству. Получено достаточное условие единственности этих решений.
Получены достаточные условия существования точки бифуркации рождения цикла для специального течения жидкости.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международных конференциях "Topological and Variational Methods in Nonlinear Analysis"(Бендлево, Польша, 2000 и 2003), "Topological Methods in Nonlinear Analysis"(Бендлево, Польша, 2001), "Фундаментальные исследования и высшее образование "(Краснодар, 2002), "Mathematical Foundations of Viscous Turbulent Flows"(Мартина-Франка, Италия, 2003), Воронежских зимних математических школах (2000,2004), семинаре НОЦ ВГУ "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных
»
средах"(2003), семинаре под руководством профессора А.С. Шамаева (МГУ, 2004), научной сессии ВГУ (2000-2004).
Исследования, включенные в настоящую диссертацию, поддержаны грантом РФФИ N 04-01-00081, а также грантом для молодых участников проекта VZ-010 "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах" Минобразования РФ и CRDF (США).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [4]-[9], [37, 38]. Из совместных работ [37, 38] в диссертацию вошли только принадлежащие Воротникову Д.А. результаты.
Обозначения и основной результат главы
Во втором пункте вводятся основные обозначения и вводится определение слабых решений стационарной краевой задачи и эволюционной начально-краевой задачи, описывающих движение вязкоупругой среды в модели Джеффриса. Затем формулируются теоремы существования таких решений (теоремы 2.2.1 и 2.2.2).
В третьем пункте исследуется стационарная задача. С помощью априорной оценки (лемма 2.3.1) и теории степени доказывается сначала существование решения вспомогательной задачи (теорема 2.3.1), а затем и исходной задачи.
В четвертом пункте исследуются две вспомогательные задачи для эволюционного случая, зависящие от нескольких параметров. Их разрешимость (теоремы 2.4.1 и 2.4.2) показывается с помощью априорной оценки (лемма 2.4.1), теории степени и предельного перехода по параметру.
В пятом пункте доказывается существование слабого решения эволюционной задачи для модели Джеффриса и его оценка (теоремы 2.5.1 и 2.2.2). Кроме того, здесь доказывается, что построенное решение удовлетворяет специальному энергетическому неравенству (лемма 2.5.1).
В третьей главе рассматриваются некоторые проблемы, связанные со свойствами решений уравнений движения несжимаемых сред.
В первом пункте доказывается непрерывная зависимость решений начальной задачи (0.0.4)-(0.0.14) от данных задачи (теорема 3.1.1).
Во втором пункте рассматривается проблема единственности слабых решений задачи (0.0.16)-(0.0.20).
Вопрос о единственности слабых решений для большинства уравнений гидродинамики в общем случае остается открытым. Например, для уравнений Навье-Стокса в двумерном случае слабое решение единственно, а в трехмерном имеются лишь условные результаты, например, классический результат Сезера и Серрина (см. [22]) о том, что, если слабое решение является немного более регулярным, то оно единственно в классе слабых решений, удовлетворяющих энергетическому неравенству. В этом пункте получен аналог (теорема 3.2.1) этого утверждения для задачи (0.0.16)-(0.0.20).
В третьем пункте исследуется одна проблема, связанная с бифуркациями решений уравнений гидродинамики. Рассматривается периодическое течение жидкости, возмущаемой одномерной внешней силой специального типа, в трехмерном пространстве. Периодические течения такого типа рассматривались А.Н. Колмогоровым, Л.Д. Мешал киным, Я. Г. Синаем, Ж. Ченом и другими авторами. Получены достаточные условия (теорема 3.3.1) существования точки бифуркации рождения цикла для этого течения; тем самым уточнен подобный результат Ж. Чена [26]. Суммируя вышеизложенное, отметим; что в диссертации получены следующие новые результаты: 1. Доказаны существование, единственность и непрерывная зависимость сильных решений от данных начальной задачи для системы уравнений движения широкого класса нелинейных вязкоупругих жидкостей и сред в всем двумерном или трехмерном пространстве при малых данных. 2. Получено существование слабого решения стационарной краевой задачи для системы уравнений движения для модели Джеффриса вязкоупругой среды в произвольной области двумерного или трехмерного пространства. 3. Доказано существование слабого решения эволюционной начально-краевой задачи для системы уравнений движения для модели Джеффри са вязкоупругой среды в произвольной области двумерного или трехмерного пространства, удовлетворяющего энергетическому неравенству. Получено достаточное условие единственности этих решений. 4. Получены достаточные условия существования точки бифуркации рождения цикла для специального течения жидкости. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международных конференциях "Topological and Variational Methods in Nonlinear Analysis"(Бендлево, Польша, 2000 и 2003), "Topological Methods in Nonlinear Analysis"(Бендлево, Польша, 2001), "Фундаментальные исследования и высшее образование "(Краснодар, 2002), "Mathematical Foundations of Viscous Turbulent Flows"(Мартина-Франка, Италия, 2003), Воронежских зимних математических школах (2000,2004), семинаре НОЦ ВГУ "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах"(2003), семинаре под руководством профессора А.С. Шамаева (МГУ, 2004), научной сессии ВГУ (2000-2004). Исследования, включенные в настоящую диссертацию, поддержаны грантом РФФИ N 04-01-00081, а также грантом для молодых участников проекта VZ-010 "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах" Минобразования РФ и CRDF (США). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [4]-[9], [37, 38]. Из совместных работ [37, 38] в диссертацию вошли только принадлежащие Воротникову Д.А. результаты.
Доказательство основных теорем главы
В настоящей главе исследуется разрешимость в слабом смысле начально-краевой задачи в модели Джеффриса [20] движения вязкоупругой среды в произвольной области П С R" (га = 2,3), возможно и неограниченной. Соответствующее определяющее соотношение имеет вид
Здесь г) - вязкость среды, А і - время релаксации, А 2 А і - время за паздывания, р - функция давления, а - тензор касательных напряжений. Выражение = JF+X) uiw: обозначает полную(субстанциональную) производную по времени.
Пусть Q - произвольная область в пространстве Шп, п — 2,3, возможно неограниченная. Рассмотрим начально-краевую задачу, описывающую движение несжимаемой вязкоупругой среды в модели Джеффриса. Соответствующая краевая задача, описывающая стационарное движение среды, имеет вид. п 2,2 Обозначения и постановка задачи о слабых решениях Кроме обозначений, введенных в пункте 1.2, ниже будут использоваться следующие обозначения. Пусть Е обозначает одно из пространств Rn, R"xn, W n, тапхпхп Мы будем использовать стандартные обозначения LP(Q,E), И (П, Е), Ят(0, Е) = W2ffl(fi, Е), H {U, Е) =W f(U, Е) для пространств Лебега и Соболева для функций со значениями в Е. Иногда для краткости будем писать просто Lp вместо Lp(l, Е) и.т.п., если из контекста ясно, о каком пространстве Е идет речь. Скалярные произведения в (П, Е) и Hl(Q, Е) могут быть заданы следующими билинейными формами 1=1 Евклидову норму в Е будем обозначать , в Li - , в W\ Ці. Через Cg(Q,i?) будем обозначать пространство гладких функций с компактным носителем в Г2 и со значениями в Е. Для краткости обозначим символом Сд пространство Пусть Символами Я и V обозначаются замыкания V соответственно в Следуя [22] будем отождествлять пространство Н и его сопряженное пространство Я . Поэтому имеем вложение Символом Y = У(П) обозначим пополнение V по норме, соответствующей скалярному произведению (u,v)y — (Vti, Vi ), а сопряженное ему пространство обозначим через Y . Если область Q ограничена, то Y совпадает с V. Скобки будут обозначать действие функционала из У ,У или Н т (т — 1,2) на элемент из пространства Y,V или Н соответственно. Символ Cw([0,T\;X) обозначает пространство слабо непрерывных функций на промежутке [О, Т] со значениями в некотором банаховом пространстве X. Символ КІ(-,...,-), і = 0,1,2,... будет обозначать положительные константы, непрерывно зависящие от перечисленных аргументов. Прочие константы будут обозначаться символом С. Перейдем к постановке задачи о слабых решениях. Начнем со стационарного случая. Пусть / Є Y . Определение. Слабым решением задачи (2.1.8)-(2.1.11) называется пара функций и Є У, г Є 2( 1 Кх"), удовлетворяющая тождествам i—\ ( т, Ф) - Лх (щ т, —) = дФ = -2т](и, Div 5 ) - 2т]\2 22(и(и), 7—) (2.2.2) дх ЧОО для всех (р Є V и Ф Є CQ1 Замечание. Тождества (2.2.1) и (2.2.2) возникли из следующих соображений. Если (и, а,р) - классическое решение задачи (2.1.8)-(2.1.11), то умножив скалярно в L2 равенства (2.1.8) и (2.1.9) соответственно на ір Є V и на Ф Є CQ И проинтегрировав эти равенства по частям, получим тождества (2.2.1) и (2.2.2). Аналогично произведем постановку задачи для эволюционного случая.
Обозначения и постановка задачи о слабых решениях
В этом пункте доказывается непрерывная зависимость решений начальной задачи для уравнений движения нелинейной вязкоупругой среды от данных задачи. Рассмотрим для простоты случай г = 1. В этом случае можно работать с операторной трактовкой этой задачи (1.3.16)-(1.3.18).
Теорема 3.1.1 Пусть тройки (а,тоь fk)A 0,1,2,... удовлетворяют условиям теоремы, 1.3.1, включал оценку (1.3.19), а {щ г ) -соответствующие решения задачи (1.3.16)-(1.3.18). Пусть при к — со аИ ов Hv, Тогда ик- щв С([0,Г]; Я ) u в Lp(0,T; #{ ), тк - то в С([0, Г]; ЯІ) U в С([0, Г]; Я /j для есеж 1 р оо,5 0. Доказательство. Рассмотрим последовательности Без ограничения общности все тройки (amfk, Tom, , /m,Jt) удовлетворяют оценке (1.3.19). Рассмотрим задачи (1.3.16), (1.4.2), (1.3.18) сданными am,kt TOm,fc fm,k и є = — при каждом натуральном т и всех к. По теореме 1.4.1 при достаточно малом К\ такие задачи имеют единственное решение (ит,тт,іс)- Как показано при доказательстве теоремы 1.3.1, при m — со для всех 1 р оо,6 0 к для любого шара В в Еп. Зафиксируем произвольный шар Вві, Обозначим через p(uL, т1; н2, г2) выражение II"1 - и2\\с([0,Т}-М) + ti(wl - у2) D!UP(0,r;H»№)) + +llrl - т2!с([о,т];Я ) + II (т1 - г2) а через p{al, т$, f1; a2, r2 , /2) выражение Ця1 - А\щ + IkJ - т02яі, + II/1 - /2\\ьло,Т;Щ) для любых u1, , 2, , 1, , , ,/1,/2, для которых эти выражения имеют смысл. Зафиксируем є 0. По каждому А; найдем L(k) такое, что если m L(k), то p{Um,k,Tm,k ,Uk,Tk) - (3.1.1) Теперь по к найдем М{к) такое, что если m M(fc), то p{o-m,kiT0m,b fm,k\ akir0k, fk) T Обозначим P(k) — max(L(fc), M(k)). Тогда Отсюда следует, как мы показали при доказательстве теоремы 1.3.1, что Р(ир(к),к: Тр(к),к «о, то) - 0 к—»со Тогда найдется iV такое, что если к N, то Тогда из (3.1.1) и неравенства треугольника р{ик1тк\щ тъ) є Мы доказали, что р(иь, ч;uQ,rQ) —У 0, что в силу произвольности шара В влечет утверждение теоремы. 3.2 О единственности слабого решения начально-краевой задачи для уравнений движения вяз-коупругой среды Вопрос о единственности слабых решений для большинства уравнений гидродинамики в общем случае остается открытым. Например, для уравнений Навье-Стокса в двумерном случае слабое решение единственно, а в трехмерном имеются лишь условные результаты, например, классический результат Сезера и Серрина ([22], теорема III.3.9) о том, что если слабое решение принадлежит дополнительно L(0, Т; 1ц), то оно единственно в классе слабых решений, удовлетворяющих энергетическому неравенству. В этом пункте доказывается аналогичный результат для модели Джеффриса. Будем использовать обозначения из главы 2. Теорема 3.2.1 Пусть п = 3ме условиях теоремы 2.2.2 существует слабое решение (щ,аі) задачи (2.1.3)-(2.1.7), причем Щ Є L8(0,T;4),7i = [ai 2fii{ui)] Є 4(0,Т; Wj) (3.2.1) Тогда это решение единственно в классе слабых решений (и,а), удовлетворяющих неравенству (2.5.10) с г = а — 1\i\{u), Доказательство. Пусть имеется слабое решение («2,02) задачи (2.1.3)-(2.1.7), удовлетворяющее неравенству (2.5.10) с Ті = а — 2р,\Е{иг), Покажем, что оно совпадает с (UI,CTI), ТО есть что («2, тг) совпадает с (UI,TI).
О единственности слабого решения начально-краевой задачи для уравнений движения вязкоупругой среды
В этом пункте рассматривается периодическое течение ньютоновской жидкости (определяющее соотношение Тн = —pi + 2/ ), возмущаемой одномерной внешней силой специального "волноподобного"типа, в трехмерном пространстве. Получены достаточные условия существования точки бифуркации рождения цикла для этого течения; тем самым уточнен подобный результат Ж. Чена [26].
Итак, рассматривается периодическая система Навье-Стокса, приведенная к безразмерному виду [26] Здесь (я, у, z) Є К3, А — параметр, характеризующий соотношение инерционных сил в системе с вязкостными — "число Рейнольдса"[3]; к — натуральный параметр. Для краткости используется обозначение (и V) вместо щ + и2щ + щ-г. Уравнение (3.3.4) добавляется для единственности решения и соответствующих начальных задач. Оно означает, что "средняя скорость жидкости равна нулю", что естественно из-за того, что "средняя си-ла"также равна нулю (см. правую часть уравнения (3.3.1)). Периодические течения типа (3,3.1)-(3.3.4) рассматривались еще А.Н. Колмогоровым, Л.Д. Мешалкиным и Я. Г. Синаем [2, 32]. Для исследования задачи (3.3.1)-(3.3.4) вводится следующее гильбертово пространство: условиям (3.3.2), (3.3.3), (3.3.4)}. Функции из W%{[0,2n]3,M?) непрерывны по теореме вложения Соболева, поэтому условие (3.3.3) здесь имеет смысл. Пусть I, j Є Z, I 0 — некоторые числа. Через Hfjk обозначим подпространство Н2 функций, представимых в виде: где („, n N; T]mI(, n 6 Z, m G N - некоторые произвольные наборы фиксированных векторов из М3. Введем еще оператор В. В (и) Оказывается [26], что Hf,k в некотором смысле инвариантно относительно В. В связи с этим систему (3.3.1)-(3.3.4) можно переписать как уравнение в гильбертовом пространстве [26]: Известно [26], что для (3.3.5) при условии w(i)t=0 = щ есть локальная по t теорема существования и единственности решения начальной задачи при всяком йо Hf k. Отметим еще, что система (3.3.1)-(3.3.4) и уравнение (3.3.5) имеют постоянное решение щ{і) = (sm2&z,0,0). Перейдем теперь к основному результату пункта. Определение. Будем говорить, что (До, щ) есть точка бифуркации рождения цикла (или бифуркации Хопфа) для уравнения (3.3.5), если: 1) Существуют число S 0 и скалярные функции Х(Є),ІУ(Є) Є С([0,]) такие, что для всех є Є [0, 5]: \(є) ф О, v(e) ф 0; Л(є) = А0 4Ф- є 0. 2) Существуют при каждом є Є (0,5] функции и{є) Є С([0, оо), Hfjk) которые являются решениями уравнения (3.3.5), в котором А заменено на А (є). 2)u{e){t)=u{e)(t + j$Q). 4) и(є) -+ «о при — 0. Введем параметры Тогда существует Xijtk 0 такое, что (A/j uo) есть точка бифуркации Хопфа для уравнения (3.3.5). Замечание. В работе [26] вместо условий (3.3.6) и (3.3.7) накладывалось условие \ г \ (3.3.8) Условие (3.3.8) есть более ограничительное, чем (3.3.6) и (3.3.7). Действительно, если выполнено (3.3,8), то выполнено (3.3,6). Кроме того, в этом случае q \, R 14 и (3.3.7) тоже выполнено.
